Apostila de Números - Eletiva Matemática no E Médio (13 páginas, 85 questões) (1)

Prévia do material em texto

Blog do Prof. Gilberto 
Apostila 
 
 
Slides 
 
PROFs. GILBERTO, EDIVALDO e HELOISA 
NÚMEROS 
 
*** RECURSO PEDAGÓGICO DE DISTRIBUIÇÃO GRATUITA *** 
 
SUMÁRIO 
 
1. NÚMEROS NATURAIS .......................................... 1 
1.1 Representação geométrica do conjunto dos números 
naturais ................................................................ 1 
1.2 Limitação do conjunto dos números naturais ......... 1 
2. NÚMEROS INTEIROS ........................................... 2 
2.1 Representação em diagramas do conjunto dos 
números inteiros .................................................... 2 
2.2 Representação geométrica do conjunto dos números 
inteiros ................................................................. 2 
2.3 Números simétricos .......................................... 2 
2.4 Limitação do conjunto dos números inteiros .......... 2 
2.5 Definição de potenciação ................................... 3 
2.6 Propriedades fundamentais da potenciação ........... 3 
2.6.1 Multiplicação de potências com a mesma base .... 3 
2.6.2 Divisão de potências com a mesma base ........... 3 
2.6.3 Potência de potência ....................................... 3 
2.6.4 Potência com expoente negativo ...................... 3 
2.6.5 Potência com expoente fracionário .................... 3 
2.6.6 Potência de produto ....................................... 3 
2.6.7 Potência de quociente ..................................... 4 
2.6.8 Potenciações de base negativa ......................... 4 
2.7 Definição de radiciação ...................................... 4 
2.7.1 Nomes dos termos na radiciação ...................... 4 
3. NÚMEROS RACIONAIS ......................................... 7 
3.1 Representação em diagramas do conjunto dos 
números racionais .................................................. 7 
3.2 Representação geométrica do conjunto dos números 
racionais ............................................................... 7 
3.3 Limitação do conjunto dos números racionais ........ 7 
3.4 Potenciações de base 10 ...................................10 
3.4.1 Com expoente positivo ...................................10 
3.4.2 Com expoente negativo .................................10 
3.5 Notação científica ............................................10 
3.5.1 Cálculos com notação científica .......................11 
4. NÚMEROS IRRACIONAIS .....................................12 
4.1 Representação geométrica dos números irracionais
 ..........................................................................12 
4.2 Representação em diagramas do conjunto dos 
números irracionais ...............................................12 
5. NÚMEROS REAIS ...............................................12 
5.1 Representação em diagramas dos números reais ..12 
5.2 Representação geométrica do conjunto dos números 
reais ...................................................................13 
6. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZAGEM-ODA ........13 
7. REFERÊNCIAS ...................................................13 
 
 
1. NÚMEROS NATURAIS 
 A necessidade de contar surgiu com o início 
da civilização dos povos. Povos primitivos conta-
vam apenas um, dois e muitos. Esses três concei-
tos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois 
outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sen-
do incorporadas. A ideia do zero só surgiu mais 
tarde. 
 Os números utilizados para contar formam 
hoje o que chamamos de conjunto dos números 
naturais, simbolizado por ℕ e definido assim: 
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...} 
 
 
1.1 Representação geométrica do con-
junto dos números naturais 
 
 
 
1.2 Limitação do conjunto dos números 
naturais 
A soma de dois números naturais quaisquer 
tem como resultado sempre um número natural, 
mas a diferença de dois números naturais quais-
quer nem sempre tem como resultado um número 
natural. Por exemplos: 
✓ 5 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ e (5 + 2) ∈ ℕ, ainda (2 + 5) ∈ ℕ. 
❖ 5 ∈ ℕ, 2 ∈ ℕ e (5 – 2) ∈ ℕ, mas (2 – 5) ∉ ℕ. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Calcule: 
a) 2 700 + 2 660 
b) 33 603 + 2 896 
 
2) Vamos somar os números 272 e 339 em duas 
ordens diferentes. Calcule e compare os resulta-
dos: 
a) 272 + 339 
b) 339 + 272 
 
Propriedade comutativa da adição: A or-
dem das parcelas não altera a soma. 
 
3) Quanto é? 
a) 1 990 + 0 
b) 0 + 1 990 
 
Zero é chamado é chamado elemento neu-
tro da adição. 
 
4) Calcule as diferenças: 
a) 749 – 638 
b) 87 528 – 6 458 
c) 99 003 – 88 043 
d) 1 138 – 909 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
5) Calcule o valor da expressão numérica: 
 
75 – (20 – 8 + 18) – 20 + 4 
 
Em seguida, assinale a alternativa CORRETA. 
 
(a) 18 (b) 29 (c) 32 (d) 44 
 
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 
6) Quando Sueli nasceu, o pai dela tinha 25 anos 
de idade. Hoje Sueli tem 17 anos. Qual é a idade 
do seu pai? 
 
7) Diego foi ao bingo com uma quantia de 
R$ 50,00. A cartela custava R$ 2,00. Na 1ª rodada 
comprou 5 cartelas, mas não ganhou nenhum 
prêmio. Na 2ª rodada comprou 7 cartelas e tam-
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
2 
 
Blog do Prof. Gilberto 
bém não ganhou. Já na 3ª rodada, comprou ape-
nas 3 cartelas, no qual fez uma quina, recebendo 
como prêmio uma quantia de R$ 15,00. 
A quantidade de dinheiro que Diego ficou, 
ao retornar para casa, foi 
 
(a) R$ 26,00. (c) R$ 35,00. 
 
(b) R$ 30,00. (d) R$ 50,00. 
 
8)(SEAPE) Resolva a conta abaixo. 
 
3 242 – 876 
 
O resultado dessa conta é 
 
(a) 2 366 (c) 3 634 
 
(b) 3 476 (d) 4 118 
 
2. NÚMEROS INTEIROS 
 
(2 – 5) ∉ ℕ 
 
Subtrações como essa somente tem res-
posta com a introdução dos números negativos: 
– 1, – 2, – 3, – 4, ... 
 A união dos números naturais com os nú-
meros negativos forma o conjunto dos números 
inteiros, simbolizado por ℤ e definido assim: 
 
ℤ = {..., – n, ..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} 
 
Podemos separar os números inteiros em 
três categorias: 
• Os positivos: 1, 2, 3, 4, ... 
• O zero: 0. 
• Os negativos: – 1, – 2, – 3, – 4, ... 
 
Observação: 
Os conjuntos numéricos podem vir acompa-
nhados de certos símbolos, que tem a função de 
excluir, deles, determinados números: 
• O símbolo asterisco (*) exclui o zero; 
• O símbolo mais (+) exclui os negativos; 
• O símbolo menos (–) exclui os positivos. 
Exemplos: 
• ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
• ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
• ℤ− = {..., – 3, – 2, – 1, 0} 
 
2.1 Representação em diagramas do con-
junto dos números inteiros 
 
 
 
ℕ é subconjunto de ℤ 
 
 
 
 
 
2.2 Representação geométrica do con-
junto dos números inteiros 
 
 
 
2.3 Números simétricos 
 
• De maneira geral, se k é um número inteiro, o 
número –k também é número inteiro. 
• Dizemos que k e –k são números simétricos ou 
opostos (as bibliografias de nível superior os 
chamam de inversos aditivos). 
• A geometria dos números simétricos: simetria 
em relação ao zero: 
 
 
 
2.4 Limitação do conjunto dos números 
inteiros 
A soma, a subtração e multiplicação de dois 
números inteiros quaisquer têm como resultado 
sempre um número inteiro, mas a divisão de dois 
números inteiros quaisquer nem sempre tem como 
resultado um número inteiro. Por exemplos: 
 
✓ +5 ∈ ℤ, – 2 ∈ ℤ e [(+5) + (– 2)] ∈ ℤ. 
✓ +7 ∈ ℤ, +3 ∈ ℤ e [(+7) – (+3)] ∈ ℤ. 
✓ +6 ∈ ℤ, – 4 ∈ ℤ e [(+6)∙(– 4)] ∈ ℤ. 
❖ – 10 ∈ ℤ, +5 ∈ ℤ e [(– 10):(+5)] ∈ ℤ, mas 
[(+5):(– 10)] ∉ ℤ. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
9) Usando os sinais > ou <, compare os números 
inteiros: 
a) – 6 e – 4 d) 12 e 21 
 
b) – 8 e 8 e) – 4 e 0 
 
c) – 1 e – 10 f) 0 e – 1 
 
10) Efetue as adições algébricas: 
 
Jogo de sinal da soma e adição 
➢ Números com sinais iguais: Soma-se e con-
serva-se o mesmo sinal; 
➢ Números com sinais diferentes: Subtrai-se e 
conserva-se o sinal do número de valor ab-
soluto maior. 
 
a) – 7 – 8 f) – 2 + 2 
b) + 7 + 8 g) 50 – 20 
c) – 7 + 8 h) – 500 + 300 
d) + 7 – 8 i) 60 + 90 
e) – 2 – 2 j) – 3 000 + 4 000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/3 
 
Blog do Prof. Gilberto 
11) Calcule, utilizando a tabela abaixo para elimi-
nar os parênteses: 
 
 
 
a)(+ 5) + (+ 7) g)(+ 30) + (+ 20) 
b)(– 8) + (– 9) h)(+ 30) + (– 20) 
c)(– 37) + (+ 35) i)(– 30) + (+ 20) 
d)(+ 10) + (– 9) j)(– 30) – (+ 20) 
e)(– 15) + (+ 15) k) 0 – (– 75) 
f)(+ 5) + (+ 7) l) 0 + (– 75) 
 
12) Calcule, utilizando a tabela abaixo para jogo 
de sinal da multiplicação de números inteiros: 
 
 
 
a)(+ 5) × (+ 10) f)(– 25)(– 4) 
b)(– 5) × (– 10) g)(– 25)(+ 4) 
c)(+ 5) × (– 10) h)(+ 4)(+ 1) 
d)(– 5) × (+ 10) i)(+ 4) ∙ 0 
e)(+ 25) × (– 4) j)(– 4) ∙ 0 
 
13) Calcule, utilizando a tabela abaixo para jogo 
de sinal da divisão de números inteiros: 
 
 
 
a)(+ 36) : (+ 9) c)(+ 55) : (– 5) 
b)(– 36) : (– 9) d)(– 27) : (+ 3) 
 
EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 
14) Seu pai tem um saldo positivo de R$ 75,00 no 
banco. Use números inteiro para representar esse 
saldo, se ele: 
a) depositar R$ 32,00. 
b) retirar R$ 40,00. 
c) pagar uma despesa de R$ 81,00 com cheque 
desse banco. 
 
2.5 Definição de potenciação 
Dado um número real a e um número natu-
ral n diferente de zero, a potência an é definida 
como: 
𝐚𝐧 = 𝐚 ∙ 𝐚 ∙ 𝐚…𝐚⏟ 
𝐧 𝐟𝐚𝐭𝐨𝐫𝐞𝐬
 
 
ou seja, o produto de n fatores iguais ao número 
a. 
 
 
 
Exemplos: 
a) 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 e) 31 = 3 
b) 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 f) 32 = 3 ∙ 3 
c) 22 = 2 ∙ 2 g) 52 = 5 ∙ 5 
d) 21 = 2 
 
Observações: 
• Para n = 1, considera-se por definição que 𝐚𝟏 = 
a. 
• Convenciona-se que 𝐚𝟎 = 1. 
• Nomes dos termos na radiciação: 
a: base; 
 
 
 
 
 
 
2.6 Propriedades fundamentais da po-
tenciação 
 
 
Para a, b ∈ ℝ e m, n ∈ ℕ∗, vale: 
2.6.1 Multiplicação de potências com a 
mesma base 
Conserva-se a base e soma-se os expoen-
tes: 
𝐚𝐦 ∙ 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦+𝐧 
 
2.6.2 Divisão de potências com a mesma 
base 
Conserva-se a base e subtrai-se os expoen-
tes: 
 
𝐚𝐦 ∶ 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦 − 𝐧 ou 
𝐚𝐦
𝐚𝐧
= 𝐚𝐦 − 𝐧 
 
2.6.3 Potência de potência 
Conserva-se a base e multiplicam-se os ex-
poentes: 
(𝐚𝐦)𝐧 = 𝐚𝐦𝐧 
 
2.6.4 Potência com expoente negativo 
É igual ao oposto da potência e o inverso 
do expoente da potência: 
 
𝐚−𝐧 =
𝟏
𝐚𝐧
; a ≠ 0 
 
2.6.5 Potência com expoente fracionário 
 
𝐚
𝐦
𝐧 = √𝐚𝐦
𝐧
 
 
2.6.6 Potência de produto 
É igual ao produto das potências dos fato-
res, utilizando-se o mesmo expoente: 
 
(𝐚 ∙ 𝐛)𝐧 = 𝐚𝐧 ∙ 𝐛𝐧 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
4 
 
Blog do Prof. Gilberto 
2.6.7 Potência de quociente 
É igual ao quociente das potências, utili-
zando-se o mesmo expoente e na mesma ordem: 
 
(
𝐚
𝐛
)
𝐧
=
𝐚𝐧
𝐛𝐧
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
15) Calcule as potências com expoente real: 
a) 34 m) (
2
3
)
−2
 
 
b) (−2)3 n) 100 
 
c) (−2)6 o) 101 
 
d) 15 p) 102 
 
e) 05 q) 103 
 
f) 51 r) 10−1 
 
g) 50 s) 10−2 
 
h) (2,5)2 t) 10−3 
 
i) (
2
3
)
4
 u) 9
1
2 
 
j) 6−2 v) 4
1
2 
 
k) 2−3 w) 250,5 
 
l)(−2)−3 x) 0
1
2 
 
16) Reduza a uma só potência: 
a) 74 ∙ 72 i) 5(2
3) 
 
b) 3 ∙ 32 j) 23
2
 
 
c) 23 ∙ 27 ∙ 2 k) 
27∙23
2−4
 
 
d) 59: 52 l) (34 ∙ 3)−2 
 
e) 107: 10 m) 4x+1 ∙ 4x−1 
 
f) 
310
34
 n) 10
x+2: 10x−2 
 
g) 
a6
a
, com a ≠ 0 o) e
x: ex+2 
 
h) (25)3 p) 
x
x−1
 
 
2.6.8 Potenciações de base negativa 
 Em potenciações com bases negativas, se: 
• O expoente for par, o resultado será positivo; 
• O expoente for ímpar, o resultado terá o mes-
mo sinal da base. 
Verifique fazendo o exercício abaixo. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
17) Calcule as potências: 
a) (−2)2 h) (−5)3 o) (−1)6 
 
b) (−2)3 i) (−1)2 p) (−1)100 
 
c) (+2)3 j) (−1)3 q) (−1)101 
 
d) (−3)2 k) (−1)4 r) (−1)1000 
 
e) (−3)3 l) (+1)3 s) (−1)1001 
 
f) (+3)3 m) (+1)4 
 
g) (−5)2 n) (−1)5 
 
2.7 Definição de radiciação 
 Observe 
• 22 = 4, logo √4 = 2 
• 53 = 125, logo √125
3
= 5 
• 24 = 16, logo √16
4
= 2 
 
De modo geral, segue que, 
 
√𝐚
𝐧 = 𝐛 ⟺ 𝐛𝐧 = 𝐚 
 
Observação: 
• Quanto é √−4? Seguindo a definição de poten-
ciação: √−4 = ⟺ 2 = −4, que número é 
esse? Qual é a sua conclusão? 
 
2.7.1 Nomes dos termos na radiciação 
Em √𝐚
𝐧 = 𝐛, os nomes dos termos são: 
 
a: radicando; 
n: índice; 
b: raiz; 
√ : radical. 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
18) Calcule as raízes: 
 
a) √16 f) √81 k) √196 
 
b) √25 g) √100 l) √8
3
 
 
c) √36 h) √121 m) √27
3
 
 
d) √49 i) √144 n) √32
5
 
 
e) √64 j) √169 o) √625 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
19)(PROVA BRASIL) Na correção de uma prova 
de um concurso, cada questão certa vale +5 pon-
tos, cada questão errada vale – 2 pontos, e cada 
questão não respondida vale – 1 ponto. Das 20 
questões da prova, Antônio acertou 7, errou 8 e 
deixou de responder as restantes. 
O número de pontos que Antônio obteve 
nessa prova foi: 
 
(a) 14 (b) 22 (c) 24 (d) 30 
 
20)(PROVA BRASIL) Numa cidade da Argenti-
na, a temperatura era de 12°C. Cinco horas de-
pois, o termômetro registrou – 7°C. A variação da 
temperatura nessa cidade foi de: 
 
(a) 5 °C (b) 7 °C (c) 12 °C (d) 19 °C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
5 
 
Blog do Prof. Gilberto 
21) Um comerciante fez três vendas e teve preju-
ízo de R$ 16,00 na primeira venda, prejuízo de 
R$ 23,00 na segunda e lucro de R$ 45,00 na tercei-
ra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos calcular o saldo resultante dos 
três negócios efetuados desta maneira: 
 
(a) 16 – 23 + 45 = 84. 
(b) –16 – 23 – 45 = – 84. 
(c) –16 + 23 – 45 = – 38. 
(d) –16 + (–23) + 45 = 6. 
 
22) Na reta numérica da figura abaixo, o ponto G 
corresponde ao número inteiro 1 e o ponto H, ao 
número inteiro 2. 
 
 
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro 5 é: 
 
(a) a letra K (c) a letra L 
 
(b) a letra B (d) a letra I 
 
23) Jeremias plantou uma fileira de cinco árvores 
frutíferas distanciadas 3 metros uma da outra. 
Veja abaixo a representação dessas árvores. 
 
 
Qual é a distância entre a quinta árvore e a 
porteira? 
 
(a) 15 m (b) 12 m (c) 9 m (d) 6 m 
 
24)(SIMAVE) Luísa desenhou uma reta numéri-
ca, em que as distâncias entre duas marcas con-
secutivas são todas iguais. Ela marcou nessa reta 
um número entre 23 e 63. 
 
 
 
O número que Luísa marcou é igual a: 
 
(a) 27 (b) 39 (c) 40 (d) 43 
 
25)(SAEPE) Os primeiros Jogos Olímpicos foram 
realizados na Grécia em 1896. Dessa data em di-
ante, os Jogos aconteceram de 4 em 4 anos, regu-
larmente. A reta numérica abaixo, representa a 
linha do tempo, indicando os nomes dos países 
onde e quando foram realizados os Jogos abaixo. 
 
De acordo com essa representação, em que 
anos foram realizados Jogos Olímpicos, nos Esta-
dos Unidos e na Suécia? 
 
(a) 1902 e 1910 (c) 1905 e 1914 
 
(b) 1904 e 1912 (d) 1906 e 1915 
 
26)(SARESP – 2010) 
 
 
 
O número escrito no último quadro é 
 
(a) – 20 (b) – 18 (c) 18 (d) 34 
 
27)(PROVA BRASIL) Cíntia conduzia um carri-
nho de brinquedo por controle remoto em linha 
reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o 
carrinho andava cada vez que ela acionava o con-
trole. Escreveu valores positivos para as idas e 
negativos para as vindas. 
 
 
 
Após Cíntia acionar o controle pela sexta 
vez, a distância entre ela e o carrinho era de 
 
(a) – 11 m (b) 11 m (c) – 27 m (d) 27 m 
 
28) Em uma cidade do Alasca, o termômetro 
marcou – 15° pela manhã. Se a temperatura des-
cer mais 13°, o termômetro vai marcar: 
 
(a) – 28° (b) – 2° (c) 2° (d) 28° 
 
29) Os termômetros, abaixo, indicam as tempe-
raturas registradas, em um mesmo dia, em duas 
cidades brasileiras. 
 
 
Qual é a diferença de temperatura entre essas 
duas cidades? 
 
(a) – 25 °C (b) – 30 °C (c) 40 °C (d) 55 °C 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
6 
 
Blog do Prof. Gilberto 
30) Veja a temperatura de algumas cidades em 
determinado dia do ano. 
 
 
Essa tabela pode ser representada pela reta: 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
31)(PROVA BRASIL) Na reta numérica da figura 
abaixo, o ponto E corresponde ao númerointeiro -
9 e o ponto F, ao inteiro –7. 
 
 
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero 
estará: 
 
(a) sobre o ponto M. 
(b) entre os pontos L e M. 
(c) entre os pontos I e J. 
(d) sobre o ponto J. 
 
32) Observe os pontos localizados na reta numé-
rica abaixo. 
 
 
O ponto que tem coordenada – 2 está re-
presentado pela letra 
 
(a) L (b) M (c) Q (d) R 
 
33)(SPAECE) Na reta numérica abaixo, M e N 
representam números inteiros. 
 
 
Os números correspondentes a M e N, são, 
respectivamente, 
 
(a) – 3 e 4. (c) – 6 e 4. 
 
(b) – 3 e 6. (d) – 6 e 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34) Num dia muito frio, em Porto Alegre, a tem-
peratura foi de 5°C. À noite, a temperatura dimi-
nuiu 7°C. Em que ponto da reta numérica se en-
contra a temperatura atingida? 
 
 
(a) A (b) B (c) C (d) D 
 
35)(SAERJ) Os submarinos têm um radar que 
indica a posição de objetos acima e abaixo do ní-
vel do mar. O desenho abaixo mostra posições 
representadas no painel de navegação do subma-
rino. Observe. 
 
 
No ponto destacado com , o radar identi-
ficou um objeto. De acordo com os dados apresen-
tados, qual é a posição desse objeto? 
 
(a) – 600 (b) + 500 (c) – 400 (d) + 400 
 
36)(SAVEAL) Em determinados lugares do nosso 
planeta a temperatura pode variar de 40º graus 
positivos a 60º graus negativos em um mesmo 
dia. Veja a representação que alguns alunos fize-
ram das temperaturas na reta numérica. 
 
 
 
Qual aluno representou corretamente as 
temperaturas na reta numérica? 
 
(a) Carlos (c) Mateus 
 
(b) Marcos (d) Victor 
 
37) Observe a reta a seguir: 
 
 
 
Os números correspondentes às letras M e 
N são respectivamente 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
7 
 
Blog do Prof. Gilberto 
 
(a) –2 e +3 (c) +2 e –3 
 
(b) –2 e –3 (d) +2 e +3 
 
38) Na reta numérica, o número –5 fica entre os 
números. 
 
(a) – 6 e – 7 (c) – 4 e + 6 
 
(b) – 4 e – 6 (d) –6 e – 10 
 
39)(SPAECE) Veja a reta numérica abaixo. 
 
 
 
Nessa reta, o ponto P corresponde ao número 
 
(a) 5 (b) 4 (c) – 3 (d) – 6 
 
40)(SAEPE) Na reta numérica abaixo, estão re-
presentados alguns números inteiros. 
 
 
Qual o número correspondente ao ponto X? 
 
(a) – 7 (b) – 1 (c) 1 (d) 3 
 
41)(SAEMS) Veja a reta numérica abaixo. 
 
O número correspondente ao ponto M é 
 
(a) – 1 (b) – 2 (c) – 4 (d) – 5 
 
3. NÚMEROS RACIONAIS 
 
[(+5):(– 10)] ∉ ℤ 
 
Divisões como essa somente tem resposta 
com a criação dos números fracionários: 
3
5
, 
8
7
, 
1
10
, etc 
Para que também a divisão fosse sempre 
possível foi criado um conjunto numérico mais 
amplo que o conjunto dos números inteiros, o 
conjunto dos números racionais, simbolizado 
por ℚ e definido assim: 
 
ℚ = {𝐱; 𝐱 =
𝐚
𝐛
, 𝐜𝐨𝐦 𝐚, 𝐛 ∈ ℤ 𝐞 𝐛 ≠ 𝟎} 
 
Exemplos: 
• – 3 = – 
3
1
; – 2 = – 
2
1
; – 1 = – 
1
1
; 7 = 
14
2
; ... (números 
inteiros); 
 
• 
3
7
; 
13
5
; 
84
56
; … (frações); 
 
• 0,5 = 
1
2
; 2,5 = 
5
2
; 0,01 = 
1
100
; ... (nºs decimais exa-
tos); 
 
• 0,333 ... = 
1
3
; 0,525252 ... = 
52
99
; ... (dízimas periódi-
cas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Representação em diagramas do con-
junto dos números racionais 
 
 
 
ℤ é subconjunto de ℚ 
 
3.2 Representação geométrica do con-
junto dos números racionais 
Podemos representar os números racionais 
por pontos pertencentes a uma reta orientada. 
Veja alguns poucos exemplos de números racio-
nais abaixo: 
 
 
 
Representação do conjunto dos números 
racionais em uma reta: 
 
 
 
Observações: 
• O conjunto dos números racionais é denso na 
reta. 
• Entre dois números racionais quaisquer exis-
tem infinitos números racionais. 
 
3.3 Limitação do conjunto dos números 
racionais 
A figura a seguir mostra um triângulo re-
tângulo cujos catetos medem 1 unidade. Veja o 
cálculo para encontrar a sua hipotenusa, utilizando 
o Teorema de Pitágoras: 
 
 
x2 = 12 + 12 
x2 = 1 + 1 
x2 = 2 
 
Que número que elevado ao quadrado dá 
2? 
 
 
Essa foi a indagação dos pitagóricos, tam-
bém! A cerca de 2.000 anos atrás. 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
8 
 
Blog do Prof. Gilberto 
Resposta: x = 1,41421356237309 ... 
 
 A resposta x = 1,41421356237309 ... é um 
número decimal que não pode ser escrito em for-
ma de fração, portanto, é um número não-
racional – números desse tipo os pitagóricos os 
chamaram de incomensuráveis. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
42) Simplifique as frações até a forma irredutível: 
 
a) 
2
12
 e) 
6
18
 
 
b) 
3
12
 f) 
18
6
 
 
c) 
4
24
 g) 
18
9
 
 
d) 
5
25
 h) 
12
2
 
 
43) Some as frações com denominadores iguais: 
 
a) 
5
4
 + 
2
4
 c) 
11
6
 + 
1
6
 + 
5
6
 
 
b) 
11
3
 – 
7
3
 d) 
17
4
 – 
13
4
 
 
44) Some as frações com denominadores diferen-
tes: 
 
a) 
3
2
 + 
2
3
 c) 
1
2
 + 
1
3
 
 
b) 
3
2
 – 
2
3
 d) 
3
2
 – 
1
4
 
 
45) Multiplique as frações: 
a) 9 . 
1
9
 d) 
5
9
 ∙ 
24
55
 ∙ 
11
48
 
 
b) 
13
60
 ∙ 
72
12
 e) 
33
121
 ∙ 
55
25
 
 
c) 
28
9
 ∙ 
81
14
 f) 
60
120
 ∙ 
40
8
 
 
46) Efetue as divisões de frações: 
 
a) 
6
2
7
 c) 
2
3
 ∶ 
4
 5
5
3
 ∶ 
2
 3
 
 
b) 
6
5
2
 d) 
4
15
 ∶ 
2
 3
12
24
 ∶ 
3
 8
 
 
47) Some os números decimais: 
a) 0,0718 + 1,4765 
 
b) 5,6 + 0,07895 
 
c) 5,612 + 437,98 + 99,9 
 
48) Efetue as subtrações de números decimais: 
a) 7,56 – 1,42 
 
b) 7,92 – 6,854 
 
c) 486,1 – 11,786 
 
49) Calcule os quocientes dos números decimais: 
a) 63 : 2 d) 30 : 25 g) 76 : 8 
b) 75 : 4 e) 45 : 4 
c) 73 : 8 f) 98 : 20 
 
50) Calcule o valor aproximado por falta de cada 
quociente, com aproximação de duas casas deci-
mal: 
a) 1 : 3 d) 214 : 3 g) 10 : 6 
b) 10 : 3 e) 8 : 3 
c) 13 : 6 f) 9 : 7 
 
Há divisões não exatas em que conseguimos 
obter apenas valores aproximados (por falta) 
para o quociente, porque nunca obtemos resto 
zero. Nesse caso, pelo fato de haver algarismos 
que se repetem periodicamente no quociente, o 
quociente é chamado de dízima periódica. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
51) Fazendo-se as operações 1,8 + 1,35 + 2,1 – 
0,8, obtém-se: 
 
(a) 4,45 (b) 6,05 (c) 17,2 (d) 15,6 
 
52)(SARESP) Qual é o resultado de 
𝟏
𝟖
 + 
𝟓
𝟔
? 
 
(a) 1/4 (b) 1/8 (c) 3/7 (d) 23/24 
 
53) O valor da seguinte expressão numérica 2/5 – 
1/10 + 0,2 é: 
 
(a) 7/10 (b) 1/2 (c) 3/10 (d) 23/10 
 
54) Na loja “Bom de bola”, o preço da bola oficial 
de vôlei está em promoção. Veja. 
 
Fonte: www.jogo.com.br 
 
Pedro aproveitou essa promoção e comprou 
uma bola. Ele pagou com uma nota de 100 Reais. 
Quanto Pedro recebeu de troco? 
 
(a) R$ 3,65 (c) R$ 5,45 
 
(b) R$ 4,55 (d) R$ 3,55 
 
55) O número 0,075 é melhor representado pela 
fração irredutível: 
 
(a) 75/100 (c) 25/100 
 
(b) 3/40 (d) 9/8 
 
56) A fração 2/5 pode ser representada pelo nú-
mero decimal: 
 
(a) 0,2 (b) 2,4 (c) 0,4 (d) 0,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
9 
 
Blog do Prof. Gilberto 
57)(PROVA RIO) Num campeonato de arco e 
flecha, Paulo totalizou 2,25 pontos em três lan-
çamentos. 
 
Observando a pontuação no alvo acima, 
podemos afirmar que ele pode ter obtido os se-
guintes pontos: 
 
(a) 2; − 0,5 e – 0,25 (c) 1; 1 e – 0,25 
 
(b) 3; − 0,5 e – 0,25 (d) 2; 1 e – 0,5 
 
58) Pesquisas mostram que a altura média do 
homem, nos anos 1 000, era cerca de 1,68 m e, 
nos anos 2 000, passou para cerca de 1,75 m. 
Fonte: Revista Época 20/12/1999. 
 
Com base nessas pesquisas, a altura média 
do homem teve um aumento, em cm, de 
 
(a) 0,07 (b) 0,7 (c) 7 (d) 70 
 
59) Janis, Maija e a mãe estavam comendo um 
bolo. Janis comeu 1/2 do bolo. Maija comeu 1/4 
do bolo. A mãe comeu 1/4 do bolo. A parte do 
bolo que restou foi 
 
(a) 1/2 (c) 2/3 
 
(b) nenhuma (d) 1/3 
 
60) A fração 3/5 pode ser representada pelo nú-
mero decimal: 
 
(a) 0,35 (b) 0,53 (c) 0,6 (d) 3,5 
 
61) Observe a reta numérica a seguir: 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a letra que 
correspondeao número 5/4. 
 
(a) M (b) N (c) P (d) Q 
 
62)(SAERS) Observe a reta numérica abaixo. 
 
Nessa reta, que número corresponde ao ponto P? 
 
(a) 5,4 (b) 5,5 (c) 5,6 (d) 5,9 
 
63) A dízima periódica 2,555... pode ser represen-
tada pela fração: 
 
(a) 2/5 (c) 25/9 
 
(b) 23/9 (d) 25/10 
 
64) Observe os números que aparecem na reta 
abaixo. 
 
 
O número indicado pela seta é 
 
(a) 0,9 (b) 0,54 (c) 0,8 (d) 0,55 
 
65)(PROVA BRASIL) A figura abaixo mostra os 
pontos P e Q que correspondem a números racio-
nais e foram posicionados na reta numerada do 
conjunto dos racionais. 
 
 
 
Os valores atribuídos a P e Q, conforme su-
as posições na reta numérica abaixo são: 
 
(a) P = – 0,2 e Q = – 0,3 
(b) P = – 0,3 e Q = – 0,2 
(c) P = – 0,6 e Q = – 0,7 
(d) P = – 0,7 e Q = – 0,6 
 
66)(PROVA BRASIL 2009) Em uma aula de 
Matemática, o professor apresentou aos alunos 
uma reta numérica como a da figura a seguir. 
 
 
 
O professor marcou o número 
4
11
 nessa re-
ta. Esse número foi marcado entre que pontos da 
reta numérica? 
 
(a) – 4 e – 3 (c) 0 e 1 
 
(b) – 3 e – 2 (d) 3 e 4 
 
67) Observe a reta numérica abaixo. 
 
 
 
Nessa reta, que número corresponde ao ponto P? 
 
(a) 2,4 (b) 2,5 (c) 2,6 (d) 2,7 
 
68)(Imenes & Lellis) Colocamos os números na 
reta, como se fosse a escala de um termômetro. 
 
 
Nessa representação, os pontos A e B correspon-
dem, respectivamente, aos números: 
 
(a) – 1,8 e 0,5 (c) – 1,8 e – 0,5 
 
(b) – 2,2 e – 0,5 (d) –2,2 e 0,5 
 
69) Veja a reta numérica abaixo. 
 
 
A letra T corresponde ao número 
 
(a) 0,8 (b) 1,8 (c) 2,5 (d) 2,8 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
10 
 
Blog do Prof. Gilberto 
70) Observe os números que aparecem na reta 
abaixo. 
 
 
O número indicado pela seta é: 
 
(a) 0,5 (b) 0,14 (c) 0,4 (d) 0,15 
 
71) Observe a reta numerada abaixo. 
 
Nessa reta, o ponto P corresponde ao número 
 
(a) 1/2 (b) 2/3 (c) 3/2 (d) 7/3 
 
72) Artur é arquiteto. Ele está verificando as me-
didas de um projeto. No desenho abaixo, podemos 
ver a linha que Artur está medindo. 
 
A medida desta linha, em centímetros, é 
 
(a) 3,0 (b) 3,4 (c) 3,8 (d) 4,0 
 
73) Na reta numérica abaixo, há quatro valores 
assinalados pelas letras A, B, C e D. Qual delas 
pode estar indicando a localização do número 1,2? 
 
 
 
(a) A (b) B (c) C (d) D 
 
74) A receita de bolo de Ana Maria diz que é pre-
ciso usar 
3
4
 de xícara de farinha. 
 
 
 
O valor correspondente a 
3
4
, na reta numerada, é a 
letra 
 
(a) A (b) B (c) C (d) D 
 
75) Veja a reta numérica abaixo. 
 
O ponto correspondente a fração é 2/5 
 
(a) P (b) Q (c) R (d) S 
 
76)(SARESP) Abaixo, representamos na reta 
numérica os números x, y, z e zero. 
 
 
É correto dizer que: 
 
(a) y > z (c) x > 0 
 
(b) y < x (d) z é um número positivo. 
 
77)(SARESP) Observe a reta numérica: 
 
A letra M está assinalando o número 80,458. Qual 
é o número que a letra R está marcando? 
 
(a) 80,469 (c) 80,475 
 
(b) 80,466 (d) 80,476 
 
78)(SARESP) A letra L está assinalando, na reta 
numérica, o número 45,477. 
 
Qual é o número que a letra J está assinalando? 
 
(a) 45,456 (c) 45,435 
 
(b) 45,454 (d) 45,404 
 
3.4 Potenciações de base 10 
3.4.1 Com expoente positivo 
 
a) 100 = 1 
 
b) 101 = 10 
 
c) 102 = 100 
 
d) 103 = 1 000 
 
e) 104 = 10 000 
 
f) 105 = 100 000 
 
g) 106 = 1 000 000 
 
3.4.2 Com expoente negativo 
 
a) 10−1 = 0,1 
 
b) 10−2 = 0,01 
 
c) 10−3 = 0,001 
 
d) 10−4 = 0,0001 
 
e) 10−5 = 0,00001 
 
f) 10−6 = 0,000001 
 
g) 10−7= 0,000001 
 
3.5 Notação científica 
 
Notação científica é um padrão utilizado pa-
ra expressar números demasiadamente grandes 
ou pequenos. 
Um número escrito em notação científica 
segue o seguinte modelo: 
 
𝐚 ∙ 𝟏𝟎𝐧 
em que: 
• a: é denominado mantissa, 1 ≤ a < 10; 
• n: é chamado ordem de grandeza, n é número 
inteiro. 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
11 
 
Blog do Prof. Gilberto 
Exemplos: 
• A massa do Sol é estimada em 
 
1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg 
 
= 1 989 ∙ 1027 kg 
 
= 1,989 ∙ 1030 kg; 
 
 
 
 
 
 
 
• Uma molécula de açúcar (sacarose) tem massa 
de 
0,000000000000000000000057 g 
 
= 57 ∙ 10−24 g 
 
= 5,7 ∙ 10−23 g; 
 
• A maior distância observável pelo homem no 
universo 
 
 
 
740 000 000 000 000 000 000 000 000 m 
 
= 74 ∙ 10 000 000 000 000 000 000 000 000 m 
 
= 74 ∙ 1025 m 
 
= 7,4 ∙ 1026 m 
 
• A massa de um próton é aproximadamente 
 
0,00000000000000000000000000167 kg 
 
= 167 ∙ 10−29 kg 
 
= 1,67 ∙ 10−27 Kg 
 
 
• A massa de um elétron é de cerca de 
 
0,00000000000000000000000000000091093822 kg 
 
= 91093822 ∙ 10−38 kg 
 
= 9,1093822 ∙ 10−31 kg 
 
 Para valores como esses, a notação científi-
ca é mais adequada para representá-los, do que 
utilizar números com excessivas quantidades de 
zeros ou números decimais com excessivas casas 
decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO DE TEMAS TRANSVERSAIS 
79) Observe a mensagem: 
 
 
 
Agora, 
a) Escreva o “peso” (massa) da Terra em potência 
de base 10. 
b) Escreva em notação científica. 
 
EXERCÍCIO INTERDISCIPLINAR 
80) Uma molécula de açúcar (sacarose) tem 
massa de 5,7 ∙ 𝟏𝟎−𝟐𝟐 g e uma de água, 3 ∙ 𝟏𝟎−𝟐𝟑 g. 
Qual das moléculas tem massa maior? Mostre. 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
81)(Enem-2015) As exportações de soja do 
Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no 
mês de julho de 2012, e registraram um aumento 
em relação um aumento em relação ao mês de 
julho de 2011, embora tenha havido uma baixa 
em relação ao mês de maio de 2012. 
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago 2012. 
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada 
pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de 
 
(a) 4,129 ∙ 103 (d) 4,129 ∙ 1012 
 
(b) 4,129 ∙ 106 (e) 4,129 ∙ 1015 
 
(c) 4,129 ∙ 109 
 
3.5.1 Cálculos com notação científica 
 Seja um número qualquer em notação cien-
tífica, 𝐚 ∙ 𝟏𝟎𝐧, podemos realizar as seguintes ope-
rações: 
• Multiplicação: multiplica-se as mantissas a e 
soma-se as ordens de grandezas n; 
• Divisão: divide-se as mantissas a e subtrai-se 
as ordens de grandezas n. 
 
Exemplos: 
a) (6 ∙ 1012 ) ∙ (2 ∙ 105) = (6 ∙ 2) ∙ 1012+5 
 
 = 12 ∙ 1017 
 
b) (6 ∙ 1012 ) : (2 ∙ 105) = (6 : 2) ∙ 1012−5 
 
 = 3 ∙ 107 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
82) Calcule e dê as respostas em notação científi-
ca: 
a)(4 ∙ 1012) ∙ (2,5 ∙ 109) 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
http://www.noticiasagricolas.com.br/
 
12 
 
Blog do Prof. Gilberto 
 
b)(3,6 ∙ 10−4) ∙ (5,5 ∙ 10−5) 
 
c)(1,2 ∙ 108) ∙ (8,2 ∙ 10−5) 
 
d)(8 ∙ 1015) ∙ (4 ∙ 1010) 
 
e)(8 ∙ 1015) : (4 ∙ 1010) 
 
f) (4 ∙ 1015) : (8 ∙ 1010) 
 
EXERCÍCIO INTERDISCIPLINAR 
83) Uma molécula de sal de cozinha tem massa 
de 9,7 ∙ 10−23 g. Quantas moléculas existem em 1 
kg de sal? (Responda em notação científica) 
 
4. NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
x2 = 12 + 12 
x2 = 2 
x = √2 = 1,41421356… ∉ ℚ 
 
Equações como essa não tem resposta em 
ℚ, a resposta foi possível pela descoberta de um 
novo conjunto numérico, o conjunto dos núme-
ros irracionais, simbolizado por 𝕀, representado 
por números decimais que são dízimas aperiódi-
cas (casas decimais infinitas e sem período). 
 
Exemplos: 
• √2 = 1,41421356 ... 
• √3 = 1,73205080 ... 
• √5 = 2,23606797 ... 
• √6 = 2,44948974 ... 
• √7 = 2,64575131 ... 
• π = 3,141592653589 ... 
 
4.1 Representação geométrica dos núme-
ros irracionais 
Existem mais números irracionais que nú-
meros racionais. Veja uma mostra: 
√0 = 0 ∈ ℚ 
√1 = 1 ∈ ℚ 
√2 = 1,41421356 ... ∈ 𝕀 
√3 = 1,73205080 ... ∈ 𝕀 
√5 = 2,23606797 ... ∈ 𝕀 
√6 = 2,44948974 ... ∈ 𝕀 
√7 = 2,64575131 ... ∈ 𝕀 
√8 = 2,828427124 ... ∈ 𝕀 
√9 = 3 ∈ ℚ 
√10 = 3,1622776601 ... ∈ 𝕀 
 
Então, assim como os números racionais é 
denso na reta, os números irracionais são densos 
na reta. Representação de todos os números irra-
cionais em reta: 
 
 
 
4.2 Representação em diagramas do con-junto dos números irracionais 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
84) O número irracional √7 está compreendido 
entre os números: 
 
(a) 2 e 3 (c) 3 e 4 
 
(b) 12 e 15 (d) 6 e 8 
 
85) 
 
Observe as setas (Z, Y, X e W) na reta numérica 
abaixo. 
 
 
A seta que aponta para localização aproximada de 
π é 
 
(a) W (b) X (c) Y (d) Z 
 
5. NÚMEROS REAIS 
Da união do conjunto dos números racio-
nais com o conjunto dos números irracionais surge 
o conjunto dos números reais, simbolizado por 
ℝ e definido assim: 
 
ℝ = {𝐱; 𝐱 é 𝐧º 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐨𝐮 𝐱 é 𝐧º 𝐢𝐫𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥} 
 
5.1 Representação em diagramas dos 
números reais 
 
 
ℚ é subconjunto de ℝ. 
 
𝕀 é subconjunto de ℝ. 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
13 
 
Blog do Prof. Gilberto 
5.2 Representação geométrica do con-
junto dos números reais 
 
 
 
O conjunto dos números reais é denso na 
reta. 
 
6. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZA-
GEM-ODA 
 
• Slides das aulas de Números 
• Apostila de Números – Eletiva de Matemática 
do Novo Ensino Médio (12 páginas, 83 ques-
tões) 
• Apostila de Álgebra – Eletiva de Matemática do 
Novo Ensino Médio (8 páginas, 21 questões) 
• Apostila de Potenciação e Radiciação (7 pági-
nas, 31 questões) 
• Apostila de Função e Função do 1º Grau (10 
páginas, 35 questões) com Habilidades da 
BNCC 
• Apostila de Função do 2º Grau (7 páginas, 39 
questões) 
• Apostila de Função do 2º Grau (9 páginas, 56 
questões) com gabarito 
• Apostila de Função Exponencial (8 páginas, 38 
questões) com gabarito 
• Apostila de Função Logarítmica (7 páginas, 43 
questões) 
• Apostila de Função Modular (6 páginas, 32 
questões) 
• Laboratório de Função do 1º Grau com Geoge-
bra (4 páginas, 10 exercícios) 
• Laboratório de Função do 2º Grau com Geoge-
bra (3 páginas) 
• Laboratório de Funções com planilhas eletrôni-
cas (7 páginas, 10 exercícios) 
• Apostila de Matemática Financeira (9 páginas, 
62 questões) 
• Apostila de Matemática Financeira (20 páginas, 
140 questões) com gabarito 
• Todas as apostilas de Matemática de Ensino 
Médio do Prof. Gilberto 
• Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do 
Prof. Gilberto 
 
7. REFERÊNCIAS 
 
GIOVANNI, J. Matemática: Pensar e Descobrir. São Paulo: 
FTD, 2000. (6ª Série). 
 
IEZZI, G.; DOCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Reali-
dade: Ensino Fundamental. 4. Ed. São Paulo: Atual, 2000. (5ª 
Série). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
 
 
Atualizada em 10/3/2023 
 
Gostou da apostila? Você encontra várias 
apostilas como essa no blog do Professor 
Gilberto Santos, no endereço 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com
/ ou siga pelo QR code ao lado. 
 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/02/aulas-em-slides-os-conjuntos-dos.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/02/apostila-de-numeros-eletivas-12-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/02/apostila-de-numeros-eletivas-12-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/02/apostila-de-numeros-eletivas-12-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/03/apostila-de-algebra-eletiva-de.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2023/03/apostila-de-algebra-eletiva-de.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/02/apostila-de-potenciacao-e-radiciacao-7.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/02/apostila-de-potenciacao-e-radiciacao-7.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2022/03/apostila-de-funcao-e-funcao-do-1-grau-9_13.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-7-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-do-2-grau-9-paginas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-exponencial-8.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-funcao-logaritmica-6.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/apostila-de-funcao-modular-6-paginas-32.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcao-do-1-grau-com.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2021/01/laboratorio-de-funcao-do-2-grau-com-o.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/laboratorio-de-funcoes-com-planilhas.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-8.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/2020/12/apostila-de-matematica-financeira-19.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/blog-page.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/videos-de-matematica-do-prof-gilberto.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/p/videos-de-matematica-do-prof-gilberto.html
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/