Macro III (FECAP) - Modelo de Solow

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Macro IV 
Prof. José Carlos Domingos da Silva 
 
Crescimento econômico - Modelo de Solow (sem tecnologia) 
 
Parte I – Hipóteses 
[Solow, R. M. (1956). “A Contribution to the Theory of Economic Growth”, Quarterly 
Journal of Economics, 70.] 
 Com o passar do tempo o país (a economia) segue uma trajetória de convergência, 
em termos de crescimento econômico, para as condições de equilíbrio de longo prazo (de 
estado estacionário). 
 O equilíbrio de longo prazo é estável e único. 
 
Hipóteses iniciais do modelo de Solow 
H1- 
A função de produção ),( LKFY  é representada por uma função do tipo Cobb-Douglas 
que representa a oferta da economia e apresenta retornos constantes de escala. Ou seja, 
para 0 , temos: �� = ��(�, �). 
 
Dado que a função de produção apresenta retornos constantes de escala, podemos ter 
L
1
 , logo, podemos considerar a função de produção em termos per capita (ou em 
termos de trabalho). 





 L
L
K
L
FY
L
LKFY
1
,
11
),(  . Considerando y = Y/L e k 
= K/L, temos )(kfy  , onde as variáveis com denominações em letras minúsculas 
estão em termos per capita. ou por trabalhador (y = produto ou renda per capita e k = 
capital per capita). 
 
Sendo assim, temos as seguintes condições para )(kf : 
0)0( f ; 0
)(
)(' 
dk
kdf
kf ; 0
)(
)(''
2
2

dk
kfd
kf 
2 
 
Ou seja, a função de produção em termos de trabalho (ou per capita) apresenta 
rendimentos marginais positivos em relação aos fatores de produção, porém decrescentes. 
Em termos gráficos, temos: 
 
 
 
H2- Tanto o fator de produção capital (K) quanto o trabalho (L) exibem rendimentos 
marginais descrentes. 
 
H3- A mão de obra (L) cresce à taxa exógena, sendo ainda, constante ao longo do tempo 
(taxa n). Assume-se a taxa de crescimento da população (n) como taxa de crescimento da 
Mao de obra. Onde a acumulação de trabalho é dada por. nTOeLL  . 
 
H4- A taxa de poupança (s) da economia é constante, positiva e exógena. Considerando-
se que 10  s . Onde s é uma fração da renda (produto) é a chamada propensão marginal 
a poupar. Sendo, assim, s=1-c, onde c é a propensão marginal a consumir. 
 
H5- A movimento da acumulação de capital é dada por KIK 

. Considerando sYI 
, temos que a função de acumulação de capital é dada por KsYK 

. (onde �̇ é a 
variação do estoque de capital no tempo). 
 
 
H6- A contratação dos fatores de produção se dá de acordo com a igualdade dos seus 
produtos marginais com as suas remunerações no caso do capital temos rPmg K  e no 
y=Y/L
k=K/L
0
y = f(k)
3 
 
caso do trabalho wPmg L  , onde r é a remuneração do capital (taxa de juros) e w é a 
remuneração do trabalho (salário), ambos em termos reais saindo da condição de 
maximização de lucro das firmas do mercado: wLrKLKpF  ),( , onde p=1. 
(observação: pela condição de primeira ordem de maximização do lucro da firma observa-
se tais igualdades). 
Condição de primeira ordem para maximização do lucro (): 
 
��
��
=
��(�, �)
��
− � = 0			 → 		 ���� = � 
 
��
��
=
��(�, �)
��
− � = 0			 → 		���� = � 
 
H7- Os mercados de fatores de produção e de produtos funcionam em concorrência 
perfeita. Logo, não há lucro econômico, as remunerações dos fatores de produção 
exaurem o produto, wLrKY  . Temos: o que implica, pela condição apresentada 
anteriormente,    LPmgKPmgY LK  . 
 
H8- O destino do produto é dado por ICY  , onde C é o consumo agregado (das 
famílias) e I é o investimento agregado da economia. Temos que I=S e S=sY, onde S é 
a poupança agregada e s, como definia anteriormente, é a propensão marginal a poupar 
(ou taxa de poupança). Logo, o produto pode ser visto como sYCY  , em termos per 
capita ou por trabalhador: sycy
L
Y
s
L
C
L
Y
 . 
4 
 
 
H9- Economia sem governo e fechada (em relação ao setor externo). 
 
 
Algumas considerações 
 
Considere uma função do tipo Cobb-Douglas 
 LKY )( . 
 
i- Condição para que esta função seja adequada teoricamente para o Modelo de 
Solow. 
Para o Modelo de Solow é necessário que a função de produção exiba retornos de escala 
constantes, logo, é necessário que 1)(   . Onde alfa e beta são constantes positivas. 
Torna-se necessário, ainda, que � ∈ (0,1)		�		� ∈ (0,1). 
� = (��)�(���) 
 
� = ����(����) 
 
ii- Rendimentos marginais do trabalho. 
Prova para L: Temos que: 1
)( 

  LK
L
Y
e 
2
2
2
)1(
)( 

  LK
L
Y
. Logo, a condição 
pra que haja rendimentos marginais decrescentes do fator trabalho é que 10   , pois 
assim, 0)1(
)( 2
2
2


  LK
L
Y
. 
 
iii- produto per capita 
Considerando  1 , a função de produção em termos per capita é será dada pela 
expressão � = ��. 
y=Y/L
k=K/L
0
y = f(k)
sf(k)
y
k
consumo
investimento
5 
 
A produção se dá por � = ������. Em termos per capita (ou por trabalhador), tem-se: 
�
�
=
������
�
=
��
��
= �
�
�
�
�
. Sendo � =
�
�
 e � =
�
�
. A função de produção em termos per 
capita (ou por trabalhador) é dada por � = �� 
 
iv- Rendimentos marginais do capital per capita (considerando função de produção 
em termos per capita). 
Sendo a função em termos per capita em ky  , como )1,0( , temos 
0;01   kk
dk
dy  e 0;0)1( 2
2
2
  kk
dk
yd  . 
Logo, a função apresenta rendimentos marginais decrescentes. 
 
v- As participações do capital e do trabalho (em termos %) no produto considerando 
 LKY )( . 
O produto Y é dividido entre as remunerações de L e K ( ótica da renda) � = �� + ��. 
Logo, a participação, em termos percentuais se dá por 1 =
��
�
+
��
�
. Sendo, � = ���� 
e � = ���� (as remunerações dos fatores de produção se dão de acordo com seus 
produtos marginais). Logo, � = ����(�) + ����(�). E em termos de participações, 
tem-se: 1 =
����(�)
�
+
����(�)
�
. 
 
Sendo assim, tem-se a participação de L dada por: 
����(�)
�
=
�
��
���
�
�
=
����������
����
= � 
 
E a participação de K, é dada por: 
����(�)
�
=
�
��
���
�
�
=
����������
����
= � 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
Parte II - Equação fundamental e equilíbrio de longo prazo 
1- A equação fundamental do modelo de Solow 
 
O modelo parte de três funções importantes: 
 Uma função de produção: � = �(�, �). 
 Uma função de acumulação no tempo é dada por �̇ = � − ��. Onde I é igual a 
investimento agregado e  é a taxa de depreciação do capital no tempo (exógena), 
sendo � = �� (investimento é igual à poupança), sendo s a taxa de poupança 
(exógena, � ∈ (0,1)), tem-se, �̇ = �� − ��. 
 Função de movimento e acumulação de trabalho, no tempo, dada por � =
���
��, onde n é a taxa de crescimento da mão-de-obra (população) constante e 
exógena e t é o tempo. 
 
A partir da função de produção (no nível) é possível obter uma função de produção em 
termos per capita (ou por trabalhados) 
)(
1
,
11
),( kfyL
L
K
L
FY
L
LKFY 






 
Onde: y=Y/L (produto per capita ou por trabalhador) e k=K/L (capital per capita ou por 
trabalhador). 
Para se chegar à equação fundamental do modelo de Solow inicialmente é preciso 
encontrar as taxa de crescimento do k (capital per capita) no tempo. Sendo que: 
 
� =
�
�
. 
 
Primeiro, aplica-se o logaritmo na expressão acima: 
��(�) = ��(�) − ��(�) 
 
Depois, deriva-se a expressão em logaritmo em relação ao tempo: 
���(�)
��
=
���(�)
��
−
���(�)
��
 
 
 
7 
 
Observação sobre a notação utilizada na sequência. Dada uma variável X: 
i- A variação de X no tempo em termos contínuos é dado por 
��
��
= �̇ (“X dote”). Em 
termos discretos: �� − ���� = ∆�. 
ii- A variação percentual de X é dada, em termos contínuos, por 
�̇
�
 . Em termos discretos 
por 
∆�
�
=
�������
����
. 
 
A taxa de crescimento do primeiro termo: 
���(�)
��
=
���(�)
��
��
��
=
�
�
�̇ =
�̇
�
 
 
A taxa de crescimento do segundo termo: 
���(�)
��
=
���(�)
��
��
��=
�
�
�̇ =
�̇
�
 
 
A taxa de crescimento do terceiro termo: 
���(�)
��
=
���(���
��)
��
= � =
�̇
�
. 
��(���
��) = ��(��) + (��)��(�) , sendo que Ln(e) = 1. 
 
Logo, em termos de taxas de crescimento no tempo, tem-se: 
 
�̇
�
=
�̇
�
−
�̇
�
 
Sendo, 
�̇
�
= �, e �̇ = �� − ��, tem-se: 
�̇
�
=
�����
�
− �. 
Deixando o produto e o capital no nível em termos per capita: 
 
�̇
�
=
�
�
� − �
�
�
�
�
− �							 → 								
�̇
�
=
�� − ��
�
− � 
 
�̇
�
=
�� − ��
�
− �						 → 								
�̇
�
� = �� − �� − ��					 → 					 �̇ = �� − �� − ��	 
 
→					 	�̇ = �� − (� + �)� 
8 
 
 
como, no	estado	estacionário		�̇ = 0							 → 							�� = (� + �)� 
 
Assume-se que, no estado estacionário �̇ = 0. Logo, 
�����
�
− � = 0. Rearranjando os 
termos, chega-se a equação fundamenta de equilíbrio de estado estacionário, equilíbrio 
de longo prazo ou de crescimento balanceado, do modelo de Solow (sem tecnologia): 
 
�� = (� + �)� 
 
Considerando uma função de produção do tipo Cobb-Douglas � = ������, com � ∈
(0,1), em termos per capita dada por � = ��, taxa de poupança ‘s’, taxa de depreciação 
‘’ e taxa de crescimento da mão-de-obra (população) ‘n’; podemos encontrar a solução 
analítica para o capital per capita (k) e para o produto per capita (y). 
 
��� = (� + �)� 
 
Resolvendo para o capital per capita de estado estacionário, tem-se: 
 
 
�
��
= �
�+�
		→ 		�	�
−�
=	 �
�+�
			→ 			�
1−�
=	 �
�+�
				→ 				�
∗
= �
�
�+�
�
1
1−�. 
 
Considerando que a renda per capita é dada por � = ��, o produto per capita de estado 
estacionário é dado por �∗ = �
�
���
�
�
���
. 
 
9 
 
 
Exemplo- Considere uma função de produção, em termos per capita, de uma economia 
é � = �
�
�, onde y é o produto por trabalhador e k é o estoque de capital por trabalhador. 
Sabe-se também que s (taxa de poupança) é 20%, n (taxa anual de crescimento 
populacional) é 1% e  (taxa de depreciação anual) é de 4%. Encontre o capital per capita 
(k*) e o produto per capita (y*) de estado estacionário. 
Temos: � = �
�
�. Sendo a equação fundamental dada por �� = (� + �)�, temos: ��
�
� =
(� + �)�. Levando-se em conta os parâmetros do enunciado do problema, temos: 
0,20�
�
� = (0,01 + 0,04)�. Resolvendo para k, temos: 16*4
2
1
 kk Logo 
4*2
1
 yky . 
O investimento per capita (i) , sy, é igual a 0,80. E o consumo per capita (c) é igual a 3,2 
(y = c + i, logo, c = y - i). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
k
y =ka
(d+n)k
y*
k*
sy =ska
10 
 
2- A taxa de crescimento do capital e do produto no nível (K e Y) no estado 
estacionário 
 Em termos de taxas de crescimentos, para determinar o capital e o produto per capita de 
estado estacionário se considera 
�̇
�
=
�̇
�
−
�̇
�
. No estado estacionário, 
�̇
�
= 0. 
Consequentemente, observa-se, no estado estacionário, 0=
�̇
�
−
�̇
�
	→
�̇
�
=
�̇
�
		, sendo 
�̇
�
=
�, ou seja, o estoque de capital no nível cresce à taxa de crescimento da população (n). 
 
Em relação á taxa de crescimento do produto no nível, considere a função de produção 
� = ������. Aplicando logaritmo, tem-se: ��(�) = ���(�) + (1 − �)��(�). 
Derivando em relação ao tempo, chega-se a 
�̇
�
= �
�̇
�
+ (1 − �)
�̇
�
. Sendo, 
�̇
�
= �, e no 
estado estacionário 
�̇
�
= �. tem-se, 
�̇
�
= �� + (1 − �)� = �. Ou seja, capital e produto no 
nível, no estado estacionário, crescem à taxa n (taxa de crescimento da população). 
 
 
3- O efeito de uma elevação da taxa de poupança o capital no nível, sobre o produto 
no nível, sobre o capital per capita, sobre o produto per capita e suas taxas de 
crescimento. 
 
 
Dada uma elevação da taxa de poupança, observa-se uma elevação em k, y, K e Y. E a 
economia terá um novo estado estacionário (SS1). A taxa de crescimento não se altera no 
y
k
y1
* y = f(k)
s0f(k)
(+n)ky0
*
k0
* k1
*
SS1
SS0
s1f(k)
11 
 
novo estado estacionário em relação às taxas que vigoravam no estado estacionário 
anterior (SS0). Porém, somente na transição de (SS0) para (SS1). Tem-se: 
- Para as variáveis no nível (K e Y): 
�̇
�
> � e 
�̇
�
> �. 
- Para as variáveis per capita (k e y): 
�̇
�
> 0 e 
�̇
�
> 0 . 
 
 
Parte III - Unicidade e estabilidade do equilíbrio de longo 
 
De acordo com os pressupostos do Modelo de Solow, há um único equilíbrio de logo 
prazo que caracteriza o estado estacionário da economia. Tal equilíbrio estável, ou seja, 
caso a economia não esteja no seu estado de estacionário, com o passar do tempo, ela 
convergirá para o estado estacionário. 
 
Um passo antes de determinarmos a equação fundamental de estado estacionário, 
observamos que �̇ = �� − (� + �)�. 
�̇
�
=
�� − ��
�
− �					 → 						
�̇
�
� = �� − �� − ��						 → 						 �̇ = �� − �� − ��				 →		 
→					 �̇ = �� − (� + �)�. 
 
Assumindo, no estado estacionário que �̇ = 0, tem-se, onde ��	e o investimento da 
economia e (� + �)� é o investimento requerido para a condição de estado estacionário, 
�̇ = 0. 
 
Logo, se: 
 �̇ > 0 , tem-se: �� > (� + �)�. Ou seja, o investimento é maior que o requerido para 
contrabalancear a taxa (n+) que afeta negativamente o capital per capita. 
 
 �̇ < 0, tem-se: �� < (� + �)�. Ou seja, o investimento é menor que o requerido. 
Em termos gráficos, para �̇ = �(�), variação do capital per capita em função do capital 
per capita, tem-se: 
12 
 
 
Note, que pelo gráfico, a condição de equilíbrio (de longo prazo) para k* é dada quando 
�̇ = 0. 
Se 0

k , temos knsy )(  , ou seja, o capital per capita é crescente, neste caso o 
investimento é maior que o requerido para dar conta de n+ (crescimento da população 
(mão-de-obra) e a depreciação do estoque de capital no tempo). 
Se 0

k , temos knsy )(  , ou seja, o capital per capita é decrescente, neste caso o 
investimento é menor que o requerido para dar conta de n+. 
Temos, que por definição sy é o investimento per capita, ou seja, a parcela da renda 
poupada se transforma em investimento (em termos per capita). E considerando uma 
função de produção Y(. ) = K�L���, com α ∈ (0; 1), em termos per capita, � = ��. Logo 
y apresenta rendimentos marginais decrescentes em relação à k, pois 
���
���
< 0. 
Note que, se �̇ > 0 implica em �� > (� + �)�. Ou seja, o investimento per capita (num 
dado momento do tempo, faz com que a variação estoque de capital per capita supere 
tanto a taxa de crescimento da população quanto a taxa de depreciação (em conjunto, 
n+). Com o passar do tempo, observa-se (enquanto �̇ > 0 ) a dinâmica ↑ � →↑ � →↑ �� 
(que é o investimento per capita) porém, como y apresenta rendimentos marginais 
decrescente em relação k, o efeito ↑ � →↑ � é cada vez menor (a cada período do tempo), 
o que torna o impacto no investimento per capita também cada vez menor (com o passar 
do tempo). Ou seja, se �̇ > 0, a economia convergirá, invariavelmente, para �̇ = 0. 
13 
 
Por outro lado, se, num dado momento do tempo, �̇ < 0, tem-se que �� < (� + �)�. O 
investimento per capita não dá conta de (n+), logo, o estoque de capital em termo per 
capita cai, com o passar do tempo. Por tanto se, num dado momento do tempo �̇ < 0, a 
economia convergirá, invariavelmente, para �̇ = 0. 
Tem-se assim que k* é o capital per capita que prevalecerá no longo prazo, uma condição 
de estado estacionário, dado que �̇ = 0. Fato que torna tal equilíbrio de longo prazo (de 
estado estacionário) único e estável. 
 
O efeito de uma redução da taxa de poupança: