Problemas de Física Resolvidos

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CAPÍTULO 2 – Problemas resolvidos
Exercício 1 - Para medir a velocidade da bala de seu rifle, um atirador atira contra o
tronco de uma árvore distante 100 m. Um detetor de som, posicionado ao seu lado, é
ligado a um sistema eletrônico que registra os instantes em que algum pulso de som é
captado pelo detetor. O intervalo de tempo entre o estampido do tiro e o som da colisão
da bala com a árvore é de 0,715 s. Sabendo que a velocidade do som é de 334 m/s, qual é
a velocidade da bala?
Solução : O tempo que o som leva no percurso da árvore até o detetor é
s2994,0
m/s334
m100 ==st .
Portanto, o tempo gasto no trajeto da bala é tb = 0,715 s - 0,2994 s = 0,4156 s
Daí, calculamos
m/s241
s0,4156
m100 ==bv
Problema 2 - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas. Na primeira
metade do percurso, sua velocidade é v1, e na segunda metade sua velocidade é v2.
Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v1+v2)/2.
Solução:
Os tempos gastos na primeira e segunda metades do percurso são respectivamente
2
2
1
1 2
,
2 vv
d
t
d
t == .
A velocidade média em todo o percurso será
2
2
11
2
22
21
21
21
21
2121
21
vv
vv
vv
vv
vvvv
v +=+=
+
=
+
=
+
=
dd
d
tt
d
.
Vê-se portanto que
2
21 vvv
+
≠
Problema 3 - Um carro trafega atrás de um caminhão, ambos com velocidade constante
vo. A distância entre a traseira do carro e a dianteira do caminhão é d. A uma distância D
adiante da traseira do carro fica o início de uma ponte, e o carro quer ultrapassar o
caminhão antes de atingi-la. Qual deve ser a aceleração mínima do carro, suposta
constante durante a ultrapassagem, para que isso seja possível?
Solução - Tomando a posição inicial da traseira do carro como origem das coordenadas,
as coordenadas x do carro e X do caminhão serão respectivamente
.
,
2
1 2
tdX
attx
o
o
v
v
++==
++==
A ultrapassagem se completará quando x = X, portanto isso ocorrerá no tempo tu definido
pela equação
a
d
ttdatt uuouuo
2
,
2
1 2 ==∴∴++==++ vv .
No instante tu a posição da traseira do carro será
a
d
dtdx ouou
2
vv ++==++== .
Sendo L o comprimento do carro, a ultrapassagem ocorrerá antes de o carro atingir a
ponte se
d
LdD
aLD
a
d
d oo 2
)(
,
2 22 −−−−>>−−<<++ vv .
Portanto, 
d
LdD
a o 2
)( 22
mím
−−−−== v
Problema 4 - Um carro, trafegando à velocidade de 30 km/h, está à distância de 50 m de
uma avenida cuja largura é de 30 m quando o sinal de cruzamento com a avenida fica
amarelo. Sabe-se que o sinal fica amarelo durante 6,0 s. A aceleração máxima do carro é
de 2,3 m/s2, e o motorista tem um tempo de reação s60,0=rt antes de acelerá-lo.
Conseguirá cruzar a avenida antes de o sinal ficar vermelho?
Solução :
Tomando a origem das coordenadas no ponto inicial do carro, quando o sinal fica
amarelo, podemos escrever
22 )(
2
1
)()(
2
1
rrororo ttatttttatx −+−+=−+= vvv .
O tempo gasto para que o carro cruze a avenida será dado por
2)(
2
1
)(m 80 rroro ttattt −+−+= vv
Como m0,5s60,0m3,8 =×=ro tv , obtemos
2)(
2
1
)(m 75 rro ttatt −+−=v
Resolvendo essa equação,
aaa
trt oo
m150
2
2
++−=−
vv
Substituindo os valores nesta equação,
s5,2s
3,2
150
29,5
4,69
s
3,2
33,8
s60,0 =++−=t
Portanto, o carro conseguirá cruzar em tempo a avenida.
Problema 5 - Dois carros trafegam em sentidos opostos em um trecho reto da estrada,
com velocidades de módulos v1 e v2, respectivamente. Em 0=t , os dois carros estão nas
posições x1o e dxx oo += 12 . (a) Em que instante se dará o cruzamento dos automóveis?
(b) Em que posição se dará o cruzamento?
Solução : Tomando a origem das coordenadas na posição inicial do carro 1, e o sentido
do eixo dos x indo do carro 1 para o carro 2, as coordenadas dos dois automóveis dos
carros serão expressas por
.)(
,)(
212
111
tdxtx
txtx
o
o
v
v
−+=
+=
(a) O cruzamento se dará no instante tc determinado por
coco tdxtx 2111 vv −+=+ .
Portanto,
21
21 ,)( vv
vv
+
=∴=+ dtdt cc
(b) A posição dos dois carros no instante do cruzamento será dada por
cocc txtxx 111 )( v+== .
Substituindo o valor de tc, obtemos
dxx oc
21
1
1 vv
v
+
+= .
Problema 6 - Um carro viaja a atrás de um caminhão lento, ambos à velocidade
constante V, em uma estrada de mão dupla. A distância do carro até a dianteira do
caminhão é d. Em dado instante, o carro entra no início de uma reta e seu motorista avista
um carro vindo na direção oposta com velocidade constante v, a uma distância D. O
motorista imprime ao carro uma aceleração constante a para realizar a ultrapassagem.
Qual é o valor mínimo de a para que a ultrapassagem seja bem sucedida? Despreze o
comprimento do carro.
Solução : Sendo t = 0 o início da arrancada para a ultrapassagem e x =0 sua posição
nesse instante, as posições do carro que realiza a ultrapassagem, da frente do caminhão e
do outro carro são respectivamente
tDtxVtdtXatVttx v−=+=+= )(,)(,
2
1
)( 2
2
1 .
A ultrapassagem se completará no instante tu dado por
a
d
tVtdatVt uuu
2
,
2
1 2 =+=+ ,
As coordenadas dos dois carros nesse instante serão
.
2
)(
,
2
)(
2
1
a
d
Dtx
a
d
Vdtx
u
u
v−=
+=
O valor mínimo de a será dado pela condição )()( 21 uu txtx = . Portanto
mínmín
22
a
d
D
a
d
Vd v−=+ .
Finalmente,
d
dD
V
a
2
mín 2 




−
+= v .
Problema 7 - Um corpo é atirado verticalmente para baixo com velocidade vo da altura
h. Nos instantes t1 e t2 o corpo está, respectivamente, nas alturas y1 e y2. Calcule vo de h.
Solução : Podemos expressar as coordenadas y1 e y2, respectivamente, nas formas
.
2
1
,
2
1
2
222
2
111
gtthy
gtthy
o
o
−−=
−−=
v
v
Subtraindo uma equação da outra,
)(
2
1
)( 21
2
21221 ttgttyy o −+−=− v .
Portanto,
.)(
2
1
,
))((
2
1
12
12
21
12
1212
12
21
ttg
tt
yy
tt
tttt
g
tt
yy
o
o
+−
−
−=
−
+−−
−
−=
v
v
Posto que 2111 2
1
gttyh o ++= v ,
2
11121
12
21
1 2
1
)(
2
1
gttttgt
tt
yy
yh ++−
−
−
+=
121
12
21
1 2
1
tgtt
tt
yy
yh −
−
−
+= .
Problema 8 - Uma pedra é solta, com velocidade inicial nula, de uma altura h. Um tempo
T depois, outra pedra é atirada para baixo com velocidade inicial vo, do mesmo ponto
inicial da primeira pedra. Qual deve ser o valor mínimo de vo para que as duas pedras
colidam no ar?
 Solução: Tomemos a origem das coordenadas no ponto de partida das pedras e seja t = 0
o instante em que a primeira pedra foi solta. Sejam y1 e y2, respectivamente, as
coordenadas da primeira e da segunda pedra. Antes da colisão, se ambas as pedras ainda
estiverem no ar, podemos escrever
.)(
2
1
)(
,
2
1
2
2
2
1
TtgTty
gty
o −−−−−−−−==
−−==
v
O menor valor vo, que designaremos por vmín, corresponde ao caso em que a segunda
pedra atinja a primeira quando esta está prestes a atingir o solo. A primeira pedra atinge
o solo no instante dado por
g
h
tgth cc
2
2
1 2 ==∴∴−−==−− .
Portanto, em tc a coordenada y2 deve ter atingido o valor –h. Assim,
2
mín )(2
1
)( TtgTth cc −−−−−−−−==−− v .
Finalmente,
Tt
Ttgh
c
c
−−
−−−−
==
2
mín
)(
2
1
v ,
)/2(2
)/2(2 2
mín
Tgh
Tghgh
−−
−−−−
==v
Problema 9 – Para medir a aceleração da gravidade na Lua, onde não existe atmosfera,
uma equipe de exploradores usa o experimento ilustrado na figura. Um dispositivo atira
uma esferinha verticalmente para cima, a partir da altura y = 0, e envia um sinal a um
relógio para iniciar a contagem do tempo. Na altura y = h, um feixe de laser é
interceptado pela esferinha, no instante t1 quando ela sobe e no instante t2 quando ela
desce. A interrupção da luz no detetor gera um sinal enviado ao relógio, que registra os
tempos t1 e t2. Calcule o valor de g a partir dos dados obtidos no experimento.
Solução: A coordenada y da esferinha passa pelo valor h nos tempos obtidos pela solução
da equação
2
2
1
gtth o −−== v .
Obtemos
g
h
gg
t oo
2
2
2
−−±±==
vv
Portanto,
g
h
gg
t
g
h
gg
t oooo
2
,
2
2
2
22
2
1 −−++==−−−−==
vvvv
 .
Usando o fato de que 22))(( bababa −−==++−− , obtemos
g
h
tt
2
21 == ,
21
2
tt
h
g == .
laser
relógio
detetor
y
0
h
CAPÍTULO 2 – Problemas propostos2.1E – Duas pessoas fazem de carro o percurso de 740 km entre Belo Horizonte e
Brasília. Na metade do caminho, uma passa a direção do carro à outra e desde então a
velocidade média do carro aumenta em 20%. O tempo total de viagem é de 8,00 horas.
Qual foi a velocidade média na primeira metade do percurso?
Resposta: 84,8 km/h
2.2E – Em um dado planeta, em uma queda livre partindo do repouso um corpo gasta a
metade do tempo que gastaria na Terra para cair da mesma altura. Quanto vale a
aceleração da gravidade nesse planeta?
Resposta: Terraplaneta 2gg ==
2.3E – Um corpo é atirado verticalmente para cima com velocidade vo, a partir do ponto
y = yo , e permanece apenas sob a ação da gravidade até atingir o solo. Escreva a
expressão para x(t) no intervalo de tempo em que ele permanece no ar.
Resposta: 2
2
1
)( gttyty oo −−++== v
2.4P - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas em um tempo t. Na
primeira metade do tempo, sua velocidade é v1, e na segunda metade sua velocidade é
v2. Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v1+v2)/2.
Resposta : 
2
21 vvv
++
==
2.5P - Um foguete é lançado verticalmente com aceleração constante até atingir a altitude
de 600 km, quando sua velocidade é de 7,23 km/s. Qual é sua aceleração nesse trajeto?
Resposta : 2m/s6,43=a .
2.6P - Uma bala com velocidade de 240 m/s atinge um bloco de madeira e nele penetra
3,0 cm. (a) supondo que a aceleração da bala fosse constante, qual seria o seu valor
durante a colisão, e (b) quanto duraria a colisão? (c) Na realidade, a aceleração da bala
não é constante durante a colisão. Nesse caso, seu valor médio corresponde ao calculado
no item (a) do problema?
Resposta: (a) 25 m/s106,9 ×=a ; (b) s105,2 4−×=t ; (c) não.
2.7P - Um carro viaja com velocidade constante v e sua frente está à distância d da
traseira de um caminhão que viaja com velocidade constante V. O carro tem comprimento
l e o caminhão tem comprimento L. Quanto o carro se deslocará até ultrapassar o
caminhão?
Resposta: )( Lld ++
V-v
v
2.8P – Uma partícula move-se sobre o eixo dos x com velocidade constante. Em t = 2,0 s,
sua posição é x = 9,0 m, e em t = 5,0 s sua posição é x = 3,0 m. Escreva a expressão para
x(t) .
Resposta: ttx
s
m
2m13)( −−==
2.9P – Um pára-quedista salta, e um certo tempo depois está com velocidade constante v
e a um nível h abaixo do avião. Um segundo pára-quedista salta e somente abre seu pára-
quedas quando alcança a altitude do primeiro. Quanto tempo ele permanece em salto
livre?
Resposta : 
g
h
gg
t
2
2
++



++== vv .
2.10P – Uma escada rolante tem comprimento L. Quando a escada está parada, uma
criança consegue subi-la em um tempo t. (a) Em quanto tempo a criança consegue subir a
escada quando esta move-se com velocidade constante u, se tLu /<< ? (b) Se tLu />> , a
criança consegue subir a escada?
Resposta: (a) 
utL
L
T
−−
==
/
; (b) Não
2.11P – Duas pessoas se encontram no escuro, e cada uma delas acende sua lanterna para
iluminar a outra, de forma que os dois feixes de luz caminham na mesma direção em
sentidos opostos. Qual é velocidade V de um feixe em relação ao outro?
Resposta: V = c