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Capítulo 2_4
Programação Linear
e a Forma Tabular
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Conteúdos do Capítulo
• Problemas de Programação Linear
– Resolução pelo método tabular
• Decisão de Parada
• Variável que Entra e que Sai
• Encontrando uma nova solução
• Estudo de Casos
– Caso LCL Transportes Ferroviários
– Caso LCL Agrícola Ltda
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Método Simplex
Forma Tabular
• Quando estivermos resolvendo um problema de 
programação linear manualmente, é conveniente 
utilizar a forma tabular do método simplex.
• Em vez de se utilizar os dicionários, devemos usar o 
quadro simplex para registrar apenas as infor-
mações essenciais, isto é:
– os coeficientes das variáveis
– as constantes das restrições
– as variáveis básicas e não básicas
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Programação Linear 
Solução Tabular
• Solução Iterativa  Determine uma solução 
básica viável e o quadro 
inicial
 Decisão de Parada
 Determine:
◼ Variável que entra
◼ Variável que sai
◼ Nova solução básica
Solução
Ótima?
Não
Fim
Sim
Determine uma solução 
viável melhor
Determine
uma solução viável
Início
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Método Simplex – Forma 
Tabular
Passo de Iniciação
max Z x x= +5 21 2
1
x  42
x x+ 2 91 2
s r x  3. .
x x 0 01 2,
x x3 13= -
x x x x x1 2 3 4 5 0, , , ,
x x4 24= -
x x x5 1 29 2= - -
z x x1 25 2= +
• Problema Forma 
Padrão
 Dicionário Inicial
Introdução das Variáveis de Folga
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Método Simplex - Forma 
Tabular
Passo de Iniciação
b
ás
ic
as
n
ão
 b
ás
ic
as
0,,,,
25
29
4
3
54321
21
215
24
13

+=
--=
-=
-=
xxxxx
xxz
xxx
xx
xx
0,,,, 54321 xxxxx
025 21 =-- xxz
92 521 =++ xxx
442 =+ xx
331 =+ xx
• Dicionário Inicial  Dicionário Inicial Modificado
 Selecione as variáveis originais como não básicas
 Selecione as variáveis de folga como básicas
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A Tabela de Síntese
• Uma linha para cada restrição do dicionário
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Forma Tabular
Passo de Iniciação
 Cada equação do dicionário inicial modificado ocupará uma linha da tabela de síntese, 
inclusive a equação expressão de Z
3 92
2 4
1 3
0 025
521
42
31
21
Equaçãoxxx
Equaçãoxx
Equaçãoxx
EquaçãoxxZ
=++
=+
=+
=--
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Forma Tabular
Leitura da Solução Atual
• Solução Viável Básica Inicial (0,0,3,4,9) e Z = 0
•Se a variável for básica, seu valor está na última coluna
•Caso contrário seu valor é 0.
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Forma Tabular
Passo de Parada
• Os coeficientes de z sofreram alteração de sinal
• Agora a solução é ótima, se todos os coeficientes da linha z 
forem não negativos
• Neste caso, a solução não é ótima.
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Forma Tabular
Variável que Entra
• Variável que entra no conjunto das variáveis 
básicas é a que tem o coeficiente negativo 
com menor índice na linha z.
• No nosso caso, a variável x1.
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Forma Tabular
Variável que Sai
• Como decidiríamos se estivéssemos 
resolvendo pelo Método do Dicionário?
Existem apenas 3 candidatos a sair
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24 4 xx -=
13 3 xx -=
215 29 xxx --=
Forma Tabular
Variável que Sai
331 =+ xx
442 =+ xx
92 521 =++ xxx
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30303 11313 --= xxxexx
90909 11515 --= xxxexx
;4 24 xx -= Sem restrições ao crescimento de x1
Forma Tabular
Variável que Sai
 No método dicionário, faríamos:
 E escolheríamos a mais rigorosa
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Forma Tabular
Variável que Sai
30303 11313 --= xxxexx
Restrição de =
Valor da Equação
Constante da restrição
Coeficiente da variável
que está entrando 1
3
 Na forma tabular, também faremos apenas a divisão.
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Forma Tabular
Variável que Sai
• Variável que sai do conjunto das variáveis básicas é a que 
apresenta o menor valor positivo a coluna divisão (#DIV/0! 
significa sem restrição)
• No nosso caso, x3 impõe a maior restrição ao aumento de 
x1.
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Forma Tabular 
O Pivô da tabela
• Até agora, decidimos quem deve entrar, x1, e quem 
deve sair, x3.
• A interseção da coluna da variável que vai entrar 
(coluna pivô) com a linha da variável que vai sair 
(linha pivô) nós chamamos de número pivô.
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Forma Tabular 
Criando a Nova Tabela
• Este passo é correspondente ao passo de criar 
o novo dicionário, só que mais fácil;
• Neste processo o pivô será elemento-chave;
• Criaremos linha por linha da nova tabela, 
seguindo uma ordem:
– Primeiro a linha do pivô
– Depois, em qualquer ordem, todas as outras linhas
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Criando a Nova Linha do 
Pivô
• Obedeceremos a fórmula:
PivôdoValor 
PivôdoLinhaAntiga
PivôdoLinhaNova =
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Criando a Nova Linha do 
Pivô
3 001010
1 111111
3 001010
 PivôLinha Nova
Pivô número 
Atual Pivô Linha
=
=

Z x1 x2 x3 x4 x5 Constante
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Forma Tabular - Passo de 
Iterativo
c) Determinação da Nova Solução
[Antiga Linha Pivô]
Nº Pivô
Nova Linha Pivô= 
3 001010
1 111111
3 001010
 PivôLinha Nova
Pivô número 
Atual Pivô Linha
=
=

Z x1 x2 x3 x4 x5 Constante
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Calculando as Novas Outras 
Linhas
Linhas Genéricas
Pivôdo
LinhaNova
pivôdo
colunanalinha
destacoeficiente
-
Genérica
LinhaAntiga
Genérica
LinhaNova











=
• Obedeceremos a fórmula:
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Calculando a Nova Linha
da Função Objetivo
=-=






















-
15
0
0
5
2
0
1






















3
0
0
1
0
1
0
( )-5






















-
-
0
0
0
0
2
5
1
0Linha
Nova
Pivôdo
Linha
Nova
-Linha 0
Antiga

pivôcol.
dacoef.








=
Linha
Nova
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Forma Tabular - Passo de 
Iterativo
c) Determinação da Nova Solução
Nova Linha 0 = [Antiga Linha 0]– [Coef. Da Col. Pivô]0 x [Nova Linha Pivô]
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Forma Tabular - Passo de 
Iterativo
c) Determinação da Nova Solução
Nova Linha 2 = [Antiga Linha 2]– [Coef. Da Col. Pivô]2 x [Nova Linha Pivô]
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Forma Tabular - Passo de 
Iterativo
c) Determinação da Nova Solução
Nova Linha 3 = [Antiga Linha 3]– [Coef. Da Col. Pivô]3 x [Nova Linha Pivô]
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Método Simplex - Forma 
Tabular
Passo de Parada
• Neste caso, a solução não é ótima pois o 
coeficiente de x2 é negativo. 
• Solução Viável Básica Após 1ª iteração= 
(3,0,0,4,6) e Z = 15
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Forma Tabular - Passo de 
Iterativo
a) Variável que Entra na Base
• Variável que entra no conjunto das variáveis 
básicas éa que tem o coeficiente negativo 
com menor índice na linha z.
• No nosso caso, a variável x2
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Forma Tabular - Passo de 
Iterativo
b) Variável que Sai da Base
• A variável que sai do conjunto das variáveis 
básicas é a que apresenta a maior restrição à 
variável que está entrando.
• No nosso caso, x5 impõe a maior restrição ao 
aumento de x2
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Forma Tabular - Passo de 
Iterativo
c) Determinação da Nova Solução
• Neste caso, a solução é ótima pois todos os 
coeficientes da Linha Z são não negativos. 
• Solução Ótima é dada por (3,3,0,1,0) e Z =21
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Exercício Recomendado
• Resolva o Problema de LP usando o Excel
0;; 
20 
15023 
35045 
500539 ..
151230 max
321
3
31
21
321
321


+
+
++
++
xxx
x
xx
xx
xxxrs
xxx
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Forma Tabular
Usando Excel
2073 =+ xx
15023 631 =++ xxx
35045 521 =++ xxx
500539 4321 =+++ xxxx
0151230Z 321 =--- xxx
 Encontrando o Dicionário Inicial Modificado

203 x
15023 31 + xx
35045 21 + xx
500539 321 ++ xxxs.r.
151230 321 ++ xxxmax
0;; 321 xxx
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 Quadro Inicial:
 Todas as colunas das variáveis básicas são compostas por 0 e 1
 O número 1 aparece na interseção da coluna e da linha de cada variável básica
Forma Tabular
Usando Excel
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Variável que Entra e que Sai
• Entra a variável com coeficiente negativo e menor subscrito da 
linha Z.
• Sai a variável que apresentar o menor valor da divisão entre a 
constante e o coeficiente da coluna pivô.
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Encontrando uma Nova Solução
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Decisão de Parada
• Existe pelo menos um coeficiente correspondente às variáveis 
de decisão, na linha Z, que é negativo.
• Portanto, não é a solução ótima.
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Forma Tabular - Usando 
Excel
 Variável que Entra e que Sai
• Entra x2 – Variável com coeficiente negativo
• Sai x4 – Variável que impõe maior restrição ao crescimento de x2
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Forma Tabular – Usando
Excel
Encontrando uma Nova Solução
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Decisão de Parada
• Existe pelo menos um coeficiente correspondente às variáveis 
de decisão, na linha Z, que é negativo.
• Portanto, não é a solução ótima
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• Entra x6 – Variável com coeficiente negativo
• Sai x5 – Variável que impõe maior restrição ao crescimento de x6
Forma Tabular - Usando 
Excel
 
Variável que Entra e que Sai
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Encontrando uma Nova Solução
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• Existe pelo menos um coeficiente correspondente às variáveis 
de decisão, na linha Z, que é negativo.
• Portanto, não é a solução ótima
Forma Tabular - Usando 
Excel
Decisão de Parada
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• Entra x3 – Variável com coeficiente negativo
• Sai x7 – Variável que impõe maior restrição ao crescimento de x3
Forma Tabular - Usando 
Excel
 Variável que Entra e que Sai
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Encontrando uma Nova Solução
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• Não existe pelo menos um coeficiente das variáveis de decisão 
na linha zero que é negativo.
• Portanto, é a solução ótima
Forma Tabular - Usando 
Excel
Decisão de Parada
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Exercício Recomendado
0,,
40322
3033..
634
321
321
321
321

++
++
++=
xxx
xxx
xxxrs
xxxZmax
• Resolva o Problema de LP usando o Excel
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0,, 321 xxx 0;;;; 54321 xxxxx
634 321 ++= xxxZmax
3033.. 321 ++ xxxrs
40322 321 ++ xxx 0634 321 =--- xxxZ
40322 5321 =+++ xxxx
3033 4321 =+++ xxxx
 Encontrando o Dicionário Inicial Modificado
Exercício Recomendado
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Forma Tabular
Usando Excel
 Todas as colunas das variáveis básicas são compostas por 0 e 1
 O número 1 aparece na interseção da coluna e linha da de cada variável básica
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Encontrando uma Nova Solução
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Encontrando uma Nova Solução
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Forma Tabular - Usando 
Excel
Encontrando uma Nova Solução
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Exercício Recomendado
0,,,
2
3..
4321
43
21
4321

+
+
+++=
xxxx
xx
xxrs
xxxxZmax
• Resolva o Problema de LP usando o Excel
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0,,, 4321 xxxx
243 + xx
3.. 21 + xxrs
4321
+++= xxxxZmax
0,,,,, 654321 xxxxxx
04321 =---- xxxxZ
2643 =++ xxx
3521 =++ xxx
 Encontrando o Dicionário Inicial Modificado
Forma Tabular
Usando Excel
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Forma Tabular
Usando Excel
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Forma Tabular
Usando Excel
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Caso LCL Transportes 
Ferroviários
• A LCL Transportes Ferroviários tem um trem que tem dois compartimentos de 
carga. Os dois compartimentos têm uma capacidade de peso de 60.000 e 70.000 
quilos e uma capacidade volumétrica de 30.000 e 50.000 metros cúbicos, 
respectivamente. A LCL foi contratada para levar cargas de carne de frango 
empacotada e grãos de trigo. A quantidade total da carne de frango e grãos de 
trigo disponíveis são respectivamente 80.000 e 100.000 quilos. O volume por 
massa da carne de frango é 0,02 metro cúbico por quilo, e o volume por massa do 
grão de trigo é 0,04 metro cúbico por quilo. O lucro para transportar carne de 
frango e grãos de trigo são R$ 0,30 e R$ 0,12 por quilo. A LCL é livre para aceitar 
toda ou parte da carga disponível. Quantos quilos de carne de frango e de grãos 
devem ser transportados para maximizar o lucro? Resolva pelo método Simplex 
Tabular.
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• Variáveis de Decisão
– x11 – Quantidade de Toneladas de carne de frango a ser transportada no 
compartimento 1
– x12 – Quantidade de Toneladas de carne de frango a ser transportada no 
compartimento 2
– x21 – Quantidade de Toneladas de grãos de trigo a ser transportada no 
compartimento 1
– x22 – Quantidade de Toneladas de grãos de trigo a ser transportada no 
compartimento 2
Caso LCL Transportes 
Ferroviários
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• Função-Objetivo
 Restrições de Capacidade 
de Peso
 Restrições de Capacidade 
Volumétrica
 Restrições de não 
Negatividade
Caso LCL Transportes 
Ferroviários
 Disponibilidade de
 Matéria Prima
0x,x,x,x
100000xx
80000xx
50000x04,0x02,0
30000x04,0x02,0
70000xx
60000xx
x12,0x12,0x3,0x3,0Max
22211211
2221
1211
2212
2111
2212
2111
22211211

+
+
+
+
+
+
+++ 
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Primeira Solução
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Segunda Solução
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Terceira Solução
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Caso LCL Agrícola Ltda.
• A LCL Agrícola Ltda. possui uma fazenda com 200 hectares de terra no 
Pará, onde planeja cultivar trigo, cevada e milho. A produção esperada é 
de 1800 kg por hectare plantado de trigo, 2100 kg por hectare de cevada e 
2900 kg por hectare de milho. A empresa possui galpões com condições 
de armazenar no máximo 600 toneladas de quaisquer dos produtos ou 
combinação dos mesmos. O departamento de marketing estabeleceu 
demandas máximas em toneladas de 300, 200 e 400 para o trigo, cevada e 
milho, respectivamente. Sabendo que os lucros por kg são de R$1,20 no 
trigo, R$0,60 na cevada e R$0,28 no milho, determine quantos hectares de 
cada produto ele deve plantar para maximizar o lucro.
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• Variáveis de Decisão
– x1 - N° de Hectares onde serão plantados trigo
– x2 - N° de Hectares onde serão plantados cevada
– x3 - N° de Hectares onde serão plantados milho
Caso LCL Agrícola Ltda.
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• Função-Objetiva = Maximizar Lucro
Caso LCL Agrícola Ltda.
321
321
12826011602 max
)2900,280()21006,0()18002,1( max
xxx
ou
xxx
++
++
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Caso LCL Agrícola Ltda.
• Restrições de Terreno
• Restrição Demanda
– Trigo
– Cevada
– Milho
• Restrição de 
 Armazenagem 600000290021001800
4000002900
2000002100
3000001800
200
321
3
2
1
321
++



++
xxx
x
x
x
xxx
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Caso LCL Agrícola Ltda. 
O Modelo
0;;
600000290021001800
4000002900
2000002100
3000001800
200
..
12826011602 max
321
321
3
2
1
321
321

++



++
++
xxx
xxx
x
x
x
xxx
rs
xxx
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Primeira Solução
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Segunda Solução
 Solução Ótima
	Slide 1
	Slide 2: Conteúdos do Capítulo
	Slide 3: Método Simplex Forma Tabular
	Slide 4: Programação Linear Solução Tabular
	Slide 5: Método Simplex – Forma Tabular Passo de Iniciação
	Slide 6: Método Simplex - Forma Tabular Passo de Iniciação
	Slide 7: A Tabela de Síntese
	Slide 8: Forma Tabular Passo de Iniciação
	Slide 9: Forma Tabular Leitura da Solução Atual
	Slide 10: Forma Tabular Passo de Parada
	Slide 11: Forma Tabular Variável que Entra
	Slide 12: Forma Tabular Variável que Sai
	Slide 13: Forma Tabular Variável que Sai
	Slide 14: Forma Tabular Variável que Sai
	Slide 15: Forma Tabular Variável que Sai
	Slide 16: Forma Tabular Variável que Sai
	Slide 17: Forma Tabular O Pivô da tabela
	Slide 18: Forma Tabular Criando a Nova Tabela
	Slide 19: Criando a Nova Linha do Pivô
	Slide 20: Criando a Nova Linha do Pivô
	Slide 21: Forma Tabular - Passo de Iterativo c) Determinação da Nova Solução
	Slide 22: Calculando as Novas Outras Linhas Linhas Genéricas
	Slide 23: Calculando a Nova Linha da Função Objetivo
	Slide 24: Forma Tabular - Passo de Iterativo c) Determinação da Nova Solução
	Slide 25: Forma Tabular - Passo de Iterativo c) Determinação da Nova Solução
	Slide 26: Forma Tabular - Passo de Iterativo c) Determinação da Nova Solução
	Slide 27: Método Simplex - Forma Tabular Passo de Parada
	Slide 28: Forma Tabular - Passo de Iterativo a) Variável que Entra na Base
	Slide 29: Forma Tabular - Passo de Iterativo b) Variável que Sai da Base
	Slide 30: Forma Tabular - Passo de Iterativo c) Determinação da Nova Solução
	Slide 31: Exercício Recomendado
	Slide 32: Forma Tabular Usando Excel
	Slide 33: Forma Tabular Usando Excel
	Slide 34: Forma Tabular - Usando Excel Variável que Entra e que Sai
	Slide 35: Forma Tabular - Usando Excel Encontrando uma Nova Solução
	Slide 36: Forma Tabular - Usando Excel Decisão de Parada
	Slide 37: Forma Tabular - Usando Excel Variável que Entra e que Sai
	Slide 38: Forma Tabular – Usando Excel Encontrando uma Nova Solução
	Slide 39: Forma Tabular - Usando Excel Decisão de Parada
	Slide 40: Forma Tabular - Usando Excel Variável que Entra e que Sai
	Slide 41: Forma Tabular - Usando Excel Encontrando uma Nova Solução
	Slide 42: Forma Tabular - Usando Excel Decisão de Parada
	Slide 43: Forma Tabular - Usando Excel Variável que Entra e que Sai
	Slide 44: Forma Tabular - Usando Excel Encontrando uma Nova Solução
	Slide 45: Forma Tabular - Usando Excel Decisão de Parada
	Slide 46: Exercício Recomendado
	Slide 47: Exercício Recomendado
	Slide 48: Forma Tabular Usando Excel
	Slide 49: Forma Tabular - Usando Excel Encontrando uma Nova Solução
	Slide 50: Forma Tabular - Usando Excel Encontrando uma Nova Solução
	Slide 51: Forma Tabular - Usando Excel Encontrando uma Nova Solução
	Slide 52: Exercício Recomendado
	Slide 53: Forma Tabular Usando Excel
	Slide 54: Forma Tabular Usando Excel
	Slide 55: Forma Tabular Usando Excel
	Slide 56: Caso LCL Transportes Ferroviários
	Slide 57: Caso LCL Transportes Ferroviários
	Slide 58: Caso LCL Transportes Ferroviários
	Slide 59: Primeira Solução
	Slide 60: Segunda Solução
	Slide 61: Terceira Solução
	Slide 62: Caso LCL Agrícola Ltda.
	Slide 63: Caso LCL Agrícola Ltda.
	Slide 64: Caso LCL Agrícola Ltda.
	Slide 65: Caso LCL Agrícola Ltda.
	Slide 66: Caso LCL Agrícola Ltda. O Modelo
	Slide 67: Primeira Solução
	Slide 68: Segunda Solução Solução Ótima