Matemática II AVAMEC

Prévia do material em texto

Matemática II AVAMEC
Um tanque contém, inicialmente,  20 l  20 �  de água. Uma torneira começa a despejar água nesse tanque à razão constante de  6 l  6 �  a cada minuto.
I) Como se expressa o volume  V  �  de água no tanque em função do tempo  t  �  em minutos?
II) Qual a variação de  V  �  em relação a  t  �  , ou seja, em quantas unidades  V  �  varia de acordo com que  t  �  varia uma unidade?
A alternativa que responde os itens I e II, respectivamente é:
· 
I. V=6t;�. �=6�;
II. 6 unidades��. 6 ��������
· 
I. V=26t;�. �=26�;
II. 26 unidades��. 26 ��������
· 
I. V=20+6t;�. �=20+6�;
II. 6 unidades��. 6 ��������
· 
I. V=20−6t;�. �=20−6�;
II. 26 unidades��. 26 ��������
Item 1: Se inicialmente o tanque tem 20 litros de água, então, quando o tempo é 0 minutos, o volume é de 20 litros.
A torneira despeja 6 litros de água por minuto, ou seja, no primeiro minuto foram 6 litros ADICIONADOS, no segundo minuto mais seis ( 6+66+6 após a torneira ser aberta), no terceiro minuto mais seis (6+6+66+6+6 após a torneira ser aberta) e assim por diante. Disso, podemos concluir que serão adicionados ao volume inicial (de 20 litros) 6t6�, ou seja, 6 litros vezes o tempo que se passou desde quando a torneira começou a despejar água.
Dessa forma, podemos escrever a função:
 V=20+6t  �=20+6� 
Item 2: A variação é o que ele modifica em relação ao tempo. Essa modificação, no caso, é quantidade de água que AUMENTA por minuto, que é igual a 6 litros. Portanto, podemos dizer que a taxa de variação de  V  �  em relação a  t  �  é igual a  6 l/min 6 �/���.
QUESTÃO 2 DE 5
O dispositivo de resfriamento de um forno age de tal forma que, após ser desligado o forno, sua temperatura  θ  �  varia com o tempo  t  �  de acordo com a expressão:
θ=400−12t  �=400−12�   (θ �  em graus Celsius;  t � em minutos)
até que seja atingida a temperatura ambiente, de 20ºC.
I) Quando  t  �  varia uma unidade, quanta(s) unidade(s) θ  �  varia?
II) Depois de quanto tempo é atingida a temperatura ambiente?
A alternativa que responde os itens I e II, respectivamente é:
· 
I. 12 unidades�. 12 ��������;
II. ��.  Entre 33 e 34 minutos
· 
I. −12 unidades�. −12 ��������;
II. ��.  Entre 33 e 34 minutos
· 
I. 12 unidades�. 12 ��������;
II. ��.  Entre 31 e 32 minutos
· 
I. −12 unidades�. −12 ��������;
II. ��.  Entre 31 e 32 minutos
I:
Quando perguntamos qual a taxa de variação de  θ  �  em relação a  t,  �,  queremos saber quanto a temperatura  θ  �  muda (aumenta ou diminui) a cada minuto (t�). Pela equação dada, ela varia  −12t  −12� . Como o sinal é negativo, significa que a temperatura diminui. Logo, podemos escrever que a taxa de variação de em relação a  t  �  é  −12t −12�.
II:
O exercício nos deu a função  θ=400−12t  �=400−12�  e ainda nos disse que a temperatura ambiente é de  20ºC  20º� . Portanto, para responder essa pergunta, devemos saber para qual valor de  t  �  será igual a  20ºC  20º� . Ou seja,
20=400−12t20=400−12�
20−400=−12t20−400=−12�
−380=−12t−380=−12�
−380−12=t−380−12=�
31,6=t31,6=�
QUESTÃO 3 DE 5
Sabendo que um carro estava às 8h no quilômetro 50 e às 10h estava no quilômetro 210 da mesma rodovia, responda às seguintes perguntas:
I) Determine a velocidade média desse carro entre as 8h e as 10h.
II) É possível afirmar que o carro não ultrapassou os 80 km/h no intervalo considerado?
A alternativa que responde os itens I e II, respectivamente é:
· 
I. Vm=26,25km/h��=26,25��/ℎ
II. Sim
· 
I.Vm=80km/h��=80��/ℎ
II.Não
· 
I.Vm=26,25km/h��=26,25��/ℎ
II.Não
· 
I.Vm=21km/h��=21��/ℎ
II.Sim
· 
I.Vm=21km/h��=21��/ℎ
II.Não
I:
A velocidade média é dada pelo quociente entre a variação da distância sobre a variação do tempo. Ou seja,  Vm=ΔsΔt. ��=Δ�Δ�.
Pelo exercício, sabemos que a variação do tempo foi de 2h (das 8h até as 10h) enquanto que a variação da distância foi de 160 km (pois 210-50=160).
Dessa forma,
Vm=ΔsΔt=1602=80km/h��=Δ�Δ�=1602=80��/ℎ.
II:
Não, pois ele pode, por exemplo, ter chegado aos 100 km/h às 9h. Ainda assim a velocidade média seria a mesma, pois ela é calculada apenas com a variação da distância e do tempo (finais menos iniciais), ou seja, só podemos saber por ela, quais velocidades esse carro atingiu nesses dois momentos dados.
QUESTÃO 4 DE 5
Em um lago, a pressão  p  �  varia com a profundidade  h  ℎ  de acordo com a fórmula:
p=0,1h+1 �=0,1ℎ+1  (p� em atmosferas; hℎ em metros)
I) Qual a variação da pressão em relação à profundidade, ou seja, em quantas unidades a pressão varia, se a profundidade variar uma unidade?
II) Descendo  20m,  20�,  a partir de um ponto qualquer, em quanto aumentará a pressão?
A alternativa que responde os itens I e II, respectivamente é:
· 
1 unidade1 
p=2�=2 atmosferas
· 
0,1 unidade0,1 
p=2�=2 atmosferas
· 
0,1 unidade0,1 
p=1,21�=1,21 atmosferas
· 
1 unidade1 �������
p=1,21�=1,21 atmosferas
I:
A variação, como o próprio nome diz, é o tanto que a pressão vai mudar (aumentar ou diminuir). Nesse caso, o que faz a pressão variar é a altura, que é medida em metros. A cada metro, a pressão aumenta
0,10,1 atmosferas. Caso tenha dúvidas, tente variar  h  ℎ  de uma em uma unidade e veja em quanto a pressão vai variar. Portanto, a variação da pressão em relação à profundidade é de 0,1h0,1ℎ.
II:
Vimos no item anterior, que a cada unidade (em metros) a pressão vai variar 0,10,1 unidade. Ou seja, se a altura variar 20 metros, a pressão vai variar 0,1⋅20=2 atmosferas0,1⋅20=2 ����������. Se ainda têm dúvidas, vamos fazer um exemplo:
Suponha que a pressão na altura  n  �  metros seja igual a 30. Assim, se descermos 20 metros a partir desse ponto  n,  �,  qual será a pressão? Vamos fazer as contas...
Seja  n=50 metros �=50 ������. Assim, se descermos 20 metros, chegaremos em uma altura de 30 metros, não é mesmo? Qual será a variação (a diferença) da pressão entre esses dois pontos (alturas)?
Para  n=50,  �=50,  ou seja, a altura  h=50 ℎ=50:
p=0,1h+1�=0,1ℎ+1
p=0,1⋅50+1�=0,1⋅50+1
p=5+1�=5+1
p=6 atm�=6 ���
Para  n=30,  �=30,  ou seja, a altura  h=30 ℎ=30:
p=0,1h+1�=0,1ℎ+1
p=0,1⋅30+1�=0,1⋅30+1
p=3+1�=3+1
p=4 atm�=4 ���
Podemos ver que a variação da pressão é de 2 atmosferas.
QUESTÃO 5 DE 5
A massa  m  �  de oxigênio contida em um tanque varia com o tempo  t  �  de acordo com a expressão:
m=30−4t �=30−4�  (m �  em quilogramas;  t  �  em horas)
I) Qual a variação de  m  �  em relação a  t �, ou seja, quantas unidades  m  �  varia à medida que  t  �  varia 1 unidade?
II) Quantos quilogramas de oxigênio saem do tanque em 2,5 horas?
III) Qual o valor de  t  �  para que o tanque perca 14 kg de oxigênio, ou seja, em quanto tempo o tanque perde 14 kg de oxigênio?
A alternativa que responde os itens I, II e III, respectivamente é:
· 
I. 4 unidades�. 4 ��������
II. m=26kg��. �=26��
III. t=4 horas���. �=4 ℎ����
· 
I. −4 unidades�. −4 
II. m=10kg��. �=10��
III. t=3,5 horas���. �=3,5 ℎ
· 
I. −4 unidades�. −4 ��������
II. m=16kg��. �=16��
III. t=4 horas���. �=4 ℎ����
· 
I. 4 unidades�. 4 ��������
II. m=10kg��. �=10��
III. t=−4 horas���. �=−4 ℎ����
Item I. A variação é o tanto que a massa de oxigênio vai alterar (aumentar ou diminuir). Nesse caso, o que faz a massa variar é o tempo, que é medido em horas. A cada hora, a massa diminui 4 quilogramas - note que que na lei da função, a constante que multiplica o tempo é negativa. Portanto, a variação da massa em relação ao tempo é de -4t.
Por exemplo: Suponha que o tempo inicial seja 0 horas, ou seja,  t=0 �=0. Assim,
p=0,1h+1�=0,1ℎ+1
m=30−4⋅t�=30−4⋅�
m=30−4⋅0�=30−4⋅0
m=30 kg�=30 ��
Agora suponha que o tempo variou uma hora, ou seja, agora  t=1 �=1:
m=30−4⋅t�=30−4⋅�
m=30−4⋅1�=30−4⋅1
m=30−4�=30−4
m=26 kg�=26 ��
De  t=0  �=0  para  t=1  �=1  a massa variou 4 kg (diminuiu 4 kg). Se continuarmos calculando, veremos que a cada hora, o tanque perderá 4 kg.
Item II. Ao responder essa pergunta, queremos saber qual o valor da massa  m  �  quando  t  �  varia 2,5 unidades. Para isso, vamos ver um exemplo: Suponha que o primeiro  t  �  seja 10 (horas). Assim, se  t  �  variar 2,5 unidades,  t  �  será igual a 2,5 horas. Vamos calcular quantos kg têm em cada um desses momentos…Se  t=10  �=10  horas:
m=30−4⋅t�=30−4⋅�
m=30−4⋅10�=30−4⋅10
m=30−40�=30−40
m=−10 kg�=−10 ��
Se __ \ t =12,5 \__ horas:
m=30−4⋅t�=30−4⋅�
m=30−4⋅12,5�=30−4⋅12,5
m=30−50�=30−50
m=−20 kg�=−20 ��
Portanto, saem 10 quilogramas de oxigênio do tanque em duas horas e meia.
Observação: o sinal negativo indica que o tanque está perdendo oxigênio.
Item III. Vimos no item I que a cada hora o tanque perde 4 kg de oxigênio. Assim, em duas horas ele perderá 4+44+4 kg de oxigênio (ou seja,  4⋅2kg 4⋅2��):
−8 kg=−4⋅2−8 ��=−4⋅2
Colocamos −8 kg, −8 ��,  pois o tanque está perdendo oxigênio!
Em três horas, perderá  4⋅3=12 kg: 4⋅3=12 ��:
−12 kg=−4⋅3−12 ��=−4⋅3
Por fim, podemos continuar até chegar em 14 kg, ou seja, podemos responder à pergunta: "qual o valor de  t  �  quando  m=14 kg �=14 ��?" Veja:
−14 kg=−4⋅t−14 ��=−4⋅�
−144=t−144=�
3,5=t3,5=�
Com isso, concluímos que o tanque perde 14 kg de oxigênio em 3,5 horas, ou seja, quando  t=3,5. �=3,5.