Portfólio Geometria Plana

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CLARETIANO – CENTRO UNIVERSITÁRIO 
 
 
ALUNA: RENATA CUSTODIO DO NASCIMENTO 
 
 
RA: 8167561 
 
 
 
CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
DISCIPLINA: GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
PROFESSOR: BEATRIZ CONSUELO KUROISHI MELLO SANTOS 
 
 
 
 
JI- PARANÁ, RO 
2023 
http://www.claretiano.edu.br/
 
 
PORTFÓLIO 1 – GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
 
1-Na figura abaixo as retas r e s são paralelas e cortadas por uma reta t. 
O ângulo α na figura vale: 
 
 
R: 2𝑥 + 80 + 𝑎 = 180° 
𝑎 = 3𝑥 
2𝑥 + 80 + 3𝑥 = 180° 
5𝑥 = 180 − 80 
5𝑥 = 100 
𝑥 = 20 
𝑎 = 3𝑥 → 𝑎 = 3 ∙ 20 → 𝑎 = 60° 
 
2-Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. 
 
Determine a medida do ângulo x. 
 
R: 180 − 146 = 35 
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180 − 154 = 26 
34 + 26 = 60 
𝑥 = 60° 
 
3-Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma 
medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não 
tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais 
velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de 
uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular 
(como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7m maior do que a largura. 
 
Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular 
cujas medidas, em metros, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, 
a? 
 
 
R: 
15 ∙ 15
2
+
21 ∙ 3
2
 
225
2
+
63
2
 
288
2
= 144𝑚² 
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(𝑥 + 7) ∙ 𝑥 
 𝑥2 + 7𝑥 − 144 = 0 
∆= 72 − 4 ∙ 1(−144) 
∆= 49 + 576 = 625 
𝑥 = −7 ± 25 
𝑥´ =
−7 + 25
2
 𝑥´´ =
−7 − 25
2
 
𝑥´ =
18
2
= 9 
𝑥 = 9 
 Portando o terreno deve ter área igual a 16x9m² 
 
4-O quadrado ABCD da figura abaixo está dividido em 16 quadradinhos iguais. O 
quadrado sombreado tem os vértices sobre os pontos médios do quadrado EFGH 
 
a) A área do quadrado EFGH corresponde a que fração da área do quadrado ABCD? 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
X =9 
 
 9 +7 = 16 
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A figura acima mostra que o quadrado EFGH é formado por quatro triângulos iguais 
(AHE, BEF, CFG, DGH) e quatro quadradinhos. Cada um dos triângulos tem área 
igual à metade da área de três quadradinhos. Logo, a área do quadrado EFGH é igual 
à área de 4 + 4 ×
3
2
= 4 + 6 = 10 quadradinhos. Como a área do quadrado ABCD é 
igual à área de 16 quadradinhos, a fração pedida é: 
10
16
=
5
8
 
 
b) Se o quadrado ABCD tem 80cm2 de área, qual é o lado do quadrado sombreado? 
R: 
 
Podemos observar que o quadrado sombreado tem metade da área do quadrado EFGH. 
Isto fica claro na figura acima, onde vemos que o quadrado EFGH pode ser decomposto 
em oito triângulos iguais, quatro dos quais formam o quadrado sombreado. Usando o 
resultado do item (A), vemos que a área do quadrado EFGH é 
5
8
× 80 = 50𝑐𝑚2 
A área do quadrado sombreado é igual a 
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1
2
× 50 = 25𝑐𝑚2 
Como 25 = 5² o lado do quadrado sombreado mede 5cm. 
 
5-Um prefeito quer construir uma praça quadrada de 10m de lado, que terá canteiros 
triangulares iguais de pedra e um canteiro quadrado de grama, como na figura. O 
prefeito ainda não decidiu qual será a área do canteiro de grama, por isso o 
comprimento deste segmento AB esta´ indicado por x na figura. 
 
a) Calcule a área do canteiro de grama para ´ x = 2. 
R: 
 
O lado do quadrado é igual a 8m². 
 
𝑙2 = 82 + 22 = 64 + 4 = 68𝑚² 
 
 
b) Escreva a expressão da área do canteiro de grama em função de x. 
 2 
 
 
10 - 2 =8 
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Seja L o comprimento do canteiro da grama: 
𝑙2 = 𝑥2 + (10 − 𝑥)2 
Portanto, 𝑙2 = 2𝑥2 − 20𝑥 + 100. 
 
 
c) Sabe-se que o canteiro de grama custa R$4, 00 por metro quadrado e os canteiros de 
pedra custam R$3, 00 por metro quadrado. Qual a menor quantia que o prefeito deve 
ter para construir os cinco canteiros? 
 
4(2𝑥2 − 20𝑥 + 100) + 3[100 − (2𝑥2 − 20𝑥 + 100)] 
2𝑥2 − 20𝑥 + 400 
−
∆
4𝑎
=
−(202 − 4 ∙ 2 ∙ 400)
4 ∙ 2
 
−
400 − 3200
8
= 350 
 
 
 
6-O retângulo da figura foi repartido por meio de três segmentos em várias regiões, 
algumas retangulares e outras triangulares. A linha não paralela aos lados é uma diagonal 
e os números indicam as áreas em m2das regiões brancas em que se encontram. Qual e a 
do retângulo original? 
 
𝐴 = 2 ∙ (24 + 18 + 8) 
𝐴 = 2 ∙ 50 
𝐴 = 100𝑚2 
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7-Joao e Maria herdaram um terreno, representado pelo polígono ABCDEF. Havia uma 
cerca reta separando o terreno em duas partes, mas como as áreas eram diferentes, Joao e 
Maria resolveram deslocá-la, mantendo-a reta, de forma que a extremidade em F fosse 
para o ponto P. Com isso, as duas áreas tornaram-se iguais. Supondo que os ângulos em 
A, B, D, E e F são retos, de quantos metros foi o deslocamento FP? 
 
 
 
Vejamos que RC = AB = F S = 100 m, pois ABCR e ABSF são retângulos. De modo 
análogo, RF = DE = CS = 70 m. Se tomarmos F P = x a igualdade das regiões ABCPA e 
DEFPC é dada por: 
𝐴𝑟𝑒𝑎 ´𝐴𝐵𝐶𝑅 + 𝐴𝑟𝑒𝑎 ´ 𝑅𝐶𝑃 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 ´ 𝐷𝐸𝑆𝐶 + 𝐴𝑟𝑒𝑎 ´ 𝐶𝑆𝐹𝑃 
50 ∙ 100 +
(70 − 𝑥 ∙ 100)
2
= 70 ∙ 60 +
(70 + 𝑥) ∙ 100
2
 
500 − 4200 =
((70 + 𝑥) + (70 − 𝑥)) ∙ 100
2
 
 
 
 
 100m 
 R 
70 -X 70m 
 X 
 100m S 
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800 =
2𝑥 ∙ 100
2
 
𝑥 =
800
100
 
𝑥 = 8 
O deslocamento FP foi de 8 metros. 
 
8-Um prefeito construiu um chafariz circular numa praça da cidade. Ele solicitou ao 
engenheiro que o chafariz tivesse um diâmetro de 10 m. Calcule a área deste chafariz. 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎: ? 
 𝜋: 3,14 
 𝑑: 10 
 𝑟:
𝑑
2
 
 𝑟:
10
2
 
 𝑟: 5 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟² 
𝐴 = 3,14 ∙ 52 
𝐴 = 78,5𝑚 
 
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