ONDAS MECÂNICAS

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FÍSICA – TERMODINÂMICA E 
ONDAS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cruz 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Uma consequência de um objeto que esteja vibrando, sofrendo 
oscilações, é a formação de uma onda mecânica. A onda mecânica se propaga 
pelo meio material no qual está inserido o objeto vibrante; essa propagação 
estimula as partículas do meio material a oscilarem da mesma forma e 
frequência do objeto em questão, viajando de partícula a partícula conforme a 
onda se move. 
Nesta aula, iremos estudar a maneira mais simples de onda mecânica, 
chamada de onda periódica, observando sua forma e as grandezas físicas 
envolvidas em sua propagação, como comprimento de onda, período, 
frequência, amplitude e velocidade de propagação. Mensurando essas 
grandezas, seremos capazes, por meio de uma equação matemática chamada 
função de onda, de prever o movimento de cada partícula do meio material 
sujeita ao movimento da onda. 
Com esses conhecimentos preliminares, iremos nos aprofundar no 
assunto estudando o comportamento das ondas sonoras desde suas 
características, bem como as energias envolvidas no seu movimento e as formas 
de medir sua intensidade, como a escala decibel. 
TEMA 1 – ONDAS MECÂNICAS 
Os ruídos e estampidos característicos durante o funcionamento dos 
motores a combustão se devem basicamente às vibrações geradas pelo 
movimento dos pistões, atrito e oscilações das diversas partes do motor que 
deslocam o ar propagando o som por ondas mecânicas, desde sua origem e 
espalhando-se ao redor da máquina térmica. 
De forma simplificada, pode-se dizer que o surgimento de uma onda 
mecânica se dá devido a perturbações do meio material. Essa perturbação 
fornece energia causando desiquilíbrio na organização do meio. A mudança 
provocada propaga-se pelo meio material carregando a energia fornecida na 
forma de uma onda. Conforme a onda mecânica percorre o meio material 
afastando-se de sua origem, as partículas que compõem esse meio, uma a uma, 
ao serrem alcançadas pela onda são deslocadas de sua posição de equilíbrio 
para posições de maior energia que, posteriormente à passagem da onda, 
 
 
3 
devido a forças restauradoras e ao efeito de amortecimento, retornam para suas 
posições de origem. 
A maneira como essas partículas são deslocadas irá ditar a direção de 
vibração das partículas do meio. Quando a perturbação faz com que as 
partículas do meio se desloquem perpendicularmente em relação à direção de 
propagação da onda, dizemos que essa onda é transversal. Já quando o 
deslocamento das partículas ocorre na mesma direção da propagação da onda, 
esta é chamada de onda longitudinal. No entanto, dependendo da maneira com 
que ocorre a perturbação do meio, pode existir uma combinação de 
deslocamentos transversais e longitudinais produzindo ondas mistas. 
Independentemente de a onda mecânica ser transversal, longitudinal ou 
mista, a propagação da onda ocorre com velocidade constante, chamada de 
velocidade da onda. O valor dessa velocidade depende do tipo do meio de 
propagação (sólido, líquido ou gasoso) e da temperatura do meio. Apesar de a 
onda se deslocar pelo meio material, as partículas que compõem esse meio, não 
se deslocam com a onda, elas apenas oscilam em relação a um ponto médio de 
equilíbrio durante a passagem da onda. Portanto, uma onda transmite apenas 
energia e jamais transporta matéria de uma região para outra. 
1.1 Ondas periódicas 
Qualquer objeto que esteja oscilando irá provocar o surgimento de uma 
onda mecânica no meio material ao redor deste objeto. Se a oscilação ocorrer 
em movimentos repetitivos periódicos, cada partícula do meio material atingida 
pela onda, também sofrerá movimentos periódicos com a mesma frequência de 
oscilação da fonte que originou a perturbação. O resultado disso é a formação 
de uma onda periódica. 
Nessa condição, suponha que iremos oscilar a extremidade de uma corda 
esticada de forma periódica provocando movimento harmônico simples, com 
amplitude (A), frequência (f), frequência angular (𝜔) e período (T). O resultado 
dessa ação é a formação de uma onda na corda com uma sequência simétrica 
de cristas e vales. Observe na Figura 1 a progressão de uma onda periódica 
produzida em uma corda; o movimento da onda é mostrado em nove instantes 
diferentes. 
 
 
4 
Figura 1 – Onda senoidal transversal propagando-se para direita ao longo do 
comprimento de uma corda esticada 
 
 
 
5 
Fonte: Elaborado com base em Sears; Zemanski, p. 105. 
A onda avança uniformemente para a direita, repetindo sua forma em 
intervalo de tempos iguais. à medida que ela se propaga, qualquer partícula da 
corda oscila verticalmente em MHS, em torno de uma região de equilíbrio, com 
a mesma frequência da fonte oscilatória que a gerou. Por isso, não confunda o 
movimento de uma onda transversal ao longo da corda com o movimento de 
uma partícula da corda. A onda se desloca com velocidade constante ao longo 
da corda, enquanto o movimento da partícula é um MHS perpendicular à direção 
da propagação da onda. A Figura 2 indica algumas características das ondas 
periódicas. 
Figura 2 – Onda periódica transversal 
 
• 𝜆 – Comprimento de onda: é a medida linear da distância entre duas 
cristas ou dois vales consecutivos. 
• T – Período: intervalo de tempo entre uma oscilação completa da onda e 
a próxima. 
• 𝑣 – Velocidade de propagação: toda propagação de uma onda em um 
meio qualquer se propaga com determinada velocidade que depende do 
meio em que a onda se desloca. 
• 𝑓 – Frequência: número de ondas completas que passam pelo mesmo 
ponto em um intervalo de tempo igual a 1 segundo estabelece a 
frequência da onda. A frequência da onda é dada em Hertz (Hz), que 
corresponde ao número de ondas formadas por segundo. 
• A – Amplitude: distância média do deslocamento das partículas do meio 
material da sua posição de equilíbrio até seu deslocamento máximo 
quando sujeitas a onda. 
 
 
6 
A relação entre as grandezas da onda, como o comprimento de onda (𝜆), 
velocidade de propagação da onda (𝑣) e frequência (𝑓) é dado por: 
𝑣 = 𝜆. 𝑓 
A velocidade da onda é igual ao produto do comprimento de onda pela 
frequência de oscilação das partículas do meio. Neste exemplo, no qual o meio 
material é a corda, as ondas produzidas se propagam em uma única dimensão. 
No entanto, a teoria aqui desenvolvida é válida para ondas que se propagam em 
duas, como ondas em um lago, e até mesmo três dimensões, como é o caso das 
ondas sonoras. 
TEMA 2 – DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DAS ONDAS 
Descrever matematicamente as características de uma onda periódica em 
termos da velocidade da onda (𝑣), comprimento de onda (𝜆), frequência (𝑓), 
período (T) e amplitude (A) parece ser suficiente para entender o comportamento 
dessa onda. Entretanto, muitas vezes, para descrição mais detalhada do 
comportamento da onda precisamos determinar a posição e o movimento de 
cada partícula do meio material em função do tempo durante a passagem da 
onda. Para isso, será necessário descrever a onda por meio de uma equação de 
onda, ou função de onda. 
Para ilustrar, continuaremos observando ondas propagando-se em uma 
corda esticada; utilizaremos o sistema cartesiano (x, y), no qual foram 
localizados dois pontos da corda pelos valores de (x1; y1) e (x2; y2), conforme 
mostra a Figura 3. Para isso, o eixo x será posicionado ao longo da corda quando 
ela se encontra esticada na condição de equilíbrio; os valores da coordenada x 
irão determinar a posição de uma partícula da corda em relação ao local onde 
ela será oscilada pela fonte, ponto inicial. Já as coordenadas do eixo y irão 
determinar a posição da partícula da corda localizada pela coordenada x quando 
ela é deslocada na vertical em relação a sua posição de equilíbrio. 
Figura 3 – Coordenadas x, y para ondas em uma corda 
 
 
7 
 
O valor da coordenada y não só depende de uma partículaespecífica da 
corda, determinada pela coordenada x, como também do tempo t de propagação 
da onda. Portanto, o valor da coordenada y é uma função de x e do tempo, desta 
forma podemos escrever, y (x,t), chamada de função de onda. 
Com o conhecimento dessa função, pode-se determinar a posição de 
qualquer partícula da corda em qualquer instante, isso nos permite calcular a 
velocidade e a aceleração dessa partícula e, com isso, determinar a forma da 
corda durante a passagem da onda. 
2.1 Função de onda para uma onda senoidal 
O formato da corda quando uma onda transversal se propaga por ela é 
semelhante ao gráfico da função seno ou cosseno, com valores variando entre 
– 1 e +1, e repetindo seus resultados a cada 2𝜋 unidades. Isso sugere que a 
função de onda que descreve o movimento da onda é uma função do tipo 
senoidal. 
Supondo que a onda inicia à esquerda e se desloca para direita do eixo 
x, no sentido positivo do eixo x, de maneira que os valores da coordenada x ao 
longo da corda durante a propagação da onda estão aumentando. Nessa 
configuração, conforme a onda se desloca, cada partícula da corda atingida pela 
onda oscila sofrendo MHS com frequência e amplitude iguais ao do oscilador, 
fonte que originou a onda. 
O deslocamento y de uma partícula da corda localizada na posição x para 
um tempo 𝒕, sujeita a uma onda senoidal propagando-se em uma corda esticada 
no sentido +x, será dado por: 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
 
 
8 
A – Amplitude da onda 
 Em que: 𝒌 – Número de onda 
𝝎 – Frequência angular da onda 
A grandeza 𝒌, chamada de número de onda, é determinada pela razão 
entre 2𝝅 radianos e o comprimento de onda 𝝀. 
𝒌 =
𝟐𝝅
𝝀
 
A unidade do número de ondas é o radiano por metro (
𝒓𝒂𝒅
𝒎
). 
Pela função de onda podemos determinar a forma da onda para 
determinado instante de tempo t fixo. Esse gráfico fornece o deslocamento y de 
uma partícula a partir de sua posição de equilíbrio em função da coordenada x 
da partícula. 
Figura 4 – Gráfico do deslocamento y em função de x para tempo t = 0 
 
Analisando a equação de onda, também podemos representar o gráfico 
da coordenada y em função do tempo, para um valor fixo da coordenada x, neste 
caso, estaremos representando o movimento de determinada partícula 
localizada pela coordenada x. 
Figura 5 – Gráfico do deslocamento y em função do tempo t quando x = 0 
 
 
9 
 
Cuidado: apesar de os gráficos das Figuras 4 e 5 parecerem iguais, eles 
não o são. A Figura 4 é uma fotografia instantânea da forma da corda quando t 
= 0, e a Figura 5 representa o gráfico do deslocamento y de uma partícula 
localizada em x = 0 em função do tempo. 
Quando a onda periódica se propaga no sentido negativo do eixo x, ou 
seja, quando os valores das coordenadas do eixo x diminuem conforme a onda 
se propaga, devemos fazer uma pequena modificação na função de onda, 
alterando o sinal negativo por positivo; logo, teremos: 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 + 𝝎𝒕) 
Independentemente do sentido de propagação da onda, sentido positivo 
do eixo x, +x ou sentido negativo, – x, a grandeza (𝒌𝒙 ± 𝝎𝒕) é denominada fase 
da onda. O resultado da combinação das grandezas envolvidas na fase da onda, 
irão determinar um ponto específico da onda representado pela coordenada y. 
Para determinar a velocidade de propagação dessa onda será necessário viajar 
ao longo da onda para que a fase de determinado ponto permaneça constante. 
Supondo uma onda que viaje no sentido positivo do eixo x, a fase será 
determinada por (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) e, como vimos, essa fase deve permanecer 
constante, logo: 
(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos: 
𝒅(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕)
𝒅𝒕
=
𝒅 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
𝒅𝒕
 
𝒅 𝒌𝒙
𝒅𝒕
−
𝒅 𝝎𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎 
 
 
10 
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
− 𝝎
𝒅𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎 
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
= 𝝎 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
=
𝝎
𝒌
 
Como 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
 é a velocidade da onda 𝒗, chamada de velocidade de fase, 
teremos: 
𝒗 =
𝝎
𝒌
=
𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒏𝒅𝒂
 
2.2 Velocidade e aceleração de uma partícula do meio material oscilando 
por uma onda senoidal 
Até agora, fomos capazes de determinar a função de onda que nos 
possibilita indicar a posição de qualquer partícula do meio material sujeita a uma 
onda periódica senoidal transversal. Se essa onda viaja no sentido positivo do 
eixo x a função de onda é: 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Agora, queremos determinar uma equação que nos forneça a velocidade 
de oscilação de determinada partícula, localizada pela coordenada x constante. 
Para isso, iremos determinar a velocidade dessa partícula no eixo y, indicada 
por 𝑣𝑦(𝑥, 𝑡), pela derivada parcial da função de onda em relação ao tempo: 
𝜕 𝑦 (𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) 
𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) = 
𝜕 𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
= 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝒗𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝝎 𝑨 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Essa equação nos mostra que a velocidade transversal de determinada 
partícula varia com o tempo em função de um MHS. A velocidade máxima da 
partícula ocorrerá quando 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝟏, e nesse caso o módulo da 
velocidade máxima será: 
𝒗𝒚 𝒎á𝒙 (𝒙, 𝒕) = 𝝎 𝑨 
 
 
11 
Da mesma forma que fizemos para determinar a velocidade transversal 
da partícula sujeita à onda senoidal, iremos proceder para obter a aceleração da 
partícula no decorrer do tempo. Para isso, iremos realiza a derivada parcial de 
segunda ordem na equação de posição em função do tempo para onda senoidal: 
𝜕2𝑦 (𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡2
= 𝑎𝑦 (𝑥, 𝑡) 
𝑎𝑦 (𝑥, 𝑡) = 
𝜕 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
= − 𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝒂𝒚 (𝒙, 𝒕) = − 𝝎
𝟐𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Portanto, a aceleração de determinada partícula é igual a (− 𝝎𝟐) vezes 
seu deslocamento: 
𝒂𝒚 (𝒙, 𝒕) = − 𝝎
𝟐 𝒚(𝒙, 𝒕) 
A aceleração máxima da partícula ocorrerá quando 𝒄𝒐𝒔 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝟏, e 
nesse caso, o módulo da aceleração máxima será: 
𝒂𝒚 𝒎á𝒙 (𝒙, 𝒕) = 𝝎
𝟐 𝑨 
2.3 Velocidade de uma onda transversal 
Uma característica importante das ondas é sua velocidade de 
propagação; cada tipo específico de onda tem sua própria velocidade de 
propagação para um meio material particular. 
Mas o que determina essa velocidade de propagação? Para responder a 
essa pergunta, continuaremos utilizando como exemplo as ondas transversais 
em uma corda vibrante. Os resultados obtidos na análise desse tipo de onda são 
válidos e podem ser aplicados a outros tipos de ondas mecânicas. 
As grandezas físicas envolvidas para determinar a velocidade de 
propagação da onda em uma corda, são: tensão na corda F, força aplicada à 
corda que a mantém esticada e também à massa específica linear 𝝁 da corda, 
massa por unidade de comprimento. 
A relação matemática que determina a velocidade de propagação e uma 
onda em uma corda vibrante é dada pela raiz quadrada da razão entre a tensão 
na corda e sua massa específica linear: 
 
 
12 
𝒗 = √
𝑭
𝝁
 
Portanto, a velocidade de propagação da onda em uma corda aumenta 
quando a corda está mais esticada, ou seja, a tensão na corda é maior, e diminui 
quando a massa específica linear aumenta, ou seja, quando a corda é mais 
pesada. 
TEMA 3 – ENERGIA NO MOVIMENTO ONDULATÓRIO 
Uma das características de qualquer onda é que durante sua propagação 
ela transporta apenas energia e nunca matéria, portanto, todo movimento 
ondulatório possui determinada energia associada a ele. 
Vimos que uma onda mecânica ocorre com a perturbação do meio 
material, deslocando uma partícula do meio de sua posição de equilíbrio para 
outra posição de maior energia. Para isso, devemos aplicar força nessa partícula 
movendo-a para uma posição diferente da posição de equilíbrio, portanto, 
realizando um trabalho sobre ela. À medida que a onda se propaga, uma porção 
do meio exerce força nas partículas adjacentes e realiza um trabalho sobreelas, 
possibilitando a propagação da onda pelo meio e carregando a energia fornecida 
de uma região para outra. Analise o gráfico da coordenada y em função da 
coordenada x para uma onda que viaja em uma corda da esquerda para direita, 
apresentado na Figura 6. 
Figura 6 – Análise de um ponto a em um gráfico da coordenada y em relação à 
x de uma onda deslocando-se da esquerda para direita 
 
 
 
13 
Observe o ponto a localizado na corda durante a passagem da onda, ele 
foi ampliado e podemos ver que a inclinação da corda pode ser determinada pela 
relação entre o deslocamento 
Δ𝑦
Δ𝑥
 de um ponto adjacente ao ponto a. Existem 
forças atuando no ponto a neste instante, pois a parte da corda a direita do ponto 
a exerce força na parte da corda a esquerda do ponto a e vice-versa. Na Figura 7 
podemos ver a configuração dessas forças quando omitimos a parte da corda do 
lado esquerdo ao ponto a substituindo-a pela força que ela aplica no ponto a. 
Figura 7 – F e Fy são as componentes da força exercida pela parte da esquerda 
da corda sobre o ponto a 
 
Essa força foi decomposta em suas componentes retangulares F e Fy, 
sendo a força F a força de tensão na corda, e a força Fy a força que irá realizar 
trabalho no ponto a deslocando-o para outra posição no eixo y. 
A razão entre Fy e F é igual a inclinação negativa da corda no ponto a, 
que também é determinada por 
∆𝐲
∆𝐱
, ou considerando que y e x são deslocamentos 
infinitesimais nos eixos y e x, podemos escrever 
𝝏𝒚
𝝏𝒙
. Matematicamente, temos: 
𝑭𝒚
𝑭
 = − 
𝝏𝒚
𝝏𝒙
 
Como Fy e também 𝝏𝒚 são variáveis que dependem do valor da 
coordenada x e do tempo t, podemos escrever: 
𝑭𝒚(𝒙, 𝒕) = − 𝑭 
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒙
 
 
 
14 
Essa equação é válida para qualquer onda que se propaga em uma corda, 
senoidal ou não. Quando a onda for senoidal, podemos utilizar a função de onda 
vista no item anterior e realizar a derivada em relação a x. 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Logo, 
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒙
= −𝒌𝑨 𝐬𝐞𝐧 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Neste caso, a força que desloca as partículas da corda realizando trabalho 
sobre elas será: 
𝑭𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑭 𝒌 𝑨 𝐬𝐞𝐧(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
A taxa com que a força realiza trabalho permitindo o deslocando da onda 
é a potência da onda 𝑷 (𝒙, 𝒕), e pode ser determinada por: 
𝑃 (𝑥, 𝑡) = 𝐹𝑦(𝑥, 𝑡) . 𝑣𝑦(𝑥, 𝑡) 
𝑷 (𝒙, 𝒕) = − 𝑭 
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒙
 .
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒕
 
Como para onda senoidal: 
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒕
= 𝝎𝑨 𝐬𝐞𝐧(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Podemos escrever a potência como: 
𝑷 (𝒙, 𝒕) = 𝑭𝒌𝝎𝑨𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Uma forma alternativa para essa equação é substituir 𝒌 =
𝝎
𝒗
 e 𝒗 = √
𝑭
𝝁
, 
obteremos: 
𝑷 (𝒙, 𝒕) = √𝝁𝑭𝝎𝟐𝑨𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
O valor máximo de potência instantânea será dado quando 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 −
𝝎𝒕) = 𝟏, logo: 
𝑷𝒎á𝒙 (𝒙, 𝒕) = √𝝁𝑭𝝎
𝟐𝑨𝟐 
E a potência média transmitida pela onda senoidal será obtida quando 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) =
𝟏
𝟐
, o que corresponde à média em um ciclo completo, dada por: 
𝑷𝒎é𝒅 (𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐
√𝝁𝑭𝝎𝟐𝑨𝟐 
 
 
15 
3.1 Intensidade da onda 
A intensidade de uma onda é calculada tomando-se a taxa média de 
energia que é transportada pela onda em relação ao tempo, por unidade de área, 
em uma superfície perpendicular à direção de propagação da onda. A taxa da 
energia em relação ao tempo é a potência: 
𝑷 = 
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂
𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐
 
Em outras palavras, a intensidade da onda é igual à potência média 
transportada, pela unidade de área que ela transpassa. Aplicando esse conceito 
a ondas que se propagam em três dimensões, como as ondas sísmicas e as 
ondas sonoras, obtemos a seguinte configuração (Figura 8). 
Figura 8 – Fonte de onda ao centro e três esferas concêntricas de raios r1, r2, r3 
 
A fonte de onda está localizada no centro das esferas de raios r1, r2 e r3. 
Para calcular a intensidade média da onda a uma distância r1 da fonte, teremos: 
 
 
16 
𝑰𝟏 = 
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟏
𝟐 
Ou seja, a razão entre a potência média fornecida pela fonte P pela área 
da casca esférica de raio r1. Podemos usar o mesmo procedimento para calcular 
a intensidade da onda em um ponto afastado uma distância r2 da fonte, teremos: 
𝑰𝟐 = 
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟐
𝟐 
Se nenhuma energia da onda foi dissipada entre o ponto em r1 e o ponto 
em r2, a potência média da fonte é a mesma para os dois pontos. Então, 
podemos escrever: 
𝑰𝟏𝟒𝝅𝒓𝟏
𝟐 = 𝑰𝟐𝟒𝝅𝒓𝟐
𝟐 
 
 
Simplificando, temos: 
𝑰𝟏
𝑰𝟐
= 
𝒓𝟐
𝟐
𝒓𝟏
𝟐 
A intensidade I em qualquer distancia r da fonte é inversamente 
proporcional a 𝒓𝟐. Podemos escrever, 
𝑰𝟏
𝑰𝟑
= 
𝒓𝟑
𝟐
𝒓𝟏
𝟐 
Ou: 
𝑰𝟐
𝑰𝟑
= 
𝒓𝟑
𝟐
𝒓𝟐
𝟐 
Essa relação é conhecida como lei do inverso do quadrado para 
intensidade. 
3.2 Interferência de ondas e princípio da superposição 
Quando duas ondas ou mais se encontram propagando-se no mesmo 
meio e no mesmo local, elas sofrem um fenômeno ondulatório chamado 
interferência. Quando essa situação ocorre, devemos aplicar o princípio da 
superposição de ondas, que afirma que o deslocamento total da onda resultante 
no ponto onde duas ou mais ondas se superpõem é igual à soma dos 
 
 
17 
deslocamentos das ondas individuais, ou seja, a função de onda resultante é 
obtida pela soma das funções de onda das duas ondas que estão sofrendo 
interferência. 
𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝒚𝟏(𝒙, 𝒕) + 𝒚𝟐(𝒙, 𝒕) 
Podemos observar o princípio da superposição fazendo propagar dois 
pulsos de onda com sentidos de propagação opostos em uma mesma corda a 
partir das extremidades da corda. Suponha que os pulsos estejam invertidos um 
em relação ao outro, eles irão se aproximar e quando ambos estiverem na 
mesma posição da corda eles irão sofrer interferência, superpondo-se um em 
relação ao outro. Veja a Figura 9. 
Figura 9 – Dois pulsos de onda invertidos se propagando em uma corda em 
sentidos opostos e sofrendo superposição 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
 
 
18 
A Figura 9 mostra dois pulsos de onda invertidos se aproximando um do 
outro em diversos instantes de tempo. À medida que os pulsos se superpõem, o 
deslocamento da corda em qualquer ponto é a soma algébrica do deslocamento 
devido aos pulsos individuais. Repare que quando eles se encontram na mesma 
posição na corda, ocorre interferência, que, neste caso, é destrutiva e as ondas 
sofrem superposição, ou seja, há redução na amplitude da onda resultante. No 
entanto, depois do encontro dos pulsos, cada um segue seu caminho como se 
nada tivesse acontecido. 
Na Figura 10, os pulsos também se deslocam em sentidos opostos, mas 
não estão invertidos. Quando eles se encontram ocorre interferência construtiva, 
resultando em uma onda com amplitude maior, devido à soma das amplitudes 
dos pulsos individuais. 
Figura 10 – Dois pulsos de onda deslocando-se em sentidos opostos na mesma 
corda, no momento do encontro eles sofrem superposição 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
 
 
19 
TEMA 4 – ONDAS SONORAS 
As ondas sonoras são definidas como ondas mecânicas longitudinais e 
podem ser geradas mecanicamente, por exemplo, com o diapasão ou em 
aparelhos de ultrassom, por meio dos chamados transdutores eletroacústicos. 
Qualquer objeto que vibra é uma fonte de som. As ondas mecânicas perceptíveis 
ao ouvido humano estão compreendidas, aproximadamente, entre as 
frequências de 20 Hz a 20.000 Hz. Quanto maior a frequência, mais agudo é o 
som; quanto menor a frequência mais grave é o som. 
Os sons de frequência abaixo de 20 Hz, são chamados de infrassom e, 
com frequência acima de 20.000 Hz, de ultrassom. Nessas faixas de frequência, 
o som não é detectado pelo ouvido humano. 
Como vimos, a velocidade de propagação de uma onda depende do meio 
material onde ela se propaga e também da temperatura deste meio. Por 
exemplo, se o meio material de propagação da onda sonora for o ar atmosférico 
e a temperatura for de 0 oC, a velocidade de propagação da onda sonora é de 
aproximadamente330 m/s; já para temperaturas mais elevadas, por exemplo a 
20 oC, a velocidade passa a ser de aproximadamente 340 m/s. 
Apesar de as ondas sonoras serem longitudinais, a teoria envolvendo 
ondas mecânicas transversais em cordas também se aplica neste caso. 
Portanto, uma onda sonora também pode se comportar como uma onda 
senoidal, com amplitude, frequência e comprimento bem definidos. As ondas 
sonoras normalmente se propagam em três dimensões a partir da fonte. Para 
esse estudo, iremos considerar que a onda sonora seja uniforme e desloque-se 
em um meio material homogêneo. Neste caso, apesar de a onda se deslocar em 
três dimensões, afastando-se da fonte sonora, podemos escolher uma única 
direção de propagação para estudar o comportamento desta onda, pois, 
independentemente do eixo que escolhemos, o comportamento da onda será o 
mesmo. Com o intuito de facilitar o entendimento, iremos supor uma onda sonora 
movendo-se no sentido positivo do eixo x. Para esse caso, a função de onda é 
dada por: 
𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Nesta equação, a coordenada x localiza uma partícula no meio material a 
partir da origem onde se encontra a fonte sonora. Seu eixo é encontrado paralelo 
ao deslocamento da onda. Já para a coordenada y, quando a onda é longitudinal, 
 
 
20 
seu eixo é encontrado paralelo ao eixo da coordenada x e fornece o 
deslocamento da partícula localizada pela coordenada x no meio material 
quando atingido pela onda. A amplitude (A), também chamada de amplitude de 
deslocamento, é o deslocamento máximo da partícula selecionada a partir da 
posição de equilíbrio. 
4.1 Velocidade das ondas sonoras 
Ao estudarmos ondas transversais propagando-se em uma corda 
esticada, vimos que a velocidade de propagação dessa onda dependia da tensão 
aplicada à corda (F), que indica o quanto a corda está esticada, e da densidade 
linear da corda (massa da corda dividida pelo seu comprimento). 
𝒗 = √
𝑭
𝝁
 
Por analogia, para uma onda sonora que se propaga em um gás, iremos 
substituir a tensão F aplicada pelo módulo de compressão B e a densidade 
linear, pela densidade do gás 𝝆. Logo, a velocidade de propagação de uma onda 
sonora em um gás será determinada pela relação: 
𝒗 = √
𝑩
𝝆
 
Portanto, a velocidade de propagação de um pulso ondulatório 
longitudinal em um fluido depende apenas do módulo de compressão do fluido 
e da densidade do meio. Essa equação é válida para toda onda longitudinal se 
propagando em um fluido, como a velocidade do som no ar ou na água. 
TEMA 5 – INTENSIDADE E NÍVEL DE INTENSIDADE SONORA 
Como destacamos no início da aula, toda onda transfere energia de um 
ponto do meio material onde ela se propaga para outro local deste meio material. 
Vimos que a intensidade de uma onda sonora é determinada pela taxa temporal 
média com a qual a energia é transferida pela onda, por unidade de área. 
𝑰 = 
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟐
 
 
 
21 
O que pretendemos agora é expressar a intensidade de uma onda sonora 
senoidal em termos da amplitude de deslocamento A. Omitindo alguns passos, 
obtemos a expressão a seguir: 
 𝑰 = 
𝟏
𝟐
√𝝆𝑩𝝎𝟐𝑨𝟐 
Intensidade de uma onda sonora senoidal. 
5.1 Escala decibel 
O sistema auditivo do homem consegue captar sons de intensidade muito 
baixa, em torno de 𝟏. 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑾
𝒎𝟐
, até intensidade bem maiores, podendo chegar 
a 𝟏𝟎𝟎
𝑾
𝒎𝟐
. Como podemos notar, para representar a intensidade sonora audível 
ao ser humano teríamos uma faixa de valores possíveis bastante extensa. Para 
facilitar essa representação, costuma-se utilizar uma escala logarítmica, 
chamada escala decibel. 
Esta escala foi criada por cientistas que trabalhavam na empresa Bell 
Labs. Eles aprimoraram os estudos de Alexandre Graham Bell, dono das 
indústrias Bell, para medir a perda de potência em cabos de telecomunicações. 
A escala 𝜷, como ficou conhecida, é definida como o logaritmo decimal da razão 
da intensidade medida I pela intensidade no menor limiar auditivo do ser humano 
no ar, correspondente a 𝑰𝒐 = 𝟏. 𝟏𝟎
−𝟏𝟐 𝑾
𝒎𝟐
 . 
𝜷 = 𝟏𝟎 𝒅𝑩 𝐥𝐨𝐠
𝑰
𝑰𝒐
 
O nível da intensidade sonora é expresso em decibel dB. Na Tabela 1, a 
seguir, estão representados os valores médios da intensidade sonora medida 
em watts por metro quadrado 
𝑊
𝑚2
, comparando aos valores na escala decibel para 
alguns sons comuns no nosso dia a dia. 
Tabela 1 – intensidade sonora de diversos tipos de fonte 
FONTE SONORA INTENSIDADE (
𝐰
𝐦𝟐
) ESCALA DECIBEL (dB) 
Limite da dor 102 140 
Buzina de trem 100 120 
Avião a jato 
Concerto de rock 10-2 100 
 
 
22 
Britadeira 
Caminhões acelerando 10-4 80 
Rua movimentada 
Aspirador de pó 
Escritório 10-6 60 
Restaurante 
Área residencial à noite 10-8 40 
Estúdio de rádio 10-10 20 
Cochichar 
Limite da audição humana 10-12 0 
FINALIZANDO 
Vimos que, quando ocorre perturbação de um meio material, ela modifica 
a condição física de equilíbrio de um ponto material, fazendo com que a 
perturbação se propague ao longo do meio na forma de uma onda. Se essa 
perturbação ocorrer de forma periódica, repetindo-se a intervalos de tempo 
iguais, teremos a formação de uma onda periódica. 
A onda formada irá depender de como as partículas do meio são 
perturbadas, podendo formar ondas transversais. Neste caso, a direção da 
oscilação das partículas é perpendicular à direção de propagação da onda, por 
exemplo, ondas em uma corda ou ondas na superfície de um lago. Outra forma 
são as ondas longitudinais, em que a direção da oscilação das partículas do meio 
material coincide com a direção da propagação da onda, por exemplo, as ondas 
sonoras. 
Durante a maioria das atividades exercida por nós, sempre estaremos 
rodeados de ondas sonoras. Como vimos, o som é uma onda que transporta 
apenas energia. Ele pode ser classificado como onda mecânica, que se propaga 
no meio de forma longitudinal, afastando-se do ponto de origem de maneira 
tridimensional. Algumas características importantes de todas as ondas é sua 
frequência e amplitude. No caso da onda sonora, a frequência irá determinar se 
o som é agudo ou grave. Ondas sonoras com frequências menores produziram 
sons mais graves e ondas com frequências maiores, sons agudos. Já a 
amplitude está relacionada ao volume do som: quanto maior a amplitude maior 
será o volume do som produzido. 
 
 
23 
Qualquer onda pode sofrer o fenômeno de interferência, que irá correr 
quando duas ondas ou mais se superpõe em um meio material. Existem dois 
tipos de interferência de ondas: a interferência construtiva, na qual a amplitude 
da onda resultante é maior do que a amplitude de cada uma das ondas 
separadamente, e a interferência destrutiva, em que a amplitude da onda 
resultante é menor do que a amplitude de cada uma das ondas separadamente. 
Uma forma de medir o som é por meio de sua intensidade, que pode ser 
medida em watts por metro quadrado (
𝑊
𝑚2
). Para o ouvido humano, a menor 
intensidade audível corresponde a 10−12
𝑊
𝑚2
 e a maior, já no limite da dor, 
corresponde a 100
𝑊
𝑚2
. 
Pela grande amplitude de valores possíveis para medir a intensidade 
sonora, costuma-se utilizar uma escala logarítmica para representar esses 
valores. A escala utilizada é a Escala Decibel, em que o nível da intensidade 
sonora é expresso em decibel (dB), pela relação a seguir. 
𝜷 = 𝟏𝟎 𝒅𝑩 𝒍𝒐𝒈
𝑰
𝑰𝒐
 
O nível da intensidade sonora 𝜷 é a medida logarítmica de sua 
intensidade, medida em relação a Io, uma intensidade arbitrária correspondente 
à menor intensidade audível. 
 
 
 
24 
REFERÊNCIAS 
SEARS; ZEMANSKI. Física II – Termodinâmica e Ondas. 12. ed. Pearson. 
DAVID, H.; ROBERT, R.; JEARL, W. Fundamentos de Física. Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica, v. 2., 10 ed.