teorico (3)

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Elementos de 
Máquinas I
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Lincoln Ribeiro Nascimento 
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Sandra Regina Fonseca Moreira
Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
• Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos.
• Apresentar ao aluno as características geométricas, os esforços presentes e o dimen-
sionamento de engrenagens cilíndricas de dentes retos aplicadas em uma transmis-
são de potência e movimento.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Engrenagens Cilíndricas 
de Dentes Retos
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos
As engrenagens são rodas dentadas utilizadas para a transmissão de potência e 
movimento de um eixo motor (que possui movimento de rotação) para outro eixo 
que passará a ter esse movimento de rotação (eixo movido). 
Dependendo do número de dentes das engrenagens, haverá um aumento ou 
uma redução na velocidade de rotação entre o eixo motor e o eixo movido.
A Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos (ECDR) possui formato cilíndrico e os 
dentes são perpendiculares às faces da engrenagem. 
Na figura 1 é possível visualizar um exemplo de engrenagem cilíndrica de dentes retos. 
Figura 1 – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos (ECDR)
Fonte: Acervo do conteudista
Porém, na prática, costuma-se utilizar em desenho técnico mecânico uma re-
presentação mais simplificada para engrenagens, conforme ilustrado na figura 2.
Figura 2 – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos – Vistas Simplificadas
Fonte: Acervo do conteudista
8
9
Características Geométricas da Engrenagem 
Cilíndrica de Dentes Retos
Ao se desenhar, dimensionar ou construir uma engrenagem cilíndrica de dentes 
retos, devem ser conhecidas ou determinadas diversas dimensões que representam 
características geométricas dessa engrenagem. 
Na figura 3 é possível visualizar as principais características geométricas de uma 
engrenagem cilíndrica de dentes retos.
Figura 3 – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos – Principais Características Geométricas
Fonte: Acervo do conteudista
Na tabela 1 é possível visualizar a descrição e o método de cálculo das dimen-
sões que aparecem na figura 3, além de outras dimensões que podem ser úteis du-
rante o dimensionamento e fabricação de engrenagens cilíndricas de dentes retos. 
Os valores contidos na tabela foram obtidos no livro Elementos de Máquinas, 
capítulo 6, páginas 96 a 971, disponível na biblioteca virtual da universidade. 
Tabela 1 – Principais características geométricas de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos
Descrição Símbolo Equação Unidade de Medida 
Número de dentes da engrenagem z z = 
d
m
0 [z] = Adimensional
Módulo m m = 
t0
π
[m] = mm
Passo t0 t0 = m ⋅ π [t0] = mm
Diâmetro Primitivo d0 d0 = m ⋅ z [d0] = mm
Vão entre os dentes no diâmetro primitivo l0 l0 = 
t
0
2
[l0] = mm
1 MELCONIAN, Sarkis. Elementos de Máquinas. 10. ed. Ed. Érica, São Paulo, 2013.
9
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Descrição Símbolo Equação Unidade de Medida 
Espessura do dente no diâmetro primitivo s0 s0 = 
t
0
2
[so] = mm
Altura do pé do dente hf hf = 1,2 ⋅ m [hf] = mm
Diâmetro interno ou Diâmetro do “pé” do dente df df = d0 – 2 ⋅ hf [df] = mm
Altura da cabeça do dente hk hk = m [hk] = mm
Diâmetro externo ou diâmetro da “cabeça” do dente dk dk = d0 + 2 ⋅ hk [dk] = mm
Largura do dente b ---- [b] = mm
Ângulo de pressão a 20° [a] = º
Fonte: MELCONIAN, Sarkis, 2013
Esforços na transmissão de potência em uma ECDR
O contato entre os dentes da engrenagem motora e os da engrenagem movida 
em uma transmissão de potência ocorre na região do diâmetro primitivo. Dessa 
forma, a força tangencial atuante na transmissão irá agir exatamente no diâmetro 
primitivo das 2 engrenagens.
Na figura 4 é possível visualizar os esforços na transmissão de potência entre 
duas engrenagens cilíndricas de dentes retos.
Figura 4 – Esforços na transmissão entre 2 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos (ECDR)
Fonte: Acervo do conteudista
Os esforços representados na figura 4 são:
• Ft → Força Tangencial;
• Fr → Força Radial;
• Fres → Força Resultante.
Qual é a força responsável pelo movimento e transmissão de potência em uma engrenagem 
cilíndrica de dentes retos?Ex
pl
or
10
11
A força responsável pelo movimento e transmissão de potência das engrena-
gens é a Força Tangencial. Ela atual no diâmetro primitivo das engrenagens.
A relação entre a Força Tangencial e o Momento torçor atuante na engrenagem 
pode ser determinada através da equação 1.
 Mt = Ft  r0 (1)
Onde:
• Ft → Força Tangencial;
• r0 → Raio primitivo;
• Mt → Momento Torçor ou Torque.
O raio primitivo, por sua vez, pode ser calculado através da equação 2.
 r
d
0
0
2
= (2)
Onde:
• r0 → Raio primitivo;
• d0 → Diâmetro primitivo.
A tangente do ângulo de pressão da engrenagem é a razão entre a Força Radial 
e a Força Tangencial atuante na engrenagem, conforme a equação 3.
 tan � �
F
F
r
t
 (3)
Onde:
• Ft → Força Tangencial;
• Fr → Força Radial;
• α → Ângulo de Pressão.
Finalmente, a intensidade da força resultante pode ser obtida através da equa-
ção 4, onde foi aplicado o Teorema de Pitágoras.
 F F Fres t r� �( ) ( )
2 2 (4)
Onde:
• Ft → Força Tangencial;
• Fr → Força Radial;
• Fres → Força Resultante.
11
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Dimensionamento de uma Engrenagem 
Cilíndrica de Dentes Retos
Qual é o principal objetivo do dimensionamento de uma engrenagem cilíndrica 
de dentes retos?Ex
pl
or
O principal objetivo do dimensionamento é determinar o valor da largura mí-
nima (b) do dente da engrenagem menor (pinhão). Entende-se que, uma vez de-
terminada a largura mínima do pinhão, pode-se adotar essa mesma largura para 
a engrenagem maior (coroa). A largura do dente da engrenagem nesse caso, será 
também a largura mínima da engrenagem.
Porém, para uma engrenagem ser considerada bem dimensionada, deve se con-
siderar também a razão entre a largura da engrenagem e o diâmetro primitivo do 
pinhão, conforme condições a seguir:
• Para engrenagens biapoiadas → 
b
d0
≤ 1,2
• Para engrenagens em balanço → 
b
d0
≤ 0,75
Qual a diferença entre uma engrenagem biapoiadae uma engrenagem em balanço?
Ex
pl
or
Uma engrenagem é considerada biapoiada quando o eixo onde ela está monta-
da possui 2 apoios. Por outro lado, uma engrenagem é considerada em balanço, 
quando o eixo onde essa engrenagem está montada possui apenas 1 apoio, ou 
seja, a outra extremidade está livre. Na figura 5 é possível visualizar um exemplo de 
engrenagem em balanço e outro de uma engrenagem biapoiada.
Figura 5 – Exemplos de Engrenagem em balanço e biapoiada
Fonte: Acervo do conteudista
Quais são os critérios utilizados para se dimensionar uma engrenagem cilíndrica de dentes retos?
Ex
pl
or
12
13
As engrenagens cilíndricas de dentes retos devem ser dimensionadas através de 
2 critérios:
• Critério de Pressão ou Critério de resistência ao desgaste;
• Critério de Resistência à Flexão no pé do dente.
A seguir, esses 2 critérios serão apresentados.
Critério de Pressão 
O dimensionamento da engrenagem através da utilização do critério de pressão, 
ou de resistência ao desgaste, consiste em dimensionar a engrenagem de tal forma 
que ela possa resistir ao desgaste provocado pela pressão e atrito entre os dentes 
do pinhão e da coroa durante a transmissão de potência. 
De uma forma geral, é possível dizer que, ao se utilizar, no projeto de uma en-
grenagem, um material com uma boa dureza superficial, irá se obter, como conse-
quência, uma vida maior para essa engrenagem.
Para se dimensionar uma engrenagem pelo critério de pressão, deve-se observar 
os seguintes passos:
• Passo 1: Determinação do fator de durabilidade
O fator de durabilidade trata de um valor numérico adimensional que relaciona a 
duração real da engrenagem e a duração, caso ela tivesse vida infinita.
A vida infinita teórica de uma engrenagem seria de 1000000 de ciclos.
O fator de durabilidade (Wi) pode ser determinado através da equação 5.
 Wi
n hp�
� �60
10
6
 (5)
Onde:
• np → Número de rotações do pinhão em rpm;
• h → Previsão de duração da engrenagem em horas;
• Wi → Fator de durabilidade (Adimensional).
• Passo 2: Calcular a Pressão Admissível
A pressão admissível na superfície do dente pode ser determinada através da 
equação 6.
 
P HB
Wi
adm �
�0 487
1
6
,
 (6)
13
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Onde:
• Padm → Pressão admissível em 
n
mm2
;
• HB → Dureza do Material na Escala Brinell;
• Wi → Fator de durabilidade (Adimensional).
• Passo 3: Calcular o Volume Mínimo da Engrenagem
A equação 7 deve ser utilizada para se determinar o chamado volume mínimo da 
engrenagem. Porém, ao se utilizar a equação 7, deve-se atender, ao mesmo tempo, 
aos seguintes critérios:
• Engrenagens fabricadas em aço;
• Número de dentes do pinhão deve ser entre 18 e 40 dentes;
• O ângulo de pressão deve ser de 20°.
 b d
Mt
P
i
iadm
1 01
2 5
2
5 72 10
1
0 14
� � � � �
�
�
�,
,
� (7)
Onde:
• b1 → Largura do pinhão em mm;
• d01 → Diâmetro primitivo do pinhão em mm;
• Mt → Momento toçor no pinhão em N ⋅ mm
• Padm → Pressão admissível em 
N
mm2
;
i → Relação de Transmissão (Adimensional).
ϕ → Fator de serviço (tabelas) de acordo com a aplicação (Adimissional)
Os sinais positivos (+) que aparecem na equação 7 devem ser utilizados quando 
o engrenamento for externo; e os sinais negativos (-) devem ser utilizados quando 
o engrenamento for interno (planetário).
Na figura 6 é possível visualizar um exemplo de engrenamento interno, onde as 
engrenagens menores (pinhões), na cor azul, se movimentam dentro da engrena-
gem maior (coroa), na cor vermelho.
Na figura 7 é possível visualizar um exemplo de engrenamento externo, onde 
não ocorre a presença de uma engrenagem “dentro” da outra.
Figura 7 – Exemplo de engrenamento externo 
Fonte: iStock/Getty Images
Figura 6 – Exemplo de engrenamento interno 
Fonte: Wikimedia Commons
14
15
Critério de Resistência a Flexão no Pé do dente 
O dimensionamento da engrenagem, utilizando-se somente o critério de pressão 
ou de resistência ao desgaste, não é suficiente para se garantir o funcionamento 
durante toda a vida prevista no projeto. É necessário também considerar a possibi-
lidade de a força tangencial atuante no dente da engrenagem causar um momento 
fletor nesse dente, o que pode levar à ruptura dele.
Sendo assim, a Tensão máxima de flexão atuante no dente deve ser sempre 
menor do que a tensão admissível do projeto, calculada levando-se em conta o 
material utilizado e a aplicação do projeto.
Ou seja:
σmáx < σ
O valor da tensão máxima de flexão atuante no projeto pode ser obtido através 
da equação 8.
 �
�
máx
tF q
b m
�
� �
�
 (8)
Onde: 
• σ → Tensão Admissível
• σmáx → Tensão máxima de flexão no pé do dente
• Ft → Força tangencial
• q → Fator de forma
• ϕ → Fator de serviço (tabelas) de acordo com a aplicação (Admensional)
• b → Largura do dente ou da engrenagem
• m → Módulo normalizado da engrenagem
Na figura 8 é possível visualizar um possível efeito da tensão de flexão no pé do 
dente da engrenagem, que se trata da ruptura do dente.
Figura 8 – Exemplo de possível efeito da tensão de fl exão no pé do dente 
Fonte: Acervo do conteudista
15
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Exemplo de Aplicação
Exemplo 1
Dimensionar o par de engrenagens de dentes retos da figura. Dados:
• Nmotor = 10000 W;
• nmotor = 1200 rpm;
• Material das Engrenagens: Aço SAE 4340;
• Dureza do material: 60 HRC;
• Duração da engrenagem: 10000 horas (previsão);
• Adotar: Carga uniforme;
• Trabalho diário: 10 horas;
• z1 = 30 dentes;
• z2 = 120 dentes;
• a = 20º.
1. Critério de Pressão
Passo 1: Momento Torçor no pinhão
A relação entre o Momento torçor e a potência do motor é dada por:
N M n
N
n
M
W M
motor t
motor
t
t
� �
� �
�
� �
�
�
� �
�
2
60
60
2
60 10000
2 3 14 1200
1
�
�
,
79,6178 N ⋅ m = Mt1
Porém, vamos multiplicar o resultado por 1000; têm-se também o valor do mo-
mento torçor em N ⋅ mm:
79617,8 N ⋅ m = Mt1
Passo 2: Relação de Transmissão
A relação de transmissão em função do número de dentes das engrenagens é 
dada por:
i
z
z
i
i
12
2
1
12
12
120
30
4
=
=
=
16
17
Passo 3: Fator de Durabilidade (Wi)
Wi
n h
Wi rpm horas
p�
� �
�
� �
60
10
60 1200 10000
10
6
6
Wi = 720
Passo 4: Dureza do Material em Brinell (HB)
Para se obter o valor da dureza Brinell do material, vamos consultar a tabela dispo-
nível no livro Elementos de Máquinas, de Sarkis Melconian, capítulo 6, página 98. 
Figura 9 – Tabela de Dureza Brinell
Fonte: MELCONIAN, Sarkis, 2013
Para o Aço SAE 4340 têm-se:
Aço SAE 4340 – Dureza Brinell = 6000HB = 6000 
N
mm2
Passo 5: Pressão Admissível (Padm)
A pressão admissível é dada pela seguinte equação:
P HB
W
P
N
mm
adm
adm
�
�
�
�
0 487
0 487 6000
720
1
6
2
1
6
,
,
Padm = 976,02 
N
mm2
 = 976,02 Mpa
17
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Passo 6: Fator de Serviço (ϕ)
Para se obter o fator de serviço, vamos consultar a tabela AGMA disponível no 
livro Elementos de Máquinas, capítulo 6, páginas 104 a 107, de Sarkis Melconian. 
Consultando a tabela AGMA, para eixo de transmissão com carga uniforme e 
10 horas diárias, têm-se:
ϕ = 1
Figura 10
Fonte: MELCONIAN, Sarkis, 2013
Passo 7: Volume mínimo do pinhão 
O volume mínimo do pinhão para o critério de pressão é obtido através da se-
guinte equação:
b d
M
P
i
i
b d
t
adm
1 01
2 5
2
1 01
2 5
5 72 10
1
0 14
5 72 10
79617
� � � � �
�
�
�
� � � �
,
,
,
�
,,
,
,
8
976 02
4 1
4 0 14
2
2
N mm
N
mm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b d mm1 01
2 357737,56��
18
19
Isolando b1, tem-se:
 b
d1
01
2
57737 56
=
,
 (1)
Passo 8: Relação entre a largura da engrenagem e o diâmetro primitivo
b
d
Engrenagens bi apoiadas1
01
1 2� � �,
Adotado:
 
b
d
b d1
01
1 01
0 8 0 8� � � �
�
, ,
b d1 01= 0,8 (2)
Passo 9: Diâmetro primitivo do pinhão
Igualando-se as equações I e II, tem-se:
b b
d
d
d
d
1 1
01
01
2
01
3
01
0 8
57737 56
57737 56
0 8
57737 56
0 8
�
� �
�
�
,
,
,
,
,
,
d011 41,63� mm
Passo 10:Módulo da engrenagem
A relação entre o módulo e o diâmetro primitivo é dada pela seguinte equação:
d0 = m ⋅ z
Para o pinhão, tem-se:
d m z
d
z
m
mm m
mm m
01 1
01
1
41 63
30
1 388
� �
�
�
�
,
,
O módulo define qual a ferramenta (fresa) a ser utilizada na fabricação da en-
grenagem. Esse módulo é normalizado. Sendo assim, vamos definir o módulo 
19
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
normalizado consultando a tabela de Módulos Normalizados, disponível no livro 
Elementos de Máquinas, capítulo 6, página 99, de Sarkis Melconian. 
Figura 11
Fonte: MELCONIAN, Sarkis, 2013
Como o incremento é de 0,25mm, isso significa que o módulo entre 1 e 4 mm 
varia da seguinte forma:
Tabela 2
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
...
Sendo assim, o módulo calculado (1,388 mm) está entre 1,25 e 1,50 mm. 
Vamos adotar o maior valor. Logo, módulo normalizado será igual a 1,50 mm.
m = 1,5 mm (Normalizado)
Passo 11: Recálculo do diâmetro primitivo do pinhão
Agora que temos o módulo normalizado, devemos recalcular o diâmetro primi-
tivo do pinhão utilizando esse novo módulo.
d01 = 1,5mm ⋅ 30
d01 = 45mm
Passo 12: Cálculo da largura do pinhão (Critério de pressão)
Utilizando a relação entre a largura e o diâmetro primitivo do pinhão (Equação 3), 
tem-se:
 b1 = 0,8 ⋅ d01 (3)
b1 = 0,8 ⋅ 45mm
b1 = 36mm (Largura do pinhão)
20
21
2. Critério de Resistência à Flexão no pé do dente
Passo 1: Fator de forma (q)
O fator de forma (q) é obtido consultando a tabela de Fator de forma disponível 
no livro Elementos de Máquinas, capítulo 6, página 102, de Sarkis Melconian. 
Figura 12 – Fator de Forma q
Fonte: MELCONIAN, Sarkis, 2013
Vamos adotar o valor mais próximo, ou seja, como o pinhão tem 30 dentes, 
adotaremos o fator de forma para 28 dentes para engrenamento externo.
q = 3,1
Passo 2: Cálculo da Força Tangencial
A relação entre a Força tangencial e o Momento torçor no pinhão é dada pela 
seguinte equação:
Mt Ft r r
d
Mt Ft
d
Mt
d
Ft
N mm
mm
1 01 01
01
1
01
1
01
2
2
2
2 79617 8
45
� � � �
� �
�
�
� �,
��
�
Ft
3538,57N Ft
Passo 3: Cálculo da Tensão Máxima de Flexão no pé do dente
O valor da tensão máxima de flexão no pé do dente é dado pela seguinte equação:
�
�
�
máx
t
máx
F q
b m
N
mm mm
�
� �
�
�
� �
�
�
3538 57 3 1 1
36 1 5
, ,
,
��máx
N
mm
203,14 2
21
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Passo 4: Tensão Admissível
O valor da tensão admissível a ser utilizada para o dimensionamento de engre-
nagens, pode ser obtida consultando a tabela de Tensão Admissível, disponível no 
livro Elementos de Máquinas, capítulo 6, página 110, de Sarkis Melconian.
Para p Aço SAE 4340 → � � 170
2
N
mm
Figura 13 – Tensões ideais para os materiais no dimensionamento de engrangens
Fonte: MELCONIAN, Sarkis, 2013
Passo 5: Análise do resultado
O valor da tensão máxima de flexão no pé do dente é maior do que o valor da 
tensão admissível. Dessa forma, haveria a ruptura do dente da engrenagem.
Sendo assim, vamos recalcular a largura do pinhão utilizando o valor da tensão 
admissível para o material.
Passo 6: Recálculo da Largura do pinhão
Isolando b1 na equação de tensão máxima de flexão e adotando a tensão admis-
sível para o Aço SAE 4340, tem-se:
�
�
�
�
máx
t
t
F q
b m
b
F q
m
b N
N
mm
mm
�
� �
�
�
� �
�
�
� �
�
3538 57 3 1 1
170 1 5
2
, ,
,
b = 43,,02mm
3. Resultado Final
Para o pinhão, tem-se:
z1 = 30 dentes
b1 = 43,02mm
d01 = 45mm
22
23
Para a coroa, tem-se:
z2 = 120 dentes
b2 = b1 = 43,02mm
d02 = 180mm
Onde:
d02 = m ⋅ z2
d02 = 1,5mm ⋅ 120
d02 = 180mm
23
UNIDADE Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Elementos de Máquinas
Leia o capítulo 6 (p 95-130) da obra de Sarkis Melconiam, disponível na Biblioteca 
Virtual da Universidade, no item “E-books – Minha Biblioteca”. Nesse texto serão 
apresentados mais exemplos de dimensionamento de engrenagens cilíndricas de 
dentes retos.
Elementos de Máquina de Shigley
Leia o capítulo 13 da parte 3 (p. 655-715) da obra de Richard G. Budynas e J. 
Keith Nisbett, disponível na Biblioteca Virtual da Universidade, no item “E-books – 
Minha Biblioteca”. Nesse texto será apresentado uma breve introdução aos tipos e 
características de engrenagens.
 Vídeos
Telecurso 2000 - Elementos de Maquinas - 32 Engrenagens I
Vídeo que trata de engrenagens e aplicações.
https://youtu.be/udn-kRpSdhQ
Telecurso 2000 - Elementos de Maquinas - 32 Engrenagens II
Vídeo que trata de um aprofundamento nos tipos e características de engrenagens.
https://youtu.be/R1Ew5HkfvQw
24
25
Referências
BUDYNAS, R. G., NISBETT, J. K. Elementos de Máquinas de Sigley. 10. Ed. 
Porto Alegre: Ed. AMGH, 2016.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. Ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
MELCONIAN, S. Elementos de Máquinas. 10. Ed. São Paulo: Ed. Érica, 2013.
MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19. Ed. São 
Paulo: Ed. Érica, 2013.
PEREIRA, C. P. M. Mecânica dos materiais avançada. 1. Ed. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 2014.
25