livro3-2022-fisica

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1
1 – Estudo do Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 – Componentes da Força Resultante . . . . . . . . . . . . 8
3 – Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 – Potência Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 – Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1 – Ângulo Limite e Reflexão Total . . . . . . . . . . . . . . 91
2 – Dioptro Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3 – Lâmina de Faces Paralelas . . . . . . . . . . . . . . 104
4 – Prismas Ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 – Lentes Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 – Óptica da Visão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7 – Instrumentos de Óptica . . . . . . . . . . . . . . . 159
Mecânica
Óptica
FÍSICA
ÍndiceCIÊNCIAS DA
NATUREZA E SUAS
TECNOLOGIAS
EDUARDO FIGUEIREDO
Coordenador e Professor 
do Curso e Colégio Objetivo
RONALDO FOGO
CAIO SÉRGIO V. CALÇADA
RICARDO HELOU DOCA
Professores do Curso e Colégio Objetivo
3
LIVRO
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página I
1 – Propriedades do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2 – Condutor em Equilíbrio Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3 – Campo Elétrico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4 – Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
1 – Oscilações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
2 – Noções Gerais de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3 – Estudo Matemático da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Ondas
Eletrostática
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página II
1. Componentes do peso
Consideremos um plano inclinado de um ângulo �
em relação ao plano horizontal. 
Um objeto colocado nesse plano, supondo a inexis -
tência de atrito, fica sob a ação de duas forças:
1) força peso 
→
P aplicada pela Terra;
2) força de reação normal do plano 
→
Fn.
No estudo do plano inclinado, é usual decompormos
a força peso 
→
P em duas parcelas:
I. Componente paralela ao plano
→
Pt, denominada
com ponente tangencial do peso e que solicita o bloco
para baixo.
II. Componente normal ao plano
→
Pn, denominada
com ponente normal do peso e que é responsável pela
com pressão do bloco contra o plano de apoio; tal com po -
nente tem relevante importância em problemas em que
exis te atrito.
Na figura, o ângulo assinalado no triângulo em des -
ta que é igual ao ângulo � do plano por ter lados perpen -
di culares ao referido ângulo.
Ainda no triângulo em destaque, temos:
| 
→
Pt |sen � = –––– �
| 
→
P |
| 
→
Pn |cos � = –––– �
| 
→
P |
Como não há aceleração na direção perpendicular ao 
plano, concluímos que a reação normal de apoio
→
Fn equi -
libra a componente normal do peso 
→
Pn, isto é:
→
Fn + 
→
Pn = 
→
0 ⇒
→
Fn = –
→
Pn ⇒
2. Aceleração no 
plano inclinado sem atrito
A força resultante, responsável pela aceleração do
cor po, será a componente tangencial de seu peso: 
→
Pt , isto é,
tudo se passa como se a única força atuante no corpo fos -
se 
→
Pt.
2.a Lei de Newton:
→
Pt = m
→
a
(PFD)
Psen � = ma
mg sen � = ma
Portanto, concluímos que, quando o corpo escorrega
livremente, em um plano inclinado de �, sem atrito, sua
aceleração terá módulo igual a g sen �, em que g é o mó -
dulo da aceleração da gravidade local.
|
→
Fn| = |
→
Pn| = Pcos �
| 
→
Pn | = Pn = Pcos �
|
→
Pt | = Pt = Psen �
a = g sen �
1
A balança indica a força normal que comprime a sua
mola.
Para calculá-la, devemos aplicar a 2.a Lei de Newton na
direção vertical.
ESTUDO DO 
PLANO INCLINADO
Mecânica
1
CAPÍTULO
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 1
1. (UNIFESP-MODELO ENEM) – Conforme noticiou um site da
Internet, cientistas da Universidade de Berkeley, Estados Unidos,
“criaram uma malha de microfibras sintéticas que utilizam um
efeito de altíssima fricção para sustentar cargas em superfícies
lisas”, à se melhança dos “incríveis pelos das patas das lagar -
tixas”. (www.inovacaotecnologica.com.br). Segundo esse site, os
pesquisa do res demonstraram que a malha criada “consegue
suportar uma moeda sobre uma superfície de vidro inclinada a até
80°” (veja a foto).
Dados sen 80° = 0,98,
cos 80° = 0,17 e tg 80° = 5,7
Pode-se afirmar que, nessa
situação, o módulo da força de atrito
estático máxima entre essa malha,
que reveste a face de apoio da
moeda, e o vidro, em rela ção ao
módulo do peso da moeda, equivale
a, aproxima damente,
a) 5,7% b) 11% c) 17%
d) 57% e) 98% 
Resolução
Para a moeda ficar em equilíbrio, temos:
Fat = Pt = P sen �
Na iminência de escorregamento, vem:
Fatmáx
= P sen 80°
Fatmáx= P . 0,98 ⇒
Resposta: E
2. (VUNESP-MODELO ENEM) – Ao modificar o estilo de uma casa
para o colonial, deseja-se fazer a troca do mo delo de telhas
existen tes. Com o intuito de preservar o jardim, foi mon tada uma
rampa de 10,0m compri mento, apoiada na beirada do
madeiramento do te lhado, a 6,0m de altura. 
No momento em que uma telha – que tem massa de 2,5kg – é
colocada sobre a rampa, ela desce ace le rada, sofrendo, no entan -
to, a ação do atri to. 
Nestas condi ções, o módulo da ace le ra ção de sen vol vida por uma
telha, em m/s2, é
a) 3,8 b) 4,2 c) 4,4 d) 5,5 e) 5,6 
Dados: coeficiente de atrito = 0,2
g = 10m/s2; o efeito do ar é desprezível
Resolução
1) sen � = = 0,60
cos � = 0,80
2) PFD (telha):
Pt – Fat = ma
mg sen � – � mg cos � = ma ⇒
a = 10 (0,60 – 0,2 . 0,80) (m/s2) ⇒
Resposta: C
3. (FATEC) – Um bloco de 40kg está apoiado sobre um plano incli -
na do de 30° e sobe, a partir do repouso, sob ação da força
→
F para -
lela ao plano inclinado, com aceleração escalar de 2,0m/s2. O
coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano vale 0,40.
Adotando-se g = 10m/s2, o valor de F é, aproximadamente:
a) 419N b) 280N c) 200N d) 180N e) 100N
Resolução
Além da força 
→
F, o bloco está sujeito às seguintes forças:
1) o seu peso 
→
P, aplicado pela Terra, que é decomposto em uma
componente tangencial
→
Pt e uma componente normal 
→
Pn.
a = 4,4m/s2
a = g (sen � – � cos �)
6,0
––––
10,0
Fat
máx
= (98%) P
2
Destaque-se o fato de que tal aceleração independe da massa do corpo (fenômeno análogo à queda livre ver tical).
A bola desliza no plano inclinado em movimento uniformemente variado. As distâncias percorridas num mesmo intervalo de tempo vão aumentando em progressão
aritmética.
As distâncias percorridas num mesmo intervalo de tempo vão aumentando em progressão aritmética.
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 2
2) a reação de apoio 
→
R, aplicada pelo plano, que é decomposta
em uma componente de atrito
→
Fat e uma componente normal
→
Fn.
Como a aceleração do bloco não tem componente na direção
nor mal ao plano, obtemos:
→
Fn + 
→
Pn = 
→
0 ⇒
Representemos as forças na direção paralela ao plano e apli -
que mos a 2.a Lei de Newton:
PFD: F – (Pt + Fat) = ma
Como:
Pt = mg sen �
Fat = � FN = �mg cos �
F – (mg sen � + �mg cos �) = ma
F – 400 (0,50 + 0,40 . 0,87) = 40 . 2,0
F – 339 = 80 ⇒
Resposta: A
4. (UFPE) – No plano inclinado da figura abaixo, o bloco de massa M
des ce com aceleração diri gida para baixo e de módulo igual a
2,0m/s2, puxando o bloco de massa m. 
Sabendo-se que não há atri to de qualquer espécie, qual é o va lor
da razão M/m? Con sidere g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar.
Resolução
O bloco de massa M é solicitado para baixo pela componente
tangencial de seu peso (Pt = Mg sen �).
O bloco de massa m é solicitado para baixo pelo seu peso (P’= mg).
A força resultante, que acelera o sistema constituído pelos blocos
M e m, tem intensidade dada pela diferença entre Pt e P’.
Aplicando-se a 2.a Lei de Newton ao sistema (M + m), tem-se:
Pt – P’ = (M + m) a
Mg sen � – P’ = (M + m) a
1
M . 10,0 . ––– – m . 10,0 = (M + m) 2,0
2
5,0M – 10,0m = 2,0M + 2,0m
3,0M = 12,0m ⇒
Resposta: 4,0
5. No esquema da figura, o fio e a polia são ideais e não se consi de -
ra a resistência do ar. O sistema é abandonado do repouso.
Os blocos A e B têm massas de 2,0kg.
O módulo da aceleração de gravidade vale 10,0m/s2 e � = 30°.
Supondo-se a inexistência de atrito, determine
a) o módulo da aceleração do sistema;
b) a intensidade da força que traciona o fio.
Resolução
a) A força que acelera o sistema (A + B) é a componente
tangencial do peso do bloco A:
PFD (A + B): PA . sen � = (mA + mB) a
1
2,0 . 10,0 . ––– = (2,0 + 2,0) a ⇒
2
b) Isolando-se o bloco B:
PFD (B): T = mB a
T = 2,0 . 2,5(N) ⇒
Respostas: a) 2,5m/s2
b) 5,0N
6. (UFBA) – A figura abaixo mostra um plano inclinado sobre o qual
des liza, sem atrito, uma pla taforma P, munida de uma balança B,
sobre a qual se encontra um bloco
de massa 40 kg. Determine a
massa m’ que deve ser co locada
nessa balança, em re pouso, para
se ter um pe so igual ao peso
aparente da massa m.
1
Dados: cos (60°) = ––
2
��3
sen (60°) = –––––
2
Resolução
O sistema constituído pela plataforma, balança e bloco desce o
plano inclinado com uma aceleração paralela ao plano e com
intensidade dada pela 2.a Lei de Newton:
Pt = Ma
Mg sen � = Ma ⇒
A indicação da balança é provocada pela força vertical que o bloco
exerce sobre ela e cuja intensidade indicamos por FN.
Na figura, representamos as componentes das forças trocadas en -
tre a balança e o bloco m, de acordo com a lei da ação e reação.
A força de atrito que a balança aplica
sobre o bloco é responsável pela
com ponente horizontal de sua ace -
leração ax.
A resultante entre a força normal
que a balança aplica sobre o bloco e
o seu peso é responsável pela com -
ponente vertical de sua acele ração
ay.
a = g sen �
T = 5,0N
a = 2,5m/s2
M
––– = 4,0
m
F � 419N
Fn = Pn = mg cos �
3
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 3
ax = a cos � = g sen � cos �
ay = a sen � = g sen � . sen � = g sen
2 �
��3
Como sen � = –––––, tem-se:
2
ay = g
2
⇒
Estudando-se apenas o movimento vertical do bloco e aplicando-
se a 2.a Lei de Newton, temos:
P – FN = m ay
3
mg – FN = m ––– g ⇒4
Portanto, a indicação da balança (peso aparente) corresponde a um
quar to do peso do bloco de massa m. 
Para que a balança, em repouso, dê a mesma indicação, o corpo co -
 locado sobre ela deve ter uma massa m’ dada por: m’ = = 10kg.
Resposta: 10kg
7. (MACKENZIE-SP) – Um corpo de peso 
→
P sobe o plano inclinado
com movi mento acele ra do, devido à
ação da força hori zon tal 
→
F , de
intensi dade igual ao do bro da de seu
peso. O atrito entre as su perfí cies
em contato tem coe fi ciente dinâmico
igual a 0,4.
O módulo da aceleração do corpo é:
a) 3,5 m/s2 b) 3,0 m/s2 c) 2,5 m/s2
d) 2,0 m/s2 e) 1,5 m/s2
Resolução
1) Componentes de F:
Ft = F cos � = 2mg . 0,8 = 1,6mg
Fn = F sen � = 2mg . 0,6 = 1,2mg
2) Componentes do peso:
Pt = P sen � = mg . 0,6
Pn = P cos � = mg . 0,8
3) Na direção normal ao plano:
Rn = Pn + Fn
Rn = 0,8mg + 1,2mg = 2,0mg
4) Força de atrito:
Fat = � Rn = 0,4 . 2,0mg = 0,8mg
5) Aplicação da 2.a Lei de Newton:
Ft – (Pt + Fat) = ma
1,6mg – (0,6mg +0,8mg) = ma
1,6g – 1,4g = a
a = 0,2g = 0,2 . 10m/s2 ⇒
Resposta: D
8. Considere um trilho
circular de raio R em um
pla no verti cal e fixo no
solo ho rizontal, confor me
mostra a figura.
Considere um plano
inclinado sem atrito com
uma das ex tre midades
presa em A e a outra em
um ponto qual quer B do
trilho circular.
Uma partícula aban do nada
em A desliza ao longo do
plano, gastando um tempo
T para atingir o ponto B. 
Sendo g o mó du lo da aceleração da gravidade,
a) demonstre que, mantendo-se fixo o ponto A, o tempo gasto
para atingir o ponto B independe da posição escolhida para B,
isto é, é o mesmo ao longo de qualquer corda da
circunferência que tenha o ponto A como uma das
extremidades.
b) demonstre que, se a partícula partisse do repou so em A, em
que da livre vertical, o tempo gasto de A até D também seria
igual a T.
Resolução
a) 1) A partícula terá uma aceleração de módulo a dada por: 
PFD: Pt = ma
mg sen � = ma
2) Na figura, o ângulo de vértice B no �ABD é reto e,
portanto, o ângulo de vértice D no mesmo triângulo
também vale � (lados per pen diculares aos de �).
No triângulo ABD, temos:
sen � = ⇒
3) O tempo gasto de A até B é dado por:
�s = v0t + t
2 (MUV) ⇒ AB = T2
Substituindo-se o valor de AB: 
2R sen � = T2 ⇒
Observe que o valor de T independe do ân gulo �, ou seja,
indepen de da particular posição do ponto B.
b) Em queda livre vertical, temos:
�s = v0t + t
2 (MUV)
2R = (T’)2 ⇒
Dados:
g = 10 m/s2; cos � = 0,8; sen � = 0,6
R
T’ = 2 ����–––– = Tgg––2
�
––
2
R
T = 2 ����–––– gg sen �–––––––2
g sen �
–––––––
2
�
––
2
AB = 2 R sen �
AB
–––
2R
a = g sen �
a = 2,0m/s2
m
–––
4
mg
FN = ––––4
3
ay = ––– g4
��3 �–––––�2
4
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 4
9. (FUVEST-SP) – O mostrador de uma balança, quando um objeto
é colocado sobre ela, indica 100N, como esquematizado em A. Se
tal balança estiver desnivelada, como se observa em B, seu
mostrador deverá indicar, para esse mesmo objeto, o valor de
a) 125N b) 120N c) 100N d) 80N d) 75N
10. (UFMG) – Durante uma aula de Física, o professor Domin gos
Sávio faz, para seus alunos, a demonstração que se descreve a
seguir.
Inicialmente, dois blocos – I e II – são colocados, um sobre o
outro, no ponto P, no alto de uma rampa, como representado
nesta figura:
Em seguida, solta-se o conjunto formado por esses dois blocos.
Despreze a resistência do ar e o atrito entre as superfícies
envolvidas.
Assinale a alternativa cuja figura melhor representa a posição de
cada um desses dois blocos, quando o bloco I estiver passando
pelo ponto Q da rampa.
11. (FATEC-SP) – Dois blocos, um de massa m e outro de mas sa
deslizam sem atrito sobre uma superfície inclinada de 30° 
com a horizontal.
Dados: 
sen 30° = 0,50; 
cos 30° = 0,87; m = 20 kg
Sendo
→
f1a força que o corpo (1)
exer ce em (2) e 
→
f2 a for ça que
o corpo (2) exerce em (1), é
cor re to afir mar que:
a) �
→
f1 � = �
→
f2 � = 0 b) �
→
f1 � = �
→
f2 � ≠ 0 c) �
→
f1 � > �
→
f2 �
d) �
→
f1 � < �
→
f2 � e)
→
f1 + 
→
f2 = m
→
g
12. Roupas e acessórios de al ta tecnologia, que minimizam os efeitos
de resistên cia do ar e do atrito com a neve, permitem aos es -
quiadores em descidas de montanha atingir velo cidades
equivalentes às dos carros de Fórmula 1. Um esquiador que utiliza
tais equipamentos parte do re pouso no topo de uma pista de
competição e atinge a velocidade escalar de 288km/h no seu final.
Deter mine o comprimento dessa pista, considerando-a reti línea e
formando um ângulo de 53° com o plano hori zon tal.
Considere: g = 10m/s2; sen 53° = 0,80; cos 53° = 0,60
13. (UFRJ) – Duas pequenas esferas de aço são abandonadas a uma
mesma altura h do solo. A esfera (1) cai verticalmente. A esfera
(2) desce uma rampa in clinada de 30° com a horizontal, como
mostra a fi gu ra.
Considerando-se os atritos desprezíveis, calcule a razão t1/t2 entre
os tempos gastos pelas esferas (1) e (2), respectivamente, para
chegarem ao solo.
14. (UFV-MG) – Um bloco de massa M é solto com velocidade inicial
nula na parte superior de um plano inclinado, conforme a figura
abaixo.
O coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco é �. Sendo
g o módulo da aceleração gravitacional, após percorrer uma
distância L, o módulo da velocidade do bloco será:
a) �����2gLsen � b) �������� g(sen � – �cos �)
c) ��������� 2gL(sen � – �cos �) d) ���������gL(sen � + �cos �)
15. Considere um plano inclinado de 30o em relação à horizontal e um
bloco abandonado do repouso de um ponto A.
O bloco escorrega livrementesem atrito de A para B e a partir
desse ponto penetra em uma região onde o coeficiente de atrito
� é constante e para em um ponto C.
Sabe-se que os tempos gastos entre A e B e entre B e C são
iguais e valem 1,0s.
Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.
Pedem-se:
a) o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado no tre -
cho BC;
m
–––
2
5
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 11/09/15 08:04 Página 5
b) o módulo da velocidade do bloco no ponto B;
c) construir o gráfico da velocidade escalar do bloco em função
do tempo no deslocamento de A para C.
16. A figura abaixo mostra um corpo de massa 50kg sobre um plano
inclinado sem atrito, que forma um ângulo � com a horizontal. A
inten si da de da força
→
F que fará o corpo subir o plano com acele -
ração constante de módulo 2,0m/s2 e dirigida para cima é:
a) 400N b) 300N c) 200N d) 100N e) 50N
Dados: g = 10m/s2; sen � = 0,60
17. Um bloco de massa 5,0kg é arrastado para cima, ao longo de um
plano inclinado, por uma força
→
F, constante, paralela ao plano e de
intensida de 50N, como mostra a figura abaixo.
O coeficiente de atrito dinâmico en tre o bloco e o pla no va le 0,40
e a acele ração da gra vidade tem mó dulo igual a 10m/s2. A
aceleração do bloco tem mó dulo, em m/s2, igual a
a) 0,68 b) 0,80 c) 1,0 d) 2,5 e) 6,0
18. (UFAL-MG)
a) Em um plano inclinado de 30° em relação à horizontal, são co -
lo cados dois blocos de massas M1 = 10kg e M2 = 10kg,
sustentados por uma única roldana, como mostra a figura abai -
xo. 
A aceleração da gravidade tem módulo g = 10m/s2, 
sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,87. 
Desprezando-se o peso da corda, bem como os efeitos de atri -
to, determine o módulo da aceleração do bloco de massa M1.
b) No mesmo sistema, o bloco de massa M2 é preso agora a uma
segunda roldana. A corda em uma das extremidades está
fixada no ponto A, conforme figura abaixo. 
Desprezando-se o peso da corda e da segunda roldana, bem
como os efeitos de atrito, determine o módulo da aceleração
para cada um dos dois blocos.
19. (VUNESP-FMTM) – Sobre um sistema de planos com inclinações
iguais, dois corpos, A e B, unidos por um fio muito fino e
inextensível, encontram-se em repouso. O corpo A é maciço, com
massa 10,0kg e sofre ação de uma força de atrito, cuja
intensidade máxima é 20,0N. O corpo B é oco e tem mas sa 2,0kg,
porém está preenchido com 10,0kg de água e mon tado sobre
rodinhas que tornam nula a ação de forças de atrito.
Devido à presença de um orifí cio, esse se gun do corpo está
perdendo parte de sua massa de água. Considerando-se nulo o
atrito entre a roldana e seu eixo, a menor massa de água que o
corpo oco deve rá possuir para que o sistema permaneça estático
é, em kg,
a) 4,0 b) 5,0 c) 6,0 d) 7,0 e) 8,0 
Dados: g = 10,0m/s2; sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87
20. No esquema da figura, despreze os atritos e o efeito do ar. O fio
e as polias são considerados ideais.
Os blocos A e C têm massas iguais a 4,0kg cada um e o bloco B
tem massa de 2,0kg.
A aceleração local da gravidade tem módulo g = 10,0m/s2. O
sistema é abandonado do repouso da situação indicada na figura,
no instante t1 = 0.
Admita que no instante t2 = 10,0s, o bloco A atinge o solo
horizontal.
Calcule, para 0 ≤ t < 10,0s:
a) o módulo da aceleração dos blocos;
b) a intensidade da força que traciona o fio (1);
c) a intensidade da força que traciona o fio (2);
d) a intensidade da força que o fio (1) aplica sobre a polia.
21. (UFPR-MODELO ENEM) – O empregado de uma transportadora
precisa descarregar de dentro do seu caminhão um balcão de
200kg. Para facilitar a tarefa do empregado, esse tipo de
caminhão é dotado de uma rampa, pela qual se podem deslizar os
objetos de dentro do caminhão até o solo sem muito esforço.
Considere que o bal cão está completamente sobre a rampa e
deslizando para baixo. O empregado aplica nele uma força para -
lela à superfície da rampa, segurando-o, de modo que o balcão
desça até o solo com velocidade constante. Adote g = 10m/s2.
Desprezando-se a força de atrito entre o balcão e a rampa, e
supondo-se que esta forme um ângulo de 30° com o solo, o
módulo da força paralela ao plano inclinado exercida pelo
empregado é igual a:
a) 200N b) 1000N c) 1000 ��3 N
d) 2000N e) 2000 ��3 N
6
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 6
9) D 10) A 11) A 12) 4,0 . 102m
13) = 14) C
15) a) b)
c)
16) A 17) B 18) a) a = 2,5m/s2
b) a1 = a2 = 0 (sistema em
equilíbrio)
19) A 20) a) 2,0m/s2 b) 32,0N
c) 28,0N d) 32,0 ��2 N
21) B 22) C 23) A
24) A 25) A
m
vB = 5,0 ––s
���3
� = 2 tg � = 2 . ––––
3
1
–––
2
t1–––
t2
7
22. (VUNESP-MODELO ENEM) – Um dos fatores que mostram a
edu cação, o respeito para com o ser humano e o nível de cida -
dania de uma sociedade é a existência, em hospitais, ruas e de -
mais locais públicos, de rampas de acesso que facilitem a loco -
moção de portadores de deficiências físicas dependentes de
cadeiras de rodas.
Considere que uma pessoa nu ma cadeira de rodas esteja para da
numa rampa de 4,0m de compri mento, que permita uma elevação
vertical de 0,4m.
Desprezando-se o atrito, adotan do-se g = 10 m/s2 e consideran do-se
a massa do conjunto cadeira-pessoa igual a 80 kg, a força necessária
para mantê-la parada na rampa tem intensi dade igual a:
a) 20 N b) 40 N c) 80 N d) 400 N e) 800 N
23. (UEPA-MODELO ENEM) – Atualmente os engenheiros espaciais
empregam robôs que se deslocam sobre rodas para a exploração
do planeta Marte. Um desses robôs, ao chegar a Marte, irá des -
cer uma rampa para atingir o solo, sem que suas rodas desli zem
sobre ela. Na Terra, o ângulo máximo de inclinação dessa rampa
para que o robozinho possa ficar parado sobre ela sem deslizar é
�. Em Marte, onde o módulo da aceleração da gravidade tem
meta de do respectivo valor na Terra, o ângulo máximo para o robô
não desli zar sobre a mesma rampa é:
a) � b) 2� c) 3� d) e)
24. (UDESC-MODELO ENEM) – Para o descarregamento de merca -
dorias de um automóvel, utiliza-se uma rampa com 2,0m de com -
pri mento, con forme ilustrado na figura adiante. Uma caixa de
50,0kg desliza sobre a rampa, partindo do repouso no topo.
Durante o deslizamento, atua sobre a caixa uma força de atrito
constante de intensidade 137,5 N. Adote g = 10,0m/s2 e despreze
o efeito do ar. 
A velocidade escalar da caixa, quando ela atinge a base da rampa,
vale:
a) 3,0m/s b) 40,0 m/s c) 31,0 m/s
d) 20,0 m/s e) 137,5 m/s
25. (VUNESP-MODELO ENEM) – Feita de aço revestido interna men -
te com materiais refratários, a porta corta-cha mas é um dis posi -
tivo de segurança que permite res tringir o alastramento de um
incên dio, isolando um ambiente em chamas de outro ainda
intacto. O es quema apresenta um modelo que tem seu fecha -
men to de vi do exclusivamente à ação da força peso. Esta porta,
com pe so de 10100N, quando liberada, inicia uma descida com
5,74° de inclinação, percorrendo sobre o trilho sem atrito uma
distância de 7,2m, enquanto traciona o contrapeso que diminui a
aceleração do conjunto. A massa do contrapeso para que a por ta
tenha seu fechamento completo em 12 s deve ser, em kg, igual a 
a) 90 b) 91 c) 99 d) 101 e) 110 
Dados: módulo da aceleração da gravidade: g = 10 m/s2; 
sen 5,74° = 0,1
Considerar: roldanas e polias ideais; desprezíveis a força de
resis tência do ar e a ener gia convertida em movimento de
rotação; cabo inextensível e de massa irrele vante.
�
–––
3
�
–––
2
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 7
1. Força resultante (
→
F )
Consideremos uma partícula em trajetória curva e
movimento não uniforme em relação a um sistema de
referência inercial.
Admitamos que atuem sobre a partícula n forças 
→
F1,→
F2, ..., 
→
Fn. Cada uma dessas forças admite uma reação, de
acordo com a 3.a Lei de Newton; tais reações estão apli -
ca das nos agentes físicos que atuaram sobre a partícula.
As n forças atuantes admitem uma força resultante
→
F , que é dada pela soma vetorial: 
→
F = 
→
F1 + 
→
F2 + ... + 
→
Fn.
Compreende-se, pois, que a força resultante não é uma
força a mais a atuar na partícula, mas sim uma forçahi -
potética que, substituindo a ação real das n forças atuan -
tes, é capaz de proporcionar à partícula a mesma acele ra -
ção (→a ) que foi produzida pelo sistema das n forças.
Do exposto, percebe-se que não cabe falar em reação
da força resultante, a não ser no caso particular em que
apenas uma força atua na partícula, quando, então, a re -
sultante coincidirá com essa força única.
A força resultante 
→
F traduz a ação combinada e si -
mul tânea das n forças e é responsável por toda e qualquer
mudança de velocidade da partícula em qualquer de suas
características vetoriais: módulo, direção e sentido.
2. Componentes 
da força resultante
Da Cinemática Vetorial, lembramos a expressão da
aceleração vetorial (
→
a ) de uma partícula:
V2
com | →at | = | � | e | 
→acp | = –––R
em que:
� = aceleração escalar;
V = velocidade escalar;
R = raio de curvatura da trajetória.
Sendo m a massa da partícula, de acordo com a 2.a
Lei de Newton, podemos escrever a expressão da força
resul tante 
→
F :
→
F = m . →a = m(→at + 
→acp)
ou ainda: 
A expressão apresentada mostra-nos que a força re -
sul tante ( 
→
F ) também pode, à semelhança da aceleração
vetorial, ser decomposta em duas parcelas:
1. Componente tangencial: | 
→
Ft | = m | � |
V2
2. Componente centrípeta: | 
→
Fcp | = m –––R
A figura a seguir mostra essa decomposição feita
gra fi camente:
→
F = m . →at + m . 
→acp
→a = →at + 
→acp
8
Em uma nave em órbita em torno da Terra, todo o
conjunto está em queda livre e os astronautas flutuam no interior
da nave. Isto significa que a gravidade aparente, no interior da
nave, é nula e os astronautas têm a sensação de
imponderabilidade.
COMPONENTES DA 
FORÇA RESULTANTE
Mecânica
2
CAPÍTULO
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 8
É evidente que 
→
F = 
→
Ft + 
→
Fcp ou, então, relacionando
apenas as intensidades das forças, pela aplicação do Teo -
rema de Pitágoras, temos:
3. Componente tangencial
A componente tangencial 
→
Ft está ligada às varia ções
do módulo da velocidade vetorial, isto é, é usada pa ra
acelerar ou retardar a partícula. Toda mudança de mó dulo
da velocidade tem como causa determinante a com po -
nente tangencial da força resultante.
A componente tangencial da resultante e a velo ci da -
de vetorial, supostas não nulas, terão sempre a mesma di -
reção, que é a da reta tangente à trajetória.
Quando o movimento é acelerado, isto é, o módulo da
velocidade está aumentando, a componente tangencial 
→
Ft
terá o mesmo sentido da velocidade vetorial e, quan do o
mo vimento é retardado, a componente tangen cial da re -
sultante terá sentido oposto ao da velocidade vetorial.
A componente tangencial 
→
Ft será constantemente nu -
la, ou quando a partícula estiver em repouso ou quan do
seu movimento for uniforme com qualquer trajetória.
Note que a intensidade da componente tangencial (m |� |)
é independente da trajetória e somente será nula quando
a aceleração escalar for nula.
A componente tangencial da resultante terá módulo
constante (m | � |) e não nulo, nos movimentos unifor -
memente variados (� = cte ≠ 0), com qualquer trajetória.
A componente tangencial da resultante será cons tan -
te e não nula apenas no movimento retilíneo (direção
cons tante) e uniformemente variado (módulo e sentidos
constantes).
4. Componente centrípeta
A componente centrípeta (
→
Fcp) está ligada à variação
de direção da velocidade vetorial, isto é, é usada para
“cur var” a trajetória.
Toda trajetória curva tem como causa determinante a
componente centrípeta da força resultante.
Cumpre salientar que a intensidade da componente
centrípeta da resultante depende da massa da partícula
(m), da velocidade escalar com que a partícula faz a
curva (V) e da geometria da curva (raio de curvatura R).
Para m e R constantes, a intensidade da componente
centrípeta será proporcional ao quadrado da velocidade
escalar:
Representamos a seguir, para m e R constantes, os
grá ficos da intensidade da componente centrípeta da
resultante em função da velocidade escalar (V) e em
função do quadrado da velocidade escalar (V2).
A componente centrípeta da resultante 
→
Fcp e a velo ci -
dade vetorial 
→
V, supostas não nulas, têm direções per -
pendiculares entre si, pois a velocidade vetorial tem a di -
re ção da tangente à trajetória e a componente centrípeta
tem a direção da normal à trajetória.
A componente centrípeta da resultante terá módulo
constante � �, por exemplo, no movimento circular
uniforme e no movimento helicoidal (a trajetória é uma
hé lice cilíndrica) uniforme.
Sendo continuamente normal à trajetória, a com po -
nente centrípeta da resultante, suposta não nula, nunca
te rá direção constante e, portanto, nunca será vetorial -
mente constante.
m
tg � N= –––
R
 m
|Fcp| = ––– V2 = kV2 R
→
k
|
→
F |2 = |
→
Ft|
2 + |
→
Fcp|
2
mV2
––––
R
9
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A componente centrípeta da resultante (
→
Fcp) será cons -
 tantemente nula, ou quando a partícula estiver em re pouso
(V = 0) ou quando a trajetória for retilínea (R → �).
5. Estudo de alguns estados
cinemáticos importantes
Quando a partícula está em repouso (
→
V = cte = 
→
0) ou
em MRU (
→
V = cte ≠ 
→
0 ), não há nenhuma variação de ve -
locidade vetorial e, portanto, a força resultante é nula e
tais estados cinemáticos traduzem as situações de equi -
líbrio (estático e dinâmico) mantidos por inércia.
Nos movimentos retilíneos (R → �), a componente
centrípeta da resultante é constantemente nula. No mo vi -
men to retilíneo e uniformemente variado (MRUV), a com -
po nente tangencial da resultante será constante e não nula.
Assim, a força resultante 
→
F se reduz à sua compo -
nente tangencial e é constante e não nula.
Nos movimentos uniformes (� = 0), a componente
tan gencial da resultante é constantemente nula.
No movimento circular e uniforme (MCU), a com -
ponente centrípeta da resultante tem módulo constante
� �, porém varia em direção e, portanto, é uma for -
ça variável.
Assim, a força resultante (
→
F ) se reduz à sua com po -
nente centrípeta:
Quando a nave está em órbita circular, a força gra vitacional aplicada pela
Ter ra faz o papel de força cen trípeta; as pessoas ficam flutuando dentro da
nave em uma eterna queda livre.
No movimento circular e uniformemente variado, as
duas componentes da resultante não são nulas.
A componente tangencial terá módulo constante
(m| � |) e direção variável.
A componente centrípeta terá módulo e direção va -
riá veis.
Sendo R o raio da circunferência descrita, � a acele -
ração escalar e m a massa da partícula, teremos:
Fcp = , em que V
2 = V
0
2 + 2��s (expressão de
Tor ricelli).
m mV
0
2 2m�
Assim: Fcp = ––– (V0
2 + 2 � �s) = ––––– + –––– �s
R R R
mV
0
2 2m�
Sendo –––– uma constante (k1) e –––– outra cons-R R
tante (k2), temos: Fcp = k1 + k2 �s e, portanto, a inten si -
dade da componente centrípeta da resultante será função
do 1.o grau da variação de espaço (�s).
mV2
| 
→
F | = | 
→
Fcp | = ––––R
mV2
–––––
R
| 
→
F | = | 
→
Ft | = m | � |
mV2
–––––
R
10
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1. (VUNESP – MODELO ENEM) – Na figura, representamos uma
cena do filme Homem-aranha no exato instante em que, partindo
do repouso, o herói lança-se em movimento pendular descre -
vendo uma trajetória circular de centro C.
Das setas numeradas de I a V, aquela que pode representar a
orientação da força resultante no homem-aranha, no instante
focalizado, é:
a) I b) II c) III d) IV e) V
11
Em particular, para V0 = 0 (móvel parte do repouso),
a intensidade da componente centrípeta será propor cio -
nal a �s.
Podemos ainda estudar a variação da componente
cen trípeta da resultante com o tempo de trajeto (t).
mV2
Fcp = ––––, em que V = V0 + � tR
m
Logo: Fcp = –– (V0 + � t)
2
R
O gráfico da função Fcp = f(t) será um arco de pará -bola.
m �2
Em particular, para V0 = 0, teremos: Fcp = ––––– t
2.
R
Consideremosuma partícula sob a ação de uma força
resultante constante e não nula.
Seja 
→
V0 a velocidade vetorial inicial da partícula.
Devemos distinguir dois casos:
1.o caso: A velocidade vetorial inicial (
→
V0) é nula
ou tem a mesma direção da força resultante (
→
F ).
Nesse caso, a partícula terá trajetória retilínea na
mes ma direção da força e o movimento será unifor me -
mente variado.
2.o caso: A velocidade vetorial inicial (
→
V0) não é
nula e tem direção não coincidente com a da força
resultante
→
F.
Nesse caso, o movimento da partícula pode ser de -
com posto em dois movimentos parciais:
I. Movimento numa direção normal à direção da
força resultante
→
F.
Tal movimento será isento de forças e, portanto, do
tipo retilíneo e uniforme, tendo como velocidade vetorial
constante a projeção de 
→
V0 nessa direção normal a 
→
F.
II.Movimento na direção da força resultante
→
F.
Tal movimento será do tipo retilíneo e unifor me men -
te variado, tendo como velocidade inicial a projeção de
→
V0 na direção de
→
F e como módulo da aceleração o quo -
ciente , em que m é a massa da partícula.
A composição desses dois movimentos parciais nos dá
o movimento da partícula com trajetória parabólica e ace -
leração escalar variável. (Não é uniformemente varia do.)
F
–––
m
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Resolução
Como, no instante focalizado, a velocidade é nula, a componente
centrípeta da força resultante é nula e a força resultante só tem
componente tangencial que é perpendicular ao fio: seta IV.
Resposta: D
2. (FUND. CARLOS CHAGAS) – A figura abaixo representa um pên -
dulo simples que oscila entre as posições A e B, no campo gravi -
tacional terrestre. Quando o pêndulo se encontra na posição P, a
for ça resultante é mais bem indicada pelo vetor:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
No trajeto de A para B, ao passar pelo ponto P, a esfera pendular
tem trajetória curva e movimento acelerado e, portanto, devem
existir as duas componentes da resultante: a componente tan -
gencial, com o mesmo sentido do movimento, e a componente
centrípeta, dirigida para o centro da circunferência descrita.
A resultante ( 
→
F ) é dada pela soma vetorial (regra do paralelo gra -
mo) entre as resultantes tangencial e centrípeta.
Resposta: D
3. (UFPE) – Um automóvel de massa igual a 1,0t descreve uma cur -
va circular de raio 100m com velocidade escalar constante de
10m/s, em um plano horizontal.
Qual a intensidade da força de atrito entre os pneus e a estrada
para evitar que o carro derrape?
Resolução
A força ( 
→
F ), que o chão exerce sobre o carro, admite duas com -
po nentes:
1) Componente normal ao chão 
→
Fn, que equilibra o peso 
→
P do
car ro.
2) Componente de atrito 
→
Fat, que faz o papel de resultante cen trí -
 peta, permitindo ao carro fazer a curva.
m V2
Fat = Fcp = –––––R
1,0 . 103 . (10)2
Fat = ––––––––––––––– (N) ⇒100
Resposta: 1,0kN
4. Uma partícula de massa 2,0kg parte do repouso e descreve uma
trajetória circular de raio 12,0m, em movimento uniformemente
va ria do, com aceleração escalar de módulo 4,0m/s2.
No instante t = 1,5s, calcule
a) a intensidade da componente tangencial da força resultante;
b) a intensidade da componente centrípeta da força resultante;
c) a intensidade da força resultante.
Resolução
a) A componente tangencial da força resultante (
→
Ft) tem inten -
sidade dada por:
Ft = m | � | = 2,0 . 4,0 (N) ⇒
b) A velocidade escalar (V) é dada por:
V = V0 + � t (MUV)
V = 0 + 4,0 . 1,5 (m/s) ⇒
A componente centrípeta da força resultante (
→
Fcp) tem inten -
sidade dada por:
mV2 2,0 (6,0)2
Fcp = –––– = ––––––––––– (N) ⇒R 12,0
c) A força resultante (
→
F ) é a soma vetorial das suas compo nen -
tes tangencial e centrípeta:
→
F = 
→
Ft + 
→
Fcp
F2 = F
t
2 + F
cp
2
F2 = (8,0)2 + (6,0)2 = 100 (SI)
Respostas: a) 8,0N
b) 6,0N
c) 10,0N
5. No esquema, representamos uma partícula de massa 1,0kg em
tra jetória circular de centro C e raio R = 2,0m.
Em um instante t0, a partícula passa pelo ponto A e está sub me -
tida à ação exclusiva das forças 
→
F1, 
→
F2 e 
→
F3, indicadas na figura.
São dados:
| 
→
F1 | = 20,0N; 
| 
→
F2 | = 15,0N; 
cos � = ; 
cos � = 3/5;
| 
→
F3 | = 17,0N.
Fcp = 6,0N
V = 6,0m/s
Ft = 8,0N
Fat = 1,0 . 10
3N
F = 10,0N
4
–––
5
12
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13
A velocidade da partícula, no ponto A, tem módulo igual a:
a) 8,0m/s b) 4,0m/s c) 16,0m/s
d) ���50 m/s e) zero
Resolução
A direção definida pela reta AC é a normal à trajetória no ponto A.
A componente centrípeta da força resultante é obtida pela soma
vetorial dos componentes de 
→
F1, 
→
F2 e 
→
F3 na direção da nor mal:
mV
A
2
Fcp = F1 cos � + F2 cos � – F3 = –––––R
4 3 1,0 V
A
2
20,0 . ––– + 15,0 . ––– – 17,0 = ––––––
5 5 2,0
V
A
2
16,0 + 9,0 – 17,0 = ––––
2,0
V
A
2 = 16,0 ⇒
Resposta: B
6. (UFES) – Um corpo de massa m = 2,0kg descreve uma trajetória
circular de raio R. Em um determinado instante T, o módulo da 
força resultante 
→
F no corpo vale 80N, o módulo da velocidade 
→
V é 
4,0m/s e o ângulo entre 
→
F e 
→
V é 53°.
Determine
a) o raio da trajetória (R);
b) o módulo da aceleração tangencial do corpo no instante T
considerado.
Dados: sen 53° = 0,80 e cos 53° = 0,60
Resolução
a)
A componente centrípeta da força resultante 
→
Fcp tem inten si -
dade dada por:
mV2
Fcp = F cos 37° = ––––R
Note que: cos 37° = sen 53° = 0,80
2,0 . (4,0)2
Portanto: 80 . 0,80 = ––––––––––
R
32 32
64 = –––– ⇒ R = –––– m ⇒
R 64
b) A componente tangencial da força resultante (
→
Ft) tem in ten -
sidade dada por:
Ft = F cos 53° = m at
80 . 0,60 = 2,0 at ⇒
Respostas: a) 0,5m
b) 24m/s2
7. (MODELO ENEM) – Considere uma estação espacial no espaço
sideral, afastada de qualquer corpo celeste. Para criar uma gravi -
dade artificial em seu interior, a estação espacial, que tem formato
de um cilindro oco, gira com velocidade angular constante em
torno de seu eixo. Seja R o raio do cilindro. Deseja-se que o peso
aparente de um astronauta seja igual a seu peso na superfície
terrestre, onde a aceleração da gravidade tem módulo g.
O período T de rotação do cilindro será dado por:
a) 2π ���� b) ���� c) ����
d) 2π ������g R e) π ����
Resolução
A força normal que a pessoa troca com a superfície do cilindro
correspon de a seu peso aparente:
Pap = FN = m �
2 R (resultante centrípeta)
m g = m �2 R
�2 = ⇒ � = ���� = 
Resposta: A
at = 24m/s
2
R = 0,5m
| VA | = 4,0m/s
R
T = 2π ���––g
2π
–––
T
g
––
R
g
––
R
R
––
g
R
––
g
1
–––
2π
R
––
g
R
––
g
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8. (UFMG) – Um circuito, onde são disputadas corridas de automó -
veis, é composto de dois trechos retilíneos e dois trechos em
forma de semicírculos, como mostrado na figura. 
Um automóvel está percorrendo o circuito no sentido anti-horário,
com velocidade de módulo constante. 
Quando o automóvel passa pelo ponto P, a força resultante que
atua nele está no sentido de P para 
a) N b) K c) L d) M
9. (UFV-MG) – Em um autódromo completamente plano e hori -
zontal, um veículo parte da largada no instante t = 0 e percorre as
curvas circulares C1, C2, C3, C4 e C5, conforme indicado na figura
abaixo, com uma velocidade constante em módulo. Sabendo-se
que o raio de C2 > C1 = C3 > C4 = C5, o gráfico que melhor
representa a intensidade da força resultante que atua sobre o
veículo ao percorrer o circuito é:
10. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um carro mo vimenta-se
com velocidade escalar cons tante num trecho circular de uma
estrada plana e horizontal, conforme a figura a seguir. A força
→
F representa a resistência que o ar exerce sobre o carro. Qual das
outras forças mostradas na figura melhor representa a força total
de atrito que a estrada aplica no pneu do automóvel?
a) 
→
FA b) 
→
FB c) 
→
FC d) 
→
FD e) 
→
FE
11. (UNESP) – Uma bola de massa 0,5kg é presa na extremidade de
um fio ideal de comprimento 1,0m. Segurando na extre mi da de do
fio oposta à bola,uma pessoa faz esta se mover em movimento
cir cular em um plano horizontal sem atrito, como apresentado na
fi gura. A corda suporta uma força de tração máxi ma de intensi da -
de 50N.
a) Qual a velocidade escalar máxima da bola antes que a corda se
rompa?
b) Qual deve ser o comprimento mínimo dessa corda para que ela
não se rompa antes de a bola atingir a velocidade escalar de
20m/s?
12. (UNESP) – Suponha que um preda dor de massa 150kg possa
atingir e manter uma velocidade escalar de 40m/s, enquanto
persegue uma presa de massa 60kg que, por sua vez, corre a
30m/s.
a) Se ambos estiverem correndo no mesmo sentido, numa
mesma reta, e num dado instante a presa ficar 60 metros à
frente, quanto tempo mais demoraria para ela ser pega?
b) Uma estratégia para fugir é fazer uma curva. Calcular quais de -
vem ser as intensidades das forças resultantes necessárias
pa ra presa e predador fazerem uma curva circular de raio 
5,0 m, mantendo, em módulo, os valores das velocidades
indicadas acima.
13. (UFJF-MG) – Um artista de circo, de peso P, pretende fazer uma
apresentação utilizando uma corda que está presa em um ponto
fixo, a uma determinada altura, como mostram as figuras 1a e 1b.
A acele ração gravitacional tem módulo g, e a trajetória descrita
pelo artista será um arco de circunferência de raio R.
14
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a) Com medo, o artista resolve testar se a corda suporta ou não
o seu peso, ficando pendurado em repouso, por algum tempo,
conforme a figura 1b. Faça o diagrama de forças atuando
sobre o artista de acordo com a figura 1b (considere o artista
como um ponto para fazer o dia grama). Não se esqueça de
identificar as forças e, utilizando a segunda Lei de Newton,
determine a intensidade da força de tração na corda.
Depois de verificar que a corda suporta o seu peso na posição
descrita na figura 1b, o artista salta, preso à corda, de uma
determinada altura. A sua velocidade inicial é nula. A trajetória
do artista é, inicialmente, um ar co de circunferência de raio R,
como descrito na figura 1a. No entan to, quando o artista passa
pela primeira vez no ponto mais baixo da sua trajetória, a corda
arrebenta.
b) Faça o diagrama e, utilizando a segunda Lei de Newton,
escreva uma equação para a intensidade da força de tração no
instante ime diatamente antes de a corda arrebentar.
c) Qual foi o erro do artista? Isto é, por que o seu teste não
funcionou?
14. (UFRN) – Nos parques de diversões, as pes soas são atraí das por
brinquedos que causam ilusões, desafios e estranhas sensações
de movimento. Por exemplo, numa roda gigante em movimento,
as pessoas têm sensações de mudança do próprio peso. Num
brinquedo desse tipo, as pessoas ficam em cadeiras que, tendo a
liberdade de girar, se adaptam facilmente à posição vertical,
deixando as pessoas de cabeça para cima. Esse brinquedo fá-las
realizar um movimento circular sempre no plano ver ti cal, con -
forme ilustrado na figura abaixo.
Imaginando-se uma pessoa na roda gigante, conside re:
I) g, o módulo da aceleração da gravidade local;
II) m, v e R, respectivamente, a massa, o módulo da veloci da de
(suposto constante) e o raio da trajetória do centro de massa
da pessoa;
III) N, o módulo da força de reação normal exercida pelo assento
da cadeira sobre a pessoa;
IV) v2/R, o módulo da aceleração centrípeta.
Diante do exposto, atenda às solicitações abaixo.
a) Faça o diagrama das forças que atuam na pessoa, consi de -
rando o ponto indicado na figura em que essa pessoa tem
maior sensação de peso. 
b) Determine o módulo V da velocidade para que a pessoa tenha
a sensação de imponderabilidade (sem peso) no ponto II.
15. Um fio ideal é fixo em um ponto O e tem, na outra ex tremidade,
uma esfera de massa M.
A esfera recebe um impulso e passa a descrever uma circun -
ferência em um plano vertical.
Quando a esfera passa pelo ponto A, a força aplicada pelo fio
sobre ela é indicada por TA
→
.
Admita que as únicas forças atuantes na esfera sejam a força TA
→
e o seu peso P
→
, conforme ilustra a figura.
Sendo L o comprimento do fio, VA o mó dulo da velo ci da de da
esfera em A e g o módulo da ace leração da gravi dade, assinale a
opção correta:
a) | TA
→
| = b) M g cos � = 
c) M g sen � = d) | TA
→
| + M g sen � =
e) | TA
→
| + M g cos � =
16. Uma partícula de massa 3,0kg descreve uma traje tória circular de
raio R = 1,6m com velocidade es calar constante v = 4,0m/s.
Em um instante t0 a partícula está sob a ação das três forças
indicadas na figura.
São dados: |F1
→
| = 10,0N e |F2
→
| = 30,0N.
 A intensidade de F3
→
é
a) 10,0N b) 20,0N c) 30,0N d) 40,0N e) 50,0N
17. (UNICAMP-SP) – Algo muito comum nos filmes de ficção cien -
tífica é o fato de as persona gens não flutua rem no interior das
naves espaciais. Mes mo estando no espaço sideral, na ausência
de campos gravitacionais externos, elas se mo vem como se
existisse uma força que as pren desse ao chão das espaçonaves.
Um filme que se preo cupa com es ta questão é “2001, uma
Odisseia no Es paço”, de Stanley Kubrick. Nesse filme, a
gravidade é simu lada pela rotação da estação espacial, que cria
um pe so efetivo agindo sobre o astronauta. A estação espa cial,
em forma de cilindro oco, mos trada a seguir, gira com velocidade
angular cons tante de módulo 0,2 rad/s em torno de um eixo ho -
rizontal E perpen dicular à página. O raio R da es pa çonave é 40m.
MVA
2
––––––
L
MVA
2
––––––
L
MVA
2
––––––
L
MVA
2
––––––
L
MVA
2
––––––
L
15
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22. Na figura, temos um bloco de
massa m preso a um fio ideal
de comprimento d e fixo em
um ponto C.
O bloco está descrevendo
mo vimento circular e unifor-
me em um plano horizontal sem atrito.
Sendo f a frequência do movimento, calcule a intensidade da for -
ça tensora no fio.
Resolução
Sobre o bloco, que está em movimento circular e uniforme, atuam
três forças:
1) força peso 
→
P, aplicada pelo planeta Terra;
2) força de reação normal 
→
N, aplicada pelo plano horizontal de
apoio;
3) força de tração 
→
T, aplicada pelo fio ligado ao bloco.
16
a) Calcule o módulo da velocidade tangencial do astronauta re -
pre sentado na figura.
b) Determine a intensidade da força de reação que o chão da
espaço na ve aplica no astronauta que tem massa m = 80kg.
18. (UPE-MODELO ENEM) – Um avião da esquadrilha da fumaça
des creve um looping
num plano vertical, com
velocidade escalar de
720 km/h. Para que, no
ponto mais baixo da tra -
jetória circular, a inten -
sidade da força que o
piloto exerce no banco
seja o triplo de seu
peso, é necessário que
o raio do looping, em
metros, seja de
a) 1500 b) 1700 c) 2000 d) 2300 e) 3000
Dado: g = 10,0 m/s2
19. (UNICENTRO-PR-MODELO ENEM) – Observe a figura.
A figura mostra duas formigas idênticas em cima de um disco que
gira, num plano horizontal, com velocidade angular constante em
torno de seu centro. As formigas não deslizam sobre o disco, e o
coeficiente de atrito entre o disco e cada formiga vale �.
É correto afirmar que
a) a aceleração da formiga 1 é maior que a aceleração da formiga
2.
b) a velocidade angular da formiga 1 é menor que a velocidade
angular da formiga 2.
c) a força resultante sobre a formiga 1 é menor que a força
resultante sobre a formiga 2.
d) a velocidade tangencial da formiga 1 vale a metade da
velocidade tangencial da formiga 2.
e) a aceleração da formiga 1 vale a metade da aceleração da
formiga 2.
20. (UNIOESTE-MODELO ENEM) – Um carro de massa 1800 kg
está em movimento circular sobre uma rodovia circular e
horizontal de raio igual a 200 m. O módulo de sua velocidade é
constante. O coeficiente de atrito estático entre os pneus do carro
e a rodovia é de �e = 0,20. Considere a aceleração da gravidade
com módulo g = 10 m/s2 e desconsidere o atrito com o ar. Para
as condições de movimento descritas, assinale a alternativa
correta.
a) O módulo da força de atrito que atua sobre o carro, resultante
da interação dos pneus do carro e a rodovia, é constante e
igual a 3600 N, independentementedo módulo da velocidade
de movimento do carro.
b) A força de atrito sobre o carro, resultante da interação entre os
pneus do carro e a rodovia, é a força resultante centrípeta que
permite o movimento do carro.
c) Os vetores força peso e força centrípeta sobre o carro
possuem o mesmo sentido.
d) A força de atrito sobre o carro, resultante da interação entre os
pneus do carro e a rodovia, atua em sentido contrário à força
centrípeta sobre o carro, que o mantém em movimento sobre
a rodovia.
e) A força resultante sobre o carro é nula.
21. (UFABC-MODELO ENEM) – A separação dos melhores esper -
matozoides do sê men se dá devido à rotação de tubos de ensaio
acoplados a uma centrífuga.
Com base nas leis de Newton e tendo-se em conta um referencial
fixo no solo terres tre, analise as seguintes afirmações.
I. Nesse aparelho, a rotação gera a ação de uma força centrífuga
que empurra as partículas de maior densidade para o fundo
dos tubos de ensaio.
II. Em todas as partes girantes do conjunto que prende os tubos
de ensaio, a frequência de rotação em torno do eixo vertical,
em um dado instante, é a mesma.
III. A velocidade escalar dos pontos mais próximos do fundo dos
tubos de ensaio é maior do que de outro ponto mais próximo
do eixo de rotação do aparelho, quando esse está ligado.
É verdadeiro o contido em
a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas. e) I, II e III.
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A reação normal 
→
N vai equilibrar o peso 
→
P, pois não há ace leração 
segundo a vertical, e a força de tração 
→
T fará o papel de resultante
centrípeta.
mV2
T = Fcp = ––––R
�s 2πR
Porém: R = d e V = –––– = –––– = 2πfR, em que T’ é o período
�t T’
do movimento circular e uniforme e f é a respectiva frequência.
Assim:
m
T = ––– . 4π2 f2d2 �
d
Resposta: 4π2 mf2 d
23. (CESGRANRIO) – A partir de um ponto muito próximo da su per -
fície terrestre, na região polar, uma pedra é atirada horizon tal -
mente e se transforma em um satélite artificial da Terra em órbita
circular.
Admitindo-se a Terra rigorosamente esférica de raio 6,4 . 106m,
desprezando-se a influência da atmosfera terrestre e adotando-se
g = 10m/s2, calcule a intensidade da velocidade de lançamento da
pedra.
Resolução
A pedra descreverá movimento circular uniforme, e a força
gravita cional que a Terra exerce sobre ela fará o papel de
resultante centrípeta. 
FG = Fcp
mV2
mg = ––––
R
Sendo g = 10m/s2 e R = 6,4 . 106m, temos:
V = �������10 . 6,4 . 106 (m/s) ⇒
Esta velocidade de lançamento que transforma o corpo em um
satélite rasante à Terra é chamada velocidade de satelização ou
velocidade cósmica primeira.
Resposta: 8,0km/s
24. Existe um espetáculo circense conhecido como “globo da mor te”.
No interior de uma esfera oca, feita de metal vazado, um mo to -
ciclista realiza uma série de acrobacias, tendo como evolução
mais importante, e que constitui o ponto culminante do espe tá -
culo, a realização de uma circunferência num plano vertical.
Para conseguir completar essa curva, sem se desligar da pista, a
moto deve desenvolver uma certa velocidade escalar mínima.
Sen do g o módulo da aceleração da gravidade local e R o raio do
globo, obtenha a mínima velocidade escalar possível, no ponto
mais alto da trajetória, para que a moto consiga completar a
circun fe rên cia sem se destacar da pista.
Resolução
No ponto mais alto da trajetória, as forças externas atuantes no
sis tema (moto-pessoa), que têm direção radial, são:
1) a força de gravidade 
→
P aplicada pelo planeta Terra;
2) a reação normal da pista 
→
Fn que é dirigida para dentro da tra -
jetória. (A moto aplica sobre a pista uma força para fora e a
pista reage sobre a moto com uma força para dentro.)
A resultante entre essas
duas forças (
→
P e 
→
Fn), que
têm direção ra dial, será a
resultante chamada cen -
trí peta:
→
Fn + 
→
P = 
→
Fcp
Tomando-se apenas as intensidades das forças:
mV 2
Fn + mg = –––––R
em que: m = massa do sistema
V = velocidade escalar no ponto mais alto
R = raio do globo
Quanto maior a velocidade escalar V, maior será a intensidade da
reação normal da pista Fn, isto é, quanto maior a velocidade es -
calar, mais intensamente a moto comprime a pista, ficando
fortemente grudada na pista e não tendo o menor perigo de cair.
Diminuindo a velocidade escalar V, a reação normal da pista Fn
também diminuirá; quando Fn = 0, a moto estará na iminência de
cair e a velocidade escalar correspondente será a mínima velo ci -
da de escalar possível, para completar a circunferência, sem se
des ligar da pista:
V = 8,0 . 103m/s
V = ���g R
T = 4π2 m f2 d
17
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m . V
mín
2
0 + mg = ––––––––
R
V
mín
2
Portanto: g = –––––– ⇒ V
mín
2 = gR
R
Observe que a velocidade escalar mínima para não cair é inde pen -
dente da massa do sistema (moto-pessoa).
Resposta: ���gR
25. No esquema, temos um pêndulo simples de comprimento L e
com uma esfera de massa m, oscilando entre os pontos A e B.
A velocidade escalar da esfera ao pas -
sar pelo ponto M vale V.
A intensidade da força que traciona o
fio ao passar pelo ponto M será igual
a:
a) zero b) mg
c) mg – d) mg + 
e)
Nota: g = módulo da aceleração da gravidade local.
Resolução
Sobre a esfera pendular, atuam duas forças: a força de gravidade 
→
P aplicada pela Terra e a força de tração 
→
T aplicada pelo fio.
Quando a esfera passar pelo ponto M, a resultante entre 
→
T e 
→
P
pas sará pelo centro C da circunferência descrita e, portanto, terá
apenas componente centrípeta:
→
T + 
→
P = 
→
Fcp
mV2
T – mg = ––––
L
Note que o raio da circunferência descrita pela
esfera é igual ao com primento L do fio:
Portanto: 
Resposta: D
26. (UFSC) – Um carro de massa m = 1,6 . 103 kg passa por uma pon te
convexa com velocidade escalar constante V = 36km/h. O raio da
ponte, suposta com perfil circular, é R = 80m. Adote g = 10,0m/s2 e
despreze o efeito do ar.
a) Qual a intensidade da força resultante sobre o carro enquanto
estiver na ponte?
b) Qual a intensidade da força com que o carro pressiona a ponte
ao passar pelo seu ponto mais alto?
Resolução
a) Sendo o movimento circular e uniforme, a força resultante se -
rá centrípeta e sua intensidade é dada por:
mV2 km
Fcp = ––––, em que V = 36 –––– = 10m/sR h
1,6 . 103 . (10)2
Fcp = –––––––––––––– (N) ⇒80
b) Ao passar pelo ponto mais alto da pista, o carro está sujeito a
duas forças externas e verticais:
(1) Força normal 
→
FN aplicada pela pista.
(2) Força de gravidade 
→
P aplicada pela Terra.
A resultante entre 
→
FN e 
→
P passa pelo centro C da circunfe rên -
cia descrita e faz o papel de força centrípeta:
→
P + 
→
FN = 
→
Fcp
Como a resultante é dirigida para o centro, tem-se P > FN e,
por tanto:
P – FN = Fcp
FN = P – Fcp
FN = mg – Fcp
FN = 1,6 . 10
3 . 10,0 – 2,0 . 103 (N)
FN = 16,0 . 10
3 – 2,0 . 103 (N)
Respostas: a) 2,0kN
b) 14,0kN
27. (MODELO ENEM) – Em um parque de diversões, temos uma
roda gigante que gira com velocidade angular
constante. A cadeira é articulada de modo que
a pessoa se mantenha sempre sentada na
posição normal. Quando a pessoa passa pelo
ponto A, mais baixo de sua trajetória, ela rece -
be da cadeira uma força vertical de intensidade
N1. Quando a pessoa passa pelo ponto B, mais
alto de sua trajetória, ela recebe da cadeira
uma força vertical de intensidade N2.
A força resultante na pessoa, du ran te todo o
movimento, tem in ten sidade constante e igual
a:
a) b) 
c) zero d) N1 + N2
e) N1 – N2
FN = 14,0 . 10
3N = 14,0kN
Fcp = 2,0 . 10
3N
mV2
T = mg + –––––
L
mV2
–––––
L
mV2
–––––
L
mV2
–––––
L
Vmín = ���gR
N1 – N2––––––––
2
N1 + N2––––––––
2
18
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29. Considere uma mesa horizontal sem atrito com um pequeno orifí -
cio central por onde passa um fio ideal. Uma das extremidades do
fio está presa a um bloco A de massa M que permanece em
repouso suspenso pelo fio.
A outra extremidade do fio está presa a um bloco Bde massa m
que descreve movimento circular uniforme de raio R e período T
sobre a mesa.
A aceleração da gravidade local tem módulo g.
A razão é dada por:
a) b) c)
d) e)
30. (MACKENZIE) – Um corpo de pequenas dimen sões realiza voltas
verticais no sentido horário dentro de uma esfera rígida de raio 
R = 1,8m. Na figura abaixo, temos registrado o instante em que
sua ve locidade tem módulo igual a 6,0m/s e a força de atrito,
devida ao contato com a esfera, é equilibrada pelo peso. 
Nestas condições, o coeficiente de atrito cinético entre o corpo e
a esfe ra vale:
a) 0,10 b) 0,20 c) 0,30 d) 0,40 e) 0,50
Adote g = 10m/s2 e não considere o efeito do ar.
31. (UNICAMP-SP) – Um míssil é lançado horizon tal men te em órbita
cir cular rasante à superfície da Terra. Adote o raio da Terra 
R = 6,4 . 106m. O efeito do ar foi des pre zado e, para simplificar,
tome 3 como valor aproximado de 	. Adote g = 10m/s2.
a) Qual é o módulo da velocidade de lançamento?
b) Qual é o período de translação do míssil?
32. (UFMG) – Um astronauta, de pé sobre a superfície da Lua,
arremessa uma pedra, horizontalmente, a partir de uma altura de
1,25m, e verifica que ela atinge o solo a uma distância de 15,0m.
Considere que o raio da Lua é de 1,6 x 106 m e que a aceleração
da gravidade na sua superfície tem módulo igual a 1,6 m/s2.
Com base nessas informações,
a) calcule o módulo da velocidade com que o astronauta arre -
mes sou a pedra;
b) calcule o módulo da velocidade com que, nas mesmas
condições e do mesmo lugar, uma pedra deve ser lançada,
também horizon tal men te, para que, após algum tempo, ela
passe novamente pelo local de lançamento.
33. (UNICAMP-SP) – Uma atração muito popular nos cir cos é o
“Globo da Morte”, que consiste numa ga io la de forma es férica no
interior da qual se movimenta uma pessoa pilotando uma
motocicleta. Considere um glo bo de raio R = 3,6m e adote 
g = 10m/s2.
R
––––––––
4π2 gT2
R
–––––––
4π gT2
R
––––––
gT2
2π R
––––––
gT2
4π2 R
––––––
gT2
M
––––
m
19
Resolução
A força resultante é centrípeta e tem intensidade constante:
ponto A: N1 – P = Fcp (1)
ponto B: P – N2 = Fcp (2)
(1) + (2): N1 – N2 = 2 Fcp
Resposta: B
28. (UFLAVRAS-MG) – Nas provas do mundial de motovelocidade, as
cenas mais emocionantes são aquelas em que os pilotos inclinam
as motos nas curvas, de forma a quase encostar a moto na pista.
Considerando-se g = 10m/s2, uma curva plana circular e horizontal
de raio 100 m e o coeficiente de atrito estático pneu-asfalto �e = 0,9,
a velocidade escalar máxima com a qual um piloto pode realizar a
curva é
a) dependente da massa do conjunto piloto/moto.
b) 90 m/s. c) 1000 m/s.
d) 80 km/h. e) 30 m/s.
Resolução
1) FN = P = mg
2) Fat = Fcp = 
3) Atrito estático
Fat ≤ �E FN
≤ �E mg ⇒ V
2 ≤ �E g R
V ≤ �E g R ⇒ Vmáx = �E g R 
Vmáx = 0,9 . 10 . 100 (m/s)
Resposta: E
N1 – N2
Fcp = ––––––––
2
Vmáx = 30m/s = 108km/h
m V2
–––––
R
m V2
–––––
R
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a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a mo toci cleta
nos pontos A, B, C e D, indicados na fi gu ra anterior, sem incluir
as forças de atrito. Para efei tos práticos, considere o conjunto
piloto + mo to cicleta como sendo um ponto material.
b) Qual o módulo da velocidade mínima que a moto cicleta de ve
ter no ponto C para não perder o con ta to com o in terior do
globo?
34. (UPE) – Uma corda é amarrada em um balde que contém água. O
balde é colocado para girar, executando uma trajetória circular de
raio 2,5 m, no plano vertical. A velocidade mínima do balde no
ponto mais elevado da trajetória circular, para que a água não caia
do balde, vale, em m/s,
Adote g = 10m/s2
a) 4,0 b) 5,0 c) 7,0 d) 8,0 e) 9,0
35. (UEL-PR) – A esfera, re pre sen tada no es -
que ma, tem massa igual a 1,0kg e, quando
aban do na da, movimenta-se segundo um
arco de circun fe rên cia de raio 1,0m, devi do
ao fio que a pren de ao teto. Ao passar pelo
ponto A, instante em que o fio está na
vertical, tem velocidade escalar de 4,0m/s.
Con siderando-se g = 10,0m/s2 e despre -
zan do-se o efeito do ar, a intensidade da 
força que traciona o fio, no ins tan te em que a esfera passa pelo
ponto A, vale, em newtons:
a) zero b) 6,0 c) 12,0 d) 26,0 e) 32,0
36. (PUC-SP) – Um avião descreve, em seu movi men to, uma
trajetória circular, no plano vertical (loop), de raio R = 40 m,
apresentando no ponto mais baixo de sua trajetória uma
velocidade de módulo igual a 144 km/h.
Sabendo-se que o piloto do avião tem massa de 70kg, a força de
reação normal, aplicada pelo banco sobre o piloto, no ponto mais
baixo, tem intensidade
a) 3,7 . 104 N b) 3,6 . 104 N c) 3,5 . 103 N
d) 2,8 . 103 N e) 7,0 . 102 N
37. Considere um trilho com o formato da figu ra, visto em corte ver -
tical.
O trecho curvo repre sen ta um arco de circunferência de raio 
R = 2,0m e não existe atrito. Um carrinho de massa 3,0kg passa
pelo ponto A com velocidade escalar igual a 4,0 m/s. Calcule, no
ponto A:
a) a intensidade da força resultante no carrinho;
b) a intensidade da força que o carrinho troca com o trilho.
38. Um automóvel de massa 2,0t tem velocidade es ca lar cons tan te de
72km/h e pas sa por uma pon te cujo perfil ver tical é um ar co de
circun fe rên cia de raio 100m.
Adote g = 10m/s2. Quando o carro passa pelo ponto mais alto da
ponte, a força que ele troca com o chão tem intensidade igual
a) à de seu peso; b) a 40% de seu peso;
c) a 60% de seu peso; d) a 140% de seu peso;
e) a 160% de seu peso.
39. (UFJF-MG) – O diálogo abaixo, entre Lomax e Mar tin, foi extraído
de um livro de Frederick Forsythe:“Dois carros de corrida entram
numa curva, um carro mais leve e outro mais pesado. Qual deles
derrapa para fora da pista?”
“O pesado”, disse Martin.
“Certo.”
a) Faça um diagrama de forças para um carro de corrida que faz
uma curva sem derrapar. Assuma que a curva seja circular, de
raio R, e que a superfície da estrada seja horizontal. Certi fique-se
de que, no diagrama de forças, estejam somente as forças que
agem no carro.
b) Se dois carros, um mais pesado que o outro, fazem a curva
com velocidade de módulo constante e igual a V, sem
derrapar, calcule o módulo da aceleração de cada um. A ace -
leração do carro leve, de massa m�, tem módulo igual ao da
aceleração do carro pesado, de massa mp? Por quê? Consi de -
re pequenas as dimensões dos carros, se comparadas ao raio
R da curva.
c) Calcule a intensidade da força de atrito que o chão faz sobre
cada um dos carros do item (b). A intensidade da força de
atrito sobre o carro leve é igual à intensidade da força de atrito
sobre o carro pesado? Justifique.
d) Você concorda com o que Lomax e Martin dis seram? Justi -
fique.
40. (UFMG) – Ana está sentada em um banco de uma roda-gigante,
que gira com velocidade angular constante. Nesse movimento,
Ana passa, sucessi vamente, pelos pontos P, Q, R e S, como
mostrado na figura abaixo.
20
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46. Na figura, temos quatro esferas idênticas presas em um fio ideal
(sem peso e inextensível).
O sistema todo gira com velocidade angular constante � em torno
de um eixo vertical passando pelo ponto O.
As esferas se movem sobre um plano horizontal sem atrito.
Determine a tensão no fio nas diversas secções.
Resolução
Para cada esfera, a força peso é equilibrada pela reação normal de
apoio.
21
Considere que a massa de Ana é 30,0kg, que o raio de sua
trajetória é 5,0m e que o módulo de sua velo cidade angular é
0,40rad/s.
Com base nessas informações,
a) determine a força resultante – módulo, direção e sentido –
sobre Ana quando esta passa pelo ponto Q, indicado na figura.
b) O módulo da força que o banco faz sobre Ana é maior no
ponto Q ou no ponto S? Justifique sua resposta.
(MODELO ENEM) – Texto para as ques tões de números 41 e 42.
Vendedores aproveitam-se da morosidade do trânsito para vender
amendoins, mantidos sempre aquecidos em uma bandeja
perfurada encaixada no topo de um balde de alumínio; dentro do
balde, uma lata de leite em pó, vazada por cortes laterais,contém
carvão em brasa (figura 1). Quando o carvão está por se acabar,
nova quantidade é reposta. A lata de leite é engan chada a uma
haste de metal (figura 2) e o conjunto é girado vigorosamente em
um plano vertical por alguns segundos (figura 3), reavivando a
chama.
Despreze o efeito do ar.
41. Mantendo-se o movimento circular de raio 80cm, a menor
velocidade escalar que a lata deve possuir no ponto mais alto de
sua trajetória para que o carvão não caia da lata é, em m/s,
a) ���2,0 b) 2,0 c) 2 ���2,0 d) 4,0 e) 4 ���2,0
42. No momento em que o braseiro atinge o ponto mais baixo de sua
trajetória, considerando-se que ele descreve um movimento no
sentido anti-horário e que a trajetória é percorrida com velocidade
escalar constante, dos vetores indicados, aquele que mais se
aproxima da direção e sentido da força resultante sobre a lata é
43. (UFRRJ-MODELO ENEM)
Foi que ele viu Juliana na roda com João
Uma rosa e um sorvete na mão
Juliana seu sonho, uma ilusão
Juliana e o amigo João
GIL, Gilberto. Domingo no Parque.
A roda citada no texto é conhecida como roda-gigante, um brin -
quedo de parques de diversões.
Considere:
– o movimento de Juliana como circular e uniforme;
– o módulo da aceleração da gravidade local igual a 10m/s2;
– a massa da Juliana 50kg;
– o raio da roda-gigante 2,0 metros;
– a velocidade escalar constante de Juliana igual a 36km/h.
A intensidade da reação normal vertical que a cadeira exerce so -
bre Juliana quando ela se encontrar na posição indicada pelo
ponto I vale
a) 1,0kN b) 2,0kN c) 3,0kN d) 4,0kN e) 5,0kN
44. (UECE-MODELO ENEM) – Em certos movimentos, percebe mos,
em nossos órgãos internos, efeitos causados por variações
dinâmicas. A diferença entre a intensidade da força de reação (pe -
so aparente) que o assento de uma cadeira de uma roda-gi gante
de raio R, girando em movimento circular uniforme com velo ci -
dade tangen cial de módulo v, exerce sobre uma pessoa de massa
m sentada nela entre os pontos mais baixo e mais alto da roda-gi -
gante é
a) b) c)
d) e)
45. (UFLA-MG-MODELO ENEM) – Um dos fatores que influem no
desempenho de um carro de Fórmula 1 é o “efeito asa”. Esse
efeito, que pode ser mais ou menos acen tuado, surge na
interação do ar com a geometria do carro. Quando se altera o
ângulo de inclinação dos aerofólios, surge uma força vertical para
baixo, de forma que o carro fica mais preso ao solo. Conside -
rando-se um carro com “efeito asa” igual ao seu peso, coeficiente
de atrito estático �e = 1,25 entre pneus e asfalto, g = 10m/s
2,
esse carro pode fazer uma curva plana horizontal de raio de
curvatura 100m, sem deslizar, com velocidade escalar máxima de:
a) 50m/s b) 180m/s c) 120m/s
d) 100m/s e) 80m/s
4mv2
–––––
R
2mv2
–––––
R
3mv2
–––––
2R
mv2
–––––
R
mv2
–––––
2R
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 12:42 Página 21
Mostramos, a seguir, uma vista de perfil do sistema com o esque -
ma de forças em cada esfera.
Todas as esferas terão a mesma velocidade angular �, pois giram
juntas, percorrendo o mesmo ângulo no mesmo intervalo de
tempo.
Cada esfera terá movimento circular e uniforme e, portanto, a for -
ça resultante será do tipo centrípeta.
mV2 m
Fcp = ––––– = ––– (�R)
2 = m�2R
R R
1) Para a esfera A, a força de tração T4 fará o papel de resultante
centrípeta e o raio da circunferência descrita será 4 L.
Assim:
T4 = FcpA
= m�2 4L �
2) Para a esfera B, a resultante entre as forças de tração T3 e T4
fará o papel de resultante centrípeta e o raio da circunferência
descrita será 3 L.
T3 – T4 = FcpB
T3 – 4m�
2L = m�23L �
3) Para a esfera C, a resultante entre as forças de tração T2 e T3
fará o papel de resultante centrípeta e o raio da circunferência
descrita será 2L.
T2 – T3 = FcpC
T2 – 7 m�
2L = m�22L �
4) Para a esfera D, a resultante entre as forças de tração T1 e T2
fará o papel de resultante centrípeta e o raio da circunferência
descrita será L.
T1 – T2 = FcpA
T1 – 9 m�
2L = m�2L �
47. A figura mostra um pequeno corpo de
massa m, descrevendo um círculo
horizontal, com velocidade escalar
constante, preso na ex tre midade de
um fio de comprimento L. À medida
que o corpo gira, o fio descreve a su -
perfície de um cone. Este aparelho é
cha mado pêndulo cônico. Ache o tem -
po necessário para uma revo lução
completa do corpo, em função do mó -
dulo da aceleração da gravidade g e da altura do cone h.
Resolução
A esfera pendular descreve um movimento circular e uniforme
em um plano horizontal. Isto significa que a resultante das forças
ver ticais deve ser nula e a resultante horizontal será do tipo cen -
trí peta.
Atuam sobre a esfera duas forças:
1) a força 
→
T aplicada pelo fio de suspensão, que será decomposta 
em uma parcela vertical 
→
Ty e uma parcela horizontal 
→
Tx;
2) a força peso 
→
P.
A componente vertical 
→
Ty deverá equilibrar o peso
→
P, e a compo nen -
te horizontal 
→
Tx será a resultante centrípeta.
mV2
Do exposto: Ty = mg e Tx = ––––R
TxDa figura: tg � = –––
Ty
mV2/R
Portanto: tg � = –––––––
mg
Ainda: V2 = gR tg � (1)
�s 2πR
Da Cinemática: V = ––– = –––– (2), em que t é o período do 
�t t
movimento circular e uniforme da esfera, isto é, é o tempo
necessário para uma volta completa.
Substituindo (2) em (1), temos:
4π2R2
––––––– = gR tg �
t2
4π2R
Assim: t 2 = –––––– � (3)
g tg �
Porém, da figura:
R R
tg � = ––– ou –––– = h (4)
h tg �
Substituindo (4) em (3), temos:
Observe que, para g constante, o período do pêndulo cônico
dependerá unicamente da altura h, isto é, todos os pêndulos
cônicos que tiverem a mesma altura h terão o mesmo período,
não importando os demais elementos: m, �, R, v e L.
Resposta:
48. Existe nos parques de diversões um “brinquedo” chamado “ro -
tor”, que consiste de um cilindro vertical oco que é posto em mo -
vi mento de rotação. As pessoas entram no interior do cilindro, en -
costam-se à parede e o cilindro é posto a girar com velocidade
angular � crescente. Quando a velocidade angular atinge um valor
adequado, o piso é retirado e as pessoas ficam “pregadas” na pa -
re de.
Sendo R o raio do cilindro, � o coeficiente de atrito entre a pessoa
e a parede, g o módulo da aceleração da gravidade, determine o
mínimo valor de � para que, com a retirada do piso, a pessoa não
escorregue.
Se aumentarmos a velocidade angular acima do valor mínimo cal -
cu lado, há possibilidade de a pessoa subir? Justifique.
Resolução
Quando a pessoa está encostada na parede, com o rotor girando
e o piso retirado, atuam sobre ela as seguintes forças:
1) a força de gravidade 
→
P aplicada pela Terra;
2) a força de reação normal 
→
Fn aplicada pela parede do rotor;
h
t = 2π ��–––g
h
t = 2π ��–––g
R
t = 2π ���––––––g tg �
T1 = 10m�
2L
T2 = 9m�
2L
T3 = 7m�
2L
T4 = 4m�
2L
22
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 22
3) a força de atrito 
→
fat também aplicada pela parede do rotor.
Para que a pessoa não escorregue, a força de atrito deve equi li -
brar o peso e a reação normal deve fazer o papel de resultante
centrípeta.
→
fat + 
→
P = 
→
0 ⇔ →fat = –
→
P ⇒ |
→
fat | = | 
→
P | = mg
mV2→
Fn = 
→
Fcp ⇒ Fn = ––––– = m�
2R
R
Como não há escorregamento entre a pessoa e a parede do rotor,
o atrito é estático e, portanto:
|
→
fat| ≤ | fatdestaque|
mg ≤ � . m�2R
Assim: �2 ≥ ⇒ � ≥ ��
Logo: 
Observe que o funcionamento do rotor não depende da massa
(m) da pessoa, porém a condição de retirada do piso está ligada
ao coeficiente de atrito � entre as roupas da pessoa e a parede do
rotor.
Se aumentarmos a velocidade angular � acima do valor mínimo
calculado, a força de atrito de destaque torna-se maior do que o
peso da pessoa, porém a força de atrito efetiva (real) continua
com a mesma intensidade do peso, isto é, apenas o suficiente pa -
ra equilibrar o peso, evitando o escorregamento da pessoa para
baixo.
A força de atrito é uma força de reação passiva que sempre se
opõe à tendência de escorregamento entre os corpos em contato
e, portanto, no rotor, a força de atrito nunca ficará maior do queo peso e a pessoa nunca subirá. 
Baseado no texto que se segue, responda à questão 49.
Texto : Força de Inércia Centrífuga
Seja uma partícula descrevendo uma curva, em relação a um sis -
te ma de referência inercial. As forças atuantes na partícula ad -
mitem uma componente normal à trajetória que é chamada “re -
sultante centrípeta”.
Ressalte-se ainda que resultante centrípeta não é uma força a
atuar na partícula, mas apenas o nome que uma componente da
força resultante recebe. Não se admite falar em reação da re sul -
tante centrípeta que, via de regra, é uma soma de forças atuantes
na partícula.
Para esse referencial inercial, não existe força de inércia centrí -
fu ga.
Considere-se, agora, um sistema de referência não inercial (cha -
mado sistema acelerado), ligado à partícula que faz uma curva em
relação ao sistema inercial. Para o sistema de referência ligado à
própria partícula, ela estará em repouso e a resultante de todas as
forças atuantes sobre ela deverá ser nula.
Em relação ao sistema inercial, a partícula estava sujeita a um
conjunto de n forças (forças reais do tipo ação-reação) com uma 
resultante 
→
F que, num caso genérico, admitia duas componentes: 
a resultante tangencial 
→
Ft e a resultante centrípeta 
→
Fcp.
Para o referencial não inercial ligado à partícula, para que a re -
sultante de todas as forças seja nula, além das n forças reais, de -
vem existir duas outras forças (que inexistem para o referencial 
inercial), capazes de equilibrar a resultante tangencial 
→
Ft e a re -
sultante centrípeta 
→
Fcp. Tais forças são chamadas de forças iner -
 ciais ou forças fictícias ou forças de correção de referen cial e
não são do tipo ação-reação, isto é, não são forças aplicadas por
algum agente físico e não admitem força de reação.
Estas forças inerciais deverão ter mesma intensidade, mesma
direção e sentido oposto à resultante tangencial e à resultante
centrípeta e são denominadas força de inércia de arrastamento
e força de inércia centrífuga, respectivamente.
Assim, a força de inércia centrífuga, que nos interessa
particularmente estudar, tem mesma intensidade da resultante 
cen trípeta , direção normal à trajetória e sentido “para fora”
da curva (daí o nome centrífuga, que significa: foge do cen tro). 
É fundamental compreender que a força de inércia centrífuga não
é reação da centrípeta, não existe para um sistema de re fe -
rên cia inercial e não é do tipo ação-reação. Quando se per -
gunta se existe força de inércia centrífuga, a resposta é: “depen -
de do referencial”.
Para um referencial inercial, simplesmente não existe força
de inércia centrífuga.
Para um referencial não inercial (acelerado) que descreve uma
cur va em relação ao referencial inercial, existe a força de inércia
centrífuga, que tende a jogar os corpos para fora da curva.
A título de exemplo, imagine um carro fazendo uma curva em
relação à Terra, suposta ser um sistema inercial. Durante a curva,
uma porta se abriu e um passageiro desprevenido foi projetado
para fora. Como explicar esse fato?
Um observador inercial, na Terra, afirma que o passageiro foi pro -
jetado para fora, por causa de sua inércia de movimento (para ele,
não existe força de inércia centrífuga).
Um observador dentro do carro afirma que o passageiro foi pro -
jetado para fora, pela força de inércia centrífuga (para ele, não vale
o Princípio da Inércia de Newton).
As duas explicações estão corretas, cada uma válida em seu sis -
te ma de referência.
49. Um satélite da Terra, de massa m, tem órbita circular de raio r,
com velocidade escalar V.
I. Qual diagrama representa as forças atuantes no satélite, vis tas
por um observador na Terra, suposta ser um referencial iner -
cial?
mV2
––––
R
g
�mín = ��––––�R
g
–––
�R
g
–––
�R
23
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 23
II. Qual diagrama representa as forças atuantes no satélite, vistas
por um observador no satélite?
Resolução
I. Para um observador na Terra, suposta ser um sistema de re fe -
rência inercial, o satélite tem movimento circular e uniforme; a
única força atuante no satélite (desprezam-se outras forças) é
a força de atração gravitacional exercida pela Terra e que faz o
papel de resultante centrípeta.
II. Para um observador no satélite, sistema de referência não
inercial (ou acelerado), o satélite está em repouso sob a ação
de duas forças que se equilibram: a força de atração gravita -
cional exercida pela Terra e a força de inércia centrífuga.
Respostas: I. a
II. c
50. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um automóvel entra numa curva
circular, em uma autopista, com inclinação � em relação ao plano
ho ri zontal.
A autopista está coberta por uma fina camada de gelo.
São dados:
1. Módulo da velocidade do carro: 90km/h.
2. Módulo da aceleração da gravidade: 10m/s2.
3. tg � = 0,25
Para que o automóvel consiga fazer a curva, sem derrapar, o raio
desta curva deve ser igual a:
a) 25m b) 100m c) 200m d) 250m e) 300m
Resolução
1) Fy = P = mg
2) Fx = Fcp = 
3) tg � = = 
tg � = 
R = = (m) ⇒
Resposta: D
51. (MODELO ENEM) – Considere um sistema formado por três
estrelas, E1, E2 e E3, de mesma massa M.
Em relação a um sistema de referência inercial, a estrela E1 fica
em repouso, e as estrelas E2 e E3 gravitam em torno de E1 em
uma mesma órbita circular de centro em E1 e raio R, com
movimentos uniformes. As três estrelas são assimiláveis a
pontos materiais. A força gravitacional entre duas estrelas de
mesma massa M, cujos centros de massa estão separados por
uma distância d, tem intensidade F dada por
G = constante de gravitação universal.
As estrelas E1, E2 e E3 estão sempre alinhadas, con forme sugere
a figura.
Na estrela E2, a força resultante centrípeta é a soma vetorial das
forças gravitacionais aplicadas por E1 e E3.
O período de translação T de E2 e E3 em torno de E1 é dado por
a) T = 2πR b) T = 4πR 
c) T = 2πR d) T = 4πR
e) T = 2π 
Resolução
1) F12 = ; F32 = = 
2) FR=F12+ F32 = + = 
3) FR = Fcp
= M�2R ⇒ �2 =
� = = 
Resposta: D
52. Considere um pêndulo ideal fixo em um ponto O e com a esfera
pendular descrevendo uma oscilação em um plano vertical.
Em um instante t0, a esfera passa pelo ponto A com velo cidade
de módulo igual a 2,0m/s e o ângulo que o fio forma com a vertical
é tal que sen � = 0,60 e cos � = 0,80.
A esfera pendular tem massa de 2,0kg e o comprimento do fio é
de 0,50m.
Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar.
Determine, para o instante t0,
a) o módulo da aceleração escalar da esfera;
b) a intensidade da componente centrípeta da força resultante na
esfera;
c) a intensidade da força que traciona o fio.
R
–––––
5GM
R
––––
GM
R
––––
GM
R
–––––
5GM
G M2
F = –––––
d2
R = 250m
(25)2
––––––––
10 . 0,25
V2
––––––
g tg �
V2
––––
g R
mV2/R
––––––
mg
Fx
–––
Fy
mV2
–––––
R
R
––––
GM
GM2
–––––
4R2
GM2
–––––
(2R)2
GM2
–––––
R2
GM2
–––––
R2
5
––
4
GM2
–––––
4R2
GM2
–––––
R2
GM
––––
R3
5
––
4
GM2
––––
R2
5
––
4
2π
––
T
5GM
–––––
R3
1
––
2
R3 R
T = 4π ���––––– = 4πR���–––––5GM 5GM
24
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 24
53. (UNICENTRO-PR) – Duas esferas muito pequenas giram, em
torno do ponto O, sobre uma mesa horizontal e sem atrito, presas
a fios muito leves, inextensíveis e de mesmo comprimento. As
esferas têm a mesma velocidade angular, que é constante. Cada
esfera tem massa de 1,0kg.
a) Compare os módulos das velocidades e das acelerações das
esferas A e B.
b) Calcule a razão entre as intensidades das trações nos 
fios (2) e (1), respectivamente.
54. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Em um pêndulo cônico,
temos uma corda de comprimento L e na sua extremidade um
corpo de massa m, que realiza um movimento circular no plano
(veja figura). Como consequência deste movimento, a corda
descreve a figura de um cone, razão pela qual o pêndulo adquire
esse nome. Determine
a) a velocidade angular � do corpo em função do módulo da ace -
le ração da gravidade g, do comprimento L, e do ângulo � de
inclinação da corda;
b) o tempo para o corpodar uma volta completa.
55. Um motociclista descreve uma circunferência de raio R num
plano horizontal no interior de um cilindro oco posicionado
verticalmente, conforme indica a figura.
O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a parede do
cilindro vale � e a aceleração da gravidade tem módulo g. A
velocidade da moto é a mínima possível (vmín) e a força que o
cilindro aplica na moto faz um ângulo � com a horizontal.
Assinale a opção correta:
a) Vmín = e tg � = �
b) Vmín = e tg � =
c) Vmín = ��������gR e tg � = �
d) Vmín = ��������gR e tg � =
e) Vmín = tg � = �
2
56. (FUVEST-SP) – Uma cunha triangular é fixada sobre a tampa
giratória de uma mesa de tal modo que a extremidade inferior da
cunha coincide com a linha que passa pelo centro da mesa (figura
A). A superfície da cunha possui um canalete e, no interior deste,
um pequeno bloco pode deslizar livremente. Observa-se que,
quando a tampa gira com velocidade angular constante, o bloco
permanece em equilíbrio sobre a cunha, estando seu centro de
massa a uma altura h = 0,10 m em relação ao nível da tampa
giratória (figura B).
2gR
––––
�
1
––
�
gR
–––
�
gR
–––
�
1
––
�
T2–––
T1
25
Resolução
a) Pt = P cos � = m |� |
mg sen � = m |�| 
	 � 	 = 10,0 . 0,60 (m/s2)
b) Fcp = = (N) ⇒
c) T – Pn = Fcp
T – Pcos � = Fcp
T – 20,0 . 0,80 = 16,0
Respostas: a) 6,0m/s2
b) 16,0N
c) 32,0N
T = 32,0N
Fcp = 16,0N
2,0 . 4,0
––––––––
0,50
mV2
–––––
R
	 � 	 = 6,0m/s2
	� 	 = g sen �
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 25
Sendo o ângulo de inclinação da cunha � = 30° e g = 10,0 m/s2, a
magnitude da velocidade do bloco, medida em m/s, é
a) 5,0 b) 4,0 c) 3,0 d) 2,0 e) 1,0
57. (UNICAMP-SP) – Observações astronômicas indicam que as
velo cidades de translação das estrelas em torno de galáxias são
incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias,
sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto
é, matéria que não interage com a luz. O movimento de translação
das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galá -
xias exercem sobre elas.
A curva no gráfico a seguir mostra como a intensidade da força 
gravita cio nal FG = , que uma galáxia de massa M exerce
sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da dis -
tância r da estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se
m = 1,0 . 1030 kg para a massa da estrela. A constante de gravi -
tação G vale 6,7 . 10–11 m3 kg–1 s–2.
a) Determine a massa M da galáxia.
b) Calcule o módulo da velocidade de uma estrela em órbita
circular a uma distância r = 1,6 . 1020 m do centro da galáxia.
58. (FUVEST-SP) – Um brinquedo consiste de duas pequenas bolas,
A e B, de mesma massa M, e um fio flexível: a bola B está presa
na extremidade do fio e a bola A possui um orifício pelo qual o fio
passa livremente. Para o jogo, um operador (com treino!) deve
segurar o fio e girá-lo, de tal forma que as bolas descrevam
trajetórias circulares, com o mesmo período T e raios diferentes.
Nessa situação, como indicado na figura 1, as bolas permanecem
em lados opostos em relação ao eixo vertical fixo que passa pelo
ponto O. A figura 2 representa o plano que contém as bolas e gira
em torno do eixo vertical, indicando os raios e os ângulos que o
fio faz com a horizontal.
Assim, determine
a) o módulo da força de tração F, que permanece constante ao
longo de todo o fio, em função de M e g;
b) a razão K = sen �/sen �, entre os senos dos ângu los que o fio
faz com a horizontal;
c) o número N de voltas por segundo que o conjunto realiza
quando o raio R1 da trajetória descrita pela bolinha B for igual
a 0,10 m.
59. (FUVEST-SP) – Um ventilador de teto, com eixo vertical, é cons -
tituído por três pás iguais e rígidas, encaixadas em um rotor de
raio R = 0,10 m, formando ângulos de 120° entre si. Cada pá tem
massa M = 0,20 kg e comprimento L = 0,50 m. No centro de uma
das pás, foi fixado um prego P, com massa mp = 0,020 kg, que
desequilibra o ventilador, principalmente quando este se
movimenta.
Suponha, então, o ventilador girando com uma fre quência de 60
rotações por minuto e determine
a) a intensidade da força radial horizontal F, em newtons,
exercida pelo prego sobre o rotor;
b) a massa M0, em kg, de um pequeno contrapeso que deve ser
colocado em um ponto D0, sobre a borda do rotor, para que a
resultante das forças horizontais, agindo sobre o rotor, seja
nula;
c) a posição do ponto D0, localizando-a no esquema da folha de
respostas.
(Se necessário, utilize π 
 3)
60. (UNIFESP) – Uma estação espacial, construí da em forma
cilíndrica, foi projetada para contornar a ausência de gravidade no
espaço. A figura mostra, de maneira simplificada, a secção reta
dessa estação, que possui dois andares.
Para simular a gravidade, a estação deve girar em torno do seu
eixo com uma certa velocidade angular. Se o raio externo da
estação é R,
a) deduza a velocidade an gular � com que a estação deve girar
para que um astronauta, em repouso no primeiro andar e a
uma distância R do eixo da estação, fique sujeito a uma
aceleração de módulo igual a g.
NOTE E ADOTE:
Não há atrito entre as bolas e o fio.
Considere sen � � 0,4 e cos � � 0,9; π � 3
GMm
–––––
r2
26
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 26
27
8) D 9) D 10) B 11) a) Vmáx = 10m/s 
b) Lmín = 4,0m
12) a) 6,0s
b) predador: 4,8 . 104N ou 48kN
presa: 1,08 . 104N ou 10,8kN
13) a)
b)
c) O erro foi admitir que a intensidade da tração, no ponto
mais baixo, fosse a mesma, estando ele parado ou em mo -
vi mento.
O seu teste não funcionou porque a força máxima que a
corda aguenta tem intensidade F tal que:
P < F < P + 
14) a)
b) V = ���gR
→
NII = 
→
0
15) E 16) E 17) a) 8,0m/s 18) C
b) 128N
V2
–––
R
P
–––
g
mV2
NI = mg + ––––
R
b) Suponha que o astronauta vá para o segundo andar, a uma
distância h do piso do andar anterior. Calcule o peso aparente
do astronauta nessa posição e compare com o seu peso
aparente quando estava no pri meiro andar. O pe so apa rente
aumenta, diminui ou perma nece inalterado?
61. (VUNESP-MODELO ENEM) – Em alguns processos industriais,
uti li za-se a centrifugação. Considere um tambor centrifugador
cilín drico cujo eixo vertical mede 1,0m de raio e sua velocidade an -
gular é de 10rad/s, em um local onde g = 10m/s2. O valor do
coeficiente de atrito mínimo � entre o produto a ser centrifugado
e a parede interna do tambor, a fim de que não haja
escorregamento, ou seja, para que o produto fique “grudado” na
parede, deve ser igual a
a) 0,05 b) 0,10 c) 0,20 d) 0,40 e) 0,50 
62. (FUVEST-MODELO ENEM) – Nu ma
brincadeira de parque de diversões, as
pessoas vestem um macacão, entram
em um cilindro oco que pode girar em
torno de seu eixo vertical e encostam-se
na parede, em pé sobre um piso, con -
forme a figura ao lado. O cilindro co -
meça a girar e, em um dado momento,
o piso desce, mas as pessoas não, por -
que ficam “grudadas” na parede do
cilindro. O coeficiente de atrito estático
entre uma pessoa e a parede do cilin dro
é igual a 0,5 e o raio do cilindro é 3,2m.
Para que a pessoa não escorregue, o módulo de velocidade dos
pontos da superfície do cilindro tem de ser, no mínimo, de
a) 8,0 m/s b) 4,0 m/s c) 3,0 m/s 
d) 2,0 m/s e) 1,0 m/s 
63. (Olimpíada Colombiana de Física-MODELO ENEM) – Um ga -
roto, em um parque de diversões, está-se divertindo em uma roda
mecânica giratória. A roda tem velocidade angular constante e a
corda de massa desprezível tem comprimento de 2,0m e forma
um ângulo de 60o com a vertical, conforme ilustra a figura.
O garoto tem massa de 60 kg, o efeito do ar é desprezível e a
aceleração da gravidade tem módulo g = 10 m/s2.
A força que traciona a corda tem intensidade igual a:
a) 60 N b) 1,0 . 102 N c) 6,0 . 102 N
d) 1,2 . 103 N e) 6,0 . 103 N
64. Um veículo necessita deslo car-se num trecho circular de um autó -
dro mo, com velocidade escalar constante de 180km/h. O raio de
curvatura da tra jetória é 820m. Para que esse movimento seja
possível, indepen den temen te do atrito entre os pneus e a pista, a
estradadeverá apre sentar uma sobrele vação, em relação à hori -
zon tal, correspondente a um ângulo � aproxi ma da mente igual a:
a) 2° b) 7° c) 13° d) 17° e) 20° 
2° 7° 13° 17° 20°
sen 0,035 0,122 0,225 0,292 0,342
cos 0,999 0,992 0,974 0,956 0,940
tg 0,035 0,123 0,231 0,306 0,364
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:44 Página 27
19) C 20) B 21) D 29) A 30) E
31) a) 8,0km/s 32) a) 12,0m/s
b) 80min b) 1,6km/s
33) a)
→
F: força aplicada pelo
apoio
→
P: peso do conjunto
b) 6,0m/s
34) B 35) D 36) C 37) a) 24N
b) 6,0N
38) C
39) a) 
Na realidade, 
→
FN e 
→
Fat são apenas componentes da força
de contato
→
F que o chão exerce sobre o carro.
b) Sendo o movimento uniforme, a acelera ção será centrípe -
ta e seu módulo é dado por 
acp = , sendo igual para os dois carros (in depende da 
massa).
c) A força de atrito faz o papel de resultante centrípeta e sua
intensidade é dada por:
Fat = macp = , sendo maior para o carro mais pesado.
d) Não; a máxima velocidade permitida na curva sem derra -
par independe da massa do carro e é dada por:
Fatmáx 
= 
� m g =
(independe da massa)
40) a) 24,0N (direção vertical e sentido para baixo)
b) FS > FQ pois P – FQ = Fcp = FS – P
41) C 42)A 43) C 44) D
45) A 53) a) VA = 2VB e aA = 2aB
b)
54) a)
b)
55) A 56) E 57) a) M � 1,5 . 1040 kg
b) V = 8,0 . 104 m/s
58) a) 2,5Mg
b) 2
c) 2,5Hz
59) a) 0,252N
b) 0,070kg
c)
60) a)
b)
O peso aparente diminuiu.
61) B 62) A 63) D 64) D
V2
–––
R
m V2
–––––
R
m V2máx
–––––––
R
m V2máx
–––––––
R
Vmáx = ���� � g R
T2 3
–––– = –––
T1 2
g
� = ������–––––––L cos �
L cos �
T = 2π ������–––––––g
g
� = ���–––R
R – h
Pap = mg �––––––�
R
28
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 28
1. Conceitos de 
energia e trabalho
Conceitua-se energia como aquilo que nos capacita
a realizar tarefas, tais como: levantar um corpo, arre -
messar uma pedra, subir uma escada, preparar alimentos,
movimentar um carro etc.
A energia necessária para realizar as tarefas é pro ve -
niente de algum combustível, como, por exemplo: car -
vão, gasolina, alimentos etc.
A energia pode manifestar-se sob diversas modali -
dades: a energia mecânica (do tipo potencial e do tipo
cinética), a energia elétrica, a energia química, a energia
térmica, a energia radiante etc.
A energia pode transferir-se de um corpo para outro ou
ainda pode transformar-se de uma modalidade em outra. 
Para se medir a energia mecânica transferida ou trans -
formada com o conhecimento da força utilizada e do
deslocamento do corpo, usamos o conceito de trabalho.
Assim:
O homem não consegue empurrar a pedra, o trabalho é nulo.
O homem consegue empurrar o arquivo; há energia mecânica transferida e,
portanto, realização de trabalho. 
Exemplo
Quando erguemos um corpo, o trabalho realizado pe -
las nossas forças musculares é medido pela energia
mecânica transferida para o corpo.
Quando um corpo está em queda livre, o trabalho
rea li zado pelo seu peso é medido pela energia mecânica
transformada, isto é, pela energia me cânica potencial
que se transforma em energia mecâ nica cinética.
Quando a força de atrito é usada para deter um corpo
em movimento, o trabalho do atrito é medido pela ener gia
transformada da forma mecânica para a forma térmica.
A energia pode ainda ser transferida de um corpo pa -
ra outro por outros meios que não o trabalho, co mo, por
exemplo, pelo calor e pelas ondas eletro mag néticas.
2. Definição de trabalho
Vamos definir trabalho para o caso particular de uma 
força constante
→
F aplicada a uma partícula que descreve 
uma trajetória qualquer entre uma posição inicial (ponto
A) e uma posição final (ponto B).
Trabalho é uma medida da energia mecânica
trans fe rida ou transformada por uma força.
29
Quando uma nave está em órbita circular em torno do
centro da Terra, a força gravitacional faz o papel de resultante
centrípeta e seu trabalho é nulo.
TRABALHO
Mecânica
3
CAPÍTULO
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 29
Seja � o ângulo formado entre a força constante 
→
F e 
o deslocamento
→
d.
Define-se trabalho realizado pela força 
→
F, entre os 
pontos A e B, pela relação.
Notas
a) Todas as manifestações de energia, inclusive o tra -
balho, são grandezas escalares.
b) O trabalho de uma força constante não depende da
trajetória entre os pontos A e B. 
c) A força 
→
F é apenas uma das forças atuantes no
corpo; não é a única nem é a força resultante.
Isto significa que podemos aplicar a definição
apre sentada para cada uma das forças constantes que
atuam na partícula.
d) Quando a força não for constante, a definição de
tra balho é mais complicada e é feita com recursos de Ma -
temática superior.
e) Quando o trabalho de uma força (constante ou
variável) não depende da trajetória, a força é denominada
conservativa.
f) O valor | 
→
F | cos � representa a projeção da for -
ça 
→
F na direção do deslocamento e, portanto, pode mos
es crever:
g) O valor |
→
d | cos � representa a projeção do des -
lo camento na direção da força e, portanto, pode mos es -
crever:
h) No caso em que o trabalho está medindo a energia
mecânica transferida, o sinal do trabalho é inter pretado
como se segue:
h1) Quando a força 
→
F cede energia mecânica à
par tícula, o trabalho realizado é computado
como positivo (cos � > 0); neste caso, a for-
ça 
→
F “favorece” o deslocamento da partí cula.
h2) Quando a força 
→
F retira energia mecâni ca da
partícula, o trabalho realizado é computa do
como negativo (cos � < 0); neste caso, a for -
ça 
→
F “se opõe” ao deslocamento da partí cula.
3. Unidade e 
dimensões de trabalho
Da definição de trabalho, temos:
a) uni [
] = uni [ 
→
F ] . uni [
→
d ] . uni [cos �]
No SI, temos: unidade [ 
→
F ] = newton (N)
unidade [
→
d ] = metro (m)
cos � não tem unidade (adimensional)
Logo: 
b) [
] = [ 
→
F ] [ 
→
d ] [cos �]
Para o sistema MLT, temos:
[ 
→
F ] = MLT –2
[
→
d ] = L
[ cos � ] = M0L0T0 (adimensional)
Assim: [ 
 ] = MLT–2 . L ⇒
Nota: Qualquer manifestação de energia terá as mes -
mas dimensões e a mesma unidade de traba lho.
4. Trabalho do peso
Calculemos o trabalho do peso, no caso de uma par -
tícula que se desloca de um ponto A (nível mais elevado)
para um ponto B (nível mais baixo), com desnível H.
Sendo 
→
P o peso e 
→
d o deslocamento de A para B, o
trabalho do peso, calculado pela definição, será dado por:
p = |
→
P | | d | cos �
[ 
 ] = ML2 T–2
unidade [
] = newton . metro = N . m = joule (J)
AB = | 
→
F | . proj 
→
d
AB = |
→
d | . proj 
→
F
AB = |
→
F | | 
→
d | cos �
30
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 30
Da figura, obtemos:
H
cos � = ––––– ⇒ | 
→
d | cos � = H 
| 
→
d | 
Segue-se que: 
Observe que o trabalho do peso não depende da par -
ti cular trajetória entre os pontos A e B. (O peso é uma
força conservativa.)
Se o deslocamento fosse de B para A, o ângulo entre 
→
P e 
→
d seria � = 180 – �.
Sendo cos � = – cos �, o trabalho do peso entre B e
A é dado por:
Portanto, no movimento de queda, o peso realiza
tra balho positivo (favorece a queda) e, na subida,
trabalho negativo (opõe-se à queda).
5. Trabalho nulo
De acordo com o exposto como conceito de “TRA -
BALHO”, concluímos que o trabalho é nulo quando a
força não transfere nem transforma energia mecânica.
Analisando a relação que define matematicamente o
trabalho, constatamos que o trabalho será nulo em três
casos:
Esse caso é mais evidente e intuitivo, pois a força é
exatamente o veículo que realizará o trabalho.
Muitas vezes, exercemos uma força, mas não há des -
lo camento, o que significa que houve uma tentativa de
realizar o trabalho, que, porém, não se consumou, porque
não ocorreu a transferência ou transformação de energia
mecânica.
Assim, por exemplo, quando empurramos um carro
parado e esse carro não sai do lugar, há uma força exer -
cida, porém não há trânsito nem transformação de ener -
gia mecânica, pois o carro não se deslocou,isto é, não es -
tá havendo trabalho.
Esse é o caso menos intuitivo.
Procuremos justificá-lo, tomando como exemplo a
força centrípeta.
Sabemos que a força centrípeta é sempre perpen dicu -
lar à trajetória e, portanto:
Tentemos entender fisicamente por que a força
centrípeta não realiza trabalho: sabemos que, quando a
força centrípeta age sobre um ponto material, ela apenas
varia a direção de sua velocidade, sem, contudo, mudar
o módulo de sua velocidade. É intuitivo que a quanti -
dade de energia mecânica do ponto material de pende do
módulo e não da direção de sua velo cidade, mesmo
porque a energia é uma grandeza escalar que independe
do conceito de direção.
Como a força centrípeta altera apenas a direção da
velocidade vetorial, então:
O que foi exposto significa que a força centrípeta não
transfere energia mecânica para o ponto material e,
portanto, não realiza trabalho.
A força gravitacional aplicada pela Terra e que mantém o satélite em órbita
circular é uma força do tipo centrípeta e, portanto, não realiza trabalho.
Outro exemplo: quando uma partícula se desloca
horizontalmente, as forças verticais, como, por exemplo,
o peso e a reação normal de apoio, não realizam trabalho.
A força centrípeta não modifica a quantidade 
de energia mecânica do ponto material.
A força centrípeta nunca realiza trabalho.
p = – mg H
p = mg H
31
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 31
1. Um bloco de peso 10N está em movimento sobre um plano hori -
zontal, no sentido da esquerda para a direita. No esquema, estão
representadas as forças que atuam no bloco.
São dados |
→
F1 | = 10,0N; |
→
F2 | = 2,0N.
Calcule o trabalho que cada uma das forças realiza em um
deslocamento de 5,0m.
Resolução
1) O peso
→
P e a força de reação normal do plano
→
FN são per pen -
diculares ao deslocamento (� = 90o e cos � = 0) e, portanto,
não realizam trabalho.
2) O trabalho de
→
F1 é dado por:
�F1 = |
→
F1 | |
→
d | cos 60o
�F1 = 10,0 . 5,0 . 0,50 (J) ⇒
3) O trabalho de
→
F2 é dado por:
�F2 = |
→
F2 | |
→
d | cos 180°
�F2 = 2,0 . 5,0 . (–1) (J) ⇒
Respostas: �p = �FN = 0; �F1 = 25,0J; �F2 = –10,0J
2. (FUVEST) – Uma partícula de massa 20kg, partindo do repouso,
está sujeita à ação exclusiva de duas forças constantes, 
→
F1 e 
→
F2,
perpendiculares entre si e de intensidades respectivamente iguais
a 6,0N e 8,0N, que atuam durante 4,0s.
a) Calcule os trabalhos realizados por 
→
F1 e 
→
F2.
b) Mostre que o trabalho da força resultante é igual à soma dos 
trabalhos de 
→
F1 e 
→
F2.
Resolução
1)
A intensidade da força resultante 
→
F é dada por:
F2 = F2
1
+ F2
2
F2 = 36,0 + 64,0 = 100,0 ⇒
2) A aceleração da partícula terá módulo a dado pela 2.a Lei de
Newton: F = ma
10,0 = 20a ⇒
3) A partícula terá trajetória retilínea, na direção de 
→
F, e seu mo -
vi mento será uniformemente variado com aceleração escalar
�, tal que:
O deslocamento 
→
d terá módulo dado por:
|
→
d | = V0 t + t
2
|
→
d | = (4,0)2 (m) ⇒
4) Da figura, temos:
cos � = = = 0,80
cos � = = = 0,60
5) Os trabalhos de 
→
F1 e 
→
F2 serão dados por:
�F1 = |
→
F1 | |
→
d | cos �
�F1 = 6,0 . 4,0 . 0,60 (J) ⇒
�F2 = |
→
F2 | |
→
d | cos �
�F2 = 8,0 . 4,0 . 0,80 (J) ⇒
6) O trabalho da força resultante 
→
F é dado por:
�F = |
→
F | |
→
d | cos 0° 
�F = 10,0 . 4,0 . 1 (J) ⇒
Portanto: �F1 + �F2 = 14,4J + 25,6J = 40,0J
3. (UFSE) – Um corpo de massa m é colocado sobre um plano incli -
na do de ângulo � com a horizontal, num local onde a ace le ração
da gravidade tem módulo igual a g. Enquanto escorrega uma dis -
tância d, descendo ao longo do plano, o trabalho do peso do corpo
é:
a) m g d sen � b) m g d cos � c) m g d
d) – m g d sen � e) – m g d cos �
Resolução
O trabalho do peso é dado por:
�P = |
→
P | | 
⎯→
AB | cos �
�F1 + �F1 = �F
�F = 40,0J
�F2 = 25,6 J
�F1 = 14,4 J
6,0
––––
10,0
F1–––
F
8,0
––––
10,0
F2–––
F
|
→
d | = 4,0 m
0,50
––––
2
a
–––
2
� = a = 0,50 m/s2
a = 0,50m/s2
F = 10,0N
�F2 = –10,0J
�F1 = 25,0J
32
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 12:42 Página 32
7. (UFAM) – Um bloco está inicialmente em re pouso no ponto A de
uma superfície horizontal. So bre este bloco, aplica-se uma força
constante F, cu jas componentes valem Fx = 15N e Fy = 10N,
como mos tra a figura. Qual o trabalho realizado por esta força,
quando o bloco se deslocar horizontalmente do pon to A para o
ponto B, sabendo-se que a distância entre eles vale d = 2,0m?
a) 10J b) 15J c) 20J d) 30J e) 50J
8. (UNIFESP) – Na figura estão representadas duas situações físicas
cujo objetivo é ilustrar o conceito de trabalho de forças conser -
vativas e dissipativas. 
Em I, o bloco é arrastado pela força 
→
F sobre o plano horizontal; por
causa do atrito, quando a força 
→
F cessa, o bloco para. Em II, o blo -
co, preso à mola e em repouso no ponto O, é puxado pela força
→
F sobre o plano horizontal, sem que sobre ele atue nenhuma força
de resistência; depois de um pequeno deslocamento, a força
cessa e o bloco volta, puxado pela mola, e passa a oscilar em
torno do ponto O.
Essas figuras ilustram:
a) I: exemplo de trabalho de força dissipativa (força de atrito),
para o qual a energia mecânica não se conserva; II: exemplo
de trabalho de força conservativa (força elástica), para o qual a
energia mecânica se conserva.
33
Porém: |
→
P | = mg
| 
⎯→
AB | = d
cos � = sen � (ângulos complementares)
Portanto: 
Observe que d sen � = H e também podemos escrever:
Resposta: A
4. Uma partícula de massa 3,0kg descreve uma trajetória circular de
raio 2,0m com velocidade escalar constante de 4,0m/s.
a) Qual a intensidade da força resultante na partícula?
b) Qual o trabalho realizado por esta força resultante? Justifique
sua resposta.
Resolução
a) Sendo o movimento circular e uniforme, a força resultante é
centrípeta e sua intensidade é dada por:
mV2
Fcp = ——-R
3,0 (4,0)2
Fcp = ————- (N) ⇒2,0
b) A força resultante centrípeta é normal à trajetória e, portanto,
seu trabalho é nulo.
Respostas: a) 24 N
b) zero
5. (UEL-PR-MODELO ENEM) – Usam-se ferramentas e utensílios
mecânicos adaptados para diminuir o esforço muscular em
muitas situações. A diminuição desse esforço pode levar ao en -
tendimento errôneo de que o trabalho físico também é menor.
Para que a diminuição de tal esforço seja compensada e o
trabalho físico realizado mantenha-se no mesmo valor, qual gran -
deza deve aumentar seu valor?
a) O deslocamento.
b) A força de atrito no sistema.
c) O coeficiente de atrito.
d) O valor da massa da ferramenta.
e) A potência.
Resolução
 = F . d
Para haver conservação de trabalho, quando a força é dividida por
n, o deslocamento fica multiplicado por n.
Resposta: A
6. (UFRRJ-MODELO ENEM) – Um funcionário de uma transpor ta -
dora, dese jan do colocar várias caixas na carroceria de um
caminhão, desenvolve um dispositivo que consiste numa rampa
de madeira apoiada na extremidade do veículo, conforme ilustra a
figura.
A altura da carroceria em relação ao solo é igual a 1,0 m, e o
funcio ná rio aplica a cada caixa uma força constante de
intensidade 60 N, paralela à rampa. Se considerarmos que cada
caixa tem massa igual a 30 kg, que o coeficiente de atrito da caixa
com a rampa vale 0,20 e que a extensão da rampa é de 2,0 m,
calcule o trabalho 
F realizado pela força aplicada à caixa e o
trabalho 
at realizado pela força de atrito. Adote g = 10m/s
2
Os valores de 
F e 
at são dados respectivamente por:
a) 120J e –60J b) 120J e 60��3J
c) 120J e –60��3 J d) 60J e –120J
e) 60J e –60��3 J
Resolução
a) 
F = 	
→
F 	 	
→
d 	 cos 0°
F = 60 . 2,0 . 1 (J) ⇒
b) Fat = � P cos �
Fat = 0,20 . 300 . (N) ⇒ Fat = 30���3 N
at = 	
→
Fat 	 	
→
d 	 cos 180°
at = 30���3 . 2,0 (–1) (J) 
Resposta: C
Fcp = 24N
p = mg H
p = mg d sen �
F = 120 J
���3
––––
2
at = – 60���3 J
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 33
b) I: exemplo de trabalho de força dissipativa (força de atrito),
para o qual a energia mecânica se conserva; II: exemplo de
trabalhode força conservativa (força elástica), para o qual a
energia mecânica não se conserva.
c) I: exemplo de trabalho de força conservativa (força de atrito),
para o qual a energia mecânica não se conserva; II: exemplo
de trabalho de força dissipativa (força elástica), para o qual a
energia mecânica se conserva.
d) I: exemplo de trabalho de força conservativa (força de atrito),
para o qual a energia mecânica se conserva; II: exemplo de
trabalho de força dissipativa (força elástica), para o qual a
energia mecânica não se conserva.
e) I: exemplo de trabalho de força dissipativa (força de atrito); II:
exemplo de trabalho de força conservativa (força elástica),
mas em ambos a energia mecânica se conserva.
9. (UFSCar-SP) – Quino, criador da personagem Mafal da, é também
co nhe cido por seus quadrinhos re pletos de humor cho cante.
Aqui, o executivo do al to escalão está prestes a cair em uma ar -
madilha fatal.
Considere que
• o centro de massa do tubo suspenso, relativamente à parte
inferior do tubo, está localizado a uma distância igual à altura
da cartola do executivo;
• a distância do centro de massa do tubo até o topo da cartola é
3,2 m;
• a vertical que passa pelo centro de massa do tubo passa
também pela cabeça do executivo;
• o tubo tem massa de 450 kg e, durante uma queda, não
sofreria ação significativa da resistência do ar, descendo com
aceleração de módulo 10 m/s2;
• comparativamente à massa do tubo, a corda tem massa que
se pode considerar desprezível.
a) Após esmagar a cartola, sem resistência signi fica tiva, com que
velocidade escalar, em m/s, o tubo atin giria a cabeça do
executivo?
b) Para preparar a armadilha, o tubo foi içado a 5,5m do chão pela
própria corda que posteriormente o sustentou. Determine o
trabalho, em J, realizado pela força peso na ascensão do tubo.
Dê a resposta com notação científica e usando dois algarismos
significativos.
10. (MACKENZIE) – Sobre uma mesa
horizontal, um pequeno corpo de
massa m, ligado à extremidade de
um fio ideal que tem a outra ponta
fixa no ponto O, descreve um
movimento circular uniforme de velocidade angular �, velocidade
tangencial →v, frequência f e raio R. O trabalho (
) reali zado pela
força de tração no fio em 1/4 de volta vale
a) zero b) c) m
d) m e) m
11. (VUNESP) – Um jovem exercita-se numa academia andando e
mo vimentando uma esteira ro lan te horizontal, sem mo tor. Um
dia, de acordo com o medidor da esteira, ele andou 40 minutos
com ve locidade constante de módulo igual a 7,2km/h e consumiu
300 qui localorias.
a) Qual a distância percorrida pelo jovem em relação à esteira?
Qual o des lo camento do jovem em relação ao solo terrestre?
b) Num esquema gráfico, represente a esteira, o sen ti do do mo -
vimento da esteira, o jovem e a força 
→
F que ele exerce sobre
a esteira para movimentá-la. Admitindo-se que o con sumo de
energia assinalado pe la esteira é o trabalho realizado pelo
jovem para mo vi mentá-la, determine o módulo dessa força,
su pos ta constante.
Adote 1,0 cal = 4,0 J.
12. (VUNESP-FMCA) – Um
móvel de 100kg en contra-se
em uma superfície hori -
zontal, na qual o coeficien te
de atrito entre o móvel e a
superfície é 0,50. Aplica-se a
ele uma força cons tante de
módulo 250N que forma um
ângulo de 37° com o deslo ca mento. 
O trabalho realizado pela força de atrito em um percurso de 10m
foi, em módulo, de
a) 600J b) 800J c) 1 000J 
d) 3 500J e) 4 250J 
Dados: g = 10 m/s2; sen 37° = 0,60; cos 37° = 0,80
13. (UFSCar-SP-MODELO ENEM) – A plaina é uma ferramenta es -
sen cial do marce neiro, utili zada desde o preparo inicial da madeira
até retoques finais de um trabalho. Uma plaina consta basi ca -
mente de um corpo de aço sobre o qual estão montados três
apoios: um, em forma de bola, opcionalmente utilizado pelo
marceneiro para guiar a ferramenta durante o corte; outro, para o
posiciona mento e fixação da lâmina de corte; o terceiro, suave -
mente inclinado, para que o marceneiro, ao empurrar a ferra menta
para frente, exerça automatica mente uma força transversal.
Desejando desbastar as laterais de uma prancha retangular de
3,4m de comprimento, o marceneiro a afixa à sua bancada
horizontal e, a partir de uma de suas extremidades, inicia a
passagem da plaina. Se o ângulo entre a direção de aplicação da
força e a direção em que a plaina irá deslocar-se é de 37°, e se
devido à prática o marceneiro mantém uma força cons tante de
intensidade 10 N, determine o trabalho total realizado pela mão do
marceneiro em uma passada da plaina por toda a extensão da
prancha.
Dados: sen 37° = 0,6; cos 37° = 0,8.
a) 34,0J b) 27,2J c) 20,4J d) 16,0J e) zero
πR�
–––––
4
�
–––
4R
�2
–––
4
�
–––
4R
34
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 34
6. Teorema da energia 
cinética ou das forças vivas (TEC) 
O teorema da energia cinética é um dos teoremas
mais importantes na Física Clássica.
Esse teorema permite o cálculo do trabalho total de
todas as forças presentes em um sistema, sejam elas
forças conservativas (que não dissipam energia nobre)
ou dissipativas (que transformam outro tipo de energia,
chamada energia nobre, em térmica), forças externas ou
internas ao sistema.
Enunciado:
O trabalho total de todas as forças atuantes em um
sistema físico (internas e externas) é dado pela va -
riação da energia ci né tica do sistema.
35
14. (MACKENZIE-SP-MODELO ENEM) – Uma jovem, em uma
academia de ginástica, anda sobre uma esteira rolante horizontal
que não dispõe de mo tor, com velocidade constante de módulo
5,4 km/h e, em 7,0 minutos, são consumidas 36 kcal. Admitindo-
se que o consumo de energia pela esteira é devido ao trabalho da
força que a jovem aplica sobre ela para movimentá-la, a
intensidade dessa força, supostamente constante, é de:
a) 60 N b) 120 N c) 180 N d) 240 N e) 300 N
Adote: 1 cal = 4,2 J
15. (VUNESP-MODELO ENEM) – O atrito entre a espada e a pedra
de amolar realiza um trabalho que surte em aquecimento da
lâmina de aço. Se o coeficiente de atrito entre a lâmina e a pedra
tem valor 0,2 e a força de reação normal sobre a lâmina tiver
módulo constante de 200 N, a energia térmica dissipada no
decorrer de 20 voltas completas da pedra de amolar é, em J,
a) 1440 b) 1320 c) 1260 d) 1110 e) 1060 
Dados: 	 = 3; raio da pedra de amolar = 0,3 m
16. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – Es ti -
ma-se que de cada 100 litros (ou 100%) de gasolina colocados
num automóvel (veja o esquema), 62% são usados no motor de
combustão interna (MCI) ao transformar a energia química da
gasolina em energia mecânica; 17% são perdidos nas paradas
dos semáforos, congestionamentos etc. Assim, sobraram 21%.
Desse valor, 2% são gastos com ar-condicionado, motor de lim -
pador de para-brisa, rádio etc; 6% com o atrito nos diferentes ti -
pos de transmissão necessários para movimentação do auto -
móvel. Vejam que perda! De cada 100 litros que compramos,
apenas 13 são usados para girar os pneus do automóvel. Infe -
lizmente, nem toda esta energia é usada, pois 4% são perdidos
no atrito cinético dos pneus com o solo e 2% pela resistência do
ar quando o automóvel se movimenta, sobrando somente 7%
para a movimentação do au to móvel. Dessa maneira, o automóvel
é uma máquina pouco efi ciente. O valor de 17% pode ser
bastante reduzido pela maneira de dirigir e pelo local, como
estradas, ruas com pouco trânsito etc.
Adaptado de (http://www.fueleconomy.gov/feg/atv.shtml
Aproximando-se a energia química contida em um litro de
gasolina para 30 x 106 J e considerando-se que um automóvel
típico (Uno Mille, por exemplo) faz cerca de 15 km/� na estrada,
sabendo-se, ainda, que apenas 13% da energia gerada no MCI vai
para os pneus, pergunta-se: qual o módulo da força média feita
pelos pneus no asfalto para manter o automóvel com velocidade
constante durante os 15 km em uma trajetória retilínea em um
plano hori zon tal ?
a) 240 N b) 260 N c) 390 N d) 450 N e) 585 N
17. (ETEC-SP-MODELO ENEM) – Com o auxílio de um guindaste,
uma plataforma de massa 5kg é utilizada para erguer, desde o
solo até a altura de 5m, a atrizque será destaque de um dos
carros alegóricos da escola de samba Unidos da Lua Cheia, cuja
fantasia tem massa de 25 kg. Se o trabalho que o peso do
conjunto atriz+fantasia+plataforma realiza durante esse
deslocamento tiver módulo igual a 4 500 J, a massa da atriz será,
em kg, igual a
a) 90 b) 75 c) 60 d) 55 e) 40 
18. (VUNESP-MODELO ENEM) – Na sala de raios X, a mesa em que
deitam os pacien tes é movida mecanicamente sobre roletes. O
movimento se dá em torno de dois eixos horizontais x e y. Ao
deslocar-se um paciente de peso 1000 N por um distância de
0,3m em direção a x e 0,4 m em direção a y, o trabalho realizado
nesse deslocamento pelo peso do paciente é, em J,
a) 0 b) 0,1 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 
19. (UEMA-MODELO ENEM) – De acordo com a figura abaixo, um
menino utiliza uma prancha de madeira não polida para se
movimentar sobre a superfície de um morro de areia. Ele parte do
repouso no ponto A e alcança o ponto B com velocidade de
módulo v.
Admitindo-se que a massa do sistema menino-prancha é igual a
50kg e o coeficiente de atrito cinético entre a prancha e a
superfície do morro é de 0,50, determine o trabalho total realizado
sobre o sistema menino-prancha de A até B.
Considere: sen � = cos � ≈ 0,70, g = 10m/s2 e despreze a resis -
tên cia do ar.
a) 2,0kJ b) 2,5kJ c) 3,5kJ d) 5,0kJ e) 7,5kJ
Dado: g = 10 m/s2
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 35
A demonstração do teorema será feita para o caso
particular de uma partícula em trajetória retilínea sob a
ação de uma força resultante constante.
Seja V0 a velocidade escalar inicial e V a velocidade
escalar após o deslocamento de módulo igual a d.
Seja m a massa do ponto material e F a intensidade
da força resultante.
O trabalho da força 
→
F será dado por:
(1)
Note que � = 0 e cos � = 1.
Do Princípio Fundamental da Dinâmica, obtemos:
F = m . � (2)
e, da expressão de Torricelli:
V2 = V
0
2 + 2 � d (3)
Tirando o valor de d em (3), temos:
V2 – V
0
2
d = ––––––––– (4)
2�
Substituindo (2) e (4) em (1), obtemos:
(V2 – V
0
2 )
 = m . � –––––––––– ou ainda:
2�
A grandeza é denominada energia cinética da 
partícula e, portanto:
o que demonstra o teorema.
Observação
A grandeza mV2, que representa o dobro da energia
cinética, é chamada impropriamente de força viva e, por
isso, o teorema da energia cinética pode ser também cha -
mado de teorema das forças vivas e enun ciado assim:
7. Trabalho no 
levantamento de um corpo
Consideremos um corpo de peso P, em repouso em
um ponto A.
Deseja-se transportar esse corpo para um ponto B
situado a uma altura H acima do ponto A. Sendo a velo -
cidade no ponto B igual a zero, deseja-se obter o trabalho
realizado pela força motriz que transportou o corpo, não
se considerando a presença de forças dissi pativas.
No deslocamento de A para B, atuam sobre o cor po 
duas forças: seu peso 
→
P e a força motriz 
→
F.
De acordo com o teorema da energia cinética, a soma 
dos trabalhos de 
→
P e 
→
F é igual à variação da energia
cinética do corpo.
F + 
P = �Ecin
Como vA = vB = 0, obtemos �Ecin = 0 e
portanto: 
F + 
� = 0 e 
F = –
p
Como 
P = – PH (na subida, o trabalho do peso é ne -
gativo), temos:
Note-se que o trabalho da força motriz (
F) não
depende
a) da trajetória descrita entre A e B;
b) do tempo de trajeto;
c) do tipo de força motriz.
F = PH
O trabalho total de todas as forças atuantes em um
sistema físico (internas e externas) é dado pela se -
miva riação das forças vivas.
 = Ecin. final – Ecin. inicial
mV2
––––
2
mV2 mV
0
2
 = –––––– – ––––––
2 2
 = F . d
36
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 36
8. Método gráfico 
para calcular o trabalho
Das componentes da força resultante 
→
F, apenas a 
componente tangencial 
→
Ft realiza trabalho, pois a com-
ponente centrípeta 
→
Fcp , por ser perpendicular à trajetó ria,
não realiza trabalho, isto é, não transfere nem trans forma
energia mecânica.
Admitamos que a componente tangencial da força
re sultante tenha intensidade constante (movimento uni -
formemente variado) e construamos o diagrama cartesia -
no da intensidade da força tangencial Ft em função do
espaço s.
Se calcularmos a área hachurada do gráfico, teremos:
A propriedade apresentada foi demonstrada para um
caso particular, pois admitimos que a componente tan -
gen cial da força resultante tivesse intensidade constante,
porém a conclusão obtida vale, mesmo que a intensidade
de 
→
Ft seja variável:
Notas
1) Quando a trajetória é retilínea, a força resultante
se reduz à sua componente tangencial e a propriedade
pode ser enunciada assim:
2) Quando o movimento é progressivo (espaço cres -
cente), temos:
a) Se Ft > 0 (gráfico acima do eixo dos espaços),
a componente tangencial da resultante tem o
mesmo sen tido do movimento e o seu trabalho
é positivo (movi mento acelerado).
b) Se Ft < 0 (gráfico abaixo do eixo dos espaços),
a componente tangencial da resultante tem sen -
tido opos to ao do movimento e o seu trabalho é
negativo (movi mento retardado).
1 
N= A1 }
2 N= –A2
3) Quando o movimento é retrógrado (espaço de -
cres cente), temos:
a) Se Ft > 0, o movimento é retardado e o trabalho
é negativo.
b) Se Ft < 0, o movimento é acelerado e o trabalho
é positivo.
4) O método gráfico de calcular o tra balho tam bém
pode ser usado se pa radamente para cada for ça que age no
corpo, usando, obviamente, o valor algé brico da com -
ponente tangencial desta força.
total = 
1 + 
2 
N= A1 – A2
No gráfico do valor algébrico da força resultante,
em função do espaço, a área sob o gráfico mede o
tra balho realizado.
No gráfico do valor algébrico da componente tan -
gen cial da força resultante, em função do espaço,
a área sob o gráfico mede o trabalho da força re -
sul tante.
Área N= Ft . �s = 
F
37
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 37
20. (UERJ-MODELO ENEM) – Suponha que o coração, em regime
de baixa atividade física, consiga bombear 200g de sangue,
fazendo com que essa massa de sangue adquira uma velocidade
de módulo 0,3m/s e, com o aumento da atividade física, a mesma
quan tidade de sangue atinja uma velocidade de módulo 0,6m/s.
O trabalho realizado pelo coração, decorrente desse aumento de
atividade física corresponde a 
a) 2,7 . 10–2J b) 2,7 . 10–1J c) 3,6 . 10–1J
d) 2,7J e) 3,6J
Resolução
TEC: 
 = �EC = (V 2 – V0
2) 
 = [(0,6)2 – (0,3)2] (J) ⇒ 
 = 0,1 . (0,36 – 0,09) (J)
 = 0,1 . 0,27 (J) ⇒
Resposta: A
21. (INATEL-MODELO ENEM) – A violência que atinge o País levou
ao desenvolvimento de diferentes formas de proteção, especial -
mente por parte da classe média, que também passou a ser
vítima da violência no trânsito. A blindagem de carros populares e
o uso do vidro antivandalismo estão entre as opções de proteção.
De 1995 a 2001, a produção/ano de carros blindados no país teve
um crescimento de 1.106%, segundo dados da Associação
Brasileira de Blindagem (Abrablin). No nível mais seguro de
blindagem auto rizado (III), um vidro de blindagem automotivo
(vidro balístico) tem espessura de aproximadamente 20mm e
deve resistir ao impacto de um projétil de 10g disparado com uma
velocidade de módulo 400m/s. Determine a intensidade da força
média de resistência oposta, pelo vidro, à penetração do projétil
para pará-lo.
a) 10 kN b) 20 kN c) 30 kN d) 40 kN e) 50 kN 
Resolução
Aplicando-se o TEC, vem:
F = �Ecin
Fm . d . cos 180
o = 0 –
Fm . 20 . 10
–3 . (–1) = 
Fm = (N) ⇒
Resposta: D
22. Considere um trilho com atrito e um pequeno bloco partindo do
repouso em A de uma altura H = 2,0m e deslizando até o ponto
B, ao qual chega com velocidade de módulo igual a 6,0m/s.
O bloco tem massa de 1,0kg e adota-se g = 10m/s2.
Determine o trabalho do peso 
P, o trabalho da reação normal do
trilho 
N, o trabalho do atrito 
at e o trabalho da força resultante
R.
Resolução
a) O trabalho do peso 
P é dado por:
P = PH = mgH
P = 1,0 . 10 . 2,0J ⇒
b) O trabalho da reação normal de apoio 
N é sempre nulo, por -
que a reaçãonormal é perpendicular à trajetória.
c) O trabalho da força resultante é dado pelo teorema da energia
cinética.
m V
B
2 m V
A
2
R = �Ecin = –––––– – ––––––2 2
1,0 . 36
R = ––––––– J ⇒2
d) O trabalho da força de atrito é dado pela expressão:
R = 
P + 
N + 
at
18J = 20J + 0 + 
at ⇒ 
at = –2J
Respostas: 
p = 20J ; 
N = 0 ; 
at = –2J ; 
R = 18J.
23. Um bloco de peso 5,0N, partindo do repouso na base do plano,
sobe uma rampa, sem atrito, sob a ação de uma força horizontal
constante e de intensidade 10,0N, conforme mostra a figura.
Qual a energia cinética do bloco, quando atinge o topo do plano?
Resolução
O cálculo da energia cinética adquirida pelo corpo será feito pelo
teorema da energia cinética (TEC) e, portanto, precisamos calcular
o trabalho de todas as forças atuantes no corpo.
Fm = 4,0 . 10
4 N
10 . (400)2
—–––––––
40
–10 . 10–3 . (400)2
—–––––––––––––
2
m V0
2 
—–––
2
 = 2,7 . 10–2J
0,2
–––
2
m
–––
2
R = 18J
N = 0
P = 20J
38
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 38
1) Trabalho da força 
→
F
Como 
→
F é constante, temos:
Porém: |
→
F | = 10,0N e | 
⎯→
AB | cos � = 8,0 m
Portanto: 
F = 10,0 . 8,0 (J) ⇒
2) Trabalho do peso
Sendo o movimento de subida, o trabalho do peso é negativo
e é dado por:
Porém: P = 5,0 N e H = 6,0m
Portanto: 
p = – 5,0 . 6,0 (J) ⇒ 
p = – 30,0J
3) Trabalho da reação normal de apoio
A força de reação normal do apoio não realiza trabalho por ser
perpendicular ao deslocamento (� = 900 e cos � = 0).
Aplicando o teorema da energia cinética:
F + 
p + 
N = EcinB – EcinA
80,0 – 30,0 = EcinB
⇒
Resposta: 50,0J
24. O gráfico a seguir representa a intensidade da força resultante em
um ponto material, em trajetória retilínea, em função da distância
por ele percorrida.
Qual o valor aproximado do trabalho realizado pela força entre 
d1 = 0 e d2 = 7,0m?
Resolução
O trabalho é dado pela área sob o gráfico e esta é estimada con -
tando-se o número de quadradinhos hachurados e observan do-se
que cada quadradinho corresponde a um trabalho de 1,0J. Na fi -
gura, representamos 24 quadradinhos completos e as frações de
quadradinho correspondem, aproximadamente, a mais 4 quadra -
di nhos.
Portanto: 
 
Resposta: 28J
25. (FEI) – Uma partícula de massa 2,0kg desloca-se ao longo de um
eixo Ox, sob ação de uma força resultante 
→
F que tem a mesma
orientação do eixo Ox e intensidade variando com a posição, con -
for me o gráfico a seguir.
Sabe-se que na posição x1 = 0, a velocidade escalar da partícula é
de ���10 m/s.
Determine
a) o trabalho realizado pela força 
→
F entre as posições x1 = 0 e 
x2 = 3,0m;
b) a velocidade escalar da partícula na posição x2 = 3,0m.
Resolução
a) Cálculo do trabalho realizado.
O trabalho pode ser medido pela área sob o gráfico F = f(x):
3,0 . 10
[
]
0
3 = [ Área ]
0
3 = –––––––– (J)
2
b) Cálculo da velocidade escalar.
A velocidade escalar adquirida pelo corpo pode ser calculada
pelo teorema da energia cinética:
m V
3
2 m V
0
2
[
]
0
3 = –––––– – ––––––
2 2
2 2
15 = ––– V
3
2 – ––– . 10
2 2
V
3
2 = 25 ⇒
Respostas: a) 15J
b) 5m/s
26. Uma partícula, em trajetória retilínea, está sob a ação de uma for -
ça resultante 
→
F, sempre no mesmo sentido, e cuja intensidade é
dada, em função da distância à origem dos espaços, pelo gráfico
a seguir, em forma de um quadrante de circunferência.
F = 80,0J
F = |
→
F | |
⎯→
AB | cos �
p = – P H
total = �Ecin
 � 28 J
EcinB
= 50,0J
[
]
0
3 = 15 J
V3 = 5m/s
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A variação de energia cinética da partícula entre as posições 
d = 0 e d = 20m
a) vale 50J; b) vale 25π J;
c) vale 50π J; d) vale 100π J;
e) não pode ser calculada por falta de dados.
Resolução
A variação de energia cinética é medida pelo trabalho, que é
calculado pela área sob o gráfico força x distância.
A área em questão é a área de um quarto de círculo � π R2�, po -
rém, como o módulo de representação das escalas é diferente,
escrevemos:
 N= π R1 R2
 = π 10. 20 (J) ⇒
Resposta: C
 = 50π J
1
–––
4
1
–––
4
1
–––
4
N
= área (F x d)
40
27. (FEI-SP) – Um automóvel de massa m = 2,0 t está movimen tando-se
com velocidade escalar cons tante v = 72,0 km/h. Ao avistar um sinal
vermelho, o motorista aciona os freios e para perto da faixa de
pedestres. Sabendo-se que as rodas travaram ao acionar os freios e
que o coeficiente de atrito dinâ mi co entre as rodas e o solo é � = 0,2,
a distância que o automóvel percorre desde o instante em que o
moto rista aciona os freios até parar vale:
a) 50m b) 75m c) 80m d) 100m e) 200m
28. (FUVEST-SP) – Um corpo de massa m des li za sobre um plano
horizontal, sendo �C o coeficiente de atrito cinético entre o corpo
e a superfície. No instante inicial, a magnitude da velocidade é v
e, após percorrer uma distância d, a magnitude da velocidade é
reduzida à metade do valor inicial. Nessas condições, o
coeficiente de atrito cinético �C, em termos de v, d e do módulo
da aceleração da gravidade g, é
a) b) c) d) e) 
29. (UNIFESP) – Em um acidente de trânsito, uma testemunha deu o
seguinte depoimento:
A moto vinha em alta velocidade, mas o semáforo estava
vermelho para ela. O carro que vinha pela rua transversal parou
quando viu a moto, mas já era tarde; a moto bateu violentamente
na lateral do carro. A traseira da moto levantou-se e seu piloto foi
lançado por cima do carro.
A perícia supôs, pelas características do choque, que o
motociclista foi lançado horizontalmente de uma altura de 1,25m
e caiu no solo a 5,0m do ponto de lança mento, medidos na
horizontal. As marcas de pneu no asfalto plano e horizontal mos -
tra ram que o moto ci clista acionou bruscamente os freios da
moto, tra vando as rodas, 12,5m antes da batida. Após análi se das
informações coletadas, a perícia concluiu que a moto deveria ter
atingido o carro com uma veloci da de de módulo 54km/h (15m/s).
Considerando-se g = 10 m/s2 e o coeficiente de atrito en tre o
asfalto e os pneus 0,7, determine
a) o módulo da velocidade de lançamento do motoci clis ta, em m/s;
b) o módulo da velocidade da moto antes de começar a frear.
30. (ITA-SP) – Equipado com um dispositivo a jato, o homem-foguete
da figura cai livremente do alto de um edifício até uma altura h, on -
de o dispositivo a jato é acionado. Consi dere que o dispositivo
forneça uma força vertical para cima de intensidade constante F.
Deter mine a altura h para que o homem pouse no solo com
velocidade nula. Expresse sua resposta como função da altura H, 
do módulo da força 
→
F, da massa m do sistema ho mem-fogue te e do
módulo da aceleração da gravida de g, desprezando-se a resistên cia
do ar e a alteração da mas sa m no acionamento do dis positivo. 
31. Uma força constante F
→
, de direção vertical e in ten si da de 30N,
atua sobre um corpo de massa 1,0kg, ini ci almente em repouso,
elevando-o a uma altura de 3,0m. Nesta posição final, a energia
cinética do cor po é de 40J.
Adotando-se g = 10m . s–2, calcule
a) o trabalho realizado pela força F
→
neste des lo ca men to de 3,0m;
b) o trabalho da força de resistência do ar neste des lo camento de
3,0m.
32. (UFU-MG) – Um menino e seu skate, considerados como uma
única partícula, deslizam numa rampa cons truída para este
esporte, como representado na figura abaixo. A parte plana da
rampa mede 2,0m, e ele parte do repouso, do ponto A, cuja altura,
em rela ção à base, é de 1,0m. Considerando-se que há atrito
somente na parte plana da rampa, e que o coeficiente de atrito
cinético é 0,20, assinale a alternativa correta.
a) O menino irá parar no centro da parte plana.
b) Durante a primeira descida do menino, ele atinge o ponto D.
c) O menino irá parar no ponto C, no final da rampa plana.
d) A energia mecânica dissipada até que ele pare é superior à
energia potencial que o conjunto possui no ponto de partida.
e) O menino irá parar no ponto B.
v2
––––
gd
2v2
––––
3gd
5v2
––––
8gd
v2
––––
2gd
3v2
––––
8gd
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página40
33. Na figura, representamos um suporte curvo, sem atrito, fixo em
um plano horizontal.
Uma moeda é abandonada, a partir do repouso, no ponto A, de
uma altura H e vai parar no ponto C, após percorrer uma distância
D no plano horizontal. Sendo g o módulo da aceleração da
gravidade local, deter mine
a) o módulo da velocidade da moeda em B, em fun ção de g e de
H;
b) o coeficiente de atrito (suposto constante) entre a moeda e o
plano horizontal (trecho BC), em fun ção de H e de D.
34. (VUNESP) – Uma esfera metálica de massa 1,0kg é abandonada
a 24,0m do solo e cai sob efeito da gra vidade (g = 10,0m/s2). Ao
atingir o solo, penetra 2,0 . 10–1m e para.
A partir do teorema do trabalho e energia cinética, deter mine a
intensidade da força média exercida pelo solo sobre a esfera.
(Despreze a resistência do ar durante a queda.)
a) 1,19kN b) 1,20kN c) 1,21kN
d) 1,22kN e) 1,23kN
35. (UEL-PR) – No instante t = 0, um corpo de mas sa 0,50kg inicia
um movimento de subida vertical, par tindo do repouso, sob ação
exclusiva de seu pe so e de uma força ver tical, dirigida para cima
e cuja inten sidade varia com a distância percorrida, con for me está
ilustrado no gráfico abaixo.
Con siderando-se g = 10,0m/s2, a velocidade desse cor po, ao
completar 10,0m de percurso, tem módulo igual, em m/s, a
a) 10,0 ��3 b) 10,0 ��2 c) 10,0
d) 5,0 ��2 e) 5,0
36. Um bloco de massa 10,0kg está em repouso sobre uma
superfície horizontal quando passa a atuar sobre este uma força
de direção constante e hori zontal, cuja in tensidade varia com a
distância, de acordo com o gráfico a seguir.
O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície va le 0,50; adote
g = 10,0m/s2 e não considere a resis tência do ar.
Pedem-se
a) a intensidade da força de atrito no bloco;
b) o trabalho total realizado sobre o bloco entre d = 0 e d = 2,0m;
c) o módulo da velocidade do bloco para d = 2,0m.
37. (FUVEST-SP) – Um ciclista, em trajetória reti lí nea em estrada
plana e hori zontal, mantém ve lo ci da de cons tante de mó dulo igual
a V0 = 5,0m/s (18km/h). 
Ciclista e bici cleta têm massa total M = 90kg. Em deter minado
mo mento, t = t0, o ci clis ta para de pedalar e a ve locidade esca-
calar V da bicicleta passa a diminuir com o tempo, conforme o
gráfico a seguir.
Assim, determine
a) a aceleração escalar A, em m/s2, da bicicleta, logo após o
ciclista deixar de pedalar;
b) a intensidade da força de resistência horizontal total FR, em
new tons, sobre o ciclista e sua bici cleta, devida princi pal -
mente ao atrito e à resis tência do ar, quando a velocidade tem
módulo V0;
c) a energia E, em kJ, que o ciclista “queimaria”, pe dalando
durante meia hora, com velocidade de módulo V0. Su po nha
que a eficiência do organis mo do ciclista (de fi nida como a
razão entre o tra balho realizado para pedalar e a energia meta -
bolizada por seu organismo) seja de 22,5%.
38. Um recipiente de massa des prezível
contém, ini cial mente, 30kg de água e
é içado verti calmente, com velocidade
cons tan te, por um fio ideal que está
sendo puxado por uma pessoa, como
indica a figura.
O balde sofre uma eleva ção total de
20m.
O balde tem um furo, de modo que a
água vaza a uma taxa constante com o
tempo e, ao atin gir a altura máxi ma de
20m, par tindo da altura zero, a massa
de água é de apenas 10kg.
A aceleração da gravidade tem mó -
dulo g = 10m/s2.
Determine
a) a massa de água em função da al -
tura do balde;
b) a expressão da intensidade da
força com que a pessoa puxa o fio
em função da altura do balde;
c) o trabalho realizado pela pessoa para elevar o balde de 20m.
41
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 41
39. (FMTM-MG-MODELO ENEM) – Ao passear com seu bebê em
um terreno horizontal, um pai aplica sobre o carrinho uma força de
intensidade constante e módulo 8,0N na direção e sentido
mostrados no esquema. Se durante um trecho retilíneo de 100m
o carrinho mantém velo ci dade constante, o valor absoluto do
trabalho rea li za do pelas forças dissipativas que agem sobre o car -
ri nho, expresso em joules, é
a) 400 b) 512 c) 616 d) 770 e) 800
Dados: sen � = 0,64
cos � = 0,77
40. (VUNESP-MODELO ENEM) – Em uma quermesse, um homem
atira rolhas de cortiça com uma espingarda de ar comprimido, em
pequenas cai xas numeradas. O objetivo é derrubar as caixas.
Contudo, ao acer tar determinada caixa, a rolha de massa 5,0 g,
transferindo toda sua energia, consegue apenas empurrar a caixa
sem a derrubar. Se a rolha atinge seu alvo com velocidade de
módulo 28m/s, o módulo do trabalho da força de atrito, em J, é,
aproximadamente,
a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0
41. (UNESP-MODELO ENEM) – O monumento de Stonehenge, na
Inglaterra, é uma construção que impressiona pela sua
grandiosidade, sobretudo por ter sido construído por volta de
2800 a. C. A maior pedra em Stonehenge mede cerca de 10 m e
tem massa de 5,0 . 104 kg, tendo sido retirada de uma pedreira a
30 km de distância do local. Uma das hipóteses a respeito de
como um povo tão primitivo teria sido capaz de realizar tamanha
façanha supõe que a pedra teria sido arrastada em algum tipo de
trenó primitivo por sobre a neve. 
Considerando-se um coeficiente de atrito cinético de 0,2 e que
500 pes soas teriam participado do arraste da enorme pedra de 
5,0 . 104 kg, realizado na horizontal e a velocidade constante, ao
longo dos 30 km, e adotando-se g = 10 m/s2, pode-se afirmar que
o valor médio para o trabalho realizado por cada indivíduo seria de
a) 2,0 . 103 kJ b) 5,0 . 103 kJ c) 5,5 . 103 kJ 
d) 6,0 . 103 kJ e) 6,5 . 103 kJ 
42. (UFMG-MODELO ENEM) – Antônio precisa elevar um bloco até
uma altura h. Para isso, ele dispõe de uma roldana e de uma corda
e imagina duas maneiras para realizar a tarefa, como mostrado
nas figuras a seguir.
Despreze a massa da corda e a da roldana e considere que o bloco
se mova com velocidade constante.
Sejam FI o módulo da força necessária para elevar o bloco e TI o
tra balho realizado por essa força na situação mostrada na Figura I.
Na situação mostrada na Figura II, essas grandezas são,
respectivamente, FII e TII .
Com base nessas informações, é correto afirmar que
a) 2FI = FII e TI = TII . b) FI = 2FII e TI = TII .
c) 2FI = FII e 2TI = TII . d) FI = 2FII e TI = 2TII .
e) FI = FII e TI = TII .
43. (UFAL-MODELO ENEM) – Em Alagoas e Pernambuco os negros
resistiam à escravidão nos quilombos. Resistir é se opor, assim
como a madeira de uma porta resiste à penetração de um projétil.
Suponha que uma bala de massa 20 g, disparada por um rifle,
atinge uma porta de madeira, de 10 cm de espessura, com
velocidade de módulo 400 m/s e, após atravessá-la, saia com
velocidade de módulo 300 m/s. A força média de resistência da
madeira à penetração da bala tem intensidade, em newtons, de
a) 1,4 . 102 b) 7,0 . 102 c) 1,4 . 103
d) 7,0 . 103 e) 1,4 . 104
44. (UELON-PR-MODELO ENEM) – O coração humano é uma bomba
potente e extremamente confiável. A cada dia ele recebe e des -
carrega cerca de 7,5 . 103 litros de sangue. Considerando-se que o
trabalho realizado por um coração seja igual ao trabalho neces sário
para elevar essa quantidade de sangue até uma altura igual à altura
de uma pessoa de 1,7m, sem acréscimo de energia cinética, e que
a densidade do sangue seja igual a 1,05 x 103 kg/m3 e g = 10,0 m/s2,
o trabalho realizado pelo coração em um dia, nas condições descri -
tas anteriormente, será de aproximadamente:
a) 1,3 . 102 J b) 1,5 . 103 J c) 1,4 . 104 J
d) 1,3 . 105 J e) 1,4 . 106 J
45. (FUVEST-SP-MODELO ENEM) – No ”salto com vara”, um atleta
corre segurando uma vara e, com perícia e treino, consegue
projetar seu corpo por cima de uma barra. Para uma estimativa da
altura alcançada nesses saltos, é possível considerar que a vara
sirva apenas para converter o movimento horizontal do atleta
(corrida) em movimento vertical, sem perdas ou acréscimos de
energia. Na análise de um desses saltos, foi obtida a sequência de
imagens reproduzida abaixo. 
Nesse caso, é possível esti mar que a velocidade máxima atingida
pelo atleta, antes do salto, foide, aproxi mada mente, 
a) 4,0 m/s b) 6,0 m/s c) 7,0 m/s 
d) 8,0 m/s e) 9,0 m/s 
Desconsidere os efeitos do trabalho muscular após o início do
salto. Adote g = 10 m/s2 e despreze o efeito do ar.
42
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 42
7) D 8) A 9) a) 8,0m/s
b) –2,5 . 104J (aproximadamente)
10) A 11) a) 4,8km e zero
b)
F = 2,5 . 102N
12) E 13) B 14) D 15) A 16) B
17) C 18) A 19) B 27) D 28) A
29) a) 10m/s 30)
b) 20m/s ou 72km/h
31) a) 90J 32) A
b) –20J
33) a) �������2g H 34) C 35) C
b)
36) a) 50N
b) 125J
c) 5,0m/s
37)
a) Logo após o ciclista parar de pedalar, entre os ins tantes 
t0 = 0 e t1 = 4s, o gráfico V = f(t) é praticamente retilíneo e
a aceleração escalar é constante e dada por:
A = = (m/s2) ⇒
b) Imediatamente após o ciclista deixar de pedalar, a força de
resistência ao movimento é responsável pela aceleração
do veículo já calculada.
Aplicando-se a 2.a Lei de Newton:
| FR | = M |A|
|FR | = 90 . 0,25 (N) ⇒
c) 1) Durante a fase de movimento retilíneo uniforme, a
força motriz tem a mesma intensidade da força de
resistência.
|Fm | = |FR | = 22,5N
2) O trabalho realizado pelas forças musculares da
pessoa é dado por:
 = Fm . �s = Fm . V �t
3) A energia E é dada por:

 = ⇒ E = 
E = = (J)
Respostas: a) –0,25m/s2
b) 22,5N
c) 9,0 . 102kJ 
38) a) A massa de água remanescente no balde é dada por:
m = m0 – k t
Como a velocidade é constante, vem:
V = ⇒ t = 
Portanto: m = m0 – h ⇒ m = m0 – C h
C
Para h = 20m, temos m = 10kg
10 = 30 – C . 20 ⇒ 20 C = 20 ⇒ C = 1 (SI)
(SI)
b) Sendo o movimento uniforme, vem:
F = P = mg = (30 – h) 10
(SI)
c)
F = área (F x d)
F = (300 + 100) (J) ⇒
Respostas: a) m = 30 – h (SI)
b) F = 300 – 10h (SI)
c) 4,0kJ
39) B 40) B 41) D 42) B 43)D
44) D 45) D
�V
––––
�t
–1
–––
4
A = – 0,25 m/s2
|FR | = 22,5N
––
E
––
Fm . V �t
–––––––––––
22,5 . 5,0 . 1800
––––––––––––––
0,225
E = 9,0 . 105J = 9,0 . 102kJ
h
–––
t
h
–––
V
k
–––
V
m = 30 – h
F = 300 – 10h
m g H
h = –––––––
F
H
� = –––
D
 = 4,0 . 103J = 4,0 kJ
20
–––
2
43
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44
1. Conceito de potência
A potência de uma força 
→
F é uma medida da rapidez
com que a força transforma ou transfere energia.
Se a energia está sob a forma de trabalho, fala-se em
potência mecânica; se está sob a forma de calor, fala-se
em potência térmica; se está sob a forma de energia
elétrica, fala-se em potência elétrica.
2. Potência mecânica média
Consideremos uma força 
→
F que realiza um trabalho
 (transferindo ou transformando energia mecânica) em
um intervalo de tempo �t.
Define-se potência mecânica média (Potm) como a
grandeza escalar dada por:
Portanto, a potência mecânica de uma força mede a
rapidez com que esta força realiza trabalho. Uma má qui -
na opera com grande potência mecânica quando realiza
muito trabalho em pouco tempo.
3. Potência mecânica instantânea
A potência mecânica instantânea corresponde à
potência mecânica média calculada em um intervalo de
tempo extremamente pequeno (tendendo a zero). Usando
uma linguagem matemática, dizemos que: a potência
mecânica instantânea é o limite para o qual tende a
po tência mecânica média quando o intervalo de tem -
po considerado �t tende a zero.
Consideremos uma força constante 
→
F realizando um
trabalho 
 em um deslocamento 
→
d de uma partícula.
Seja � o ângulo entre 
→
F e 
→
d.
Sabemos que:
Se quisermos obter a potência mecânica média da 
for ça 
→
F no deslocamento 
→
d, fazemos:
 |
→
d |
Potm = –––– = | 
→
F | ––––– cos �
�t �t
|
→
d |
O quociente ––––– representa o módulo da veloci-
�t
dade vetorial média do ponto material no deslocamento
considerado.
Assim, teremos:
Potm = | 
→
F | | 
→
Vm | cos �
Se fizermos �t tender a zero, os valores médios
trans formar-se-ão nos valores instantâneos:
Potm = ––––�t
Pot = lim Potm = lim –––
�t → 0 �t → 0 �t
 = |
→
F | |
→
d | cos �
Pot = | 
→
F | | 
→
V | cos �
A potência mecânica de uma máquina mede a
rapidez com que ela transfere energia.
POTÊNCIA 
MECÂNICA
Mecânica
4
CAPÍTULO
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 44
O ângulo � nesta expressão é o ângulo formado en -
tre a força 
→
F e a velocidade vetorial 
→
V.
Notas
1) Embora a demonstração tenha sido feita supondo 
que a força 
→
F fosse constante, a expressão obtida é vá li-
da mesmo que a força 
→
F seja variável.
2) Se a partícula estiver em uma trajetória retilínea e 
→
F for a força resultante, teremos duas pos sibi li dades:
a) � = 0°, isto é, 
→
F e 
→
V têm a mesma direção e o
mesmo sentido. Neste caso, teremos cos � = 1 e 
(movimento acelerado)
b) � = 180°, isto é, 
→
F e 
→
V têm a mesma direção e
sentidos opostos. Neste caso, teremos cos � = –1 
e (movimento retardado)
3) Para � = 90°, isto é, 
→
F e 
→
V com direções perpen -
diculares, teremos cos � = 0 e Pot = 0.
Como exemplo de � = 90°, citamos o caso da
com ponente centrípeta da força resultante:
4. Unidades e 
dimensões de potência
Da definição de potência média, obtemos:
unidade [ 
 ]
a) unidade [ Pot ] = ––––––––––––––
unidade [ �t ]
No SI, temos:
unidade [ 
 ] = joule (J)
unidade [ �t ] = segundo (s)
Logo:
São também usuais:
quilowatt (kW) = 103W
megawatt (MW) = 106W
miliwatt (mW) = 10–3W
microwatt (�W) = 10–6W
Existem ainda unidades práticas de potência:
dim [ 
 ]
b) dim [ Pot ] = ––––––––
dim [�t ]
Em relação ao sistema MLT , temos:
[ 
 ] = M L2 T–2 e [ �t ] = T
Assim:
M L2 T–2
[ Pot ] = ––––––––– ⇒
T
Com base na equação dimensional da potência, po -
de mos escrever:
5. Gráfico da potência mecânica
instantânea em função do tempo
Consideremos, inicialmente, uma potência mecânica
instantânea constante.
O gráfico Pot = f(t) será um segmento de reta parale -
lo ao eixo dos tempos.
Procuremos interpretar a área sob o gráfico Pot = f(t).
A N= P (t2 – t1) = P . �t = 
Portanto:
A propriedade enunciada foi demonstrada para o
caso particular de função constante, porém também é
válida para potência instantânea variável.
Pot = | 
→
F | | 
→
V |
Pot = –| 
→
F | | 
→
V |
A componente centrípeta da força resultante não
rea liza trabalho e sua potência é nula.
J
unidade [ Pot ] = ––– = J . s–1 = watt (W)
s
1 cavalo-vapor (cv) = 735W
1 horse-power (hp) = 746W
[ Pot ] = M L2 T–3
1W = kg.m2 . s–3
No gráfico da potência mecânica instantânea em
fun ção do tempo, a área sob o gráfico, entre dois
instantes, mede o trabalho realizado entre aqueles
instantes.
45
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 45
1. (UNESP-MODELO ENEM) – O teste Margaria de corrida em
escada é um meio rápido de medida da potência anaeróbica de
uma pessoa. Consiste em fazê-la subir uma escada de dois em
dois degraus, cada um com 18 cm de altura, partindo com veloci -
dade escalar constante de uma distância de alguns metros da
escada. Quando pisa no 8.o degrau, a pessoa aciona um cronô me -
tro, que se desliga quando pisa no 12.o degrau. Se o intervalo de
tempo registrado para uma pessoa de 70 kg foi de 2,8 s e con si -
de rando-se a aceleração da gravidade com módulo igual a 10 m/s2,
a potência média avaliada por este método foi de 
a) 180 W b) 220 W c) 432 W 
d) 500 W e) 644 W 
Resolução
H = 4h = 4 . 0,18m = 0,72m
1) TEC: 
total = �Ecin
interno + 
peso = 0 (MU)
i – m g H = 0
i = m g H
i = 70 . 10 . 0,72 (J) ⇒
2) Potm = = ⇒
Resposta: A
2. (UNIFESP-MODELO ENEM) – Após algumas informações sobre
o carro, saímos em direção ao trecho off-road. Na primeira
acelerada, já deu para perceber a força do modelo. De acordo
com números do fabricante, são 300 cavalos de potência [...] e os
108 km/h iniciais são con quistados em satisfatórios 7,5
segundos, graças à boa relação peso-potência, já que o carro vem
com vários componentes de alumínio.
(http://carsale.uol.com.br/opapoecarro/testes/aval_050404discovery.shtml#5)
O texto descreve um teste de avaliação de um veículo importado,
lançado recentemente no mercado brasileiro. Sabendo-seque a
massa desse carro é de 2,4 . 103 kg, e admitindo-se 1 cv = 740 W,
pode-se afirmar que, para atingir os 108 km/h iniciais, a potência
útil média desenvolvida durante o teste, em um plano horizontal,
em relação à potência total do carro, foi aproximadamente de
a) 90% b) 75% c) 65% d) 45% e) 30%
(Sugestão: efetue os cálculos utilizando apenas dois algarismos
signi ficativos.)
Resolução
1) A potência média útil é dada por:
Potu = 
O trabalho realizado é dado pelo teorema da energia cinética:
 = �Ec = – ⇒ 
 =
Portanto: Potu =
Potu = (W) ⇒
2) A potência total é dada por:
PotT = 300cv = 300 . 740W
3) O rendimento 
 é dado por:

 = = ⇒ 
 � 0,64
Resposta: C
3. (AFA-MODELO ENEM) – O motor de um automóvel desenvolve
uma potência útil de 20 hp quando o automóvel tem uma velo -
cidade constante de módulo 50 km/h em uma estrada retilínea e
horizontal. Se a força resistente tem intensidade pro por cional ao
quadrado do módulo da velocidade, a potência, em hp, necessária
para mantê-lo a 100 km/h vale:
a) 10 b) 20 c) 40 d) 80 e) 160
Resolução
Para que o automóvel tenha velocidade constante:
Fmotriz = Fresistente = k V
2
A potência motriz dada por:
Potmotriz = Fmotriz . V
Potmotriz = k V
2 . V = k V3
Se a velocidade duplicou, a respectiva potência motriz ficará mul -
tiplicada por 8.
Resposta: E
4. (FUVEST-SP-MODELO ENEM) – Nos manuais de automóveis, a
caracterização dos motores é feita em cv (cavalo-vapor). Essa uni -
da de, proposta no tempo das pri meiras máquinas a vapor,
correspondia à capacidade de um cavalo típico, que conseguia
erguer, na ver tical, com auxílio de uma roldana, um bloco de 75kg,
com velocidade de módulo 1,0m/s. Para subir uma ladeira, inclina -
da como na figura, um carro de 1,0 . 103 kg, man tendo uma ve lo ci -
dade constante de módulo 15m/s (54km/h), desenvolve uma
potência útil que, em cv, é, aproxi madamente, de
a) 20 b) 40 c) 50 d) 100 e) 150
Despreze o efeito do ar e adote g = 10m/s2.
i = 504J
i
–––
�t
504 J
–––––
2,8s
Potm = 180W
–––
�t
m V2
–––––
2
m V0
2
––––––
2
m V2
–––––
2
m V2
––––––
2 �t
2,4 . 103
–––––––
2
(30)2
–––––
7,5
Potu � 1,4 . 10
5W
PotT � 2,2 . 10
5W
Potu
–––––
PotT
1,4 . 105
––––––––
2,2 . 105

% � 64%
46
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 46
Resolução
(1) Desprezando-se o efeito do ar, tem-se:
Fmotor = Pt = P sen � = m g sen �
Fmotor = 1,0 . 10
3 . 10 . 0,1 (N)
(2) Potmotor = Fmotor . V . cos 0°
Potmotor = 1,0 . 10
3 . 15 (W) = 15 . 103W
(3) Pot = = mg V
1cv = 75 . 10 . 1,0 (W) = 750W
(4) Potmotor = (cv)
Resposta: A
5. (UNICAMP-SP) – Uma usina hidroelétrica ge ra ele tri cidade a
partir da trans formação de ener gia po tencial mecânica em energia
elétrica. A usina de Itai pu, responsável pela geração de 25% da
energia elé trica utilizada no Brasil, é formada por 18 unidades
geradoras. Nelas, a água desce por um duto sob a ação da gravi -
dade, fazendo girar a turbina e o gera dor, como indicado na figura
a seguir. Pe la tubulação de cada unidade, passam 7,0 . 102 m3/s
de água. O pro ces so de geração tem uma efi ciência de 77%, ou
seja, nem toda a energia potencial me cânica é transfor ma da em
energia elétrica. Con si de re a densidade da água 1,0 . 103kg/m3 e
g = 10m/s2.
a) Qual a potência gerada em cada unidade da usi na se a altura da
coluna-d’água for H = 130m? Qual a potência total gerada na
usina?
b) Uma cidade como Campinas consome 6,0 . 109Wh por dia.
Para quantas cidades como Campinas, Itai pu é capaz de suprir
energia elétrica? Ignore as per das na distribuição.
Resolução
a) A potência teórica gerada é dada por:
Pot = , em que 
peso é o trabalho que o peso da água 
realiza no intervalo de tempo �t. 
Sendo 
peso= mgH, vem: Pot = 
Da definição de densidade � = , temos m = � . V
Portanto:
Pot = 
Sendo = Z (vazão), resulta:
Tendo o processo de geração uma eficiência de 77%, resul ta, para
a potência útil de cada uni dade:
Pot = 0,77 . �ZgH
Pot = 0,77 . 1,0 . 103 . 7,0 . 102 . 10 . 130 (W)
A potência total Pottotal gerada pelas 18 uni dades é igual a:
Pottotal = 18 . Pot
Pottotal = 18 . 7,0 . 10
8 (W)
b) A potência elétrica consumida pela cidade de Cam pinas vale:
PotC = 
Sendo Ee� = 6,0 . 10
9Wh e �t = 1 dia = 24h, resul ta:
PotC = 
O número de cidades como Campinas que Itai pu é capaz de
suprir de energia elétrica vale:
n = ⇒ n = 
Portanto, o número de cidades é de aproxima da mente 50.
Respostas: a) 7,0 . 108W e 1,26 . 1010W
b) 50
6. Um corpo de peso P = 20N sobe um plano inclinado sem atrito,
puxado por uma força paralela a esse plano. O corpo parte do
repouso e após dois segundos ele atinge uma altura de dois
metros acima do ponto de partida. A potência instantânea desen-
volvida pela força 
→
F é dada pelo gráfico abaixo.
Determine
a) o trabalho realizado pela força 
→
F entre os instantes t0 = 0 e 
t1 = 2,0s;
b) o módulo da velocidade do corpo no instante t1 = 2,0s.
Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.
m g H
––––––
�t
15 . 103
–––––––
750
Potmotor = 20cv
peso
––––
�t
mgH
–––––
�t
m
––
V
�VgH
––––––
�t
V
–––
�t
Pot = �Z g H
Pot � 7,0 . 10 8W
Pottotal = 1,26 . 10
10W
Ee�
––––
�t
PotC = 0,25 . 10
9W
6,0 . 109Wh
––––––––––––
24h
Pottotal
–––––––
PotC
12,6 . 109
––––––––––
0,25 . 109
n = 50,4
Fmotor = 1,0 . 10
3N
47
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 47
Resolução
a) Como temos o gráfico da potência instantânea desenvolvida
pela força 
→
F em função do tempo, o trabalho pedido pode ser
calculado pela “área” compreendida entre o gráfico e o eixo
dos tempos, de t = 0 até t = 2,0s.
Assim:
(2,0 + 1,0)
F = ————— . 50(J) ⇒2
b) Além da força
→
F, atuam no corpo a força peso 
→
P e a reação nor -
mal do plano
→
N.
Pelo teorema da energia cinética, aplicado entre t = 0 e 
t = 2,0s, temos:
mV2 mV
0
2
F + 
P + 
N = ——— – ———2 2
Mas:
V0 = 0
F = 75J
p = –P . h = –20 . 2,0 (J) ⇒
N = 0 (pois 
→
N é perpendicular ao deslocamento)
P 20
m = — = —— kg ⇒ m = 2,0kg
g 10
Então:
2,0 . V2
75 – 40 + 0 = ———— ⇒
2
Respostas: 75J e 5,9m/s
7. (UNIFESP) – Uma das alternativas modernas para a gera ção de
energia elétrica limpa e relativa mente barata é a energia eólica.
Para a avaliação preliminar da potência
eólica de um gerador situado em um
deter minado local, é necessário calcu -
lar a energia cinética do vento que atra -
ves sa a área varrida pelas hélices
desse gerador por unidade de tempo.
a) Faça esse cálculo para obter a
potência média dis ponível, em
watts, de um gera dor eólico com
héli ces de 2,0m de compri mento,
colocado em um lugar onde, em
média, o módulo da velocidade do
vento, per pendicular à área varrida
pelas hélices, é de 10 m/s.
Dados: área de um círculo de raio r: A = πr2 (adote π = 3,1);
densidade do ar: dar = 1,2 kg/m
3.
Z = A . V, em que Z é a vazão, A é a área e V é o módulo
da velocidade
b) Mesmo em lugares onde o vento é abundante, há momentos
de calmaria ou em que sua velocidade não é suficiente para
mover as pás do gerador. Indique uma forma para se manter o
fornecimento de energia elétrica aos consumidores nessas
ocasiões.
Resolução
a) A vazão do ar em relação às hélices é dada por:
Z = = A . V → Vol = A . V . �t (1)
Vol = volume do ar
A = área varrida pelas hélices
V = módulo da velocidade do vento
Sendo dar = , vem: Vol = (2)
Substituindo-se (2) em (1):
= A V �t ⇒ m = dar A V �t (3)
A potência média é dada por:
Potm = = (4)
Substituindo-se (3) em (4):
Potm = . ⇒
Potm = (W)
b) Para os momentos de calmaria, quando a energia cinética do
vento não é suficiente para mover as pás do gerador,
devemos usar a energia previamente armazenada em baterias
nos momentos em que o vento era abundante.
8. (UFLA-MG) – Elevadores possuem um con trapeso (CP) que auxi -
lia o motor em seu deslo camento, con forme mostra a figura
abaixo.
Considerando-se g = 10m/s2, um elevador com mas sa de 
8,0 . 102kg e contrapeso de 4,0 . 102kg e des prezan do-se a massa
dos cabos, resolva os itens a seguir.
a) Supondo-se inicialmente que o elevador sedesloque com
velocidade constante de módulo igual a 0,5 m/s, calcule a
intensidade da força motriz FM exercida pelo motor na subida
e na descida.
b) A potência fornecida pelo motor na subida com ve locidade
constante.
c) Supondo-se que o elevador suba com movimento acelerado e
com aceleração de módulo 1,0m/s2, qual a intensidade da
força motriz exercida pelo motor sobre o elevador?
F = 75J
P = –40J
V � 5,9m/s
Vol
––––
�t
m
––––
Vol
m
––––
dar
m
––––
dar
Ec
–––
�t
m V2
–––––
2 �t
dar A V �t
––––––––––
2
V2
––––
�t
dar A V
3
Potm = –––––––––
2
1,2 . π (2,0)2 . 103
–––––––––––––––––
2
Pot � 7,4 . 103W
48
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 48
9. (FUVEST-SP) – Uma esteira rolante transporta 15 cai xas de bebida
por minuto, de um depósito no subsolo até o andar térreo. A
esteira tem comprimento de 12m, inclina ção de 30° com a
horizontal e move-se com velocidade constante. As caixas a
serem trans portadas já são colocadas com a velocidade da estei -
ra. Se cada caixa pesa 200N, o mo tor que aciona esse mecanismo
deve fornecer a potência de
a) 20W b) 40W c) 3,0 . 102W 
d) 6,0 . 102W e) 1,0 . 103W
10. (FUVEST-SP) – Um jovem sobe correndo, com velocidade
constante, do primeiro ao segundo andar de um shopping, por
uma larga escada rolante de descida, ou seja, sobe “na
contramão”. No instan te em que ele começa a subir, uma
senhora, que está no segundo andar, toma a mesma escada para
descer normalmente, mantendo-se sempre no mesmo de grau.
Ambos permanecem sobre essa escada durante 30s, até que a
senhora, de massa Ms = 60kg, desça no primeiro andar e o rapaz,
de massa Mj = 80kg, che gue ao segundo andar, situado 7,0m
acima do pri meiro. Dado g = 10m/s2.
Supondo-se desprezíveis as perdas por atrito, deter mine
a) a potência P, em watts, que a senhora cede ao sistema da
escada rolante, enquanto permanece na escada;
b) o número N de degraus que o jovem de fato subiu para ir do 1.o
ao 2.o andar, considerando-se que cada degrau mede 20cm de
altura;
c) o trabalho T, em joules, realizado pelo jovem, para ir do 1.o ao 2.o
andar, na situação descrita.
11. (ACAFE-SC) – Um fabricante de automóveis afir ma que um deter -
minado modelo de seus carros, de massa m = 1,0t, acelera unifor -
memente do repou so até uma velocidade de módulo v = 30m/s
(108km/h) em 10s em um plano horizontal. Des preze o efeito do
ar. Neste intervalo de tempo, a po tência média útil desenvolvida
pelo motor do carro, em kW, vale:
a) 45 b) 90 c) 100 d) 126 e) 150
12. (FUVEST-SP) – Um elevador de carga, com massa M = 5,0 . 103kg,
é sus penso por um cabo na parte externa de um edi fício em
construção. Nas con dições das questões abai xo, consi dere que o
motor fornece uma potência constante P = 150 kW.
a) Determine a intensidade da força 
→
F1, em N, que o cabo exerce
so bre o elevador, quando ele é puxado com veloci dade cons -
tante.
b) Determine a intensidade da força 
→
F2, em N, que o cabo exerce
sobre o elevador, no instante em que ele está subindo com
uma aceleração para cima de módulo a = 5,0m/s2.
c) Levando-se em conta a potência P do motor, deter mine o
módulo da velocidade 
→
V2, em m/s, com que o elevador estará
subindo, nas condições do item (b) (a = 5,0m/s2).
d) Determine a velocidade escalar máxima VL, em m/s, com que
o elevador pode subir quando puxado pelo motor.
49
Resolução
1) a)
T = P = mg = 4,0 . 102 . 10 (N)
FM + T = PE
FM + 4,0 . 10
3 = 8,0 . 102 . 10
b) PotM = FM . V . cos 0°
PotM = 4,0 . 10
3 . 0,5 . 1 (W) ⇒
c)
P – T’ = ma
4,0 . 103 – T’ = 4,0 . 102 . 1,0
T’ + FM – PE = M a
3,6 . 103 + FM – 8,0 . 10
3 = 0,8 . 103 . 1,0
Respostas: a) 4,0kN
b) 2,0kW
c) 5,2kN
FM = 4,0 . 10
3 N = 4,0kN
PotM = 2,0kW
T’ = 3,6 . 103N
FM = 5,2 . 10
3N = 5,2kN
T = 4,0 . 103N
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 49
13. (PUC-RS) – A intensidade da força de atrito viscoso sobre um
determinado barco é diretamente propor cional ao módulo de sua
velocidade em relação à água. Verifica-se que, para deslocar o
barco com ve locidade constante de módulo 12km/h, é necessária
uma potência motriz de 6,0kW. Para des locar o mes mo barco
com velocidade constante de módulo 24km/h, será necessária
uma potência motriz de 
a) 24,0 kW b) 18,0 kW c) 16,0 kW
d) 14,0 kW e) 10,0 kW
14. (FUVEST-SP) – Um veículo para competição de acele ra ção (drag
racing) tem massa M = 1,10 . 103kg, mo tor de potência máxima
P = 2,64 x 106W (~3500 cv) e possui um aerofólio que lhe impri -
me uma força aerodinâmica vertical para baixo, Fa, des prezível em
baixas veloci dades. Tanto em altas quanto em baixas velocidades,
a força vertical que o veículo aplica à pista horizontal está
praticamente concentrada nas rodas motoras traseiras, de 0,40m
de raio. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico, entre os
pneus e a pista, são iguais e valem � = 0,50. 
Determine
a) a máxima aceleração escalar do veículo quando o módulo de
sua velocidade é de 120m/s (432km/h), supondo-se que não
haja escorregamento entre as rodas traseiras e a pista. Des -
preze a força horizon tal de resistência do ar;
b) o mínimo valor da força vertical Fa, aplicada ao veí culo pelo
aerofólio, nas condições da questão ante rior;
c) a potência desenvolvida pelo motor no momento da largada,
quan do a velocidade angular das rodas traseiras é � = 600rad/s,
a velocidade do veículo é desprezível e as rodas estão es -
corregando (derra pando) sobre a pista.
Dado: g = 10m/s2
15. (FUVEST-SP) – Um carro de corrida, de massa M = 800kg, per -
corre uma pista de provas plana, com velocidade constante de
módulo V0 = 60m/s. Nessa situação, observa-se que a potência
desenvolvida pelo motor, P1 = 120kW, é praticamente toda utiliza -
da para vencer a resistência do ar (Situação 1, pista horizontal).
Prosse guindo com os testes, faz-se o carro descer uma ladeira,
com o motor desligado, de forma que mantenha a mesma
velocidade escalar V0 e que enfrente a mesma resistência do ar
(Situação 2, inclinação �). Final mente, faz-se o carro subir uma
ladeira, com velocidade constante com o mesmo módulo V0,
sujeito à mesma resistência do ar (Situação 3, inclinação �).
a) Estime, para a Situação 1, o módulo da força de resistência do
ar FR, em newtons, que age sobre o carro no sentido oposto a
seu movi mento.
b) Estime, para a Situação 2, o seno do ângulo de inclinação da
ladeira, sen �, para que o carro mantenha velocidade de
módulo V0 = 60m/s.
c) Estime, para a Situação 3, a potência P3 do motor, em kW,
para que o carro suba uma ladeira de in clinação dada por 
sen � = 0,3, man ten do uma velo cidade constante e com o
mesmo módulo V0 = 60m/s.
16. (ITA) – Deixa-se cair continuamente areia de um reservatório a
uma taxa de 3,0 kg/s diretamente sobre uma esteira que se move
na direção hori zon tal com velocidade constante V
→
. Considere que
a camada de areia depositada sobre a esteira se locomove com a
mesma velocidade V
→
, devido ao atrito. 
Desprezan do-se a existência de quais quer outros atritos, con clui-se
que a potência em watts, requerida para manter a esteira mo ven -
do-se a 4,0 m/s, é
a) 0 b) 3,0 c) 12,0 d) 24,0 e) 48,0
17. (UNEB-BA) – A água é um elemento vital para o ser humano. Para
abastecer uma residência, a bomba retira água de um poço e
enche o tanque de 1000�, em 10 minutos, conforme a figura. A
água é lançada no tanque com velocidade de módulo 10m/s e não
há perdas por atrito no sistema.
Sendo o módulo da aceleração da gravidade local igual a 10m/s2 e
a densidade da água 1,0kg/�, a potên cia útil da bomba é igual a
a) 100W b) 200W c) 300W 
d) 400W e) 500W 
18. (FUVEST) – A usina hidroelétrica de Itaipu possui 20 turbi nas,
cada uma fornecendo uma potência elétrica útil de 680 MW, a
partir de um desnível de água de 120 m. No complexo, construído
no Rio Paraná, as águas da represa passam em cada turbina com
vazão de 600 m3/s. 
a) Estime o número de domicílios, N, que deixariam de ser
atendidos se, pela queda de um raio, uma dessas turbinas
interrompesse sua ope ração entre 17h30min e 20h30min,considerando-se que o consumo médio de energia, por
domicílio, nesse período, seja de 4,0 kWh.
b) Estime a massa M, em kg, de água do rio que entra em cada
turbina, a cada segundo.
c) Estime a potência mecânica P da água, em MW, em cada
turbina.
NOTE E ADOTE:
A potência P, desenvolvida por uma força 
→
F, é igual ao produto
do módulo da força 
→
F pelo mó dulo da velocidade 
→
V do corpo
em que atua, quando 
→
V tem a direção e o sentido da força 
→
F.
g = 10m/s2
NOTE E ADOTE:
Potência = Força x Velocidade
Considere, nessas três situações, que apenas a resistência do
ar dissipe energia mecânica.
g = 10m/s2
50
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 12:42 Página 50
19. “...o Brasil tem potencial para produzir pelo menos
15 mil megawatts por hora de energia a partir de
fontes alternativas.
Somente nos estados da Região Sul, o potencial de geração de
energia por intermédio das sobras agrícolas e florestais é de
5.000 megawatts por hora.
Para se ter uma ideia do que isso representa, a usina hidroelé trica
de Ita, uma das maiores do País, na divisa entre o Rio Grande do
Sul e Santa Catarina, gera 1.450 megawatts de energia por hora.”
Esse texto, transcrito de um jornal de grande circu lação, con tém,
pelo menos, um erro conceitual ao apresentar valores de
produção e de potencial de gera ção de energia. Esse erro con -
siste em
a) apresentar valores muito altos para a grandeza energia.
b) usar unidade megawatt para expressar os valores de potên cia.
c) usar unidades elétricas para biomassa.
d) fazer uso da unidade incorreta megawatt por hora.
e) apresentar valores numéricos incompatíveis com as uni da des.
20. (MODELO ENEM) – Um engenheiro deseja melhorar o projeto de
um elevador para um prédio. O projeto original utiliza um motor
que pode elevar, verticalmente, com velocidade constante, 
1000 kg ao longo de uma distância de 20m em 30s. O engenheiro
quer um motor que seja capaz de elevar, verticalmente, com
velocidade constante, 800 kg ao longo de uma distância de 30m
em 20s. Comparado com o motor original, o novo motor 
a) deve aplicar uma força com intensidade maior com potência
maior.
b) deve aplicar uma força com intensidade menor com potência
maior.
c) deve aplicar uma força com intensidade maior com potência
menor.
d) deve aplicar uma força com intensidade maior e mesma
potên cia.
e) deve aplicar uma força com intensidade menor e mesma
potên cia.
Nota: adote g = 10m/s2
21. (VUNESP-MODELO ENEM) – Um operário de manutenção tem
de es colher, em uma loja, um motor com capacidade pa ra levantar
uma carga de 100kg a uma altura de 5,0 me tros, em um intervalo
de tempo máximo de 10 se gundos. A carga parte do repouso e
volta ao re pouso. Considerando-se que a aceleração da gravi dade
tem módulo igual a 10 m/s2, que os preços dos mo tores são
diretamente proporcionais às suas po tências e que as perdas
mecânicas na estrutura repre sentam uma ordem de 5% da
potência consumida pelo motor, a solução mais econômica, entre
as opções disponíveis na loja, para atender os requisitos acima, é
o motor com potência de
a) 300 W b) 400 W c) 500 W
d) 600 W e) 800 W
22. (MODELO ENEM) – Uma equipe de resgate em cavernas é
chamada para levantar um espeleólogo ferido que está no fundo
de um buraco com profundidade total de 30,0m. O salvamento
será feito em três etapas, cada uma correspondendo a um
deslocamento vertical de 10,0m.
Um cabo é preso ao espeleólogo e puxado verticamente para
cima pela ação de um motor.
As três etapas do salvamento estão descritas a seguir:
1.a etapa: o espeleólogo parte do repouso e é acelerado unifor -
memente até atingir a velocidade escalar de 1,0m/s.
2.a etapa: o espeleólogo é levantado com velocidade escalar
cons tante de 1,0m/s.
3.a etapa: o espeleólogo tem movimento uniformemente retar -
dado até voltar ao repouso ao atingir a superfície.
Despreze o efeito do ar e adote g = 10,0m/s2.
A massa do espeleólogo é de 80,0kg.
A potência média útil desenvolvida pelo motor que aciona o cabo,
nesta operação, foi de:
a) 0,10kW b) 0,20kW c) 0,30kW
d) 0,48kW e) 0,50kW
23.
Na figura abaixo, está esquematizado um ti po de
usina utilizada na geração de eletricidade.
A eficiência de uma usina, como a representada na fi gura, é da or -
dem de 0,9, ou seja, 90% da energia da água no início do proces -
so se trans forma em energia elétrica. A usina Ji-Paraná, do es tado
de Rondônia, tem potência instalada de 513MW, e a barragem
tem altura de aproximadamente 114m. A vazão do Rio Ji-Paraná,
em litros de água por se gun do, deve ser da ordem de:
a) 5,0 . 101 b) 5,0 . 102 c) 5,0 . 103
d) 5,0 . 104 e) 5,0 . 105
Dados: 1) densidade da água: 1,0 . 103 kg/m3
2) g = 10m/s2
24. (MODELO ENEM) – Um elevador de carga tem massa total de
1200kg e deve ser levantando partindo do repouso e voltando ao
repouso. O contrapeso do elevador tem massa de 950kg e
portanto o motor do elevador deve ajudar no seu levantamento. O
elevador deve subir 54,0m em 3,0min. Pretende-se determinar a
potência média que o motor do elevador deve fornecer neste
procedimento.
Teoria necessária para a resolução:
1) Teorema da energia cinética.
O trabalho total realizado é dado pela variação da energia
cinética do sistema.
2) A potência média é a razão entre o trabalho realizado e o
tempo gasto:
A potência média do motor, no levantamento do elevador, vale:
a) 375W b) 400W c) 700W d) 750W e) 800W
NOTE E ADOTE:
Densidade da água = 1,0 . 103 kg/m3
1 MW = 1 megawatt = 106 W
1 kWh = 1000 W � 3600 s = 3,6 � 106 J
g = 10 m/s2
Os valores mencionados foram aproximados para facilitar os
cálculos.
Potm = –––
�t
51
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 51
52
9) C
10) a) A senhora aplica sobre a escada uma força vertical para
baixo de intensidade igual à de seu peso e que sofre um
delocamento vertical H = 7,0m.
Portanto: 
 = PS . H
 = 60 . 10 . 7,0 (J) ⇒
A potência cedida à escada é dada por:
P = = ⇒
b) 1) O número de degraus da escada é dado por:
H = n h
7,0 = n . 0,2 ⇒
2) Para que os tempos gastos pelo jovem e pela mulher
sejam iguais, devemos ter:
VR(jovem)
= VR(mulher)
A velocidade resultante do jovem é dada por:
VR(J)
= VJ – VE
A velocidade resultante da mulher é dada por:
VR(M)
= VE
Portanto: VJ – VE = VE ⇒
Sendo e a extensão do degrau, vem:
= 2 
Portanto: 
c) Para um referencial fixo na escada, o jovem tem ve -
locidade escalar constante 2V e sobe uma altura 2H, em
que H é a altura da escada em relação ao solo.
Aplicando-se o teorema da energia cinética, vem:
T + 
Peso = �Ecin
T – 2mgH = 0 ⇒
T = 2 . 80 . 10 . 7,0 (J)
Respostas: a) P = 1,4 . 102 W 
b) N = 70 
c) T = 11,2kJ
11) A
12) a) Quando o elevador se movimenta com velocidade cons -
tante, a força resultante sobre ele é nula e a força aplicada
pelo cabo equilibra o peso do elevador.
F1 = P = Mg
F1 = 5,0 . 10
3 . 10 (N)
b) Aplicando-se a 2.a Lei de Newton
para o instante con siderado,
temos:
F2 – Mg = Ma
F2 = M (a + g)
F2 = 5,0 . 10
3 . 15 (N)
F2 = 75 . 10
3N
c) No instante T, em que a = 5,0m/s2, temos F2 = 7,5 . 10
4N
Pot = F2V2 (constante)
150 . 103 = 75 . 103 V2 ⇒
d) Como a potência é constante, a velocidade máxima VL
ocorre quando a respectiva força aplicada pelo ca bo for
mínima; isto ocorre quando F = P = 5,0 . 104N.
Pot = Fmín VL = constante
150 . 103 = 50 . 103 VL ⇒
Respostas: a) 5,0 . 104N b) 7,5 . 104N
c) 2,0m/s d) 3,0m/s
13) A
14) a) 1) Para uma dada velocidade, a aceleração é máxima
quando o motor estiver desen vol vendo sua potência
máxima:
Potmáx = Fmáx . v
2,64 . 106 = Fmáx . 120 ⇒
2) 2.a Lei de Newton
Fmáx = m amáx 
2,20 . 104 = 1,10 . 103 amáx ⇒
b) A força que acelera o veículo é recebida do chão por meio
do atrito e, portanto:
F ≤ Fatdestaque
Fmáx = � (P + Fa)
2,20 . 104 = 0,50 (1,10 . 104 + Fa)
4,40 . 104 = 1,10 . 104 + Fa ⇒
 = 4,2 . 103J
P = 1,4 . 102W
4,2 . 103J
–––––––––––
30s
––––
�t
n = 35
VJ = 2VE
n e
–––––
�t
Ne
–––––
�t
N = 2n = 70
T = 2mgH
T = 1,12 . 104 J = 11,2 kJ
F1 = 5,0 . 10
4N
F2 = 7,5 . 104N 
V2 = 2,0m/s
VL = 3,0m/s
Fmáx = 2,20 . 10
4N
amáx = 20,0m/s
2
Fa = 3,30 . 10
4N
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 52
c) Para as rodas derrapando, o atrito é dinâmico e a força de
atrito terá intensidade dada por:
Fat = � P = 0,50 . 1,10 . 10
4 (N) = 5,50 . 103N
A velocidade dos pontos da periferia da roda tem módulo
v dado por:
v = � R = 600 . 0,40 (m/s) = 240m/s
Como o carro ainda não se movimentou, toda a potência
forne cida pelo motor foi consumida pelo atrito:
Potmotor = |Potatrito| = Fat . v
Potmotor = 5,50 . 10
3 . 240 (W) ⇒
Respostas: a) 20,0m/s2
b) 3,30 . 104N
c) 1,32 . 106W
15)
a) 1) A potência útil do motor do carro é dada por:
Pot = FV
120 . 103 = F . 60 ⇒ F = 2,0 . 103N
2) Sendo constante a velocidade do carro, a força
resultante é nula e portanto:
Far = F = 2,0 . 10
3N ⇒
b)
Estando o carro com o motor desligado (motor desa copla -
do), a força de atrito trocada com o plano será nula e para
manter a velocidade constante, teremos:
Pt = Far
Mg sen � = Far
800 . 10 . sen � = 2,0 . 103 ⇒
c)
1) Para manter a velocidade constante, a força re sul tante
é nula e portan to:
F’ = Pt + Far ⇒ F’ = Mg sen � + Far
F’ = 800 . 10 . 0,3 + 2,0 . 103 (N) ⇒
2) A potência útil desenvolvida pelo motor será da da por:
Pot = F’ V
Pot = 4,4 . 103 . 60 (W) ⇒ Pot = 264 . 103W
Respostas: a) 2,0 . 103N
b) sen � = 0,25
c) 264 kW
16) A areia deve receber da esteira uma força horizontal capaz de
lhe comunicar uma velocidade horizontal de módulo V = 4,0m/s.
Essa força, su posta constante, terá intensidade F dada por:
F = 
Como = 3,0 kg/s e V = 4,0m/s, vem:
F = 3,0 . 4,0 (N) ⇒
Para manter a esteira com velocidade constante, devemos
aplicar-lhe uma força para frente com a mesma intensidade F
e cuja potência será dada por:
PotF = F . V . cos 0°
PotF = 12,0 . 4,0 . 1 (W) ⇒
Resposta: E
17) B
18) a) A energia que deixa de ser produzida por uma turbina em
3,0 h cor responde a:
Eturbina = Pot · �t ⇒ Eturbina = 680 · 10
3 · 3,0 (kWh)
Eturbina = 2040 · 10
3 (kWh) ⇒ Eturbina = 2,04 · 10
6 kWh
Cada domicílio consome E1 = 4,0 kWh. Assim, o número
de domicílios N que deixariam de ser atendidos é dado
por:
N · E1 = Eturbina ⇒ N · 4,0 = 2,04 · 10
6
b) De acordo com os dados, a turbina recebe um volume de
600 m3 de água em um segundo. Temos, então:
dágua = ⇒ M = dágua · V = 1,0 · 10
3 · 600 (kg)
c) A potência mecânica da turbina (P) pode ser obtida por:
P = ⇒ P = ⇒ P = 
P = dágua · Z · g · H ⇒ P = 1,0 · 10
3 · 600 · 10 · 120 (W)
P = 7,2 · 108 W ⇒ P = 720 MW
Respostas:a) N = 5,1 · 105
b) M = 6,0 · 105 kg
c) P = 720 MW
19) D 20) B 21) D 22) D 23) E
24) D
Far = 2,0 . 10
3N
Potmotor = 1,32 . 10
6 W
sen � = 0,25
F’ = 4,4 . 103N
Pot = 264 kW
mV
–––
�t
m
–––
�t
F = 12,0 N
PotF = 48,0 W
N = 5,1 · 105 domicílios
M
–––
V
M = 6,0 · 105 kg
P
–––
�t
dágua . V . g . H
––––––––––––––
�t
mgH
–––––
�t
53
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 53
54
1. Conceito
Apresentamos a noção de ENERGIA como um con -
ceito intuitivo.
É usual dizer-se que um sistema físico tem energia
me cânica em relação a um certo referencial, quando ele
é capaz de modificar-se espontaneamente e de realizar
tra ba lho, isto é, o sistema possui energia mecânica quan -
do existe a possibilidade de transformá-la ou transferi-la
total ou parcialmente para outros sistemas físicos.
Uma mola comprimida, o elástico esticado de um
estilingue, um corpo no alto de um prédio, um carro em
movimento são exemplos de sistemas energizados.
2. Unidades e dimensões
Lembrando que trabalho é uma forma de energia,
con cluímos que as unidades e dimensões de qualquer ti -
po de energia são as mesmas de trabalho.
No sistema de unidades denominado CGS (centí me -
tro-grama-segundo), a unidade de energia é o erg.
Na Termologia, costuma-se usar a unidade de ener -
gia denominada caloria.
3. Modalidades 
de energia mecânica
A energia MECÂNICA pode-se apresentar funda -
men tal mente sob duas formas:
• energia cinética;
• energia potencial.
Em relação a um dado referencial, um corpo tem
energia cinética quando estiver em movimento.
Em relação a um dado referencial, um corpo tem
energia potencial quando, em virtude de sua posição,
ele tem possibilidade de entrar em movimento como, por
exemplo, uma pedra posicionada a uma certa altura aci -
ma do solo (tomado como referência).
4. Energia cinética 
ou de movimento
A energia cinética, ou de movimento, é a energia
que o sistema possui em virtude do movimento das par -
tes que constituem o sistema, em relação ao referencial
adotado.
Para deduzirmos a expressão da energia cinética, ou
de movimento, consideraremos o caso particular de um
ponto material de massa m, inicialmente em repouso,
que recebe ação de uma força resultante constante 
→
F e se
desloca em um plano horizontal.
Energia mecânica traduz a capacidade para rea li -
zar trabalho.
u(E) = joule (J)
[E] = ML2T–2
1 erg = 10–7J
1 cal = 4,18J
Em uma queda d’água há
transformação de energia potencial
gravitacional da água em energia cinética.
ENERGIA
MECÂNICA
Mecânica
5
CAPÍTULO
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 54
A energia cinética que o ponto material adquire é
medida pelo trabalho realizado pela força resul tante
→
F.
Da definição de trabalho, obtém-se:
 = F . d = m . � . d (1)
em que � é a aceleração escalar e d é o módulo do deslo -
camento do ponto material.
Da Equação de Torricelli, da Cinemática, temos:
V2 = V
0
2 + 2 � d
e, como V0 = 0, tem-se: V
2 = 2 � d e ainda:
V2
� d = ––– , (2)
2
Substituindo-se a expressão (2) na expressão (1),
obtém-se:
m V2
 = ––––––
2
Portanto:
Notas
a) Sendo m > 0 e V2 ≥ 0, a energia cinética nunca
será estritamente negativa.
b) Como a velocidade escalar V depende do refe ren -
cial adotado, a energia cinética também dependerá do
referencial adotado.
Por exemplo: seja um ônibus dotado de velocida -
de escalar V = 20m/s em relação à estrada e um
passageiro de massa M = 50kg parado em relação ao
ônibus.
Se o referencial for o ônibus, a energia cinética do
passageiro é nula; se o referencial for a estrada, a energia
cinética do passageiro será:
MV2 50 . (20)2
Ec = ––––– = ––––––––– (J) = 1,0 . 10
4J
2 2
c) Como a função Ec = f(V) é do 2.
o grau, o gráfico
será um arco de parábola.
d) Se representarmos a energia cinética de um corpo
Ec em função do quadrado de sua velocidade escalar V
2,
teremos uma função linear:
e) A energia cinética de um corpo, de massa cons tan -
te, será constante quando o corpo estiver em movi mento
uniforme, qualquer que seja a trajetó ria descrita.
5. Energia potencial
A energia potencial, ou de posição, é a energia que
o sistema possui em virtude da posição especial das
partes que constituem o sistema em relação ao referencial
adotado.
A energia potencial costuma ser considerada como
uma forma de energia latente, uma energia arma zenada
e pronta para ser transformada em outra forma de ener -
gia, em geral ligada a movimento.
A energia mecânica potencial admite ainda duas
modalidades:
• energia potencial de gravidade:
associada ao peso do corpo.
• energia potencial elástica:
associada à força elástica desenvolvida por uma
deformação.
6. Energia potencial de gravidade
• Campo de forças: uma região do espaço físico é
dita um campo de forças, se uma partícula colocada nos
pontos desse campo ficar sob ação de uma força de
campo.
O campo será conservativo se o trabalho da força de
campo não depender da trajetória descrita, entre o ponto
de partida e o ponto de chegada.
Em tais condições, a força de campo será dita con -
servativa e o seu trabalho, no deslocamento espontâneo
m V2
Ecinética = 
 = ––––––2
Energia
Mecânica
Energia
Cinética
Energia
Potencial
Energia Potencial
de Gravidade
Energia Potencial
Elástica
+
55
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 55
da partícula, corresponderá à transformação de energia
potencial em energia cinética, porém conservando a sua
soma.
• A energia potencialde gravidade é uma forma de
energia de campo, isto é, consequência do cam po de
forças gravitacionais que existe em torno da Terra.
Para determinar a equação que expressa a ener gia
poten cial de gravidade, precisamos escolher um pla no
horizontal de referência, isto é, um plano horizontal que
corresponde ao valor zero da energia potencial de
gravidade.
Consideremos um ponto material de massa m, si tua -
do em um ponto A, a uma altura H, acima do plano de
referência. Seja g o módulo da aceleração da gravidade.
Procuremos determinar a energia potencial de gravi -
dade associada ao sistema físico Terra-ponto material.
Se abandonarmos o ponto material, ele cairá, em
virtude da ação da força de gravidade, e a energia poten -
cial grada tivamente se transformará em energia cinética.
Quando o ponto material chegar ao plano de refe -
rência, toda sua energia potencial se terá transformado
em energia cinética.
Essa transformação de energia potencial de campo
em energia cinética corresponde exatamente ao trabalho
da força peso.
Então, a energia potencial de campo (Egravidade) será
dada por:
Se o ponto material estiver em uma posição abaixo
do plano de referência, a energia potencial de gravidade
se rá considerada negativa, isto é, o valor de H será consi -
derado negativo.
Fisicamente, a energia potencial de gravidade nega -
tiva significa que o ponto material precisa RECEBER
ENERGIA MECÂNICA para conseguir atingir o plano
de referência, ou seja, o nível zero de energia potencial.
Exemplo 1
Tomando-se como referencial o nível do chão, uma
pe dra em um buraco possui energia potencial negativa.
A pedra precisa receber energia mecânica para che -
gar ao nível zero.
Exemplo 2
Se tomarmos como referencial o 5.o andar de um
prédio, no andar térreo as pessoas terão energia potencial
de gravidade negativa.
As pessoas precisam receber energia mecânica (por
exemplo, de um elevador), para chegar ao nível zero.
Egravidade = 
peso = PH = mgH
56
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 56
A jovem realiza um trabalho, conferindo energia potencial de gravidade à
caixa.
Notas
a) A energia potencial de gravidade não é uma gran -
deza associada apenas a um corpo, e sim ao siste ma
físico constituído pelo corpo e pela Terra, isto é, ao
conjunto corpo-Terra.
b) O valor da energia potencial de gravidade (mgH)
depende de H e, portanto, depende da posição do plano
de referência adotado, porém a variação de energia
potencial de gravidade (�EP = mg�H) não depende da
posição do plano de referência adotado, pois o valor de
�H traduz uma distância entre dois pontos que
independe da referência adotada.
Exemplo: consideremos uma partícula de massa
m que passa da posição A para a posição B, indi ca das na
figura.
Admitamos que, em relação à referência (1), a
ener gia potencial de gravidade em A valha 5,0J e em B
10J, ensejando uma variação de A para B de 5,0J.
Se adotamos a referência (2), a energia potencial de
gravidade em A passa a valer zero e em B 5,0J, de modo
que a variação de A para B continua valendo 5,0J.
Se adotamos a referência (3), a energia potencial de
gravidade em A passa a valer –5,0J e em B zero, de modo
que a variação de A para B continua valendo 5,0J.
c) Quando o corpo em questão não é um ponto ma -
terial e sim um corpo extenso, a altura H refere-se ao
centro de gravidade do corpo.
Exemplo: adotemos o solo horizontal co mo plano
de referência e consideremos um poste homogêneo de
peso P e altura H.
O centro de gravidade do poste está a uma altura 
acima do solo e a energia potencial de gravidade será
dada por:
d) Para um corpo de peso P constante, a energia
potencial de gravidade EP é proporcional à altura H e o
gráfico da função EP = f(H) é dado por:
A declividade (tg �) da reta que representa a fun -
ção EP = f(H) mede o peso P do corpo em estudo.
Note que H < 0 corresponde ao corpo posicio na do
abaixo do plano de referência adotado e enseja valores
negativos para a energia potencial de gra vi dade.
H
––
2
PH
Ep = –––2
Para medir a energia potencial de gravidade asso -
ciada a corpos extensos, devemos usar a altura H
do centro de gravidade do corpo.
57
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 57
1. Uma partícula de massa 1,0kg parte do repouso e percorre 1,0m,
em um intervalo de tempo de 1,0s, com movimento unifor me -
mente variado.
A energia cinética da partícula, ao final deste 1,0s de movimento,
vale
a) 0,5J b) 1,0J c) 2,0J d) 4,0J e) 8,0J 
Resolução
Sendo o movimento uniformemente variado, temos:
�s V0 + VfVm = ––– = ––––––––�t 2
= ⇒
A energia cinética final é dada por:
mV
f
2 1,0
Ecf = ––––– = –––– (2,0)
2 (J) ⇒
2 2
Resposta: C
Nota:
Não confunda a velocidade escalar média (Vm = 1,0m/s) com a
velocidade escalar final (Vf = 2,0m/s).
2. Uma partícula de massa constante tem o módulo de sua veloci -
dade aumentado de 20%. O respectivo aumento de sua energia
cinética será de
a) 10% b) 20% c) 40% d) 44% e) 56% 
Resolução
Quando uma grandeza aumenta de 20%, o seu valor inicial fica
multiplicado por 1,2.
De fato:
20
Vf = V0 + ––––– V0 = V0 + 0,2V0 ⇒100
Como a energia cinética é proporcional ao quadrado da velo ci -
dade escalar, o seu valor fica multiplicado por (1,2)2 = 1,44.
De fato:
m V
0
2 m V
f
2
E0 = –––––– (1); Ef = –––––– (2)2 2
(2) Ef Vf 1,2 V0Fazendo-se –––, tem-se: ––– = (–––)2 = (––––––)2(1) E0 V0 V0
Ef––– = (1, 2)2 = 1,44 ⇒
E0
Note que, como E0 foi multiplicado por 1,44, podemos afirmar que
o aumento de energia cinética foi de 44%.
Resposta: D
3. Uma partícula, em trajetória retilínea, com movimento unifor me -
mente variado tem energia cinética Ec variando com o tempo t
segundo o gráfico a seguir.
Sendo a massa da partícula igual a 2,0kg, a força resultante sobre
ela tem intensidade igual a:
a) 1,0N b) 2,0N c) 3,0N d) 4,0N e) 5,0N 
Resolução
Como o movimento é uniformemente variado, temos:
V = V0 + � t
Do gráfico, obtemos: t = 0 ⇒ Ec = 0 ⇒ V0 = 0
Portanto, o resultado é: V = � t
A energia cinética Ec é dada por:
m m
Ec = ––– V
2 = ––– � 2 t 2
2 2
Sendo m = 2,0kg, temos:
2,0
Ec = –––– �
2 t 2 ⇒ (SI)
2
Do gráfico, obtemos:
t = 2,0s ⇔ Ec = 9,0J
Portanto: 9,0 = � 2 . (2,0)2
� 2 = 2,25 ⇒
A força resultante que age na partícula, de acordo com a 2.a Lei de
Newton, tem intensidade dada por:
FR = m | � | = 2,0 . 1,5 (N) ⇒
Resposta: C
4. Um corpo de massa 3,0kg está posicionado 2,0m acima do solo
horizontal e tem energia potencial gravitacional de 90J.
A aceleração da gravidade no local tem módulo igual a 10m/s2.
Quando esse corpo estiver posicionado no solo, sua energia
potencial gravitacional valerá
a) zero b) 20J c) 30J d) 60J e) 90J 
Resolução
Usando-se a relação da energia potencial de gravidade, temos: 
Ep = mgH
90 = 3,0 . 10 . H ⇒
Portanto, o corpo está posicionado 3,0m acima da referência e
2,0m acima do solo, conforme mostra a figura. 
Quando o corpo estiver no solo, ele estará 1,0m aci ma da referên -
cia e sua energia po ten cial de gravi dade será dada por:
Ep = mgh
Ep = 3,0 . 10 . 1,0 (J) ⇒
Resposta: C
1,0
––––
1,0
0 + Vf–––––––
2
Vf = 2,0m/s
Ec
f
= 2,0J
Vf = 1,2V0
Ef = 1,44E0
Ec = �
2 t2
| � | = 1,5m/s2
FR = 3,0N
H = 3,0m
Ep = 30J
58
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 58
5. Dois recipientes cilíndricos de mesmo diâmetro con têm água e
óleo, como se mostra na parte (I) da figu ra abaixo. A massa do
óleo é M. Qual é a energia potencial gravitacional do óleo, depois
de despejado no recipiente que contém água, em relação à base
do recipiente? (g é módulo da aceleração local da gravi dade.)
Resolução
Quando se trata de um corpo extenso, a altura a ser considerada,
na me dida da energia potencial gravitacional, é a altura do centro
de gravidade (C.G.) do corpo, em relação ao plano de referência
adotado.
Sendo o corpo homogêneo, o (C.G.) coincide com o centro geo -
mé trico.
Assim, temos: Epot = MghCG ⇒
3
Resposta: ––– Mgh
2
6. Considere uma partícula no interior de um campo de forças. Se o
movimento da partícula forespontâneo, sua energia potencial
diminuirá e as forças de campo realizarão um trabalho motor
(positivo), que consiste em transformar energia potencial em
cinética.
Entre as alternativas a seguir, assinale aquela em que a energia
potencial aumenta:
a) Um corpo caindo no campo de gravidade da Terra.
b) Um próton e um elétron se aproximando.
c) Dois elétrons se afastando.
d) Dois prótons se afastando.
e) Um próton e um elétron se afastando.
Resolução
Para que a energia potencial aumente, o movimento deve ser não
espontâneo, isto é, a partícula deve caminhar contra a força de
cam po.
Isto ocorre na opção (e), pois o próton e o elétron se atraem e o
seu afastamento não é espontâneo.
Nas demais opções, o movimento é espontâneo e, por isso, a
ener gia potencial diminui.
Resposta: E
7. (OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – O
modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pressupõe que o
elétron descreve uma órbita circular de raio r em torno do próton.
A energia cinética do sistema elétron-próton é dada por:
a) b) c) 
d) e) 
Resolução
Sendo o movimento do elétron circular e uniforme, a força
eletros tática faz o papel de resultante centrípeta:
F = FCP
. = 
m V2 = 
Resposta: E
8. (MODELO ENEM) – O texto a seguir é um fragmento de um
artigo do fí sico brasileiro Marcelo Gleiser publicado no jornal Folha
de S. Paulo, relativo à cratera formada na superfície terrestre pelo
impacto de um meteorito.
A cratera é bem recente, ao menos em termos geo lógicos: foi
formada há 50 mil anos, quando um me teorito de cerca de 40
metros de diâmetro – o equi valente a um prédio de 15 andares –
feito pratica men te de ferro puro chocou-se com o solo a uma
velo cidade de 36 mil quilômetros por hora. A energia do impacto
foi equivalente à detonação simultânea de 20 bombas de
hidrogênio.
Considere o meteorito como sendo uma esfera maciça de ferro
cuja densidade vale 8,0 . 103kg/m3.
Adote π = 3.
De acordo com os dados do texto, a energia liberada por uma
bomba de hidrogênio, em joules, é um valor mais próximo de:
a) 6,4 . 1012J b) 1,3 . 1014J c) 6,4 . 1014J
d) 1,3 . 1016J e) 6,4 . 1016J
Resolução
1) m = � Vol = � . π R3
m = 8,0 . 103 . . 3 . (20)3 (kg)
m = 256 . 106kg = 2,56 . 108kg
2) V = 36 . 103km/h = . 103m/s = 1,0 . 104m/s
3) Ec = = . 10
8(J)
Ec � 1,28 . 10
16J
4) Eb = = J = 0,064 . 10
16J
Resposta: C
3
Epot = ––– Mgh2
1 q2
––––– –––
4π ε0 r2
1 q
––––– –––
8π ε0 r
1 q
––––– –––
4π ε0 r
1 q2
––––– –––
4π ε0 r
1 q2
––––– –––
8π ε0 r
NOTE E ADOTE:
q = módulo da carga do elétron = carga do próton
ε0 = constante dielétrica do vácuo
1 q2
F = –––––– ––– = intensidade da força eletrostática entre o 
4π ε0 r2
próton e o elétron
1
–––––
4π ε0
q2
–––
r2
m V2
–––––
r
1
–––––
4π ε0
q2
–––
r
m V2 1 q2
EC = –––––– = –––––– –––
2 8π ε0 r
4
––
3
4
––
3
36
–––
3,6
2,56 . 108
–––––––––
2
mV2
––––
2
Ec––––
20
Eb = 6,4 . 10
14J
1,28 . 1016
––––––––––
20
59
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 59
9. (UNIFESP) – Uma criança de massa 40kg via ja no car ro dos pais,
sentada no banco de trás, presa pelo cinto de segurança. Num
determinado momen to, o carro atinge uma velocidade de módulo
72km/h.
Nesse instante, a energia cinética dessa criança é
a) igual à energia cinética do conjunto carro mais pas sageiros.
b) zero, pois fisicamente a criança não tem veloci dade, logo, não
tem energia cinética.
c) 8,0 . 103J em relação ao carro e zero em relação à es trada.
d) 8,0 . 103J em relação à estrada e zero em relação ao car ro.
e) 8,0 . 103J, independentemente do referencial conside ra do, pois
a ener gia é um conceito absoluto.
10. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Um corpo de massa 1,0kg executa
um movimento cuja velocidade escalar V, em função do tempo t,
está representada no gráfico a seguir. A energia cinética do corpo
é igual a 2,0 . 102J
a) somente no instante t = 4,0s.
b) somente no instante t = 8,0s.
c) somente no instante t = 12,0s.
d) somente no instante t = 16,0s.
e) nos instantes t = 8,0s e t = 16,0s.
11. (UEM-PR) – Um objeto é abandonado em queda livre próximo à
superficie da Terra. Desprezando-se o efeito do ar atmosférico, o
gráfico que melhor representa a relação entre a energia cinética
EC e o tempo t é
12. (FUVEST-TRANSFERÊNCIA) – Uma das extremidades de um fio
inextensível, de comprimento L = 1,0m e de massa despre zível,
está presa em um ponto O enquanto, na outra extremidade, há um
corpo de massa m = 0,20kg e de dimensões desprezíveis em rela -
ção a L. O corpo, com energia cinética inicial Ec = 20J, é obrigado
pelo fio a se mover em um plano horizontal e ao longo de uma
circunferência com centro no ponto O, pertencente ao plano.
Durante seu movimento, uma força de módulo constante e direção
paralela à da velocidade do corpo realiza trabalho que acrescenta
�Ec = 2,0J à energia cinética da partícula a cada volta completa. Se
a intensidade da tração máxima suportada pelo fio, antes de se
romper, for 100N, o fio se romperá após o corpo completar
a) 15 voltas b) 20 voltas c) 40 voltas
d) 60 voltas e) 100 voltas
13. (PUC-SP) – O coqueiro da
figu ra tem 5,0m de altu ra em
rela ção ao chão e a cabeça do
macaco está a 0,5m do solo.
Cada co co, que se des prende
do co quei ro, tem mas sa 
2,0 . 102g e atin ge a ca be ça
do ma caco com 7,0J de ener -
gia ciné tica. A quanti dade de
ener gia me câ nica dissipa da
na queda é
a) 2,0J
b) 7,0J
c) 9,0J
d) 2,0kJ
e) 9,0kJ
Dado: g = 10m/s2
14. (VUNESP-FMTM-MG) – Enquanto limpava externamente os vi -
dros de um edifício, o operário deixa acidentalmente cair seu
relógio de pulso.
Considere
• que antes da queda do relógio, a velocidade deste, relati -
vamente ao chão, era nula;
• g = 10m/s2;
• desprezível a ação do ar sobre o movimento de queda do
relógio. 
a) Sabendo-se que o relógio atinge o chão com velocidade de
módulo 20 m/s, determine a altura de sua queda.
b) Se a massa do relógio é de 180g, determine a energia
mecânica dissipada no choque contra o solo, sabendo-se que
toda a energia mecânica que o relógio possuía é transferida
para o chão.
15. (VUNESP) – Um corpo de massa 1,0kg é lançado obliquamente,
a partir do solo, sem girar. O módulo da componente vertical da
velocidade, no instante do lançamento, é 2,0m/s e o módulo da
com ponente horizontal é 3,0m/s. Supondo-se que o corpo esteja
sujeito exclusivamente à ação da gravidade, de termine sua
energia cinética
a) no instante do lançamento;
b) no ponto mais alto da trajetória.
60
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61
16. (UFRN-MODELO ENEM) – Recentemente, foi anunciada a des -
co berta de um planeta extra-solar, com características seme lhan -
tes às da Terra. Nele, o módulo da aceleração da gravi dade nas
proximidades da sua superfície é aproximadamente 2g (g repre -
sen ta o módulo da aceleração da gravidade nas proximi dades da
Terra).
Quando comparada com a energia potencial gravitacional arma -
zenada por uma represa idêntica construída na Terra, a energia
potencial gravitacional de uma massa d’água armazenada numa
represa construída naquele planeta seria
a) um quarto. b) a metade. c) igual
d) o dobro. e) o quádruplo.
17. (UNIMONTES-MODELO ENEM) – As cachoeiras que aparecem
numa das fotos abaixo estão localizadas em Papua, Nova Guiné.
A maior delas tem 80 m de altura. Na outra foto, temos uma
refeição típica, servida a alunos de uma escola em Sapporo,
Japão. A refeição é composta de sopa de missô, espinafre e aipo
com pasta de amêndoa, natô (soja fermentada), arroz, leite, e
possui, ao todo, 621 kcal. Imagine, hipoteticamente, que toda a
energia contida nos alimentos pudesse ser integralmente
transformada em energia potencial de gravidade do estudante na
subida de uma montanha. 
Para ter energia suficiente para escalar a montanha até o topo da
maior das cachoeiras, o número mínimo de refeições que um
estudante de massa 70 kg deveria ingerir seria:
a) 1 b) 5 c) 10 d) 20 e) 50
18. (VUNESP-MODELO ENEM) – A bicicleta Freedom Mountain
Bike é fa bri cada em aço carbono e alumínio,o que a torna extre -
ma mente leve, apresentando massa de 8,5kg. É uma nova op ção
de transporte para ir ao trabalho, às compras e também para
exercícios e lazer. O gráfico mostra como varia a energia cinética
do conjunto ciclista e esta bicicleta em função do quadrado de sua
velocidade escalar.
Da análise do gráfico, pode-se determinar a massa do ciclista que,
em kg, tem valor igual a
a) 85,0 b) 72,5 c) 60,0 d) 51,5 e) 43,5 
19. (VUNESP-MODELO ENEM) – Veja esta tirinha de Bill Watterson.
Calvin, com seus 25kg, inicia a descida do alto de seu escorre ga -
dor de 2,0m de altura a partir do repouso, chegando ao nível do
chão com velocidade de mó dulo 4,0m/s. A energia mecânica
dissipada desde a partida até a chegada ao chão foi de:
a) 100J b) 150J c) 250J d) 300J e) 350J
Dado: g = 10m/s2
20. (UEPA-MODELO ENEM) – No caos diário que enfrentamos no
trânsito das grandes cidades, é comum ocorrerem colisões entre
veículos, principalmente devido à imprudência dos motoristas. Ao
dirigir em velocidades altas, o motorista coloca em risco sua vida
e a de outros. Quando um carro colide com outro que está parado,
a energia do choque é a sua energia cinética no momento da
colisão. Considere a energia envolvida numa colisão quando um
carro estava a 40km/h. De acordo com a Física, se o mesmo carro
colidir a 80km/h, a energia da colisão será:
a) 50% maior. b) o dobro.
c) três vezes maior d) quatro vezes maior.
e) cinco vezes maior.
21. (INATEL-MODELO ENEM) – Os gatos são mestres em acumular
energia potencial sobre os guarda-roupas, subindo neles. Durante
o salto para cima, sua energia cinética se converte em energia
potencial. Essa energia vai depender do gato (gordo ou magro) do
guarda-roupas (alto ou baixo) e do planeta onde o fenômeno se
dá. (GREF 1991 (v.1), p.95)
O valor da energia potencial acumulada pelo gato sobre o guar da-rou -
pas será maior quando
a) o gato é gordo, o guarda-roupas é baixo e o fenômeno ocor re na
Terra;
b) o gato é gordo, o guarda-roupas é alto e o fenômeno ocor re na
Lua;
c) o gato é magro, o guarda-roupas é baixo e o fenômeno ocor re na
Terra;
d) o gato é gordo, o guarda-roupas é alto e o fenômeno ocor re na
Terra;
e) o gato é magro, o guarda-roupas é baixo e o fenômeno ocor re na
Lua.
22. (FUVEST-MODELO ENEM) – No rótulo de uma lata de leite em
pó, lê-se:
“Valor energético: 1,5 . 103 kJ por 100 g”.
Se toda a energia armazenada em uma lata contendo 400g de
leite fosse utilizada para levantar um objeto de 10kg, a altura
máxima atingida seria de:
a) 25cm b) 15m c) 400m d) 2,0km e) 60km
Adote g = 10m/s2
Dados: 1kcal = 1000cal; 
g = 10m/s2; 
1cal = 4,2J
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7. Energia potencial 
elástica ou de deformação
A energia potencial elástica, ou de deformação, é
uma forma de energia mecânica armazenada em uma
mo la deformada ou em um elástico esticado. É, tipica -
mente, uma forma de energia latente que pode trans for -
mar-se em energia de movimento.
Para deduzirmos a expressão da energia elástica,
imaginemos uma mola comprimida.
Sendo x a deformação da mola, sabemos que a in ten -
sidade da força que a mola opõe à sua deformação é dada
por:
(Lei de Hooke)
em que k representa uma grandeza característica da mola
(ou do sistema elástico, se for o caso) denominada
“cons tante elástica”, que mede a rigidez da mola.
Para deformar a mola, um agente externo aplicou
uma força 
→
F, produzindo um deslocamento x e, portanto,
realizando um certo trabalho.
A força desenvolvida pelo agente externo é usada
para vencer a resistência que a mola opõe à sua defor -
mação e, portanto, tem intensidade kx.
O trabalho do agente externo corresponde à energia
mecânica que o agente transfere e fica armazenada na
mo la sob a forma de energia elástica.
Se quisermos saber a quantidade de energia elástica
armazenada, basta calcular o trabalho do agente ex ter no.
Para tal, construímos o dia grama da intensidade da força
aplicada 
→
F em função do deslocamento de seu ponto de
aplicação d.
O trabalho desenvolvido é medido pela área do
triângulo destacado na figura.
x . kx k x2
agente externo = –––––– = –––––2 2
Logo:
Notas
a) Sendo k > 0 e x2 ≥ 0, a energia potencial elástica
nunca será estritamente negativa.
b) Sendo Ep = f(x) uma função do 2.
o grau, o gráfico
de Ep em função de x terá a forma de um arco de
parábola.
Quando a pessoa comprime a mola, ela realiza um trabalho, armazenando
energia potencial elástica.
c) A unidade da constante elástica k pode ser escrita
de duas maneiras:
F = kx ⇒
E = ⇒
d) Observe que a força elástica F é a derivada da
energia potencial elástica com relação a x:
k x2 dE 2 k x
E = –––– ⇒ F = ––– = ––––– = kx
2 dx 2
Analogamente, a força de gravidade P é a derivada
da energia potencial de gravidade com relação à altura h:
dE
E = mgh ⇒ P = ––– = mg
dh
F = k x
k x2
Eelástica = 
agente externo = –––––2
u(k) = N/m
u(k) = J/m2
kx2
––––
2
62
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8. Energia mecânica total
A energia mecânica total Em é a soma das energias
cinética e potencial.
Cumpre salientar que o valor da energia mecânica
total depende do referencial e pode ser negativo, positivo
ou nulo.
9. Sistema de forças conservativo
Um sistema de forças é dito conservativo quando
ele não altera a energia mecânica do corpo ou sistema de
corpos sob a ação das forças que o constituem.
É relevante salientar o fato de que as energias po ten -
cial e cinética, em geral, variam e apenas a sua soma per -
manece constante.
Isto significa que a energia mecânica pode mudar de
forma, passando de potencial para cinética ou vice-versa,
porém o conteúdo total continua o mesmo, isto é, o que
perde de energia potencial o sistema ganha em energia
cinética ou vice-versa.
Em particular, para uma partícula sob a ação exclu -
siva do campo de gravidade da Terra, suposto uniforme,
temos:
m V2
Em = –––––– + m g H = constante2
Se a partícula estiver sob a ação de uma força elás -
tica, além da energia potencial de gravidade mgH, tam -
bém devemos computar a energia potencial elástica, da -
da por Ee = , em que k é a constante elástica da força 
e x o afastamento da posição de energia potencial nula.
Assim:
Exemplo
Consideremos uma pedra de massa 1,0kg aban do -
nada da janela de um edifício, de uma altura de 100m em
relação ao nível do chão.
Consideremos desprezíveis os efeitos do atrito com o
ar; adotemos o nível do chão como plano de referência e
façamos g = 10m/s2.
Mostramos, a seguir, uma tabela com valores da
energia potencial, cinética e mecânica da pedra desde o
instante em que foi abandonada até atingir o solo.
Apresentamos, a seguir, alguns sistemas conser -
vativos importantes.
A força de gravidade é um dos exemplos mais sig -
nificativos de força conservativa, isto é, incapaz de al -
terar a energia mecânica do corpo.
O corpo pode estar
a) em queda livre vertical;
b) subindo verticalmente;
c) em movimento balístico;
d) em órbita circular ou elíptica em torno do centro
da Terra.
Em = Ecin + Epot = constante
kx2––––
2
mV2 kx2Em = ––––– + mgH + ––––– = constante2 2
H
(altura)
Epot
(joule)
Ecin
(joule)
Em
(joule)
100 1000 0 1000
80 800 200 1000
60 600 400 1000
50 500 500 1000
40 400 600 1000
20 200 800 1000
0 0 1000 1000
Em = Ecinética + Epotencial
63
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A energia mecânica se conserva porque o peso P
→
é
uma força conservativa e a reação normal de apoio N
→
não
realiza trabalho por ser normal à trajetória do corpo.
A energia mecânica se conserva porque o peso P
→
é
uma força conservativa e a força 
→
T não realiza trabalho
por ser normal à trajetória da esfera.
Em uma máquina de Atwood ideal, cada bloco fica
sob ação exclusiva de seu peso P
→
e da força T
→
aplicada
pelo fio.
Indiquemos por 
→
TA e 
→
TB as forças que o fio aplica
aos blocos A e B.
A energia mecânica total do conjunto dos dois blocos
se conserva porque os pesos 
→
PA e 
→
PB são forças conser -
vativas e ostrabalhos de 
→
TA e 
→
TB têm módulos iguais e
sinais contrários, de modo que a sua soma é nula.
TA
= T . d ; 
TB
= – T . d ⇒
10. Gráficos de energias 
para um sistema conservativo
Consideremos um sistema de forças conservativo e
os gráficos das energias potencial (Ep) e cinética (Ec) em
função do tempo (t) ou em função de uma coordenada de
posição (x).
Como a soma Ep + Ec é constante, os gráficos serão
simétricos em relação a um eixo paralelo ao eixo dos tem -
 pos (ou das posições) e correspondente a uma energia igual
a , ou seja, metade da energia mecânica to tal.
E1 = Energia Cinética
E2 = Energia Potencial
Em = Energia Mecânica
TA
+ 
TB
= 0
mAVA
2 mBVB
2
––––––– + mAghA + ––––––– + mBghB = constante2 2
Ep + Ec
–––––––
2
64
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23. (UNICAMP) – O gráfico a seguir representa a intensidade da força
aplicada a uma mola em função de sua deformação.
a) Qual a constante elástica da mola?
b) Qual a energia elástica armazenada na mola para x = 0,5m?
Resolução
a) De acordo com a Lei de Hooke:
Para x = 0,50m, temos F = 12N.
Portanto: 12 = k . 0,5 ⇒
b) A energia elástica armazenada é dada por:
24
Ee = –—- (0,5)
2 (J) ⇒
2
Respostas: a) 24N/m
b) 3,0J
24. (MACKENZIE) – Um corpo de massa 0,50kg é abandonado do re -
pou so de uma posição A, comprimindo de 10cm uma mola
elástica ideal de constante elástica k = 2,0 . 103 N/m.
A mola se distende, o bloco se destaca da mola no ponto B e para
no ponto C.
No trecho AB não há atrito, porém no trecho BC existe atrito e o
coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o apoio vale 0,40.
Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.
A distância BC é igual a
a) 1,0m b) 2,0m c) 3,0m d) 4,0m e) 5,0m 
F = k x
k = 24 N/m
kx2
Ee = –––––2
Ee = 3,0 J
65
11. Sistemas não conservativos
Em um sistema de forças não conservativo, há varia -
ção da energia mecânica total.
Citemos alguns exemplos:
Quando há uma explosão, há libertação de energia
potencial química ou energia nuclear, havendo um au -
mento da energia mecâ ni ca.
Por exemplo: quando uma granada explode, os frag -
men tos adquirem grande quantidade de energia cinética,
havendo extraordinário aumento da energia mecânica do
sistema.
Nas colisões inelásticas, há diminuição da energia
mecânica do sistema, pois há transfor ma ção de energia
mecânica em térmica e sonora (provo can do aquecimento
e “barulho”) e ainda em trabalho nas de for mações per -
ma nentes.
Quando existem, no sistema, forças dissipativas, co mo
a força de resistência do ar, a força de atrito, a força vis co -
sa de líquidos, há diminuição da energia mecâ ni ca, com
a transformação, prin cipal mente, em energia térmica.
Quando o sistema físico está sujeito à ação de forças
externas que realizam trabalho sobre o sistema, a sua
ener gia mecânica pode variar, o que implica um sistema
não conservativo.
Exemplificando, quando empurramos um bloco para
cima em um plano inclinado com velocidade constante, a
energia mecânica do bloco aumenta e o sistema não é
conservativo.
12. Trabalho da força de atrito
Quando a força de atrito realiza trabalho negativo,
este corresponde à dissipação de energia mecânica em
térmica.
Se atuam em uma partícula forças conhecidas, 
→
F1, 
→
F2,
..., 
→
Fn, além da força de atrito, podemos escrever:
total = 
at + 
F1
+ 
F2
+ ... + 
Fn
Calculados os trabalhos das forças conhecidas, 
→
F1,→
F2, ..., 
→
Fn, e o trabalho total pelo teorema da energia
cinética (TEC), obtemos, da expressão an terior, o tra -
balho da força de atrito.
Se as forças 
→
F1, 
→
F2, ..., 
→
Fn forem forças mecânicas
conservativas, o trabalho do atrito é medido pela varia -
ção da energia mecânica da partícula.
at = �Emec
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 65
Resolução
A energia elástica armazenada na mola é transferida para o bloco
na forma de energia cinética:
kx2 2,0 . 103
EcinB
= —— = ———–— (0,10)2 (J) ⇒ EcinB
= 10J
2 2
No trecho BC, a energia cinética do bloco é transformada em
energia térmica pelo trabalho do atrito.
Aplicando-se o teorema da energia cinética entre os pontos B e C,
tem-se:
P + 
N + 
at = EcinC
– EcinB
Porém: 
P = 
N = 0, pois o peso 
→
P e a reação normal de apoio 
→
N
não realizam trabalho, por serem perpendiculares ao desloca men -
to 
→
BC.
EcinC = 0, pois o bloco para em C.
Portanto:
Fat . | 
⎯→
BC | . cos 180° = 0 – EcinB
�mg | 
⎯→
BC | (–1) = – EcinB
0,40 . 0,50 . 10 | 
⎯→
BC | = 10 ⇒
Resposta: E
25. Na figura 1, as molas elásticas estão ligadas em paralelo e sus -
tentando um bloco. Suponha que as molas elásticas sejam idên -
ticas e que sejam ligadas em série com o mesmo bloco suspenso
(fig. 2).
Indiquemos por E1 e E2 as energias elásticas armazenadas pelo
sis tema das duas molas, respectivamente, nas associações da
figura (1) e da figura (2).
Vale a relação:
a) E2 = b) E2 = c) E2 = E1
d) E2 = 2E1 e) E2 = 4E1
Resolução
Seja P o peso do bloco, k a constante elástica de cada mola e x a
respectiva deformação.
Para o equilíbrio do bloco, temos:
fig. (1): 1) 2 kx1 = P ⇒
k x
1
2
P P2
2) E1 = 2 ——- = k �——�
2
⇒
2 2k
fig. (2): 1) kx2 = P ⇒
k x
2
2
P
2) E2 = 2 ——- = k �——�
2
⇒
2 k
Comparando-se E2 e E1, temos: E2 = 4E1
Resposta: E
26. Na figura adiante, temos um tobogã sem atrito. Um corpo, assi -
milável a um ponto material, é abandonado a partir do repouso no
ponto A e desliza livremente no to bogã, atingindo o ponto B. A
ace leração de gravi da de local é cons tante e de módulo g.
Determine em fun ção de g e h o módulo da velo cidade do corpo
ao atingir o ponto B.
Resolução
Tomemos como plano de referência o plano horizontal que passa
pelo ponto B. Como não existe atrito, a energia mecânica do cor -
po permanecerá constante (sistema conservativo).
A energia mecânica do corpo no ponto A é exclusivamente po -
tencial, pois sua velocidade é nula; a energia mecânica do corpo
no ponto B é exclusivamente cinética, pois pertence ao plano
horizontal de referência.
EA = EB
m V
B
2
mgh = ––––––
2
V
B
2 = 2gh ⇒
Observe que a velocidade escalar de chegada a B é inde pen -
dente da massa do corpo e da forma da trajetória.
Para g constante, o módulo de velocidade de chegada é propor -
cional à raiz quadrada da altura inicial de partida.
27. (UFC) – No gráfico a seguir, estão representadas as energias me -
cânica (Em) e cinética (Ec), em função da altura relativa ao solo, cor -
res pondentes ao movimento de um projétil de massa m = 2,0kg,
lançado a partir da superfície de um planeta, isento de atmosfera.
Com base no gráfico, podemos dizer que o módulo da aceleração
da gravidade na superfície do planeta é igual a:
a) 2,0m/s2 b) 4,0m/s2 c) 6,0m/s2
d) 8,0m/s2 e) 10,0m/s2
Resolução
Para h1 = 4,0m, a energia potencial de gravidade é dada por:
Ep
1
= Em – Ec1
= 100 – 36 (J) ⇒
Usando-se a expressão da energia potencial de gravidade:
Ep1
= mgh
64 = 2,0 . g . 4,0 ⇒
Resposta: D
28. (UFPA-MODELO ENEM) – Nos Jogos dos Povos Indígenas,
even to que promove a integração de diferentes tribos com sua
cultura e esportes tradicionais, é realizada a competição de arco e
total = �Ecin
| 
⎯→
BC | = 5,0m
E1–––
4
E1–––
2
P
x1 = ——2k
P2
E1 = ——4k
P
x2 = ——k
P2
E2 = ——k
Ep
1
= 64J
VB = ����2gh
g = 8,0m/s2
66
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30. Um brinquedo é formado por uma mola elástica ideal con tida em
um cilindro posicionado verticalmente. Uma pequena esfera é
pressionada contra a mola de modo a travá-la com uma certa
deformação x. Quan do a mola é destravada, a esfera é arre mes -
sada verticalmente para cima, subindo a uma altura máxi ma H.
Despreze o efeito do ar. 
Se a deformação da mola passar a ser 2x, então a al tura máxima
que a esfera vai subir será:
a) b) c) H d) 2H e) 4H
H
––
2
H
––
4
67
flecha, na qual o atleta indígena tenta acertar com precisão um
determinado alvo. O sistema é constituído por um arco que, em
conjunto com uma flecha, é estendido até um determinado ponto,
onde a flechaé solta (figura abaixo), acelerando-se no decorrer de
sua trajetória até atingir o alvo.
Para essa situação, são feitas as seguintes afirmações:
I. A força exercida pela mão do atleta sobre o arco é igual, em
módulo, à força exercida pela outra mão do atleta sobre a
corda.
II. O trabalho realizado para distender a corda até o ponto C fica
armazenado sob forma de energia potencial elástica do con -
junto corda – arco.
III. A energia mecânica da flecha, em relação ao eixo CD, no
momento do lançamento, ao abandonar a corda, é
exclusivamente energia cinética.
IV. O trabalho realizado na penetração da flecha no alvo é igual à
variação da energia potencial gravitacional da flecha.
Estão corretas somente
a) I e II b) II e III c) I e IV
d) I, II e III e) II, III e IV
Resolução
I) VERDADEIRA
Para o equilíbrio do arco:
→
F1 + 
→
F2 = 
→
0 ⇒
→
F1 = –
→
F2
II) VERDADEIRA. Conservação da energia.
III) VERDADEIRA. Em relação ao eixo CD, a energia potencial
gravitacional é nula e toda a energia elástica é transformada
em cinética.
IV) FALSA. O trabalho realizado será dado pela variação da ener -
gia mecânica da flecha.
Resposta: D
29. (UFF-RJ-MODELO ENEM) – O salto com vara é, sem dúvida,
uma das disci plinas mais exigentes do atletismo. Em um único
salto, o atleta executa cerca de 23 mo vi mentos em menos de 2
segundos. Nas Olimpíadas de Atenas, a atleta russa Svetlana
Feofanova bateu o recorde feminino, saltando 4,88m.
A figura a seguir representa um atleta durante um salto com va ra,
em três instantes distintos.
Assinale a opção que melhor identifica os tipos de energia envol -
vidos em cada uma das situações I, II e III, respec tivamente.
Admita ser nula a energia potencial gravitacional quando o atleta
está no solo.
a) cinética – cinética e gravitacional – cinética e gra vitacional.
b) cinética e elástica – cinética, gravitacional e elástica – ciné tica
e gra vitacional.
c) cinética – cinética, gravitacional e elástica – cinética e gra -
vitacional.
d) cinética e elástica – cinética e elástica – gra vita cio nal.
e) cinética e elástica – cinética e gravitacional – gra vitacional.
Resolução
1) Quando o atleta está correndo no solo, a energia mecânica é
apenas cinética.
2) Na situação II, o atleta tem energia cinética e potencial gra -
vitacional e a vara vergada tem energia potencial elástica.
3) Na situação III, o atleta tem energia cinética e potencial gra -
vitacional.
Resposta: C
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31. (UNICAMP-SP) – Sensores de dimensões muito pequenas têm
sido aco plados a circuitos microeletrônicos. Um exemplo é um
medidor de aceleração que consiste de uma massa m presa a
uma micromola de constante elástica k. Quan do o conjunto é
submetido a uma aceleração →a, a mi cromola se deforma, apli -
cando uma força 
→
Fel na massa (ver diagrama abaixo). O gráfico
abaixo do diagrama mostra o módulo da força aplicada versus a
defor mação de uma micromola utilizada num medidor de acele -
ração.
a) Qual é a constante elástica k da micromola?
b) Qual é a energia necessária para produzir uma com pressão de
0,10�m na micromola?
c) O medidor de aceleração foi dimensionado de forma que essa
micromola sofra uma deformação de 0,50 �m quando a
massa tem uma aceleração de mó dulo igual a 25 vezes o da
aceleração da gra vi dade. Qual é o valor da massa m ligada à
micromola? 
32. (UFMG) – Observe o perfil de uma montanha russa repre sen tado
nesta figura:
Um carrinho é solto do ponto M, passa pelos pontos N e P e só
con se gue chegar até o ponto Q.
Suponha que a superfície dos trilhos apresenta as mesmas
caracterís ticas em toda a sua extensão.
Sejam ECN e ECP as energias cinéticas do carrinho,
respectivamente, nos pontos N e P e ETP e ETQ as energias
mecânicas totais do carrinho, também respectivamente, nos
pontos P e Q.
Considerando-se essas informações, é correto afirmar que 
a) ECN = ECP e ETP = ETQ b) ECN = ECP e ETP > ETQ
c) ECN > ECP e ETP = ETQ d) ECN > ECP e ETP > ETQ
33. (UNIP-SP) – Uma pessoa de bicicleta sobe uma rampa inclinada
de 30° com velocidade de módulo constante.
Durante a subida,
a) a energia mecânica da pessoa permanecerá constante.
b) a energia potencial de gravidade da pessoa permanecerá
constante.
c) a energia cinética da pessoa vai diminuindo.
d) a energia cinética da pessoa vai aumentando.
e) a energia mecânica da pessoa vai aumentando.
34. (UERJ) – A probabilidade de uma pessoa ma chucar-se em uma
montanha russa é de uma em 6 mi lhões. Mesmo assim, alguns
especialistas vêem a diversão com grande preocupação. Uma
delas é que no princípio de algumas subidas, quando a veloci dade
do carro é alta, algumas pessoas poderiam des maiar.
(Adaptado de Veja on-line, 17/07/2002)
Considere o esquema da montanha russa abaixo.
O ponto em que o risco apontado no texto atinge o máximo é o
de número:
a) I b) II c) III d) IV
35. (UNESP) – O bungee jump é um esporte radical bastante pratica -
do no mundo inteiro e também conhecido como “iôiô hu mano”.
A altura de um certo bungee jump é de 40 me tros, e o praticante
desce por cerca de 11 m em queda livre. Supondo-se que a
massa da corda elástica utilizada nestes saltos seja desprezível e
considerando-se que um atleta, com 60 kg, tenha partido do
repouso, determine o tempo de queda livre, desprezando-se a
resistência do ar. Calcule a variação das energias potencial gravita -
cional e cinética, sofridas pelo esportista, durante esse inter valo
de tempo. Adote g = 10 m/s2.
36. (UNICAMP) – Que altura é possível atingir em um salto com
vara? Essa pergunta retorna sempre que ocorre um gran de
evento esportivo, como os jogos olímpicos. No salto com vara,
um atleta conver te sua energia cinética obtida na corrida em
energia po tencial elástica (flexão da vara), que por sua vez se
converte em energia potencial gravitacional. Imagine um atleta
com mas sa de 80kg que atinge uma velo cidade horizontal de
módulo 10m/s no instante em que a vara co meça a ser flexionada
para o salto.
a) Qual é a máxima variação possível da altura do cen tro de
massa do atleta, supondo-se que, ao transpor a barra, sua
velocidade seja praticamente nula?
b) Considerando-se que o atleta inicia o salto em pé e ul trapas sa
a barra com o corpo na horizontal, de vemos somar a altu ra
inicial do centro de massa do atleta à altura obtida no item
anterior para obtermos o limite de altura de um salto. Faça
uma estimativa desse limite para um atleta de 2,0m de altura.
68
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 68
69
c) Um atleta com os mesmos 2,0m de altura e massa de 60kg
poderia saltar mais alto? Justifique sua res posta, admitindo-se
que a velocidade horizontal seja a mesma (10m/s).
37. (UNIP-SP) – Uma pedra é lançada horizontal mente da janela de
um prédio em um local onde o efeito do ar é desprezível.
No instante do lançamento, a pedra tem energia po tencial de
300J e energia cinética de 100J, em relação ao solo.
No instante em que a intensidade da velocidade da pe dra for duas
vezes maior do que a intensidade da velocidade de lançamento,
então
a) a energia potencial da pedra valerá 200J.
b) a energia cinética da pedra valerá 200J.
c) a pedra estará chegando ao solo.
d) a energia cinética da pedra será nula.
e) a energia mecânica da pedra valerá 300J.
38. (UDESC) – O gráfico abaixo representa a energia cinética de uma
partícula de massa 80g, sujeita somente a forças con ser vativas,
em função da sua posição x. A energia mecânica da partícula é de
450 J.
a) Determine a energia potencial da partícula para x = 2,0m.
b) Calcule o módulo da velocidade da partícula para x = 6,0m.
c) Determine a velocidade escalar máxima da partícula.
d) Determine os pontos em que a partícula tem velocidade nula.
39. (UFAM) – Uma partícula de massa m = 10 g mo ve-se ao longo do
eixo x, sob a ação de forças conser vativas, com energia mecânica
total igual a 50J. O gráfico representa a energia cinética da
partícula em cada ponto de sua trajetória, em função da distância
(x). Com relação a esta partícula, podemosafirmar:
a) Em x = 0, sua energia mecânica total é de 25J.
b) Em x = 1m, sua energia potencial é nula.
c) Em x = 3m, sua velocidade é nula.
d) Em x = 3m, sua velocidade tem módulo igual a 50 m/s.
e) Em x = 1m, sua energia potencial é de 50J.
40. (OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – Estan -
do em um “playground”, você e seu ami go brin cam em um
escorregador sem atrito. Sua massa é de 75kg, enquanto a de seu
ami go é 25kg. Suponha que ambos começam a des lizar no
escorre gador ao mesmo tempo, par tindo do re pou so. Qual das
afirma ções seguin tes explica melhor quem terá a maior ve lo ci -
dade escalar final?
a) Ambos terão a mesma velocidade escalar final.
b) Seu amigo, porque ele não pressiona a su perfície do
escorregador como você, visto que tem menor massa.
c) Você, pois é mais pesado do que ele, o que re sulta numa
maior aceleração.
d) Seu amigo, pois objetos mais leves são facil mente acelerados.
e) Você, porque seu tempo de deslizamento pelo escor re gador é
menor.
41. (VUNESP-MODELO ENEM) – Supondo que Miguelito passe pelo
ponto mais baixo com uma velocidade de módulo 14,4 km/h, a
máxima altura que ele poderá alcançar com sua balança,
relativamente a esse ponto, é, em cm, de
a) 80 b) 72 c) 68 d) 54 e) 50 
Dado: g = 10 m/s2 e despreze o efeito do ar
(Quino, Toda Mafalda)
42. (CESGRANRIO-UNIFICADO-RJ-MODELO ENEM) – O Beach
Park, localizado em Fortaleza-CE, é o maior parque aquático da
América Latina situado na beira do mar. Uma de suas principais
atrações é um toboágua chamado “Insano”. Descendo esse
toboágua, uma pessoa atinge sua parte mais baixa com
velocidade de módulo 28m/s. Consi de rando-se a aceleração da
gra vidade com módulo g = 9,8m/s2 e des prezando-se os atritos,
conclui-se que a altura do toboágua, em metros, é de:
a) 40 b) 38 c) 37 d) 32 e) 28
43. (VUNESP-MODELO ENEM) – Os veículos de combustão interna
deverão ser remodelados para atender à expectativa de “salva -
mento” do planeta. Nesse sentido, já estão sendo construídos
veículos híbridos, movidos por combustão e por eletricidade. A ele -
tricidade é provida por meio de geradores que, conectados aos
eixos das rodas, convertem a energia do movimento do carro nos
momentos em que o motor não realiza esforço, como nos de clives.
Supondo-se que o reaproveitamento seja de 80%, a energia que
um híbrido de 900 kg, que já se movimentava com velocidade de
módulo 20 m/s, consegue converter durante uma descida que o
leva a 50 m abaixo do ponto de partida é, em kJ, aproxi madamente,
a) 630 b) 504 c) 450 d) 366 e) 180 
Dado: g = 10 m/s2
44. (VUNESP-MODELO ENEM) – Quando surgiu, a bicicleta não era
muito mais que uma estrutura de madeira com duas rodas. Não
pos suía freios nem pedais e seu funcionamento dava-se por
empurrões no chão com os pés de quem a conduzia. Vantagem
mesmo era descer uma ladeira com a engenhoca! De fato, com
uma bicicleta, a partir do repouso, se você descer uma ladeira de
desnível 5m, sem utilizar os pedais ou freios, a máxima
velocidade que poderá ser atingida, em m/s, será
a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 15
Dado: g = 10m/s2 e o atrito e o efeito do ar são desprezíveis.
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45. (VUNESP-MODELO ENEM) – Veja esta tirinha:
(Quino, Gente en su sitio. Adaptado)
Sendo 3,2m a altura entre os pisos superior e inferior, o módulo da velocidade de chegada ao piso inferior, ao se utilizar o escorregador, é, em
m/s,
a) 8,0m/s b) 6,0m/s c) 4,0m/s d) 2,0m/s e) 1,0m/s 
Considerar o módulo da aceleração da gravidade, g = 10,0m/s2 e ausentes quaisquer ações dissipativas.
70
46. (UNIFICADO-RJ) – Um corpo é lançado verticalmente para cima. 
Desprezando-se a resistência do ar, construa os gráficos das ener -
gias cinética, potencial e mecânica do corpo em função da altura
h, relativa ao solo.
Considere o plano de referência para medir a energia potencial de
gravidade fixo no solo horizontal.
Resolução
1. A energia mecânica total Em permanece constante, pois o
corpo está sob ação exclusiva de seu peso, que é uma força
conservativa.
2. A energia potencial de gravidade Ep é função proporcional da
altura h : Ep = mgh.
3. A energia cinética Ec é dada por:
Ec = Em – Ep = Em – mgh
Observe que os gráficos de Ec e Ep são simétricos em relação a
uma reta paralela ao eixo das alturas e correspondente à me ta de
da energia mecânica total ( ).
47. (VUNESP-MODELO ENEM) – Numa partida de tênis, o jogador
que está sacando põe a bola em jogo elevando-a a uma altura de
2,2m em relação ao chão e imprimindo-lhe uma velocidade inicial
horizontal de módulo 108km/h, assim que acaba de perder o con -
tato com a raquete. Desprezando-se o efeito do ar, o mó dulo da
velocidade da bola ao tocar o chão, do outro lado da quadra, é
a) menor que 20m/s b) entre 20 e 25m/s
c) entre 25 e 30m/s d) igual a 30m/s
e) maior que 30m/s
Resolução
A energia mecânica da bola vai conservar-se:
(ref. em B)
= + mgH
VB
2 = V0
2 + 2gH ⇒ VB = V0
2 + 2gH
VB > V0 ⇒
Resposta: E
48. (UFJF-MG-MODELO ENEM) – Em uma estação ferroviária, exis -
 te uma mola destinada a parar sem dano o movi mento de
locomotivas. Admitindo-se que a loco mo tiva a ser parada tem
velocidade escalar de 7,2km/h, mas sa de 7,0 . 104kg, e a mola
sofre uma defor ma ção de 1,0m, qual deve ser a constante
elástica da mola? Admita que na colisão não haja dissipação de
energia mecânica.
a) 2,8 . 105 N/m b) 3,62 . 106 N/m c) 2,8 . 105 J
d) 3,62 . 106 W e) 3,62 . 106 J
mgH
–––––
2
EB = EA
mVB
2
––––
2
mV0
2
––––
2
VB > 30m/s
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 70
Resolução
A energia cinética da locomotiva vai transformar-se em ener gia
potencial elástica da mola.
= 
k = = . (2,0)2 (SI) ⇒
Resposta: A
49. (FUVEST) – Dois móveis, A e B, são abandonados simul ta nea -
mente de uma altura h acima do solo. O móvel A cai em que da
livre e o móvel B escorrega por um plano inclinado sem atrito.
Podemos afirmar que
a) A atinge o solo ao mesmo tempo que B e com velocidade
maior do que B.
b) A atinge o solo ao mesmo tempo que B e com velocidade
menor do que B.
c) A atinge o solo ao mesmo tempo que B e com velocidade de
módulo igual ao da de B.
d) A atinge o solo antes de B e com velocidade de módulo igual
ao da de B.
e) A atinge o solo antes de B e com velocidade maior que a de
B.
Resolução
A velocidade de chegada ao chão tem seu módulo calculado pela
conservação da energia mecânica.
m V
f
2
mgh = ––––––
2
Logo: e, para o mesmo h, a velocidade final terá o 
mesmo módulo: VA = VB.
Na queda vertical, o tempo de queda é dado por:
V = V0 + � t ⇒ ����2gh = 0 + gtA ⇒
Na queda no plano inclinado, temos:
V = V0 + � t ⇒ ����2gh = 0 + g sen � tB 
tB = 
Sendo sen � < 1, temos: tB > tA.
Resposta: D
50. De uma mesma altura são lançados, simultaneamente, três pon -
tos materiais, A, B e C, com velocidades de mesmo módulo, po -
rém em direções diferentes. O ponto material A é lançado verti -
calmente para baixo, o ponto B verticalmente para cima e o ponto
C horizontalmente, como sugere a figura. Despreza-se a resis -
tência do ar e admite-se o campo de gravidade uniforme.
Qual dos pontos materiais chegará ao chão com o maior módulo
de velocidade? Justifique.
Resolução
Como desprezamos a resistência do ar, a energia mecânica de ca -
da ponto material permanecerá constante (sistema conservativo).
Adotando-se como plano de referência o plano do chão, teremos:
mV2 mV
0
2
––––– = ––––– + mgH
2 2
Observe que, no ato de lançamento, o ponto material possui
energia potencial e cinética, porém, ao atingir o chão, a energia
potencial vale zero.
Segue-se que: V2 = V
0
2 + 2gH
Logo: 
Como g é constante e para todos os pontos materiais temos o
mesmo V0 e o mesmo H (altura de partida), todos os pontos ma -
te riais chegarão ao chão com o mesmo módulo de velocidade:
Observe que a conclusão apresentada independe da massa dos
pontos materiais, que poderão ser iguais entre si ou diferentes.
Observe ainda que os movimentos verticais dos três pontos ma -
te riais são diferentes, pois, embora a aceleração verticalseja a
mesma ( →g ), as velocidades iniciais, segundo a vertical, são
diferentes. Isto acarreta uma diferença nos tempos de queda. Os
tempos de queda dos três pontos materiais são diferentes.
51. Na figura, M é um bloco de madeira de massa 1,0kg que cai, em
queda livre, a partir do repouso, de uma altura de 1,0m sobre uma
mola elás tica de massa desprezível, com pri mindo-a de 10cm. A
massa da plataforma, os atritos e a perda de ener gia mecânica na
colisão são desprezíveis.
A aceleração da gravidade local é constante e de in tensidade igual
a 10m/s2.
A constante elástica da mola, medida em unida des SI (N/m), vale:
a) 2,0 . 103 b) 2,2 . 103 c) 3,7 . 103
d) 4,2 . 103 e) 3,3 . 103
2h
tA = ��––––g
1
––––––
sen �
2h��–––g
V = ����� V02 + 2gH
VA = VB = VC
Einicial = Efinal
Vf = ����2gh
m V2
–––––
2
k x2
–––––
2
m V2
–––––
x2
7,0 . 104
–––––––––
(1,0)2
k = 2,8 . 105 N/m
71
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72
Resolução
Usando-se a conservação da energia mecânica entre A e B (ponto
de compressão máxima), temos:
Kx
máx
2
–––––– = mg (H + xmáx)2
K
––– (0,10)2 = 1,0 . 10 . 1,1
2
K . 10–2 = 22 ⇒
Resposta: B
52. (VUNESP) – Um bloco de massa m encontra-se em repouso
sobre uma plataforma horizontal e preso, como mostra a figura, a
uma mola de massa desprezível que não está distendida nem
com primida.
Quando a plataforma é puxada rapidamente para baixo, o bloco cai
e estica a mola. Despreze perdas de energia mecânica. Se g é o
módulo da aceleração da gravidade e k a constante elástica da
mola, a máxima distensão que a mola sofrerá será dada por:
mg mg 2mg
a) –––– b) –––– c) ––––
2k k k
d) e)
Resolução
O bloco parte do repouso (ponto A) e estará novamente em re pou -
so (ponto B) quando a mola atingir seu alongamento máximo d.
Usando-se a conservação da energia
mecânica entre as posições A e B, temos:
(Referência em B)
kd2
–––– = mgd
2
Resposta: C
53. No esquema da figura, temos uma Máquina de Atwood ideal (polia
e fio têm massas desprezíveis) em que o blo co A tem massa M e
o bloco B tem massa m, sendo M > m.
A aceleração local da gravidade tem módulo igual a g e despreza-se
o efeito do ar.
O sistema é abandonado do repou so com a configuração indicada
na figura.
Seja V o módulo da velocidade dos blocos, quando o bloco A esti -
ver chegando ao solo.
Assinale a opção que traduz a con ser vação da energia mecânica
do sis tema formado pelos blocos A e B.
MV2
a) MgH = –––––
2
(M + m)V2
b) MgH = ––––––––––
2
(M + m) V2
c) MgH = mgH + –––––––––––
2
mV2
d) MgH = mgH + –––––
2
mV2
e) MgH = –––––
2
Resolução
Para um referencial fixo no solo, usando-se a conservação da
ener gia mecânica do sistema (A + B), obtemos:
(M + m)
mg2H + –––––––– V2 = (M + m) g H
2
(M + m)
2mgH + –––––––– V2 = MgH + mgH
2
Resposta: C
EB = EA
2mg
d = –––––
k
Efinal = Einicial
(M + m)
MgH = mgH + –––––––– V2
2
mg��–––k���mg––––––k
EB = EA
K = 2,2 . 103N/m
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 72
54. Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir do solo
terrestre, tomado como referencial, numa região onde a
resistência do ar é desprezível.
O gráfico a seguir representa as energias cinética, potencial e
mecânica total do projétil em função da altura h do projétil acima
do solo.
a) Faça a correspondência entre os gráficos A, B e C e as ener -
gias potencial, cinética e mecânica do projétil.
b) Determine a massa do projétil.
c) Determine o módulo da velocidade inicial do projétil.
Adote g = 10,0m/s2.
55. (UERJ) – Um corpo cai em direção à Terra, a partir do repouso, no
instante t = 0.
Observe os gráficos abaixo, nos quais são apresen tadas dife -
rentes variações das energias potencial (Ep) e cinética (Ec) deste
corpo, em função do tempo.
O gráfico energia x tempo que representa melhor a variação das
duas grandezas descritas é o de número:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
56. (VUNESP-FAMECA-SP) – Uma bola, de massa 1,0kg, é lançada
verticalmente para baixo, de uma altura de 100 m, com velocidade
de módulo 10���5 m/s, rebatendo no solo e tornando a subir a uma
altura de 45 m. Desprezando-se o atrito do ar e considerando-se
g = 10 m/s2, determine
a) o módulo da velocidade com que a bola chega ao solo;
b) a energia mecânica dissipada no contato com o solo.
57. De uma janela que se encontra a uma altura y0 = 4,0m acima do
solo horizontal, uma esferinha é lançada obliquamente com
velocidade de módulo 6,0m/s.
A esferinha tem massa de 0,50kg e sobe até uma altura máxima
de 1,0m acima da janela.
O efeito do ar é desprezível e adota-se g = 10,0m/s2. 
O gráfico a seguir representa a trajetória parabólica da esferinha
desde seu lançamento até atingir o solo em D.
Determine
a) o módulo da velocidade da esferinha ao passar pela posição B;
b) o módulo da velocidade da esferinha ao passar pelo ponto C e
ao chegar ao solo em D;
c) o trabalho realizado pelo peso da esferinha entre as posições
A (lançamento) e D (chegada ao solo).
58. (UNESP) – Um bloco sobe uma rampa
desli zando sem atrito, em movimento
uniforme mente retardado, exclusiva -
men te sob a ação da força da gra -
vidade e da força do apoio, conforme
mostrado na figura.
Ele parte do solo no instante t = 0 e
che ga ao ponto mais alto em 1,2s. O
módulo da velocidade em fun ção do tempo é apresentado no
gráfico.
Considerando-se g = 10,0m/s2, a altura em que o bloco se
encontrava em t = 0,4s era
a) 0,5m b) 1,0m c) 1,6m d) 2,5m e) 3,2m 
59. (UESPI) – Uma partícula de massa m é aban donada a partir do
repouso do topo (ponto A da figura) de uma superfície circular de
raio R. O ponto A é situado a uma altura h em relação ao solo. A
partícula desliza sem atrito ao longo de toda a su perfície circular.
A partir do ponto B (ponto mais baixo da superfície circular), a
partícula é lançada em que da livre até atingir o solo no ponto C,
como ilus trado na figura. 
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74
A velocidade na posição B é horizontal. A aceleração da gravidade
no local é →g, e O é a origem do sistema de coordenadas x-y. Para
tal situação, qual é o valor do alcance OC (posição que a partícula
toca o solo)?
a) h/2 b) R c) �������2R(h – R)
d) 2 �������R(h – R) e) �������h(h – R)/2
60. (UFAM) – Uma bolinha de massa m é aban donada no ponto A de
um trilho, a uma altura H do solo, e descreve a trajetória ABCD
indicada na figura abaixo. A bolinha passa pelo ponto mais elevado
da trajetória parabólica (BCD), a uma altura h do solo, com
velocidade cujo módulo vale VC = 10m/s e atinge o solo no ponto
D com velocidade de módulo igual a VD = 20m/s. Podemos afir -
mar que as alturas referidas no texto valem:
a) H = 19m; h = 15m. b) H = 18m; h = 10m.
c) H = 20m; h = 4m. d) H = 12m; h = 8m.
e) H = 20m; h = 15m.
(Adote g = 10m/s2 e despreze os atritos e o efeito do ar.)
61. (FUVEST-SP) – Um corpo de massa m é lançado com velocidade
inicial 
→
V0 na parte horizontal de uma ram pa, como indicado na
figura. Ao atingir o ponto A, ele abandona a rampa, com uma
velocidade 
→
VA (VAx, VAy), segue uma trajetória que passa pelo
ponto de máxima altura B e retorna à rampa no ponto C. Despreze
o atrito. Sejam hA, hB e hC as alturas dos pontos A, B e C,
respectivamente, 
→
VB (VBx, VBy) a ve lo cidade do corpo no ponto B
e 
→
VC (VCx, VCy) a velocidade do corpo no ponto C. 
Considere as afirmações:
I. V0 =VAx = VB = VCx
II. VAx =VB = VCx
III. (1/2) m VB
2 = (1/2) m VA
2 – m g (hB – hA)
IV. (1/2) m V0
2 = m g hB
V. (1/2) m VAy
2 = m g (hB – hA)
São corretas:
a) todas as afirmações. b) somente I e II.
c) somente II, III e IV. d) somente II, III, IV e V.
e) somente II, III e V.
62. (FATEC-SP) – Um bloco de massa 0,60kg é abandonado, a partir
do repouso, no ponto A de uma pista no plano vertical. O ponto
A está a 2,0m de altura da base da pista, onde está fixa uma
mola de constante elástica 150N/m. São desprezíveis os efei tos
do atrito e adota-se g = 10m/s2.
A máxima compressão da mola vale,
a) 0,80m b) 0,40m c) 0,20m d) 0,10m e) 0,05m
63. (UFPE) – Uma bolinhade massa 0,1kg está conectada a uma
mola ideal de constante elástica igual a 180N/m, como mostrado
na figura. A bolinha é largada, a partir do repouso, quando a
distensão da mola vale 10cm. Calcule o módulo da velocidade da
bolinha, em m/s, no instante em que ela passa pelo ponto onde
a mola não está nem distendida nem comprimida. Considere que
a bolinha se move ao longo de um tubo vertical de vidro sem
atrito. Despreze o efeito do ar e adote g = 10m/s2.
64. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da
gravidade é constante, um conjunto de partículas parte simul -
tanea men te, no instante t = 0, de uma mesma altura H acima do
solo horizontal com as velocidades iniciais indicadas na figura.
Indiquemos por Ti o tempo gasto para chegar ao solo e por Vi o
módulo da velocidade com que a partícula chega ao solo. O índice
i vai identificar a partícula.
Assinale a opção correta.
a) TD < TA = TB < TC = TE b) TA < TB < TC < TD < TE
VA < VB = VC = VD < VE VA < VB = VC = VD = VE
c) TD < TA = TB < TC = TE d) TA = TB < TC = TD < TE
VA < VB = VD < VC < VE VA < VB = VC = VD < VE
e) TA = TB = TC = TD = TE
VA = VB = VC = VD = VE
65. (FEI-SP) – Um elevador de massa 600kg, com 5 pessoas dentro
com 80kg cada uma, despencou de uma altura de 19,5m. O
sistema de freios não funcionou e os atritos eram desprezíveis.
Ao chegar ao solo, a compressão máxima da mola que amortece
o choque foi de 0,5m. Qual é, aproximadamente, a constante
elástica da mola? Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.
a) 6,0 . 102 kN/m b) 8,0 . 102 kN/m
c) 1,0 . 103 kN/m d) 1,2 . 103 kN/m
e) 1,6 . 103 kN/m
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66. (FATEC-SP) – O cientista inglês Robert Hooke estudou as mais
diversas áreas da ciência. Realizou trabalhos científicos com
Boyle, Newton e Huygens, por exemplo. Na Física, foi respon -
sável por descrever a deformação de materiais elásticos e sua
relação com a força.
Em um de seus experimentos, soltou de uma altura de 3,0 me -
tros, em relação ao solo, uma esfera de massa 70 kg sobre uma
cama elástica de circo. A cama elástica sofreu uma deformação
de 50 cm, conforme mostra a figura a seguir. Dado: g = 10m/s2
Supondo-se que haja conservação de energia mecânica em
qualquer instante e que a cama elástica se deforme uniforme -
mente, o valor da constante elástica da cama é, em N/m, de
a) 1,96 . 104 b) 1,6 . 104 c) 1,4 . 104
d) 1,1 . 104 e) 8,4 . 103
67. (UNIRIO) – Dois corpos, A (mA = 3,0kg) e B (mB = 2,0kg), pos suem
dimensões despre zíveis. Os corpos A e B estão interli gados por
uma corda inex tensível e de massa desprezível que passa por uma
polia ideal, como mostra a figura abaixo. 
Os corpos inicialmente estão em repouso. Considerando-se 
g = 10m/s2 e que não existam forças dissipativas, determine
a) a energia mecânica inicial do sistema, para um re ferencial fixo no
solo;
b) o módulo da velocidade com que o corpo A chega ao solo.
68. Os blocos A e B, representados na figura abaixo, estão inicial -
mente em repouso, têm massas M e m, respectivamente, e
estão ligados por um fio inexten sível de massa desprezível. 
Sabendo-se que não existe atrito entre o bloco A e a mesa, que a
massa da polia e a resistência do ar são desprezíveis e que a
aceleração da gravidade no local tem módulo g, é correto afirmar
que, quando o bloco B tiver percorrido a altura h (imediatamente
antes da colisão com o chão), a energia cinética do bloco A é
expressa por:
a) Mgh b)
c) d)
e) Mgh
69. (UFRJ) – O sistema ilustrado na figura abaixo é uma Máquina de
Atwood. A roldana tem massa despre zí vel e gira livremente em
torno de um eixo fixo per pen dicular ao plano da figura, passando
pelo centro geométrico da roldana.
Uma das massas vale m e a outra, 2m. O sistema en contra-se
inicialmente na situação ilustrada pela figura (a), isto é, com os
corpos A e B no mesmo ní vel. O sistema é então abandonado a
partir do re pouso e, após um certo intervalo de tempo, a dis tância
vertical entre as massas é h, figura (b).
O módulo da velocidade de cada um dos corpos (A e B) na
situação mostrada na figura (b) vale: 
a) b) c) ���g h
d) ���2gh e) 2 ���g h
Despreze o efeito do ar. A aceleração da gravidade tem módulo g.
Questões 70 e 71.
Na figura abaixo, está esquematizado um tipo de usi -
na utilizada na geração de eletricidade.
70. Analisando-se o esquema, é possível identificar que se tra ta de
uma usina
a) hidroelétrica, porque a água corrente baixa a tempe ratura da
turbina.
b) hidroelétrica, porque a usina faz uso da energia cinéti ca da
água.
c) termoelétrica, porque no movimento das turbinas ocorre
aquecimento.
d) eólica, porque a turbina é movida pelo movimento da água.
e) nuclear, porque a energia é obtida do núcleo das mo léculas de
água.
gMmh
–––––––
(M + m)
1
–––
2
1
–––
2
gMmh
–––––––
(M + m)
2gMmh
–––––––
(M + m)
g h
–––
2
g h
–––
3
75
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 75
75. (FUVEST) – A figura representa um plano inclinado CD. Um pe -
queno corpo é abandonado em C, desliza sem atrito pelo plano e
cai livremente a partir de D, atingindo finalmente o solo. Des pre -
zando-se a resistência do ar, determine
a) o módulo da aceleração a do corpo, no trecho CD, em m/s2.
Use para o módulo da aceleração da gravidade o valor 
g = 10m/s2;
b) o valor do módulo da velocidade do corpo, imediatamente
antes de ele atingir o solo, em m/s;
c) o valor da componente horizontal da velocidade do corpo, ime -
diatamente antes de ele atingir o solo, em m/s.
Resolução
a) No trecho CD, a força resultante no corpo é a componente tan -
gencial de seu peso.
Aplicando-se a 2.a Lei de Newton, obtemos:
Pt = m a
m g sen � = m a
Por Pitágoras, obtemos 
–––
CD = 5,0m
No triângulo ACD, temos:
a = g sen �
76
71. No processo de obtenção de eletricidade, ocorrem vá rias trans -
formações de energia. Considere duas delas:
I. cinética em elétrica 
II. potencial gravitacional em cinética
Analisando-se o esquema, é possível identificar que elas se en -
con tram, respectivamente, entre
a) I – a água no nível h e a turbina, II – o gerador e a tor re de
dis tri buição.
b) I – a água no nível h e a turbina, II – a turbina e o ge rador.
c) I – a turbina e o gerador, II – a turbina e o gerador.
d) I – a turbina e o gerador, II – a água no nível h e a tur bina.
e) I – o gerador e a torre de distribuição, II – a água no nível h
e a turbina.
72. (UFRRJ-MODELO ENEM) – Nos momentos de lazer, nos
parques de diversões, frequentemente vemos famílias inteiras
divertindo-se nos mais variados brinquedos. Um dos que mais
chamam a atenção é a montanha russa. Observe o esquema a
seguir.
Neste pequeno trecho, o carrinho da montanha russa passa pelo
ponto A com velocidade de módulo 54 km/h. As alturas ha e hb
valem, respectivamente, 15 metros e 25 metros. Desconside -
rando-se toda e qualquer forma de atrito, o módulo da velocidade
com que o carrinho atingirá o ponto B será de 
a) 12 km/h b) 18 km/h c) 21 km/h
d) 24 km/h e) 31 km/h
Adote g = 10 m/s2
73. (PUC-SP-MODELO ENEM) – A figura mostra o perfil de uma
mon tanha russa de um parque de diversões.
O carrinho é levado até o ponto mais alto por uma esteira, atin -
gindo o ponto A com velocidade que pode ser considerada nula.
A partir desse ponto, inicia seu movimento e ao passar pelo ponto
B sua velocidade tem módulo igual a 10 m/s. Considerando-se a
massa do conjunto carrinho+passageiros como 400 kg, pode-se
afirmar que o módulo da energia mecânica dissipada pelo sistema
foi de (dado g = 10m/s2)
a) 96kJ b) 60kJ c) 36kJ d) 9,6kJ e) 6,0kJ
74. (UNESP-MODELO ENEM) – Em um centro de treinamento, dois
paraquedistas, M e N, partindo do repouso, descem de uma
plataforma horizontal agarrados a roldanas que rolam sobre dois
cabos de aço. M segura-se na roldana que se desloca do ponto A
ao ponto B e N, na que se desloca do ponto C ao D. A distância
CD é o dobro da distância AB e os pontos B e D estão à mesma
altura em relação ao solo. Ao chegarem a B e D, respectivamente,
com os pés próximos ao solo horizontal, eles sesoltam das
roldanas e procuram correr e se equilibrar para não cair, tal como
se estivessem chegando ao solo de paraquedas.
Desprezando-se perdas por atrito com o ar e nas roldanas, a razão
entre os módulos das velocidades finais de M e N, no momento
em que se soltam das roldanas nos pontos B e D, vale
a) ��2 /2 b) 1 c) ��2 d) 2 e) 2 ��2
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 76
3
sen � = ––– = 0,60
5
Portanto: a = 10 . 0,60 (m/s2) ⇒
b) Como não há atrito nem resistência do ar, o sistema de forças
é conservativo e, portanto:
(referência em B)
m V
B
2
–––––– = m g H
2
VB = ���� 2 g H = ������2 . 10 . 6,0 (m/s)
c) A partir do ponto D, a única força atuante no corpo é o seu
peso (força vertical) e, portanto, a partir do ponto D, a veloci -
dade horizontal do corpo permanece constante:
(I)
Para obter o módulo da velocidade em D, podemos usar a con -
servação da energia mecânica de C para D ou a Equação de
Torricelli.
(referência em D)
mV
D
2
–––––– = m g h
2
VD = ���� 2 g H = ������ 2 . 10 . 3,0 (m/s) ⇒ VD = ���60 m/s (II)
Substituindo-se (II) em (I), tem-se:
4
VhB
= ���60 . ––– (m/s) ⇒
5
Respostas: a) 6,0m/s2
b) ���120 m/s ou � 11m/s
c) 0,80 ���60 m/s ou � 6,2m/s
76. (UNIP) – Um projétil é disparado a partir do solo horizontal (ponto
A), com energia cinética de 40J (relativa ao solo) e com veloci da-
de inicial 
→
V0, formando um ângulo de 60° como o plano do solo,
em um local onde o campo de gravidade é uniforme.
O projétil descreve uma parábola (resistência do ar desprezível)
atingindo uma altura máxima H, em relação ao solo. Quando o 
pro jétil passar pelo ponto C, a uma altura do solo, sua ener -
gia cinética, em relação ao solo,
a) não está determinada com os dados apresentados.
b) valerá 15 J.
c) valerá 20 J.
d) valerá 25 J.
e) será igual à energia potencial.
Resolução
Quando o projétil passa pelo ponto B, sua velocidade se reduz à 
componente horizontal de 
→
V0:
V0VB = V0x = V0 cos 60° = –––2
Portanto, de A para B, o módulo da velocidade se reduziu à me -
tade e a energia cinética se reduziu à quarta parte, pois é pro por -
cional ao quadrado da velocidade �Ec = �.
De B para C, a altura se reduziu à metade e, portanto, a energia
potencial de gravidade também se reduziu à metade, pois é
proporcional à altura (Ep = mgh).
Segue-se uma tabela de energias:
Resposta: D
77. (UFMG) – 
Uma esferinha é abandonada do repouso no ponto P.
Após percorrer o trecho horizontal da mesa, cai no potinho que
está no chão (ver a figura). Desprezando-se os atritos, em que
situação, abaixo, a bolinha continuará a cair no potinho?
a) Dobra-se h; dobra-se d; mantém-se H.
b) Dobra-se H; dobra-se d; mantém-se h.
c) Divide-se d por 2; dobra-se h; mantém-se H.
d) Divide-se h por 2; divide-se H por 2; mantém-se d.
e) Divide-se H por 2; dobra-se h; mantém-se d.
H
–––
2
Vh
B
= Vh
D
= VD cos �
ED = EC
Vh
B
� 6,2m/s
EB = EC
VB = ����120 m/s � 11m/s
a = 6,0 m/s2
mV2
––––
2
Ponto Ep(J) Ec(J) Em(J)
A 0 40 40
B 30 10 40
C 15 25 40
77
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Resolução
1) Usando a conservação da energia mecânica de P para A, te -
mos:
(Referência em A)
mV
A
2 _____ 
––––– = mgh ⇒
2
2) O tempo de queda de A para B é calculado analisando-se ape -
nas o movimento vertical (MUV):
�y
�y = V0y t + –––– t
2 (↓)
2
g
H = ––– t
Q
2 ⇒
2
3) A distância horizontal d é calculada analisando-se o movi men -
to horizontal (MU):
�x = Vx t
d = VA . tQ ⇒ d = ����2 g h . 
Observe que d independe do valor da aceleração da gravidade g.
Se, por exemplo, dividirmos H por 2 e duplicarmos h (opção E), o
valor de d não se altera.
Resposta: E
78. Considere uma corda homogênea de comprimento L e espessura
desprezível (em comparação com L) que está em repouso sobre
uma mesa horizontal sem atrito (fig. 1).
A corda está junto à borda da mesa e, recebendo um pequeno
impulso (desprezível), começa a escorregar para fora da mesa.
Quando a corda estiver desprendendo-se da mesa (fig. 2), sua
velocidade terá módulo V.
Sendo g o módulo da aceleração da gravidade, suposta cons tan -
te, e desprezando-se o efeito do ar, o valor de V é dado por:
a) V = b) V = ��gL c) V = ���2gL
d) V = 2 ��gL e) V = 4 ��gL
Resolução
Desprezando-se o atrito e o efeito do ar, a energia mecânica da
cor da permanece constante.
Isto significa que a energia potencial perdida é transformada em
energia cinética.
O conceito fundamental desta questão é o fato de que, na medida
da energia potencial de gravidade, devemos raciocinar com a
perda de altura do centro de gravidade CG da corda.
L M V2
Mg ––– = –––––
2 2
V = ��gL
Resposta: B
79. Um novo esporte da moda é o “bungee jump”, conhecido como
o “ioiô humano”.
Considere uma pessoa de massa 70kg que vai saltar, a partir do
repouso, de uma plataforma presa a uma corda elástica ideal de
constante elástica k = 140 N/m.
Despreze o efeito de resistência do ar e adote g = 10m/s2.
A corda elástica, presa à plataforma, tem um comprimento natural
de 17,5m.
a) Qual a deformação da corda quando a velocidade escalar da
pes soa for máxima?
b) Qual a velocidade escalar máxima da pessoa?
c) Qual o comprimento da corda quando a velocidade escalar da
pessoa se anula?
Resolução
a) Quando a corda começa a se deformar (L > 17,5m), a pessoa 
fica sob ação de duas forças verticais: o seu peso 
→
P e a força 
→
F aplicada pela corda.
Enquanto P > F, a força resultante é dirigida para baixo e o
movimento da pessoa é acelerado.
Quando F > P, a força resultante passa a ser dirigida para cima
e a pessoa começa a frear.
Portanto, a velocidade escalar máxima ocorre na posição de
equilíbrio, quando F = P. 
Na posição de velocidade escalar máxima, a deformação x1 da
corda é dada por:
kx1 = mg
140 . x1 = 70 . 10 ⇒
gL��–––2
Epotperdida
= Ecinganha
EA = EP
VA = ����2gh 
2H
tQ = ��–––g
2H��–––g
d = 2 ���h H
x1 = 5,0m
78
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 78
b)
Para obter o valor da veloci dade es -
calar máxima, de ve mos usar a con -
servação da energia mecânica entre
a posição inicial (A) e a posição de
velocidade es calar máxima (B).
(Referência em B)
mV
1
2 k x
1
2
––––– + ––––– = mg (L0 + x1)2 2
70 140
––– V
1
2 + –––– (5,0)2 = 70 . 10 . 22,5
2 2
35V
1
2 + 1750 = 15750
35V
1
2 = 14000
V
1
2 = 400 ⇒
c) Para obter o comprimento má xi mo
da corda, usamos a con servação da
energia mecânica entre a posição
inicial (A) e a posição final (C),
quando a velocidade da pessoa
volta a se anular.
(Referência em C)
kx
2
2
—— = mg (L0 + x2)2
140 
—— x
2
2 = 70 . 10 (17,5 + x2)2
x
2
2 = 175 + 10x2
x
2
2 – 10x2 – 175 = 0
10 ± ������ 100 + 700
x2 = ————————— (m)2
x2 = 5,0 + 10 ��2 (m) ⇒
O comprimento máximo da corda é dado por:
Lmáx = L0 + x2 ⇒
Respostas: a) 5,0 m 
b) 20 m/s
c) 36,6 m
80.
Um pêndulo, fixo em O, tem comprimento L e sustenta em sua
extre midade uma esfera de massa m.
A esfera é abandonada do repouso, com o pên dulo formando um
ân gu lo � = 60° com a vertical. 
Despreze o efeito do ar e considere a aceleração da gravidade
constante e com módulo igual a g.
Quando o pêndulo estiver com fio vertical, determine
a) o módulo da velocidade da esfera pendular;
b) a intensidade da força que traciona o fio.
Resolução
a) 1) Da figura:
L
OC = L cos 60° = –––
2
h = L – OC ⇒
2) A força tensora aplicada pelo fio não realiza trabalho por que
é perpendicular à trajetória.
TEC:
(A → B)
mV
B
2 mV
A
2
P = –––––– – ––––––2 2
L mV
B
2
mg ––– = –––––– ⇒
2 2
b) No ponto B, a força resultante na esfera pendular é centrípeta:
TB – P = FcpB
mV
B
2
TB = mg + –––––L
m
TB = mg + ––– . gL ⇒L
Respostas: a) VB = ��gL
b) TB = 2mg
81. Demonstre que: “Se um pêndulo simples oscila com a maior os -
ci lação lateral possível, isto é, se ele descreve um quarto de cir -
cunferência, quando chegar ao ponto mais baixo da trajetória, irá
esticar o fio com uma força de intensidade três vezes maior que
a que deveria agir se o pêndulo fosse simplesmente suspenso
pelo fio”.
ResoluçãoPara a esfera pendular simplesmente suspensa pelo fio e em
equilíbrio, temos:
L
h = –––
2
total = �Ecin
VB = ��gL
TB = 2mg
EB = EA
V1 = 20m/s
EC = EA
x2 � 19,1m
Lmáx = 36,6 m
79
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 79
Quando a esfera é abandonada do repouso no ponto A (VA = 0),
supondo o sistema conservativo e adotando um plano de refe rên -
cia passando por B, temos:
EA = EB
m V
B
2
mg L = –––––––
2
m V
B
2
Da qual: –––––– = 2mg 
L
mV
B
2
Porém, –––––– representa a intensidade da resultante centrípeta
L
no ponto B: FcpB
= 2 mg = 2P.
Por outro lado, a intensidade da resultante centrípeta em B é dada
pela diferença entre as intensidades da força de tração (T2) e do
peso da esfera (P).
Assim: FcpB
= T2 – P
Da qual: T2 = FcpB
+ P
Como FcpB
= 2P, vem (2)
Comparando-se (1) e (2), vemos que (c.q.d.)
82. (MACKENZIE) – Considere um pêndulo fixo em um ponto O e
tendo na outra extremidade uma pequena esfera, que vai ser
lançada com velocidade V0, a partir do ponto A, de modo a des -
crever uma circunfe rên cia em um plano verti cal (“looping”). 
Adote g = 10m/s2 e des preze forças dissipativas.
Sendo o comprimento do pêndulo igual a 10cm, cal cule o mínimo
va lor possível para o módulo de 
→
V0 nos seguintes casos:
a) o pêndulo é constituído por um fio ideal;
b) o pêndulo é constituído por uma haste rígida de massa
desprezível.
Resolução
a) Quando o pêndulo é constituído por um fio ideal (o fio pode
ficar frouxo), a velocidade escalar mínima no ponto mais alto
(ponto B) é obtida impondo-se a condição de que, neste ponto,
a força tensora no fio se anule e o peso da esfera faça o papel
de resultante centrípeta.
P = FcpB
mV
B
2
mg = ——— 
R
A velocidade escalar mínima em A é obtida usando-se a con -
servação da energia mecânica:
(Referência em A)
mV
A
2 mV
B
2
—–— = mg 2R + ———
2 2
V
A
2 = 4 g R + V
B
2
Substituindo-se V
B
2 por g R, obtém-se: 
V
A
2 = 5 g R ⇒
Para g = 10m/s2 e R = 0,10m, tem-se: 
b) Quando o pêndulo é constituído por uma haste rígida (haste
não pode ficar frouxa), a velocidade escalar mínima no ponto
mais alto é nula.
Usando-se a conservação da energia mecânica, obtém-se:
(Referência em A)
mV
A
2
––––– = m g 2R ⇒
2
Sendo g = 10m/s2 e R = 0,10m, tem-se: 
Respostas: a) ��5 m/s
b) 2,0m/s
83. (AFA) – Uma partícula de massa M escorrega livremente sobre
uma superfície sem atrito e descreve um trilho circular e vertical
de raio R = 40cm, conforme mostra a figura. O trilho termina no
ponto D. 
VB = ���gR
EA = EB
VA = ����5 g R
VA = ��5 m/s
EA = EB
T2 = 3P
T2 = 3 T1
VA = 2 ���gR
VA = 2,0m/s
80
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 80
A partícula parte do repouso do ponto A e só se destaca do trilho
no ponto D.
Determine, adotando-se g = 10m/s2 e desprezando-se o efeito do
ar:
a) a mínima velocidade possível no ponto C;
b) a mínima velocidade possível no ponto B;
c) o mínimo valor de H.
Resolução
a) Quando a partícula passa pela posição C, mais alta do trilho
circular, a velocidade terá módulo mínimo quando a força de
contato com a pista se anular e, neste caso, o peso fará o pa -
pel de resultante centrípeta:
P = Fcp
mV
C
2 _____
mg = ——— ⇒
R
Sendo g = 10m/s2 e R = 0,40m, tem-se: 
b) Usando-se a conservação da energia mecânica entre os pon -
tos B e C, tem-se:
(Referência em B)
mV
B
2 mV
C
2
—––— = mg 2 R + ———
2 2
V
B
2 = 4 g R + V
C
2
Substituindo-se V
C
2 por g R, vem:
V
B
2 = 5 g R ⇒
Sendo g = 10m/s2 e R = 0,40m, tem-se: 
c) Usando-se a conservação de energia mecânica entre os pon -
tos A e B, obtém-se:
(Referência em B)
mV
B
2
mgh = –––––
2
5gR
gh = ⎯⎯ ⇒
2
Para R = 0,40m, tem-se:
Respostas: a) 2,0m/s
b) 2,0 ��5 m/s 
c) 1,0m
84. (UFRJ) – Uma pequena esfera de aço, de 0,20kg, está presa a
uma das extremidades de um fio ideal. A outra extremidade está
fixada a um suporte. Com o fio esticado e na horizontal, a esfera
é abandonada sem velocidade inicial. O fio não suporta a tensão a
que é submetido no instante em que faz 30° com a horizontal, e
rompe-se.
Supondo-se os atritos desprezíveis e g = 10m/s2, calcule a inten -
sidade da força de tração que, nesta posição, causou o rompi men -
to do fio.
Resolução
1) Usando-se a conservação da energia mecânica entre A e B,
obtém-se:
(Referência em B)
mV
B
2
⎯⎯⎯ = mgh
2
Da figura: h = L cos �
Portanto:
2) No ponto B, a resultante entre a força aplicada pelo fio 
→
T e a 
com ponente normal do peso 
→
Pn faz o papel de força centrí pe -
ta:
mV
B
2
T – Pn = ⎯⎯⎯L
Sendo Pn = mg cos � e VB
2 = 2 g L cos �, vem:
m
T – mg cos � = ––– 2 g L cos � ⇒
L
No caso particular desta questão, queremos saber o valor de T
para � = 60°.
1
Assim: T = 3 . 0,20 . 10 . ⎯ (N) ⇒
2
Resposta: 3,0N
85. Considere um hemisfério de raio R, sem atrito, fixo em um plano
horizontal, conforme mostra a figura.
A aceleração da gravidade tem módulo igual a g.
EB = EA
VC = ���gR
VC = 2,0m/s
EB = EC
VB = ���5gR
VB = 2,0 ��5 m/s
EA = EB
h = 2,5R
h = 1,0m
V
B
2 = 2 g L cos �
T = 3 m g cos �
T = 3,0N
81
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 81
Uma partícula, abandonada do repouso em A, desliza livremente
ao longo da superfície do hemisfério, do qual se desliga no ponto
B.
Determine, desprezando-se o efeito do ar:
a) o valor de cos �;
b) a altura h;
c) o módulo da velocidade com que a partícula atinge o solo. 
Resolução
a)
1) Da figura: h = R cos �
2) Usando-se a conservação da energia mecânica entre A e
B, vem:
(Referência em B)
mV
B
2
⎯⎯⎯ = mg (R – h)
2
V
B
2 = 2 g ( R – h)
Substituindo-se h por R cos �, obtém-se:
V
B
2 = 2 g ( R – R cos �) ⇒ (I)
3) Na posição B, em que a partícula abandona o hemisfério, a
for ça de contato se anula e a componente normal do peso 
→
Pn faz o papel de resultante centrípeta.
mV
B
2
m g cos � = ⎯⎯⎯ ⇒ (II)
R
Comparando-se as relações (I) e (II), vem:
2 gR (1 – cos �) = g R cos �
2 – 2 cos � = cos � ⇒
b) Da expressão h = R cos �, resulta: 
c) Usando-se a conservação da energia mecânica entre a posição
inicial (A) e a posição de chegada ao solo (C), temos:
(Referência em C)
mV
C
2
⎯⎯⎯ = mg R ⇒
2
Respostas: a)
b) R
c) ����2gR
86. (ITA) – Uma foca de 30,0kg sobre um trenó de 5,0kg, com uma
ve locidade escalar inicial de 4,0m/s, inicia a descida de uma mon -
ta nha de 60m de comprimento e 12m de altura, atingindo a parte
mais baixa da montanha com a velocidade escalar de 10m/s. A
ener gia mecânica que é transformada em calor será (considere 
g = 10m/s2):
a) 8,4 kJ b) 4,2 kJ c) 2,73 kJ d) 1,47 kJ
e) Impossível de se determinar sem o conhecimento do coe fi -
ciente de atrito cinético entre o trenó e a superfície da mon ta -
nha.
Resolução
Para obtermos a energia mecânica dissipada na forma de calor,
por conta do trabalho das forças dissipativas (atrito e resistência
do ar), basta fazer a diferença entre a energia mecânica inicial
(ponto A) e a energia mecânica final (ponto B).
Ed = EA – EB (Referência em B) 
mV
A
2
EA = m g hA + ⎯⎯⎯2
35,0
EA = 35,0 . 10 . 12 + ⎯⎯ . (4,0)
2 (J) ⇒
2
mV
B
2 35,0
EB = ⎯⎯⎯ ⇒ EB = ⎯⎯ . (10)
2 (J) ⇒
2 2
Portanto: Ed = 4,48 – 1,75 (kJ) ⇒
Resposta: C
2
cos � = –––
3
2
h = ––– R
3
EC = EA
VC = ����2gR
2
–––
3
2
–––
3
EB = EA
V
B
2 = 2 g R (1 – cos �)
Pn = Fcp
V
B
2 = g R cos �
EA = 4,48kJ
EB = 1,75kJ
Ed = 2,73 kJ
82
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83
87. (UFPB-MODELO ENEM) – Numa exibição de body jumping, um
ar tista, de massa m, resolve efetuar um salto de de monstração
sobre um lago. Querendo provocar gran de impressão no público,
resolve fazer com que, nes se salto, sua cabeça se aproxime o
máximo pos sível da superfície da água. Para isso, prende-se pelos
pés a um fio elástico de massa desprezível e com pri mento natural
L, por meio de um mecanismo que o mantém de cabeça para
baixo, ficando esta a uma altura h da água, como mostra a figura.
Dessa posição, o artista deverá ser solto, com velo cidade inicial
nula. Admitaque a energia mecânica do sistema elástico-artista
vai conservar-se. Sendo assim, para que ele apenas encoste sua -
ve mente a cabeça na água, a constante elástica do fio, que
obedece à Lei de Hooke, deve ser igual a
a) mh2/L2 d) 2mgh/(h + L)2
b) mL2/(h – L)2 e) 2mgL/(h + L)2
c) 2mgh/(h – L)2
Resolução
(referência em B)
= m g h
Resposta: C
88. (MODELO ENEM) – Um jogador de futebol bate uma falta
imprimindo à bola uma velocidade inicial 
→
V0 inclinada de 60° em re -
lação ao solo horizontal. A energia cinética da bola, ao sair do solo,
vale 200J, e o efeito do ar é desprezível.
A bola atinge uma altura máxima H e retorna ao solo sem ser
tocada por nenhum jogador. O referencial adotado é o solo
terrestre.
Quando a bola passar pela posição B, a uma altura , sua ener -
gia cinética valerá E.
A respeito do valor de E, podemos afirmar que
a) não pode ser calculado apenas porque não foi dado o valor do
módulo da aceleração da gravidade g.
b) não pode ser calculado apenas porque não foi dada a massa
da bola.
c) não pode ser calculado porque não foram dados os valores de
�
→
V0�, H e g (módulo da aceleração da gravidade).
d) E = 75J
e) E = 125J
Resolução
1) No ponto C, temos:
VC = V0x = V0cos 60° = 
2) De A para C, a velocidade se reduziu à metade e, portanto, a
energia cinética ficou dividida por quatro.
EcinC
= = (J) = 50J
3) Como o efeito do ar é desprezível, a energia mecânica é
constante.
(referência em A)
EpotC
+ EcinC
= EcinA
EpotC
+ 50J = 200J ⇒
4) Como a altura de B é metade da altura de C, vem:
EpotB
= = 75J
5) Como a energia mecânica total vale 200J, vem:
Em = EpotB
+ EcinB
200 = 75 + E ⇒
Resposta: E
H
––
2
V0––––
2
EcinA–––––
4
200
––––
4
EC = EA
EpotC
= 150J
EpotC
–––––
2
E = 125J
EB = EA
k (h – L)2
––––––––––
2
2 m g h
k = ––––––––
(h – L)2
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 83
89. (UFF-RJ) – Um brinquedo infantil tem como objetivo acertar uma
bolinha, de massa m, numa cesta. A bolinha é disparada por uma
mola ideal, de constante elástica k e comprimento x, quando rela -
xada. A mola está confinada em um tubo guia, de paredes polidas,
podendo ser comprimida por uma haste. O tubo é fixado,
horizontalmente, de tal forma que sua saída se encontra a uma
distância d e a uma altura h da cesta, conforme mostra a figura.
Uma criança puxa a haste, reduzindo o comprimento da mola para
x/2. Ao soltar a haste, permitindo que a mola volte ao
comprimento x, a bola é arremessada para fora do tubo, atingindo
o solo no centro da cesta.
Considere como dados m, k, x, h e o módulo da aceleração da
gra vidade g. Despreze o atrito, a resistência do ar e a mas sa da
haste para resolver os itens a seguir. Deter mine uma expressão
para
a) o módulo da velocidade com que a bolinha sai do tubo;
b) a distância d da cesta à saída do tubo.
90. (PUC-PR) – Conforme mostra a figura abaixo, uma bola, a partir
do repouso, desce sobre um plano inclinado de altura h, sob ação
apenas da gravidade (trecho 1), continua o movimento sobre um
plano horizontal (trecho 2) e, ao sair do plano horizontal, segue
uma trajetória de queda (trecho 3) até atingir o chão. Despre -
zando-se qualquer tipo de atrito, po de mos afirmar que a distância
horizontal D percorrida na queda livre da altura H pode ser
expressa por:
a) D = 2 ������(h . H) b) D = (h . H)
c) D = d) D = 
e) D = ������(h . H)
91. Uma corda homogênea, de espessura constante e com primento
L, está sobre uma mesa horizontal sem atrito, com uma das suas
pontas na extremidade da mesa.
A corda é tocada levemente e passa a escorregar para fora da
mesa.
A aceleração da gravidade tem módulo igual a g e des preza-se o
efeito do ar.
No instante em que um comprimento x de corda está na posição
vertical, ela tem uma velocidade de mó dulo v e uma aceleração
de módulo a.
Determine
a) o valor de a em função de x;
b) o valor de v em função de x;
c) os gráficos a e v em função de x, para x variando de 0 a L.
92. Uma corda homogênea de comprimento L está sus pensa em
equilíbrio envolvendo uma pequena polia de massa e atrito
desprezíveis, como indica a figura 1. A aceleração da gravidade
local tem módulo g.
A corda é ligeiramente afastada de sua posição de equi líbrio e vai
entrar em queda livre, conforme in dica a figura 2.
Desprezando-se o efeito do ar, a velocidade da corda ao começar
sua queda livre terá módulo igual a:
a) ����gL b) c)
d) e)
1
– ––
2
1
–––
2
H2
–––
h
2h2
–––
H
1
–––
2
����gL
——–
2
gL
–––
2
����gL
——–
8
����gL
——–
4
84
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 84
93. (VUNESP) – Um praticante de esporte radical, amar rado a uma
corda elástica, cai de uma plata forma, a partir do repouso,
seguindo uma trajetória vertical. A outra extremidade da corda
está presa na plataforma. A figura mostra dois gráficos que foram
traçados desprezando-se o atrito do ar em toda a trajetória. O pri -
meiro é o da energia potencial gra vitacional, Ugravitacional, do
praticante em função da distância y entre ele e a plataforma, no
qual o potencial zero foi escolhido em y = 30m. Nesta posição, o
praticante atinge o maior afastamento da plataforma, quando sua
velocidade escalar se reduz, momen ta neamente, a zero. O
segundo é o gráfico da energia elástica armazenada na corda,
Uelástica, em função da dis tância entre suas extremidades.
Determine
a) o peso P do praticante e o comprimento L0 da cor da, quando
não está esticada;
b) a constante elástica k da corda.
94. (ITA) – Um “bungee jumper” de 2,0m de altura e 100kg de mas -
sa pula de uma ponte usando uma “bungee cord” de 18m de
comprimento quando não alongada, cons tante elástica de 200N/m
e massa desprezível, amar ra da aos seus pés. Na sua descida, a
partir da su perfície da ponte, a corda atinge a extensão má xima,
sem que ele toque nas rochas embaixo. Das opções abaixo, a
menor distância entre a superfície da ponte e as rochas é:
a) 26m b) 31m c) 36m d) 41m e) 46m
95. Considere um pêndulo de comprimento L fixo em um ponto O e
tendo na outra extremidade uma partícula que vai ser lançada,
com velocidade horizontal 
→
V0, com o pêndulo em posição vertical. 
A aceleração da gravidade tem módulo igual a g e o efeito do ar é
desprezível.
A partícula deverá descrever uma circunferência em um plano
vertical.
Considere as seguintes situações:
(I) o pêndulo é constituído por um fio ideal.
(II) o pêndulo é constituído por uma haste rígida de massa
desprezível.
Sejam:
V1 : mínimo valor possível para o módulo de 
→
V0 na situação (I)
V2 : mínimo valor possível para o módulo de 
→
V0 na situação (II)
Determine
a) o valor de V1;
b) o valor de V2.
96. (UFLA-MG) – Um menino de 40kg brinca num ba lan ço preso a
um cabo de 4,0m de com pri mento suposto sem massa e
inextensível. Ele parte do repouso, a uma al tura de 0,8m, em
relação ao ponto mais baixo da traje tória.
Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar.
Determine
a) o módulo da velocidade do menino no ponto mais baixo da
trajetória;
b) a intensidade da força que traciona o cabo que suporta o
balanço, no ponto mais baixo da tra jetória;
c) a intensidade da força que traciona o cabo no pon to mais alto
da trajetória.
97. Considere um pêndulo formado por um fio ideal de comprimento
L fixo em O e uma pequena esfera de pe so P na outra extre -
midade.
A esfera é abandonada do repouso de uma posição A com o fio
esticado e horizontal.
Quando o fio fica vertical, ele encontra em seu traje to um
pequeno prego fixo em um ponto C de tal mo do que o segmento
BC é vertical e tem comprimento .
A aceleração da gravidade tem módulo igual a g e despreza-se o
efeito do ar.
Determine
a) a intensidade da força tensora no fio imediatamen te antes de o
fio encostar no prego;
b) a intensidade da força tensora no fio imediata mente depois de
o fio encostar no prego.
98. No interior de um elevador, que está inicialmente em re pouso,
temos um pêndulo ideal fixo em um ponto O do teto do elevador.
Na outra extremidade do pêndulo, há uma esfera que realiza um
movimento oscilatório entre as posiçõesA e B, indicadas na
figura. As velocidades em A e B são nulas.
O pêndulo tem comprimento L, a aceleração da gravidade tem
módulo g e despreza-se o efeito do ar.
L
––
2
85
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No instante t = t1 a esfera pendular está passando pelo pon to C,
e nesse exato instante o elevador inicia um movi mento de queda
livre.
Imediatamente antes do instante t1, a força que traciona o fio tem
intensidade T1 e, imediatamente após o instante t1, passa a ter
intensidade T2.
A razão :
a) depende do valor de L b) depende do valor de g
c) vale 1/3 d) vale 1/2
e) vale 2/3
99. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um cubo de gelo com
massa M parte do repouso do ponto 1 (veja figura abaixo) sobre
um trilho e está inicialmente posicionado a uma altura 4R, sendo
que R é o raio da parte circular da trajetória. O cubo desliza para
baixo sem nenhum tipo de atrito e entra na parte circular (looping).
Qual é a razão entre a intensidade da força exercida pelo trilho no
cubo e o seu peso Mg na posição 2?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
100. Uma pequena esfera E de massa 1,0kg descreve um movimento
circular num plano vertical no interior de uma calha circular de raio
R = 0,40m, sem atrito.
O conjunto está sobre o prato de uma balança de mola
(dinamômetro). A massa da calha com o seu suporte vale 0,50kg.
Adote g = 10,0m/s2.
A energia mecânica da esfera é a mínima possível que lhe permite
realizar a circunferência sem se destacar da calha.
Calcule 
a) o módulo da velocidade da esfera nas posições A (mais alta) e
B (mais baixa);
b) a intensidade da força que a calha aplica na esfera nas
posições A e B;
c) os valores máximo e mínimo lidos na balança.
101. (OLIMPÍADA DE FÍSICA-USP) – Um menino está sentado no alto
de um monte semiesférico de gelo (iglu).
Ele recebe um leve empurrão e começa a deslizar sem atrito. Não
considere o efeito do ar.
Demonstre que ele é projetado para fora do iglu de uma posição 
cuja altura h relativa ao solo horizontal vale R, em que R é o raio
da semiesfera.
102. (FUVEST-SP) – Uma pista é formada por duas rampas inclinadas,
A e B, e por uma região horizontal de comprimento L. Soltando-se,
na rampa A, de uma altura HA, um bloco de massa m, ve ri fica-se
que ele atinge uma altura HB na rampa B (con forme figura), em
experimento reali zado na Terra. O coeficiente de atrito cinético
entre o bloco e a pista é nulo nas rampas e igual a � na região ho -
rizontal. A aceleração da gravidade na Terra tem módulo igual a g.
Suponha que esse mesmo experimento seja rea li zado em Marte,
onde a aceleração da gravidade tem módulo gM � g/3, e
considere que o bloco seja solto na mesma rampa A e da mesma
altura HA. De ter mine
a) a razão Ra = vA Terra/vA Marte, entre os módulos das velo -
cidades do bloco no final da rampa A (ponto A), em cada uma
das experiências (Terra e Marte);
b) a razão Rb = WTerra/WMarte, entre as energias me câ nicas
dissipadas pela força de atrito na re gião ho ri zon tal, em cada
uma das experiências (Terra e Mar te);
c) a razão Rc = HB Terra/HB Marte, entre as alturas que o bloco
atinge na rampa B, em cada uma das expe riên cias (Terra e
Marte).
103. (FUVEST-SP) – Uma pista de skate, para esporte radical, é
montada a partir de duas rampas, R1 e R2, separadas entre A e B
por uma distância D, com as alturas e ângulos indicados na figura.
A pista foi projetada de tal forma que um skater, ao descer a
rampa R1, salta no ar, atingindo sua altura máxima no ponto médio
entre A e B, antes de alcançar a rampa R2.
2
––
3T2
–––
T1
86
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 86
a) Determine o módulo da velocidade VA, em m/s, com que o
skater atinge a extremidade A da rampa R1.
b) Determine a altura máxima H, em metros, a partir do solo, que
o skater atinge, no ar, entre os pontos A e B.
c) Calcule qual deve ser a distância D, em metros, entre os
pontos A e B, para que o skater atinja a rampa R2 em B, com
segurança.
104. (UFPB-MODELO ENEM) – A figura mostra um trapezista, pres tes
a executar o seu famoso salto “quíntuplo mortal”, no instante em
que a amplitude de seu movimento pendular é máxima. A
diferença entre as posições mais alta e mais baixa alcançadas
pelo centro de massa do trapezista é 3,0m. O trapezista tem
50,0kg de massa e a distância entre o seu centro de massa e o
suporte que prende os cabos do trapézio é 10,0m.
Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar.
Nesse contexto, conclui-se que a intensidade da força de tração
em cada um dos dois cabos do trapé zio, no ponto mais baixo da
trajetória, vale:
a) 200N b) 300N c) 400N d) 500N e) 600N
105. (UPE-MODELO ENEM) – Uma menina está no carro de uma
montanha russa, que faz uma volta circular completa na vertical,
conforme a figura. 
No topo da trajetória, a força
normal exercida pela cadeira
sobre a menina é igual a duas
vezes o peso da menina, 2mg.
No ponto mais baixo da
trajetória, a força normal exer -
cida pela cadeira sobre a
menina tem intensidade
a) menor do que o peso da
menina.
b igual ao peso da menina.
c) igual à força normal no topo
da trajetória.
d) igual a quatro vezes o peso
da menina.
e) igual a oito vezes o peso da
menina.
Nota: admita que a energia
mecânica do carro per manece
constante.
106. (MODELO ENEM) – Em um jogo de basquete, um atleta faz um
arremes so e a bola descreve a trajetória indicada na figura.
A bola foi lançada a partir do ponto A com velocidade inicial 
→
V0,
que forma um ângulo de 60° com o plano horizontal.
Despreze o efeito do ar e considere a aceleração da gravidade
constante.
Para um referencial no solo, a bola tem, no ponto A, uma energia
potencial igual a E.
Ao passar pelo ponto B, mais alto da trajetória, a energia cinética
da bola é igual a:
a) b) c) d) E e)4E–––
3
E
–––
4
E
–––
2
E
–––
3
NOTE E ADOTE
Desconsidere a resistência do ar, o atrito e os efeitos das
acrobacias do skater.
sen 30° = 0,5; cos 30° � 0,87; g = 10m/s2
87
9) D 10) E 11) D 12) A
13) A 14) a) 20m 15) a) 6,5J
b) 36J b) 4,5J
16) D 17) A 18) D 19) D 20) D
21) D 22) E 30) E 31) a) 1,0N/m
b) 5,0 . 10–15 J
c) 2,0 . 10–9kg
32) D 33) E 34) B
35) 1,5s;
– 6600J: redução da energia potencial;
+ 6600J: incremento da energia cinética.
36) a) 5,0m
b) 6,0m
c) O valor da altura máxima depende da velocidade hori -
zontal máxima atingida pelo atleta.
Com a mesma velocidade horizontal máxima (10m/s), a
altura máxima atingida será a mesma, independentemen -
te da massa do atleta.
37) C 38) a) 350J b) 50m/s
c) 100m/s d) Em nenhum ponto
39) E 40) A 41) A 42) A
43) B 44) D 45) A
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 87
54) a) A: energia potencial (Ep = mgh)
B: energia cinética (Ec = Em – mgh)
C: energia mecânica (Em = 2,5kJ = cons tante)
b) m = 50,0kg
c) V0 = 10,0m/s
55) A 56) a) 50m/s
b) 8,0 . 102J
57) a) 4,0m/s 58) B
b) 6,0m/s e ���116 m/s
c) 20,0J
59) 1) Cálculo do módulo de 
→
VB:
De A para B, a energia mecânica se conserva:
(referência em B)
= mgR ⇒
2) Cálculo do tempo de queda de B para C:
�sy = V0y t + t
2 (MUV)
h – R = 0 + T2 ⇒
3) Cálculo do alcance OC:
�sx = Vx t (MU) ⇒ OC = ���2gR . 
Resposta: D
60) E
61) I) FALSA. A componente horizontal da velocidade só se
mantém cons tan te depois que o corpo abandona a ram pa
e fica sob ação exclusiva da gravidade.
II) CORRETA. No trecho ABC, a velocidade horizontal é cons -
tante porque a aceleração do corpo é vertical (
→
a = 
→
g ).
III) CORRETA. Usando-se a conservação da energia me câ nica
entre A e B, vem:
(referência em A)
+ m g (hB – hA) = 
IV) FALSA. Usando-se a conservação da energia mecânica
entre o solo e o ponto B, temos:
(referência no solo)
V) CORRETA. Usando-se a conservação da energia mecâ nica
entre A e B, vem:
= + m g (hB – hA)
Porém, VA
2
= VAy
2
+ V
Ax
2
e VAx = VB
Portanto: 
VA
2
y + VB
2 = + m g (hB – hA)
Resposta: E
62) B 63) 4,0m/s 64) A 65) E
66) C 67) a) 30J 68) D 69) A
b) 2,0m/s
70) B 71) D 72) B 73) B 74) B
89) a)
b)
90) A
91) a) A corda vai ser acelerada pelo peso da parte delaque está
pendente (comprimento x).
PFD: Px = M . a
mx . g = M . a
A massa da corda é proporcional ao respectivo com pri -
mento:
mx = k . x e M = k . L
Portanto: k x g = k L a ⇒
b) A energia potencial perdida é transformada em energia
cinética.
g
a = ––– x
L
m
––––– VAy
2
= m g (hB – hA)
2
m VB
2
 ––––––––
2
m
 –––––
2
m
 –––––
2
m VB
2
 ––––––––
2
m VA
2
 ––––––––
2
m V0
2
m VB
2
 –––––– = m g hB + ––––––
2 2
Esolo = EB
m VB
2
m VA
2
 –––––– = –––––– – mg (hB – hA)
2 2
m VA
2
 ––––––––
2
m VB
2
 ––––––––
2
EB = EA
x k
V = ––– –––
2 m
x 2kh
d = ––– –––––
2 mg
EB = EA
VB = ���2gR
m VB
2
–––––
2
�y
––––
2
g
––––
2
OC = 2 �������R(h – R)
2(h – R)
T = –––––––
g
2(h – R)
––––––––
g
88
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O centro de massa da parte pendente desceu uma distân -
cia e, portanto:
kx g = 
x2 g = L v2
v2 = x2 ⇒
c)
92) B
93) a) 1) A energia potencial
gra vi ta cional para 
y = 0 é dada por
U = m g H
24 . 103 = P . 30
2) A energia elástica
come ça a ser ar ma -
 zenada a partir do
valor y = 20m. Isto
sig nifica que o com -
pri men to natural da
corda é L0 = 20m.
b) Quando a pessoa atinge o ponto B, to mado como re -
ferência, toda a energia mecânica está na forma elástica.
(referência em B)
= mg H ⇒ (10)2 = 24 . 103 ⇒
Respostas: a) P = 8,0 . 102N
L0 = 20m
b) k = 480N/m
94)
Seja x a defor mação máxima da corda.
Usando-se a con ser va ção da ener gia me câ ni ca com um pla no
de referência pas san do pela posi ção mais baixa do centro de
gra vi dade da pessoa, vem:
Kx2
—— = mg (L0 + x + 2h)
2
200
—— x2 = 1000 (18 + x + 2,0)
2
x2 = 10 (20 + x)
x2 = 10x + 200
x2 – 10x – 200 = 0
10 � ������� 100 + 800
x = ————————— (m)
2
10 � 30
x = ———— (m) ⇒ x1 = – 10m (rejeitada)
2
Logo: 
Se ele não atingiu as rochas, dos valores citados, a menor
dis tância possível é de 41m.
Resposta: D
95) a) ���� 5 g L 96) a) 4,0m/s
b) 2 ���g L b) 560N
c) 320N
97) a) 3P 98) E 99) C
b) 5P
100) a) 2,0m/s e 2,0 �����5,0 m/s
b) 0 e 60,0N
c) 5,0N e 65,0N
101) 1) O menino perderá o contato com o iglu quando a força
nor mal de contato se anular.
k = 480N/m
k
–––
2
kx2
–––
2
EB = EA
x
––
2
k L v2
––––––
2
x
––
2
g
––
L
g
V = –– . x
L
P = 8,0 . 102N
x2 = 20m
H = 40m
89
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Neste caso, o componente normal do peso (Pn = P cos �)
fa rá o papel de resultante centrípeta.
Pn = Fcp
B
= 
m g cos � = 
g cos � = (1)
2) Da figura: cos � = (2)
(2) em (1): g . = ⇒ (3)
3) Usando-se a conservação da energia mecânica entre A e
B:
(referência em B)
= m g (R – h)
(4)
4) Comparando-se (3) e (4):
g h = 2 g (R – h)
h = 2R – 2h ⇒
102) a) Não havendo atrito na descida da rampa A, a energia me -
cânica permanece constante:
mgHA = 
VA = ���� 2g HA
A razão pedida é dada por:
Ra = = ⇒
b) A energia mecânica dissipada na região horizontal é
medida pelo trabalho do atrito:
W = |
at| = Fat . L
W = �mgL
A razão pedida é dada por:
Rb = = ⇒
c) Aplicando-se o teorema da energia cinética entre a po -
sição inicial na rampa A e a posição final na rampa B, vem:
P + 
at = �Ecin
mg(HA – HB) – �mgL = 0
HA – HB = �L
HB = HA – �L
Portanto: HB(T) = HB(M) e 
Respostas: a) ��3 
b) 3 
c) 1 
103) a) Usando-se a conservação da energia mecânica entre a
posição inicial e a posição A, vem:
(referência em A)
= mg (H0 – HA)
VA = �������������� 2g(H0 – HA) = �������������� 2 . 10 . 5,0 (m/s)
b) Analisando-se o movimento vertical:
Vy
2 = V0y
2
+ 2 �y �sy
V0y = VA sen � = 10 . (m/s) = 5,0 m/s
0 = 25 + 2 (– 10) (H – 3,0)
20(H – 3,0) = 25
H – 3,0 = 1,25 ⇒
c) 1) O tempo de subida é dado analisando-se o mo vimento
vertical:
Vy = V0y + �y t (MUV)
0 = 5,0 – 10 ts ⇒ ts = 0,5s
2) O tempo de voo T é dado por
T = ts + tQ = 2ts = 1,0s
3) O alcance D é obtido analisando-se o movi mento
horizontal:
�sx = Vx t (MU)
Vx = VA cos � = 10 . 0,87 (m/s) = 8,7 m/s
D = 8,7 . 1,0 (m)
Respostas:a) VA = 10 m/s 
b) Hmáx = 4,25 m
c) D = 8,7 m
104) C 105) E 106) E
Ra = ��3
gT���––––gMVA(T)–––––––VA(M)
Rb = 3
gT
–––––
gM
WT
–––––
WM
RC = 1
EA = E0
m VA
2
–––––––
2
VA = 10 m/s
1
–––
2
H = 4,25 m
D = 8,7 m
m VA
2
–––––––
2
m VB
2
–––––
R
m VB
2
–––––
R
VB
2
–––––
R
h
––
R
h
––
R
VB
2
––––
R
VB
2
= g h
EB = EA
m VB
2
–––––
2
VB
2
= 2 g (R – h)
2
h = –– R
3
90
P1_Livro3_Mecanica_Alelex_1a90 07/08/12 08:45 Página 90
91
Ultrapassando o ângulo limite ou 
crítico, a luz sofre o fenômeno da reflexão total.
1. Ângulo limite de refração
Consideremos dois meios transparentes e homogê -
neos (1) e (2), delimitados por uma fronteira (F), com
índices de refração absolutos n1 e n2, tais que n2 > n1,
para uma dada luz monocromática.
Se a luz incide proveniente do meio (1), que é menos
refringente, o raio de luz vai aproximar-se da normal no
meio (2), isto é, o ângulo de refração r será menor do que
o ângulo de incidência i.
Se aumentarmos o ângulo de incidência (i), o ângulo
de refração (r) também aumentará, porém sempre
respeitando a condição r < i.
Quando o ângulo de incidência (i) for máximo, isto
é, i = 90° (incidência rasante), o ângulo de refração (r)
também será máximo, porém rmáx < imáx = 90°.
O valor máximo do ângulo de refração é denomi -
nado ângulo limite de refração (Lr) e pode ser
calculado pela aplicação da Lei de Snell:
n1 sen i = n2 sen r
n1 sen 90° = n2 sen Lr
sen Lr = –––
n1
n2
n1 < n2 ⇔ i > r
O endoscópio, utilizado
para observações internas do
organismo, tem como princípio de
funcionamento o fenômeno da
reflexão total.
ÂNGULO LIMITE 
E REFLEXÃO TOTAL
Óptica
1
CAPÍTULO
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 91
2. Ângulo limite de incidência
Consideremos, ainda na suposição de n2 > n1, a luz
incidindo na fronteira proveniente do meio (2), que é
mais refringente. O raio de luz vai afastar-se da normal
no meio (1), isto é, o ângulo de incidência (i) será menor
do que o ângulo de refração r.
Se aumentarmos o ângulo de incidência (i), o ângulo
de refração (r) também aumentará, porém sempre
respeitando a condição i < r.
Quando o ângulo de refração (r) for máximo e igual
a 90° (emergência rasante), o ângulo de incidência
corres pondente será o ângulo de incidência máximo para
o qual ainda ocorre refração e é denominado ângulo
limite de incidência (Li).
O ângulo limite de incidência (Li) pode ser calculado
pela aplicação da Lei de Snell.
n2 sen i = n1sen r
n2 sen Li = n1 . sen 90°
Notas:
a) Para um par de meios (1) e (2), os ângulos limites
de incidência (Li) e refração (Lr) são iguais.
b) O ângulo limite de incidência ou refração ocorre
sem pre no meio mais refringente.
c) Lembrando que L < 90° e sen L < 1, podemos es -
crever:
em que nmenor é o menor e nmaior é o maior entre os
índices de refração absolutos dos meios considerados.
3. Reflexão total ou interna
Consideremos o caso em que a luz incide na fron -
teira, provindo do meio mais refringente.
Se a luz incidir na fronteira com ângulo de inci dên -
cia maior do que o ângulo limite (L), não poderá ocor -
rer refração; a luz será totalmente refletida e o fenô meno
é denominado REFLEXÃO TOTAL ou INTER NA.
Notas:
a) Para qualquer ângulo de incidência, ocorre,
usualmente, reflexão da luz, acompanhando o fenômeno
de refração.
b)
Observemos, na figura, quatro casos importantes,
for necendo-nos uma visão geral do fenômeno da re fra -
ção e da reflexão total.
I) Incidência normal (refração sem desvio).
II) Incidência oblíqua (refração com desvio).
Para ocorrer reflexão total, a luz deve
provir do meio mais refringente e o ângulo
de incidência deve superar o ângulo limite.
nmenorsen L = –––––– 
nmaior
sen Li = –––
n
1
n2
n2 > n1 ⇔ i < r
92
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 92
III) Ângulo de incidência igual ao ângulo limite
(emergência rasante).
IV) Ângulo de incidência maior do queângulo li -
mite (reflexão total).
4. Fibras ópticas
Um filamento longo e muito fino feito de vidro ou
plástico transparente pode, sob certas condições,
“aprisio nar” a luz, fazendo com que esta seja guiada no
seu interior.
Se o raio de luz penetrar no interior da fibra e atingir
sua parede interior formando um ângulo que supera o
ângulo limite, teremos o fenômeno da reflexão total.
A ocorrência de sucessivas “reflexões totais” é a base
de funcionamento das fibras ópticas, fazendo a
informação luminosa acessar locais que dificilmente
seriam atingidos por iluminação direta.
A medicina e as telecomunicações são dois dos
maiores beneficiários deste fenômeno óptico.
Um único filamento de fibra óptica pode ter seu diâmetro variando entre 0,01
milímetro e 0,15 milímetro.
Refração atmosférica
5. Variação do índice de 
refração absoluto da atmosfera
À medida que nos elevamos na atmosfera, afas tan -
do-nos da superfície terrestre, em geral, a densidade do
ar vai diminuindo.
Como, via de regra, o índice de refração absoluto é
uma função crescente da densidade, concluímos que “à
medida que nos elevamos na atmosfera, o seu índice
de refração absoluto diminui”.
Quando um raio de luz penetra na atmosfera, encon -
trando camadas cada vez mais refringentes, o raio, gra -
dativamente, vai aproximando-se da normal.
Se o ar fosse constituído por uma fileira de camadas,
com fronteiras bem definidas, teríamos o trajeto indicado
no esquema.
n5 > n4 > n3 > n2 > n1
Na realidade, sendo o ar um meio contínuo, não
existem as fronteiras separando as camadas e teremos,
para o raio luminoso, uma trajetória curva.
6. Fatos explicados pela 
refração atmosférica
Os raios luminosos que penetram em nossa
atmosfera, provenientes do Sol ou de estrelas, são
obrigados a seguir uma trajetória curva, conforme figura,
dando a impressão de que o astro se encontra mais
elevado que sua posição real.
É o fenômeno conhecido como “elevação aparente
dos astros”.
93
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Os raios que penetram horizontalmente na atmosfera
terrestre são como que “levantados” de 0,5 grau. Em
virtude desse fato, quando o Sol parece estar exatamente
acima do horizonte, ao amanhecer ou ao entardecer, na
realidade ele está 0,5 grau abaixo do horizonte.
Observa-se ainda que, como o Sol leva aproxima -
damente dois minutos para percorrer uma distância igual
ao seu próprio diâmetro, no Equador o dia é aumentado
de dois minutos no nascer do Sol e mais dois minutos no
pôr-do-Sol.
O desvio sofrido pela luz ao atravessar a atmosfera
terrestre diminui com o aumento do ângulo de elevação
do objeto em relação ao horizonte.
Em particular, para incidência normal, não há desvio
algum. Em relação ao Sol, os raios provenientes de seus
bordos superiores são menos desviados que os raios
provenientes de seus bordos inferiores. Isto é, a parte
inferior do Sol é “mais levantada” que a parte superior.
Consequentemente, o Sol, ao amanhecer e ao entardecer,
apresenta-se ligeiramente “achatado”.
Nos desertos quentes, pode suceder que, a uma
massa de ar quente junto ao solo, sobreponha-se uma
massa de ar mais frio.
Um observador O pode ver o ponto P, pela luz direta
e pela luz que sofre reflexão total, ao encontrar a camada
mais aquecida junto ao solo.
A visão simultânea do objeto e de sua imagem
invertida, por reflexão total, é denominada MIRAGEM
e dá sensação de existir uma superfície espelhante,
refletindo os raios provenientes de P.
Um indivíduo no deserto associa, instintivamente, a
“superfície espelhante” às águas de um lago.
Uma estrada sob sol intenso, e vista com um ângulo
rasante, parece estar molhada, em decorrência da
reflexão total.
Cumpre salientar que a situação da camada fria
superposta à quente é uma situação instável.
Assim, o fenômeno descrito pode ser observado em
um breve intervalo de tempo, para desaparecer em segui da.
Isto explica por que as miragens nos desertos (visão
das águas de um pseudolago) aparecem e desaparecem
repentinamente.
O fenômeno da miragem também pode ocorrer nas
re giões muito frias, onde uma camada fria, relati vamente
espessa, tem, superposta, outra mais aquecida.
O observador veria simultaneamente o objeto e sua
imagem invertida e situada a uma altura determinada.
A gravura ilustra quão 
espetacular pode ser o 
fenômeno da miragem.
Nos dias quentes e secos, os fenômenos da refração e da reflexão total da 
luz na at mosfera dão-nos a ilusão de poças-d’água formadas ao longo do solo.
94
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 94
1. (UnB) – Um ladrão escondeu o produto de seu roubo numa pe -
quena caixa, pendurada por uma corda de 2,4m de com primento
e amarrada no centro de uma boia de base circular.
A boia estava em águas de índice de refração absoluto .
Qual o raio mínimo que deve ter a boia, para que, de nenhuma po -
si ção fora-d’água, se possa ver a caixa?
Resolução
Para que a caixa não seja visível fora-d’água, é preciso que todos
os raios de luz provenientes da caixa não consigam emergir da
água. Assim, os raios de luz provenientes da caixa, que incidem
entre A e B, são impedidos de sair pela presença da boia (meio
opaco). Os raios incidentes à direita de A ou à esquerda de B de -
vem sofrer reflexão total e, portanto, também não sairão da água.
Da figura construída, temos:
tg L = � (1)
Sendo: sen L = ––––––
nar = –––1 , temos:
nágua n
cos L = ����� 1 – sen2L = 1 – = = 
Assim: tg L = = ⇒ (2)
Substituindo-se (2) em (1), vem:
Dados: h = 2,4m e n =
R = = = = 
Resposta: 3,2m
2. Um raio luminoso incide sobre um cubo de vidro, como indica a
figura. Qual deve ser o valor do índice
de refração absoluto do vidro para que
ocorra reflexão total na face vertical?
Dado: nar = 1.
Resolução
Estudemos o caso limite:
Aplicando a Lei de Snell na face ho ri zontal, temos:
nar sen 45° = nvidro sen r
1 . = nvidro sen r
sen r = (I)
Calculemos, agora, o seno do ângulo limite para o dioptro vi dro–ar.
sen L =
Porém, percebemos que L e r são ângulos complementares. As -
sim:
cos r = sen L = –––––
1
(II)
nvidro
5
–––
4
1
––––––
nvidro
sen L = –––––––
nmenor
nmaior
��2
––––––––
2 nvidro
��2
––––
2
R = 3,2m
2,4m
–––––
3
–––
4
2,4m
––––––––––––––
25 – 16����––––––––16
2,4m
–––––––––––––
25����–––– – 116
2,4m
––––––––––––––––
5����(–––)2 – 14
h
R = –––––––––
����n2 – 1
1
tg L = –––––––––
����n2 – 1
1
––
n
––––––––––
����n2 – 1
––––––––
n
sen L
––––––
cos L
����n2 – 1
––––––––
n
n2 – 1
––––––
n2
1
–––
n2
R = h tg L 
R
––
h
5
–––
4
95
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Da trigonometria, vem: sen2r + cos2r = 1
��2 1�––––––– �
2
+ �––––––– �
2
= 1 
2nvidro nvidro
1 1 1 + 2
––––––– + ––––––– = 1 ⇒ ––––––– = 1
2n2vidro n
2
vidro
2 n2vidro
n2vidro = ⇒ nvidro = ⇒
Estudamos o caso em que o ângulo de incidência na face vertical
é o próprio ângulo limite.
Se quisermos reflexão total, basta impormos:
Resposta: 
3. (UNICAMP-MODELO ENEM) – Ao vermos miragens, somos le -
va dos a pensar que há água no chão de estradas. O que vemos é,
na verdade, a reflexão da luz do céu por uma camada de ar quente
próxima ao solo. Isso pode ser explicado por um modelo
simplificado como o da figura a seguir, na qual n representa o
índice de refração. Numa ca mada próxima ao solo, o ar é
aquecido, diminuindo assim seu índice de refração, n2.
Considere a situação na qual o ângulo de incidência é de 84°.
Adote n1 = 1,010 e use a aproximação sen 84° = 0,995.
a) Qual deve ser o máximo valor de n2 para que a mi ragem seja
vista? Dê a resposta com três ca sas decimais.
b) Em qual das camadas (1 ou 2) a velocidade da luz é maior?
Justifique sua resposta.
Resolução
a)
Em dias quentes, uma camada de ar mais próxima do solo é
aquecida, diminuindo seu índice de refração absoluto (n2) em
relação à camada de ar mais frio imediata mente superior. As sim,
como n1 > n2, pode ocorrer o fenômeno da reflexão total.
Para que tal fenômeno ocorra, devemos ter:
i > L
sen i > sen L
sen 84° > ⇒ 0,995> ⇒
b) Da definição de índice de refração absoluto de um meio, te -
mos:
Em que: c = módulo da velocidade de propagação da luz no
vácuo.
V = módulo da velocidade de propagação da luz no
meio considerado.
Sendo c uma constante, podemos concluir que o índice de
refração absoluto de um meio e o módulo da velocidade com
que a luz se propaga nesse mesmo meio são grandezas inver -
samente proporcionais.
Assim:
Se n2 < n1 ⇒ V2 > V1
Respostas: a) 1,005 b) Camada 2
Nota: a rigor, n2 < 1,005 e não n2 (máx) = 1,005
4. (MODELO ENEM) – Um fator que tem sido decisivo na melho ria
das tele co munica ções no Brasil é a transmissão de dados di gitais
por redes de fibras ópticas. Por meio des ses infodutos de plástico
transparente, baratos e confiáveis, que hoje se acham instalados
ao longo das principais rodovias do País, é possível a troca de
imen sos arquivos entre computadores (banda larga), integração
de sistemas de telefonia, transmissão de TV etc.
Dentro de uma fibra óptica, um sinal eletromagnético propaga-se
com velocidades pouco menores que a da luz no ar, sofrendo
sucessivas reflexões totais.
Considere a fibra óptica esquematizada a seguir, imersa no ar, na
qual é introduzido um estreito feixe cilíndrico de luz
monocromática com ângulo de 60° em relação à reta normal N no
ponto de incidência.
Para que essa luz sofra reflexões totais no interior da fibra, é
necessário que o índice de refração absoluto n do material que a
constitui seja tal que
a) n > b) n >
c) n > d) n >
e) n >
��3
––––––
2
��5
––––––
2
c
n = ––––
V
n2
––––
n1
n2
––––––
1,010
n2 < 1,005
��6
nvidro > –––––2
��6
nvidro > –––––2
��6
nvidro = –––––2
��3
––––
��2
3
––
2
��7
––––––
2
��6
––––––
2
��7
––––––
3
96
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 96
5. (U.F. PELOTAS) – Na figura abaixo, vemos um raio de luz in -
cidindo sobre a superfície de separação entre dois meios
homogêneos e transparentes, A e B.
A partir desse enunciado, res ponda:
a) Se o meio A é mais refrin gente que o meio B, e o raio ultra -
passar a superfície de separação, sofrendo re fra ção, ele se
aproxima ou se afasta da normal?
b) Quais as condições para que ocorra reflexão total do raio
incidente na superfície de separação dos dois meios?
6. (PUC) – A figura abaixo mostra um raio de luz monocromática que
inci de na superfície de sepa ração de dois meios ho mogêneos e
transpa ren tes, A e B, vindo do meio A. Nessas condições, o raio
de luz emerge rasan te à superfície. 
Chamando de nA e nB os índices de re fração absolutos dos meios
A e B, res pec ti vamente, e de L o ângulo limite, então:
a) nA = nB e � = L b) nA > nB e � = L
c) nA > nB e � > L d) nA < nB e � = L
e) nA < nB e � < L
7. (ITA) – Uma gaivota pousada na superfície da água, cujo índice de
refração em relação ao ar é n = 1,3, observa um peixe que está
exa tamente abaixo dela, a uma profundidade de 1,0m. Que
distância, em linha reta, deverá nadar o peixinho para sair do
campo visual da gaivota?
a) 0,84m b) 1,2m c) 1,6m d) 1,4m
e) O peixinho não conseguirá fugir do campo visual da gaivota.
8. (UFPE) – Uma pedra preciosa cônica, de 15,0mm de altura e
índice de refração igual a 1,25, possui um pequeno ponto
defeituoso sob o eixo do cone a 7,50mm de sua base. Para
esconder este ponto de quem olha de cima, um ourives deposita
um pequeno círculo de ouro na superfície. A pedra preciosa está
incrustada numa joia de forma que sua área lateral não está
visível. Qual deve ser o menor raio r, em mm, do círculo de ouro
depositado pelo ourives?
9. (VUNESP-FMJ-MODELO ENEM) – Uma placa com a palavra
FÍSICA pinta da foi presa no centro de uma boia circular de raio 
r = 3m e essa, colocada para flutuar sobre um líquido de índice de
refração 5/3, como mostra a figura. 
97
Resolução
(I) Lei de Snell para a refração de entrada:
n sen r = nar sen i ⇒ n sen r = 1 . 
(II) sen2r + cos2r = 1 ⇒ + cos2r = 1
(III) Condição de reflexão total:
90° – r > L ⇒ sen (90° – r) > sen L
cos r > sen L ⇒ >
> 1 ⇒ 4n2 > 7
Resposta: D
��7
n > ––––––
2
4n2 – 3
–––––––––
4
1
–––
n
����� 4n2 – 3
–––––––––––
2n
����� 4n2 – 3
cos r = ––––––––––
2n
��3�–––––�
2
2n
��3
sen r = ––––––
2n
��3
––––––
2
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 97
Uma pessoa, colocada fora do líquido, não conseguirá ler comple -
ta mente a palavra pintada na placa devido à presença da boia e
também devido ao fenômeno da reflexão total da luz. Indique a
alternativa que melhor representa o trecho da placa que poderá
ser visto pela pessoa fora do líquido. (Adote nAR = 1) 
10. (UECE-MODELO ENEM) – As fibras ópticas, de grande uso diag -
nóstico em Medicina (exame do interior do estômago e de outras
cavidades), devem sua importância ao fato de que nelas a luz se
propaga sem “escapar” do seu interior, não obstante serem feitas
de material transparente. A explicação para o fenômeno reside na
ocorrência, no interior das fibras, de
a) reflexão total da luz. b) dupla refração da luz.
c) polarização da luz. d) difração da luz.
e) interferência da luz.
11. (UERJ-MODELO ENEM) – O esquema abaixo mostra, de modo
simplificado, a transmissão de luz através de uma fibra óptica:
Para que as fibras possam funcionar como meio de transmissão,
é necessário que sejam bem definidos dois parâmetros:
– o ângulo limite entre a fibra e o exterior e
– módulo da velocidade da luz no seu interior.
Para que uma fibra óptica de índice de refração absoluto igual a ��2,
imersa no ar (nar = 1), possa transmitir luz exclusivamente por re -
flexão, o ângulo de incidência ( i ) deve superar o valor mínimo de:
a) 0° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
12. (UFSM-RS) – A figura mos -
tra um raio de luz que, a par -
tir do ar, incide perpen dicu lar -
 mente à su perfície lateral
curva de uma peça de vidro
hemicilín drica, sendo esse
raio refle tido inter na mente
por sua su perfície lateral pla -
na. Obser va-se que o raio
passa a ser totalmente refle -
tido, quando � > 45°. Consi-
derando o índice de refração absoluto do ar igual a 1, pode-se
concluir que o índice de refração absoluto n desse vidro é:
a) ��2 b) 2,0 ��2 c) ��2 / 2 d) 2,0 e) 3,0 ��2 / 2
13. (VUNESP) – A figura mostra um raio de luz monocromática propa -
gando-se no ar e atingindo o ponto A da superfície de um paralele -
pípedo retângulo feito de vidro transparente. A linha ponti-
 lha da, normal à super fície no ponto
de incidência do raio luminoso, e os
três raios represen tados estão situa -
dos num mesmo plano.
a) De acordo com a figura, que fe nô -
menos estão ocorren do no ponto
A?
b) O ângulo limite para um raio da luz
considerada, quando se propaga
desse vidro para o ar, é 42°.
Reproduza a figura numa folha de
papel, mostrando o que aconte cerá
com o raio no interior do vidro ao
atingir o ponto B.
14. (UFRJ) – Um raio de luz mono cromá tica, vindo do ar, incide com
ângulo de inci dência “l” na face superior de um bloco retan gular
de vidro, cujo índice de refra ção ab s oluto, para es sa luz, é ��2 . O
raio refrata-se com ân gu lo de re fra ção r = 30° e atinge a face
lateral do bloco, como mos tra a figura abaixo.
a) Calcule o ângulo de incidência “l”.
b) Verifique se o raio refratado consegue emergir do bloco de
vidro para o ar pela face lateral, justificando sua resposta.
15. (UFPE) – Um feixe de luz de comprimento de onda � = 400 nm,
paralelo à superfície BC de um prisma de vidro, incide na
superfície AB, como mostrado na figura. O índice de refração do
vidro depende de �, como indicado no gráfico a seguir. O maior
va lor possível do ângulo �, para que o feixe seja totalmente
refletido na superfície AB, é tal que
98
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 98
a) sen � = b) sen � = 
c) sen � = d) cos � = 
e) cos � = 
16. (ITA) – Numa experiência em que se mediu a razão R entre a
ene r gia luminosa refletida e a energia luminosa incidente na
interface entre dois meios de índices de refração absolutos n1 e
n2, em função do ângulo de incidência � (vide figura), obteve-se o
gráfico abaixo, em que R édada em porcentagem.
Das afirmativas:
I. n2 < n1.
II. n1 / n2 > 1,4.
III. A razão entre a energia refletida e a refratada a 30° é maior que
0,2.
IV. Para � > 42°, a luz é completamente refratada.
V. O raio refratado está mais afastado da normal do que o raio
incidente.
podemos dizer que
a) apenas I e II estão corretas. b) I, III e V estão corretas.
c) apenas III e V estão corretas. d) I, II e V estão corretas.
e) II, IV e V estão corretas.
17. (UEPB-MODELO ENEM) – Ao viajar num dia quente por uma es -
trada asfaltada, é comum enxergarmos ao longe uma “poça-d’á -
gua”. Sabemos que em dias de alta temperatura as camadas de
ar, nas proximidades do solo, são mais quentes que as camadas
superiores. Como explicamos essa miragem?
a) Devido ao aumento de temperatura, a luz sofre dispersão.
b) A densidade e o índice de refração absoluto diminuem com o
aumento da temperatura. Os raios rasantes incidentes do Sol
alcançam o ângulo limite e há reflexão total.
c) Devido ao aumento de temperatura, ocorre refração com
desvio.
d) Ocorre reflexão simples devido ao aumento da temperatura.
e) Devido ao aumento de temperatura, a densidade e o índice de
refração absoluto aumentam. Os raios rasantes incidentes do
Sol alcan çam o ângulo limite e sofrem reflexão total.
18. (UFRJ) – A figura mostra uma estrela localizada no ponto O,
emitindo um raio de luz que se propaga até a Terra. Ao atingir a
atmosfera, o raio desvia-se da trajetória retilínea original, fazendo
com que um observador na Terra veja a imagem da estrela na
posição I. O desvio do raio de luz deve-se ao fato de o índice de
refração absoluto da atmosfera variar com a altitude.
Explique por que o desvio ocorre do modo indicado na figura, res -
pondendo se o índice de refração absoluto cresce ou diminui à
medida que a altitude aumenta. (Na figura, a espessura da at -
mosfera e o desvio do raio foram grandemente exagerados para
mostrar com clareza o fenômeno.)
1
––––
1,47
1
––––
1,46
1
––––
1,47
1
––––
1,46
1
––––
1,45
99
5) a) Afasta-se.
b) nA > nB e o ângulo de incidência deve
superar o ângulo limite.
6) B 7) E
8) r = 10,0mm 9) C
10) A 11) C
12) A
13) a) Reflexão e Refração da Luz.
b)
14) a) 45°
b) Não, pois i > L na face lateral.
15) E
16) I) Correta II) Correta
III) Errada IV) Errada
V) Correta
Resposta: D
17) B
18) O índice de refração absoluto diminui
com o aumento da alti tude e, portanto,
o raio de luz aproxima-se cada vez
mais da normal. 
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 12:45 Página 99
100
O peixe sofre uma eleva ção aparente, graças ao fe nômeno da re fração que
ocorre no dioptro água-ar.
1. Definição
Dioptro plano é um conjunto de dois meios homo gê -
neos e transparentes separados por uma super fície pla na.
Exemplo: o conjunto constituído pelo ar e pela água
límpida e tranquila de um lago. O ar e a água, para que
haja homogeneidade e transparência, são considerados
em pequenas camadas.
2. Formação de imagens
Considerando, por exemplo, o dioptro plano ar-água,
temos:
Os esquemas apresentados mostram que:
No dioptro plano, objeto e imagem ficam sempre
do mesmo lado em relação à superfície S e têm na -
turezas opostas.
3. Equação de Gauss 
para os dioptros planos
Sejam:
p : distância do objeto P à superfície S.
a) ponto objeto real P
na água
b) ponto objeto real P
no ar
Devido ao fenômeno da refração, o peixe,
quando observado de fora-d’água, ocupa uma
posição mais próxima da superfície do que na
realidade está.
DIOPTRO PLANO
Óptica
2
CAPÍTULO
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 100
1. Se quisermos atingir, com um tiro de revólver, um peixe parado a
uma certa profundidade em um tanque (admitindo que o cano da
arma é colocado obliquamente à superfície da água e que a
trajetória da bala é retilínea), devemos
a) apontar diretamente para o ponto onde o peixe parece estar.
b) apontar um pouco acima do ponto onde o peixe parece estar.
c) apontar um pouco abaixo do ponto onde o peixe parece estar.
Resolução
Para a visão do peixe, a luz deve partir do peixe, refratar-se ao
passar da água para o ar e atingir nossa retina.
Como a água é mais refringente que o ar (nágua > nar), ao passar
da água para o ar, o módulo da velocidade de propagação da luz
aumenta e o raio luminoso se afasta da normal.
A posição real do peixe é P. Porém, o observador vê o peixe na
posição P’, mais próximo da superfície da água.
Assim, para um observador fora-d’água, os corpos no interior da
água sofrem uma elevação aparente, parecendo estar mais pró -
ximos da superfície da água, isto é, a uma profundidade menor
que a real.
Resposta: C
2. Considere um peixe a uma
profundidade de 1,0m e um
obser vador fora-d’água,
com os olhos a uma
distância de 1,0m da super -
fície da água, conforme
mostra o esquema.
Sendo o índice de refra ção
absoluto da água igual a 4/3,
deter mi ne:
a) Para o observador, qual a
distância apa rente entre
seu olho e o peixe?
b) Para o peixe, qual a sua distância aparen te ao olho do ob -
servador?
101
p’: distância da imagem P’ à superfície S.
n : índice de refração absoluto do meio onde está o
objeto P.
n’: índice de refração absoluto do outro meio.
Para raios de luz próximos à reta normal à superfície
S e passando por P (condições de aproximação de
Gauss), temos:
Demonstração
Pela Lei de Snell, temos: n sen i = n’ sen r
Nas condições de aproximação de Gauss (ângulos i e
r muito pequenos), temos: sen i � tg i e sen r � tg r
Portanto: n tg i = n’ tg r
n . = n’ . 
4. Aumento linear transversal
Nas condições de Gauss, um objeto linear colocado
em posição transversal (paralelo à fronteira) apresenta
para todos os seus pontos a mesma abscissa p e, portanto, 
as respectivas imagens terão a mesma abscissa p’ = p ,
isto é, a imagem A’B’ será paralela ao objeto AB.
Como os raios AA’ e BB’, sendo normais à fronteira,
são paralelos entre si, concluímos que A’B’
___
= AB
__
, como
segmentos de retas paralelas compreendidos entre retas
paralelas.
Como AB
__
= o e A’B’
___
= i, vem:
A = = = 1 ⇒
Portanto, nas condições de Gauss, o aumento
linear transversal do dioptro plano vale sempre 1.
––n = ––n’p p’
––n = ––n’
p p’
I1I2–––
p
I1I2–––
p’
i A = –––o
n’
––
n
i
–––
o
A’B’
___
–––––
AB
A = 1
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:52 Página 101
Resolução
a) Nessa situação, o peixe é objeto.
p = 1,0m (distância do objeto à fronteira)
n = (índice de refração absoluto do meio onde está o 
objeto)
n’ = 1,0 (índice de refração absoluto do outro meio: ar)
p’ = ? (distância da imagem à fronteira)
Da Equação de Gauss para dioptros planos, vem:
= ⇒ = ⇒
A profundidade “aparente” do peixe é de 0,75m (todo corpo
colocado dentro-d’água sofre uma elevação aparente para um
observador fora-d’água) e a distância entre o olho e o peixe,
para o observador, é de 1,75m.
b) Nessa situação, o olho será o objeto a ser observado pelo peixe.
p = 1,0m (distância do olho à fronteira)
n = 1,0 (índice de refração absoluto do meio onde está o objeto)
n’ = (índice de refração absoluto do outro meio: água)
p’ = ? (distância da imagem à fronteira)
Assim, vem: = ⇒ = ⇒
A altura aparente do olho do observador é de 1,33m (todo corpo
no ar sofre um afastamento aparente para um obser vador 
dentro-d’água) e a distância aparente entre o olho e o peixe é de
aproxi madamente 2,33m.
Respostas: a) 1,75m
b) � 2,33m
3. Um tijolo encontra-se no fundo de uma piscina na qual a profun -
didade da água é de 2,8m. O índice de refração absoluto da água 
é . Um observador fora da água, na vertical que passa pelo 
objeto, visa-o . Determinar a elevação aparente do tijolo.
Resolução
Do esquema, temos:
p = 2,8m (distância do objeto à superfície S)
n = (índice de refração absoluto do meio onde está o objeto)
n’ = 1,0 (índice de refração absoluto do ar)
p’ = ? (distância da imagem do tijolo à superfície S)
Da Equação de Gauss, para o dioptro plano, vem:
= ⇒ = ⇒
A elevação aparente será dada por: e = p – p’
e = 2,8 – 2,1(m) ⇒
Resposta: 0,70m
4. (UFMG-MODELO ENEM) –Um professor pediu a seus alunos
que explicassem por que um lápis, dentro de um copo com água,
parece estar que brado, como mostrado nesta figura:
Bruno respondeu: “Isso ocorre porque a velocidade da luz na
água é menor que a ve locidade da luz no ar.”
Tomás explicou: “Esse fenômeno está relacionado com a
alteração da frequência da luz quando esta
muda de meio.”
Considerando-se essas duas respostas, é correto afir mar que
a) apenas a de Bruno está certa.
b) apenas a de Tomás está certa.
c) as duas estão certas.
d) nenhuma das duas está certa.
Resolução
(I) Bruno está certo, pois o fenômeno observado (lápis “que -
brado”) deve-se à refração da luz, que, ao passar do ar para a
água, diminui de velocidade (VH2O < Var).
O esquema a seguir justifica o fato de o lápis aparentar estar
“quebrado para cima”.
(II) Tomás está errado, já que, na refração, a frequência da luz (ou
de qualquer outra onda) não se altera.
Isso pode ser comprovado pela manutenção da cor exi bida
pelo lápis, quando iluminado por um determinado tipo de luz.
Se ele apresentar-se vermelho, por exemplo, fora-d’água, tam -
bém será vermelha a parte sua imersa nesse líquido.
Resposta: A
5. (UECE) – Um peixe, observado diretamente do alto sobre um
lago, parece estar a 3,0m da superfície. Se o índice de refração da
água em relação ao ar é 4/3, a profun didade em que se encontra
realmente o peixe, em relação à superfície do lago, é:
a) 2,0m b) 3,0m c) 4,0m d) 5,0m
e = 0,70m
p’ = 2,1m
2,8
––––
4
––
3
p’
––––
1,0
p
––
n
p’
––
n’
4
––
3
4
––
3
p’ = 1,33m
4
––
3
––––
1,0
p’
––––
1,0
n’
––
n
p’
––
p
4
––
3
p’ = 0,75m
1,0
––––
4
––
3
p’
––––
1,0
n’
––
n
p’
––
p
4
––
3
102
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Resolução Pela Equação de Gauss, para o dioptro plano, temos:
p’ = p , em que: nobs → índice de refração ab so lu to
do meio onde está o ob ser -
vador.
nobj → índice de refração ab so lu to
do meio onde está o ob jeto.
Assim: p’ = p ⇒ 3,0 = p ⇒
Resposta: C
p = 4,0m
1
––––––
4
––
3
nar
––––––
nágua
nobs
––––––
nobj
103
6. (UFMG) – Qual a alternativa que melhor explica por que a profun -
didade aparente de uma piscina é menor do que a real?
a) A luz refletida na superfície da água é perturbada pela luz refle -
tida pelo fundo da piscina.
b) A luz refletida pela superfície da água sofre refração no ar.
c) A luz refletida pelo fundo da piscina sofre reflexão total na
super fície da água.
d) A luz refletida pelo fundo da piscina sofre refração ao passar
da água para o ar.
e) A luz é refratada ao passar do ar para a água.
7. (UFCE) – Coloca-se água num aquário de modo a ocupar 60cm de
sua altura.
Quando visto verticalmente de cima para baixo, a água parece
ocu par uma altura diferente h.
Supondo que a velocidade de propagação da luz no ar seja de
3,00 . 105 km/s e na água, de 2,25 . 105 km/s, determine a altura
apa rente h.
8. (MACKENZIE) – De acordo com o desenho a seguir, considere -
mos para um determinado instante a seguinte situação:
Admitindo que
1) A seja uma andorinha que se encontra a 10m da superfície
livre do líquido;
2) P seja um peixe que se encontra a uma profundidade h da su -
perfície S;
3) n = 1,3 seja o índice de refração absoluto da água,
podemos afirmar que
a) o peixe verá a andorinha só se estiver a 10m de profundidade.
b) o peixe verá a andorinha a uma altura aparente de 5,0m.
c) o peixe verá a andorinha a uma altura aparente de 13m acima
da superfície da água.
d) o peixe não verá a andorinha, pois a luz não se propaga de um
meio mais refringente para outro de menor refringência.
e) o peixe verá a andorinha a uma altura aparente de 26m.
9. (UFBA) – Um helicóptero faz um voo de inspeção sobre as águas
transparentes de uma certa região marítima e detecta um
submarino a uma profundidade aparente de 450m no momento
em que seus centros estão unidos pela mesma vertical. O índice
de refração absoluto da água do mar é 1,5 e o do ar é 1,0.
Determine a profundidade real do submarino.
10. (UNEMAT-MT-MODELO ENEM) – O esquema abaixo mostra um
pes cador pró ximo a
um lago observando
um peixe que se en -
contra dentro-d’água.
Sabe-se que o pes ca -
dor está com os olhos
a 2,0 me tros da super -
fície da água e que o
peixe se encontra a
uma profun didade de
1,3 me tro.
Sabe-se ainda que o índice de refração absoluto da água é igual a
4/3 e o índice de refração absoluto do ar é igual a 1. Com base nos
dados e no esquema acima, pode-se dizer que
a) a distância aparente entre o olho do pescador e o peixe é de
2,975m.
b) para o peixe, a distância aparente ao olho do pes cador é de
aproximadamente 2,667m.
c) a luz deve provir do pescador, atravessar a fronteira água-ar e
dirigir-se para seu olho para que ele possa ver o peixe.
d) a distância aparente entre o olho do peixe e o pes cador é de
1,73m.
11. (FESP-PE) – No perfil do recipiente da figura, a largura e a altura es -
tão na razão 3/4. A é um ponto luminoso; P1 e P2 são as po sições
onde se coloca o observador. Com base nas infor ma ções dadas
pelos desenhos, o índice de refração absoluto do líquido vale:
2 ��2 3 ��2 4 ��2 5 ��2
a) ––––– b) ––––– c) ––––– d) ––––– e) ��2
6 6 6 6 
6) D 7) 45cm 8) C 9) 675m 10) A 11) D
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104
Trajeto da luz ao atravessar uma lâmina de vidro imersa no ar.
1. Definição
Denomina-se “lâmina de faces paralelas” uma
associacão de dois dioptros planos: dioptro (1) – (2) e o
dioptro (2) – (3) com fronteiras paralelas.
É interessante o caso particular em que o meio (3)
coincide com (1).
Exemplo
Uma lâmina de vidro (meio 2) imersa no ar (meio 1 �
� meio 3).
2. Trajeto de um raio de 
luz ao atravessar a lâmina
Para efeito de raciocínio, admitamos que:
E, portanto: i > r > i’
n1 < n2 < n3
A luz refletida pelos
objetos expostos na vitrine sofre
desvios ao atravessar a lâmina
de vidro.
LÂMINA DE FACES PARALELAS
Óptica
3
CAPÍTULO
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105
3. Propriedade
a) O ângulo de emergência i’ independe do meio (2).
De fato, da Lei de Snell-Descartes, temos:
= (I) e = (II)
Multiplicando-se (I) e (II), membro a membro:
. = . 
ou = 
Assim:
b) Se os meios (1) e (3) coincidem, então:
O RAIO EMERGENTE SERÁ PARALELO AO
INCIDENTE.
De fato: se n1 = n3, resulta sen i’ = sen i, e como são
ângulos do primeiro quadrante, então: i = i’, o que de -
mons tra a propriedade.
Esquema, supondo n2 > n1 = n3:
meio 1 (ar)
meio 2 (vidro)
meio 3 (ar)
Observe o esquema completo:
4. Desvio lateral
No caso particular de (3) � (1), procuremos obter o
deslocamento lateral d (ver figura anterior) entre o raio
emergente e o raio incidente.
Sendo e a espessura da lâmina,
no �I1I2A, temos: (I)
no �I1I2B, temos: (II)
Dividindo-se (II) por (I) ⇒
Fazendo uso de fórmulas trigonométricas, podemos
escrever:
(III)
Porém: = n21 ⇒ (IV)
e cos r = �����1 – sen2r ⇒ (V)
Substituindo-se (IV) e (V) em (III), resulta:
d = e [ sen i – . cos i ]
sen i
–––––
n21
n21
––––––––––––
�����n
21
2 – sen2i
�����n212 – sen2i cos r = –––––––––––– 
n21
sen i
–––––
sen r
sen i
sen r = ––––– 
n21
(sen i cos r – sen r cos i)
d = e –––––––––––––––––––––––
cos r
e sen (i – r)
d = –––––––––––
cos r
sen (i – r)
––d = –––––––––
e cos r
sen (i – r) = ––––d
I1I2
cos r = ––––e
I1I2
n1sen i’ = ––– . sen i
n3
sen i
–––––
sen i’
n3––––
n1
sen i
–––––
sen r
sen r
–––––
sen i’
n2––––
n1
n3––––
n2
sen i
–––––
sen r
n2––––
n1
sen r
–––––
sen i’
n3––––
n2
cos i
d = e sen i [ 1 – –––––––––––––– ]
�����n212 – sen2i
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106
Notas:
I. Para i = 0 (incidência normal), temos sen i = 0 
e d = 0, isto é, quando a incidência da luz é normal à
lâmina, não há desvio lateral.
II. Para i = 90° (incidência rasante), temos sen i = 1;
cos i = 0 e d = e, isto é, quando a incidência da
luz é rasante à lâmina, o desvio lateral é máximo e
igual à própria espessura da lâmina (e).
III. Paraincidência não normal (i ≠ 0) e não rasan -
te (i ≠ 90°), o desvio d será função crescente do
índice de refração relativo n21 (suposto maior que 1).
Por outro lado, n21 é função crescente da frequência
da luz usada.
Assim, o desvio lateral cresce da radiação vermelha
para a violeta, isto é, é mínimo para a luz vermelha e
máximo para a luz violeta.
5. Reflexão total
Considere-se uma lâmina de faces paralelas com os
três meios (1), (2) e (3) distintos.
Estudemos em que condições a luz proveniente do
meio (1) sofre reflexão total no dioptro (2) ↔ (3):
Para haver reflexão total na fronteira (2) ↔ (3) com a
luz provindo do meio (2), devemos ter n2 > n3 e o ângulo
de incidência superior ao ângulo limite desse dioptro.
Assim: r > L ⇒ (I)
Porém: n1 sen i = n2 sen r ⇒ (II)
Ainda: (III)
Substituindo-se (II) e (III) em (I), resulta:
. sen i > ⇒
Portanto, somente haverá reflexão total para ângulos
de incidência (i) que satisfaçam a relação:
sen i > 
Note-se que, se n3 > n1 ou n3 = n1, não poderá haver
reflexão total, pois:
≥ 1 e sen i não pode ser maior que 1.
Podemos, então, enunciar a seguinte importante pro -
prie dade:
6. Visão através de uma vidraça
Quando olhamos através de uma lâmina de faces pa -
ra lelas, por exemplo uma lâmina de vidro, a imagem do
objeto estará mais próxima do observador do que o pró -
prio objeto.
QUANDO EM UMA LÂMINA DE FACES PA -
RALELAS HÁ COINCIDÊNCIA DOS MEIOS
(1) E (3), A LUZ PROVENIENTE DE UM DES -
SES MEIOS NUNCA SOFRERÁ REFLEXÃO
TOTAL NO INTERIOR DA LÂMINA.
n3––––
n1
n3––––
n1
n1–––
n2
n3––––
n2
n3sen i > –––
n1
n3sen L = –––
n2
n1sen r = ––– sen i
n2
sen r > sen L
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1. Considere dois garotos, A e B, observando um peixe em um lago,
como indicado na figura abaixo. O ga roto B observa o peixe
diretamente sob ele. Sejam hA e hB as profundidades aparentes
do peixe percebidas res pectivamente pelos garotos A e B e seja
h a pro fundidade real do animal.
A comparação entre hA, hB e h permite concluir que:
a) hA = hB = h b) hA = hB < h c) hA < hB < h
d) hA > hB > h e) hB < hA < h
Resolução
No esquema a seguir, traçamos os raios luminosos que de finem
as imagens IA e IB contempladas respectivamente pelos garotos
A e B.
Do esquema, concluímos que
Resposta: C
2. (FUVEST) – Certa máquina fotográfica é fixada a uma distância D0
da superfície de uma mesa, montada de tal forma a foto grafar,
com nitidez, um desenho em uma folha de papel que está sobre
a mesa.
Desejando manter a folha esticada, é colocada uma placa de
vidro, com 5cm de espessura, sobre ela. Nesta nova situação,
pode-se fazer com que a foto grafia continue igualmente nítida
a) aumentando D0 de menos de 5cm.
b) aumentando D0 de mais de 5cm.
c) reduzindo D0 de menos de 5cm.
d) reduzindo D0 de 5cm.
e) reduzindo D0 de mais de 5cm.
Resolução
Com a presença da lâmina de vidro, um ponto P per tencente à
figura da folha sofre uma elevação apa rente d, inferior a 5cm,
conforme mostra a figura.
Para manter constante a distância entre a câmara foto gráfica e o
seu objeto (que no caso passou a ser P’), a câmara deve ser
elevada de uma distância d (menor que 5cm).
Resposta: A
3. Um estreito feixe cilíndrico de luz monocromática de verá
atravessar um bloco de vidro de faces para lelas, de índice de
refração igual a 1,5. O feixe incide obliquamente na face A que
está em contato com o ar (índice de refração igual a 1,0) e emerge
pela face B que está em contato com a água (índice de refração
igual a 1,3). Desprezando as reflexões, aponte a alter nativa que
melhor representa a trajetória da luz ao atra vessar o bloco.
Resolução
(I) Ao refratar-se do ar para o vidro, a luz aproxima-se ‘bastante’
da normal, já que o índice de refração relativo entre o vidro e
o ar é relativamente grande.
(II) Ao refratar-se do vidro para a água, a luz afasta-se ‘pouco’ da
normal, já que o índice de refração relativo entre o vidro e a
água é relativamente pequeno.
Resposta: C
hA < hB < h
107
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:53 Página 107
4. Um raio de luz, propagando-se no ar, incide numa lâmina de faces
paralelas feita de um material cujo índice de refração absoluto vale
��3 ; a incidência na superfície da lâmina se dá sob um ân gu lo de
60° com a reta normal.
Se a lâmina tem espessura de 4,0cm, pede-se:
a) Desenhar a trajetória do raio de luz até a emergência da lâ mi -
na.
b) Calcular o ângulo de refração interno à lâmina.
c) Calcular o desvio lateral sofrido pelo raio de luz.
Dado: nar = 1.
Resolução
a) Como o meio envolvente é o ar, então:
b) Aplicando a Lei de Snell à primeira face, vem:
n1 sen i = n2 sen r
1,0 . sen 60° = ��3 . sen r
1,0 . = ��3 sen r ⇒ sen r = 0,50 ⇒
c) Utilizando a expressão do desvio, temos:
4,0 sen (60° – 30°) 4,0 sen 30°
d = ––––––––––––––––– (cm) ⇒ d = ––––––––––––– 
cos 30° cos 30°
d = 4,0 tg 30° (cm) ⇒ d = cm ⇒
Resposta: 2,3cm
5. (FUVEST) – Um raio luminoso proveniente do ar atinge uma
lâmina de vidro de faces paralelas com 8,0cm de espessura e
índice de refração absoluto igual a 1,5. Este raio sofre refração ao
atingir a primeira superfície; refração e reflexão ao atingir a
segunda superfície (interna).
a) Trace as trajetórias dos raios: incidente, refratados e refletidos.
b) Determine o tempo para o raio atravessar a lâmina, sendo o
seno do ângulo de incidência igual a 0,90.
Dado: c = 3,0 . 108m/s.
Resolução
a) Na figura, temos um traçado
completo dos raios de luz par -
ticipantes do fenômeno.
b) Determinemos, inicialmente, o módulo da velocidade da luz ao
se propagar na lâmina, através do índice de refração absoluto
do vidro.
c 3,0 . 108
n = ––– 1,5 = –––––––––– ⇒
V V
No interior da lâmina, o segmento de reta AC
__
determina a
distância �s percorrida pela luz. Para encontrar seu valor, apli -
que mos a Lei de Snell-Descartes à primeira face.
nar sen i = nvidro . sen r
1,0 . 0,90 = 1,5 . sen r 
3,0
sen r = –––– = 0,60 
5,0
Da Trigonometria, obtém-se:
(0,60)2 + cos2r = 1 ⇒ cos2r = 1 – 0,36 = 0,64
No triângulo ABC da figura, temos:
cos r = ⇒ 0,80 =
⇒
Portanto, para a determinação do intervalo de tempo (�t), te -
mos:
2,0 . 108 = –––––0,10 ⇒
�t
Respostas: a) ver figura
b) 5,0 . 10–10s
6. Determine a equação de conjugação para uma lâmina de faces
paralelas imersa em um meio menos refringente que o material
da lâmina.
O índice de refração absoluto do material da lâmina vale n2 e do
meio externo vale n1.
Resolução
1) Para a refração no dioptro (1) → (2), temos:
objeto real P de abscissa p
imagem virtual P1 de abscissa p1
Portanto: (1)
2) Para a refração no dioptro (2) → (1), temos:
objeto real P1 de abscissa p1 + e
imagem virtual P’ de abscissa p’ + e 
Portanto: (2)
Substituindo-se (1) em (2), resulta:
p’ + e = � p –––n2 + e � –––n1n1 n2
p’ + e = p + e ⇒
n1
–––
n2
p’ = p + e (–––n1 – 1)n2
p’ + e = (p1 + e) –––
n1
n2
p1 = p –––
n2
n1
�t = 5,0 . 10–10 s
V = –––
�s
�t
AC
__
= 10cm = 0,10m
8,0
––––––––
AC
–––
AB
––––––––
AC
cos r = 0,80
sen2r + cos2r = 1
V = 2,0 . 108m/s
d � 2,3cm
4,0 ��3
––––––––
3
e sen (i – r)
d = ––––––––––––
cos r
r = 30°
��3
–––––
2
108
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:53 Página 108
109
7. (FUVEST) – Um feixe de luz monocromática incide sobre lâminas
paralelas de diamante e vidro, como representado na figura.
Sendo os índices de refração absolutos de 2,42 para o diamante
e 1,52 para o vidro, qual das linhas da figura melhor representa a
trajetória do feixe luminoso?
8. (FUVEST) – Numa folha de papel, num plano horizontal, está de se -
nhado um círculo de centro C. Sobre a folha é colocada uma pla ca
grossa de vidro, cobrindo metade do círculo. A figura mostra uma
pessoa olhando para o círculo, com seu olho no eixo vertical OC. A
figura que melhor representa o que a pessoa enxer ga é:
9. (UFRGS) – Na figura abaixo, um feixe de luz monocromá tica I,
proveniente do ar, incide sobre uma placa de vidro de faces planas
e paralelas, sofrendo reflexõese refrações em ambas as faces da
placa. Na figura, �i representa o ângulo formado pela direção do
feixe incidente com a normal à superfície no ponto A, e �r
representa o ângulo formado pela direção da parte refratada
desse feixe com a normal no mesmo ponto A.
Pode-se afirmar que os ângulos �, � e � definidos na figura são,
pela ordem, iguais a:
a) �i, �r e �i b) �i, �i e �r c) �r , �i e �r
d) �r, �r e �i e) �r, �i e �i
10. (UEFS) – Uma lâmina de faces paralelas, construída de forma que
uma das suas faces é espelhada internamente, está imersa no ar.
Um raio luminoso, propagando-se no ar, incide, com ângulo i, na
face não espelhada e é refratado. Em seguida, o raio é refletido na
face espelhada e volta ao ar, depois de ser novamente refratado.
O ângulo de refração, no retorno do raio luminoso da lâmina para
o ar, é igual a:
a) i/2 b) i c) 3i/2 d) 2i e) 5i/2
11. (UFPA) – O desvio angular sofrido por um raio de luz que incide
segundo um ângulo de 60° com a normal à superfície de uma
lâmina de faces paralelas, após atravessá-la, é de:
a) 0° b) 15° c) 30° d) 60° e) 120°
12. Um raio luminoso incide formando um ângulo de 60° com a
normal, em uma lâmina de faces paralelas de índice de refração
absoluto ��3 . 
Sendo a espessura da lâmina igual a ��12cm e o meio envol -
vente o ar (nar = 1), determine o desvio lateral sofrido pelo raio
após atravessar a lâmina.
13. (PUCC) – Quando se observa um objeto através de uma vidraça
comum, vemos
a) uma imagem real do objeto.
b) uma imagem virtual do objeto.
c) o próprio objeto.
d) uma imagem imprópria do objeto.
e) uma imagem invertida.
14. (UFBA) – Um feixe de luz monocromática, cuja velocidade no
vácuo tem módulo igual a 3,0 . 108m/s, incide perpendicular men -
te em uma lâmina transparente e espessa de índice de refração
absoluto n = 1,50. Determine a espessura da lâmina, sabendo
que a luz gasta 1,0 . 10–10s para atravessá-la.
15. (UECE) – Um raio de luz propagando-se no ar incide com um
ângulo de incidência igual a 45° em uma das faces de uma lâmina
em forma de paralelepípedo feita com um material transparente
de índice de refração n, como mostra a figura.
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Sabendo-se que a linha AC é o prolongamento do raio incidente, 
d = 4cm e BC = 1cm, assinale a alternativa que contém o valor de
n.
a) 2 ���3 b) c) d) 1,5
16. (VUNESP) – Observe a tabela:
Volumes iguais desses dois líquidos foram
colocados cui da do sa mente em um recipien -
te cilíndrico de grande diâ metro, mantido em
repouso sobre uma superfície hori zon tal,
formando-se duas cama das distintas, I e II,
de mesma altura, conforme figura.
a) Qual dessas substâncias forma a ca ma da
I? Justifi que sua res posta.
b) Um raio de luz incide com ângulo i > 0° num ponto da super -
fície do líquido I e se refrata, sucessivamente, nas duas su -
perfícies de separação, atingindo o fundo do recipiente.
Co pie a figura e esboce qualitativamente a trajetória desse
raio, desde o ar até o fundo do recipiente.
17. (PUC-PR) – Uma superfície espelhada e plana E é recoberta por
uma lâmina de vidro V de faces paralelas. As linhas pontilhadas
são perpendiculares às faces de V. O vidro tem índice de refração
absoluto igual a ��3 . Um raio luminoso proveniente do ar (n = 1)
propaga-se neste sistema:
O ângulo � mede:
a) 30° b) 60° c) 45° d) 15° e) 35°
18. (MED.-TAUBATÉ) – Tem-se um aparelho que emite um feixe
colimado, estreito, de luz verde. Mas o feixe é, na verdade,
mistura de luz amarela com azul. Pode-se descobrir tal fato, fa -
zendo-se incidir o feixe numa lâmina de vidro de faces para le las?
a) Não; os dois feixes emergeriam da lâmina coincidentes.
b) Sim; aumentando-se o ângulo de incidência até o ângulo limite
de refração de uma das cores; então só a outra se transmitiria.
c) Sim; uma das cores sofreria um desvio de direção maior que a
outra, numa incidência oblíqua.
d) Sim; uma das cores sofreria um deslocamento paralelo maior
que a outra, numa incidência oblíqua.
e) Sim; a cor do feixe emergente seria diferente para diferentes
ângulos de incidência.
19. (UFPE) – Uma lâmina de faces paralelas de um material de índice
de refração absoluto µ1 = 1,5 separa um material de índice
de refração absoluto µ2 = ��2 do ar. Qual deve ser o ângulo �2
de incidência sobre a lâmina para que um feixe luminoso que vem
do meio 2 sofra reflexão interna total na superfície da lâmina em
contato com o ar?
20. (E.E.MAUÁ) – Um sistema óptico é formado por três meios
homogêneos, transparentes, de índices de refração absolutos,
res pectivamente, n1, n2 e n3, com n1 = n3 > n2. As superfícies de
se paração entre os meios são dois planos paralelos, situados à
distância mútua a. Um raio luminoso monocromático, vindo do
primeiro meio, atinge a fronteira que separa os meios (1) e (2) com
ângulo de incidência i. Determine a condição que o ângulo i deve
satisfazer para que o raio retorne ao meio 1, não passando para o
meio 3.
21. Para o esquema dado, calcule o valor de i para que o trajeto da luz
seja o indicado.
Substância
líquida
(ordem alfabética)
Massa
específica
(g/cm3)
Índice de refração
em relação ao ar
água
dissulfeto de 
carbono
1,00
1,26
1,33
1,63
3 ���3
––––––
2
5 ���2
––––––
6
110
7) B 8) B 9) A 10)B
11) A 12) 2,0cm 13)B
14) 2,0cm 15) B
16) a) água
b)
17) A 18) D 19) �2 > 45°
20) sen i > –––
n2
n1
21) i = 30°
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111
1. Definição e elementos
Define-se prisma óptico como uma associação de
dois dioptros planos não paralelos, isto é, um conjunto de
três meios homogêneos e transparentes, separados por
duas superfícies planas não paralelas.
a) Ângulo de refringência: A (ou ângulo de
abertura do prisma) é o ângulo diedro, formado entre as
superfícies dióptricas (superfícies planas que constituem
as fronteiras dos dioptros associados).
b) Aresta do prisma: é a reta intersecção das
superfícies dióptricas.
c) Secção principal do prisma: é a secção do
prisma por um plano perpendicular à aresta.
d) Base do prisma: na prática, o prisma é limitado
por uma terceira superfície plana, oposta à aresta,
denomi nada base do prisma.
e) Faces do prisma: as superfícies dióptricas e a
base do prisma são denominadas “faces do prisma”.
A: ângulo de abertura do prisma ou ângulo de refringência.
Vista frontal da secção principal.
A luz atravessando um prisma de vidro
imerso no ar e decompondo-se nas suas
várias cores.
PRISMAS 
ÓPTICOS
Óptica
4
CAPÍTULO
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:53 Página 111
2. Hipóteses para o 
estudo dos prismas
a) Admitiremos que os meios (1) e (3) sejam
idênticos e que o meio (2) corresponda ao próprio mate -
rial de que é feito o prisma.
b) Admitiremos que n2 > n1, isto é, o material do
prisma seja mais refringente que o meio onde ele se
encontra imerso.
c) A luz usada será sempre monocromática.
Para a luz policromática, haverá o fenômeno de
dispersão, que será estudado oportunamente.
d) Admitiremos que a luz incida sempre no plano de
uma secção principal. Assim, a representação do prisma,
por nós adotada, será a de uma secção principal.
3. Caminho óptico do 
raio de luz ao atravessar o
prisma. Equações do prisma
Seja o raio RI1 incidindo no prisma, em um plano de
uma secção principal (representada na figura).
Como, por hipótese, n2 > n1, o raio se aproximará da
normal, , seguindo internamente ao prisma o tra -
jeto I1 I2.
O raio emergente I2R’ torna a afastar-se da normal, o
que equivale a dizer que: .
Com base na Lei de Snell-Descartes e usando as
propriedades geométricas da figura, procuremos estabe -
lecer as “equações do prisma”.
1.o) Na refração no dioptro (1) → (2), temos:
(I)
2.o) Na refração no dioptro (2) → (1), temos:
= ou (II)
3.o) O ângulo entre as normais n1 e n2 (ver figura) é
igual a A e externo ao triângulo I1I2M, portanto:
(III)
pois um ângulo externo é a soma dos internos não adja -
centes.
4.o) O ângulo entre o raio incidente RI1 e o raio
emer gente I2R’ é denominado “ângulo de desvio do raio
de luz”e representado por �.
O ângulo � é externo ao triângulo NI1I2 e, portanto,
vale a soma dos internos não adjacentes, isto é:
� = i – r + i’ – r’ ou � = i + i’ – (r + r’)
Como r + r’ = A, vem:
(IV)
Na foto, podemos observar o caminho óptico seguido pelo raio 
de luz e as refrações sofri das nas faces de incidência e emer gên cia.
4. Estudo do ângulo de desvio
O ângulo de desvio � é função
a) do índice de refração relativo do prisma;
b) do ângulo de refringência A;
c) do ângulo de incidência i.
I. Em relação ao índice de refração n21 e ao ângu lo
de refringência A, o desvio é função crescente, isto é:
“O ÂNGULO DE DESVIO � AUMENTA,
QUANDO AUMENTAMOS O ÂNGULO DE RE -
FRIN GÊNCIA A OU QUANDO AUMEN -
TAMOS O ÍNDI CE DE REFRAÇÃO n21.”
Observação
O índice de refração n21 cresce com a frequência da
luz monocromática usada e, portanto:
“O DESVIO � É TANTO MAIOR QUANTO
MAIOR A FREQUÊNCIA DA LUZ MONO -
CROMÁ TICA USADA.”
Assim, das radiações visíveis, o desvio é máximo
para a luz violeta (frequência máxima) e mínimo para a
luz vermelha (frequência mínima).
� = i + i’ – A
A = r + r’
sen r’
–––––
sen i’
n1–––––
n2
sen i’ n2––––– = –––
sen r’ n1
sen i n2––––– = –––
sen r n1
i’ > r’
r < i
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Quando luz branca atravessa um prisma, ela sofre o
fenômeno de dispersão, que consiste na separação das
cores que a constituem.
Para cada cor, o prisma apresenta um índice de refra -
ção relativo (n21) diferente e, portanto, as diferentes co -
res sofrem diferentes desvios e são separadas.
A cor menos desviada é a vermelha e a mais desviada
é a violeta.
II. Em relação ao ângulo de incidência i, inicial -
mente, com o aumento de i o desvio diminui, passa por
um mínimo, para tornar a crescer.
O diagrama qualitativo da função � = f(i) é re -
presentado adiante:
O fenômeno da dispersão da luz branca ao atravessar o prisma origina as sete
cores do espectro.
Do diagrama, obser va mos que, para um desvio
especificado �1, existem dois ângulos de incidência i1 e
i2 capa zes de produzir tal des vio (ver figura).
Isto se explica pela reversibilidade da luz, pois, quando
o ângulo de inci dência i for igual a i1, o ân gulo de
emergência i’ será igual a i2 e, quando o ângulo de
incidência for i2, o de emergência será i1 e o ângulo de
desvio � = i + i’ – A será o mesmo, nos dois casos.
{ i = i1 } ⇒ �1 = i1 + i2 – A
i’ = i2
{i = i2 } �1 = i2 + i1 – Ai’ = i1
5. Desvio mínimo (�m)
O diagrama da função � = f(i) nos indica que,
quando o desvio assume seu valor mínimo �m, o ângulo
de incidência correspondente é único, isto é, i1 = i2, o que
nos leva a concluir que:
“PARA QUE O DESVIO EXPERIMENTADO
POR UM RAIO DE LUZ, AO ATRAVESSAR
UM PRISMA, SEJA MÍNIMO, O ÂNGULO DE
INCI DÊN CIA DEVE SER IGUAL AO DE
EMER GÊN CIA.”
{ i’ = i }r’ = r ⇒ � = �m
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Procuremos obter os valores de im, rm e �m, sendo im
e rm os ângulos correspondentes ao desvio mínimo �m.
Assim:
De , obtém-se:
{ � = �m }i = i’ = im ⇒ (1)
De 
Como r = r’ = rm, resulta: 2 rm = A ⇒ (2)
De , vem { i = im }r = rm = 
(3)
As expressões (1) e (3) nos revelam um processo de
obtenção do índice de refração do prisma n21.
De fato, de (1) temos: 
que, substituído em (3), nos dá:
(4)
Importante
�m é obtido experimentalmente e, para A medido
com instrumentação conveniente, podemos obter n21
pela equação (4).
6. Desvios para pequenos 
ângulos de incidência e
prismas de pequena abertura
Para ângulos de incidência (i) e ângulo de
refringência (A) de alguns graus de medida (até
aproximadamente cinco graus), podemos usar a “Lei de
Kepler”:
e
e o desvio � dado por:
pode ser escrito:
� = r . n21 + r’ . n21 – A ⇔ � = (r + r’) n21 – A
Como r + r’ = A, resulta: � = A n21 – A
Ou ainda:
Tal expressão nos mostra que:
“PARA PEQUENOS ÂNGULOS DE INCIDÊN -
CIA E PRISMAS DE PEQUENA ABERTURA, O
DES VIO INDEPENDE DO VALOR DO
ÂNGULO DE INCIDÊNCIA.”
E ainda nos revela, de maneira clara, que � cresce
com o aumento de A e de n21.
Nota-se ainda que, para n21 fixo, � é função
proporcional de A.
7. Prismas de reflexão total
Os materiais de que são constituídos tais prismas têm
um índice de refração absoluto tal que o ângulo limite,
quando o prisma está imerso no ar, é da ordem de 42°.
Os prismas de reflexão total visam conseguir mudar
a direção de propagação da luz ou endireitar imagens,
fazendo com que a luz, internamente ao prisma, sofra
uma ou mais reflexões totais.
Exemplos
A) Prisma de Amici, desvio de 90°, usado em pe -
ris cópios.
� = i + i’ – A 
� = A (n21 – 1)
� = i + i’ – A
i
––– = n21r
i’ 
––– = n21r’
�m + Asen –––––––
2
n21 = –––––––––––– A
sen ––
2
�m + Aim = –––––––2
sen im
––––––– = n21A
sen ––
2
A
––
2
sen i
––––– = n21sen r
A
rm = –––2
r + r’ = A
�m = 2 im – A
114
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Para alguns ângulos críticos, 
podemos observar o fenômeno de reflexão total.
Em alguns modelos de periscópios, temos a utilização de prismas de reflexão total.
B) Prisma de Porro, 
desvio de 180°, usado em bi nó culos.
Nos exemplos citados, para que ocorra reflexão to tal
com ângu lo de incidência i = 45°, devemos ter:
i > L (ângulo limite) ⇒ (1)
Como i = 45° ⇒ sen i = e ainda sen L = , 
em que nar = 1 (índice de refração absoluto do ar) e n
representa o índice de refração absoluto do material de
que é feito o prisma.
Substituindo na equação (1), temos:
> ⇒
PORTANTO, NOS PRISMAS DE REFLEXÃO
TOTAL DE AMICI (� = 90°) E DE PORRO
(� = 180°), O MATERIAL DE QUE É FEITO O
PRISMA DEVE TER ÍNDICE DE REFRAÇÃO
RELATIVO AO AR MAIOR DO QUE ��2.
Caminho seguido por um raio de luz no interior de binóculos, em que o prisma
de Porro tem papel fundamental.
��2
––––
2
1
–––
n
2
n > ––––––
��2
n > ��2
��2
––––
2
nar–––
n
sen i > sen L
115
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1. (ITAJUBÁ-MG) – Considere um prisma de ângulo de re fringên cia
igual a 30°, mergu lhado no ar. 
Qual o valor do índice de re -
fra ção absoluto do material
do prisma, para que um raio
lu minoso monocromático, in -
ci dindo nor mal mente a uma
de suas faces, saia tangen -
ciando a face oposta?
Resolução
Temos que: A = 30°; i = 0° e i’ = 90°
Da figura, tiramos que r’ = 30° e, aplicando a Lei de Snell para a
refração na saída da luz do prisma, teremos:
n . sen 30° = nar . sen 90° n . ––
1 = 1,0 . 1 ⇒
2
Resposta: n = 2,0
2. Um raio de luz incide na face
de um prisma de acordo com
a fi gura dada. 
Se o meio envol ven te é o ar
(nar = 1,0), determine
a) o ângulo de emergência i2;
b) o desvio angular � sofrido
pelo raio de luz.
Resolução
a) Aplicando a Lei de Snell-Descartes na face S1, temos:
1,0 . sen 60° = n2 sen 30°
1,0 . ��3 / 2 = n2 1/2 ⇒
Da expressão do ângulo de refringência, resulta:
60° = 30° + r2
Podemos, finalmente, aplicar a Lei de Snell à face S2 e deter 
minar o ângulo de emergência i2.
��3 . sen 30° = 1,0 . sen i2
��3 . = sen i2
b) Da expressão do desvio, temos:
� = 60° + 60° – 60°
Observe a trajetória completa do raio de luz.
Respostas: a) 60° b) 60°
3. Sobre um prisma de vidro 
(n2 = ��2 ) imerso no ar, faze -
mos um raio de luz monocro -
mática incidir com ângulo de
incidência variá vel.
Sabe-se que o ângulo de
inci dência (i) é igual a 45° e o
des vio sofrido pelo raio de luz
é o mínimo possível.
a) Qual o ângulo de emergência i’?
b) Qual o valor de desvio mínimo?
Resolução
a) Sendo o desvio mínimo, devemos ter: i’ = i ⇒
b) O desvio é dado por: 
Como: i = i’ = 45° e A = 60°, obtém-se: 
�m = 45° + 45° – 60°
Respostas: a) 45° b) 30°
4. A respeito do desvio experimentado por um raio de luz ao
penetrar em um prisma, podemos afirmar:
1) é independente da radiação monocromática;
2) é função crescente do ângulo de incidência;
3) é função crescente do ângulo de refringência;
4) é independente do índice de refração relativo do prisma.
Resolução
1) Errada – O desvio an gular � é função cres cen te do índicede re -
fra ção relativo do mate rial de que é feito o pris ma e que, por sua
vez, é fun ção crescente da fre quência da radia ção utili zada.
2) Errada – O desvio angular � é inicialmente função decrescente
do ângulo de incidência, atinge um valor mínimo e, em
seguida, torna-se função crescente do ângulo de incidência (i).
3) Correta.
4) Errada.
5. (ITA) – O Método do Desvio Mínimo, para a medida do índice de
refração, n, de um material transparente, em relação ao ar, con -
siste em se medir o desvio mínimo � de um feixe estreito de luz
que atravessa um prisma feito desse material. 
�m = 30°
� = i + i’ – A
i’ = 45°
� = 60°
� = i1 + i2 – A
i2 = 60°
1
––
2
n2 sen r2 = n1 sen i2
r2 = 30°
A = r1 + r2
n2 = ��3
n1 . sen i1 = n2 sen r1
n = 2,0
116
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Para que esse método possa ser aplicado (isto é, para que se
tenha um feixe emergente), o ângulo A do prisma deve ser menor
que:
a) arcsen (n) b) 2 arcsen (1/n) c) 0,5 arcsen (1/n)
d) arcsen (1/n) e)
Resolução
Nas condições de desvio mínimo, temos a seguinte configuração:
Da geometria da fi -
gura, nas condi ções
de desvio mí ni mo,
resulta:
A = 2r (I)
Para que o método possa ser aplicado e de fato tenhamos o feixe
emergente do prisma, é necessário que o ângulo de incidência (r) na
segunda face não supere o ângulo limite (L) do dioptro pris ma-ar.
Assim, sen r ≤ sen L (II)
Substituindo-se (I) em (II):
sen ≤
≤ arc sen � �
Resposta: B
6. (FUVEST) – Um pincel de luz branca incide perpendicularmente
em uma das faces menores de um prisma, cuja secção principal
é um triângulo retângulo e isósceles.
O prisma está imerso no ar e é constituído de um material trans -
parente, que apresenta, para as sete radiações monocromáticas
caracterizadas por sua cor, o índice de refração absoluto n, indi ca -
do na tabela a seguir.
violeta ......................................................1,48
anil ............................................................1,46
azul............................................................1,44
verde ........................................................1,42
amarelo ....................................................1,40
alaranjado..................................................1,39
vermelho ..................................................1,38
Valores numéricos de alguns senos:
sen 30° = ; sen 45° = ; sen 60° =
Observa-se que nem todas as radiações atin gem um ante pa ro
des ti nado a rece ber o es pectro.
Quais as cores rece bi das no anteparo? Jus tifique sua res pos ta.
Resolução
Sofrerão reflexão total e não atingirão o anteparo as radiações
para as quais o ângulo de incidência, que vale 45°, superar o
ângulo li mite do dioptro prisma-ar.
Assim: 45° > L ⇒ sen 45° > sen L
> ⇒
Como ��2 � 1,41, teremos n > ��2 , de acordo com a tabela dada,
para as radiações violeta, anil, azul e verde; tais cores sofrerão
reflexão total e não atingirão o anteparo. As demais cores (ama -
relo, alaranjado e vermelho) atravessam o prisma e são detec -
tadas no anteparo.
Resposta: vermelho, alaranjado e amarelo.
7. (UNAMA-MODELO ENEM) – A Geometria e a Física podem
solucionar, juntas, muitos fenô -
menos físicos. A figu ra ao lado
representa a se ção trans versal de
um prisma óptico imerso no ar,
tendo dois lados iguais (AB e AC).
Perpendicular mente à face AB,
incide um raio lumi noso mono -
cromático que se propaga até a
face espelhada AC, onde é refle -
tido direta men te para a face AB.
Ao atingir esta face, o raio
luminoso sofre uma nova reflexão
(reflexão total), de maneira que, ao
se propagar, atin ge perpendicu lar mente a face BC, de onde
emerge para o ar. Com base nestas infor ma ções, podemos
afirmar que o ângulo de refrin gência do prisma (ângulo �,
mostrado na figura) vale:
a) 18° b) 72° c) 45° d) 36 e) 60°
Resolução
Na figura, o ângulo de
incidência na face AC vale �
(i1 = �, já que i1 e � são
ângulos de lados per pen -
dicu lares).
No triângulo I1 I2 I3, temos:
90° + 2� + 90° – i2 = 180°
No triângulo I3 B I4, temos:
90° + � + 90° – i2 = 180°
Portanto, � = 2�
No triângulo ABC, temos:
� + 2� = 180° ⇒ � + 4� = 180° ⇒ 5� = 180° ⇒
Resposta: D
8. (FAZU-MODELO ENEM) – No laboratório didático da escola, é
feita a seguinte experiência: um prisma de vidro tem ângulo de
aber tu ra A = 75° e índice de refração absoluto n = ��2 . O prisma
en contra-se imerso no ar. Tem-se a trajetória de um raio de luz
monocromática que incide em uma das faces do prisma sob
ângulo de 45°.
� = 36°
i2 = �
i2 = 2�
n > ��2
1
––
n
��2
––––
2
��3
––––
2
��2
––––
2
1
––
2
1
a ≤ 2 arcsen (–––)
n
1
––
n
A
––
2
1
––
n
A
––
2
sen r ≤ ––
1
n
r ≤ L
r = ––
A
2
π
––
2
117
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9. A figura abaixo mostra um raio monocromático de luz que
incide horizon tal mente sobre um bloco de vidro. 
Sabendo-se que o bloco está imerso no ar (nar = 1) e que o índice
de refração absoluto do vidro vale ��3 , o ângulo de refração na 1.a
face do bloco de vidro vale:
a) 0° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
Dados:
10. (FUVEST) – O esquema representa um bloco de vidro com uma
cavidade prismática vazia e a trajetória percorrida por um raio de
luz incidente no ponto A.
a) Desenhe a trajetória de um outro raio que entra na cavidade,
no ponto B, perpendicularmente à face.
b) Calcule o índice de refração absoluto do vidro.
11. (U.E.LONDRINA) – No esquema adiante, considere:
I – raio incidente;
N1 e N2 – normais às faces do prisma;
r1 – ângulo de refração na primeira face;
r2 – ângulo de incidência na segunda face;
� – ângulo do prisma = 60°.
Considerando as indicações do esquema, é correta a relação:
a) r1 – r2 = � b) r1 + r2 = � c) r1 + r2 = 90° – �
d) r1 – r2 = 90° – � e) 2(r1 + r2) = �
12. (MACKENZIE) – Um raio luminoso atra ves sa um pris ma de vidro
de ín dice de refração ab soluto ��3 , con forme a fi gura abaixo. 
O ângulo � dessa fi gura vale:
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75°
13. (UELON-PR) – A figura ao
lado representa um raio de
luz que atravessa um pris -
ma.
O desvio sofrido por esse
raio de luz, em graus, vale:
a) 20 b) 30 c) 50
d) 60 e) 90
0° 30° 45° 60° 90°
Sen
0
1
––
2
��2
–––––
2
��3
–––––
2
1
Cos 1 ��3–––––
2
��2
–––––
2 
1
––
2
0
118
Podemos afirmar que o desvio sofrido pelo raio de luz ao
atravessar o prisma é de:
a) 30° b) 60° c) 75° d) 90° e) 45°
Resolução
1) Aplicando a Lei de Snell na 1.a face, temos:
sen i nar = sen r n
sen 45° . 1 = sen r . ��2
sen r = 
r = 30°
2) Da expressão do ângulo de refringência (A), vem:
A = r + r’
75° = 30° + r’ ⇒ r’ = 45° 
3) Aplicando a Lei de Snell na 2.a face, temos:
sen r’ n = sen i’ nar
sen 45° . ��2 = sen i’ . 1 ⇒ . ��2 = sen i’
sen i’ = 1
i’ = 90° (emergência rasante)
4) O desvio angular (�) é dado por:
� = i + i’ – A ⇒ � = 45° + 90° – 75° ⇒
Resposta: B
� = 60°
��2 
–––––
2
1
–––
2
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14. (MACKENZIE) – Um raio luminoso atravessa um prisma de índice
de refração absoluto maior que o do meio que o envolve. Assinale
a alternativa que mostra o caminho correto deste raio luminoso.
15. (FATEC) – A figura abaixo re pre sen ta a trajetória de um raio de luz
que incide per pen di cular men te a uma das fa ces do prisma e emer -
ge pa ra le la men te à outra. (Da dos: sen 37° = 0,60; sen 53° = 0,80;
sen 90° = 1) 
O índice de refra ção absoluto desse pris ma vale, aproxi ma da men -
te:
a) 2,0 b) 1,7 c) 1,25 d) 1,0 e) 0,60
16. (VUNESP) – Um prisma de vidro tem os três
lados iguais e índice de re fra ção n = ��2 em
relação ao do ar, para um determinado
comprimento de onda �. Um raio luminoso de
com primento de onda � incide no prisma, 
formando um ângulo de 45° com a normal e paralelo à base do
prisma. Calcule o ângulo de desvio do raio que emerge do prisma,
em relação ao raio incidente.
a) 60° b) 45° c) 0° d) 30° e) 15°
17. (UFPE) – Um feixe de luz mo nocro má ti ca
incide normalmente sobre a face vertical de
um prisma transpa rentede ângulo de
abertura de 30°, conforme a figura ao lado. O
índice de refra ção absoluto do material do
pris ma é ��3 . Qual é, em graus, o ângulo 
entre o feixe que sai do prisma e a direção inicial de propa gação?
18. (UEPG-RS) – Se fizermos incidir sobre um prisma um fino feixe
de luz branca, veremos emergir do outro lado um feixe de luz
colorido e mais espesso, que nos lembra um arco-íris. Com
relação a esse fenômeno, que é chamado de dispersão da luz,
assinale a alternativa que contém uma afirmação incorreta.
a) A luz branca é uma combinação das cores do espectro.
b O índice de refração absoluto do prisma é único para todas as
cores.
c) As cores do espectro são puras.
d) O índice de refração absoluto do prisma é diferente para cada
uma das cores.
e) O índice de refração absoluto do prisma é maior para luz
violeta do que para luz vermelha.
19. (U.F.VIÇOSA-MODELO ENEM) – Ao inci dir um feixe de luz bran -
ca sobre um prisma, ob ser va mos a dispersão da luz no fei xe
emer gen te, sen do que a cor vio leta sofre o maior desvio e a
vermelha, o menor. 
Anali sar as seguintes afirmativas:
I. O índice de refração absoluto do vidro é maior para a luz vio le ta.
II. O índice de refração absoluto do vidro é maior para a luz ver melha.
III. O módulo da velocidade da luz violeta dentro do vidro é maior
que o da luz vermelha.
IV. O módulo da velocidade da luz vermelha dentro do vidro é maior
que o da violeta.
V. As velocidades das luzes vermelha e violeta têm módulos iguais
dentro do vidro.
São verdadeiras:
a) II e IV b) I e V c) I e III d) I e IV e) II e III
20. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um feixe de luz é uma mis tura de
três cores: verde, ver melho e azul. Ele incide, conforme indicado
na figura, sobre um prisma de material transparente, com ín di ce
de refração cres cente com a fre quência. Após atravessar o
prisma, a luz atinge um filme para fotografias em cores que, ao
ser revelado, mostra três manchas coloridas.
De cima para baixo, as cores des sas manchas são, respecti va -
mente:
a) verde, vermelho e azul. b) vermelho, azul e verde.
c) azul, vermelho e verde. d) verde, azul e vermelho.
e) vermelho, verde e azul.
21. (UFPR) – A figura abaixo repre sen ta um feixe de luz incidindo num
prisma de seção triangular e, à sua direita, um anteparo. Ao atra -
vessar o prisma, a luz sofre dispersão, observando-se no anteparo
as cores vermelha, ama rela, verde, azul e violeta. 
Sabendo-se que os índices de refração relativos do pris ma para
essas cores va lem, respectivamente, 1,50, 1,51, 1,52, 1,53 e
1,54, é correto afirmar que
(01) no interior do prisma, a luz amarela tem velocidade menor
que a luz azul.
(02) em cada face do prisma, a luz que sofre maior desvio é a
violeta.
(04) ao se percorrer o anteparo, de cima para baixo, a sequência
das cores que ali aparecem é: violeta, azul, verde, amarelo e
vermelho.
(08) este fenômeno que acontece no prisma é utilizado para
explicar a sequência das cores que aparecem num arco-íris.
(16) na face esquerda do prisma, uma parte do feixe incidente
sofre reflexão.
Dê como resposta a soma dos números associados às propo -
sições corretas.
22. (FATEC) – Um prisma tem ângulo refringente (aber tu ra) A, índice
de re fração re lativo n e é atra vessado por um pin cel de luz,
conforme o es quema abaixo.
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Assinalar a proposição in cor reta:
a) Quando i1 = i2, temos r1 = r2 b) = = n
c) r1 + r2 = A d) � = i1 + i2 – A
e) =
23. Na face AB do prisma de vidro (nV = ��2 ) imerso no ar (nAr = 1),
representado a seguir, in cide um raio de luz monocromática com
um ângulo �.
O menor valor de � para o qual ainda há refração da luz na face BC
é igual a:
a) 0° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75°
24. (FUVEST) – Alguns instrumentos de óptica utilizam “pris mas de
refle xão total” como es pelhos, como no ca so da figura. 
O valor do índice de refração absoluto do vidro desse prisma deve
ser maior que:
a) 3,00 b) 2,00 c) 1,60 d) 1,50 e) 1,41
25. (UFTM-MODELO ENEM) – O instrumento óptico apresentado é
formado por dois prismas triangulares cujos ângulos da base são
iguais a 45°. Os prismas são utilizados nessa disposição para
produzir reflexão interna total da luz em duas superfícies. 
Se o aparelho está imerso no ar, o índice de refração mínimo do
material de que são constituídos os prismas deve ser igual a:
a) b) ���2 c) 2 d) e) 3 ���2
26. (EFEI) – Um feixe de luz incide sobre uma superfície de um pris ma
(conforme a fi gu ra), cujo índice de refração em relação ao ar é 1,5.
De ter mi ne o valor do ângulo � que faz com que o feixe incidente
na superfície AB sofra refle xão total.
27. (CESGRANRIO) – Um feixe de luz incide nor mal men te sobre a
su per fície de um prisma de vidro, imerso no ar, de ín dice de
refração abso lu to n = 1,6, como mostra a figura abaixo. 
O valor do ângulo i, que faz com que esse feixe seja refratado
rasante à superfície AB, é:
a) arccos 1,00 b) arccos 0,625 c) arcsen 1,00
d) arcsen 0,781 e) arcsen 0,625
3 ���2
–––––
2
���2
–––––
2
i2––
r2
i1––
r1
sen i2––––––
sen r2
sen i1––––––
sen r1
9) B 10)a) b) ��3 11) B 12) D 13) A 14) B 15) B
16) D 17) 30° 18) B 19) D 20) E
21) 30 22) E 23) C 24) E 25) B
26) � < 90° – arc sen �––2 � 27) E3
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Feixes de luz atravessando uma lente de vidro imersa no ar.
1. Lentes esféricas
Denomina-se lente esférica uma associação de dois
dioptros, dos quais um é necessariamente esférico, e o
outro, esférico ou plano.
2. Classificação das 
lentes quanto à geometria
Conforme as espécies de dioptros associados,
podemos ter os tipos de lentes indicados a seguir:
Para uma posição adequada
entre o objeto e a lente, esta atuará
como lente de aumento (lupa).
LENTES ESFÉRICAS
Óptica
5
CAPÍTULO
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3. Nomenclatura das lentes
A nomenclatura das lentes é feita visando indicar as
espécies de dioptros associados; convenciona-se citar,
inicialmente, o nome da face de maior raio de curvatura.
Sendo uma das faces planas, o seu nome é citado
sempre em primeiro lugar, pois o raio de curvatura da
face plana tende para infinito (R → �).
Assim, teremos para as lentes citadas:
1. biconvexa; 4. bicôncava;
2. plano-convexa; 5. plano-côncava;
3. côncavo-convexa; 6. convexo-côncava.
Note-se que as lentes, cujos nomes terminam com a
palavra convexa, são de “bordos finos” e aquelas cujos
nomes terminam com a palavra côncava são de “bordos
espessos”.
4. Classificação das 
lentes quanto ao
comportamento óptico
Quando um pincel cilíndrico de luz incide em uma
lente esférica, esta pode ter dois comportamentos ópticos
distintos:
a) o feixe emergente é do tipo cônico convergente;
A lente é denominada convergente.
b) o feixe emergente é do tipo cônico divergente.
A lente é denominada divergente.
OBS.: O estudo das lentes é feito admitindo-se que
os meios que banham as faces da lente sejam idên ticos.
Como, em geral, o material da lente é mais refrin -
gente que o meio onde ela se encontra, costuma-se cha -
mar a lente côncavo-convexa de “menisco conver gen -
te” e a lente convexo-côncava de “menisco diver gente”.
5. As lentes delgadas
Os raios de curvatura R1 e R2 dos dioptros cons -
tituin tes da lente são denominados RAIOS DE CUR -
VATURA DA LENTE.
Quando a espessura da lente for desprezível, quando
comparada com R1 e R2, ela é dita uma LENTE
DELGADA.
“SE O MATERIAL DE QUE É FEITA A LENTE
FOR MENOS REFRINGENTE QUE O MEIO
ON DE ELA ESTÁ IMERSA, SÃO CONVER GEN -
TES AS LENTES DE BORDOS ESPESSOS E DI -
VERGEN TES AS LENTES DE BORDOS FI NOS.”
“SE O MATERIAL DE QUE É FEITA A LENTE
FOR MAIS REFRINGENTE DO QUE O MEIO
ONDE ELA ESTÁ IMER SA, SÃO CONVERGEN -
TES AS LENTES DE BORDOS FINOS E DIVER -
GENTES AS LENTES DE BORDOS ESPESSOS.”
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Como, via de regra, o material da lente é mais re frin -
gente que o meio onde ela está imersa, a repre sen tação
sugere ofato de que as lentes convergentes são as de
bordos finos e as divergentes são as de bordos es pessos.
6. O centro óptico (C)
Para as lentes delgadas, existe um ponto privilegiado
denominado “CENTRO ÓPTICO” (C) e que goza da
seguinte propriedade:
“TODO RAIO INCIDENTE, PASSANDO PELO
CENTRO ÓPTICO (C), ATRAVESSA A LENTE
SEM SE DESVIAR.”
Os raios de luz atravessam o centro óptico da lente sem se desviar.
7. O eixo principal; 
eixos secundários
Denomina-se eixo principal de uma lente esférica
uma reta que
1) contém os centros de curvatura dos dioptros da
lente, supostos ambos esféricos;
2) contém o centro do dioptro esférico e é perpendi-
cular ao plano, quando um é esférico e o outro plano.
O centro óptico das lentes delgadas é a intersecção
do eixo principal com a própria lente.
Qualquer reta, distinta do eixo principal, que contém
o centro óptico (C) é denominada eixo secundário.
8. Foco imagem principal
A própria conceituação de lente convergente e diver -
gen te nos ensina que
a) para as lentes convergen tes, a um pincel cilíndrico
in cidente associa-se um pincel emer gente cônico con ver -
gente. Portanto:
“PARA UM OBJETO IMPRÓ PRIO, DEFINIDO
POR RAIOS PARALELOS AO EI XO PRINCI -
PAL, A LENTE CONJUGA COMO IMAGEM
UM FOCO REAL, SITUADO SOBRE O EIXO
PRIN CIPAL E DENOMINADO FOCO IMA -
GEM PRINCIPAL.”
b) para as lentes divergentes, a um pincel cilíndrico
incidente associa-se um pincel emergente cônico diver -
gente. Portanto:
“PARA UM OBJETO IMPRÓPRIO, DEFINIDO
POR RAIOS PARALELOS AO EIXO PRIN -
CIPAL, A LENTE CONJUGA COMO IMAGEM
UM FOCO VIRTUAL, SITUADO SOBRE O
EIXO PRINCIPAL E DENOMINADO FOCO
IMA GEM PRINCIPAL.”
123
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A abscissa do foco imagem principal, tomando-se
como origem o centro óptico, é denominada DIS TÂN -
CIA FOCAL DA LENTE e representada por f.
Para a convenção de sinais adotada, em relação à
natureza dos pontos objeto e imagem (elemento real tem
abs cissa positiva e elemento virtual tem abscissa
negativa), concluímos que
9. Pontos antiprincipais
Os pontos A e A’, representados na figura, estão si -
tua dos a uma distância da lente igual ao dobro da dis -
tância dos focos à lente. São denominados, respec tiva -
mente, ponto antiprincipal objeto A e ponto antiprincipal
ima gem A’.
10. Raios notáveis
(A) Todo raio de luz paraxial que incide numa
lente paralelamente ao seu eixo principal emerge
numa direção que passa pelo foco imagem principal
F’.
F’ tem natureza real nas lentes convergentes.
F’ tem natureza virtual nas lentes divergentes.
“PARA AS LENTES DIVERGENTES, A 
DISTÂNCIA FOCAL É NEGATIVA.”
“PARA AS LENTES CONVERGENTES, A
DISTÂNCIA FOCAL É POSITIVA.”
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1. O fato de uma lente ser convergente ou divergente depende
a) apenas da forma da lente.
b) apenas do meio onde ela se encontra.
c) do material de que é feita a lente e da forma da lente.
d) da forma da lente, do material de que é feita a lente e do meio
onde ela se encontra.
Resolução
O comportamento óptico de uma lente (convergente ou
divergente) depende de sua forma ou geometria (bordos finos ou
bordos grossos) e do índice de refração do material da lente em
relação ao meio externo e, portanto, depende do material de que
é feita a lente e do meio externo onde ela está imersa.
Resposta: D
2. Uma lente de vidro (índice de refração absoluto igual a 1,5) é
imersa sucessivamente no ar (índice de refração absoluto igual a
1,0) e num meio X de índice de refração absoluto igual a 2,0.
Sabendo que no ar a lente se apresenta divergente, responda:
a) Quanto à sua geometria, qual o tipo de lente?
b) Qual o comportamento óptico da lente no meio X?
Resolução
a) Uma lente que, imersa em um meio menos refringente do que
ela (nlente > nexterno), se apresenta divergente é de bordos
espessos e, portanto, sua nomenclatura termina com a pala vra
côncava: bicôncava, plano-côncava ou convexo-côncava.
b) Se a lente de bordos espessos é imersa em um meio mais
refringente do que ela (nlente < nX), o comportamento óptico
será de lente convergente. Observe-se, pois, que uma mes -
ma lente, quanto à geometria, pode ter, em meios ópticos
distintos, comportamento óptico oposto.
125
(B) Todo raio de luz paraxial que incide na lente
numa direção que passa pelo foco objeto principal F
emerge paralelamente ao eixo principal.
F tem natureza real nas lentes convergentes.
F tem natureza virtual nas lentes divergentes.
(C) Todo raio de luz que incide, passando pelo
centro óptico C, atravessa a lente sem se desviar.
(D) Todo raio de luz paraxial que incide na lente
numa direção que passa por A emerge numa direção
que passa por A’.
(E) Todo raio de luz paraxial que in ci de numa
len te pa ralelamente a um eixo secun dá rio emer ge nu -
 ma di reção que pas sa pe lo respectivo fo co se cundário.
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3. Na figura abaixo, na qual são fornecidos o eixo principal de uma
lente delgada, um objeto AB e sua
imagem A’B’, fornecida pela lente,
determinar
a) geometricamente o centro óptico da
lente e o seu foco;
b) a natureza da lente (se é conver gen te
ou divergente).
Resolução
a) Valendo-se da propriedade de que todo raio que passa pelo
centro óptico da lente não sofre desvio, o encontro do raio AA’
com o eixo óptico determina o centro óptico da lente (C).
Como todo raio que incide paralelamente ao eixo óptico
principal refrata-se na direção do foco imagem principal, a
intersecção do raio DA’ com o eixo principal fornece-nos o
foco imagem principal (F’). O foco objeto principal (F) é
simétrico a (F’), em relação à lente delgada.
b) A lente em questão é convergente, pois os focos são reais.
Respostas: a) vide figura b) convergente.
4. (FUND. CARLOS CHAGAS) – A fi gura representa um objeto real
o, apoiado sobre o eixo prin cipal xy de uma única lente delgada,
sen do i a cor res pon dente ima gem.
A lente é
a) convergente e situada à esquerda de o.
b) divergente e situada à esquerda de o.
c) convergente e situada entre o e i.
d) divergente e situada à direita de i.
e) convergente e situada à direita de i.
Resolução
Sendo o objeto real e a imagem direta, ela será de natureza virtual.
Para localizar a posição da lente, basta lem brar mos que o ponto
objeto, o res pectivo ponto imagem e o centro óptico estão
sempre alinhados.
Para obter a natureza da lente, basta tomarmos um raio paralelo ao
eixo prin cipal, passando por B; o raio refratado deverá pas sar por B’
e pelo foco imagem principal (Fi). A po si ção de Fi define sua na tu -
reza (real ou vir tual) e per mite ca rac te rizar o tipo de lente (con ver -
gente ou di ver gen te).
Como o foco imagem prin cipal (Fi ) resultou virtual, a lente é do
tipo divergente.
Resposta: D
5. Considere uma lâmpada L, uma tela T e uma lente convergente.
Sabe-se que, quando a lente está no ponto médio entre a lâm pada
e a tela, a imagem da lâmpada forma-se nítida sobre a tela.
a) Quais as características da imagem da lâmpada?
b) Qual a distância focal da lente?
Resolução
a) Como objeto e imagem estão dispostos à mesma distância da
lente (p’ = p), concluímos que objeto e imagem estão situados
nos pontos antiprincipais (Ao e Ai), e, portanto, a ima -
gem se rá real (recebida na tela), invertida (objeto e ima gem
da mesma natureza) e do mesmo tamanho do objeto (p’ = p).
b) Como os pontos antiprincipais distam 2f da lente, temos:
d = 2f = 30cm ⇒
Respostas:
a) real, invertida e do mesmo tamanho que o objeto.
b) 15cm
6. (MACKENZIE-SP-MODELO ENEM) – Na produção de um blo co
de vidro flint, de índice de re fra ção absoluto 1,7, ocorreu a
formação de uma “bo lha” de ar (índice de refra ção absoluto 1,0),
com o forma to de uma lente esférica bicon vexa. Um feixe
luminoso mono cro má tico, paralelo, inci de perpen di cularmente à
face A do bloco, con forme a figura abaixo, e, após passar pelo
bloco e pela bolha, emerge pela face B.
A figu ra que melhor re presenta o fenômeno é:
f = 15cm
126
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Resolução
Como o índice de refração da lente (1,0) é menor que o do meio
(1,7), a lente biconvexa terá comportamento divergente. Ao sair
do bloco de vidro flint, os raios de luz irão passar para o ar (índice
de refração menor), afastando-se da normal.
Resposta: B
7. (UFLA-MODELO ENEM) – Coloca-se uma pequena lâmpada L no
foco principal de uma lente biconvexa de índice de refração nL
imersa num líquido de índice de refração n1. Esta situação está
esquematizada abaixo.
Mantendo-se a posição da lâmpada em relação à lente e
imergindo-se o conjunto num outro líquido de índi ce de refração
n2, obteve-se o seguinte percurso para os raios luminosos:
É correto afirmar que:
a) n2 > n1 > nL b) n2 = nL > n1 c) nL > n2 > n1
d) n2 > nL > n1 e) nL = n1 > n2
Resolução
Operando imersa no líquido de índice de refração n1, a len te
apresenta comportamento convergente, logo:
nL > n1
Operando imersa no líquido de índice de refração n2, en tre tanto,
a lente passa a apresentar comportamento diver gen te, logo:
n2 > n1
Assim,
Resposta: D
Sugestão: Para o aluno notar claramente os comportamentos
conver gente e divergente da lente, é recomendável inverter em
ambos os casos o sentido de propagação da luz (reversi bi lidade
luminosa).
n2 > nL > n1
127
8. (U.E. LONDRINA) – O perfil de uma lente delgada, de índice de
refração n, em relação à água, está esque ma tizado ao lado. R1 e R2
são os raios de curva tura de cada uma das suas faces. 
Se R2 > R1, esta lente, quando mer gulhada na água, será:
a) divergente se n > 1. b) divergente se n = 1.
c) convergente se n = 1. d) convergente se n > 1.
e) divergente se n < 1.
9. (FUND. UNIV. DE ITAÚNA) – Um feixe de luz paralelo penetra
num orifício de uma caixa, saindo por outro orifício da maneira
mostrada na figura. No meio da caixa, há um dos 5 elementos óp -
ticos a seguir:
1: Lente Convergente
2: Lente Divergente
3: Lâmina de Faces Paralelas
4: Espelho Convexo
5: Espelho Plano
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Sabendo-se que o elemento é colocado da maneira mostrada, no
meio da caixa, o elemento óptico usado é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Uma lente, feita de material cujo
índice de refração absoluto é 1,5, é convergente no ar. Quando
mergulhada num líquido transparente, cujo índice de refração
absoluto é 1,7, ela
a) será convergente.
b) será divergente.
c) será convergente somente para a luz monocromática.
d) se comportará como uma lâmina de faces paralelas.
e) não produzirá nenhum efeito sobre os raios luminosos.
11. (CESGRANRIO) – Um estudante deseja queimar uma folha de
papel concentrando, com apenas uma lente, um feixe de luz solar
na superfície da folha.
Para tal, ele dispõe de 4 lentes de vidro, cujos perfis são mostra -
dos a seguir.
Para conseguir seu intento, o estudante poderá usar as lentes:
a) I ou II somente. b) I ou III somente.
c) I ou IV somente. d) II ou III somente.
e) II ou IV somente.
12. (VUNESP) – Um aquário esférico de paredes finais é mantido
dentro de outro aquário que contém água. Dois raios de luz
atravessam esse sistema da maneira mostrada na figura, que
representa uma secção transversal do conjunto.
Pode-se concluir que, nessa montagem, o aquário esférico de -
sem penha a função de
a) espelho côncavo. b) espelho convexo.
c) prisma. d) lente divergente.
e) lente convergente.
13. (VUNESP) – O diagrama mos tra um objeto (O), sua imagem (I) e
o trajeto de dois raios lu minosos que saem do objeto.
Que dispositivo óptico colo cado sobre a linha PQ produzirá a ima -
gem mostrada?
a) Espelho plano. b) Espelho côncavo.
c) Espelho convexo. d) Lente convergente.
e) Lente divergente.
14. (UFF) – Raios luminosos paralelos ao eixo principal incidem sobre
uma lente plano-convexa de vidro imersa em ar.
Entre as opções a seguir, assinale aquela que melhor representa
o trajeto desses raios ao atravessar a lente.
15.
(UNAERP) – Uma bolha
de ar imersa em vidro
apresenta o formato da
figura. Quando três raios
de luz, paralelos, a atin -
gem, observa-se que seu
com por tamento óptico é
de um(a)
a) lente convergente. b) lente divergente.
c) lâmina de faces paralelas. d) espelho plano.
e) espelho convexo.
16. (UERJ-MODELO ENEM) – Um estudante possui uma lente
conver gente de 20cm de distância focal e quer queimar uma folha
de papel usando essa lente e a luz do sol.
Para conseguir seu intento de modo mais rápido, a folha deve
estar a uma distância da lente igual a:
a) 10cm b) 20cm c) 40cm d) 60cm e) 80cm
17. (UNIP) – Considere os seguintes dispositivos ópticos:
E1: espelho plano
E2: espelho esférico côncavo
E3: espelho esférico convexo
L1: lente esférica convergente
L2: lente esférica divergente
Uma pessoa pretende acender um cigarro utilizando a luz solar e
um dos dispositivos citados.
A pessoa pode usar
a) E1 b) E3 c) L2 ou L1
d) E2 ou L1 e) E2 ou L2
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18. (UNIRIO) – O esquema abaixo mostra um objeto real e sua ima -
gem, a qual é obtida por meio de uma lente convergente.
Se o objeto fosse colocado no ponto B, em que ponto se formaria
a nova imagem?
a) A b) B c) C d) D e) E
19. (VUNESP) – A figura mostra um objeto AB, uma lente conver -
gente L, sendo utili zada como lupa (lente de aumento), e as po -
sições de seus focos, F e F’.
a) Copie esta figura em seu caderno de respostas. Em seguida,
localize a imagem A’B’ do objeto, fornecida pela lente,
traçando a trajetória de, pelo menos, dois raios incidentes,
provenientes de A.
b) A imagem obtida é real ou virtual? Justifique sua resposta.
20. (VUNESP) – A figura mos tra um objeto AB, uma lente divergente
L e as posições de seus focos, F’ e F.
a) Copie esta figura em seu caderno de respostas. Em seguida,
lo calize a imagem A’B’ do objeto fornecida pela lente, tra çando
a trajetória de, pelo menos, dois raios incidentes, pro venientes
de A.
b) A imagem obtida é real ou virtual? Justifique sua resposta.
21. Na figura a seguir, notamos um objeto real e a correspondente
ima gem produzida por uma lente esférica delgada.
a) Qual o comportamento óptico da lente?
b) Obtenha graficamente o centro óptico, os focos principais
(objeto e imagem) e os pontos antiprincipais (objeto e
imagem).
22. (FUVEST-SP-MODELO ENEM) – Uma pessoa segura uma lente
del gada junto a um livro, mantendo seus olhos aproxi madamente
a 40cm da página, obtendo a imagem indicada na figura.
Em seguida, sem mover a cabeça ou o livro, vai apro ximando a
lente de seus olhos. A imagem, formada pela lente, passará a ser
a) sempre direita, cada vez menor.
b) sempre direita, cada vez maior.
c) direita cada vez menor, passando a invertida e cada vez menor.
d) direita cada vez maior, passando a invertida e cada vez menor.
e) direita cada vez menor, passando a invertida e cada vez maior.
23. (VUNESP) – Suponha que você tem em mãos duas lentes de
mesmo diâmetro e confeccionadas com o mesmo tipo de vidro,
sendo uma plano-convexa (convergente) e outra plano-côncava
(divergente). Como proceder para verificar, sem auxílio de
instrumentos de medida, se a convergência de uma é igual, em
módulo, à divergência da outra?
24. (UFRN-MODELO ENEM) – Durante uma aula de Biologia, a
professora Gioconda resolveu fazer uma experiência para
identificar o mosquito Aedes aegypti com uma lupa. Como não
dispunha desse instrumento, ela aproveitou duas lentes que havia
no laboratório de Física da escola.
As figuras a seguir mostram o mosquito visto a olho nu, através
da lente L1 (Fig. 1) e através da lente L2 (Fig. 2).
Ela ficou surpresa ao perceber que, em uma das len tes, a imagem
do mosquito era reduzida (e não am plia da, conforme ela esperava
que ocorresse).
a) Identifique qual o tipo de cada lente. Justifique sua resposta.
b) Especifique cada uma das imagens produzidas pelas lentes L1
e L2, respectivamente, segundo as seguintes características:
real ou virtual, aumen tada ou dimi nuída e direita ou
invertida.
129
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25. (ITA) –Uma pequena lâmpada é colocada a 1,0m de distância de
uma parede. Pede-se a distância a partir da parede em que deve
ser colocada uma lente de distância focal 22,0cm para produzir na
parede uma imagem nítida e ampliada da lâmpada.
a) 1,40cm b) 26,2cm c) 32,7cm
d) 67,3cm e) 70,0cm
Resolução
Da Equação de conju gação de Gauss, vem:
= +
100 – x + x
= –––––––––––– ⇒ 100x – x2 = 2200
x(100 – x)
x1 = 67,3cmx2 – 100 x + 2200 = 0 { x2 = 32,7cm
Para optar pela resposta correta, devemos observar que a ima -
gem é ampliada (p’ > p) e, portanto, p’ = x1 = 67,3cm.
Resposta: D
1
––––
22,0
1
––
x
1
–––––––
100 – x
1
––––
22,0
1 1 1
––– = ––– + –––
f p p’
130
11. Equação de 
conjugação de Gauss;
aumento linear transversal
Consideremos uma lente convergente de distância
focal f. Um pequeno objeto frontal AB é disposto confor -
me figura. Para o objeto AB, a lente conjuga uma
ima gem real A’B’.
Os triângulos ABC e A’B’C da figura são seme lhan -
tes e, portanto, teremos:
= (1)
Os triângulos CDFi e A’B’Fi são semelhantes e, por -
tanto, teremos:
=
Como A’Fi = p’ – f; CFi = f; CD = AB, temos:
= (2)
Comparando-se (1) e (2), resulta:
= 
Assim: p’f = pp’ – pf ⇔
p’f + pf = pp’
Dividindo-se toda a expressão por pp’f ≠ 0, obtém-se:
+ = 
(Equação de Gauss)
Retornando à equação (1) = , temos:
i = – A’B’ (como a imagem é invertida, temos i < 0)
o = AB
Portanto: = ou 
(Aumento linear transversal)
–i
–––
o
p’
–––
p
i p’
––– = – –––o p
A’B’
––––
CD
p’
–––
p
1 1 1––– + ––– = –––p’ p f
p’f
–––––
pp’f
pf
–––––
pp’f
pp’
–––––
pp’f
p’
–––
p
p’– f
–––––
f
A’B’
––––
AB
p’– f
–––––
f
A’B’
––––
CD
A’Fi––––
CFi
A’B’
––––
AB
p’
–––
p
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26. Sejam p e p’ as abscissas gaussianas do objeto e de sua res pec -
tiva imagem em relação a uma lente esférica delgada, nas condi -
ções de Gauss.
Construa o gráfico de função p + p’ = f(pp’).
Resolução
Da Equação de Gauss, temos:
+ = ⇒ =
Então: p + p’ = (pp’)
p + p’ = y
Fazendo-se 	 pp’ = x 
 , resulta: y = kx= k (constante) 
A função y = kx é linear proporcional e o seu gráfico é uma reta
passando pela origem:
27. Uma lente delgada convergente, de distância focal f = 10cm, é
disposta com eixo principal normal a um anteparo situado à
distância d = 30cm. Ao longo do eixo principal, desloca-se uma
fonte punti forme. Há duas posições da fonte para as quais a luz
emergente da lente ilumina, no anteparo, um círculo do tamanho
da lente. Para qualquer uma dessas posições, determinar a
distância da fonte à lente.
Resolução
A primeira posição da fonte (P) que produz imagem nítida, circular
e com as dimensões da lente, ocorre quando a fonte está
colocada no foco objeto da lente:
Portanto: P � F e a distância é 10cm.
A segunda posição da fonte ocorre quando o objeto (P) é colocado
numa posição tal que os triângulos OAB e OA’B’ da figura 2 são
congruentes; assim, teremos uma imagem com as mesmas
dimensões da lente.
Aplicando-se a Equação de conjugação de Gauss:
––1 + ––1– = ––1– ⇒
p 15 10
Resposta: 1.a possibilidade: fonte a 10cm da lente.
2.a possibilidade: fonte a 30cm da lente.
28. (FEI) – É dada a lente delgada indicada na fi gura. Para o ponto ob -
jeto A, determinar a po sição e natureza da imagem A’.
Resolução
Da figura, concluímos que:
Sendo P� um ponto objeto impróprio, o ponto P’ é um foco ima -
gem secundário e, portanto, a distância focal da lente é f = 40cm.
Aplicando-se a Equação de conjugação de Gauss, resulta:
+ =
= – ⇒
= ⇒
Resposta: A imagem é virtual e encontra-se a 120cm da lente, do
mesmo lado que o objeto e sobre o eixo óptico principal.
29. (FUVEST) – A distância entre um objeto e uma tela é de 80cm. O
objeto é iluminado e, por meio de uma lente delgada posicio nada
adequadamente entre o objeto e a tela, uma imagem do objeto,
nítida e ampliada 3 vezes, é obtida sobre a tela. Para que isto seja
possível, a lente deve ser
a) convergente, com distância focal de 15cm, colocada a 20cm
do objeto.
b) convergente, com distância focal de 20cm, colocada a 20cm
do objeto.
c) convergente, com distância focal de 15cm, colocada a 60cm
do objeto.
d) divergente, com distância focal de 15cm, colocada a 60cm do
objeto.
e) divergente, com distância focal de 20cm, colocada a 20cm do
objeto.
1
–––
30
1
––
p’
1
–––
40
p’ = –120cm
–1,0
––––
120
1
–––
p’
3,0 – 4,0
–––––––––
120
1
–––
30
1
–––
40
1
––
p’
––
1
+ ––
1
= ––
1
p p’ f
p = 30cm
––
1
+ ––
1
= ––
1
p p’ f
1
––
f
1
––
f
1
––
f
p + p’
––––––
pp’
1
––
f
1
––
p
1
––
p’
131
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Resolução
Do enunciado, vem:
objeto iluminado ⇒ objeto real; imagem projetada ⇒ imagem real
Como objeto e imagem são reais, a imagem deve ser invertida em
relação ao objeto (A < 0).
Assim:
A = –––
–p’ ⇒ –3 = –––– p’ ⇒ p’ = 3p
p p
mas: p + p’ = 80cm
p + 3p = 80cm ⇒
Da Equação dos pontos conjugados de Gauss, temos:
= +
= +
= ⇒
Conclusão: A lente é convergente (f > 0) de distância focal 15cm
e o objeto está posicionado a 20cm da lente.
Resposta: A
30. (UNESP-MODELO ENEM) – Na figura, AB é o eixo principal de
uma lente conver gente e FL e I são, respectivamente, uma fonte
lu minosa pontual e sua imagem, produzida pela lente.
Determine
a) a distância d entre a fonte luminosa e o plano que contém a
lente e
b) a distância focal f da lente.
Resolução
a) 1) Tracemos, inicialmente, um raio de luz que, par tindo da
fonte luminosa FL (objeto real), atinge a respectiva imagem
I. No ponto em que o raio de luz intercepta o eixo principal
AB, obtemos o centro óptico O da lente esférica
convergente. 
2) Observando a escala representada na figura, po demos con -
cluir que a distância d entre a fonte luminosa FL e a lente
vale 3cm.
b) 1) Da figura, temos p = d = 3cm
p’ = 6cm
2) Utilizando a Equação de Gauss, vem:
= + 
= + ⇒
Respostas: a) 3cm
b) 2cm
31. (FUVEST-MODELO ENEM) – A figura abaixo mostra, numa
mesma escala, o desenho de um objeto retangular e sua ima gem,
formada a 50cm de uma lente esférica con ver gente de distância
focal f. O objeto e a imagem es tão em planos perpendiculares ao
eixo óptico da lente. 
Podemos afirmar que o objeto e a imagem
a) estão do mesmo lado da lente e que f = 150cm.
b) estão em lados opostos da lente e que f = 150cm.
c) estão do mesmo lado da lente e que f = 37,5cm.
d) estão em lados opostos da lente e que f = 37,5cm.
e) podem estar tanto do mesmo lado como em lados opostos da
lente e que f = 37,5cm.
Resolução
O traçado da imagem mencionada é representado na figura
abaixo.
f = 2cm
1
–––
6
1
–––
3
1
–––
f
1
–––
p’
1
–––
p
1
–––
f
f = 15cm
3 + 1
––––––
60
1
–––
f
1
–––
60
1
–––
20
1
–––
f
1
––
p’
1
––
p
1
–––
f
p = 20cm
p’ = 60cm
132
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32. (CESGRANRIO) – Um objeto real é colocado perpendicularmente
ao eixo principal de uma lente convergente de distância focal f. Se
o objeto está a uma distância 3f da lente, a distância entre o
objeto e a imagem conjugada por essa lente é:
a) f/2 b) 3f/2 c) 5f/2 d) 7f/2 e) 9f/2
33. (VUNESP) – Sobre o eixo de uma lente convergente, de distância
focal 6,0cm, encontra-se um objeto, afastado 30cm da lente.
Nessas condições, a distância da imagem à lente será:
a) 3,5cm b) 4,5cm c) 5,5cm d) 6,5cm e) 7,5cm 
34. (PUCC) – Um objeto real é disposto perpendicularmente ao eixo
principal de uma lente convergente, de distância focal 30cm. A
ima gem obtida é direita e duas vezes maior que o objeto. Nessas
condições, a distância entre o objeto e a imagem, em cm, vale:
a) 75 b) 45 c) 30 d) 15 e) 5,0
35. (UFF-RJ) – Sobre o eixo óptico de uma lente delgada conver gen -
te, e muito afastado dela, é colocado um objeto real e pontual. A
ima gem deste objeto, formada pela lente, situa-se a 6,0cm dela.
Colocando-se agora este objeto a 18,0cm da lente (ainda sobre o
seu eixo óptico), a nova imagem estará situada a uma distância da
lente aproximadamente igual a:
a) 3,0cmb) 4,5cm c) 9,0cm d) 12,0cm e) 24,0cm
36. (CEFET-PR) – Uma equi pe de alunos obtém ima gens reais da
chama de uma vela. Coletando os dados sobre a distância x da
vela à lente e a dis tância y da lente ao anteparo, obtiveram o
diagrama representado a seguir. 
A partir dele, podemos afirmar que a distância focal da lente usa -
da vale, em m:
a) 5,0 b) 2,5 c) 1,0 d) 0,20 e) 0,10 
37. (FATEC) – Na figura abaixo, estão esquema tizados sobre o eixo
dos x um objeto AB, de 12cm de altura, e sua imagem A’B’, de
36cm de altura, conjugada por uma lente cujo centro óptico está
sobre o eixo dos x:
Determine
a) a posição da lente;
b) a sua distância focal.
38. (UNICAMP-MODELO ENEM) – Um sistema de lentes produz a
imagem real de um objeto, conforme a figura. Calcule a distância
focal e localize a posição de uma lente delgada que pro du za o
mesmo efeito.
39. (UNIMONTES-MODELO ENEM) – Sobre um anteparo translú -
cido, à dis tân cia p’ = 5,0m de uma lente plano-convexa de dis -
tância focal f = 15cm, utilizada num projetor de diapositivos,
forma-se uma imagem. A figura, no diapositivo, mede 1,5cm de
altura e encon tra-se a uma dis tân cia p da lente (veja a figura). 
Podemos afirmar que a altura da imagem projetada no anteparo é
igual a:
a) 30,5cm b) 48,5cm c) 50,5cm d) 60,5cm
40. (UFES) – Um objeto de altura AB = 10cm é colocado a uma
distância de 20cm de uma lente. Verifica-se a formação de uma
ima gem virtual do objeto, com altura A’B’ = 5,0cm.
a) Qual a distância da imagem à lente?
b) Qual a distância focal e o tipo de lente?
41. (FUVEST) – Uma lente L é
colocada sob uma lâm pada
fluores cente AB cu jo com -
primento é AB = 120cm. A
imagem é fo calizada na
superfície de uma mesa a
36cm da lente. A lente si -
tua-se a 180cm da lâmpa da
e o seu eixo principal é per -
pendicular à face cilín drica
da lâmpada e à super fície
plana da mesa. A figura ao
lado ilustra a si tuação.
133
A imagem é invertida e três vezes menor que o objeto. Assim, a 
ampliação vale A = – .
A = – ⇒ – = – ⇒ p = 150cm
Aplicando a Equação de Gauss, calculamos a distância focal da
lente.
= + ⇒ = + 
= ⇒ f = (cm) ⇒
Resposta: D
f = 37,5cm
150
––––
4
1 + 3
––––––
150
1
–––
f
1
–––
50
1
––––
150
1
–––
f
1
–––
p’
1
–––
p
1
–––
f
50
–––
p
1
–––
3
p’
–––
p
1
–––
3
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Observação da imagem de uma vela através de lente, respectivamente, diver -
gente e conver gente.
12.Vergência de uma lente
É intuitivo que quanto menor é a distância focal de
uma lente mais repentinamente ela converge ou diverge
raios de luz paralelos, isto é, “quanto menor sua dis tân -
cia focal, maior é seu poder de convergir ou divergir
raios de luz”.
A lente L2 é mais convergente que a lente L1, pois,
tendo menor distância focal, converge mais repentina -
men te os raios de luz.
Para medir o poder de uma lente em convergir ou
divergir raios de luz, define-se uma nova grandeza, que
será denominada VERGÊNCIA ou CONVERGÊNCIA
da lente.
Define-se vergência V de uma lente como o inver -
so de sua distância focal.
Pedem-se:
a) a distância focal da lente;
b) o comprimento da imagem da lâmpada e a sua representação
geométrica. Utilize os símbolos A’ e B’ para indicar as extremi -
dades da imagem da lâmpada.
42. (ITA) – Um objeto tem altura ho = 20cm e está situado a uma
distância do = 30cm de uma lente. Esse objeto produz uma
imagem virtual de altura hi = 4,0cm.
A distância da imagem à lente, a distância focal e o tipo da lente
são, respectivamente:
a) 6,0cm; 7,5cm; convergente.
b) 1,7cm; 30cm; divergente.
c) 6,0cm; –7,5cm; divergente.
d) 6,0cm; 5,0cm; divergente.
e) 1,7cm; –5,0cm; convergente. 
43. (UNIFES) – A figura representa um banco óptico didático: coloca-se
uma lente no suporte e varia-se a sua posição até que se forme no
anteparo uma imagem nítida da fonte (em geral, uma seta luminosa
vertical). As abscissas do anteparo, da lente e do objeto são
medidas na escala, que tem uma origem única.
a) Represente graficamente no caderno de respostas (sem
valores numéricos) a situação correspondente ao esquema da
figura, em que apareçam: o objeto (seta luminosa da fonte); a
lente e seus dois focos; a imagem e pelo menos dois raios de
luz que emergem do objeto, atravessem a lente e formem a
imagem no anteparo.
b) Nessa condição, determine a distância focal da lente, sendo
dadas as posições dos seguintes componentes, medidas na
escala do banco óptico: anteparo, na abscissa 15cm; suporte
da lente, na abscissa 35cm; fonte, na abscissa 95cm.
44. (UFF-RJ) – Uma lente convergente de distância focal f = 4,0cm
for nece uma imagem real de um objeto, colocado sobre seu eixo
óptico, com aumento linear igual a –1,0. Deslocando-se a lente de
2,0cm, aproximando-a do objeto, forma-se nova imagem, que
dista x cm da imagem anterior.
Determine
a) a distância x;
b) o novo aumento linear.
45. (UNITAU) – Uma lente de distância focal f projeta sobre um an -
teparo a imagem de um objeto real ampliada � vezes. A distân cia
da lente ao anteparo é:
a) f(� + 1) b) f � c) � d) � (f – 1) e) � ( � + f)
46. (FEI-SP) – Um palito de fós foro de 4,0cm de com pri mento é
colocado sobre o eixo principal de uma len te convergente de dis -
tân cia focal f = 20cm, com a cabeça a 10cm do foco objeto
principal, con for me a figura. 
Nessas con dições, a imagem do palito tem comprimento de
aproximadamente:
a) 2,0cm b) 4,0cm c) 8,0cm
d) 9,2cm e) 11cm
134
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:53 Página 134
Sendo a distância focal f um comprimento, a
vergência tem dimensão de inverso de comprimento.
Sua unidade de medida é o (cm)–1 ou o m–1.
Esta última unidade m–1 (inverso do metro) é a usual
na prática, recebendo a denominação de DIOPTRIA,
sendo representada por di.
Nota:
Quando a vergência de um sistema óptico é nula (por
exemplo, uma lâmina de faces paralelas), o sistema é dito
afocal (sem focos).
13. Foco objeto principal
Quando os raios emergem da lente, paralelos ao eixo
principal, definindo um ponto imagem impróprio, o
ponto objeto está em uma posição privilegiada no eixo
principal, denominada FOCO OBJETO PRINCIPAL.
Tomando a Equação de Gauss, façamos:
p = fo (distância focal objeto) e p’ → �
teremos: + = ⇒ =
portanto:
isto é: “A DISTÂNCIA FOCAL OBJETO É IGUAL
À DISTÂNCIA FOCAL IMAGEM.”
e portanto: “OS FOCOS OBJETO E IMAGEM
PRIN CIPAIS SÃO SIMÉTRICOS COM
RELA ÇÃO AO CENTRO ÓPTICO DA
LEN TE.”
Nas lentes convergentes, f > 0 e ambos os focos são reais.
Nas lentes divergentes, f < 0 e ambos os focos são virtuais.
14. Focos 
secundários – planos focais
Todo o estudo de focos, feito para o eixo principal,
pode ser repetido para um eixo secundário, por isso
existem focos secundários.
Para cada direção de um pincel cilíndrico incidente
ou emergente, existe associado um foco imagem ou
objeto correspondente.
Nas condições de Gauss, todos os focos objetos en -
con tram-se em um plano perpendicular ao eixo principal
e passando pelo foco objeto principal, denominado PLA -
NO FOCAL OBJETO; e todos os focos imagens en con -
tram-se em um plano perpendicular ao eixo principal,
passando pelo foco imagem principal, denominado
PLANO FOCAL IMAGEM.
Nota:
Para obtermos os focos secundários correspondentes
a uma dada direção ( r→) do pincel cilíndrico, basta tra çar
o eixo secundário paralelo à direção do pincel e obter
suas intersecções com os planos focais.
F’o C F’i = eixo secundário paralelo à ( r
→)
F’o = foco objeto secundário
F’i = foco imagem secundário
15. Cálculo da distância focal
A distância focal de uma lente depende
a) do material de que a lente é feita, representado
por seu índice de refração absoluto (n2);
b) do meio externo que envolve a lente, represen -
tado por seu índice de refração absoluto (n1);
c) da geometria da lente, representada pelos raios
de curvatura, R1 e R2.
fo = f
1
–––
p’
1
–––
p
1
–––
f
1
–––
f0
1
–––
f
1
V = –––
f 
135
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:53 Página 135
136
O valor da distância focal (f) é calculado pela Equa -
ção de Halleyou dos “fabricantes de lentes”:
Nota
= n2,1 é o índice de refração da lente em relação 
ao meio externo.
Para os sinais de R1 e R2, a convenção adotada é a
seguinte, para um observador externo à lente:
I. Face convexa: raio de curvatura positivo
(R = � R � )
II. Face côncava: raio de curvatura negativo
(R = – � R � )
Notemos que o fator � + � traduz a geometria 
da lente, sendo positivo para as lentes de bordos finos
(ter minadas pela palavra convexa) e negativo para as len -
tes de bordos espessos (terminadas pela palavra côn ca -
va).
A equação dos fabricantes de lentes evidencia o
com portamento óptico das lentes já estudado e esque -
matizado a seguir:
I. Lentes de bordos finos:
� + � > 0 	
II. Lentes de bordos espessos:
� + � < 0 	
Cumpre ressaltar, ainda, que, quando uma das faces
é plana, o raio de curvatura tende ao infinito (R → �) e,
portanto, o termo tende a zero.
16. Pontos antiprincipais
Denominam-se pontos antiprincipais de uma lente
dois pontos conjugados (um ponto objeto e o corres -
pondente ponto imagem), pertencentes ao eixo
principal, para os quais o aumento linear transversal
vale – 1.
Para localizar tais pontos, usamos a definição:
= = –1 ⇒
A equação p’ = p nos mostra que os pontos anti prin -
cipais são equidistantes da lente, isto é, simétricos em
relação ao centro óptico (C).
Fazendo p’ = p na Equação de conjugação de Gauss,
temos:
+ = ⇒ = ⇒
Podemos, então, enunciar:
(I) OS PONTOS ANTIPRINCIPAIS SÃO SIMÉ -
TRICOS EM RELAÇÃO AO CENTRO ÓPTI -
CO E SITUADOS A UMA DISTÂNCIA DA
LEN TE IGUAL AO DOBRO DA DIS TÂNCIA
FOCAL.
(II) QUANDO UM OBJETO FRONTAL LI NEAR
É COLOCADO NO PONTO ANTI PRIN CI -
PAL OBJETO, SUA IMAGEM RE SULTA NO
PONTO ANTIPRINCIPAL IMA GEM, É DO
MESMO TAMANHO QUE O OBJETO E IN -
VER TIDA.
(III) NAS LENTES CONVERGENTES, OS PON -
TOS ANTIPRINCIPAIS SÃO AMBOS REAIS
E, NAS LENTES DIVERGENTES, SÃO AM -
BOS VIRTUAIS.
(IV) TODO RAIO INCIDENTE, NAS CONDI -
ÇÕES DE GAUSS, PASSANDO PELO PON -
TO ANTI PRINCIPAL OBJETO (Ao), ORI GI -
 NA UM RAIO REFRATADO PASSANDO PE -
LO PONTO ANTIPRINCIPAL IMAGEM (Ai).
Ao = ponto antiprin ci pal objeto real
Ai = ponto antiprin ci pal imagem real
1 n2 1 1 ––– = �––– – 1� �––– + –––�f n1 R1 R2
1
–––
p
1
–––
p’
1
–––
f
2
–––
p
1
–––
f
p = 2f
i
–––
o
p’
–––
p p’ = p
1
–––
R
1
–––
R2
1
–––
R1
1
–––
R2
1
–––
R1
n2–––
n1
n2,1 > 1 ⇒ f < 0 (lente 
di ver gente)
n2,1 < 1 ⇒ f > 0 (lente 
con ver gente)
n2,1 > 1 ⇒ f > 0 (lente 
con vergente)
n2,1 < 1 ⇒ f < 0 (lente 
di ver gente)
1
–––
R2
1
–––
R1
AiBi = AoBo
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47. (UFSE) – A medida da vergência ou convergência de uma lente é
dada em dioptrias, a qual, na linguagem popular, é conhecida
como ”grau”. A dioptria é definida como o inverso da distância
focal, medi da em metros. Logo, a vergência de uma lente
convergente de 25cm de distância focal, em dioptrias, é:
a) 0,040 b) 0,25 c) 0,40 d) 2,5 e) 4,0
Resolução
Da definição de vergência, temos:
Para que a unidade de vergência seja a dioptria, a distância focal
deve ser medida em metros, assim:
V = ––––––––
1
(di)
25 . 10–2
V = (di)
Resposta: E
48. Qual a vergência, em dioptrias, de uma lente divergente de
200cm de distância focal?
Resolução
Sendo a lente divergente, temos f < 0 e, portanto,
f = –200cm = – 2,00m
Como a vergência é o inverso da distância focal, temos:
V = = – ⇒ V = – 0,500m–1 = – 0,500 di
Resposta: – 5,00 . 10–1 di
49. (MED-SANTOS) – A distância entre um objeto e sua imagem real
dada por uma lente é 7,0cm. Sendo 0,40 o aumento linear,
calcular a vergência dessa lente.
Resolução
Admitindo-se que o objeto seja real, como a imagem é real,
conclui-se que a lente é convergente. Assim sendo, a imagem e
o objeto estão em lados opostos em relação à lente e a imagem
é invertida.
Assim:
p + p’ = 7,0cm (1)
A = – ––
p’ = –0,40 ⇒
p
⇒ p’ = 0,40 p (2)
Substituindo: (2) em (1):
p + 0,40 p = 7,0 ⇒ 1,4 p = 7,0
Logo: p = 5,0cm ⇒ p’ = 2,0cm
Pela equação de conjugação, temos:
+ = = V ⇒ V = +
V = 20 di + 50 di ⇒
Resposta: 70 di
50. Sabe-se que uma lente bicôncava, simétrica (raios de curvatura
iguais), tem distância focal igual a 10cm, em módulo, quando
imer sa no ar. Sendo 1,5 o índice de refração absoluto do vidro de
que é feita a lente, pedem-se:
a) o valor dos raios de curvatura;
b) o valor da distância focal, se a lente foi imersa num líquido de
índice de refração absoluto 1,8.
Resolução
a) Tomemos a equação dos fabricantes de lentes:
= (n2,1 – 1) � + �
Temos que: R1 = R2 = R; f = –10cm (lente divergente);
n2,1 = 1,5
= (1,5 – 1) � + �
= 0,5 . ⇒ R = –10cm
O sinal (–) no valor de R apenas confirma a convenção de sinais
adotada: face côncava tem raio de curvatura negativo.
b) Retomando a equação dos fabricantes de lentes:
= � – 1� � + �
= � – 1� � �
= � � � �
= . � � ⇒
Observe que, como f > 0, a lente passou a ter comportamento
con vergente.
Respostas: a) 10cm
b) 30cm
1
–––
f
–0,3
–––––
1,8
1
– ––––––
5cm f = 30cm
2
– ––––––
10cm
1,5 – 1,8
––––––––
1,8
1
–––
f
1
– ––––––
10cm
1
– ––––––
10cm
1,5
–––
1,8
1
–––
f
1
–––
R2
1
–––
R1
n2
–––
n1
1
–––
f
2
–––
R
1
– ––––––
10cm
1
–––
R
1
–––
R
1
– ––––––
10cm
1
–––
R2
1
–––
R1
1
–––
f
V = 70 di
1
––––––––
0,020m
1
––––––––
0,050m
1
–––
f
1
–––
p’
1
–––
p
1
––––––
2,00m
1
–––
f
V = 4,0 di
100
––––
25
1
V = –––
f
137
Ao = ponto antiprinci pal objeto virtual
Ai = ponto antiprinci pal imagem virtual
AiBi = AoBo
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:53 Página 137
51. (ITA) – Uma vela encontra-se a uma distância de 30cm de uma
lente plano-convexa que projeta uma imagem nítida de sua chama
em uma parede a 1,2m de distância da lente. Qual é o raio de
curvatura da parte curva da lente se o índice de refração dela, em
relação ao meio externo, é 1,5?
a) 60cm b) 30cm c) 24cm d) 12cm e) 10cm 
Resolução
Do enunciado, temos:
p = 30cm
p’ = + 1,2m = +120cm (a imagem projetada é de natureza real).
Assim:
–––
1
= –––
1
+ –––
1
f p p’
–––1 = –––1 + ––––1 (cm)–1
f 30 120
–––1 = –––––4 + 1 (cm)–1 ⇒
f 120
Podemos, agora, determinar o raio da face curva R1 por meio da
Equação de Halley.
–––
1
= (n2,1 – 1) . � –––1 + –––1 �f R1 R2
em que R2 → � (face plana) e 1/R2 → 0
–––1 = (1,5 – 1) . � –––1 + 0� (cm)–124 R1
portanto:
–––1 = ––––0,5 (cm)–1 ⇒
24 R1
Resposta: D
52. (UFSCar-MODELO ENEM) – Um livro de ciências ensina a fazer
um microscópio simples com uma lente de glicerina. Para isso,
com um furador de papel, faz-se um furo circular num pedaço de
folha fina de plástico que, em seguida, é apoiada sobre uma
lâmina de vidro. Depois, pingam-se uma ou mais gotas de
glicerina, que preenchem a cavidade formada pelo furo, que se
torna a base de uma lente líquida praticamente semiesférica.
Sabendo que o índice de refração absoluto da glicerina é 1,5 e que
o diâmetro do furo é 5,0 mm, pode-se afirmar que a vergência
dessa lente é de, aproximadamente,
a) +10 di. b) –20 di. c) +50 di.
d) –150 di. e) +200 di.
Resolução
A gota forma sobre o furo uma lente plano-convexa com raio de
curvatura R = 2,5 . 10–3m. Da Equação de Halley para lentes esfé -
ricas delgadas, temos:
V =
V = (di) ⇒
Resposta: E 
53. (UFC-MODELO ENEM) – Uma lente esférica delgada, cons tituí da
de um material de índice de refração n, está imer sa no ar 
(nar = 1,00). A lente tem distância focal f e suas superfícies
esféricas têm raios de curvatura R1 e R2. Esses parâmetros
obedecem a uma relação, co nhe cida como “equação dos
fabricantes”, expressa por
= (n – 1) � + �.
Suponha uma lente biconvexa de raios de curvatura iguais (R1 = R2 = R),
distância focal f0 e índice de refração n = 1,8 (figura I). Essa lente é
partida ao meio, dando origem a duas lentes plano-convexas iguais
(figura II). A distância focal de cada uma das novas lentes é
a) f0 b) f0 c) f0
d) f0 e) 2f0
Resolução
Figura I: = (1,8 – 1) � + � ⇒ = 
Assim: a
Figura II: = (1,8 – 1) � + � ⇒ = 
123
tende a zero
Assim: b
Comparando-sea e b: 
Resposta: E
f = 2f0
R
f = ––––––
0,8
0,8
–––
R
1
–––
f
1
–––
�
1
–––
R
1
–––
f
R
f0 = –––––
1,6
1,6
–––
R
1
–––
f0
1
–––
R
1
–––
R
1
–––
f0
9
–––
5
4
–––
5
1
–––
2
1
––––
R2
1
––––
R1
1
–––
f
V = 200di
1
–––––––––
2,5 . 10–3
1,5�–––– – 1�1,0
1�–––�R
n’�––– – 1�n
R1 = 12cm
f = 24cm
138
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139
54. (PUC-RJ-MODELO ENEM)
Nas figuras acima, o objeto O é colocado a uma mesma distância
de duas lentes convergentes, L1 e L2. Um raio luminoso incide
paralelamente sobre o eixo principal das lentes. Sabendo-se
que b > a, a respeito das vergências V1 e V2, das lentes L1 e L2, res -
pectivamente, pode-se afirmar que:
a) V2 > V1 b) V2 = V1 c) V2 < V1
d) V2 = 2V1 e) V2 = V1/2
55. (UEL-PR) – Uma lente tem distância focal de 40cm. A vergência
(convergência) dessa lente, em dioptrias (m–1), é de:
a) 0,40 b) 2,5 c) 4,0 d) 25 e) 40
56. (FEI) – De um objeto real, uma lente delgada fornece imagem
real, invertida e de mesmo tamanho. Sabendo-se que a distância
entre objeto e imagem é d = 4,0m, a vergência da lente é, em
dioptrias:
a) +1,0 b) –1,0 c) +0,25 d) +2,0 e) –2,0 
57. (FEI) – Uma lente convergente possui vergência V = 25 di. Um
objeto é colocado a 5,0cm da lente. O aumento linear transversal
da lente é, em valor absoluto:
a) 1/4 b) 1/2 c) 1,0 d) 2,0 e) 4,0
58. (PUC-RJ) – Para se determinar a vergência de uma lente delgada
convergente:
I. Varia-se a distância do objeto à lente, até obter sobre um
anteparo uma imagem do mesmo tamanho que o objeto.
II. O objeto estava localizado perpendicularmente ao eixo
principal da lente.
III. A distância entre o objeto e a sua imagem foi determinada e o
seu valor foi de 80cm.
Com as informações obtidas, pede-se
a) obter graficamente a imagem formada pela lente.
b) determinar a vergência da lente.
59. (MACKENZIE) – Considerando uma lente biconvexa cujas faces
possuem o mesmo raio de curvatura, podemos afirmar que
a) o raio de curvatura das faces é sempre igual ao dobro da
distância focal.
b) o raio de curvatura é sempre igual à metade do recíproco de
sua vergência.
c) ela é sempre convergente, qualquer que seja o meio envol -
vente.
d) ela só é convergente se o índice de refração do meio
envolvente for maior que o do material da lente.
e) ela só é convergente se o índice de refração do material da
lente for maior que o do meio envolvente.
60. (VUNESP-UFTM) – Uma lente del ga da convexo-côn ca va,
de vidro flint, com índice de re fração n = 1,6, en con tra-se
imersa no ar. Se o raio de sua super fície côn cava é igual
a 20,0cm e sua vergência é C = – 1,8di, o raio de cur -
vatura da super fície con vexa tem valor, em cm, igual a
a) –30,0 b) –20,0 c) –10,0 
d) +20,0 e) +50,0 
61. (AMAN) – Uma lente delgada, convergente, biconvexa, de índice
de refração 1,5 em relação ao meio que a envolve, tem
superfícies esféricas de raios 4,0cm e 6,0cm. A distância focal da
lente vale:
a) 2,4cm b) 3,6cm c) 4,8cm d) 7,2cm e) 10,0cm
62. (UFTM-MODELO ENEM) – Duas lentes esfé -
ricas, uma plano-convexa e outra plano-côn -
cava, são justapostas e insertas no vácuo
(índice de refração igual a 1). Os raios de cur -
vatura de ambas as lentes têm o mesmo valor
R, entretanto, seus índices de refração n1 e n2
diferem.
A vergência do conjunto, resultado da adição
das vergências individuais de ambas as lentes,
em di, pode ser determinada por
a) C = b) C = R c) C = 
d) C = e) C = 
63. (U.F.-OURO PRETO) – Uma lente esférica de vidro, delgada,
convexo-côncava, tem o raio da superfície côncava igual a 5,0cm
e o da convexa igual a 20cm. Sendo o índice de refração do vidro,
em relação ao ar, n = 1,5, para uma dada luz monocromática, a
convergência dessa lente é igual a:
a) – 15 di b) – 7,5 di c) – 0,075 di 
d) 7,5 di e) 15 di
n1 + n2–––––––
R
n1 – n2–––––––
R
n1 + n2–––––––
2R
n1–––
n2
n2 – n1
–––––––
R
17. Associação de lentes delgadas
Seja uma associação de n lentes delgadas justa -
postas, de distâncias focais f1, f2, ... , fn.
Demonstremos, para o caso de duas lentes, o
teorema das vergências:
PARA UMA ASSOCIAÇÃO DE LENTES DEL -
GADAS JUSTAPOSTAS, A VERGÊNCIA DA
AS SOCIAÇÃO É IGUAL À SOMA ALGÉBRI -
CA DAS VERGÊNCIAS DAS LENTES ASSO -
CIA DAS.
Dois prismas e uma 
lâmina de faces pa -
ralelas associados
simulando o 
com portamento de
uma lente.
Por razões didáticas, não representaremos, na figura,
as lentes justapostas.
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Para a lente L1, o ponto objeto real é P, com abscissa
gaussiana p e o respectivo ponto imagem real é P1, com
abscissa gaussiana p1 + d, em que d → 0, pois as lentes
são justapostas.
Logo, aplicando a Equação de Gauss, temos:
+ = (1)
Para a lente L2, o ponto objeto virtual é P1, com abs-
cissa gaussiana (–p1) e o respectivo ponto imagem real é
P’, com abscissa gaussiana p’.
Aplicando-se, novamente, a Equação de Gauss, resulta:
+ = (2)
Somando-se (1) e (2), obtém-se:
+ = + (3)
Para a lente única equivalente à associação, o ponto
objeto real é P, com abscissa gaussiana (p) e o respectivo
ponto imagem real é P’, com abscissa gaussiana (p’).
Aplicando, para a lente equivalente, a Equação de
Gauss, temos:
+ = (4)
em que f é a distância focal da lente equivalente.
Comparando-se (3) e (4), vem:
Da definição de vergência, resulta:
Para n lentes, escrevemos, genericamente:
Obs.: Se as lentes associadas não forem justapostas, mas
sim, estiverem a uma distância d e com o ei xo
principal coincidente, pode-se demonstrar que:
• Associação de lentes
Associação de três len -
tes esféricas provocan -
do um desvio no feixe
cilíndrico.
1
–––
p1
1
–––
p
1
–––
f1
1
–––
p’
1
––––
(–p1)
1
–––
f2
1
–––
p’
1
–––
p
1
–––
f1
1
–––
f2
1
–––
p’
1
–––
p
1
–––
f
1 1 1
––– + ––– = –––
f f1 f2
V = V1 + V2
V = V1 + V2 + ... + Vn
V = V1 + V2 – V1 . V2 . d
Lente convergente
Vergência: V1
1
V1 = –––f1
Lente divergente
Vergência: V2
1
V2 = –––f2
Lente equivalente
Vergência: V, em que V = V1 + V2
1 1 1
––– = ––– + –––
f f1 f2
140
P2_Livro3_Optica_Alelex_91a166 07/08/12 08:53 Página 140
18. Método do pincel cilíndrico
Faz-se incidir sobre a lente um pincel cilíndrico de luz
(raios paralelos), na direção do eixo principal da lente.
Tal pincel pode ser constituído, por exemplo, por
raios solares.
Procura-se ajustar a posição da lente, de modo a se
focalizar, da maneira mais nítida possível, o centro do
pincel de luz emergente.
Esse centro será o foco imagem principal da lente e
sua distância até a lente é a distância focal (f).
19. Método de Gauss
Em um trilho graduado, monta-se a lente cuja distân -
cia focal se deseja obter, um anteparo que vai cap tar
a imagem e um pequeno objeto luminoso. Mantendo-se
fixa a posição da lente (ou do anteparo), desloca-se o
objeto e o anteparo (ou a lente) para um posicionamento
adequado, em que a imagem do objeto é captada nitida -
mente no anteparo.
Medem-se as distâncias p e p’ da lente ao objeto e ao
anteparo e aplica-se a Equação de conjugação de Gauss:
= + 
20. Método de Silberman
Mantendo-se a lente fixa num banco óptico, desloca-se
ao longo do trilho graduado o objeto, constituído por pla ca
de vidro fosco, na qual está desenhada uma se micir cun -
ferência bastante iluminada, e uma segunda pla ca, na qual
está desenhada a parte restante da circun fe rên cia ob je to.
Ajustam-se as posições das duas placas, em relação à
lente fixa, até que a imagem da semicircunferência
iluminada se sobreponha exatamente à semicircunfe rência
desenhada na segunda placa.
Quando isto ocorrer, a imagem estará sendo in vertida e
do mesmo tamanho que o objeto, isto é, objeto e imagem es -
ta rão localizados nos pontos antiprincipais e a distância en -
tre eles será igual ao quádruplo da distância focal da lente.
21. Método da autocolimação
Em um banco óptico, montamos a lente cuja distân -
cia focal se quer obter e um espelho plano normal ao ei -
xo da lente.
Um pequeno objeto luminoso é deslocado ao longo