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2.4 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DO CALOR
Conforme visto anteriormente, a difusão do calor (ou condução) é 
governada pela equação fenomenológica conhecida como Lei de Fourier que, 
genericamente, é escrita como:
Para um sistema unidimensional, com transferência de calor na direção x:
Da definição de fluxo de calor, tem-se que o vetor fluxo de calor é sempre 
perpendicular às linhas de temperatura constante (isotermas).
2.4 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DO CALOR
O vetor gradiente de T deve ser escrito convenientemente para cada 
sistema de coordenadas.
a.) Gradiente 
 
Cartesiano:      
z
TT
y
TT
x
TT zyx 







 ;; 
 
 
Cilíndrico:      
z
TTT
r
T
r
TT zr 







  ;
1; 
 
 
Esférico:      









 
T
r
TT
r
T
r
TT r sen
1;1; 
2.5 PROPRIEDADES DIFUSIVAS:
CONDUTIVIDADE E DIFUSIVIDADE TÉRMICA
A condutividade térmica de um material, k, é a propriedade que mede a 
capacidade deste material de conduzir calor. 
Em geral: ksólidos > klíquidos > kgases
2.5 PROPRIEDADES DIFUSIVAS:
CONDUTIVIDADE E DIFUSIVIDADE TÉRMICA
A condutividade térmica varia com a temperatura e pode variar com a 
direção (meios anisotrópicos).
k de sólidos
k de líquidos
k de gases
Em materiais isolantes, os processos
de T.C. ocorrem de forma simultânea.
A condutividade térmica aparente
leva em consideração a condução nas
partes sólidas e a convecção e a
radiação através dos espaços vazios.
2.5 PROPRIEDADES DIFUSIVAS:
CONDUTIVIDADE E DIFUSIVIDADE TÉRMICA
Outra propriedade importante é a 
difusividade térmica, , que é a razão entre 
a capacidade do material de conduzir calor e 
sua capacidade de armazená-lo.
𝛼
𝑘
𝜌 · 𝐶𝑝
EXEMPLO 2.7
Em um dado instante de tempo, a distribuição de
temperatura em um parede com 0,3 m de espessura é
T(x) = a + bx + cx2 onde T é dado em °C, a = 200 °C,
b = -200 °C/m e c = 30 °C/m2. A parede possui uma
condutividade térmica de 1 W/m.K.
a) Com base em uma superfície de área unitária,
determine a taxa de transferência de calor para dentro
e para fora da parede, bem como a taxa de variação da
energia acumulada no interior da parede.
b) Se a superfície fria está exposta a um fluido a 100 °C,
qual é o valor do coeficiente de transferência de calor
por convecção entre esta superfície e o fluido.
2.6 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA DIFUSÃO DO CALOR
Quando o corpo não é espacialmente isotérmico, a solução do problema 
térmico é obtida a partir da resolução da Equação Diferencial governante 
da Energia. Esta equação é obtida a partir da aplicação da Lei de 
conservação de energia para um elemento diferencial.
O balanço, convenientemente feito sobre um elemento diferencial 
cartesiano, por simplicidade, inclui:
1) aplicar a Lei da Conservação da Energia sobre este elemento;
2) dividir tudo pelo volume deste elemento cartesiano;
3) tomar o limite quando este volume tende a zero.
2.6 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA DIFUSÃO DO CALOR
Os operadores vetorias
gradiente, divergente e 
laplaciano 
devem ser escritos 
convenientemente para 
cada sistema de 
coordenadas.
b.) Divergente 
 
Cartesiano: 
z
q
y
q
x
qq zyx









"""
". 
 
Cilíndrico:  
z
qq
rr
rq
r
q zr








 
"""
" 11. 
 
Esférico:    










 
"""2
2
" 111. q
rsen
qsen
rsenr
qr
r
q r 
c.) Laplaciano 
 
Cartesiano: 2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
TT








 
 
Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
Tr
rr
T















 
 
Esférico: 2
2
222
2
2
2 111


























T
senr
Tsen
senrr
Tr
rr
T 
2.7 CONDIÇÕES CONTORNO E CONDIÇÃO INICIAL
a) Condição inicial
 define o perfil de temperaturas no momento em 
que se inicia a análise do problema (t = 0).
b) Condição de contorno de 1° ordem – Dirichlet:
 especifica a própria variável.
2.7 CONDIÇÕES CONTORNO E CONDIÇÃO INICIAL
c) Condição de contorno de 2° ordem – Newmann:
 especifica uma derivada, o que, na prática, significa especificar um fluxo
de calor.
d) Condição de contorno de 3° ordem – Robin:
 especifica uma derivada e o valor de T, o que, na prática, significa
especificar uma troca de calor convectiva.
EXEMPLO 2.8
Uma placa de metal com espessura muito menor do que
os lados é mantida a uma temperatura Ti. Em um
determinado momento, a parte inferior da placa é posta em
contato com um fluido que está a uma temperatura T∞ (< Ti)
enquanto que a superior mantém-se à temperatura inicial.
Neste momento, a placa passa a ser percorrida por uma
corrente elétrica gerando uma energia S*(W/m3). Escreva a
equação diferencial governante que deve ser resolvida e as
condições de contorno e inicial para se conhecer a
temperatura da placa em um dado ponto em um dado
instante de tempo.
 
Cartesiano: 2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
TT








 
EXEMPLO 2.9
Um cilindro longo de cobre com temperatura uniforme
de 800 K é retirado de um forno e é colocado em um tanque
que contém água a 300 K e que está muito bem agitado a
fim de se efetuar um processo de têmpera do metal. Deseja-
se saber qual é a distribuição de temperatura no interior do
cilindro em função do tempo a partir do momento que o
mesmo é jogado no tanque. Escreva a equação diferencial
governante do processo e as condições de contorno e inicial
pertinentes. Mostre como seria possível determinar o fluxo
de calor na superfície do cilindro para um determinado
tempo. O que acontecerá com a peça se o tempo de espera
no tanque for muito grande?
Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
Tr
rr
T















