MATEMÁTICA ELEMENTAR

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MATEMÁTICA ELEMENTAR 
APRESENTAÇÃO 
Professor Me. Arthur Ernandes Torres da Silva 
 
● Bacharel em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM) 
● Licenciatura em Física na Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Mestre em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). 
● Doutorando em Física - Universidade Estadual de Maringá (UEM) 
● Professor Formador UniFatecie 
● Professor de Física no Colégio Educacional Noroeste Paranavaí. 
● Endereço para acessar este CV: http://lattes.cnpq.br/4605782782813159 
 
Professor e pesquisador. Tem experiência na área de física da matéria 
condensada, impedância elétrica (teórica e experimental) e dinâmica de íons em 
células eletrolíticas. Possui experiência como docente no Ensino Médio e Ensino 
Superior. Nos cursos de Engenharia Civil, Engenharia de Produção e 
Arquitetura, já foi professor das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, 
Física Geral e Laboratório de Física Geral. 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA APOSTILA 
 
Seja muito bem-vindo(a)! 
 
Prezado (a) aluno (a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, 
isso já é o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de 
agora. Neste material, foram abordados diversos assuntos com muitos exemplos 
e comentários para facilitar os estudos do material de Matemática Elementar. 
 Proponho, junto a você, construir nosso conhecimento sobre diversos 
tópicos os quais serão essenciais para sua formação acadêmica. A proposta da 
ementa é trazer segurança em diversos ramos da Matemática Teórica para 
aqueles que optarem pela carreira acadêmica, assim como para aqueles que 
atuaram diretamente no mercado de trabalho. 
 Na Unidade I começaremos a nossa jornada com a proporção direta e 
indireta entre grandezas, divisão em partes diretamente e inversamente 
proporcionais. 
Já na Unidade II, vamos tratar especificamente algumas funções, como 
as polinomiais, tanto de primeiro como de segundo grau. Junto com a análise 
algébrica de cada uma delas, vamos analisar essas funções do ponto de vista 
gráfico também. Ademais, iremos aprender a resolver uma equação do tipo 
biquadrada e fatoração de trinômio e o método de completar quadrados. Parte 
dessa unidade será dedicada às inequações também. 
 Depois, na Unidade III, vamos tratar especificamente de um outro 
assunto, o Teorema de Pitágoras em sua forma mais rica. Além de resolver 
vários exemplos do tópico, vamos aprender sua forma generalizada e os ternos 
pitagóricos, bem como o recíproco do Teorema de Pitágoras. 
 Por fim, na última unidade, vamos abordar diversos assuntos, como o 
cálculo de áreas geométricas, diferentes formas de expressarmos 
matematicamente ângulos, regras de potencialização e base dez, finalizando 
com as funções exponenciais. 
Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer 
esta jornada de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos 
assuntos abordados em nosso material. Esperamos contribuir para seu 
crescimento pessoal e profissional. 
 
Muito obrigado e bom estudo! 
 
 
 
UNIDADE I 
PROPORCIONALIDADE E PORCENTAGEM 
Professor Mestre Arthur Ernandes Torres da Silva 
 
 
Plano de Estudo: 
• Grandezas e Proporções; 
• Divisão em partes diretamente proporcionais; 
• Divisão em partes inversamente proporcionais; 
• A matemática da porcentagem. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Aprender interpretar sistemas que variam de forma diretamente proporcional 
ou inversamente proporcional; 
• Estudar divisão em partes proporcionais; 
• Compreender as variedades das regras de três. 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Prezado (a) aluno (a), nesta unidade, o primeiro assunto abordado será 
como identificar grandezas proporcionais e inversamente proporcionais, assunto 
esse que faz parte de qualquer estudo analítico de um sistema real. Na 
sequência, como realizar a divisão de um número em partes diretamente e 
inversamente proporcionais. 
Ademais, vamos estudar as regras de três simples, composta e razões 
percentuais, que são presentes em inúmeras análises, desde as engenharias 
até as ciências biológicas e econômicas. 
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom 
uso na sua formação acadêmica. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 GRANDEZAS E PROPORÇÕES 
ID do vetor stock livre de direitos: 1923502109 
 
Na natureza, tudo aquilo que pode ser medido e estudado é uma grandeza. A 
física divide as grandezas em duas grandes vertentes. A primeira refere-se as 
grandezas escalares, suponha que você esteja comprando uma determinada 
quantidade de carne no açougue. Como exemplo hipotético, você diz “por favor, 
gostaria de 1 Kg de alcatra”. Por outro lado, seria estranho se fosse dito “por favor, 
gostaria de 1 Kg de alcatra na horizontal para direita”. Note que dizendo apenas a 
quantidade da grandeza já foi suficiente para deixar claro o que queria. Essas 
grandezas que são caracterizadas pelo seu módulo, ou se preferir, pelo valor da 
mesma, são batizadas de grandezas escalares. Outro exemplo é a temperatura, 
provavelmente nunca você presenciou a apresentadora da previsão do tempo falando 
“amanhã fará sol com uma temperatura de 35℃ na vertical para cima”, basta dizer 
“amanhã fará sol com uma temperatura de 35℃”. Diversos outros exemplos podem 
ser usados, como por exemplo tempo, potência, energia e entre outros. 
Contudo, quando você está trabalhando em uma estrutura e precisa especificar 
um eixo que sustenta o sistema de forma estável, será necessário um estudo da 
distribuição de forças. Toda vez que trabalhar com essa grandeza, é necessário 
especificar além do seu módulo, sua direção (vertical ou horizontal) e sentido (direita, 
esquerda, sentido positivo, sentido negativo, leste, oeste). Dessa forma, a grandeza 
força é chamada de grandeza vetorial. 
De forma geral, sejam grandezas escalares ou vetoriais, elas podem se 
relacionar entre em, seguindo uma proporção direta ou indireta. 
 
1.1 Proporção entre grandezas 
 
Vamos iniciar nossos estudos de proporções com o seguinte exemplo: Júlio 
está dirigindo seu carro veloz pela rodovia, o qual executa um movimento uniforme 
(movimento este em que a velocidade é constante) durante todo o trajeto. Vamos ver 
uma tabela que mostra a relação entre tempo de viagem e distância percorrida: 
 
Tabela 1 – Proporção entre tempo e distância 
TEMPO (𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔) DISTÂNCIA (𝑸𝒖𝒊𝒍ô𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔) 
½ h 50 km 
1h 100 km 
2h 200 km 
3h 300 km 
Fonte: O Autor (2021). 
 
Observe que quando a cada uma hora, a distância percorrida é de 100 km. A 
conta óbvia que você deve ter feito foi, por exemplo, entre os tempos de 1h e 2h: 
1ℎ
2ℎ
↔
100𝑘𝑚
200 𝑘𝑚
 
Simplificando as unidades no denominado e numerador de cada fração: 
1
2
↔
1
2
 
Portanto, a proporção é a mesma, ou seja, ao duplicar o tempo também é 
duplicado o espaço percorrido. Nesse caso, em que as razões variam de acordo com 
as grandezas é dito que são diretamente proporcionais. 
Entretanto, vamos ver outro exemplo: suponha que o destino de Júlio seja o 
mesmo que de seus dois outros amigos, Pedro e Fabio, cada um em seu carro. Vamos 
ver em uma tabela o tempo que cada um leva para se deslocar ao longo da rodovia. 
 
Tabela 2 – Proporção entre velocidade e tempo 
Condutor Velocidade (Km/h) Tempo (𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔) 
Júlio 50 𝐾𝑚/ℎ 6h 
Pedro 100 𝐾𝑚/ℎ 3h 
Fábio 150 𝐾𝑚/ℎ ½ h 
Fonte: O Autor (2021). 
 
Veja que Júlio gasta seis horas para chegar ao destino, uma vez que sua 
velocidade é de 50 𝑘𝑚/ℎ. Já Pedro a 100 𝑘𝑚/ℎ leva metade do horário. Por 
consequência, Fábio, que está a uma velocidade maior de 150 𝑘𝑚/ℎ executa o 
mesmo trajeto com meia hora. Vamos ver a relação de dois deles: 
50 𝐾𝑚/ℎ 
100 𝐾𝑚/ℎ
↔
6ℎ
3ℎ
 
Simplificando as unidades no denominado e numerador de cada fração: 
1
2
↔
2
1
 
Nesse caso, quando duas grandezas variam umana razão inversa da outra, é 
denominado inversamente proporcionais. 
Vamos fazer alguns exemplos para compreendermos relações de proporção. 
Quando a proporção for direta, vamos fazer uma regra de três simples. Já se forem 
inversamente proporcionais, utilizaremos a regra de três inversa. Para a resolução 
vamos adotar um processo padrão: 
1) Construir uma tabela com dados especificando cada coluna e a variável que 
queremos encontrar; 
2) Identificar se é uma correlação diretamente ou inversamente proporcional 
entre as grandezas; 
3) Escrever a proporção e resolver a equação. 
 
Ex. 01 
 
Anderson comprou 2 camisas para um final de semana na praia e pagou 
R$100,00. Quanto ele gastaria se comprasse 7 camisas da mesma marca e valor? 
 
Resolução: 
Camisas Preço (R$) 
2 100 
7 𝑥 
Reescrevendo em termos de uma razão: 
2
7
=
100
𝑥
 
Multiplicando cruzado: 
2𝑥 = 700 
Logo: 
𝑥 =
700
2
→ ∴ 𝑥 = 350 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Ex. 02 
 
No parque de exposições de Paranavaí, um dos brinquedos do parque é o 
carrossel. Supondo que o brinquedo execute 40 voltas em 10 minutos. Quantas voltas 
ele irá fazer em 18 minutos? 
Resolução: 
Voltas Tempo 
40 10 
𝒙 18 
Reescrevendo em termos de uma razão: 
40
𝑥
=
10
18
 
Multiplicando cruzado: 
40.18 = 10𝑥 
720 = 10𝑥 
Logo: 
𝑥 =
720
10
→ ∴ 𝑥 = 72 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 
 
Ex. 03 
 
Durante uma vistoria de segurança em uma cozinha de restaurante, Cleiton 
verifica que uma torneira está pingando. O proprietário afirma que em 25 minutos, foi 
desperdiçado 3 litros de água. Qual a quantidade de água desperdiçada em uma 
hora? 
Resolução: 
Tempo Quantidade de água 
25 min 3 Litros 
60 min 𝑥 
Reescrevendo em termos de uma razão: 
25
60
=
3
𝑥
 
Multiplicando cruzado: 
25𝑥 = 60.3 
25𝑥 = 180 
Logo: 
𝑥 =
180
25
→ ∴ 𝑥 = 7,2 𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
Ex. 04 
Fátima é uma costureira muito requisitada, em uma de suas encomendas teve 
que usar 4 metros de um determinado tecido que custa 82,00 R$. Qual o preço de 
11,5 metros? 
Resolução: 
Tamanho Valor 
𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 82,00 R$. 
𝟏𝟏, 𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝑥 
Reescrevendo em termos de uma razão: 
4
11,5
=
82
𝑥
 
Multiplicando cruzado: 
4𝑥 = 82.11,5 
4𝑥 = 943 
Logo: 
𝑥 =
943
4
→ ∴ 𝑥 = 235,75 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Desse modo, vimos até aqui algumas relações de grandezas diretamente 
proporcionais. Contudo, como fica o caso de relações inversamente proporcionais? 
Para resolver esse problema é de forma muito parecida, mas quando reescrevemos 
a equação, devemos alterar a ordem de uma das frações, veja os exemplos: 
Ex. 05 
Um automóvel está em movimento à uma velocidade média de 60𝐾𝑚/ℎ e 
realiza um determinado percurso em 2 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo 
percurso, se a velocidade utilizada fosse de 90𝑘𝑚/ℎ? 
 
Resolução: 
Velocidade Tempo 
𝟔𝟎 𝑲𝒎/𝒉 2h 
𝟏𝟎𝟎 𝑲𝒎/𝒉 𝑥 
Reescrevendo em termos de uma razão: 
60
100
=
𝑥
2
 
Multiplicando cruzado: 
2.60 = 100𝑥 
120 = 100𝑥 
Logo: 
𝑥 =
120
100
→ ∴ 𝑥 = 1,2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Ex. 06 
Para encher um reservatório de água, uma torneira demora 4 horas. Porém, e 
se fossem utilizadas 5 torneiras, quanto tempo levaria para preencher o reservatório 
no mesmo nível de antes? 
Resolução: 
Nº de torneiras Tempo 
𝟏 4 
𝟓 𝑥 
Reescrevendo em termos de uma razão: 
1
5
=
𝑥
4
 
Multiplicando cruzado: 
1.4 = 5𝑥 
4 = 5𝑥 
Logo: 
𝑥 =
4
5
→ ∴ 𝑥 = 0,8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Para finalizar nossa análise das relações de proporção, vamos estudar uma 
situação em que existam três grandezas ou mais e relacioná-las entre sim. Para isso, 
vamos fazer uso da regra de três composta. Veja alguns exemplos: 
 
Ex. 07 
Um armazém para o estoque de soja é construído em 10 dias com 15 operários, 
os quais trabalham 4 horas por dia. O mestre de obras decide na próxima obra 
contratar 20 operários e que eles trabalhem 8 horas por dia. Logo, em quantos dias a 
obra ficaria concluída? Assumindo que o armazém seja o mesmo. 
Resolução: 
Nº de operários Dias Horas por dia 
15 10 6 
20 𝑥 4 
 
Para resolver esse problema, vamos considerar a grandeza incógnita como 
referência e as demais constante. Veja que aumentando o número de funcionários, 
então a quantidade de dias deve diminuir, logo o número de operários e dias são 
inversamente proporcionais. Por outro lado, diminuído as horas por dia e pensando 
em número de dias, é intuitivo concluir que menor a quantidade de horas por dia, logo 
mais dias necessários. Assim, horas por dia e dias também são inversamente 
proporcionais. 
Matematicamente para resolver o problema, deixamos a coluna da incógnita 
isolada e escrevemos a proporção das demais como produto de frações. 
10
𝑥
=
20
15
 ×
4
6
 
Observe que as frações da esquerda, foram invertidas, por serem inversamente 
proporcionais. Fazendo as multiplicações: 
10
𝑥
=
80
90
 
80𝑥 = 90.100 → 𝑥 =
900
80
 
∴ 𝑥 = 11,25 𝑑𝑖𝑎𝑠. 
 
Ex. 08 
 
João Carlos trabalha em sua fazenda colhendo laranjas. Sozinho ele colhe 
1000 laranjas em 6 horas. Devido a grande quantidade de trabalho, ele pretende 
aumentar a produção e contrata mais 2 funcionários que iriam trabalhar com ele por 8 
horas. Quanto de laranja o grupo vai colher? 
Resolução: 
Nº de pessoas Nº de laranjas Horas por dia 
1 1000 6 
3 𝑥 8 
Note que aumentando as pessoas, tende a aumentar a colheita de laranjas e, 
aumentando o tempo de trabalho, também aumenta o número de frutos colhidos. 
Logo, todas são grandezas proporcionais e podemos organizar a relação da 
matemática da seguinte forma: 
1000
𝑥
=
1
3
×
6
8
 
Note que sempre isolamos de um lado a fração da incógnita. 
1000
𝑥
=
6
24
 
6𝑥 = 24000 
∴ 𝑥 = 4000 𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑠. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
ID da ilustração stock livre de direitos: 2025616424 
 
Imagine um cenário em que você tenha que dividir uma grandeza em 4 partes 
por exemplo, mas essa divisão, não é igual, para cada parte existe uma proporção. 
No primeiro caso vamos ver quando é feito uma divisão diretamente proporcional. 
Para compreender a ideia, veja os exemplos a seguir: 
 
Ex. 01 
 
Divida o número 320 em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 7. 
Resolução: 
Como o número deve ser dividido em três partes, vamos chamar as partes de 
A, B e C. Assim: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 320 
Além disso, o resultado final deve ser dividido em 19 partes. Uma vez que a 
parte A é dividida em 4, a parte B dividia em 5 e a parte C dividida em 7. Então: 
4𝐾 + 5𝐾 + 7𝐾 = 320 
16𝐾 = 320 
∴ 𝐾 =
320
16
= 20 
Agora, vamos ver o quanto cada parte é proporcional a essa constante de 
proporcionalidade 𝐾. 
𝐴 = 4𝐾 → 𝐴 = 4.20 → 𝐴 = 80 
𝐵 = 5𝐾 → 𝐵 = 5.20 → 𝐵 = 100 
𝐶 = 7𝐾 → 𝐶 = 7.20 → 𝐶 = 140 
 
Ex. 02 
 
Divida o valor 285 em 3 partes iguais diretamente proporcionais a 2, 4 e 5. 
Resolução: 
Como o número deve ser dividido em três partes, vamos chamar as partes de 
X, Y e Z. Assim: 
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 275 
Vamos determinar a constante de proporcionalidade: 
2𝐾 + 4𝐾 + 5𝐾 = 275 
11𝐾 = 275 
∴ 𝐾 =
275
11
= 25 
Agora, vamos ver o quanto cada parte é proporcional a essa constante de 
proporcionalidade 𝐾. 
𝑋 = 2𝐾 → 𝑋 = 2.25 → 𝑋 = 50 
𝑌 = 4𝐾 → 𝑌 = 4.25 → 𝑌 = 100 
𝑍 = 5𝐾 → 𝑍 = 5.25 → 𝑍 = 125 
 
Ex. 03 
 
Divida o valor 390 em 2 partes iguais diretamente proporcionais a 5 e 8. 
Resolução: 
Como o número deve ser dividido em três partes, vamos chamar as partes de 
A e B. Assim: 
𝐴 + 𝐵 = 390 
Vamos determinar a constante de proporcionalidade: 
5𝐾 + 8𝐾 = 390 
13𝐾 = 390 
∴ 𝐾 =
390
13
= 30 
Agora, vamos ver o quanto cada parte é proporcional a essa constante de 
proporcionalidade 𝐾. 
𝐴 = 5𝐾 → 𝐴 = 5.30 → 𝐴 = 150 
𝐵 = 8𝐾 → 𝐵 = 8.30 → 𝐵 = 240 
 
 
3 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
ID do vetor stock livre de direitos: 1996794860 
 
Até aqui estudamos uma divisão diretamente proporcional. Entretanto, 
sabemos quetambém pode existir uma divisão inversamente proporcional. Por 
exemplo: João tem três colegas e um pacote de balas, a idade de seus colegas é 
respectivamente igual a 8, 9 e 10. Então, ele vai dividir a quantidade de doces de tal 
maneira que fique mais para o amigo mais jovem, depois para o de nove e a menor 
parte para o colega de 10 anos. Veja alguns exemplos: 
 
Ex. 04 
 
Divida o número 62 em 3 partes iguais inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. 
Resolução: 
A soma das três partes deve ser inversamente proporcional a 2, 3 e 5. Então: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1
5
+
1
3 +
1
2
= 𝐾 
Lembrando que: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 62. 
62
1
5
+
1
3 +
1
2
= 𝐾 → 
62
31
30
= 𝐾 
Atente-se: quando temos uma fração que é dividida por outra, conversamos o 
número do numerador e invertemos o denominado: 
62
31
30
= 62
30
31
= 2.30 = 𝐾 
∴ 𝐾 = 60 
Logo, cada parte é dado por: 
𝐴
1
5
= 𝐾 → 𝐴. 5 = 𝐾 → 𝐴. 5 = 60 → 𝐴 = 12 
𝐵
1
3
= 𝐾 → 𝐵. 3 = 𝐾 → 𝐵. 3 = 60 → 𝐵 = 20 
𝐶
1
2
= 𝐾 → 𝐶. 5 = 𝐾 → 𝐶. 2 = 60 → 𝐶 = 30 
Ex. 05 
 
Divida o número 248 em 3 partes iguais inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. 
Resolução: 
A soma das três partes deve ser inversamente proporcional a 2, 3 e 5. Então: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1
5
+
1
3 +
1
2
= 𝐾 
Lembrando que: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 248. 
248
1
5
+
1
3 +
1
2
= 𝐾 → 
248
31
30
= 𝐾 
Atente-se: quando temos uma fração que é dividida por outra, conversamos o 
número do numerador e invertemos o denominado: 
248
31
30
= 248
30
31
= 8.30 = 𝐾 
∴ 𝐾 = 240 
Logo, cada parte é dado por: 
𝐴
1
5
= 𝐾 → 𝐴. 5 = 𝐾 → 𝐴. 5 = 240 → 𝐴 = 48 
𝐵
1
3
= 𝐾 → 𝐵. 3 = 𝐾 → 𝐵. 3 = 240 → 𝐵 = 80 
𝐶
1
2
= 𝐾 → 𝐶. 5 = 𝐾 → 𝐶. 2 = 240 → 𝐶 = 120 
 
 
 
 
4 A MATEMÁTICA DA PORCENTAGEM 
ID do vetor stock livre de direitos: 1947213241 
 
Nesse tópico, vamos aprender diferentes cálculos que envolvam porcentagem. 
Para iniciar nossos estudos, suponha que um produto importado que custe 1000,00 
R$ tenha um imposto de 12%, o que isso significa? 
Em termos matemáticos, a cada mil reais em compra desse produto, 120 reais 
é apenas do valor do imposto. Contudo, como chegamos nesse resultado? Usando 
uma regra de três básica, veja o cálculo: 
 
Multiplicando cruzado: 
1000.12% = 𝑥. 100% 
𝑥 =
1000.12
100
= 10.12 = 120 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
É uma regra de três simples. Vamos fazer mais alguns exemplos: 
 
Ex. 01 
 
Uma loja de revestimento faz um orçamento de materiais de construção. A 
compra do cliente resulta em 500 reais. Mas, por ser um cliente VIP, o atendente faz 
um desconto de 20%. Qual o valor final então? 
Resolução: 
 
Multiplicando cruzado, temos: 
500.20% = 𝑥. 100% 
𝑥 =
500.20%
100
= 5.20 = 100 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Logo, se foi esse o valor de desconto, a compra saiu um valor de 400,00 R$. 
 
Ex. 02 
 
Em um reservatório grande de água tem a capacidade máxima de 40 mil litros. 
Contudo, para o seu uso, o proprietário decide apenas preencher com 18,5 mil litros. 
Qual o valor em porcentagem da capacidade total do reservatório que foi preenchida? 
Resolução: 
 
Multiplicando cruzado: 
40000. 𝑥 = 18500.100% 
𝑥 =
18500.100%
40000
=
185
4
= 46,25% 
O próximo passo agora será interpretar uma divisão como um valor percentual. 
 
4.1 Razão centesimal 
 
Toda fração com denominador igual a 100 pode ser lida na forma de 
porcentagem, observe: 
60
100
→ 0,6 ⇔ 60% 
4
100
→ 0,04 ⇔ 4% 
1
100
→ 0,01 ⇔ 1% 
131
100
→ 13,1 ⇔ 131% 
Contudo, quando o denominador não for igual a zero, o que deve ser feito? 
Muito simples, basta transformar em uma razão percentual. Veja alguns exemplos: 
 
Ex. 03 
 
Em uma sala de aula há 20 alunos e, dos quais, 12 são meninas. Qual a 
porcentagem de meninos? 
Resolução: 
Vamos calcular a porcentagem de meninas na sala: 
12
20
=
𝑥 
100%
 
O valor de 20 é 100% enquanto o de meninas é x. Multiplicando cruzado: 
12.100% = 20. 𝑥 
𝑥 =
12.100%
20
= 60% 
Logo, se a quantidade de meninas é 60%, a de meninos é de 40%. 
Outra forma de resolver o problema sem a regra de três é quando o 
denominador for um múltiplo de 100. Note que multiplicando 20 por 5 resulta em 100. 
Ao multiplicar então o denominador por um número, devemos multiplicar o numerador 
pelo mesmo número. Portanto, multiplicando 12 por 5, teremos 60, que é a resposta. 
12
20
(
5
5
) =
60
100
= 0,6 = 60% 
Portanto, a porcentagem de meninos é de 40%. 
 
Ex. 04 
 
Em uma prova a pontuação máxima era de 80 pontos. João tirou 35, quanto do 
valor total isso corresponde? 
Resolução: 
35
80
=
𝑥
100%
 
Nesse caso não há um número inteiro para multiplicar 80 e resultar em 100. 
Logo, basta encontrar um valor x qualquer dividido por 100. 
35.100% = 80. 𝑥 
𝑥 =
35.100%
80
= 43,75% 
 
Ex. 05 
 
Uma ação de uma empresa está cotada em 22 mil reais. Letícia investiu 
comprando 750 reais em ações. Quantos % da ação ela adquiriu? 
Resolução: 
22000,00
750,00
=
100%
𝑥
 
Multiplicando cruzado: 
22000. 𝑥 = 750.100% 
𝑥 =
750.100%
22000
=
75
22
= 3,409% 
 
4.2 Cálculo da % de um número 
 
Quando o objetivo é pegar uma porcentagem de um número total, como deve 
ser feito? Esse é um processo que difere dos demais. Veja nos exemplos: 
 
Ex. 06 
 
Qual o valor de 65% de um valor de 1500? 
Resolução: 
65% →
65
100
 × 1500 = 65.15 = 975,00 
Qual foi o princípio usado aqui? Primeiro convertemos a porcentagem em 
notação centesimal. Depois multiplicamos pelo valor total. Nesse caso 0,6 
multiplicando por 1500 resulta em 975. 
 
Ex. 07 
 
Em uma auto mecânica, um funcionário calcula que 12% das peças compradas 
estão quebradas de um total de 850. Qual a quantidade de peças danificadas? 
Resolução: 
12% →
12
100
 × 850 = 1,2.85 = 102 
 
Ex. 08 
 
Quando vale 76% de 911? 
Resolução: 
76% →
76
100
 × 911 = 0,76.911 = 692,36 
Note que quando é dito uma porcentagem “de” um valor, o prefixo “de” é o 
mesmo que uma multiplicação. Para resolver, é só calcular o valor da porcentagem 
em centesimal e multiplicar pelo valor total. 
 
 
SAIBA MAIS 
 
O homem Vitruviano é uma obra famosa estudada e analisada por 
Leonardo da Vinci, que foi um cientista, pintor, escultor, anatomista, poeta 
e um estudioso de muitas outras áreas das ciências. 
Segundo da Vinci, existe uma proporção no corpo humano. A 
cabeça é calculada como sendo 1/8 da altura total, a longitude dos braços 
estendidos de um homem é igual a altura dele, a altura da orelha é um terço 
da longitude da face, o comprimento da mão é um décimo da altura de um 
homem, e etc. 
 
Fonte: SANTOS, 2007. 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
Nas ciências exatas, como por exemplo da física, para que duas 
grandezas proporcionais possam virar uma relação de igualdade, é 
necessária uma constante de proporcionalidade. Existem diversos 
exemplos, como por exemplo a resistência de um fio. 
A resistência de um fio condutor é proporcional ao comprimento do 
fio (ℓ) e inversamente proporcional a área da seção transversal (𝐴) 
(espessura). 
𝑅 ∝
ℓ
𝐴
 
Para que essa proporção se torne uma igualdade, existe uma 
constante denominada resistividade elétrica (𝜌). Ficando da forma: 
𝑅 = 𝜌
ℓ
𝐴
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
#REFLITA# 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Pronto! Você chegou ao final da Unidade I de nosso material. Passou por 
uma sequência didática que te proporcionou uma base sólida em conteúdo de 
Matemática Básica. 
Portanto, prezado aluno(a), nesta unidade, foi possível estudar e abordar 
uma série de tópicos da matemática envolvendo proporção entre grandezas, as 
quais variam de forma direta ou inversa entre si. Na sequência, analisamos a 
divisão de números em divisões proporcionais e encerramos a unidade 
revisando os conceitos primordiais de porcentagem. 
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de 
estudo. Até a próxima! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO 
 
• Título: Matemática Básica Para CursosSuperiores 
• Autor: Sebastião Medeiros da Silva 
• Editora: Atlas 
• Sinopse: Esta obra tem como principal objetivo oferecer uma revisão dos 
conhecimentos de Matemática para os alunos ingressantes no Ensino Superior, 
apresentando as ferramentas necessárias para o desenvolvimento de seu 
raciocínio lógico. Ele apresenta exercícios e incentivos para o uso de recursos 
eletrônicos, como calculadoras programáveis e tabelas em Excel. Livro-texto 
para a disciplina Matemática do ciclo básico de cursos nas áreas de Ciências 
Humanas e Ciências Sociais Aplicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FILME/ VÍDEO 
 
• Título: O Homem Vitruviano 
• Ano: 2019 
• Sinopse: Neste vídeo, é apresentado a história da obre do Homem 
Vitruviano e como que Leonardo da Vinci buscou as proporções e medidas de 
diversas regiões e membros do corpo humano. 
• Link: https://www.youtube.com/watch?v=4zuPkBgTuwA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BETHLEM, A. Curso de Matemática. 5ª série. Porto Alegre: Livraria 
Globo, 1935. 
 
BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna, 2010. 
 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. 
São Paulo: FTD, 2010. 
 
SANTOS, M. M. A matemática da Arquitetura Ideal. UFES, Espirito 
Santo, 2007. 
 
STEWART, James, Cálculo: Volume 2. São Paulo Cengage Learning, 
2016. 
 
 
 
UNIDADE II 
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU 
Professor Mestre Arthur Ernandes Torres da Silva 
 
 
Plano de Estudo: 
• Equação de Primeiro Grau; 
• Equação de segundo grau; 
• Funções; 
• Inequações. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Compreender como resolver equações de primeiro e segundo grau, bem como 
analisar seus gráficos; 
• Estudar funções, seus domínios e imagens; 
• Entender a matemática das inequações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Prezado (a) aluno (a), nesta unidade começaremos estudando as 
equações de primeiro grau. Na sequência, vamos estudar as equações de 
segundo grau. 
Além disso, no terceiro capítulo vamos entender o que são funções de 
uma variável, de primeiro e segundo grau, junto com a representação gráfica de 
cada um dos casos. Por fim, mas não menos importante, as inequações no 
capítulo quatro. 
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom 
uso na sua formação acadêmica. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU 
ID da foto stock livre de direitos: 1926188612 
 
Quando um sistema pode ser descrito por uma igualdade em que temos 
números e uma variável a se determinar, temos uma equação. O objeto desconhecido 
na literatura pode ser chamado de incógnita, parâmetro ou variável. Em termos 
básicos, o problema de uma equação simples de primeiro grau é encontrar o valor da 
variável que satisfaça a equação. Veja um exemplo: 
12𝑥 − 36 = 12 
Para encontrar o valor da variável x que satisfaça essa equação, devemos 
isolá-lo na expressão. Portanto, primeiro passamos para a direita −36, que se torna 
positivo: 
12𝑥 = 12 + 36 
12𝑥 = 48 
Agora, para finalizar, o número 12 está multiplicando a incógnita. Logo, 
passamos o 12 dividindo para o lado direito da igualdade. Assim encontramos o valor 
da variável. 
𝑥 =
48
12
 
∴ 4 
Contudo, uma equação deve ser classificada quanto a ordem da sua variável: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
Note que a variável x está elevado ao expoente 1 (por isso não está 
especificado). Já os termos a e b são constantes que pertencem ao conjunto dos 
números reais (o conjunto que engloba praticamente todos os números, como 
negativos, zero, positivos, frações, raízes e dízimas). 
Caso a variável x estivesse elevado ao expoente dois, a equação seria de 
segundo grau. Se estivesse elevado ao expoente 7, seria de sétimo grau, e assim por 
diante. Nesse capítulo, vamos dar ênfase a equação de primeiro grau. Vamos à alguns 
exemplos. 
 
Ex. 01 
 
Resolva a equação 
3𝑥 + 3 = 12 
Resolução: 
Começamos fazendo algumas operações algébricas. Primeiro, o que está 
somando (ou subtraindo) vai para o outro lado da igualdade. Como se tivéssemos que 
deixar variáveis de um lado da igualdade e números do outro. 
3𝑥 = 12 − 3 
3𝑥 = 9 
Passando o termo que está multiplicando a incógnita: 
3𝑥 = 9 → 𝑥 =
9
3
 
∴ 𝑥 = 3 
 
Ex. 02 
 
Resolva a equação 
9𝑦 − 2𝑦 = 12 + 4𝑦 
Resolução: 
Separando a variável de um lado da igualdade: 
9𝑦 − 2𝑦 − 4𝑦 = 12 
3𝑦 = 12 
Portanto: 
𝑦 = 4 
 
Ex. 03 
 
Resolva a equação 
3
2
𝑧 = 5 − 3𝑧 
Resolução: 
Separando a variável de um lado da igualdade: 
3
2
𝑧 = 5 − 3𝑧 
3
2
𝑧 + 3𝑧 = 5 
Nesse caso, para somar uma fração om um número (ou uma fração com outra 
fração), é necessário que o denominador seja o mesmo. Existem algumas maneiras 
de resolver essa soma, a mais conhecida é o MMC (mínimo múltiplo comum). 
Contudo, nesse caso, vou apresentar uma forma diferente. 
Multiplicando o segundo termo por 
2
2
 é o mesmo que multiplicar por 1. Uma vez 
que 
2
2
= 1 e a unidade vezes um termo é ele mesmo. Assim, não estamos alterando 
em nada o segundo termo, mas conseguimos deixá-lo com o mesmo denominador 
que o primeiro: 
3
2
𝑧 + 3𝑧 .
2
2
= 5 
3
2
𝑧 +
6
2
𝑧 = 5 
3
2
𝑧 +
6
2
𝑧 = 5 
9
2
𝑧 = 5 
Isolando a variável, ou seja, passando o 2 multiplicando e o 9 subtraindo: 
9𝑧 = 5.2 
9𝑧 = 10 
𝑧 =
10
9
≈ 1,11 
 
Ex. 04 
 
Resolva a equação 
8
3
𝑥 −
5
2
= 10 + 2𝑥 
Resolução: 
Devemos começar isolando variáveis e números na equação: 
8
3
𝑥 − 2𝑥 = 10 +
5
2
 
Nesse momento caro leitor(a), fique à vontade para fazer a soma de frações 
como achar mais fácil e prático. 
8
3
𝑥 − 2.
3
3
𝑥 = 10.
2
2
+
5
2
 
8
3
𝑥 −
6
3
𝑥 =
20
2
+
5
2
 
14𝑥
3
=
25
2
 
14𝑥 =
3.25
2
 
14𝑥 =
75
2
 
𝑥 =
75
14.2
 
𝑥 =
75
28
≈ 2,68 
 
Ex. 05 
 
Encontre o valor da variável que satisfaça a equação 
5𝜑 −
4
3
= 9𝜑 − 9 
Resolução: 
Isolando os termos: 
5𝜑 − 9𝜑 = −9 +
4
3
 
−4𝜑 = −9 +
4
3
 
−4𝜑 = −9.
3
3
+
4
3
 
−4𝜑 = −
27
3
+
4
3
 
−4𝜑 = −
23
3
 
Veja que ambos os lados da igualdade temos o sinal negativo. Assim, podemos 
simplificar. Ficando apenas: 
4𝜑 =
23
3
 
Passando o número 4 que está multiplicando na esquerda da igualdade, para 
a direita dividindo junto ao 3: 
𝜑 =
23
4.3
=
23
12
 
∴ 𝜑 ≈ 1,91 
2 EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
ID da foto stock livre de direitos: 1244946805 
 
Toda a equação que tem o formato 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números 
reais é dita equação do segundo grau e o motivo para essa nomeação é devido ao fato da 
variável da função apresentar o maior expoente igual a 2. 
 A solução de uma equação do 2º é obtida através de um método desenvolvido 
por Bhaskara, matematicamente escrito como: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2. 𝑎
 
Cujo 
 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
 
Analisando o valor de delta podemos tirar três conclusões: 
➢ Δ > 0 → têm-se duas raízes reais e diferentes. 
➢ Δ = 0 → têm-se duas raízes reais e iguais. 
➢ Δ < 0 →têm-se duas raízes imaginárias. 
 
Além disso, veja com muita atenção que quando o coeficiente que multiplica o 
termo quadrático for igual a zero, ou seja 𝑎 = 0, então não será uma equação de 
segundo grau, mas sim de primeiro. Pois o que restará será apenas 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, que 
é a expressão genérica de uma equação de segundo grau. Vamos resolver alguns 
exemplos para que você compreenda o método de Bhaskara. 
 
Ex. 01 
 
Resolva a equação 
4𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 
Resolução: 
Primeiro, identifique o termo a, b e c: 
4𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Portanto: 
4⏟
𝑎
𝑥2−5⏟
𝑏
𝑥 −6⏟
𝑐
= 0 
Veja que o sinal negativo deve ser levado em conta também. Vamos calcular o valor 
de delta agora: 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (−5)2 − 4.4. (−6) 
Δ = 25 + 96 
∴ Δ = 121 
Atente-se aos sinais no cálculo do valor de delta. Outro ponto importante é que o 
ideal é que o resultado de delta seja um valor que tenharaiz quadrática exata. Nesse caso, 
a raiz quadrada de 121 é 11, o que é um bom sinal que sua resolução está caminhando 
para o resultado certo. 
Vamos calcular as raízes da equação. Da expressão genérica temos: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √Δ
2. 𝑎
 
O sinal positivo para a raiz quadrada de delta é para uma das raízes, por outro lado, 
o sinal negativo diz respeito a segunda raiz. Vamos calculá-las separadamente: 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √Δ
2. 𝑎
 
𝑥1 =
−(−5) + √121
2.4
 
𝑥1 =
5 + 11
8
=
16
8
= 2 
Já a segunda raiz: 
𝑥2 =
−𝑏 − √Δ
2. 𝑎
 
𝑥2 =
−(−5) − √121
2.4
 
𝑥2 =
5 − 11
8
=
−6
8
= −
3
4
 
Portanto, as raízes da equação são 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = −
3
4
. 
 
Ex. 02 
 
Resolva a equação 
𝑥2 − 12𝑥 + 36 = 0 
Resolução: 
Primeiro, identifique o termo a, b e c: 
{
𝑎 = 1
𝑏 = −12
𝑐 = 36
 
Observe que quando não tem “nada” multiplicando uma variável, não importa o seu 
expoente, é o mesmo que o número 1 multiplicando o termo. Portanto, 𝑥2 = 1. 𝑥2 → 𝑎 = 1. 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (−12)2 − 4.1. (36) 
Δ = 144 − 144 
∴ Δ = 0 
Esse caso é muito importante! Quando delta for nulo, as raízes são idênticas, pois o 
que faz 𝑥1 ser diferente de 𝑥2 é ±√Δ na equação genérica da raiz. Dessa forma: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √0
2. 𝑎
 
Como √0 = 0, resta apenas 
𝑥1 = 𝑥2 =
−𝑏
2. 𝑎
=
−(−12)
2.1
=
12
2
 
∴ 𝑥1 = 𝑥2 = 6 
Ex. 03 
 
Resolva a equação 
𝑥2 − 9𝑥 = 0 
Resolução: 
Nesse caso não precisamos fazer o processo de Bhaskara. Basta isolar a variável: 
𝑥2 = 9𝑥 
Podemos simplificar 𝑥 em ambos os lados, deixando da forma: 
𝑥 = 9 
Essa portanto é a solução da equação. 
Ex. 04 
Encontre as raízes da equação: 
𝑥2 + √2𝑥 −
7
2
= 0 
Resolução: 
Comparando a expressão de segundo grau com a equação genérica, temos os 
coeficientes dados por: 
{
𝑎 = 1
𝑏 = √2
𝑐 = −
7
2
 
Assim: 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (√2)
2
− 4.1. (−
7
2
) 
Δ = 2 + 14 
∴ Δ = 16 
Observe que elevar uma raiz quadrada ao quadrado é o mesmo que simplificar a 
raiz, restando apenas o número. 
𝑥1 =
−𝑏 + √Δ
2. 𝑎
 
𝑥1 =
−(√2) + √16
2.1
 
𝑥1 =
−√2 + 4
2
≈ 1,3 
Já a segunda raiz: 
𝑥2 =
−𝑏 + √Δ
2. 𝑎
 
𝑥2 =
−(√2) − √16
2.1
 
𝑥2 =
−√2 − 4
2
≈ −2,7 
Portanto, as raízes da equação são 𝑥1 = 1,3 e 𝑥2 = −2,7. 
 
Ex. 05 
 
Calcule as raízes da equação 
(2𝑥 − 3)2 = (4𝑥 − 3)2 
Resolução: 
Primeiro, para deixar essa equação com a forma de uma equação de segundo grau, 
fazemos uma expansão dos termos: 
Soma pela diferença: (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2. No nosso caso 
4𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 16𝑥2 − 24𝑥 + 9 
Passando todos os termos da esquerda para a direita: 
0 = 16𝑥2 − 26𝑥 + 9 − 4𝑥2 + 12𝑥 − 9 
0 = 12𝑥2 − 12𝑥 
Agora retornando o −24𝑥 para a esquerda: 
12𝑥 = 12𝑥2 
Como temos 𝑥 em ambos os lados da equação: 
12 = 12𝑥 
Isolando a incógnita, ou seja, passando o 12 dividindo: 
𝑥 =
12
12
= 1 
Para verificar se o resultado está certo, basta substituir na expressão original e 
verificar se a igualdade é satisfeita: 
(2.1 − 3)2 = (4.1 − 3)2 
(2 − 3)2 = (4 − 3)2 
(−1)2 = (1)2 
Lembrando que qualquer número ou incógnita elevado à um expoente par fica 
positivo. Assim, temos: 
1 = 1 
O que comprova a validade do nosso resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 FUNÇÕES 
ID da foto stock livre de direitos: 730524436 
 
Em várias áreas das ciências, como matemática, física, engenharias, química, 
biologia, economia e outras, as funções estão presentes. O objetivo de uma função é 
caracterizar um termo que pode ser escrito em função de outro. Por exemplo: 
A área de um quadrado é dada por lado vezes lado. Isso escrito como função é: 
𝐴(𝑙) = 𝑙2 
O que isso significa? A função é a área 𝐴, os parênteses na frente incluem a variável 
da função, que neste caso é o lado do quadrado 𝑙. Dessa forma a função é como uma 
máquina que quando embutimos nela uma moeda e giramos a alavanca, ela nos fornece 
um resultado. Para cada valor de 𝑙, teremos um resultado diferente para a área, veja: 
𝐴(𝑙) = 𝑙2 
𝐴(1) = (1)2 = 1 
𝐴(4) = (4)2 = 16 
𝐴(−3) = (−3)2 = 9 
Veja no último caso que podemos ter um resultado positivo mesmo que o valor 
assumido pela variável é negativo. Contudo, quando as funções são aplicadas em sistemas 
reais, alguns resultados não têm sentido, nesse caso, não temos um lado negativo de um 
quadrado. 
 
3.1 Domínio e Imagem de uma Função 
 
Quando se trata de funções, existem algumas características fundamentais. O 
primeiro será chamado de domínio. Basicamente, domínio de uma função são todos os 
possíveis valores que podemos atribuir as variáveis da função para que forneça um 
resultado bem definido. Vejas alguns exemplos: 
 
Ex. 01 
 
Encontre o domínio da função 𝑓(𝑥) = 5𝑥 
Resolução: 
Veja que podemos atribuir qualquer valor para 𝑥, seja ele negativo, nulo, positivo, 
uma fração ou mesmo uma dízima. Portanto, dizemos que o 𝑥 pertence ao conjunto dos 
números reais: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ} 
 
Ex. 02 
 
Dada a função abaixo, encontre seu domínio 
𝑓(𝑥) =
4
𝑥
 
Resolução: 
Inicialmente, vamos fazer uma experiência. Nesse exato momento, pegue uma 
calculadora, seja ela científica, comum, do celular ou do computador, e faça a divisão de 5 
por zero. O que acontece? 
Muito provável que alguma resposta como: “não é possível dividir por zero” ou “erro” 
apareceram em seu visor da calculadora. Isso significa que não podemos dividir um número 
por zero. Logo, 𝑥 = 0 não faz parte do domínio da função, pois fazendo: 
𝑓(𝑥) =
4
𝑥
→ 𝑓(0) =
4
0
= 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
Logo, dizemos que: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≠ 0} 
Lendo essa última expressão: O domínio da função é 𝑥 que pertence ao conjunto de 
todos os reais, tal que x deve ser diferente de zero. Ou seja, qualquer calor de 𝑥 está no 
domínio da função, menos quando 𝑥 = 0. 
 
Ex. 03 
 
Encontre o domínio da função 
𝑓(𝑥) = √2𝑥 
Resolução: 
Nesse caso, vamos analisar outro fator, a raiz quadrada. Sabemos que dentro do 
conjunto dos números reais, não existe raiz de números negativos. Logo: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ/2𝑥 > 0} 
Assim, qualquer valor da incógnita que seja nulo ou maior do que zero, está dentro 
do domínio da função. 
Agora que compreendemos o que significa o domínio de uma função, vamos 
entender outro conceito simples, a Imagem de uma função. Basicamente a imagem de uma 
função é o valor assumido pela função quando encolhemos um valor para a incógnita. Veja: 
 
Ex. 04 
 
Determine a imagem da função quando 𝑥 = 6. 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 8 
Resolução: 
𝑓(6) = 3. (6) − 8 
𝑓(6) = 18 − 8 
𝑓(6) = 10 
Logo 𝐼𝑚 = 10. 
 
Ex. 05 
 
Determine a imagem da função quando 𝑧 = −4 
𝑔(𝑧) = 4𝑧 
Resolução: 
𝑔(−4) = 4. (−4) 
𝑔(−4) = −16 
Portanto 𝐼𝑚 = −16. 
 
3.2 Gráfico da função de primeiro grau 
 
Vamos agora interpretar a equação de primeiro grau como uma função, a qual é 
escrita da seguinte forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Essa função, quando plotada, ou seja, quando desenhada no plano cartesiano, é 
uma reta. Portando, em alguns textos você pode encontrar que a função de primeiro grau 
é chamada de função afim. 
 
Figura 1 – Função do primeiro grau 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Observando a forma da equação de primeiro grau, temos uma interpretação para os 
termos 𝑎 e 𝑏. O primeiro é conhecido como coeficiente angular. De forma simples, este 
termo revela a quão inclinada está essa curva. Em outras palavras, quanto maior o 
coeficiente angular 𝑎, mais inclinada está a reta no gráfico em relação ao eixo das abcissas. 
Por outro lado, se esse coeficiente for negativo, a reta terá uma inclinação para baixo e, 
intuitivamente, se esse 𝑎 = 0, então a reta não tem inclinação e se posiciona na horizontal. 
Já o termo 𝑏, conhecido como coeficiente linear, aponta em que ponto a reta 
intercepta o eixo nas coordenadas, ou seja, o eixo y. Logo, se 𝑏 = 0, então a reta passa 
pela a origem. 
Vamos fazer alguns exemplos: 
 
Ex. 06 
 
Dada a função: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 
Determine o seu domínio e ográfico da função. 
Resolução: 
O domínio da função é qualquer valor para 𝑥, pois não há uma restrição, nenhuma 
raiz ou fração. Logo: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ} 
Para elaborar o gráfico, precisamos de apenas dois pontos quaisquer. Vamos fazer 
para 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1. 
{
𝑓(−1) = 3. (−1) + 4 = −3 + 4 = 1
𝑓(1) = 3. (1) + 4 = 3 + 4 = 7
 
 
Figura 2 – Função afim 𝒚(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟒 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Ex. 07 
 
Dada a função: 
𝑓(𝑥) = −5𝑥 + 1 
Determine o seu domínio e o gráfico da função. 
Resolução: 
O domínio da função é qualquer valor para 𝑥, pois não há uma restrição, nenhuma 
raiz ou fração. Logo: 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ} 
Para elaborar o gráfico, precisamos de apenas dois pontos quaisquer. Vamos fazer 
para 𝑥 = −2 e 𝑥 = 2. 
{
𝑓(−2) = −5. (−2) + 1 = 10 + 1 = 11
𝑓(2) = −5. (2) + 1 = −10 + 1 = −9
 
 
Figura 3 – Função afim com coeficiente angular negativo 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
3.3 Gráfico da equação de segundo grau 
Como já estudamos, equação de segundo grau é dada por: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
O gráfico dessa equação é chamado parábola. Contudo, para fazer o desenho de 
uma parábola, precisamos interpretar um termo significativo da função de 2º grau. O 
coeficiente que multiplica 𝑥2 define para onde a concavidade do gráfico está virada. 
{
𝑎 > 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
𝑎 < 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
 
Para exemplificar de forma gráfica uma função de segundo grau, vamos usar alguns 
dos resultados encontrados anteriormente. 
A equação 4𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0, possui duas raízes reais 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = −
3
4
. Portanto, é 
onde a concavidade toca no eixo das abcissas, ou seja, os dois pontos em que a 
concavidade intercepta o eixo x. 
 
Figura 4 – Função do segundo grau com coeficiente quadrático positivo 
 
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: 
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. 
Acesso em: 09 dez. 2021. 
 
Outro exemplo é a equação −𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 que apresenta duas raízes iguais 𝑥1 =
𝑥2 = 6. Graficamente, isso significa que temos um vértice da concavidade, pois é o único 
ponto onde o gráfico toca o eixo. 
 
Figura 5 - Função do segundo grau com coeficiente quadrático negativo 
 
Fonte: PHET. Gráfico de Quadráticas. Disponível em: 
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html. 
Acesso em: 09 dez. 2021. 
 
3.4 Equação biquadrada 
 
Existem problemas em que nos deparamos com equações do tipo: 
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 
Veja que é muito semelhante a equação do segundo grau. Contudo, nesse caso, é 
uma equação polinomial de grau 4. Logo, existem 4 raízes para essa equação. Vamos 
entender um detalhe importante: Observe as equações abaixo: 
i. 𝑥4 + 3𝑥2 − 4 = 0 
ii. 2𝑥4 − 8 = 0 
iii. 𝑥4 + 7𝑥2 = 0 
Veja que na primeira equação, temos a forma completa da equação biquadrada. Já 
na segunda equação o termo b é nulo. Por outro lado, na terceira equação, o termo c é 
igual zero. Contudo, não podemos ter o termo 𝑎 = 0, uma vez que se o coeficiente que 
multiplicar 𝑥4 for nulo, não será uma equação biquadrada. Ademais, note também que não 
há expoentes ímpares na equação biquadrada. 
Para resolver uma equação biquadrada, substituímos as variáveis, ou seja, fazemos 
𝑥2 = 𝑦. Vamos ver um exemplo: 
𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0 
Reescrevendo: 
(𝑥2)2 − 5𝑥2 + 4 = 0 
O primeiro termo é uma propriedade de potenciação. Agora, fazendo a substituição 
de variáveis: 
𝑦2 − 5𝑦 + 4 = 0 
Usando a forma de Bhaskara, temos: 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (−5)2 − 4.1. (4) 
Δ = 25 − 16 
∴ Δ = 9 
Para calcular as raízes 
𝑦1 =
−𝑏 + √Δ
2. 𝑎
 
𝑦1 =
−(−5) + √9
2.1
 
𝑦1 =
5 + 3
2
=
8
2
= 4 
Já a segunda raiz: 
𝑦2 =
−𝑏 − √Δ
2. 𝑎
 
𝑦2 =
−(−5) − √9
2.1
 
𝑦2 =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 
Portanto, as raízes da equação são 𝑥1 = 4 e 𝑥2 = 1. 
Contudo, lembre-se de que 𝑥2 = 𝑦. Assim: 
{
𝑥2 = 1 → 𝑥 = √1 → 𝑥 ± 1
𝑥2 = 4 → 𝑥 = √4 → 𝑥 ± 2
 
Lembre-se de que a raiz quadrada de um número positivo inclui seu valor negativo. 
Assim, encontramos 4 valores que satisfazem a equação biquadrada: 𝑥 = 1, 𝑥 = −1, 𝑥 =
2, 𝑥 = −2. 
Vamos fazer outro exemplo: 
 
Ex. 08 
 
Encontre as raízes da equação biquadrada 
2𝑥4 − 7𝑥2 − 4 = 0 
Resolução: 
Reescrevendo a equação biquadrada 
2(𝑥2)2 − 7𝑥2 − 4 = 0 
Fazendo a troca de variáveis: 
2𝑦2 − 7𝑦2 − 4 = 0 
Resolvendo como uma equação de segundo grau: 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (−7)2 − 4.2. (−4) 
Δ = 49 + 32 
∴ Δ = 81 
Para calcular as raízes: 
𝑦1 =
−𝑏 + √Δ
2. 𝑎
 
𝑦1 =
−(−7) + √81
2.2
 
𝑦1 =
7 + 9
4
=
16
4
= 4 
Já a segunda raiz: 
𝑦2 =
−𝑏 − √Δ
2. 𝑎
 
𝑦2 =
−(−7) − √81
2.2
 
𝑦2 =
7 − 9
4
=
−2
4
= −
1
2
 
Portanto, as raízes da equação são 𝑥1 = 4 e 𝑥2 = −
1
2
. 
Contudo, lembre-se de que 𝑥2 = 𝑦. Assim: 
{
 
 𝑥
2 = 4 → 𝑥 = √4 → 𝑥 ± 2
𝑥2 = −
1
2
→ 𝑥 = √−
1
2
→ 𝑥 ∉ ℝ
 
Como não temos raiz de um número negativo, nos restaram apenas duas raízes: 𝑥 =
2 𝑒 𝑥 = −2. 
 
3.5 Fatoração de trinômio 
 
Existem diversas formas de fatorar um trinômio. Nesse curso, vamos dar ênfase a 
fatoração de um trinômio de segundo grau perfeito. Para entendermos a fatoração de um 
trinômio se 2º grau vamos fazer um exemplo prático. 
 
Ex. 09 
 
Faça a fatoração do trinômio: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 
Resolução: 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (−5)2 − 4.1. (6) 
Δ = 25 − 24 
∴ Δ = 1 
Calculando as raízes: 
𝑥1 =
−𝑏 + √Δ
2. 𝑎
 
𝑥1 =
−(−5) + √1
2.1
 
𝑥1 =
5 + 1
2
=
6
2
= 3 
Já a segunda raiz: 
𝑥2 =
−𝑏 − √Δ
2. 𝑎
 
𝑥2 =
−(−5) − √1
2.1
 
𝑥2 =
5 − 1
2
=
4
2
= 2 
Portanto, as raízes da equação são 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 3. 
Até o momento, não há nada de novo. Porém, para fatorar o trinômio, basta escrever 
a expressão: 
𝑎(𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2) 
Em que 𝑎 é termo que multiplica 𝑥2, 𝑥1 e 𝑥2 as raízes da equação. 
1(𝑥 − 2). (𝑥 − 3) 
Essa, portanto, é a forma da fatoração do trinômio. Para verificar se a resposta está 
correta, basta fazer a multiplicação dos termos: 
𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑥 + 6 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
Que corresponde exatamente a equação inicial. 
 
Ex. 10 
 
Faça a faturação do trinômio perfeito, dado por: 
𝑥2 − 12𝑥 + 36 = 0 
Resolução: 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (−12)2 − 4.1. (36) 
Δ = 144 − 144 
∴ Δ = 0 
Como delta é nulo, as raízes são iguais: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √0
2. 𝑎
 
Como √0 = 0, resta apenas: 
𝑥1 = 𝑥2 =
−𝑏
2. 𝑎
=
−(−12)
2.1
=
12
2
 
∴ 𝑥1 = 𝑥2 = 6 
A fatoração do trinômio fica escrita como: 
𝑎(𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2) 
1(𝑥 − 6). (𝑥 − 6) = (𝑥 − 6)2 
Para validar o resultado, vamos abrir esse termo quadrático: 
(𝑥 − 6)2 = 𝑥2 − 12𝑥 + 36 
Exatamente como está na equação do enunciado. 
 
3.6 Completando Quadrados 
 
Completar quadrados é uma forma diferente de encontrar as raízes da equação as 
transformando em um produto notável. Para entendermos esse procedimento, vamos 
aprender a completar um trinômio. Suponha a função de segundo grau 
𝑥2 + 8𝑥 = 0 
Observe que o termo 𝑏 = 8. A metade esse termo vale 4. Logo: 
𝑥2 + 8𝑥 + 42 = 0 
𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0 
Completamos o trinômio. Veja mais um exemplo: 
𝑥2 + 10𝑥 = 0 
O segundo termo dividido por 2 vale 5. Assim: 
𝑥2 + 10𝑥 + 52 = 0 
𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 0 
Agora, vamos resolver uma equação de segundo 2º completando quadrados: 
𝑥2 − 10𝑥 + 21 = 0 
Passando +21 para a direita negativo: 
𝑥2 − 10𝑥 = −21 
Veja que o lado esquerdo é um trinômio a ser completado. Olhe o segundo termo, 
aquele que multiplica 𝑥. Temos então que 𝑏 = −10, logo, vamos usar metade do mesmo, 
ou seja, −5 
𝑥2 − 10𝑥 + 25 = −21 + 25 
Fatorando o lado esquerdo, usando o procedimento da seção anterior, temos que: 
(𝑥 − 5)2 = 4 
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade para cancelar o termo 
quadrático do lado esquerdo: 
𝑥 − 5 = √4 
𝑥 − 5 = ± 2 
Como temos dois valores do lado esquerdo, obtemos dois resultados para x: 
{
𝑥 − 5 = 2 → 𝑥 =7
𝑥 − 5 = −2 → 𝑥 = 3
 
Logo, o conjunto de soluções da equação é 𝑆 = {3,7}. 
 
 
 
 
4 INEQUAÇÕES 
ID da foto stock livre de direitos: 373318420 
 
Até o momento estudamos equações, ou seja, aquelas expressões em que tínhamos 
“=” em uma sentença matemática. Agora, no caso das inequações, vamos trabalhar com 
valores que a incógnita pode assumir devido a uma desigualdade, que será representado 
pelos sinais de: <, >, ≥, ≤. Vamos resolver alguns problemas que envolvam inequações 
de primeiro e segundo grau. 
 
4.1 Inequações de primeiro grau 
 
A equação de primeiro grau é dada por: 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
Logo, uma inequação de primeiro grau é dada por algumas formas: 
I. 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 
II. 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 
III. 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 
IV. 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0 
Vamos à alguns exemplos: 
 
Ex. 01 
 
Resolva a inequação: 
3𝑥 − 6 > −2𝑥 − 4 
Resolução: 
Isolando a variável de um lado da inequação: 
3𝑥 + 2𝑥 > −4 + 6 
5𝑥 > 2 
∴ 𝑥 >
2
5
 
Logo, o conjunto de soluções é dado por: 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 >
2
5
} 
 
Ex. 02 
 
Resolva a inequação: 
9𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 + 8 
Resolução: 
9𝑥 − 2𝑥 ≤ 1 + 8 
7𝑥 ≤ 9 
Portanto: 
𝑥 ≤
9
7
 
Assim, o conjunto de solução dessa inequação é: 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≤
9
7
} 
 
4.2 Inequação de segundo grau 
 
Da mesma forma que analisamos a inequação de primeiro grau, vamos refazer a de 
segundo grau. A equação de segundo grau é dada por: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Portanto, a inequação de segundo grau será escrita de algumas formas: 
i. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 
ii. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 
iii. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 
iv. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 
Vamos fazer alguns exemplos: 
 
Ex. 03 
 
Determine o conjunto de soluções da inequação de segundo grau dada por: 
3𝑥2 + 10𝑥 + 7 < 0 
Resolução: 
Vamos resolver como se fosse pelo método de Bhaskara: 
Δ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Δ = (10)2 − 4.3. (7) 
Δ = 100 − 84 
∴ Δ = 16 
Calculando as raízes: 
𝑥1 =
−𝑏 + √Δ
2. 𝑎
 
𝑥1 =
−(10) + √16
2.3
 
𝑥1 =
−10 + 4
6
= −
6
6
= −1 
Já a segunda raiz: 
𝑥2 =
−𝑏 − √Δ
2. 𝑎
 
𝑥2 =
−(10) − √16
2.3
 
𝑥2 =
−10 − 4
6
= −
14
6
= −
7
3
 
Sendo assim, o conjunto de soluções para essa inequação de segundo grau é: =
{𝑥 ∈ ℝ / −
7
3
< 𝑥 < −1}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAIBA MAIS 
 
Na matemática estudamos diversas funções: as funções trigonométricas, 
exponenciais, logarítmicas, modular e, dentre todas, a mais conhecida é a 
polinomial. Essa classe de funções ganha seu nome por ser dada pela forma 
geral: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
Em que 𝑛 é um número natural. Sendo assim, podemos dividir essa 
função em três grandes grupos: A de primeiro grau, de grau par e grau ímpar. O 
gráfico da função de primeiro grau é uma reta, mas a de segundo grau, quarto, 
sexto assim por diante, são semelhantes. O mesmo observamos para as funções 
de grau ímpares. Veja nas figuras abaixo: 
 
Figura 6 – Representação de funções polinomiais 
 
Fonte: STEWART, 2016. 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
Qualquer fenômeno natural pode ser descrito por uma função, de uma ou 
mais variáveis. A questão que todo cientista busca resolver é como interpretar 
os dedados experimentais na teoria. Portanto, para que você tenha uma visão 
mais ampla, é preciso ter um conhecimento básico das diversas categorias de 
funções: As polinomiais, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, modulares 
e etc. 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
#REFLITA# 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Pronto! Você chegou ao final da Unidade II de nosso material. 
Começamos nossa análise resolvendo alguns problemas de equação de 
primeiro grau, em que basicamente, o objetivo era encontrar a incógnita da 
equação utilizando passagens algébricas. Na sequência, as equações de 
segundo grau, aplicamos o método de Bhaskara, um dos mais conhecidos da 
literatura. 
No capítulo três estudamos as funções de primeiro e segundo grau, assim 
como a representação gráfica de cada uma delas. No fim, as inequações, que 
tem um procedimento de resolução semelhante as equações de primeiro grau. 
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de 
estudo. Até a próxima! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO 
 
• Título: Guias de estudo de Matemática: Relações e Funções 
• Autor: Estela Kaufman Fainguelernt e Franca Cohen Gottlieb. 
• Editora: Ciência Moderna. 
• Sinopse: As relações de ordem e de equivalência devem ser ensinadas 
enfatizadas e trabalhadas desde o Ensino Fundamental pois elas embasam a 
construção dos conjuntos numéricos bem como ajudam os aprendizes a 
classificar por semelhanças e diferenças em qualquer contexto o que é uma das 
ações que levam à construção de significados em qualquer área de 
conhecimento e principalmente em Matemática. As funções por sua vez são 
casos particulares de relações que oferecem as mais variadas aplicações. Por 
exemplo, o aprendiz analisando as situações práticas comuns à sua vivência 
desenvolve a noção de relacionamento entre variáveis caracterizando uma 
função de modo informal e simples. Percebe que o movimento é função do tempo 
que o preço de uma mercadoria é função da qualidade que a quantidade de 
produtos fabricados é função da procura e que a área de um quadrado é função 
do comprimento do seu lado. 
 
 
 
 
 
 
FILME/ VÍDEO 
 
• Título: Uma mente brilhante 
• Criadora: Ron Howard. 
• Ano: 2001. 
• Sinopse: John Nash (Russell Crowe) é um gênio da matemática 
que, aos 21 anos, formulou um teorema que provou sua genialidade e o 
tornou aclamado no meio onde atuava. Mas aos poucos o belo e arrogante 
Nash se transforma em um sofrido e atormentado homem, que chega até 
mesmo a ser diagnosticado como esquizofrênico pelos médicos que o 
tratam. Porém, após anos de luta para se recuperar, ele consegue retornar 
à sociedade e acaba sendo premiado com o Nobel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BETHLEM, A. Curso de Matemática. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 
1935. 
 
BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna, 2010. 
 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. São 
Paulo: FTD, 2010. 
 
STEWART, James. Cálculo: Volume 2. São Paulo Cengage Learning, 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE III 
O TEOREMA DE PITÁGORAS 
Professor Mestre Arthur Ernandes Torres da Silva 
 
 
Plano de Estudo: 
• Enunciado do Teorema de Pitágoras; 
• Relações Trigonométricas; 
• Generalização do Teorema de Pitágoras; 
• Recíproco do Teorema de Pitágoras. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Explorar o teorema de Pitágoras com vários exercícios resolvidos; 
• Estudar as relações trigonométricas oriundas do triângulo retângulo, como 
seno, cosseno e tangente; 
• Aprender a generalização do Teorema de Pitágoras, bem como a sua relação 
recíproca. 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Prezado (a) aluno (a), nesta unidade, primeiramente vamos estudar o 
Teorema de Pitágoras abordando alguns casos resolvidos. Na sequência, 
iremos definir as três relações trigonométricas mais presentes na literatura. No 
capítulo três, vamos aprender a generalização do Teorema de Pitágoras e 
descobrir que esse famoso tópico da Matemática Elementar vai muito mais além. 
Na última parte, para concluir o assunto, será abordado o recíproco do Teorema 
de Pitágoras. 
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom 
uso na sua formação acadêmica. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
1 ENUNCIADO DO TEOREMA DE PITÁGORAS 
ID do vetor stock livre de direitos: 1649859793 
 
Ao longo da história, houveram diferentes formas de enunciar o Teorema 
de Pitágoras. Nesse capítulo, iremos ver uma das mais práticas e simples, que 
envolve a área dos quadrados de cada lado do triângulo retângulo. Primeiro, 
vamos definir o que é um triângulo retângulo. 
Existem várias classificações de triângulos: O equilátero formadopor 3 
lados iguais, o que proporciona que os três ângulos internos sejam iguais a 60°. 
O triângulo obtuso, que possui um ângulo interno maior que 90°, entre outros. 
No estudo do Teorema de Pitágoras, vamos analisar o triângulo retângulo, 
caracterizado por ter um dos ângulos internos iguais a 90°, também chamado de 
ângulo reto. 
 
Figura 1 – Triângulo retângulo 
ID do vetor stock livre de direitos: 1634337292 
 
A imagem a cima representa um triângulo retângulo de lado A, B e H. 
Como vamos caracterizar esses lados? De forma muito simples. Nesse triângulo, 
o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Enquanto os dois outros 
lados, são denominados de catetos. 
O Teorema de Pitágoras pode ser escrito da seguinte forma: 
A soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos 
corresponde a área do quadrado construído sobre a hipotenusa. 
Esse teorema pode ser esquematizado na figura abaixo: 
 
Figura 2 – Demonstração do Teorema de Pitágoras 
ID da ilustração stock livre de direitos: 561653665 
 
Em outras palavras, o que ele diz é: se o lado 𝑎 medir 3, o quadrado sobre 
ele tem o valor de 9 (pois a área de um quadrado é lado multiplicado pelo lado). 
Já o lado 𝑏 tem tamanho de 4 e, consequentemente, o quadrado a cima dele tem 
o valor de 16. Portanto, o quadrado a cima do lado 𝑐 é a soma da área do 
quadrado de lado 𝑎 mais a área do quadrado de lado 𝑏. 
Matematicamente, essa interpretação pode ser escrita como: 
(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑛𝑢𝑠𝑎)2 
Vamos fazer alguns exemplos do Teorema de Pitágoras. 
 
Ex. 01 
 
Calcule o valor da hipotenusa 
 
Figura 3 – Triângulo retângulo com lados iguais a 3 e 4 
 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Pelo teorema de Pitágoras, temos: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
𝑥2 = (3)2 + (4)2 
𝑥2 = 9 + 16 
𝑥2 = 25 
∴ 𝑥 = 5 
 
Ex. 02 
 
Determine o calor de x, que corresponde a hipotenusa do triângulo 
retângulo abaixo. 
 
Figura 4 - Triângulo retângulo com lados iguais a 5 e 12 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
𝑥2 = (5)2 + (12)2 
𝑥2 = 25 + 144 
𝑥2 = 169 
∴ 𝑥 = 13 
 
Ex. 03 
 
Usando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de 𝑥 no triângulo 
rentângulo. 
 
Figura 5 - Triângulo retângulo com lados iguais a 6 e 7 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Usando o Teorema de Pitágoras, temos: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
𝑥2 = (6)2 + (7)2 
𝑥2 = 36 + 49 
𝑥2 = 85 
∴ 𝑥 = √85 ≈ 9,22 
 
 
Ex. 04 
 
Calcule o valor da hipotenusa 
 
Figura 6 - Triângulo retângulo com lados iguais a 21 e 28 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Usando o teorema de Pitágoras, temos: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
𝑥2 = (21)2 + (28)2 
𝑥2 = 441 + 784 
𝑥2 = 1225 
∴ 𝑥 = √1225 = 35 
 
Ex. 05 
Usando o Teorema de Pitágoras, calcule o valor de x e determine o valor 
do cateto desconhecido e da hipotenusa. 
 
Figura 7 - Triângulo retângulo com lados iguais a √𝟕 e x+1 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Usando o Teorema de Pitágoras, temos: 
(𝑥 + 1)2 = (√7)
2
+ (𝑥)2 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 7 + 𝑥2 
2𝑥 = 6 
∴ 𝑥 = 3 
Assim, o cateto desconhecido vale 3 e a hipotenusa corresponde a 4. 
 
Ex. 06 
 
Com relação ao triângulo representado na figura abaixo, determine o valor 
de 𝑥. 
Figura 8 - Triângulo retângulo com lados iguais a 4,5 e 6 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
A partir do Teorema de Pitágoras, temos: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
𝑥2 = (4,5)2 + (6)2 
𝑥2 = 20,25 + 36 
𝑥2 = 56,25 
∴ 𝑥 = √56,25 = 7,5 
 
Ex. 07 
Calcule o valor da hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras. 
 
Figura 9 - Triângulo retângulo com lados iguais a 23,25 e 31 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Usando o Teorema de Pitágoras, temos: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
𝑥2 = (23,25)2 + (31)2 
𝑥2 = 540,5625 + 961 
𝑥2 = 1501,5625 
∴ 𝑥 = √1501,5625 = 38,75 
 
Ex. 08 
 
Calcule o valor do cateto da figura abaixo: 
 
Figura 10 - Triângulo retângulo com lados iguais a √𝟏𝟎 e 1 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Seguindo Teorema de Pitágoras, temos: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
(√10)2 = (1)2 + (𝑥)2 
10 = 1 + 𝑥2 
𝑥2 = 9 
∴ 𝑥 = √9 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
ID do vetor stock livre de direitos: 1598379046 
 
Suponha o triângulo retângulo representado na figura abaixo: 
 
Figura 11 – Triângulo retângulo 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Como já foi mencionado 𝛼 + 𝛽 + 90° = 180°, em que 𝛼 e 𝛽 são dois 
ângulos menores que noventa graus. Sendo assim, existe uma relação entre os 
lados do triângulo com os dois ângulos desconhecidos, em geral 
 
sin(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =
𝐶𝑂
𝐻𝑖𝑝
=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
cos(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =
𝐶𝐴
𝐻𝑖𝑝
=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
tan(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 
Nas equações a cima, sin(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) é o seno de um ângulo qualquer, 
cos(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) é o co-seno e tan(â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) é a tangente. 
Como identificar o cateto oposto e o adjacente? Vamos tomar o ângulo 𝛽 
como referência, para esse ângulo, o cateto oposto é o cateto 1, ou seja, o cateto 
que está “do outro lado”, e o cateto adjacente é o cateto 2, que é o cateto que 
faz está junto ao ângulo. Olhando agora para o ângulo 𝛼, o cateto oposto para 
ele é o cateto 2, enquanto o cateto adjacente é o cateto 1. 
Existem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, cossenos e 
tangentes dos mais diversos ângulos. Assim, conhecendo um dos ângulos do 
triângulo retângulo e um dos lados, pode-se determinar os demais lados. A 
tabela a seguir contém os valores para alguns dos ângulos mais utilizados para 
as relações trigonométricas: 
 
Tabela 1 – Relações trigonométricas 
Ângulo Seno Cosseno Tangente 
𝟑𝟎° ½ √3/2 √3/3 
𝟒𝟓° √2/2 √2/2 1 
𝟔𝟎° √3/2 ½ √3 
Fonte: O Autor (2021). 
 
Vamos fazer alguns exemplos: 
 
Ex. 01 
 
Determine o valor de 𝑠𝑒𝑛(𝛼), cos (𝛼) e 𝑡𝑔(𝛼) no triângulo retângulo 
abaixo: 
 
Figura 12 - Triângulo retângulo com lados iguais a √𝟓, 1 e 2 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
1
√5
≈ 0,44 
cos(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
2
√5
≈ 0,89 
𝑡𝑔(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
1
2
= 0,5 
Ex. 02 
Calcule o valor de 𝑠𝑒𝑛(𝛼), cos (𝛼) e 𝑡𝑔(𝛼) no triângulo retângulo abaixo: 
 
Figura 13 - Triângulo retângulo com lados iguais a 5, 3 e 4 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
3
5
= 0,6 
cos(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
4
5
= 0,8 
𝑡𝑔(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
3
4
= 0,75 
 
Ex. 03 
 
Utilizando a tabela de ângulos, determine o valor do lado desconhecido 
do triângulo. 
 
Figura 14 - Triângulo retângulo com lados iguais a x e 6 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Se começarmos usando cos (30°), vamos descobrir o cateto adjacente a 
ele, que não é o objetivo principal do exercício. Contudo, ainda seria possível, 
porém mais trabalhoso. Depois de calcular o cos (30°) o próximo passo seria 
calcular o cateto adjacente, ou usando o teorema de Pitágoras ou calculando a 
tangente. 
No entanto, para ser mais rápido e prático, observe que o cateto oposto 
ao ângulo de 30° é o valor que queremos encontrar e, além disso, já é fornecido 
o valor da hipotenusa. Portanto: 
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
𝑠𝑒𝑛(30°) =
𝑥
6
 
𝑠𝑒𝑛(30°) =
𝑥
6
 
1
2
=
𝑥
6
 
Multiplicando cruzado: 
2𝑥 = 6 
∴ 𝑥 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS 
ID do vetor stock livre de direitos: 1809593482Até agora, aprendemos que o Teorema de Pitágoras é a soma da área de 
cada quadrado construído sobre os catetos e a hipotenusa, como mostra a figura 
abaixo: 
 
Figura 15 – Prova do Teorema de Pitágoras usando quadrados 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
Entretanto, seria possível que ao invés de quadrados sobre cada lado do 
triângulo retângulo, fosse outro polígono? A resposta é sim e essa é a extensão 
do teorema de Pitágoras. 
Podemos ter diferentes formas: 
1) A soma das áreas dos triângulos equiláteros sobre cada um dos 
catetos é igual a área do triângulo equilátero sobre a hipotenusa de 
um triângulo retângulo. 
 
Figura 16 – Prova do Teorema de Pitágoras usando triângulos equiláteros 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
2) A soma da área de polígono de n lados construídos sobre os catetos, 
é igual a área do polígono de n lados construídos sobre a hipotenusa de um 
triângulo retângulo. 
 
Figura 17 – Prova do Teorema de Pitágoras usando polígonos 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
Além desses exemplos, existem outros em que podemos estender o 
Teorema de Pitágoras, utilizando também figuras geométricas: 
3) Complementares dos triângulos equiláteros construídos no interior dos 
quadrados e tendo como base os lados do triângulo retângulo. 
 
Figura 18 – Prova do Teorema de Pitágoras usando triângulos equiláteros 
construídos no interior dos quadrados 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
4) Quadrados inscritos tomando os pontos médios dos quadrados dos 
lados do triângulo retângulo. 
 
Figura 19 – Prova do Teorema de Pitágoras usando quadrados inscritos 
tomando os pontos médios dos quadrados dos lados do triângulo retângulo 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
5) Triângulos equiláteros inscritos considerando os pontos médios dos 
triângulos equiláteros que tem como base os lados do triângulo retângulo. 
 
Figura 20 – Prova do Teorema de Pitágoras usando triângulos equiláteros 
inscritos em triângulos equiláteros 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
Existe também a extensão para o Teorema de Pitágoras com base em 
figuras não retilíneas, ou seja, formada por segmentos de retas, circunferências 
ou arco de circunferências. Veja alguns exemplos: 
6) Círculos inscritos nos quadrados e semicírculos com diâmetro sobre os 
lados do triângulo. 
 
Figura 21 – Prova do Teorema de Pitágoras usando quadrados e 
semicírculos. 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
7) Quadrantes sobre os lados do triângulo e setores angulares sobre os 
lados do triângulo retângulo. 
 
Figura 22 – Prova do Teorema de Pitágoras usando setores de angulares 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
10) Círculos inscritos nos triângulos equiláteros. 
 
Figura 23 – Prova do Teorema de Pitágoras usando circunferências em 
triângulos equiláteros 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
Entre muitas outras formas. 
 
 
 
4 RECÍPROCO DO TEOREMA DE PITÁGORAS 
ID da foto stock livre de direitos: 1328821100 
 
Até o momento estudamos o Teorema de Pitágoras, o cálculo de algumas 
grandezas trigonométricas que envolviam os ângulos internos de um triângulo 
retângulos e no último capítulo a extensão do Teorema de Pitágoras. Agora, 
vamos dar início a uma análise retórica desse teorema. 
Sabemos que, em um triângulo retângulo, o valor da hipotenusa ao 
quadrado é igual à soma de cada um dos catetos ao quadrado. Contudo, 
podemos afirmar o contrário? Isso é o recíproco do Teorema de Pitágoras. 
Vamos analisar dois exemplos para entendermos essa correlação. 
 
Ex. 01 
 
Dado o triângulo: 
 
Figura 24 – Triângulo ABC 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Sabendo que 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 8 e que 𝐴𝐶 = 10, comprove se o triângulo é 
retângulo. 
Resolução: 
Quando um triângulo é retângulo, o maior lado é a hipotenusa. Assim 
temos: 
{
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 10
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = 6
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = 8
 
Logo, vamos verificar se essas medidas satisfazem o Teorema de 
Pitágoras. 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
(10)2 = (6)2 + (8)2 
100 = 36 + 64 
100 = 100 
Como a relação foi satisfeita, podemos dizer que o triângulo ABC é 
retângulo. 
 
Ex. 02 
 
Dado o triângulo: 
 
Figura 25 – Triângulo MNP 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Sabendo que 𝑀𝑁 = 5, 𝑁𝑃 = 7 e que 𝑀𝑃 = 9, comprove se o triângulo é 
retângulo. 
Classificando os valores, temos: 
{
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 9
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = 7
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = 5
 
Logo, vamos verificar se essas medidas satisfazem o Teorema de 
Pitágoras. 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
(9)2 = (7)2 + (5)2 
81 = 49 + 25 
81 ≠ 74 
Como a relação foi satisfeita, podemos dizer que o triângulo MNP não é 
retângulo. 
Ex. 03 
 
Verifique quais triângulos são retângulos, dada as medidas de seus 
respectivos lados. 
a) 2, 2 e 3 
b) 4, 5 e √41 
c) 7, 24 e 25 
d) 2, 3 e 4 
Resolução: 
a) Lembre-se que o maior valor é a hipotenusa. Assim: 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
(3)2 = (2)2 + (2)2 
9 = 4 + 4 
9 ≠ 8 
Assim, o triângulo com essas medidas não é retângulo. 
b) Sabendo que √41 ≈ 6,4 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
(√41)2 = (4)2 + (5)2 
41 = 16 + 25 
41 = 41 
Portanto, um triângulo indicado com essas medidas é um triângulo 
retângulo. 
c) 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
(25)2 = (24)2 + (7)2 
625 = 576 + 49 
625 = 625 
Portanto, um triângulo indicado com essas medidas é um triângulo 
retângulo. 
d) 
(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑐𝑎𝑡)2 + (𝑐𝑎𝑡)2 
(4)2 = (2)2 + (3)2 
16 = 4 + 9 
16 ≠ 13 
Assim, o triângulo com essas medidas não é retângulo. 
 
4.1 Ternos Pitagóricos 
 
Suponha que um dado problema, você busque uma forma de encontrar 
as medidas de um triângulo retângulo, mas sem usar o Teorema de Pitágoras, 
como resolver? Por um processo muito simples, o de comparação de triângulos. 
Basicamente, o cálculo dos ternos pitagóricos envolver em comparar um 
triângulo com lados conhecidos e comparamos com outro que tem medidas 
proporcionais. Veja os exemplos para entender melhor. 
 
Ex. 04 
 
Dado os triângulos representados na figura abaixo, calcule a hipotenusa 
que resta no segundo triângulo. 
 
Figura 26 – Triângulos retângulo 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Observe que o cateto na vertical do primeiro triângulo em comparação 
com o segundo, aumentou três vezes. O cateto que é a base do primeiro 
retângulo também aumenta três vezes. Portanto, como esses dois lados tiveram 
tal proporção, a hipotenusa também terá seu valor duplicado. Assim 𝑥 = 15. 
 
Ex. 05 
 
Com base nos triângulos representados na figura abaixo, calcule o cateto 
que falta no segundo triângulo. 
 
Figura 27 – Triângulos retângulo 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Comparando os dois triângulos, porém não caia na tentação de comparar 
sempre os mesmos lados, pois não necessariamente 3 está para 20 e 4 para 𝑥. 
Começamos pela hipotenusa, que é múltiplo de 5. Uma vez que o triângulo da 
esquerda tem hipotenusa igual a 5 e o da direita igual a 25. Logo, as medidas 
devem ter tal proporção. Sendo assim, o lado de 20 do segundo triângulo é 
múltiplo de 4 ou de 3? Sabemos que 20/4 = 5, já 20/3 não fornece um número 
inteiro. Então, o lado correspondente ao 4 é 20, aumentando cinco vezes e, 
consequentemente, o lado 3 aumenta 5 vezes. Portanto, 𝑥 = 15. 
 
SAIBA MAIS 
 
Pitágoras não foi só um matemático, mas também filósofo. Viveu na 
Grécia Antiga no período que os grandes pensadores questionam a origem do 
universo bem como a da natureza. Segundo Pitágoras, tudo a nossa volta foi 
criado de forma harmônica, podendo ser interpretada através de números. 
Uma das observações de Pitágoras foi na música, em que segundo ele, 
os sons gerados por cordas em instrumentos musicais dependiam do 
comprimento e tensão, que geravam notas harmônicas as quais podiam ser 
explicadas pela matemática. 
 
Fonte: SILVA, FANTI e PEDROSO, 2016. 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
Em nossa volta, tudona natureza pode ser descrito por números. Não foi 
apenas Pitágoras que buscou descrever sistemas como os sons acústicos de 
instrumentos. Johannes Kepler foi um astrônomo e físico que buscava o mesmo 
padrão das partituras de músicas nos astros visíveis no céu. Seguindo essa 
motivação, ele foi capaz de descrever três leis dos movimentos planetários: a lei 
das órbitas, lei dos períodos e a terceira lei de Kepler, que mostra uma relação 
entre todos os planetas do sistema solar. 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
#REFLITA# 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Ao fim dessa unidade, podemos dizer que estudados diversas aplicações 
do Teorema de Pitágoras. Uma delas foi a sua forma recíproca na qual podemos 
classificar um triângulo desconhecido como triângulo retângulo obedecendo a 
relação de pitagórica. 
Ademais, aprendemos a extensão do teorema, uma vez que cada lado do 
triângulo não necessariamente deve ser um quadrado, mas sim um polígono ou 
outras formas geométricas. Além disso, dedicamos alguns momentos as 
relações trigonométricas básicas que possuem vasta aplicabilidade em qualquer 
área das ciências exatas. 
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de 
estudo. Até a próxima! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO 
 
• Título: A descoberta do Teorema de Pitágoras 
• Autor: Sofia Cardoso Marques. 
• Editora: Livraria da Física, 1 edição. 
• Sinopse: Neste livro Sofia Cardoso Marques aborda alguns dos 
caminhos, personagens e geometrias nas quais o pensamento e práticas 
referentes ao teorema pitagórico se desenvolveu ao ponto de se constituir em 
um dos tópicos de geometria que transversalizam diversos outros tópicos da 
matemática como a trigonometria a geometria analítica, os números irracionais, 
os números complexos, o cálculo diferencial integral, dentre outros. A autora 
descreve o resultado e as aplicações desse teorema em algumas civilizações 
antigas como a Mesopotâmia, o Egito e a Grécia. Contextualiza o referido 
teorema na cultura e nos conhecimentos matemáticos dessas civilizações. A 
partir desse material os professores poderão ampliar seus focos de abordagem 
didática desse assunto em suas aulas de geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FILME/ VÍDEO 
 
• Título: A demonstração do Teorema de Pitágoras (via experimento) 
• Ano: 2013 
• Sinopse: Neste vídeo é feita um experimento que prova o Teorema de 
Pitágoras da forma mais simples. A quantidade de líquido que preenche o 
quadrado da hipotenusa também ocupa, simultaneamente, os quadrados de 
cada cateto. 
• Link: https://www.youtube.com/watch?v=bS-D0XeFMPQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BETHLEM, A. Curso de Matemática. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 
1935. 
 
BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna, 2010. 
 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. São 
Paulo: FTD, 2010. 
 
SILVA, J. E. B.; FANTI, E. L. C.; PEDROSO, H. A. Teorema de Pitágoras: 
extensões e generalização. C.Q.D Revista Eletrônica Paulista de Matemática, 
Bauru, v. 6, p. 21-47, jul, 2016. 
 
 
 
 
UNIDADE IV 
ÁREAS, ÂNGULOS, BASE 10 E FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Professor Mestre Arthur Ernandes Torres da Silva 
 
 
Plano de Estudo: 
• Áreas geométricas; 
• Medidas de ângulos; 
• Regras de potencialização e base 10; 
• Funções Exponenciais. 
 
 
Objetivos de Aprendizagem: 
• Revisar o cálculo de áreas das figuras matemáticas mais importantes; 
• Estudar as classificações de ângulos e suas diferentes unidades; 
• Rever as regras de potencialização, as regras de base 10 e as funções 
exponenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Prezado (a) aluno (a), nesta última unidade, vamos começar os estudos 
revendo o cálculo de área das figuras mais corriqueiras na matemática, que 
possuem grande aplicabilidade, principalmente quando se diz respeito a 
determinar a área de um gráfico. Posteriormente, vamos aprender a classificar 
os ângulos e diferentes formas de medi-los. 
Além disso, na terceira unidade, iremos dedicar nossos estudos as regras 
de potencialização e base 10, e por fim, as funções exponenciais. 
Esperamos que esta unidade seja imensamente proveitosa e seja de bom 
uso na sua formação acadêmica. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 ÁREAS GEOMÉTRICAS 
ID do vetor stock livre de direitos: 401068858 
 
Saber calcular áreas de figuras geométricas, perímetros, assim como 
mensurar ângulos entre dois segmentos de retas, é uma tarefa simples que todo 
estudante, mesmo aquele que não migra para as ciências, deveria saber. 
Portanto, é fundamental que um dos tópicos abordados em nosso curso de 
matemática elementar seja o cálculo de áreas. 
 
1.1 Área do quadrado 
 
As áreas das figuras planas medem o tamanho da superfície da figura. 
Dentre a mais conhecida é o quadrado. Essa figura geométrica tem suas 
dimensões iguais, em outras palavras, a medida dos seus lados é a mesma. 
Matematicamente, o cálculo da área de um quadrado é dado por: 
 
Figura 1 – Área de um quadrado. 
 
Fonte: O autor (2021). 
𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = ℓ. ℓ = ℓ
2 
A unidade da área varia com as medidas de lado. Por exemplo, se for um 
quadrado de 4 𝑐𝑚 de lado, então a área vale: 𝐴 = 4𝑐𝑚 . 4𝑐𝑚 = 16 𝑐𝑚2. Outro 
exemplo: Os lados do quadrado é de 3,2 𝑚, então sua área tem o valor de 𝐴 =
3,2𝑚 . 3,2𝑚 = 10,24𝑚2 
Contudo, podemos também representar essa figura em função da unidade 
de área. 
https://www.shutterstock.com/pt/vectors
 
Figura 2 – Unidades de área de um quadrado. 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Isso significa que dividimos o quadrado em áreas iguais unitárias, e 
podemos caracterizá-lo pela quantidade de áreas unitárias. 
 
1.2 Área do retângulo 
 
Para determinar a área do retângulo, basta realizar o mesmo 
procedimento feito para área do quadrado, porém, dessa vez, as dimensões 
necessariamente não são iguais. Podemos ter uma base maior e uma altura 
menor, e vice-versa. 
 
Figura 3 – Área de um retângulo 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Matematicamente a área é dada por: 
𝐴𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏. ℎ 
 
1.3 Área do Paralelogramo 
 
Como o próprio nome diz, o paralelogramo tem as retas paralelas, tanto 
da altura como da base, representado por: 
 
Figura 4 – Área de um paralelogramo 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
O dimensionamento da área do paralelogramo também é dado por: 
𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝑏. ℎ 
 
 
1.4 Área do triângulo 
 
A área do triângulo é calculada pensando que essa figura é metade de 
um quadrado. Portanto: 
 
Figura 5 – Área do triângulo 
 
Fonte: O autor (2021). 
𝐴𝑡𝑖𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝑏. ℎ
2
 
 
1.5 Área do trapézio 
 
Uma das figuras que mais possuem aplicação na física é o trapézio, vários 
gráficos são interpretados como o valor da área abaixo da curva e, geralmente, 
essa área corresponde à um trapézio. 
 
Figura 6 – Área de um trapézio 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Matematicamente a área do trapézio é dada por: 
𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 =
(𝐵 + 𝑏). ℎ
2
 
1.6 Área do círculo 
 
Uma das figuras, se não a mais conhecida, é o círculo, de grande 
aplicabilidade seja na matemática, engenharias e outras áreas das ciências 
exatas. Diferentes das outras figuras geométricas, para calcular a área do círculo 
usamos uma constante denominada “pi” 𝜋 = 3,1415… . 
Essa constante é uma dízima periódica e sua definição vem da razão 
entre o perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro. 
 
Figura 7 – Área de uma circunferência 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
A área de uma circunferência é dada por: 
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 = 𝜋. 𝑟
2 
Em que 𝑟 é o raio da circunferência. 
 
Ex. 01 
 
Calcule a área e o perímetro da figura abaixo a qual as medidas estão 
dadas em metros 
 
Figura 8 – Área completa do exemplo 01 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Podemos resolver esse problemadividindo a figura em duas partes e 
assim, calculando dois retângulos separadamente: 
 
Figura 9 – Área dividida do exemplo 01 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Calculando a área separada do retângulo 1 e do retângulo 2, para isso, 
dividimos a medida debaixo em duas partes: 
𝐴1 = 5.2 = 10𝑚
2 
𝐴2 = 1.0,5 = 0,5𝑚
2 
Já o perímetro é a soma de todas as laterais, contornando a figura: 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 + 6 + 0,5 + 1 + 1,5 + 5 = 16𝑚 
 
Ex. 02 
 
Determine o valor do perímetro e da área da figura abaixo: 
 
Figura 10 – Área completa do exemplo 02 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Para resolver esse problema podemos dividir a figura em três retângulos 
da seguinte forma: 
 
Figura 11 – Área dividida do exemplo 02 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Seguindo de cima para baixo, o primeiro retângulo tem área igual à: 
𝐴1 = 10 𝑐𝑚 . 1 𝑐𝑚 = 10 𝑐𝑚
2 
𝐴2 = 11 𝑐𝑚 . 2 𝑐𝑚 = 22 𝑐𝑚
2 
𝐴3 = 4 𝑐𝑚 . 2 𝑐𝑚 = 8 𝑐𝑚
2 
Logo, a área total é 40 𝑐𝑚2. 
Já o perímetro é dado por: 
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 10𝑐𝑚 + 1 𝑐𝑚 + 1 𝑐𝑚 + 2𝑐𝑚 + 2𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 + 5𝑐𝑚 = 32 𝑐𝑚 
 
 
 
2 MEDIDAS DE ÂNGULOS 
ID do vetor stock livre de direitos: 141972682 
 
Existe algo em comum na marcenaria no processo de construção de 
móveis, com o lançamento de uma bola durante um jogo de futebol e o 
movimento que um avião deve executar durante o pouso na pista. Todas essas 
ações, para ser bem feitas, exigem um cálculo preciso de ângulos. Caso o 
marceneiro pregue uma peça em um ângulo errado, dependendo do móvel que 
está construindo não aguentara uma carga de peso elevada, se o jogar de futebol 
bater na bola com um movimento do pé muito inclinado, a bola sobe demais e, 
se o piloto errar a inclinação do bico da aeronave, pode levar a um acidente fatal. 
Toda essa análise de ângulos é abordada na geometria plana. Contudo, 
devido ao foco do nosso curso, não abordaremos toda a geometria plana, 
apenas alguns pontos em específico. Vamos começar definindo o conceito de 
ângulo. 
Basicamente, quando dois segmentos de retas, estão unidos na mesma 
origem, como a figura abaixo: 
 
Figura 12 – Ângulo formado entre dois segmentos de reta 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
O alfa (𝛼) pode ser escrito como: 
𝛼 = 𝐴ô𝐵 
Em que o símbolo “ô” designa o vértice do ângulo. 
Seguindo essa mesma linha de raciocínio podemos definir também outra 
natureza de ângulos, conhecidos como ângulos opostos pelo vértice. Nesse 
caso, são duas retas concorrentes, ou seja, que se cruzam em um único ponto, 
formando dois pares de ângulos. 
 
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Figura 13 – Ângulos opostos ao vértice 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Como ilustra a figura, quando duas retas se cruzam em um mesmo ponto, 
dois pares de ângulos são formados: 𝛼 e 𝛽. São ângulos opostos de mesma 
medida. Vamos entender isso na prática com um exemplo: 
 
Ex. 01 
 
Calcule o valor de x na situação abaixo: 
 
Figura 14 – Ângulos opostos ao vértice do exemplo 01 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Como são ângulos opostos, então são iguais. 
4𝑥 − 40° = 80° 
4𝑥 = 120° 
𝑥 =
120°
4
 
∴ 𝑥 = 30° 
Vamos estudar outro caso agora, o da reta bissetriz. A reta bissetriz é uma 
semirreta que divide o ângulo em duas partes iguais. 
 
Figura 15 – Bissetriz de um ângulo 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Ex. 02 
 
Calcule o valor do ângulo total que foi dividido pela reta bissetriz da figura 
abaixo. 
 
Figura 16 – Bissetriz do exemplo 02 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Resolução: 
Como são ângulos iguais, então comparamos os valores: 
10𝑥 − 30° = 2𝑥 + 50° 
10𝑥 − 2𝑥 = 30° + 50° 
8𝑥 = 80° 
∴ 𝑥 = 10° 
Agora, escolhemos um dos lados, por exemplo: 10𝑥 − 30° = 10. (10°) −
30° = 100° − 30° = 70°. Portanto, o ângulo total é 140°. 
 
2.1 Classificação e unidades 
 
No capítulo em que foi abordado o Teorema de Pitágoras, vimos em 
específico um ângulo, chamado de ângulo reto. 
 
Figura 17 – Ângulo reto 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Essa representação de um quadrado com um pontinho representa um 
ângulo 90°. Ele é formado por duas retas perpendiculares entre si. 
Outra classificação que temos também são os chamados ângulos agudos. 
 
Figura 18 – Ângulo agudo 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Um ângulo é dito agudo quando e somente quando 𝛼 < 90°. A outra 
classificação de ângulos é quando o ângulo 90° < 𝛼 < 180°. Como está 
representado na figura abaixo. 
 
Figura 19 – Ângulo obtuso 
 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Nessa situação o ângulo é classificado como obtuso. 
 
2.1 Unidades de ângulos 
 
Dentre as unidades de ângulos, vamos abordar aquelas mais utilizadas, 
desde exercícios de física, até aplicações a engenharia e orientações de 
posições geográficas. Primeiramente vamos entender o conceito de graus. 
 
Figura 20 – Círculo trigonométrico 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Para formar um círculo trigonométrico, dividimos uma circunferência em 
quatro partes idênticas, cada uma dessas partes é chamada de quadrante. O 
início começa em 0°, à medida que avançamos cada quadrante, soma-se mais 
90°. De tal maneira que fechando uma circunferência completa, é o mesmo que 
executar 360°. Por isso você está vendo esse sinal “≡ ", mostrando que o ângulo 
de 0° é igual ao de 360°. 
Outra maneira de representar um ângulo é por minutos e segundos. A 
nomenclatura usada na literatura é essa: 
{
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 (1′)
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (1′′)
 
Veja que, 1 minuto é igual a 60 segundos. Portanto 1′ = 60′′ e 1° = 60′, 
vamos fazer alguns exemplos. 
 
Ex. 03 
 
Resolva a expressão 16°38′50′′ + 20 + 20°40′20′′ 
Resolução: 
Somando as duas expressões: 
{
(16°38′50′′)
+ (20°40′20′′)
 
𝑆𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → 36°78′70′′ 
Começamos somando pelos segundos. Veja que 50′′ + 20′′ = 70′′, ou se 
escrevermos em termos de minutos 70′′ = 1′10′′. Então: 
→ 36°79′10′′ 
Mas, além disso, podemos transformar 79′ em graus: 79′ = 1°19′. 
Portanto: 
16°38′50′′ + 20 + 20°40′20′′ = 37°19′10′′ 
 
Ex. 04 
 
Faça a operação: 
2. (10°45′35′′) 
Resolução: 
Para fazer a multiplicação de uma constante nessas coordenadas, basta 
realizar a distributiva: 
2. (10°45′35′′) = 20°90′70′′ 
Contudo, ainda podemos simplificar a expressão. Primeiro fazendo 75′′ =
1′10′′, então 20°90′70′′ → 20°91′10′′. Além disso, fazendo 91′ = 1°31′, temos: 
20°91′10′′ → 21°31′10′′. Portanto: 
2. (10°45′35′′) = 21°31′10′′ 
 
Ex. 05 
 
Realize a operação de subtração: 
71°20′ − 20°25′ 
Resolução: 
{
(71°20′)
− (20°25′)
 
𝑆𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 → 51° − 5′ 
Entretanto, não existe uma medida negativa de minutos. Então essa 
análise está errada! Como fazemos ela corretamente? Muito simples, basta 
transferir uma unidade de grau para os minutos, assim este fica positivo e não 
resultará em um valor inconsistente. Veja: 
{
(71°20′)
− (20°25′)
→ {
(70°80′)
− (20°25′)
 
Uma vez que 1° = 60′. Agora sim é possível fazer 80′ − 25′ = 55′. Ficando 
da seguinte forma o resultado: 
71°20′ − 20°25′ = 50° − 55′ 
 
Ex. 06 
 
Faça a divisão dos seguintes valores de ângulos: 
(31°33′45′′) ÷ 3 
Resolução: 
Note que 45′′ e 33′ são divisíveis por 3, mas 31° não fornece um número 
inteiro. Dessa forma reduzimos 1° para minutos: 
31°33′45′′ = 30°93′45′′ 
Agora sim, os três componentes podem ser divididos por 3: 
30°93′45′′
3
= 10°31′15′′ 
2.2 Radianos 
 
Outra forma de expressar os ângulos é pela medida de radianos. 
Observando o círculo trigonométrico, temos as seguintes equivalências: 
0° ≡ 360° ⟺ 0 𝑟𝑎𝑑 ≡ 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
90° ⟺
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 
180° ⟺ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
270° ⟺
3
2
𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
Figura 21 – Círculo trigonométrico em radianos 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Ex. 07 
 
Converta 135° em radianos. 
Resolução: 
Para encontrar esse valor, basta fazer uma regra de três simples: 
180° − 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
135° − 𝑥 
Assim: 
180° 𝑥 = 135° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
𝑥 =
135°
180°
 𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
27
36
 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
∴ 𝑥 =
3
4
 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 0,75 𝜋 𝑟𝑎𝑑Ex. 08 
 
Calcule em graus o valor de 1,5 𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
Resolução: 
Fazendo a mesma regra de três 
 
180° − 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
𝑥° − 1,5 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
Multiplicando cruzado: 
180° . 1,5 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 𝑥° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
∴ 𝑥 = 270° 
 
 
 
 
 
 
 
3 REGRAS DE POTENCIALIZAÇÃO E BASE 10 
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Na eletrônica digital, é comum ouvirmos alguns números acompanhados 
de nomes como: nano tecnologia, gigabyte, microchips, entre outros. Porém o 
que isso significa? Esse mesmo conceito está relacionado com transformar um 
número muito grande ou bem pequeno, em um termo razoavelmente curto 
multiplicado por dez elevado a um certo expoente. 
Primeiramente vamos entender primeiro as regras de potenciação: 
𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 …𝑎⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
Ou seja, quando multiplicamos um número várias vezes por ele mesmo, 
podemos substituir por um expoente. Outro detalhe importante: 
𝑎0 = 1 (𝑎 ≠ 0) 
Qualquer termo elevado a zero é igual a um. Uma outra regra importante 
é: 
𝑎𝑥. 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 
Ou seja, quando a base é a mesma, os expoentes são somados. Exemplo: 
33. 32 = 3.5 
Por outro lado, quando é uma divisão, os expoentes se subtraem: 
𝑎𝑥
𝑎𝑦
= 𝑎𝑥−𝑦 
Isso acontece pois quando um termo está no denominado e vai para o 
numerador, o seu expoente troca de sinal. Então, teremos uma soma de um 
número positivo com um número negativo. 
Além de divisão e soma de expoentes, podemos também ter casos em 
que eles multiplicam entre si, essa situação existe quando: 
(𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥.𝑦 
Veja um exemplo: 
 
Ex. 01 
 
Calcule 
23.(24)
2
25
 
Resolução: 
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23. (24)2
25
=
23. 216
25
=
2.19
25
= 2.19 . 2−5 = 214 
Por fim, um expoente que não necessariamente está representado como 
expoente é a raiz. A raiz, seja ela quadrada, cúbica ou de qualquer outra ordem, 
é um expoente dado por uma fração. De tal maneira, que a forma genérica é: 
√𝑎𝑦
𝑥
= 𝑎
𝑦
𝑥 
Portanto a raiz quadrada de um número pode ser reescrita como: √𝑎 = 𝑎
1
2 
 
3.1 Base 10 
 
Corriqueiramente trabalhamos com diversas escalas de números, desde 
da ordem de mil milhões até uma fração de um milhão. Contudo, escrever 
números relativamente grandes ou pequenos é algo não muito prático, pois 
envolve uma quantidade de zeros o que pode dificultar a interpretação do 
resultado. Sendo assim, para facilitar as contas, utilizamos a base dez. Veja 
alguns exemplos: 
 
Ex. 02 
 
Reescreve os números em base dez. 
a) 1450000 
b) 0,000454 
c) 8100000000 
Resolução: 
a) 1450000 = 1,45 . 106 
b) 0,000454 = 4,45 . 10−4 
c) 8100000000 = 8,1 . 109 
Note então que para reescrever um número dessa forma 10𝑎 em que 𝑎 é 
um número. Quando for simplificar um número positivo, constamos quantas 
casas decimais existem a direita no número, até a vírgula estar entre os dois 
primeiros números. No caso de 8100000000, começamos a contar da direita 
para a esquerda até a vírgula estar entre o primeiro e segundo número, 
totalizando nove casas decimais. 
Entretanto, quando simplificamos um número muito pequeno, começando 
a contar o número de casas decimais da esquerda para a direita, como foi o caso 
de 0,000454, até a vírgula chegar entre os dois primeiros números da esquerda 
para direita. Ou seja, nesse exemplo, existem 4 casas decimais entre o primeiro 
zero e 4,45. Como diminuímos as casas decimais, então o expoente é negativo. 
Muitas vezes, para auxiliar-nos nessas tarefas, existem prefixos bem 
definidos na literatura que substituem determinados expoentes de base dez. 
Veja na tabela abaixo: 
 
Tabela 1 – Prefixos científicos 
𝟏𝟎−𝟗 Nano (𝒏) 
𝟏𝟎−𝟔 Micro (𝝁) 
𝟏𝟎−𝟑 Mili (𝒎) 
𝟏𝟎𝟑 Quilo (𝑲) 
𝟏𝟎𝟔 Mega (𝑴) 
𝟏𝟎𝟗 Giga (𝑮) 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
Ex. 03 
 
Escreve os números abaixo com um prefixo adequado. 
a) 0,0056 𝑔 
b) 735000000 𝑚 
c) 0,000000013 𝑁 
Resolução: 
a) 0,0056 = 5,6.10−3 = 5,6 𝑚𝑔 
b) 735000000 𝑚 = 7,35.108 = 735.106 = 735 𝑀𝑚 𝑜𝑢 0,735.109 =
0,735 𝐺𝑚 
c) 0,000000013 𝑁 = 1,3.10−8𝑁 = 13.10−9𝑁 = 13 𝑛𝑁 
 
 
 
4 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
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Quando estudamos crescimento de bactérias, ou mesmo de preço de 
ações na bolsa de valores, até em física quando fazemos um estudo de um 
movimento em queda livre e precisamos determinar a velocidade limite de 
queda, nos deparamos nesses casos com a função exponencial. 
Vamos definir a função exponencial: 
Seja um número real 𝑎 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), denomina-se função exponencial 
de base 𝑎 e que essa base seja necessariamente positiva. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 Abaixo está o gráfico da função exponencial para diferentes valores do 
expoente. 
 
Figura 22 – Função exponencial 
 
Fonte: STEWART, 2016. 
 
Não é possível que a base seja um número negativo, igual a zero ou igual 
a 1. Por isso o domínio da função vai dos reais para os reais positivos 𝑓:ℝ →
 ℝ+
∗ . 
Vamos à alguns exemplos: 
 
Ex. 01 
 
Classifique se as funções abaixo são exponenciais. 
i. 𝑓(𝑎) = 2𝑎 
ii. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 
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iii. 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
iv. 𝑓(𝑥) = (−1)𝑥 
v. 𝑓(𝑥) = (1)𝑥 
vi. 𝑓(𝑥) = (𝑥)4 
Resolução: 
I. 𝑓(𝑎) = 2𝑎, como a base é maior do que 1, então é uma função 
exponencial. 
II. 𝑓(𝑥) = 4𝑥, veja que 4 > 1, então a função é exponencial. 
III. 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
, dessa vez temos o número 1/2 que se localiza entre 0 <
𝑎 < 1, logo, também é uma função exponencial. 
IV. 𝑓(𝑥) = (−1)𝑥, nesse caso a base é negativa, isso significa que não é 
uma função exponencial. 
V. 𝑓(𝑥) = (1)𝑥, como a base é igual a 1, isso não é uma função 
exponencial. 
VI. 𝑓(𝑥) = (𝑥)4, observe que a base é a variável, isso caracteriza uma 
função polinomial. A função exponencial a variável vai no expoente. Logo 𝑓(𝑥) =
(𝑥)4 não é exponencial. 
Agora no próximo exemplo, vamos trabalhar com as regras de 
potencialização e de base dez, visto no capítulo anterior. 
 
Ex. 02 
 
Dada a função exponencial 𝑓(𝑥) = 3𝑥, calcule: 
I) 𝑓(3); 
II) 𝑓(−2); 
III) 𝑓(0,5). 
Resolução: 
I) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 → 𝑓(3) = 33 → 𝑓(3) = 3.3.3 →∴ 𝑓(3) = 27 
II) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 → 𝑓(−2) = 3−2 → 𝑓(3) =
1
32
→∴ 𝑓(−2) =
1
9
 
III) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 → 𝑓(0,5) = 30,5 → 𝑓(0,5) = 31/2 →∴ 𝑓(0,5) = √3 
Vamos calcular o valor da incógnita em funções exponenciais. 
 
Ex. 03 
 
Determine o valor da variável na equação 
3𝑥+1 = 81 
Resolução: 
Para calcular o valor da variável, primeiro devemos deixar o lado direito 
da igualdade na mesma base que o lado esquerdo, ou seja: 
3𝑥+1 = 34 
Uma vez que 34 = 3.3.3.3 = 81. Agora, podemos simplificar as bases e 
sobra apenas: 
𝑥 + 1 = 4 
∴ 𝑥 = 3 
Ex. 04 
 
Resolva a equação 
(
1
2
)
𝑥
= √8
5
 
Resolução: 
Vamos transformar o termo de dentro da raiz na base 2: 
(
1
2
)
𝑥
= √23
5
 
Note que ainda as bases não são iguais. Mas vamos verificar a seguinte 
propriedade: 
(
𝑎
𝑏
)
𝑥
= (
𝑏
𝑎
)
−𝑥
 
Portanto: 
(
1
2
)
𝑥
= 23/5 → (
1
2
)
𝑥
= (
1
2
)
−3/5
 
Simplificando as bases: 
𝑥 = −
3
5
 
 
Ex. 05 
 
Resolva a equação exponencial 
7𝑥
2−4 = 1 
Resolução: 
Observe que as bases não são iguais e não tem como modificar isso. 
Contudo, lembre-se que qualquer coisa elevada a zero é igual a 1. Ou seja, 
podemos trocar o lado direita da igualdade por: 
7𝑥
2−4 = 70 
Assim a base é a mesma, podemos simplificar, ficando da seguinte forma: 
𝑥2 − 4 = 0 
𝑥2 = 4 
∴ 𝑥 = ±2 
 
Ex. 06 
 
Determine o valor da incógnita 
36𝑥−1 =
1
216
 
Resolução: 
Vamos colocar todos os termos na mesma base, podemos ver que 36 e 
216 são múltiplos de 6, assim: 
36𝑥−1 =
1
216
→ (62)𝑥−1 =
1
63
 
Do lado direito da igualdade, invertemos a ordem, com isso o expoente 
fica negativo. 
(62)𝑥−1 = 6−3 
Ademais, o lado esquerdo podemos usar a propriedade de multiplicação 
(𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥.𝑦 , ficando da seguinteforma: 
62𝑥−2𝑥 = 6−3 
Como a base é a mesma, podemos fazer: 
2𝑥 − 2 = −3 
2𝑥 = −3 + 2 → 2𝑥 = −1 
∴ 𝑥 = −
1
2
 
Ex. 07 
 
Determine o valor da variável na igualdade abaixo 
0,75𝑥 =
9
16
 
Resolução: 
Primeiramente 0,75 = 75/100. Então: 
(
75
100
)
𝑥
=
9
16
 
Simplificando o lado esquerdo da igualdade por 25: 
(
3
4
)
𝑥
=
9
16
 
(
3
4
)
𝑥
=
32
42
 
(
3
4
)
𝑥
= (
3
4
)
2
 
 
Comparando os dois lados: 
𝑥 = 2 
 
Ex. 08 
 
Resolva a equação 
(√5)
𝑥
= √625
5
 
Resolução: 
(√5)
𝑥
= √625
5
→ (51/2)
𝑥
= √54
5
 
(51/2)
𝑥
= √54
5
→ 5𝑥/2 = 54/5 
Como a base é a mesma: 
𝑥
2
=
4
5
 
Multiplicando cruzado: 
5𝑥 = 8 
∴ 𝑥 =
8
5
 
 
 
SAIBA MAIS 
 
Na matemática, existe um conjunto de números que engloba os números 
reais, este é chamado de conjunto dos números complexos, o qual inclui as 
raízes de números negativos.: 
A raiz de um número negativo pode ser dado pelo número complexo 𝑖: 
𝑖 = √−1 
Sendo assim, um dos matemáticos mais brilhantes da história, chamado 
Euler, encontrou uma relação que relaciona a exponencial de um número 
complexo com uma relação trigonométrica, dado por: 
𝑒𝑖𝜃 = cos(𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Através dela é possível caracterizar sistemas como osciladores 
harmônicos e entender o diagrama de correntes alternadas na física elétrica. 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
#SAIBA MAIS# 
 
REFLITA 
 
As funções exponenciais caracterizam diversos sistemas da natureza, 
como por exemplo o crescimento de bactérias, a evolução de uma ativo no 
mercado financeiro, o rendimento de uma empresa, o crescimento de uma planta 
entre inúmeros outros. Portanto, na carreira acadêmica ele é de extrema 
importância. 
 
Fonte: O autor (2021). 
 
#REFLITA# 
 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Pronto! Você chegou ao final da Unidade IV de nosso material e também 
da última unidade. Passou por uma sequência didática que te proporcionou uma 
base sólida em conteúdo de Matemática Básica, como regra de três da forma 
simples e composta, equações e funções de primeiro e segundo grau, Teorema 
de Pitágoras e suas extensões, cálculo de áreas, ângulos, representações em 
base 10 e funções exponenciais. 
Portanto, prezado aluno(a), nesta unidade foi possível estudar e abordar 
uma série de tópicos distintos, mas que fazem parte do cotidiano de um aluno 
das ciências exatas. Saber calcular áreas de quadrados, triângulos, trapézios e 
circunferências, bem como representar números grandes e pequenos em base 
10, manipular expoentes e funções exponenciais é de extrema importância. 
Esperamos que você tenha aproveitado ao máximo esse momento de 
estudo. Até a próxima! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO 
 
• Título: Pré-Cálculo – Uma Preparação para o Cálculo 
• Autor: Sheldon Axler. 
• Editora: LTC, 2ª edição. 
• Sinopse: Pré-Cálculo – Uma Preparação para o Cálculo chega para 
instigar no estudante o interesse pelo aprendizado das disciplinas de Matemática 
com sua metodologia diferenciada. Como entender os conceitos e as aplicações 
é essencial para um bom desempenho acadêmico, o livro aborda, 
detalhadamente e sem ser cansativo, os tópicos necessários para dominar essa 
matéria tão temida pelos estudantes. Os capítulos trazem um aprofundamento 
maior do tema em relação à bibliografia tradicional da área, com exemplos de 
conceitos, ampla variedade de exercícios e problemas, além de um manual de 
soluções contido na própria obra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FILME/ VÍDEO 
 
• Título: Aplicações da Matemática 
• Ano: 2017 
• Sinopse: Neste vídeo vários conceitos vistos nesse curso são aplicados, 
como por exemplo as proporções entre grandezas, funções exponenciais e como 
representar graficamente. 
• Link: https://www.youtube.com/watch?v=dXMtg0InieI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BETHLEM, A. Curso de Matemática. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 
1935. 
 
BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna, 2010. 
 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. São 
Paulo: FTD, 2010. 
 
STEWART, James. Cálculo: Volume 1. São Paulo Cengage Learning, 2016. 
 
 
CONCLUSÃO GERAL 
 
Prezado (a) aluno (a), 
 
Neste material, busquei trazer para você os principais tópicos da 
matemática. A proporção direta entre grandezas e a proporção indireta, além da 
divisão em partes diretamente e inversamente proporcionais. Para nos auxiliar 
nos cálculos, aprendemos as regras de três simples, inversa e composta. 
Na sequência, revisamos as funções que serão as mais corriqueiras em 
nossos estudos, a de primeiro grau, segundo grau. Vimos também a análise 
gráfica de cada uma delas. Ademais, as inequações e como interpretá-las. 
Na terceira parte da disciplina, revisamos o Teorema de Pitágoras, junto 
com um conjunto de exemplos. Aprendemos a generalização desse teorema, ou 
seja, que o mesmo pode ser enunciado de outras formas além de triângulos 
retângulos. Junto a isso, estudamos os ternos pitagóricos e o recíproco do 
Teorema de Pitágoras, que permite que um triângulo seja classificado como 
retângulo se obedecer ao teorema. 
 Finalizamos a disciplina com um conjunto de tópicos, começando com o 
cálculo de diferentes formas geométricas, aprendemos como interpretar 
diferentes medidas de ângulos, regras de potencialização e base dez, concluindo 
com as funções exponenciais. 
A partir de agora acreditamos que você já está preparado para seguir em 
frente desenvolvendo ainda mais suas habilidades em matemática e suas 
aplicabilidades. 
 
Até uma próxima oportunidade. Muito Obrigado!