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Caderno de Estudos
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO 
GRÁFICA
Prof. Ademir Moretto
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Saulo Vargas
UNIASSELVI
2011
NEAD
Educação a Distância
GRUPO
CENTRO UNIVERSITÁRIO
LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040, Bairro Benedito
89130-000 - INDAIAL/SC
www.uniasselvi.com.br
Copyright  UNIASSELVI 2011
Elaboração:
Prof. Ademir Moretto
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Saulo Vargas
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo Da Vinci - UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI – Indaial.
519
M844m Moretto, Ademir
 Métodos de representação gráfica / Ademir Moretto;
 André Marcelo Santos de Souza e Saulo Vargas. Indaial : 
 UNIASSELVI, 2011.
 201 p. : il.
 Inclui bibliografia.
 ISBN 978-85-7830-419-5
 1. Métodos de representação gráfica
 I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. 
 Ensino a Distância. II. Título.
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
APRESENTAÇÃO
Caro(a) acadêmico(a)!
No decorrer do Caderno de Estudos de Métodos de Representação Gráfica, serão 
abordados conteúdos de Geometria Descritiva.
Seja bem-vindo(a) à disciplina de Métodos de Representação Gráfica! O mundo da 
tecnologia está mudando a uma taxa de crescimento cada vez maior e, na medida em que 
as exigências da sociedade se modificam, diríamos que assim se alteram as competências 
essenciais necessárias aos indivíduos para estarem mais preparados e poderem competir no 
mercado de trabalho. 
Nesse contexto, é imprescindível desenvolver competências em áreas essenciais, 
como por exemplo, na área dos Métodos de Representação Gráfica e da Geometria Descritiva. 
Também é fundamental desenvolver o raciocínio espacial e o estudo de conceitos geométricos 
em geral, e os Métodos de Representação Gráfica em particular, que são representações 
gráficas técnicas realizadas através de esboços técnicos e desenhos de precisão. 
Geometria Descritiva é a ciência que permite representar sobre um plano as formas 
do espaço, de modo que se possam resolver, com o auxílio da geometria plana, os problemas 
em que se consideram as três dimensões.
A construção dos edifícios requereu o esclarecimento de métodos gráficos destinados a 
permitir o desenvolvimento de projetos e facilitar sua realização com eficiência. O aperfeiçoamento 
destes métodos contribuiu para o surgimento dos Métodos de Representação Gráfica.
Esta disciplina introduzirá os conceitos necessários para que você possa projetar e 
entender uma projeção tridimensional num plano.
Para facilitar a compreensão dos conteúdos pelo acadêmico, organizamos este Caderno 
de Estudos em três unidades, obedecendo a um critério de conhecimentos. Tentamos, com 
isso, fazer com que você, caro acadêmico, tenha o conceito teórico dos temas antes de aplicá-
los. Para um melhor desenvolvimento das habilidades práticas e teóricas, projetamos este 
Caderno, levando em conta que você disponha de, pelo menos, uma régua, um compasso e 
dois esquadros (30° e 45º), bem como folhas A4 e lápis 6B para desenho.
Na Unidade 1, abordaremos alguns aspectos importantes da história e da contextualização 
dos Métodos de Representação Gráfica e da Geometria Descritiva. Quando nos referimos ao 
passado e estudamos os detalhes dos acontecimentos históricos dos povos, percebemos 
que o homem sentia a necessidade de registrar os acontecimentos, através de grafismos e 
desenhos. Veremos a evolução do desenho, desde as pinturas rupestres encontradas em 
grutas, passando por várias civilizações.
iii
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
 Surgem novas civilizações e com elas também novas formas de representação gráfica. A 
perspectiva abstrata característica da arte grega desde 500 anos a.C. O desenho foi evoluindo e 
surgiu a perspectiva cônica na Idade Média, a cilíndrica, e veio culminar com a Geometria Descritiva 
de Gaspard, monge que conseguiu representar um objeto em três dimensões num único plano. 
Conheceremos alguns nomes de filósofos estudiosos que deixaram sua contribuição 
nos meios científicos. Com a evolução do desenho foi necessário criar normas técnicas para 
regulamentar o desenho técnico. Também serão vistos conceitos e definições básicas de 
Geometria Descritiva na construção de ângulos e retas. 
Na Unidade 2, estudaremos o que é um sistema de projeção, as técnicas de projeções cônicas, 
também chamadas de “Perspectivas”, as projeções cilíndricas que possuem uma larga aplicação no 
desenho técnico para transmitir informações relacionadas ao dimensionamento das peças, os tipos 
existentes, o que é épura, cota, afastamento e abscissa, além de iniciar a projeção com pontos. 
E, finalmente, na Unidade 3, você, caro acadêmico, será convidado a projetar segmentos 
de retas e polígonos e fará um estudo básico sobre a verdadeira grandeza dos objetos projetados.
Ao longo do Caderno de Estudos, você encontrará indicações de livros, leituras 
complementares e sites que o ajudarão a aprofundar seus conhecimentos.
Com isso, este Caderno proporcionará um apoio pedagógico para você iniciar seu 
conhecimento histórico no mundo geométrico, a aplicação das projeções e dos Métodos de 
Representação Gráfica.
Sempre que você precisar esclarecer dúvidas sobre os conteúdos ou sobre atividades 
presentes no seu Caderno de Estudos, entre em contato conosco! Não se esqueça de fazer 
as atividades, elas são importantes para o seu aprendizado.
 
Bons estudos! 
Prof. Ademir Moretto
Prof. André Marcelo Santos de Souza
Prof. Saulo Vargas
UNI
Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. 
Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus 
estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. 
Desejo a você excelentes estudos! 
 UNI
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MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA v
SUMÁRIO
UNIDADE 1: INTRODUÇÃO E FUNDAMEMENTOS DA GEOMETRIA .......................... 1
TÓPICO 1: ASPECTOS HISTÓRICOS DOS MÉTODOS DE 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ...................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 3
2 BREVE HISTÓRICO DA TRAJETÓRIA DOS MÉTODOS 
DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ................................................................................ 4
2.1 DOS PRIMEIROS DESENHOS AOS MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO 
GRÁFICA ..................................................................................................................... 5
2.1.1 Pintura rupestre ........................................................................................................ 5
2.1.2 Os hieróglifos ............................................................................................................ 6
3 O SURGIMENTO E CARACTERÍSTICAS DA GEOMETRIA ABSTRATA .................... 6
3.1 BUSCA PELO APRIMORAMENTO DOS MÉTODOS DA 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .................................................................................... 7
4 A GEOMETRIA NA IDADE MÉDIA .............................................................................. 10
4.1 NOMES QUE MARCARAM A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ....................................... 11
5 O SURGIMENTO DA PERSPESCTIVA ....................................................................... 12
5.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA COM BASE CIENTÍFICA ......................................... 14
6 A EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA NA 
LINHA DO TEMPO ...................................................................................................... 15
7 GASPARD MONGE E A GEOMETRIA DESCRITIVA ................................................. 18
8 A GEOMETRIA NA ERA DA INFORMÁTICA ..............................................................19
9 COMPUTAÇÃO GRÁFICA .......................................................................................... 23
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................... 25
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 28
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 30
TÓPICO 2: NORMAS TÉCNICAS .................................................................................. 31
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 31
2 CRIAÇÃO DAS NORMAS TÉCNICAS ........................................................................ 31
3 NORMAS TÉCNICAS DA ABNT ................................................................................. 32
4 FORMAS DE ELABORAÇÃO E APRESENTAÇÃO DO DESENHO TÉCNICO ......... 34
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 34
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................... 34
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 39
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 40
TÓPICO 3: DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA ...... 41
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 41
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS .................................................................................. 42
3 PROPOSIÇÕES ........................................................................................................... 45
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA vi
4 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS ....................................................................................... 49
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 50
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 51
TÓPICO 4: CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM COMPASSO ................................. 53
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 53
2 DEFINIÇÃO ÂNGULO ................................................................................................. 53
2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS âNGULOS .......................................................................... 54
2.1.1 ângulo reto ............................................................................................................. 54
2.1.2 ângulo agudo ......................................................................................................... 54
2.1.3 Ângulo obtuso ......................................................................................................... 55
2.1.4 Ângulo raso ............................................................................................................ 55
2.1.5 Ângulo de uma volta ............................................................................................... 55
2.2 âNGULO COMPLEMENTAR .................................................................................... 56
2.3 ÂNGULO SUPLEMENTAR ........................................................................................ 56
3 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º ........................................................ 57
3.1 ÂNGULO DE 60º ....................................................................................................... 58
3.2 ÂNGULO DE 120º ..................................................................................................... 59
4 BISSETRIz ................................................................................................................... 59
4.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIz ..................................................................... 60
5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º ........................................................................ 62
5.1 ÂNGULO DE 30º ....................................................................................................... 62
5.2 ÂNGULO DE 90º ....................................................................................................... 62
5.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º .................................................................................... 63
6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO .................................................................................. 63
RESUMO DO TÓPICO 4 ................................................................................................. 65
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 66
TÓPICO 5: CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIz, RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES .................................................................................. 69
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 69
2 RETAS PARALELAS ................................................................................................... 69
3 RETAS PERPENDICULARES ..................................................................................... 71
4 MEDIATRIz .................................................................................................................. 73
5 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM ................................................................................... 75
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................... 79
RESUMO DO TÓPICO 5 ................................................................................................. 81
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 82
AVALIAÇÃO .................................................................................................................... 85
UNIDADE 2: SISTEMAS DE PROJEÇÕES ................................................................... 87
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA vii
TÓPICO 1: PROJEÇÕES ............................................................................................... 89
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 89
2 O qUE É PROJEÇÃO ................................................................................................. 89
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 92
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 93
TÓPICO 2: SISTEMA CôNICO E SISTEMA CILÍNDRICO ............................................ 95
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 95
2 SISTEMA CôNICO ...................................................................................................... 95
3 SISTEMA CILÍNDRICO ................................................................................................ 96
3.1 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS AXONOMÉTRICAS .................................................... 98
4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS x PROJEÇÕES CôNICAS ......................................... 100
4.1 PERSPECTIVA CAVALEIRA ................................................................................... 102
4.2 PERSPECTIVA CÔNICA .........................................................................................104
4.3 PROJEÇÃO CÔNICA .............................................................................................. 108
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................ 110
AUTOATIVIDADE .......................................................................................................... 111
TÓPICO 3: SISTEMA MONGEANO .............................................................................. 113
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 113
2 SISTEMA MONGEANO .............................................................................................. 113
2.1 SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÕES .............................................................. 114
2.1.1 Épura mongeana ................................................................................................... 119
2.1.2 As seis vistas principais ........................................................................................ 121
3 ÉPURA ....................................................................................................................... 124
4 COTA E AFASTAMENTO .......................................................................................... 127
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 129
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 130
TÓPICO 4: PROJEÇÃO DE UM PONTO ..................................................................... 133
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 133
2 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA ................................................................. 133
3 PROJEÇÃO DE UM PONTO PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA .................. 138
3.1 PONTO PERTENCENTE AO PLANO HORIzONTAL ............................................. 138
3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL .................................................. 139
3.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA ....................................................... 139
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 140
RESUMO DO TÓPICO 4 ............................................................................................... 142
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 143
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 148
UNIDADE 3: PROJEÇÕES DE RETAS, VERDADEIRA GRANDEzA E 
POLÍGONOS NA ÉPURA ...................................................................... 149
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA viii
TÓPICO 1: PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS EM RELAÇÃO A UM 
DOS PLANOS ........................................................................................... 151
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 151
2 IDEIAS BÁSICAS ...................................................................................................... 151
3 PROJETANDO SEGMENTOS PARALELOS ............................................................ 152
3.1 SEGMENTO PARALELO AOS DOIS PLANOS ...................................................... 152
3.2 SEGMENTO PERPENDICULAR A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO ................ 154
3.3 SEGMENTO PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO ........................... 156
RESUMO DO TÓPICO 1 ............................................................................................... 161
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 162
TÓPCIO 2: SEGMENTOS OBLÍqUOS AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO ........... 165
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 165
2 SEGMENTO ORTOGONAL A LT. .............................................................................. 165
3 SEGMENTO OBLÍqUO A LT ..................................................................................... 167
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 169
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 170
TÓPICO 3: VERDADEIRA GRANDEzA ....................................................................... 171
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 171
2 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA DE PERFIL ................................. 171
3 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA qUALqUER ............................... 176
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 181
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 182
TÓPICO 4: PROJEÇÃO DE POLÍGONOS ................................................................... 183
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 183
2 POLÍGONO PARALELO A UM DOS PLANOS ......................................................... 183
2.1 1º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PH .......................................................... 184
2.2 2º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PV .......................................................... 185
3 POLÍGONO ORTOGONAL AOS PLANOS DE PROJEÇÃO .................................... 186
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 192
RESUMO DO TÓPICO 4 ............................................................................................... 196
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 197
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 198
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 199
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UNIDADE 1
INTRODUÇÃO E FUNDAMEMENTOS DA 
GEOMETRIA
OBJETIVOS DE APRENDIzAGEM
 A partir desta Unidade o acadêmico estará apto a:
	fornecer subsídios sobre alguns aspectos importantes da história 
e a contextualização dos métodos de representação gráfica;
	descrever os conceitos fundamentais da Geometria;
	entender a construção teórica da Geometria;
	conhecer normas técnicas da ABNT que regulamentam o desenho 
técnico;
	construir ângulos, retas paralelas e perpendiculares.
TÓPICO 1 – ASPECTOS HISTÓRICOS DOS MÉTODOS DE 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
TÓPICO 2 – NORMAS TÉCNICAS 
TÓPICO 3 – DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES FUNDAMENTAIS DA 
GEOMETRIA
TÓPICO 4 – CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM O COMPASSO
TÓPICO 5 – CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIz, RETAS PARALELAS 
E RETAS PERPENDICULARES
PLANO DE ESTUDOS
Esta Unidade está dividida em cinco tópicos. Em cada um 
deles, você encontrará atividades que o auxiliarão na compreensão 
dos conteúdos apresentados.
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ASPECTOS HISTÓRICOS DOS 
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 1
Caro(a) acadêmico(a)! Neste primeiro tópico, você conhecerá a história do desenho 
e a evolução dos Métodos de Representação Gráfica. Para um melhor entendimento se faz 
necessário uma abordagem histórica ecientífica que ofereça uma visão abrangente do seu 
significado. Estudaremos os caminhos, a evolução e as várias fases por que passaram. Os 
Métodos de Representação Gráfica até os dias atuais. 
Através do texto que segue, poderemos perceber que foi preciso normalizar a maneira 
de utilizar a geometria descritiva e transformá-la numa linguagem universal. Por representar 
as mais variadas linguagens gráficas, dentro da matemática, engenharia e incorporando além 
dos desenhos projetivos os não projetivos, a geometria descritiva, nesse Caderno de Estudos, 
será também denominada de Métodos de Representação Gráfica.
No século XIX, com a explosão mundial do desenvolvimento industrial, foi necessário 
normalizar a forma de utilização da Geometria Descritiva para transformá-la numa linguagem 
gráfica que, em nível internacional, simplificasse a comunicação e viabilizasse o intercâmbio 
de informações tecnológicas. Desta forma, a Comissão Técnica TC 10 da International 
Organization for Standardization (ISO) normalizou a forma de utilização da Geometria 
Descritiva como linguagem gráfica da engenharia e da arquitetura, chamando-a de 
Desenho Técnico. Nos dias de hoje a expressão “desenho técnico” representa todos os tipos 
de desenhos utilizados pela engenharia incorporando também os desenhos não projetivos 
(gráficos, diagramas, fluxogramas etc.).
FONTE: Disponível em: <http://www.eel.usp.br/na_apostila/pdf/capitulo1.pdf>. Acesso em: 14 abr. 2011.
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2 BREVE HISTÓRICO DA TRAJETÓRIA 
DOS MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
As informações encontradas a respeito da pré-história sempre dependeram de 
interpretações baseadas de artefatos que restaram de evidências fornecidas pelo estudo de 
arqueólogos e antropólogos de documentos e ou vestígios que foram encontrados ao longo 
dos anos.
Há milhares e milhares de anos, como você já sabe, a humanidade vivia em 
cavernas. Nossos remotos ancestrais eram tão primitivos que ainda não sa-
biam construir nada – nem uma cabana, que dirá uma casa. Para se proteger 
das intempéries e dos animais ferozes, enfurnavam-se em cavernas. Até 
que começaram a praticar regularmente a agricultura e não precisavam mais 
zanzar para lá e para cá em busca de alimento. Então eles trataram de se 
fixar num lugar para cultivar a terra e para isso tiveram de construir abrigos 
compatíveis com suas necessidades. De abrigo em abrigo, acabaram fundando 
cidades. Assim nasceu a civilização. E com a civilização surgiu a arquitetura 
[...]. (FEIST, 2006, p. 8).
Neste contexto, os métodos de representação gráfica foram e continuam sendo de suma 
importância na evolução do ser humano. Desde o período pré-histórico, os homens tinham a 
necessidade de transmitir o que viam e/ou sentiam através dos desenhos.
 
De acordo com Debray (1994), em todas as épocas, as sociedades tinham uma maneira 
de representar a realidade em particular. Os egípcios utilizavam uma perspectiva horizontal, 
também chamada de método egípcio, os hindus a perspectiva irradiante, os chineses e os 
japoneses a perspectiva a olho de pássaro e os bizantinos a perspectiva invertida. Para os 
bizantinos, a boa perspectiva seria o inverso da imagem real, o que está longe é representado 
maior do que está mais perto. 
Porém, nenhuma das perspectivas elaboradas atravessou seu perímetro cultural de 
origem, diferentemente da perspectiva cônica, desenvolvida no Ocidente por Brunelleschi e 
Alberti que unificou o mundo subordinando todas as outras. (JARCEM, 2002).
A seguir, apresentaremos uma retrospectiva histórica, relacionando os métodos de 
representação gráfica existentes em determinadas épocas. Além disso, é conveniente resgatar 
alguns dos principais precursores e sua contribuição nos Métodos de Representação Gráfica, 
desde a pré-história até os dias atuais.
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2.1 DOS PRIMEIROS DESENHOS AOS 
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
2.1.1 Pintura rupestre
Na Era Glacial, Idade do Gelo, cerca de 10.000 anos a.C., as pinturas rupestres de 
animais como o bisão, o cavalo, o mamute e a rena eram elaboradas umas sobre as outras, 
sugerindo que a própria ação de pintar era mais importante do que a imagem resultante. (ATLAS 
DA HISTÓRIA DO MUNDO, 1995).
O ser humano, na pré-história, encontrou maneiras para registrar seus vestígios através 
de grafismos e desenhos. Uma das primeiras formas foi a pintura rupestre. Foram encontradas 
pinturas rupestres em vários locais do mundo como na França, África, Espanha e no Piauí 
(Brasil).
 Essa pintura tem suas características focadas em cenas do dia a dia. Nas paredes das 
cavernas foram encontrados símbolos da vida, da morte, de céu e da terra, como veremos na 
figura a seguir.
FIGURA 1 – PINTURA RUPESTRE
FONTE: Disponível em:<http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/arte-na-antiguidade/
pintura-rupestre-1.php>. Acesso em: 4 abr. 2011.
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2.1.2 Os hieróglifos
De acordo com Meggs (1998), os hieroglíficos usados pelos egípcios, que em 
grego significam “escultura sagrada” e no egípcio, “as palavras de Deus”, repercutiram 
aproximadamente durante três milênios e meio. Os hieroglíficos permitiam aos egípcios 
preservar a característica física do ser humano.
FIGURA 2 – HIERÓGLIFOS: CAMBRA FUNERÁRIA EGÍPCIA 
FONTE: Disponível em: <http://mundonanet.sites.uol.com.br/egipcia2.jpg>. Acesso em: 4 
abr. 2011.
3 O SURGIMENTO E CARACTERÍSTICAS 
DA GEOMETRIA ABSTRATA
Segundo Boyer (1996), aproximadamente há 300 a.C., os gregos apreciavam a 
geometria não apenas em virtudes de suas aplicações práticas, mas por tentar entender a 
matéria por ela mesma. Foi o grego Euclides que sistematizou a geometria, que fundamenta 
a representação gráfica no livro “Os Elementos”. Esse livro foi o modelo de como devia ser o 
pensamento científico, exercendo, portanto, influência no Ocidente até o século XIX.
A geometria abstrata é uma característica marcante da arte grega até o século V a.C., 
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3.1 BUSCA PELO APRIMORAMENTO 
DOS MÉTODOS DA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
 Na Idade Média, a geometria era a disciplina mais desenvolvida sob o ponto de vista da 
abstração científica e, para Platão, a mais adequada para investigar o domínio suprassensível. 
Os autores Thuillier (1994), Wertheim (2001) e Koyré (1982) afirmam que a aplicação 
de métodos científicos na expressão gráfico-visual só começou próximo ao Renascimento, 
quando se fortaleceu a demanda por expressões realistas que baseada em métodos universais, 
agregassem credibilidade à representação. A partir da Antiguidade Clássica, entretanto, já se 
nota uma clara tensão entre a realidade e a sua representação. Este fato se mostra cada vez 
mais comprometido com a busca pela maior verossimilhança possível com o real. Com isso, 
apesar da impossibilidade da representação atingir a expressão plena e absoluta da realidade, 
as bases da busca pelo aprimoramento e pela maior eficácia dos métodos de representação 
gráfica estavam lançadas. 
Na figura a seguir, podemos notar o domínio de alguns conhecimentos científicos e 
técnicas de harmonia dentro da geometria, como a simetria dos comprimentos de onda das 
faixas ornamentais, os círculos distribuídos de forma proporcional e concêntrica.
quando nem a figura humana nem a natureza tinham ainda conquistado definitivamente o seu 
lugar. 
Dentro da concepção platônica, a perfeição geométrica tem forte influência da noção 
de abstração, como a contida na teoria da ideias que remonta a Pitágoras (apud RUSSELL, 
2001, p. 50), para quem “não se pode traçar um triângulo perfeito: ele só é visto pelo olho e 
pela mente e, só existe no universo da abstração”.
FIGURA 3 – ÂNFORA PROTOGEOMÉTRICA (1000 a.C)
FONTE: Disponível em: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/thumb/7/7c/Amphora_protogeometric_BM_A1123.jpg/220px-Amphora_protogeometric_BM_A1123.jpg >. Acesso 
em: 3 de abr. 2011.
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As figuras humanas e de animais começaram a aparecer nas pinturas com maior 
frequência só depois do século V a.C. Nessa época, ainda não havia a preocupação com 
as cenas do entorno do tema abordado como mostra a figura a seguir, a cena de Aquiles 
sacrificando Pentesileia. 
FIGURA 4 – VASO ÁTICO (530 a.C.)
FONTE: Disponível em:<http://4.bp.blogspot.com/_yRVSlJx8_mw/S7bTAORXH2I/
AAAAAAAABTw/AchVL6BQsv8/s400/pentesilea-y-aquiles%5B1%5D.
jpg>. Acesso em: 13 mar. 2011.
O pintor Polignoto de Tasos foi um dos primeiros artistas gregos, que representava 
graficamente deuses e heróis mitológicos em louças. No tempo do Imperador Péricles, os 
artistas Agatarco e Apolodro pintavam cenas semelhantes à realidade que viam, entretanto não 
foram do gosto de Aristóteles, que viu nestas cenas uma renúncia às grandezas mitológicas. 
(SCHAARWACHTER, 2001).
A arte em pintura foi evoluindo, conseguindo abordar a cena de uma tragédia em 
perspectiva, onde são enquadrados o arquitetônico e o humano, como podemos ver na figura 
a seguir.
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FIGURA 5 – FRAGMENTO DE VASO TARENTINO (350 A.C.)
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/images?um=1&hl=pt-br&rlz=1T4SKPT_pt
BRBR397BR402&biw=1259&bih=505&tbs=isch:1&aq=f&aqi=&oq=&q=pinturas%20
de%20VASO%20350%20a.C>. Acesso em: 20 mar. 2011.
FIGURA 6 – ALTAR DE PÉRGAMO (180 a. C.)
FONTE: Disponível em: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/Gigantomaquia_-_
Altar_de_P%C3%A9rgamo.jpg>. Acesso em: 22 mar. 2011.
Por outro lado, em 180 a.C., a escultura já tinha melhores resultados que as pinturas 
para representar os objetos e o espaço sobre superfícies. A escultura é mais uma modelagem 
tridimensional física de formas, para a qual o mais importante é ter bom senso de proporção 
e uma boa noção das leis de formação do que saber projetar sobre o plano.
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4 A GEOMETRIA NA IDADE MÉDIA
A igreja católica detinha o poder na Idade Média. O saber estava fortemente ligado à 
religião. A responsabilidade de guardar os textos relacionados à filosofia, geometria e astronomia 
cabia às ordens religiosas. Por imposição e opressão da ordem religiosa nada se podia fazer, 
evoluir, inovar sem o consentimento da igreja. Com isso perdeu-se muito na arte e na evolução 
das representações gráficas. Nesse contexto, a aplicação da geometria em pinturas sacras, 
atinge o ápice nas grandes catedrais medievais, onde os conhecimentos ficavam restritos à 
igreja e aos artistas.
A igreja católica estava no centro do mundo medieval na perspectiva cônica. Além de 
uma instituição poderosa, governava a vida das pessoas, em todos os seus aspectos, desde 
os práticos até os espirituais.
FIGURA 7 – CATEDRAL MEDIEVAL - CATEDRAL DE MILÃO (DUOMO DI MILANO), ITÁLIA 
FONTE: Disponível em: <http://blog.romances.com.br/2010/11/05/a-vida-na-idade-media/>. 
Acesso em: 14 mar. 2011.
DIC
AS!
Para conhecer as suntuosas catedrais e construções na Idade 
Média, acesse o site: <http://catedraismedievais.blogspot.
com/2008/09/as-catedrais-medievais-jaziam-na-alma.html> e 
faça uma viagem na Idade Média. Neste site, você pode viajar 
pelos corredores das igrejas e das cidades através de vídeos e 
suas histórias.
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4.1 NOMES QUE MARCARAM 
A HISTÓRIA DA GEOMETRIA
Leonardo da Vinci (1452-1519), frequentemente considerado um matemático, não 
se fixou na aritmética, na álgebra ou na geometria. Em seus cadernos foram encontradas 
referências quanto a quadraturas de lunas, construções de polígonos regulares, e ideias sobre 
centros de gravidade e curvas de dupla curvatura. Porém é mais conhecido por sua aplicação 
na matemática, ciência e teoria da perspectiva. (BOYER, 1996).
IMP
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Caro(a) acadêmico(a)! Uma luna é basicamente uma forma 
crescente, mostrada aqui hachurada, que é formada pela 
intersecção de círculos. A área da luna pode ser calculada com 
exatidão, dando motivo para especulação de que ela era a chave 
para a “Quadratura do Círculo”. Observe-se que na figura a seguir, 
o quadrado ABDC é quatro vezes maior do que o quadrado AFOE. 
A diferença em áreas relativas dos dois quadrados e também dos 
dois círculos formando a Luna são, portanto, proporcionais.
FONTE: Adaptado de: <http://bibliot3ca.wordpress.com/
proporcoes-humanas-agrippa>. Acesso em: 2 abr. 2011.
FIGURA 8 – LUNA E A QUADRATURA DO CÍRCULO
FONTE: Disponível em: <http://bibliot3ca.wordpress.com/proporcoes-humanas-
agrippa>. Acesso em: 2 abr. 2011.
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Na figura a seguir, as relações proporcionais exclusivas mostradas 
pelo corpo humano parecem ter sido conhecidas em tempos 
antigos. Vitrúvio (cerca de 30 a.C) no Livro III de seu tratado De 
Architecture detalhou estas proporções por escrito. 
FONTE: Disponível em: <http://bibliot3ca.wordpress.com/
proporcoes-humanas-agrippa>. Acesso em: 2 abr. 2011.
FIGURA 9 – HOMEM VITRUVIANO
FONTE: Disponível em: <http://bibliot3ca.wordpress.com/proporcoes-humanas-
agrippa>. Acesso em: 2 abr. 2011.
5 O SURGIMENTO DA PERSPESCTIVA
No fim da Idade Média foi desenvolvida a perspectiva artificialis, também conhecida 
como perspectiva exata ou perspectiva cônica, imaginada como sistema geral de coordenadas 
geométricas, vindo a atender à necessidade de representar locais e edificações, marcando 
assim uma nova etapa nos Métodos de Representação Gráfica.
 De acordo com Boyer (1996), o uso da perspectiva cônica é um ponto que difere a 
arte renascentista da medieval na representação plana de formas tridimensionais. Diz-se 
que o arquiteto Florentino Fillippo Brunelleschi (1377-1446) deu atenção à necessidade da 
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representação gráfica das formas, mas a primeira contemplação formal a este respeito foi 
dada por Leon Alberti em um tratado de 1435 (impresso em 1511) chamado Della Pictura. 
Alberti começa discutindo de uma maneira geral os princípios da redução (em perspectiva), 
e logo após escreve um método elaborado para representar um “plano de figura” vertical de 
uma coleção de quadrados em um “plano de terra” horizontal. A perspectiva cônica, então, foi 
desenvolvida pelos arquitetos Renascentistas Brunneleschi e Alberti.
FIGURA 10 – TRATADO DE 1435 (IMPRESSO EM 1511) CHAMADO DELLA 
PICTURA. PRINCÍPIOS DA REDUÇÃO (EM PERSPECTIVA) 
- LEON BATTISTA ALBERTI (1404-1472) 
FONTE: Disponível em: <http://isaiasmatematica.blogspot.com/2011/03/
teoria-da-perspectiva.html>. Acesso em: 9 abr. 2011.
FIGURA 11 – FLORENÇA – CAPITAL DO RENASCIMENTO – IGREAJA SANTA MARIA DEL 
FIORE - SUA CÚPULA É OBRA DE FLORENTINO FILLIPPO BRUNELLESCHI 
(1377-1446)
FONTE: Disponível em: <http://www.destinosdeviagem.com/italia-florenca-a-capital-do-
renascimento/>. Acesso em: 10 abr. 2011.
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5.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
COM BASE CIENTÍFICA
Thuillier (1994); Wertheim (2001); Koyré (1982) confirmam que foi a teorização da 
perspectiva que trouxe base científica às técnicas de representação do espaço, entidade esta 
indispensável ao desenvolvimento da mecânica Newtoniana que se seguiria.
De acordo com Boyer (1996), outro passo no desenvolvimento da perspectiva foi 
realizado pelo pintor italiano Piero della Francesca (1410-1492), em De prospectiva pingendi, 
aproximadamente no ano de 1478. Enquanto Alberti estava se concentrando na representação 
sobre o plano da pintura de figuras sobre o plano de terra, Francesca dedicou-se a representar 
sobre o plano, a forma tridimensional visto de um ponto de vista definido.
FIGURA 12– ANNUNCIATION FROM ST. ANTHONY'S ALTAR, 1467, PERUGIA - PIERO 
DELLA FRANCESCA
FONTE: Disponível em: <http://www.flickr.com/photos/26911776@N06/2517271240/in/
photostream/>. Acesso em: 9 abr. 2011.
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6 A EVOLUÇÃO DOS MÉTODOS DE 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA NA LINHA DO TEMPO
Segundo Kuhn (1981), a evolução das técnicas de representação gráfica obedece à 
cronologia explicitada nas figuras a seguir. Inicialmente, na antiguidade clássica, o desenho 
geométrico se mostra relevante como uma forma de expressão visual e aplicada tanto nas 
artes como na matemática e na demonstração dos teoremas da geometria. Ao longo dos 
séculos XV e XVI, surgiram as técnicas da Perspectiva Linear, permitindo que se reproduza 
sobre o plano a sensação de profundidade captada pelo ato de olhar objetos no espaço. 
Estas técnicas, inicialmente empíricas, foram logo embasadas cientificamente e, mais do que 
apenas beneficiar os artistas, prepararam o terreno para outros métodos de geometrização e 
representação do espaço. Esta é a primeira grande ruptura paradigmática, quando se agregam 
ao desenho características próprias de ciência tais como demonstrabilidade, método universal, 
reprodutibilidade, compatibilidade de resultados.
Por último, ao final do século XX, surge a Computação Gráfica que, mais do que 
um simples meio de representação, é na verdade, uma mudança radical nos processos 
de expressão da forma, constituindo-se numa segunda quebra de paradigmas. Qualquer 
forma modelada virtualmente pode ser rebatida ou projetada sobre qualquer plano ou sob 
qualquer tipo de projeção que desejarmos. Esta nova possibilidade desvia as preocupações 
tradicionais de representar um objeto, para a atividade de construir este objeto segundo a 
sua geometria espacial real e não a geometria da sua projeção. 
FONTE: Disponível em: <http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/UMA%20ABORDAGEM%20
HISTORICA%20E%20CIENTIFICA%20DAS%20TECNICAS%20DE%20REPRESE.pdf>. 
Acesso em: 25 abr. 2011.
Caro(a) acadêmico(a)! Observe nas figuras a seguir, na linha do tempo, a evolução do 
desenho e dos Métodos de Representação Gráfica até a Computação Gráfica.
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FIGURA 13 – LINHA DO TEMPO (1ª PARTE)
FONTE: Disponível em: <http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/UMA%20ABORDAGEM%20
HISTORICA%20E%20CIENTIFICA%20DAS%20TECNICAS%20DE%20REPRESE.pdf>. 
Acesso em: 15 fev. 2011.
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Nunca é demais insistir na importância histórica do desenho de base 
científica, que viabilizou a aplicação das técnicas de representação 
gráfica em todos os aspectos da sociedade ocidental [...].
A contextualização do conhecimento deve ser valorizada para 
melhorias efetivas nos processos educacionais. É importante 
perceber as inter-relações e implicações mais amplas por trás do 
tecnicismo cujo objetivo é contribuir para ampliar os conhecimentos 
intelectuais de forma mais sensata, do que ministrando intensivos 
treinamentos que só obliteram o significado e a visão global do 
que estão fazendo. 
FONTE: Disponível em: <http://www.degraf.ufpr.br/artigos_
graphica/UMA%20ABORDAGEM%20HISTORICA%20E%20
CIENTIFICA%20DAS%20TECNICAS%20DE%20REPRESE.pdf>. 
Acesso em: 25 abr. 2011.
DIC
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Caro(a) acadêmico(a)! Para melhor entender a história da evolução da era 
digital e computação gráfica com vídeos, acesse ao site: <http://gdpais.
blogspot.com/2009/08/uma-breve-historia-da-computacao.html>.
FIGURA 14 – LINHA DO TEMPO (2ª PARTE)
FONTE: Disponível em: <http://www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/UMA%20ABORDAGEM%20HISTORICA%20
E%20CIENTIFICA%20DAS%20TECNICAS%20DE%20REPRESE.pdf>. Acesso em: 15 fev. 2011.
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O pioneiro a estruturar e divulgar a primeira técnica de representação gráfica que pôde 
ser considerada como um sistema de representação foi o cientista francês Gaspard Monge, na 
passagem do século XVIII ao XIX. Também foi o primeiro a empregar a expressão “geometria 
descritiva” para designar seu sistema. (COSTA; COSTA, 1992).
Segundo Gani (2004), encarregado de resolver um determinado problema de 
desfilamento, Monge desenvolveu uma técnica gráfica que substituía as tentativas empíricas que 
efetuavam cansativos cálculos, utilizadas até então, reduzindo a um problema essencialmente 
teórico a solução de uma questão prática. Essa descoberta só aparece denominada geometria 
descritiva mais tarde, como documento escrito pela primeira vez em 1793, pelas mãos do 
próprio Monge.
Taton (1951, p. 52) afirma que “a técnica da construção dos edifícios requereu o 
esclarecimento, de métodos gráficos destinados a permitir o desenvolvimento de projetos e 
facilitar a realização eficiente dos mesmos. O aperfeiçoamento destes métodos contribuiu ao 
surgimento da geometria descritiva [...]”. 
Coube a Gaspard Monge (1746-1818) definir a Geometria Descritiva como “a ciência 
que permitia representar sobre um plano as formas do espaço, de modo a poder resolver, 
com o auxílio da geometria plana, os problemas em que se consideram as três dimensões”. 
(ULBRICHT, 1998, p. 19). 
Caro(a) acadêmico(a)! Para entender um pouco melhor como se desenvolveu a 
geometria de Gaspard Monge, leia o texto a seguir.
GEOMETRIA DESCRITIVA
A Geometria Descritiva é de presença obrigatória nos currículos dos cursos de 
Arquitetura, Design Industrial, Matemática e as Engenharias de modo geral. Inteiramente 
desenvolvida por Monge, é de enorme importância do ponto de vista tecnológico. Sem a 
geometria descritiva é certo que a engenharia não teria progredido tanto no século XX. O 
esquema de Monge, usando representação de sólidos em superfícies planas, por meio de 
duas projeções (horizontal e frontal), facilita a visualização de relações espaciais e constitui-
se em método uniforme para a resolução gráfica de problemas como o da determinação 
dos pontos em que duas superfícies se interceptam. Tentativa e erro no caso de corte de 
superfícies metálicas, poderiam conduzir a grandes desperdícios, evitados pelos métodos 
ensinados por Monge.
7 GASPARD MONGE E A GEOMETRIA DESCRITIVA
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O desenho técnico de mecânica, de que depende a construção de máquinas, não 
teria sido possível sem o uso dos esquemas simples introduzidos por Monge. Os Métodos 
de Representação Gráfica deram um grande impulso à indústria, e foi exatamente por esse 
motivo que Gaspard Monge se dedicou ao seu estudo.
Gaspard Monge, o professor que “via muito bem no espaço”, ocupa um lugar 
definitivo na história da Geometria Descritiva e, por conseguinte, no desenho técnico e na 
construção mecânica.
O revolucionário projetista do exército de Napoleão para resolver problemas da 
engenharia militar, o francês Gaspard Monge desenvolveu a geometria descritiva.
No final do século XVIII, o Exército Francês era o único que dispunha de métodos de 
cálculo para determinar as melhores posições para escapar do fogo da artilharia inimiga. Para 
fugir dos complicados cálculos usualmente empregados nesse e em outros problemas da 
engenharia militar, o matemático Gaspard Monge (1746-1818) desenvolveu uma técnica tão 
simples que não recebeu atenção dos superiores. Assim começou a geometria descritiva, que 
hoje se aplica não só a desenhos ou projetos técnicos, mas também às artes e à fotografia.
 
Ainda adolescente, após fazer um mapa elogiado por especialistas, Monge foi 
incentivado a ingressar na escola militar, onde desenvolveu sua técnica para representar no 
papel as manobras militares, de tal forma que nada ficasse sob a mira do inimigo.
 
Ao perceberem a genialidade e a importância bélica do novo método, os militares o 
mantiveram em segredo por 15 anos. Só era permitido ensiná-lo aos futuros engenheiros 
militares.Somente em 1794, em plena Revolução Francesa, Monge pôde divulgar sua 
invenção em escolas civis de Paris.
 
A ideia da geometria descritiva é notável e elegante pela simplicidade. Basicamente 
é a representação ou projeção (perspectiva) de sólidos e figuras tridimensionais sobre um 
plano. Por esse método, uma figura é projetada inicialmente em um plano vertical, em retas 
perpendiculares a ele e num plano horizontal.
FONTE: Disponível em: <http://www.prof2000.pt/users/marinap/ccdi/tpfinal/geometria.htm>. Acesso em: 
2 abr. 2011.
8 A GEOMETRIA NA ERA DA INFORMÁTICA
A elaboração de imagens confeccionadas em softwares teve seu início com o avanço 
tecnológico, permitindo assim a construção de perspectivas virtuais, simulando a realidade, 
sem precisar ter um modelo em tamanho natural.
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Borda (2001) explica que na representação gráfica do objeto arquitetônico, a diferença 
entre as bases conceituais e tecnológicas da geometria descritiva e dos sistemas da informática 
ora se superpõem e ora se distanciam. Com o recurso da geometria das projeções, na geometria 
descritiva, as imagens bidimensionais não só representam o objeto como se comportam como 
elementos que o determinam. Nos sistemas de informática, recorrendo integralmente ao 
tratamento analítico, as imagens bidimensionais são resultados da maquete virtual construída 
em três dimensões. Então, as técnicas da computação gráfica diferem da geometria descritiva 
no controle gráfico do objeto. Esse controle se verifica a partir da imagem bidimensional 
na geometria descritiva, enquanto que é feito a partir da imagem do objeto tridimensional 
diretamente armazenada em dados analíticos na gráfica virtual.
DIC
AS!
Acesse o site: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.
html?aula=27219> para conhecer detalhes sobre a gráfica virtual, 
assista ao vídeo que mostra as seções cônicas disponível em: <http://
www.youtube.com/watch?v=pAaFbTJg2g0>.
A geometria descritiva (GD) é uma ciência desenvolvida no século XVIII por Gaspar 
Monge (MONGE, 1811) com o objetivo de otimizar o projeto e a construção de fortificações. A 
partir daí, este conhecimento passou a ser tratado como ciência militar, sendo ensinado nas 
escolas militares até os dias atuais. Os cursos de engenharia tiveram suas origens nas escolas 
militares no final do século XIX (MIRANDA, 2001) e a geometria descritiva é uma disciplina 
básica usada nos currículos desde então.
 Segundo Pinheiro (2003), até o final do século XVIII, não existia o ensino de arquitetura 
comparável ao atual. Os séculos XV e XVI, marcados pelo surgimento de extenso número de 
tratados de caráter técnico, científico e artístico, registraram avanços no ensino da arquitetura, 
com obras que representaram uma contribuição decisiva ao contato – que então se realizava 
– entre saber científico e técnico-artesanal.
Caro(a) acadêmico(a)! Leia atentamente o texto que segue para compreender melhor 
o conceito de Geometria Descritiva.
A Geometria Descritiva é uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica 
das figuras espaciais sobre um plano e surgiu no século XVIII. Seu principal objetivo é a 
construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através 
de métodos descritivos e também a construção de protótipos de objeto representado.
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Embora a Geometria Descritiva tenha surgido no século XVIII, já desde 300 anos 
antes de Cristo, Euclides elaborou um tratado de geometria “Elementos" que era composto 
por 13 livros, uma obra completa apresentada com base num raciocínio dedutivo. Esta obra 
apresenta muitos dos princípios essenciais que são a base geométrica dos atuais métodos 
de representação.
A origem etimológica da palavra geometria remete-nos para os agrimensores do 
antigo Egito, que com cordas (cordéis) esticados sobre as parcelas de terreno traçavam 
linhas simples - reta e circunferência.
Conforme se pode ler no Dicionário Universal da Língua Portuguesa, a Geometria 
Descritiva "estuda as propriedades e as relações entre pontos, retas, curvas, superfícies e 
volumes no plano e no espaço".
O grande teórico da Geometria Analítica, GASPARD MONGE, pode ser considerado 
o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço. Monge foi professor da 
Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris.
Gaspard Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos 
egípcios que representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Definiu a Geometria 
Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano 
as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os 
problemas em que se consideram as três dimensões.
FONTE: Adaptado de: <http://www.profcardy.com/geodina/>. Acesso em 23 fev. 2011.
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TE! �
Caro(a) acadêmico(a)!
Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade 
e relevo. As partes que estão mais próximas de nós parecem 
maiores e as partes mais distantes aparentam ser menores. O 
desenho, para transmitir essa mesma ideia, precisa recorrer 
a um modo especial de representação gráfica: a perspectiva. 
Ela representa graficamente as três dimensões de um objeto em 
um único plano, de maneira a transmitir a ideia de profundidade 
e relevo. A figura a seguir mostra um objeto do mesmo modo 
como ele é visto pelo olho humano, pois transmite a ideia de três 
dimensões: comprimento, largura e altura. 
FONTE: Adaptado de: <http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/
representacao/representacao.pdf>. Acesso em: 20 abr. 2011.
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FIGURA 15 – PERSPECTIVA EM TRÊS DIMENSÕES 
FONTE: Disponível em: <http://www.nazguy.com/assets/images/gallery/img_large_drawing_per_
inside.jpg>. Acesso em: 9 mar.2011.
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Os métodos de Representação Gráfica são técnicas realizadas 
através de esboços técnicos e desenhos de precisão.
FIGURA 16 – GEOMETRIA DESCRITIVA E DESENHO GEOMÉTRICO
FONTE: Disponível em: <http://www.desenho.org/index.php>. Acesso em: 10 abr. 2011.
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9 COMPUTAÇÃO GRÁFICA
Leia o texto a seguir e procure entender a importância da computação gráfica e sua 
aplicação. 
A Computação Gráfica está presente em todas as áreas, desde os mais inconsequentes 
joguinhos eletrônicos até o projeto dos mais modernos equipamentos para viagens espaciais, 
passando também pela publicidade, com as mais incríveis vinhetas eletrônicas e pela medicina 
onde a criação de imagens de órgãos internos ao corpo humano possibilita o diagnóstico de 
males que em outros tempos somente seria possível com intervenções cirúrgicas complicadas 
e comprometedoras.
[...]
O qUE É COMPUTAÇÃO GRÁFICA
 
Segundo a ISO (International Standards Organization) a Computação Gráfica pode 
ser definida como ^B^Yo conjunto de métodos e técnicas utilizados para converter dados 
para um dispositivo gráfico, via computador.
 
Se tomarmos como base a definição da ISO, duas áreas têm uma estreita relação 
com a Computação Gráfica, são elas: 
a) Processamento de Imagens: envolve técnicas de transformação de imagens. As 
transformações visam, em geral, melhorar características visuais da imagem como, por 
exemplo, aumentar o contraste, melhorar o foco ou ainda reduzir o ruído e eventuais 
distorções. 
b) Reconhecimento de Padrões também conhecida como Análise de imagens, busca isolar 
e identificar os componentes de uma imagem a partir de sua representação visual.
 
O diagrama a seguir ilustra o relacionamento entre a Computação Gráfica, o 
Processamento de Imagens, o Reconhecimento de Padrões e o Processamento de Dados 
convencional, convencional, segundo a visão da ISO.
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Relacionamento da Computação Gráfica com outras áreas
[...]
PRINCIPAIS APLICAÇÕES
Interface com o usuário 
Traçado interativo de gráficos e Visualização - outro importantíssimo campo 
dentro da Computação Gráfica é a visualização de dados através de gráficos. Ela consiste 
basicamente na geração de imagens a partir de um conjunto de dados. Este dados podem 
ser gerados de forma interativa ou por modelos que simulem um fenômeno real como, por 
exemplo, o comportamento de partículas durante uma reação química.
Editoração Eletrônica - consiste na elaboração gráfica de publicações por 
computador, com a mesma qualidade que o processo convencional. Com os programas de 
Editoração Eletrônica é possível, antes de ter-se o material impresso por uma gráfica, obter 
uma ideia precisa de como ficará o produto final. Com isto as alterações podem ser feitas 
com facilidade antes mesmo da impressão do primeiro exemplar. O que, sem dúvidas, diminui 
os custos de produção e aumenta a qualidade da publicação.
CAD - do inglês Computer Aided Design, que quer dizer Projeto Assistido por 
Computador, consiste basicamente de sistemas capazes de auxiliar um projetista (mecânico, 
elétrico, civil) a desenvolver suas ideias de forma mais rápida. Os sistemas de CAD são 
normalmente entendidos como programas capazes de fazer desenhos. De fato, são em 
grande parte, isto, pois com um CAD, o processo de criação e, principalmente, de alteração 
de desenhos fica muito facilitado. Porém, CAD não é somente isto, um dos principais 
avanços que alguns destes sistemas trazem em relação ao processo original de projeto é 
sua capacidade de fazer simulações. Por exemplo, existem sistemas capazes de determinar 
o comportamento de uma laje de concreto quando esta for submetida a um certo esforço, 
outros programas podem mostrar como ficaria a iluminação de uma sala com a colocação 
de uma janela em uma certa parede. 
FONTE: Disponível em: <http://www.inf.pucrs.br/~pinho/CG/Aulas/Intro/intro.htm>. Acesso em: 2 mar. 
2011.
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A seguir uma leitura complementar que é uma síntese do que estudamos neste tópico.
LEITURA COMPLEMENTAR
O DESENHO COMO FORMA DE ExPRESSÃO
Denise Schuler
Hitomi Mukai
Desde suas origens o homem comunica-se através de grafismos e desenhos. As primeiras 
representações que conhecemos são as pinturas rupestres, em que o homem representava não 
apenas o mundo que o cercava, mas também as suas sensações: alegrias, medos, crenças, 
danças... Ao longo da história, a comunicação através do desenho, foi evoluindo, dando origem 
a duas formas de desenho: o desenho artístico – que pretende comunicar ideias e sensações, 
estimulando a imaginação do espectador; e o desenho técnico – que tem por finalidade a 
representação dos objetos o mais próximo do possível, em formas e dimensões.
Em arquitetura, o desenho é a principal forma de expressão. É através dele que o 
arquiteto exterioriza as suas criações e soluções, representando o seu projeto, seja ele de um 
móvel, um espaço, uma casa ou uma cidade.
O Desenho Técnico
O desenho começou a ser usado como meio preferencial de representação do projeto 
arquitetônico a partir do Renascimento, quando as representações técnicas foram iniciadas 
nos trabalhos de Brunelleschi e Leonardo da Vinci.
 Apesar disso, ainda não havia conhecimentos sistematizados de geometria descritiva, 
o que tornava o desenho mais livre e sem nenhuma normatização. Um dos grandes avanços 
em desenho técnico se deu com a geometria descritiva de Gaspar Monge (1746-1818), que 
pesquisou e apresentou um método de representação das superfícies tridimensionais dos 
objetos sobre a superfície bidimensional. A geometria mongeana, como é conhecida, embasa 
a técnica do desenho até os dias atuais.
Com a Revolução Industrial, os projetos das máquinas passaram a necessitar de maior 
rigor e os diversos projetistas necessitaram de um meio comum para se comunicar. Desta 
forma, instituíram-se a partir do século XIX as primeiras normas técnicas de representação 
gráfica de projetos. A normatização hoje está mais avançada e amadurecida.
O Desenho Arquitetônico
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 É uma especialização do desenho técnico normatizado voltado para a execução e 
representação de projetos de arquitetura. O desenho de arquitetura, portanto, manifesta-se 
como um código para uma linguagem, estabelecida entre o emissor (o desenhista ou projetista) 
e o receptor (o leitor do projeto). 
Dessa forma, seu entendimento envolve certo nível de treinamento. Por este motivo, este 
tipo de desenho costuma ser uma disciplina importante nos primeiros períodos das faculdades 
de arquitetura.
Assim, o Desenho Arquitetônico é a forma de comunicação do arquiteto. Quando 
o elaboramos estamos criando um documento. Este contém, na linguagem de desenho, 
informações técnicas relativas a uma obra arquitetônica.
Esse desenho segue normas de linguagem que definem a representatividade das 
retas, curvas, círculos e retângulos, assim como dos diversos outros elementos que nele 
aparecem. Dessa forma, poderão ser perfeitamente lidos pelos outros profissionais envolvidos 
na construção. Esses desenhos podem ser realizados sobre uma superfície de papel, dentro 
de pranchas, na maioria das vezes em papel sulfurizê (quando se utiliza o grafite) ou vegetal 
(para o desenho a tinta, como o nanquim), ou na tela de um microcomputador, para posterior 
reprodução.
Do modo convencional, são executados sobre pranchetas, com uso de réguas, 
esquadros, lapiseiras, escalas, compassos, canetas de nanquim etc. Hoje podem ser também 
digitalizados através da computação gráfica, em programas de computador específicos, que 
quando reproduzidos devem ter as mesmas informações contidas nos convencionais. Ou 
seja, os traços e os demais elementos apresentados deverão transmitir todas as informações 
necessárias, para a construção do objeto, com a mesma representatividade, nos dois processos.
A Importância das Normas Técnicas
Sendo o desenho a principal forma de comunicação e transmissão das ideias do arquiteto, 
é necessário que os outros profissionais envolvidos possam compreender perfeitamente o que 
está representado em seus projetos. Da mesma forma, é necessário que o arquiteto consiga 
ler qualquer outro projeto complementar ao arquitetônico, para possibilitar a compatibilização 
entre estes. Assim, é necessário que todos os envolvidos “falem a mesma língua”. Nesse caso, 
a linguagem do desenho técnico.
A normatização para desenhos de arquitetura tem a função de estabelecer regras e 
conceitos únicos de representação gráfica, assim como uma simbologia específica e pré-
determinada, possibilitando ao desenho técnico atingir o objetivo de representar o que se quer 
tornar real.
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A representação gráfica do desenho em si corresponde a uma norma internacional (sob 
a supervisão da ISO – International Organization for Standardization), porém, geralmente, cada 
país costuma ter suas próprias normas, adaptadas por diversos motivos. No Brasil, as normas 
são editadas pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). 
FONTE: Extraído de: <wiki.ifsc.edu.br/.../ARU_PB_01-Apostila_de_Planta_Baixa_Introducao_ao_ 
Desenho_Tecnico.pdf>. Acesso em: 7 mar. 2011.
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No próximo tópico, falaremos sobre normas técnicas!
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você viu:
• Alguns aspectos importantes da história e a contextualização dos métodos de Representação 
Gráfica (Geometria Descritiva), as fases de sua evolução, desde a pré-história até os dias 
atuais.
• O homem sempre teve a necessidade de transmitir o que via e sentia. Na pré-história, ele 
começou a desenharnas paredes de rochas das cavernas. Expressava esses sentimentos 
através de desenhos, grafismos e foi evoluindo através dos tempos. Uma das primeiras formas 
foi a pintura rupestre. Foram encontradas pinturas rupestres em vários locais do mundo como 
na França, África, Espanha e no Piauí (Brasil).
• Pensadores e estudiosos que marcaram a história da geometria, através de seus incansáveis 
estudos e suas maravilhosas descobertas.
• De acordo com Debray (1994), em todas as épocas, todas as sociedades tinham uma maneira 
de representar a realidade em particular. Os egípcios utilizavam uma perspectiva horizontal, 
também chamada de método egípcio, os hindus a perspectiva irradiante, os chineses e os 
japoneses a perspectiva a olho de pássaro, os bizantinos a perspectiva invertida. Para os 
Bizantinos, a boa perspectiva seria o inverso da imagem real, o que está longe é representado 
maior do que está mais perto. 
• Em seguida surgem estudos baseados na perspectiva abstrata, linear, cônica ou exata, 
cilíndrica e a geometria de Gaspard Monge.
• Coube a Gaspard Monge (1746-1818) definir a Geometria Descritiva como “a ciência que 
permitia representar sobre um plano as formas do espaço, de modo a poder resolver, com 
o auxílio da geometria plana, os problemas em que se consideram as três dimensões”. 
(ULBRICHT, 1998, p.19). 
• Os Métodos de Representação Gráfica (Geometria Descritiva) é de presença obrigatória 
nos currículos dos cursos de Arquitetura, Design Industrial, Matemática e as Engenharias 
de modo geral.
• Por último, no final do século XX, surgiu a Computação Gráfica que, mais do que um simples 
meio de representação, é na verdade, uma mudança radical nos processos de expressão 
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da forma, constituindo-se numa segunda quebra de paradigmas. Qualquer forma modelada 
virtualmente pode ser rebatida ou projetada sobre qualquer plano ou sob qualquer tipo de 
projeção que desejarmos [...]. 
• A geometria como outros ramos da matemática, sofreu várias mudanças de uma época para 
outra, evoluindo rapidamente em alguns períodos, e mais lentamente em outros. Essas 
mudanças foram acontecendo, principalmente pela decorrência dos fatos da conjuntura da 
época.
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1 Após os estudos realizados do Tópico 1, analise as sentenças a seguir.
I - A geometria abstrata é uma característica marcante da arte grega até o século V a.C., 
quando nem a figura humana nem a natureza tinham ainda conquistado definitivamente 
o seu lugar. 
II - Na Idade Média, a geometria não era a disciplina mais desenvolvida sob o ponto de 
vista da abstração científica e, para Platão, não era a mais adequada para investigar o 
domínio suprassensível. 
III - A igreja católica detinha o poder na Idade Média, porém o saber não estava ligado 
à religião. A responsabilidade de guardar os textos relacionados à filosofia, geometria e 
astronomia não cabia às ordens religiosas.
IV- Leonardo da Vinci (1452-1519), frequentemente considerado um matemático, não 
se fixou na aritmética, na álgebra ou na geometria. Todavia, é mais conhecido por sua 
aplicação na matemática, ciência e teoria da perspectiva.
V - Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da matemática que 
tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, 
com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As afirmativas I, II, III estão corretas.
b) ( ) As afirmativas I, III, IV estão corretas.
c) ( ) As afirmativas I, IV, V estão corretas.
d) ( ) As afirmativas II, III, IV estão corretas.
e) ( ) As afirmativas II, III, V estão corretas.
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NORMAS TÉCNICAS
1 INTRODUÇÃO
2 CRIAÇÃO DAS NORMAS TÉCNICAS
TÓPICO 2
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Caro acadêmico! A sociedade, desde a sua criação, foi evoluindo e foi necessário 
estabelecer normas, regras e leis para uma boa convivência até no dias atuais.
O homem sentiu a necessidade de representar com precisão máquinas, peças, 
ferramentas, entre outros. Para isso, criou o desenho técnico com uma linguagem técnica, 
de maneira que toda pessoa que tivesse conhecimento dessa técnica, poderia interpretar os 
desenhos nessa linguagem. 
Nesse contexto, houve a necessidade de transformar o desenho técnico em linguagem 
gráfica e padronizá-lo. Portanto, foram criadas normas que são seguidas e respeitadas 
internacionalmente. O objetivo delas é servir de guia para facilitar a compreensão de desenhos 
de projetos de pessoas de todas as nacionalidades. 
Foram estabelecidos códigos para regulamentar as relações entre engenheiros, 
consumidores, empreiteiros, entre outros. Cada país cria suas próprias normas. No Brasil, a 
ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) foi criada em 1940. A ABNT é a entidade 
responsável de elaborar e aprovar essas normas. Desta forma, aborda desde a denominação 
e classificação dos desenhos até a representação gráfica.
As normas da ABNT são registradas no INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, 
Normalização e Qualidade Industrial) como normas brasileiras – NBR para poderem estar de 
acordo com as normais internacionais aprovadas pela ISO.
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A ISO (International Organization for Standardization), criada em 1947 em Londres, é 
a norma responsável que facilita as transações de produtos e serviços entre os países.
No ano de 1947, numa reunião realizada no Brasil, pela União Pan-americana de 
Engenheiros, verificou-se a necessidade de se produzir normas técnicas regionais no âmbito 
da engenharia civil. Até então, não havia a preocupação de se desenvolver normalização 
nos campos da produção de bens e prestação de serviços. Um estudo sobre a possibilidade 
da criação de um mercado latino-americano, elaborado pela OEA, em 1956, identificou a 
importância da normalização no desenvolvimento regional, no que se refere a matérias-primas, 
de produtos manufaturados e de equipamentos. (INMETRO, 1985)
3 NORMAS TÉCNICAS DA ABNT
Caro(a) acadêmico(a)! Conheça normas técnicas da ABNT do desenho técnico, lendo 
com atenção o texto a seguir.
A execução de desenhos técnicos é inteiramente normalizada pela ABNT. Os 
procedimentos para execução de desenhos técnicos aparecem em normas gerais que 
abordam desde a denominação e classificação dos desenhos até as formas de representação 
gráfica, como é o caso da NBR 5984 – NORMA GERAL DE DESENHO TÉCNICO (Antiga 
NB 8) e da NBR 6402 – EXECUÇÃO DE DESENHOS TÉCNICOS DE MÁQUINAS E 
ESTRUTURAS METÁLICAS (Antiga NB 13), bem como em normas específicas que tratam 
os assuntos separadamente, conforme os exemplos seguintes:
• NBR 10647 – Desenho Técnico – Norma Geral, cujo objetivo é definir os termos 
empregados em desenho técnico. A norma define os tipos de desenho quanto aos seus 
aspectos geométricos (Desenho Projetivo e Não Projetivo), quanto ao grau de elaboração 
(Esboço, Desenho Preliminar e Definitivo), quanto ao grau de pormenorização (Desenho 
de Detalhes e Conjuntos) e quanto à técnica de execução (à mão livre ou utilizando 
computador).
• NBR 10068 – Folha de Desenho Lay-Out e Dimensões, cujo objetivo é padronizar as 
dimensões das folhas utilizadas na execução de desenhos técnicos e definir seu lay-out 
com suas respectivas margens e legenda.
• NBR 10582 – Apresentação da Folha para Desenho Técnico, que normaliza a distribuição 
do espaço da folha de desenho, definindo a área para texto, o espaço para desenho etc. 
Como regra geral deve-se organizar os desenhos distribuídos na folha, de modo a ocupar 
toda a área, e organizar os textos acima da legenda junto à margem direita, ou à esquerda 
da legenda logo acima da margem inferior.
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• NBR 13142 – Desenho Técnico – Dobramento de Cópias, que fixa a forma de dobramento 
de todos os formatos de folhas de desenho: para facilitar a fixação em pastas, eles são 
dobrados até as dimensões do formato A4. 
• NBR 8402 – Execução de Caracteres para Escrita em Desenhos Técnicos que, visando 
à uniformidade e à legibilidade para evitar prejuízos na clareza do desenho e evitar a 
possibilidade de interpretações erradas, fixou as características de escrita em desenhos 
técnicos. 
• NBR 8403 – Aplicação de Linhas em Desenhos – Tipos de Linhas – Larguras das 
Linhas.
• NBR10067 – Princípios Gerais de Representação em Desenho Técnico.
• NBR 8196 – Desenho Técnico – Emprego de Escalas.
• NBR 12298 – Representação de Área de Corte por Meio de Hachuras em Desenho 
Técnico.
• NBR10126 – Cotagem em Desenho Técnico. 
• NBR8404 – Indicação do Estado de Superfície em Desenhos Técnicos.
• NBR 6158 – Sistema de Tolerâncias e Ajustes.
• NBR 8993 – Representação Convencional de Partes Roscadas em Desenho Técnico.
FONTE: Disponível em: <http:www.eel.usp.br/na_apostila/pdf/capitulo1.pdf>. Acesso em: 15 abr. 2011.
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Existem ainda outras normas que regulamentam os desenhos na 
Engenharia. Pesquisando o Catálogo da ABNT, você encontrará 
várias normas do Desenho Técnico.
REMISSÃO À LEITURA
Você encontra na íntegra a NBR 6492 que é a norma que 
regulamenta a Representação de Projetos de Arquitetura no 
site: <http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/kelly/
materiais/NBR6492.pdf>.
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4 FORMAS DE ELABORAÇÃO E 
APRESENTAÇÃO DO DESENHO TÉCNICO
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) acadêmico(a)! Conheça mais algumas normas técnicas da ABNT do desenho 
técnico, bem como instrumentos e materiais utilizados para a sua construção, lendo com 
atenção a Leitura Complementar deste tópico.
Atualmente, na maioria dos casos, os desenhos são elaborados por computadores, 
pois existem vários softwares que facilitam a elaboração e apresentação de desenhos 
técnicos. Nas áreas de atuação das diversas especialidades de engenharias, os primeiros 
desenhos que darão início à viabilização das ideias são desenhos elaborados à mão livre, 
chamados de esboços. 
A partir dos esboços, já utilizando computadores, são elaborados os desenhos 
preliminares que correspondem ao estágio intermediário dos estudos que são chamados 
de anteprojeto.
Finalmente, a partir dos anteprojetos devidamente modificados e corrigidos são 
elaborados os desenhos definitivos que servirão para execução dos estudos feitos.
Os desenhos definitivos são completos, elaborados de acordo com a normalização 
envolvida, e contêm todas as informações necessárias à execução do projeto.
FONTE: Disponivel em: <http:www.eel.usp.br/na_apostila/pdf/capitulo1.pdf>. Acesso em 15 abr. 2011.
LEITURA COMPLEMENTAR
Denise Schuler
Hitomi Mukai
Existem normas que regulam a elaboração dos desenhos e têm a finalidade de 
atender a uma determinada modalidade de engenharia. Como exemplo, pode-se citar: a NBR 
6409, que normaliza a execução dos desenhos de eletrônica; a NBR 7191, que normaliza a 
execução de desenhos para obras de concreto simples ou armado; NBR 11534, que normaliza 
a representação de engrenagens em desenho técnico. Uma consulta aos catálogos da ABNT 
mostrará muitas outras normas vinculadas à execução de algum tipo ou alguma especificidade 
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de desenho técnico.
Formatos de papel - NBR - 5984/1980 (DIN 476)
O formato básico do papel, designado por A0 (A zero), é o retângulo cujos lados medem 
841mm e 1.189mm, tendo a área de 1m² . Do formato básico, derivam os demais formatos.
Existem vários tipos de papéis, mas o ideal para o iniciante seria o papel sulfite branco, 
que é fácil de encontrar e é barato. O tamanho mais usado para desenho é o tipo A4, encontrado 
em blocos, cadernos de espiral ou mesmo em folhas soltas. Existe ainda o A3 que é um pouco 
maior e usado por desenhistas profissionais. O A4 é muito bom para estudos e esboços rápidos 
e o A3 é usado mais para trabalhos mais acabados. Existem outros tipos de papéis que podem 
ser usados para adquirir-se experiência.
Para as aulas de Desenho Técnico será obrigatória a seguinte lista de material:
Formatos de papel - NBR - 5984/1980 (DIN 476)
O formato básico do papel, designado por A0 
(A zero), é o retângulo cujos lados medem 841mm e 
1.189mm, tendo a área de 1m 2 . Do formato básico, 
derivam os demais formatos.
O tipo ideal de papel para se trabalhar com grafite 
é o Sulfite, porém serão aceitos quaisquer tipos, desde 
que o tamanho seja A4 (210x297mm).
A figura ao lodo mostra a relação dos tamanhos 
de papeis usados em Desenho Técnico nas mais variadas 
áreas como Mecânica, Construção Civil, Arquitetura etc.
Abaixo temos a ilustração, a título de exemplo, da 
norma para a dobradura de uma folha tamanho A1. 
TABELA SÉRIE “A” Os formado da série “A” seguem as seguintes dimensões em milímetros:
FORMATO DIMENSÕES
MMARGEM
COMPRIMENTO
DA LEGENDA
ESPESSURA
LINHAS DAS
MARGENS
ESqUERDA OUTRAS
A0 841x1189 25 10 175 1,4
A1 594x841 25 10 175 1,0
A2 420x594 25 7 175 0,7
A3 297x420 25 7 175 0,5
A4 210x297 25 7 175 0,5
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Os formatos da série “A” têm como base o formato A0, cujas dimensões guardam entre 
si a mesma relação que existe entre o lado de um quadrado e sua diagonal (841 2 =1189), e que 
corresponde a um retângulo de área igual a 1 m2. Havendo necessidade de utilizar formatos fora 
dos padrões mostrados na tabela 1, é recomendada a utilização de folhas com dimensões de 
comprimentos ou larguras correspondentes a múltiplos ou a submúltiplos dos citados padrões.
Material 
Prancheta para Fixação das Folhas (em substituição à fita adesiva)
Este tipo de prancheta permite a fixação das folhas 
de uma forma muito prática, além facilitar o apoio dos 
esquadros para o traçado de retas. É o material ideal para 
folhas no formato A4 e substitui totalmente o uso da Régua T.
Para traçados apoiados em esquadro ou régua, 
o grafite jamais deverá tocar suas superfícies, evitando 
assim indesejáveis borrões. Para conseguir isso, incline 
ligeiramente a lapiseira/lápis conforme a figura ao lado:
Algumas Técnicas de Manuseio
O grafite do compasso deverá ser apontado em forma de cunha, sendo o chanfro voltado 
para o lado contrário da ponta seca, conforme o ilustrado a seguir:
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A Origem do Desenho Técnico
A representação de objetos tridimensionais em superfícies bidimensionais evoluiu 
gradualmente através dos tempos. Conforme histórico feito por Hoelscher, Springer e Dobrovolny 
(1978) um dos exemplos mais antigos do uso de planta e elevação está incluído no álbum de 
desenhos na Livraria do Vaticano desenhado por Giuliano de Sangalo no ano de 1490. No século 
XVII, por patriotismo e visando facilitar as construções de fortificações, o matemático francês 
Gaspar Monge, que além de sábio era dotado de extraordinária habilidade como desenhista, 
criou, utilizando projeções ortogonais, um sistema com correspondência biunívoca entre os 
elementos do plano e do espaço. 
O sistema criado por Gaspar Monge, publicado em 1795 com o título “Geometrie 
Descriptive” é a base da linguagem utilizada pelo Desenho Técnico.
[...] As normas técnicas são resultantes do esforço cooperativo dos interessados 
em estabelecer códigos técnicos que regulem relações entre produtores e consumidores, 
engenheiros, empreiteiros e clientes.
[...] Para favorecer o desenvolvimento da padronização internacional e facilitar o 
intercâmbio de produtos e serviços entre as nações, os órgãos responsáveis pela normalização 
em cada país, reunidos em Londres, criaram em 1947, a Organização Internacional de 
Normalização (International Organizationfor Standardization – ISO) Quando uma norma técnica 
proposta por qualquer país membro é aprovada por todos os países que compõem a ISO, essa 
norma é organizada e editada como norma internacional. 
As normas técnicas que regulam o desenho técnico são normas editadas pela ABNT, 
registradas pelo INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade 
Industrial) como normas brasileiras - NBR e estão em consonância com as normas internacionais 
aprovadas pela ISO.
Fundada em 1940, a ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas – é o único 
órgão responsável pela normalização técnica no país, fornecendo a base necessária ao 
desenvolvimento tecnológico brasileiro. Buscando difundir seus serviços a todo o território 
nacional, a ABNT lançou em 1º de agosto de 2000, através da parceria tecnológica com a 
Target um site, exclusivo para pesquisa e compra de normas técnicas que disponibiliza de 
forma rápida e fácil a relação de todos os títulos de normas da ABNT. 
São mais de 11.000 normas catalogadas de vários setores que podem ser adquiridas 
tanto em formato impresso (papel) quanto digital. É a evolução da normalização agilizando 
seus negócios. Esta parceria possibilitou também o desenvolvimento de 2 (duas) versões de 
um software para instalação local: o Catálogo Eletrônico de Normas e o Gerenciador Eletrônico 
de Normas. 
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Tanto o software ABNT Digital (ABNT) quanto o Cenwin (Target) são sistemas 
multiusuários, que contêm o catálogo oficial das Normas Técnicas ABNT e Mercosul, com 
ferramentas de pesquisa simultânea por diversos parâmetros, controle de acervo de Normas, 
elaboração de orçamentos de Normas impressas e digitais com possibilidade de compra pela 
internet, permitindo ainda a incorporação de Normas digitais no sistema por download, para 
acesso ao texto integral e impressão das informações de interesse.
 Por essa razão, é fundamental e necessário que o desenhista conheça com segurança 
todas as normas do desenho técnico mecânico. Como em outros países, existe no Brasil uma 
associação (ABNT) que estabelece, fundamenta e recomenda as normas do desenho Técnico 
Mecânico, as quais serão expostas gradativamente no desenvolvimento deste curso, como 
também as normas DIN.
Normas ABNT
Editadas e distribuídas pela ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. 
Normas ISO 
Editadas e distribuídas pela ISO - Internacional Organization for Standardization. 
Normas DIN
DIN - Deutsche Normen (antigamente Deutsche Industrie - Normen). Editada pelo DIN - 
Deutsche Institut fur Normung – Instituto Alemão para Normalização. Representante no Brasil: 
ABNT - que possui na sua sede no Rio de Janeiro e na Delegacia de São Paulo coleções 
completas e em dia de todas as normas DIN.
FONTE: Disponível em: <wiki.ifsc.edu.br/.../ARU_PB_01-Apostila_de_Planta_Baixa_Introducao_ao_ 
Desenho_Tecnico.pdf>. Acesso em: 10 abr. 2011.
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São mais de 11.000 normas catalogadas de vários setores que 
podem ser adquiridas tanto em formato impresso (papel) quanto 
digital. É a evolução da normalização agilizando seus negócios.
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RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse tópico, você viu que:
• Para favorecer o desenvolvimento da padronização internacional e facilitar o intercâmbio 
entre países foi criada a ISO (International Organization for Standardization), no ano de 1947 
em Londres. A ISO é a norma responsável que facilita as transações de produtos e serviços 
entre os países.
• Cada país elabora as suas normas técnicas. No Brasil, são aprovadas e editadas pela 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), fundada em 1940. É o único órgão 
responsável pela normalização técnica no país, fornecendo a base necessária ao 
desenvolvimento tecnológico brasileiro.
• Conhecemos algumas normas técnicas que regulam o desenho técnico que são 
regulamentadas pela ABNT. São mais de 11.000 normas catalogadas de vários setores que 
podem ser adquiridas tanto em formato impresso (papel) quanto digital. É a evolução da 
normalização agilizando seus negócios.
• Dentro da origem do desenho técnico temos representação de objetos tridimensionais em 
superfícies bidimensionais que evoluiu gradualmente através dos tempos. 
• Pode-se constatar que um dos exemplos mais antigos do uso de planta e elevação está 
incluído no álbum de desenhos na Livraria do Vaticano desenhado por Giuliano de Sangalo 
no ano de 1490.
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1 Qual a importância da criação das normas técnicas da ABNT para o desenho técnico?
2 Analise as sentenças a seguir:
I - Cada país cria suas próprias normas. No Brasil, a ABNT (Associação Brasileira de 
Normas Técnicas) foi criada em 1940. A ABNT é a entidade responsável de elaborar e 
aprovar essas normas.
II - A ISO (International Organization for Standardization), criada em 1947 em Londres, é 
a norma responsável que facilita as transações de produtos e serviços entre os países.
III - As normas da ABNT são registradas no INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, 
Normalização e Qualidade Industrial) como normas brasileiras – NBR para poderem estar 
de acordo com as normas internacionais aprovadas pela ISO.
IV - NBR 10647 – Desenho Técnico – Norma Geral, cujo objetivo é definir os termos 
empregados em desenho técnico.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As afirmativas I e II estão corretas.
b) ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas.
c) ( ) As afirmativas I, II, III e IV estão corretas.
d) ( ) As afirmativas II, III e IV estão corretas.
e) ( ) As afirmativas I, II e IV estão corretas.
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DEFINIÇÕES E PROPOSIÇÕES 
FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 1
Segundo Rabelo (2005), a Geometria é o ramo da Matemática que se propõe a estudar 
as figuras existentes na natureza, através das propriedades de seus elementos, definindo, 
caracterizando e padronizando suas formas e dimensões, facilitando assim seu próprio 
desenvolvimento e o de outras áreas do conhecimento científico e tecnológico.
Segundo Ardevan Machado (1973, p. 11), “a Geometria Descritiva tem por finalidade 
representar no plano as figuras do espaço, de modo a podermos, com o auxílio da Geometria 
Plana, estudar suas propriedades e resolver os problemas relativos às mesmas”.
De acordo com Rabelo (2005), as figuras estudadas na Geometria são de modo 
geral, a associação de uma ou mais formas específicas, formas estas denominadas formas 
geométricas. A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e 
experiências para estabelecer os conceitos e as propriedades que embasam todo seu acervo 
científico. Tais conceitos e propriedades constituem as proposições geométricas.
Este tópico tem como principal objetivo proporcionar a você o entendimento de como 
funciona a construção dos conceitos e das ideias da geometria. Busca também introduzir você 
aos conceitos e ideias fundamentais que regem a Geometria.
Claro que selecionamos as ideias que serão importantes para a compreensão da 
Geometria Descritiva, que é a nossa disciplina. Porém, você verá que Geometria é sempre 
Geometria.
Apesar de teórica essa parte é muitíssimo importante para o aluno, caso a compreensão 
não se dê por completo nesse tópico, todo o aprendizado futuro ficará comprometido.
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FIGURA 17 – POLÍGONOS
FONTE: Os autores
As formas geométricas estão presentes em vários elementos do nosso 
mundo. Basta que você olhe atentamente ao seu redor. Pare um minuto 
e conte quantas formas geométricas tem ao seu redor.
Proposições Geométricas: conceitos e propriedades estabelecidas através de 
observações e experiências que fundamentam todo o estudo geométrico.
Postulado:é uma proposição, aceita consensualmente, e que não precisa de 
demonstração matemática. Os postulados fundamentam a Geometria.
Teorema: é uma proposição “mais elaborada”, e que não é tão trivial ao entendimento. 
Esta proposição só é tida como verdadeira se houver uma demonstração matemática que a 
comprove.
Corolário: é uma proposição decorrente diretamente de um teorema qualquer. A 
validação do teorema “mãe” faz, quase que instantaneamente, o corolário ser demonstrado e, 
consequentemente, validado.
2 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS
Geometria: estuda figuras (objetos) através das propriedades dos seus elementos, 
definindo, caracterizando e padronizando suas formas e dimensões.
Formas Geométricas: formas específicas usadas para estudo de todas as figuras em 
geometria
Veja alguns exemplos de formas geométricas que provavelmente você deve já deve 
ter estudado.
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Problema: é uma proposição que exige solução, a qual deve ser obtida através de 
aplicações de preposições específicas (postulados, teoremas e corolários).
Forma: quando comparamos a aparência de algo com outro objeto qualquer, estamos 
avaliando a forma dos dois elementos. Por exemplo, se dizemos que uma determinada melancia 
se parece com uma bola de futebol, estamos querendo dizer que as formas de ambas são 
parecidas.
Dimensão: ao classificarmos objetos pelo tamanho, estamos avaliando a dimensão 
(altura) dos mesmos. Por exemplo, determinado cachorro é maior (dimensão: altura) que o outro. 
OBS: No espaço tridimensional, todos os objetos têm três dimensões: altura, largura 
e espessura.
Ponto: é o mais simples dos elementos e o que dá suporte a todas as outras ideias. 
Entendê-lo é a parte mais importante e o suficiente para que possamos entender toda a 
geometria. Não existe definição para ponto, pois é um ente primitivo da Matemática, uma 
ideia que todo ser humano é capaz de compreender sem explicação. Mesmo assim, “o fato 
de ponto, reta, plano e espaço serem noções primitivas da Geometria não significa que não 
se possa reforçar a intuição do aluno a respeito dessas noções”. (ELON et al, 2004, p. 164). 
Para indicar um ponto usamos uma letra maiúscula do nosso alfabeto. 
Por exemplo, a ponta de um compasso nos dá a ideia de ponto.
Linha: é uma sequência contínua de pontos.
O trajeto feito por um beija-flor ao beber o néctar das flores nos dá a ideia de linha.
Reta: se a distância entre dois pontos quaisquer de uma linha é a menor possível, 
então essa linha é chamada de reta. Para indicar uma reta, utilizamos uma letra minúscula do 
nosso alfabeto:
FIGURA 18 – RETA
FONTE: Os autores
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O encontro de duas paredes nos dá a ideia de uma parte da reta.
Segmento de reta: dados dois pontos distintos de uma reta qualquer, o trecho entre os 
dois pontos é denominado segmento de reta. Para indicar um segmento de reta, utilizamos as 
letras da extremidade.
FIGURA 19 – SEGMENTO AB
FONTE: Os autores
A parte da reta contida na intersecção de duas paredes nos dá a ideia de segmento 
de reta.
Se dois segmentos têm a mesma medida. Eles são chamados de segmentos 
congruentes. E indicamos por AB ≅ CD.
Semirreta: um ponto A qualquer de uma reta a divide em duas partes, que são chamadas 
de semirretas. Consequentemente, podemos dizer que uma semirreta tem começo (no ponto 
que divide a reta), mas não tem fim. Para indicar uma semirreta, basta considerar um ponto 
em cada uma das partes. Para determinar a direção da semirreta referida, colocar uma flecha 
acima do ponto A e do ponto considerado.
FIGURA 20 – Semirreta
FONTE: Os autores
Plano: é a região formada pelo deslocamento de uma reta por uma única direção. Para 
indicar um plano, ou parte dele, utilizamos uma letra do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), γ 
(gama),...
FIGURA 21 – PLANO
FONTE: Os autores
O deslocamento da concha de uma retro escavadeira ao espalhar um monte de barro 
nos dá a ideia de um plano. Assim também a folha desse caderno de estudo nos dá a ideia 
de plano.
→ →semirreta:semirreta:
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3 PROPOSIÇÕES
A construção da geometria perpassa por proposições importantes. O acadêmico tem que 
ter familiaridade com os termos geométricos e notar a construção da matemática geométrica 
pelas proposições, percebendo que nada é por acaso. Todos os conceitos têm uma afirmação 
anterior devidamente comprovada.
[...] Uma proposição geométrica pode ser aceita com ou sem comprovação. A 
proposição aceita sem comprovação pode ser entendida através de fatos e situações do 
cotidiano.
As proposições geométricas podem ser classificadas como conceitos primitivos ou 
como postulados. Um conceito primitivo exprime a noção sobre algo que dispensa definição 
sob o ponto de vista geométrico. Assim sendo, são considerados primitivos os conceitos de 
forma e dimensão, como também o são os de ponto, reta, plano e espaço.
Forma e dimensão são conceitos que podem ser compreendidos melhor quando se 
fazem analogias a coisas conhecidas. Quando se diz, por exemplo, que determinado objeto 
parece uma laranja, na verdade estamos dizendo que o objeto tem a “forma” de uma laranja. 
Quando se diz, por outro lado, que uma árvore é mais alta que outra, na verdade estamos 
dizendo que a altura (dimensão) de uma é maior que a (dimensão) da outra.
As noções de ponto, reta, plano e espaço são puramente intuitivas e, ao contrário 
do que ocorre com os conceitos de forma e dimensão, “emprestam” sua concepção para 
descrever determinadas situações. [...] 
FONTE: RABELLO, Paulo Sérgio Brunner. Sistemas projetivos e métodos de representação gráfica. 
Apostila de Geometria Descritiva. Cabo Frio, 2005.
Aparecerão também algumas novas definições que serão necessárias para um melhor 
entendimento das proposições, estas definições aparecem nesse momento e não anteriormente, 
para que o leitor possa ver sua consequência direta.
As proposições estão indicadas por P1, P2, P3, ... E as definições por Def1, Def2, Def3, ...
P1: Há um número infinito de pontos, retas e planos.
P2: Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos.
P3: Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos.
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FIGURA 22 – PONTOS COLINEARES
FONTE: Os autores
P5: Três pontos não colineares determinam um plano.
Para entender essa proposição, basta imaginar três pontos distintos e não colineares em 
uma mesa de cozinha. Por esses três pontos, podemos desenhar três retas distintas, tomando 
os pontos dois a dois. Usamos essas retas como direção de deslocamento e, com uma régua, 
desenhamos inúmeros segmentos de reta por toda a extensão dessas três direções. Quando 
desenharmos “todas” os segmentos de reta, verificaremos que a mesa ficará toda preenchida 
e, além disso, não há como desenharmos segmentos de reta fora da mesa. Concluiremos, 
então, que os três pontos iniciais foram suficientes para “construirmos” a superfície da mesa, 
o que é a nossa proposição inicial.
(ATENÇÃO)! Observe P5 no esquema a seguir. Se você continuar a 
preencher a região limitada pelas retas, por segmentos de reta, teremos 
um plano.
FIGURA 23 – TRÊS PONTOS FORMAM UM PLANO
FONTE: Os autores
P4: Um plano contém um número infinito de pontos e retas.
Def1: Três ou mais pontos são ditos colineares quando pertencem a uma mesma reta.
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Def2: Duas ou mais retas são ditas coplanares quando pertencem a um mesmo plano.
FIGURA 24 – RETAS COPLANARES
FONTE: Os autores
Def3: Duas retas distintas são concorrentes quando há um ponto em comum entre elas. 
Este ponto é chamado ponto de intersecção das retas.
FIGURA 25 – RETAS CONCORRENTES
FONTE: Os autores
Esse ponto A nãoé impróprio. Veremos a definição de elementos 
impróprios posteriormente.
Def4: Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam entre si ângulos 
de 90o.
FIGURA 26 – RETAS PERPENDICULARES
FONTE: Os autores
Quando r é perpendicular a s, indicamos por: r ⊥ s.
Def5: Duas retas distintas são paralelas quando têm a mesma direção.
FIGURA 27 – RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
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As retas r e s têm a mesma direção, ou seja, não possuem pontos em comum. Então, 
dizemos que r e s são retas paralelas e indicamos r // s.
Def6: Duas retas são reversas quando não existe um plano que contenha as duas ao 
mesmo tempo.
FIGURA 28 – RETAS REVERSAS
FONTE: Os autores
Para medir o ângulo formado por duas retas reversas, basta tomar um ponto A qualquer 
de da reta r e traçar por esse ponto uma nova reta t paralela à reta s. Agora, é só medir o 
ângulo entre a reta r e t.
FIGURA 29 – ÂNGULOS DE REVERSAS
FONTE: Os autores
Se o ângulo formado por duas retas reversas for reto, podemos chamá-las de retas 
ORTOGONAIS, caso contrário, chamamos de retas OBLÍQUAS.
No próximo tópico, você estudará os principais tipos de ângulos.
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P6: Duas retas concorrentes determinam um plano.
P7: Dois planos distintos determinam uma reta a qual pertence aos dois. (Esta reta 
pode ser imprópria).
P8: Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, determinam 
um ponto em comum. (Este ponto pode ser impróprio)
P9: Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.
P10: Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos pertencem 
ao plano.
P11: Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (Esse ponto pode ser 
impróprio)
4 ELEMENTOS IMPRÓPRIOS
É sabido que duas retas paralelas não terão pontos em comum. Porém, ao olharmos 
os trilhos de uma estrada de ferro, mesmo sabendo que eles nunca se tocarão, temos a nítida 
impressão que eles se encontram no “horizonte”. Com isso, temos a ideia de um “ponto de 
encontro”. Esse ponto é chamado de ponto impróprio.
Podemos estender a ideia para planos paralelos que, no infinito “se encontrarão”, 
formando uma reta imprópria. Imagine as paredes laterais de um grande corredor. Temos a 
impressão que elas se encontrarão no horizonte, formando uma reta imprópria.
Um plano impróprio necessita de elementos impróprios, por exemplo, um ponto (é 
preciso três) impróprio, ou uma reta (é preciso duas) imprópria.
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RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. 
A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro 
acadêmico, possa fixá-los melhor:
	Definições fundamentais:
 Geometria, Forma Geométrica, Proposições Geométricas. Postulados, Teorema, Corolário, 
Problema, Forma, Dimensão, Linha, Reta, Segmento de Reta, Semirreta, Plano, Retas 
Paralelas, Retas concorrentes e Retas Perpendiculares, Retas Reversas, Pontos Colineares, 
Retas Coplanares.
	Proposições importantes:
 Há um número infinito de pontos, retas e planos.
 Um ponto pertence a um número infinito de retas e planos.
 Uma reta contém infinitos pontos e pertence a infinitos planos.
 Um plano contém um número infinito de pontos e retas.
 Duas retas concorrentes determinam um plano.
 Dois planos distintos determinam uma reta que pertence aos dois. (esta reta pode ser 
imprópria)
 Três planos distintos, que não contêm uma mesma reta em comum, determinam um ponto 
em comum. (este ponto pode ser impróprio)
 Uma reta e um ponto que não lhe pertence determinam um plano.
 Uma reta pertence a um plano, quando pelo menos dois de seus pontos pertencem ao plano.
 Duas retas coplanares determinam um ponto comum. (esse ponto pode ser impróprio)
 Elementos impróprios: “algo que não existe, mas nossos olhos veem”.
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Para saber se você entendeu os conceitos desse tópico, responda às atividades 
a seguir.
1 Utilize as palavras ponto, reta ou plano, e escreva a ideia que você tem quando vê: 
a) um campo de futsal.
b) a marca de um lápis numa folha de papel.
c) um fio da rede elétrica bem esticado.
d) a porta da sua sala de aula.
e) as linhas divisórias de uma quadra de basquete.
f) uma estrela no céu.
g) A mesa de jantar na sua casa.
h) O encontro de duas paredes do seu quarto.
i) Uma cartolina.
j) Um grão de areia em uma duna.
2 Observe o paralelepípedo a seguir, e dê um segmento que seja congruente com:
a) o segmento AB
b) o segmento BC
c) o segmento CG
3 Ainda observando a figura da questão 2, dê um segmento que seja reverso com:
a) o segmento AE
b) o segmento BC
c) o segmento DC
4 O que são retas ortogonais?
5 Quantas retas podemos traçar passando por um ponto de um plano?
6 Quantas retas podemos traçar passando por dois pontos de um plano?
7 Marque, sobre uma reta r, quatro pontos distintos A, B, C, D. Quantos segmentos de 
reta você obteve?
8 Como podem ser duas retas de um mesmo plano, cuja intersecção não é vazia?
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9 Sobre um mesmo plano são dados três pontos não colineares: A, B, C. Quantas semirretas 
com origem em cada um desses pontos e passando por um dos outros pontos podem 
ser traçadas? Sugestão: faça a figura para dar a resposta.
10 Na figura as retas r e s são:
a) Perpendiculares.
b) Reversas oblíquas.
c) Ortogonais.
e) Paralelas.
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CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS 
COM COMPASSO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
UNIDADE 1
Neste tópico, você, caro(a) acadêmico(a) poderá familiarizar-se com o uso do compasso. 
Construiremos, passo a passo, os ângulos mais simples, veremos como dividi-los ao meio, 
permitindo, assim, a construção de vários outros.
Aproveitaremos também para definirmos o que é ângulo agudo, obtuso, reto e raso, 
bem como o que são ângulos complementares e suplementares.
Esses conceitos são fundamentais para facilitar a compreensão da geometria projetiva 
que veremos nas unidades posteriores.
2 DEFINIÇÃO ÂNGULO
Duas semirretas, de mesma origem, formam duas regiões a que chamamos de ângulo.
FIGURA 30 – ÂNGULO
FONTE: Os autores
• O ponto O é o vértice do ângulo.
• As semirretas e são os lados do ângulo.
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Geralmente, usamos apenas o menor ângulo entre α e β.
2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS âNGULOS
Podemos classificar os ângulos de acordo com a sua medida, conforme segue:
2.1.1 ângulo reto
É o ângulo de 90º. É importante para definirmos a ideia de perpendicularismo entre retas.
FIGURA 31 – ÂNGULO RETO
FONTE: Os autores
2.1.2 ângulo agudo
Todo ângulo menor que 90º.
FIGURA 32 – ÂNGULO AGUDO
FONTE: Os autores 
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2.1.3 Ângulo obtuso
Ângulo maior que 90º e menor que 180º.
FIGURA 33 – ÂNGULO OBTUSO
FONTE: Os autores
2.1.4 ângulo raso
Ângulo de 180º, também conhecido como “meia-volta”.
FIGURA 34 – ÂNGULO RASO
FONTE: Os autores
2.1.5 Ângulo de uma volta
Ângulo de 360o, quando as duas semirretas coincidem.
FIGURA 35 – ÂNGULO 360 º
FONTE: Os autores
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Quando as duas semirretas coincidem, podemos ter, também, um ângulo nulo.
FIGURA 36 – ÂNGULO NULO
FONTE: Os autores
2.2 âNGULO COMPLEMENTAR
Dizemos que um ângulo α é complementar de um ângulo β, quando α + β = 90º. Em 
outras palavras, será complementar de um ângulo à medida que falta para completar 90º.
FIGURA 37 – ÂNGULO COMPLEMENTAR
FONTE: Os autores
2.3 ÂNGULO SUPLEMENTAR
Dizemos que um ângulo α é suplementarde um ângulo β, quando α + β = 180º. Em 
outras palavras, será suplementar de um ângulo à medida que falta para completar 180º.
FIGURA 38 – ÂNGULO SUPLEMENTAR
FONTE: Os autores
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Observe os seguintes exemplos:
1 Calcule o valor do ângulo x indicado na figura:
Resolução:
A figura acima representa um ângulo reto, cuja medida é de 90o.
De acordo com o problema, temos a seguinte equação:
x + 2x +15o = 90o
3x = 90o – 15o
3x = 75o
x = 75o
 3
x = 25o
2 A metade da medida do suplemento de um ângulo é igual a 40o. Qual é a medida 
desse ângulo?
Resolução: 
Indicando a medida desse ângulo por x, a medida do complemento do ângulo será 
indicada por 180o – x.
De acordo com o problema, temos a seguinte equação:
3 CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS DE 60º E 120º
São os ângulos mais simples que temos para construir, com exceção óbvia do 180º 
(ângulo raso) e do 360º.
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3.1 ÂNGULO DE 60º
O processo é muito simples:
1º passo: Traçamos um segmento de reta qualquer e marcamos um ponto sobre esse 
segmento (mais ou menos ao meio).
FIGURA 39 – 1º PASSO PARA 60º
FONTE: Os autores
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Repita cada passo numa folha para você internalizar o processo.
2º passo: Colocar a ponta seca do compasso no ponto inicial, construir uma meia lua, 
e marcar 
o ponto de intersecção entre a meia lua e o segmento de reta.
FIGURA 40 – 2º PASSO PARA 60º
FONTE: Os autores
3º passo: Mantendo a abertura do compasso que foi usada para construir a meia lua, 
coloque a ponta seca no ponto de intersecção marcado e trace uma marca sobre a meia lua.
FIGURA 41 – 3º PASSO PARA 60º
FONTE: Os autores
4º passo: Marque um ponto na intersecção da marca feita com o compasso e a meia 
lua, depois trace uma semirreta que inicie no ponto inicial e passe por esse ponto.
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FIGURA 42 – 4º PASSO PARA 60º
FONTE: Os autores
Pronto! Temos um ângulo de 60º. Se quisermos fazer do outro lado, basta marcar o 
ponto do 2º passo no lado esquerdo ao invés do direito, como nós fizemos.
3.2 ÂNGULO DE 120º
Na verdade, ao construirmos um ângulo de 60º, como visto acima, acabamos construindo 
um ângulo de 120º também, basta olhar “o outro lado”. Isso acontece porque 120º é suplementar 
de 60º.
Veja o ângulo de 60º que construímos no item 3.1
FIGURA 43 – ÂNGULO DE 120 º - ESQUERDA
FONTE: Os autores
Então, sabemos que, o lado esquerdo, é 120º
Se quisermos construir 120º no lado direito, basta fazer o 60º no lado esquerdo.
FIGURA 44 – ÂNGULO DE 120 º - DIREITA
FONTE : Os autores
4 BISSETRIz
É denominada bissetriz de um ângulo qualquer a semirreta que divide esse ângulo em 
dois ângulos congruentes.
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FIGURA 45 – BISSETRIz
FONTE: Os autores
A semirreta divide o ângulo Ô em dois ângulos congruentes, AÔC ≅ CÔB.
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Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
4.1 COMO CONSTRUIR UMA BISSETRIz
Usaremos apenas uma régua (pode ser o esquadro) e um compasso.
Sejam duas semirretas com ponto inicial O e com um ângulo qualquer entre elas.
FIGURA 46 – PASSO 0 PARA BISSETRIz
FONTE: Os autores
1º passo: Colocamos a ponta seca do compasso no ponto inicial e fazemos marcas nas 
duas semirretas. A abertura do compasso tem que permanecer a mesma para as duas marcas.
FIGURA 47 – 1° PASSO PARA BISSETRIz
FONTE: Os autores
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2º passo: Marcamos pontos de intersecções P1 e P2 entre as marcas feitas com o 
compasso e as semirretas.
FIGURA 48 – 2° PASSO PARA BISSETRIz
FONTE: Os autores
3º passo: Compasso com uma abertura maior que a metade da distância entre P1 e 
P2. Colocamos a ponta seca em P1 e fazemos uma marca entre as semirretas. Repetimos o 
procedimento com a ponta seca em P2. Essas marcas têm que ser feitas de tal forma que haja 
ponto em comum entre elas.
FIGURA 49 – 3° PASSO PARA BISSETRIz
FONTE: Os autores
4º passo: Marcar um ponto na intersecção P das duas marcas feitas no passo anterior. 
Traçar uma semirreta com início em O e que passe por P. Essa semirreta é a bissetriz do 
ângulo dado.
FIGURA 50 – 4° passo para bissetirz
FONTE: Os autores
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Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita 
todo o processo para um melhor entendimento.
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5 ÂNGULOS DE 15º, 30º, 45º, 75º E 90º
Esses ângulos são muito usados, e veremos que, a partir da ideia de obtenção destes 
ângulos, poderemos construir vários outros.
5.1 ÂNGULO DE 30º
Passo 1: Construímos um ângulo de 60º como explicado anteriormente.
Passo 2: Determinamos a bissetriz deste ângulo
Pronto, como a bissetriz divide o ângulo ao meio, temos um ângulo de 30º.
5.2 ÂNGULO DE 90º
1º Passo: Construa no mesmo desenho um ângulo de 60º e outro de 120º.
FIGURA 51 – 1° PASSO PARA 90°
FONTE: Os autores
2º Passo: Faça a bissetriz dos ângulos 60º e 120º.
FIGURA 52 – 2° PASSO PARA 90°
FONTE: Os autores
Pronto, a bissetriz marca um ângulo de 90º.
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5.3 ÂNGULOS DE 15º, 45º E 75º
São bissetrizes de outras construções já vistas.
O ângulo de 15º é a bissetriz entre os ângulos 0º e o 30º.
O ângulo de 45º, por sua vez, é a bissetriz entre o 30º e o 60º.
E, como você já deve ter percebido, o 75º é a bissetriz entre 60º e 90º.
Vários outros ângulos podem ser construídos a partir da ideia de divisão de ângulos.
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Construa, numa folha, os ângulos de 15o, 45o e 75o e mostre o que você 
aprendeu.
6 TRANSPOSIÇÃO DE ÂNGULO
Muitas vezes não sabemos a medida de um ângulo e precisamos transpô-lo sobre uma 
reta qualquer. Veremos, agora, como isso é feito.
Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para 
facilitar o entendimento.
Considere o ângulo BÔA, que iremos transpor para sobre uma reta.
FIGURA 53 – ÂNGULO PARA TRANSPOR
FONTE: Os autores
1º passo: Desenhe uma reta qualquer e marque um ponto O’ sobre a mesma.
FIGURA 54 – 1° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: Os autores
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2º passo: Abra o compasso na medida OA, e trace um arco com essa medida, colocando 
a ponta seca sobre O’. Na intersecção desse arco com a reta, marque o ponto A’.
FIGURA 55 – 2° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: Os autores
3º passo: Abra o compasso na medida AB, e trace um arco com essa medida, colocando 
a ponta seca sobre A’, cortando o arco anterior. Na intersecção dos arcos, marque o ponto B’.
FIGURA 56 – 3° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: Os autores
4º passo: Trace uma semirreta com origem O’ e que passe por B’.
FIGURA 57 – 4° PASSO PARA TRANSPOR
FONTE: Os autores
Pronto, o ângulo B’Ô’A’ é a transposição do ângulo BÔA
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RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. 
A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro 
acadêmico, possa fixá-los melhor: 
	A região formada por duas semirretas, de mesma origem, é chamada de ângulo.
	Classificação dos ângulos:
  ângulo agudo: menor que 90º.
  ângulo reto: igual a 90º.
  ângulo obtuso: maior que 90o e menor que 180º.
  ângulo raso: igual a 180º.
  ângulo de uma volta: igual a 360º.
	Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90º.
	Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180º.
	Como construir os principais ângulos: 15º, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º, 120º utilizando compasso. 
	Bissetriz de um ângulo qualquer é a semirreta que divide esse ângulo em dois ângulos 
congruentes.	Como construir a bissetriz de um ângulo utilizando apenas régua e compasso.
	 	Transposição de ângulos usando apenas régua e compasso.
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AUT
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IVID
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Para que você, caro acadêmico, possa melhor fixar o conteúdo, procure responder 
às seguintes autoatividades.
1 A medida de um ângulo é igual à medida do seu complemento aumentada de 60o. Qual 
é a medida desse ângulo?
2 Sabendo que o dobro da medida de um ângulo é igual ao suplemento desse ângulo, 
podemos dizer que este ângulo é:
a) raso
b) agudo
c) reto
d) obtuso
3 Se a soma de um ângulo com a quarta parte de seu complemento é igual a um ângulo 
raso, qual é a medida desse ângulo e como podemos classificá-lo?
4 Determine o valor de x em cada uma das figuras:
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5 Utilizando somente régua e compasso, desenhe os seguintes ângulos:
a) 15o b) 30o
c) 45º d) 75o
e) 105o f) 135o
6 Usando compasso e régua transponha o ângulo TÂG para a reta r.
7 As medidas dos ângulos de um triângulo são, respectivamente, x, 3x e 5x. Calcule 
o valor de x.
8 Calcule o valor de x nas figuras:
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9 Calcule o valor do ângulo assinalado.
10 Dividir o ângulo AÔB em 3 partes iguais.
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CONSTRUÇÃO DE MEDIATRIz, 
RETAS PARALELAS E RETAS 
PERPENDICULARES
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 5
UNIDADE 1
Reservamos este espaço para que o aluno aprenda a construir retas paralelas e 
perpendiculares, bem como consiga definir e construir a mediatriz de um segmento.
Para um bom desempenho, aconselhamos o uso de dois esquadros (30º e 45º) e um 
compasso, embora todos as construções possam ser feitas com a substituição de um dos 
esquadros por uma régua. Exemplificaremos, levando em conta a disposição de dois esquadros.
2 RETAS PARALELAS
Já vimos anteriormente, a definição de retas paralelas. Vimos também que duas retas 
paralelas “geram” um ponto impróprio (que é “o ponto de encontro” das retas no infinito). Agora, 
vamos aprender como construir retas paralelas a uma reta r qualquer.
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Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para 
facilitar o entendimento.
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Veja:
Seja uma reta r qualquer:
 ______________________________________ r
FIGURA 58 – RETA QUALQUER
FONTE: Os autores
1º passo: Apóie um dos esquadros sob a reta r. Esse esquadro será o 1.
FIGURA 59 – 1° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE: Os autores
2º passo: Coloque o segundo esquadro abaixo do primeiro. Esse será o esquadro 2.
FIGURA 60 – 2° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: Os autores
3º passo: Segure o esquadro 2 firmemente, e faça o esquadro 1 “deslizar” pelo 2.
FIGURA 61 – 3° PASSO PARA O PARALELISMO
FONTE: Os autores
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4º passo: Sem mexer no esquadro 1, tire o esquadro 2 e trace uma reta s paralela a r. 
Notação de paralelismo: r // s.
FIGURA 62 – 4° PASSO PARA PARALELISMO
FONTE: Os autores
Pronto! Temos duas retas paralelas entre si.
Podemos colocar essa reta s em qualquer lugar. Basta “levá-la” com os esquadros 
apoiando o que irá se deslocar no outro fixo repetidas vezes.
Se você quiser fazer a reta s acima da reta r, basta deslocar o 
esquadro 1 para cima, no passo 3.
3 RETAS PERPENDICULARES
No tópico passado, aprendemos a construir um ângulo reto e podemos usar aquele 
conhecimento para construir duas retas perpendiculares. Contudo, nesse espaço, faremos isso 
usando os esquadros, apenas por ser uma forma mais rápida.
1º passo: Desenhe uma reta r, apoie um dos esquadros nessa reta.
FIGURA 63 – 1° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
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2º passo: Afaste este esquadro da reta r usando os mesmos procedimentos vistos na 
construção de retas paralelas (2º e 3º passos)
FIGURA 64 – 2° PASSO PARA O PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
3º passo: Deixe o esquadro 1 bem firme e apóie um dos catetos do esquadro 2 em 
cima dele.
FIGURA 65 – 3° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
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4º passo: Trace a reta s, perpendicular à r. Notação de perpendicularismo: r ⊥ s
FIGURA 66 – 4° PASSO PARA PERPENDICULARISMO
FONTE: Os autores
Se você repetiu cada passo numa folha, PARABÉNS. Se não, repita todo 
o processo para um melhor entendimento.
4 MEDIATRIz
Dado um segmento de reta AB, mediatriz será a reta que divide o segmento de reta 
AB em duas partes congruentes. Em outras palavras, é a reta que passa no meio de AB. Ou 
ainda, “a mediatriz de um segmento AB é a reta m perpendicular à AB, passando pelo ponto 
médio M desse segmento”. (RUBIÓ, 2005, p. 200)
Veremos como construir a mediatriz de um dado segmento AB:
1º passo: Faça um segmento AB
FIGURA 67 – 1° PASSO PARA MEDIATRIz
FONTE: Os autores
2º passo: Abrir o compasso com uma medida maior que a metade do segmento AB. 
Colocar a ponta seca em A e construir um arco (marcação longa) que intercepte o segmento 
AB, como a seguir:
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FIGURA 68 – 2° PASSO PARA MEDIATRIz
FONTE: Os autores
3º passo: Repetir o 2º passo com a ponta seca do compasso em B, na intersecção dos 
arcos marcar os pontos P1 e P2.
FIGURA 69 – 3° PASSO PARA MEDIATRIz
FONTE: Os autores
4º passo: Passar uma reta sobre os dois pontos de intersecções P1 e P2, obtidos através 
das marcações feitas nos dois passos anteriores.
FIGURA 70 – 4° PASSO DA MEDIATRIz
FONTE: Os autores
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A reta que passa pelos pontos P1 e P2 é a mediatriz do segmento AB.
5 TRANSPOSIÇÃO DE IMAGEM
Através de um exemplo, mostraremos como reproduzir uma imagem utilizando apenas 
régua, esquadro, compasso e os conhecimentos adquiridos nos itens anteriores.
Observe o seguinte exemplo:
A figura a seguir representa a vista de cima do telhado de uma empresa. Utilizando 
compasso e esquadros, reproduza essa figura, na mesma escala.
FIGURA 71 – TRANPOSIÇÃO DE IMAGEM
FONTE: Os autores
Para reproduzir essa figura, precisamos usar todos os conteúdos vistos até aqui, além, 
é claro, de uma boa criatividade.
Não esqueça de repetir cada passo do processo numa folha para facilitar 
o entendimento.
1º passo: Representar os vértices da figura por letras maiúsculas.
FIGURA 72 – 1° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
2º passo: Traçar um segmento de medida O’E’. Para isso, basta abrir o compasso na 
medida OE e marcar esse comprimento sobre uma reta suporte.
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FIGURA 73 – 2° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
3º passo: Faça uma reta perpendicular a O’E’ que passe pelo ponto O’. Veja no item 3 
(retas perpendiculares) como se faz.
FIGURA 74 – 3° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
4º passo: Abra o compasso na medida OA e com a ponta seca em O’ marque na reta 
perpendicular o ponto A’.
FIGURA 75 – 4° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
5º passo: Trace uma reta paralela a O’E’ passando por A’. Veja no item 2 (retas paralelas) 
como se faz.
FIGURA 76 – 5° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
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6º passo: Trace uma reta paralela a O’A’ passando por E’. Veja no item 2 (retas paralelas) 
como se faz. Marque o ponto U’ na intersecção das duas últimas retas traçadas.
FIGURA 77 – 6° PASSO A – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
Já temos o contorno do telhado,falta transpor os ângulos Â, Ô, Ê, Û. Faremos isso de 
maneira bem simples, é só observar os próximos passos.
FIGURA 78 – 6° PASSO B – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
7º passo: Abra o compasso na medida AB e, com a ponta seca em A’, trace um arco.
FIGURA 79 – 7° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
8º passo: Abra o compasso na medida OB e, com a ponta seca em O’, trace um arco. 
Na intersecção desses arcos, marque o ponto B’.
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FIGURA 80 – 8° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
9º passo: Repita o 7º e 8º passo, mas, abrindo o compasso em EC e UC, temos o 
ponto C’.
FIGURA 81 – 9° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
10º passo: Traçar um segmento de reta entre: O’ e B’, A’ e B’, B’ e C’, E’ e C’, U’ e C’.
FIGURA 82 – 10° PASSO – TRANSPOR IMAGEM
FONTE: Os autores
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LEITURA COMPLEMENTAR
O compasso e a régua (sem escala) são conhecidos como instrumentos 
euclidianos, pois os postulados dos Elementos de Euclides restringem 
o uso da régua e do compasso de acordo com as regras:
 com a régua permite-se traçar uma reta de comprimento indefinido, 
passando por dois pontos distintos dados.
 com o compasso, permite-se traçar uma circunferência com centro 
num ponto dado, passando por um segundo ponto qualquer dado.
O traçado de construções geométricas com régua e compasso 
mostrou-se ser um dos jogos mais fascinantes e absorventes jamais 
inventados. (EVES, 2004, p. 134)
COMPASSO OU RÉGUA APENAS?
Howard Eves
O geômetra e poeta italiano do século XVIII, Lorenzo Mascheroni (1750-1800), fez 
a surpreendente descoberta de que todas as construções euclidianas, na medida em que 
os elementos dados e procurados são pontos, podem ser feitas apenas com o compasso, 
sendo a régua, portanto um instrumento supérfluo. Obviamente, não se pode traçar uma reta 
com o compasso, mas qualquer reta a que se chegue numa construção euclidiana pode ser 
determinada com o compasso apenas encontrando-se dois de seus pontos. Essa descoberta 
foi revelada em 1797 na Geometria Del Compaso, de Mascheroni.
Como numa construção euclidiana encontram-se novos pontos, a partir de pontos 
antigos, (1) pela intersecção de duas circunferências, (2) pela intersecção de uma reta e uma 
circunferência ou (3) pela intersecção de duas retas, tudo que Mascheroni tinha de fazer era 
mostrar como, apenas com o compasso, se podiam resolver os problemas (2) e (3), entendendo-
se por reta dois de seus pontos dados.
Pouco antes de 1928, um aluno do matemático dinamarquês J. Hjelmslev (1873-1950), 
ao perlustrar as prateleiras de uma livraria em Copenhague, deparou com um velho livro, 
Euclides danicus, publicado em 1672 por um escritor obscuro chamado Georg Mohr (1640-
1679). Depois de examinar o livro, Hjelmslev se surpreendeu ao verificar que ele continha a 
descoberta de Mascheroni, com uma publicação que antecedia a publicação de Mascheroni 
em 125 anos. Em 1890, o geômetra vienense August Adler (1863-1923) publicou uma nova 
demonstração dos resultados de Mascheroni fazendo uso da transformação de inversão.
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Inspirando-se na descoberta de Mascheroni, o matemático francês Jean Victor 
Poncelet (1788-1867) considerou as construções com régua apenas. Nesse caso, nem 
todas as construções podem ser levadas a efeito mas, curiosamente, contando-se com uma 
circunferência e seu centro traçados no plano de construção, a régua se torna suficiente para 
essas construções. Esse teorema foi concebido por Poncelet em 1822 e, mais tarde, em 1833, 
desenvolvido plenamente pelo gênio do geômetra suíço-alemão Jacob Steiner (1796-1863). 
O que se precisa mostrar agora é que, contando-se com a circunferência e seu centro, as 
construções (1) e (2) podem ser efetuadas com a régua apenas, entendendo-se que uma 
circunferência fica dada pelo seu centro e um de seus pontos.
Por volta do ano 980, o matemático árabe Abûl-Wefã (940-998) propusera o uso da 
régua junto com um compasso enferrujado,i sto é, um compasso de abertura fixa. Em vista 
do teorema de Poncelet-Steiner precisamos, na verdade, usar o compasso apenas uma vez, 
depois do que podemos abandoná-lo. Em 1904, o italiano Francesco Severi foi ainda além e 
mostrou que tudo de que se precisa é um arco, por menor que seja, de uma circunferência e seu 
centro, a fim de levar a termo todas as construções euclidianas com régua apenas. Também foi 
demonstrado, por Adler e outros, que se pode realizar qualquer construção euclidiana com uma 
régua de duas bordas, não importa se estas sejam ou não paralelas. Há muitos teoremas de 
construção intrigantes como estes, cujas demonstrações requerem engenhosidade considerável.
Recentemente, mostrou-se que o supramencionado Georg Mohr era o autor de um 
opúsculo publicado anonimamente em 1673, com o título de Compendium Euclidis curiosi, no 
qual se prova efetivamente que todas as construções de Elementos de Euclides são possíveis 
com régua e compasso enferrujado.
FONTE: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 
Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. p. 587 – 588.
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Neste tópico, tratamos de vários assuntos importantes ao estudo da Geometria. 
A seguir, apresentamos estes assuntos de maneira resumida para que você, caro 
acadêmico, possa fixá-los melhor: 
	Como construir retas paralelas utilizando apenas dois esquadros.
	Como construir retas perpendiculares usando apenas dois esquadros.
	Mediatriz será a reta que divide o segmento de reta AB em duas partes congruentes.
	Como construir a reta mediatriz usando régua e compasso.
	Como transpor figuras.
RESUMO DO TÓPICO 5
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Com vistas a que você, caro(a) acadêmico(a), possa melhor fixar os conteúdos, 
apresentamos, em seguida, alguns exercícios referentes ao conteúdo estudado:]
1 Utilize dois compassos e trace uma reta paralela a cada reta dada.
a)
b)
2 Trace uma reta perpendicular a cada reta dada.
a) 
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3 Trace a mediatriz do segmento AB.
4 Utilizando compasso e esquadro, reproduza figura a seguir, na mesma escala.
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5 Divido o segmento de reta AB de comprimento qualquer, em três partes iguais.
6 Traçar uma reta perpendicular a outra passando pelo ponto 0, com o auxílio do compasso.
7 Com o auxílio do compasso, construa o triângulo ABC isósceles de base AB.
8 Dada uma circunferência qualquer, divida-a em três partes congruentes com auxílio 
do compasso.
9 Construa uma circunferência qualquer e com o auxílio do compasso divida-a em seis 
partes congruentes.
10 Trace uma perpendicular a semirreta QA no ponto Q.
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade.
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UNIDADE 2
SISTEMAS DE PROJEÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIzAGEM
 
 A partir do estudo desta Unidade, o(a) acadêmico(a) estará 
apto a:
	 	conhecer e identificar os tipos de projeções;
	 	familiarizar-se com as nomenclaturas usadas na projeção;
	 	verificar a diferença entre sistema cônico e sistema cilíndrico;
	 	entender e construir o sistema mongeano e a épura;
	 	definir afastamento, cota e abscissa;
	 	projetar um ponto na épura e dar sua localização.
TÓPICO 1 – PROJEÇÕES
TÓPICO 2 – SISTEMA CôNICOE SISTEMA CILÍNDRICO
TÓPICO 3 – SISTEMA MONGEANO
TÓPICO 4 – PROJEÇÃO DE UM PONTO
PLANO DE ESTUDOS
 Esta unidade está dividida em quatro tópicos. Ao final de cada 
tópico, vocês encontrarão atividades que o(a) ajudarão na fixação da 
aprendizagem.
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PROJEÇÕES
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 2
Podemos afirmar que o pai da Geometria Descritiva foi Gaspar Monge, um sábio 
desenhista francês e excepcional geômetra, que a definiu como sendo a “arte” de representar 
figuras espaciais num plano.
 
Essa forma de representação permite trabalhar todos os problemas tridimensionais 
com desenhos feitos num plano.
Para conseguirmos representar um objeto tridimensional num plano, usamos projeções. 
A seguir, estudaremos as principais formas que existem para projetarmos uma figura espacial. O 
cuidado que temos que tomar é que, ao projetarmos uma figura espacial num plano, acabamos 
perdendo detalhes deste objeto. Essa perda pode ser insignificante, mas também pode ser 
importantíssima para a compreensão total do objeto original.
Imaginem se, ao ler uma planta de alguma construção, o engenheiro não fosse capaz 
de obter com exatidão o seu tamanho, a distância entre os pilares etc. Por isso, Monge fez 
algumas adaptações nos sistemas de projeção existentes, conseguindo extrair todos os detalhes 
necessários para solucionar os problemas de um objeto tridimensional.
Nessa unidade, estudaremos os sistemas que serviram de base para Monge e 
evoluiremos até chegarmos ao Sistema Mongeano.
2 O qUE É PROJEÇÃO
Projeção é o processo pelo qual incidem raios sobre um objeto em um plano chamado 
plano de projeção.
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A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. Como os 
objetos têm três dimensões, sua representação num plano bidimensional se dá através de 
alguns artifícios de desenho. Para tanto, são considerados os elementos básicos da projeção:
Plano de projeção
Objeto
Raio projetante
Centro de projeção
Não há motivo para complicarmos o que é projeção porque a ideia de projeção é quase 
que intuitiva, uma vez que sua ocorrência se dá em diversos segmentos do nosso cotidiano. 
Trata-se de um fenômeno físico que acontece normalmente na natureza ou que pode ser 
produzido artificialmente pelo homem.
Vejam os seguintes exemplos dados por Rabello (2005, p.11):
1º) “Ao incidirem sobre uma placa opaca, os raios solares produzem sobre a superfície 
de um piso claro, uma figura escura a que chamamos comumente de sombra. O contorno da 
sombra nada mais é que a projeção do contorno da placa na superfície do piso”.
Plano de projeção: superfície do piso
Objeto: Placa
Raio projetante: raios solares
Centro de projeção: sol
FIGURA 83 – PROJEÇÃO DE FIGURA
FONTE: Os autores
2º) “As imagens que vemos numa tela de cinema são as projeções dos fotogramas 
contidos na fita de celuloide quando sobre eles incidem os raios luminosos emitidos pela 
lâmpada do projetor”.
Plano de projeção: tela do cinema
Objeto: os fotogramas da fita
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Raio projetante: raios luminosos da lâmpada
Centro de projeção: a lâmpada do projetor
O contorno da sombra, assim como as imagens produzidas na tela de cinema são 
figuras projetadas em superfícies de projeção identificadas nos exemplos, respectivamente, 
na superfície do piso e na tela de cinema (Planos de projeção).
Em linguagem matemática, podemos formalizar a seguinte definição:
Projeção é o conjunto de operações geométricas que permitem obter a figura formada 
pelos pontos de interseção dos raios projetantes que partem de um centro projetivo e incidem 
sobre uma figura do espaço, com uma superfície.
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Neste tópico, você, caro(a) acadêmico(a) teve oportunidade de estudar os 
seguintes conteúdos:
	Gaspar Monge é considerado por muitos o “pai” da projeção espacial num plano.
	Projeção é a “sombra” obtida de um objeto num plano.
	Obtivemos a noção de:
 Plano de Projeção
 Objeto
 Raio Projetante
 Centro de Projeção.
RESUMO DO TÓPICO 1
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Caro(a) acadêmico(a), para que você possa melhor fixar os conteúdos estudados 
neste Tópico, procure resolver estas atividades:
1 Um carro estacionado sob um poste com luz ligada, à noite, em uma rua, tem sua 
sombra projetada sobre a rua. Identifique, no problema, o plano de projeção, o centro 
de projeção, o raio projetante e o objeto.
2 Dê um exemplo observado no cotidiano de alguma projeção.
3 Em qual(is) ramo(s) da(s) atividade(s) humana(s) você acha que a projeção ajudará 
para o estudo de objetos?
4 Na sua opinião, qual a vantagem de estudar apenas a projeção de um objeto ao invés 
de estudar o próprio objeto?
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SISTEMA CôNICO E SISTEMA 
CILÍNDRICO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 2
A forma de representar desenhos evoluiu ao longo dos anos. É sempre benéfico 
estudarmos, mesmo que de forma superficial, os sistemas que foram usados e que em alguns 
casos ainda o são.
Neste tópico, apresentaremos dois sistemas muito importantes, para que o acadêmico 
tenha conhecimento de sua existência.
2 SISTEMA CôNICO
É o sistema de projeção em que os raios projetantes partem de um ponto “visível”. Esse 
ponto será o vértice do cone, que se formará entre esse ponto, o objeto e a sua projeção no 
plano de projeção. Esse tipo de projeção acontece quando o centro de projeção (fonte de luz) 
está a uma distância finita do objeto. Nesse caso, o ponto de vértice recebe o nome de ponto 
próprio.
Por aproximar-se muito do modo como “enxergamos”, as técnicas com projeções cônicas, 
também chamadas de “perspectivas”, são muito utilizadas quando desejamos representar algo 
de modo mais próximo do real. Quando temos um centro de projeção próprio, deste centro 
saem raios de projeção divergentes em direção ao plano de projeções. Isto provoca projeções 
com o que chamamos de “pontos de fuga”.
Veja no desenho:
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FIGURA 84 – SISTEMA CÔNICO
FONTE: Os autores
Esse sistema faz com que a projeção não represente o tamanho verdadeiro do objeto. 
Não é difícil notar que quanto mais próximo do objeto o centro de projeção estiver, maior será 
a distorção entre o tamanho original e a projeção. Para que isso não ocorra, o método mais 
utilizado é o cilíndrico.
3 SISTEMA CILÍNDRICO
As projeções cilíndricas possuem uma larga aplicação no desenho técnico para 
transmitir informações relacionadas ao dimensionamento das peças. Elas podem estar 
posicionadas basicamente de dois modos em relação ao plano de projeção: perpendicularmente 
(ortogonalmente) ou inclinadas (oblíquas). Dependendo do posicionamento dos raios são 
geradas diferentes projeções.
No sistema anterior (cônico) foi visto que, quanto mais próximo o centro de projeção 
estiver do objeto, pior será a comparação entre tamanho do objeto e tamanho da projeção. 
Lembre-se de que nosso objetivo é projetar o objeto de tal forma que a projeção nos indique 
tudo sobre o mesmo, e quanto mais rápido e fácil for a leitura, melhor. Para tanto, basta afastar 
o centro de projeção o máximo que pudermos. Esse máximo será o infinito.
Portanto, sistema cilíndrico é quando o centro de projeção se encontra no infinito, nesse 
caso esse ponto é chamado de impróprio.
Como o centro de projeção está no infinito, os raios de projeção são paralelos entre si, 
tornando a projeção do mesmo tamanho que o objeto original.
Observe no desenho:
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FIGURA 85 – SISTEMA CILÍNDRICO 
FONTE: Os autores
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Lembrem-se de que esse ponto no infinito é um ponto impróprio.
Esse tipo de projeção é excelente, pois dá uma indicação precisa do tamanho do objeto, 
sem precisarmos de cálculos auxiliares de proporção e trigonometria. Uma escala direta será 
o bastante.
A projeção cilíndrica é dividida em ortogonal e oblíqua. Uma ideia simples para entender 
é pensar que a ortogonal é quando o centro de projeção é o “sol do meio dia”, e a oblíqua seria 
quando o centro de projeção é o “sol das outras horas”.
Veja:
FIGURA 86 – SISTEMA CILÍNDRICO – OBLÍQUO E ORTOGONAL
FONTE: Os autores
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3.1 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS AXONOMÉTRICAS
Mesmo os raios de projeção estando perpendiculares ao plano de projeções, as faces 
do objeto não estão paralelas ao nosso plano de projeções, como por exemplo, no caso de um 
cubo, quando um de seus vértices está mais próximo do plano de projeção, temos a projeção 
das 3 arestas que derivam deste vértice no plano de projeções. Por referência às coordenadas 
x, y e z, chamamos de Projeções Cilíndricas Axonométricas (medidas pelo eixo (x,y,z)).
FIGURA 87 – PROJEÇÕES CILÍNDRICAS ORTOGONAIS AXONOMÉTRICAS: 
ISOMÉTRICA, DIMÉTRICA E TRIMÉTRICA
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/images?hl=pt-br&rlz=1T4SKPT_pt-BR
BR397BR402&q=Proje%C3%A7%C3%B5es+Cil%C3%ADndricas+Axonom%C
3%A9tricas&um=1&ie=UTF-8&source=og&sa=N&tab=wi&biw=1276&bih=544>. 
Acesso: 23 mar. 2011.
Dependendo das angulações destas arestas em relação ao plano de projeções temos 
três tipos de situações: 
1a) os 3 ângulos projetados no plano são diferentes entre si, cujo nome passa a ser “projeções 
cilíndricas axonométricas trimétricas”; 
2a) ângulos projetados no plano são iguais e um diferente, cujo nome passa a ser “projeções 
cilíndricas axonométricas dimétricas”; 
3a) os 3 ângulos projetados no plano são iguais entre si, cujo nome passa a ser “projeções 
cilíndricas axonométricas isométricas.
Das projeções, a isométrica é a mais utilizada para o desenho técnico de projetos 
arquitetônicos.
A aresta AB, na figura a seguir, sofre uma redução quando projetada no plano com 
o nome de A’B’. No caso da isométrica, esta redução resulta numa distância de 0,82 para 
cada 1,00.
FONTE: Adaptado de: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm>. Acesso em: 14 
abr. 2011.
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FIGURA 88 – PROJEÇÁO CILÍNDRICA
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_
M3.htm>. Acesso em: 14 abr. 2011.
Porém, para simplificar o processo, assume-se que as projeções estão em verdadeira 
grandeza (VG) e utilizamos o que chamamos de isométrica simplificada, ou seja, se é 1,0 
desenhamos 1,0 e não 0,82. 
Ao adotarmos este tipo de projeção, a grande vantagem é a facilidade com relação a 
sua construção, têm-se apenas linhas paralelas na construção, todas em VG.
Para a construção de um objeto utilizando a projeção isométrica simplificada temos os 
seguintes passos: 
1. horizontalmente, traça-se a linha base;
2. nesta linha, define-se um ponto inicial;
3. a partir deste ponto, a 30o da linha base, traça-se duas linhas opostas; 
4. partindo do ponto perpendicular da linha base, traça-se uma linha;
5. traçar paralelas de todas as linhas e colocar as medidas em VG nelas.
Com esses dados prontos é só traçar linhas sempre paralelas às linhas de 30o e às de 
90o colocando sempre a medida real nas respectivas linhas.
A figura a seguir nos dá uma ideia melhor das projeções estudadas.
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FIGURA 89 – PROJEÇÃO ISOMÉTRICA, BIMÉTRICA, TRIMÉRICA
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/images?hl=pt-br&rlz=1T4SKPT_pt-
BRBR397BR402&q=projecoes%20isometricas&um=1&ie=UTF-8&source=og&sa= 
N&tab=wi&biw=1259&bih=505>. Acesso em: 25 mar. 2011.
O que utilizaremos é a projeção cilíndrica ortogonal, por motivos de facilidade e 
transparência na relação entre objeto e projeção no plano, que é o maior objetivo da geometria 
descritiva.
Contudo é notório que, mesmo com a projeção cilíndrica, muitas características do 
objeto se perdem principalmente se for complexo como uma casa, um prédio, uma ponte, um 
viaduto etc.
Pensando nisso é que Monge criou seu sistema de projeção, que consiste em projetar 
o objeto em dois planos ortogonais, um plano horizontal (PH) e um Plano Vertical (PV) que 
será estudado no próximo tópico.
4 PROJEÇÕES CILÍNDRICAS x PROJEÇÕES CôNICAS
Apesar do sistema de projeção cônica não representar o tamanho real do objeto como 
o sistema de projeção cilíndrico, ele aparece com frequência nas revistas em quadrinhos e 
até mesmo nosso dia a dia.
O texto a seguir, Harris e Scalo (2008), analisa perfeitamente essa situação.
Observe por um minuto a figura a seguir e tente compreendê-la tridimensionalmente.
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FIGURA 90 – QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CILÍNDRICA
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M2.htm>. Acesso em: 29 Maio 2008.
Observe agora a seguinte figura.
FIGURA 91 – QUADRINHO USANDO PROJEÇÃO CÔNICA
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M2.htm>. Acesso em: 29 Maio 2008.
Qual das duas figuras você compreende melhor?
Na primeira, foi usada uma técnica de projeção cilíndrica e na segunda uma técnica 
de projeção cônica.
Embora as duas figuras sejam projeções bidimensionais de uma situação tridimensional, 
a segunda figura parece-nos mais familiar.
Isto se dá devido ao fato deste tipo de projeção estar mais próximo a como nossos 
olhos veem.
Quando observamos o desenho a seguir,
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FIGURA 92 – UMA VISÃO CÔNICA
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M2.htm>. 
Acesso em: 29 maio 2008.
Embora saibamos que trilhos da linha de trem são paralelos e, portanto, “nunca deveriam 
se encontrar”, podemos ver seu encontro: “eles se encontram num ponto de fuga (PF)”. Como 
este ponto é real apenas para nossos olhos, dizemos que duas paralelas se encontram sim, 
mas no infinito, onde está seu centro de projeções impróprio. (0∞).
4.1 PERSPECTIVA CAVALEIRA
Representar uma figura em três dimensões sobre um único plano nunca foi fácil, até 
mesmo para aqueles que se consagraram artistas e arquitetos há muito tempo. Os resultados 
são surpreendentes, pois enquanto os artistas criaram a perspectiva cônica, os arquitetos 
utilizavam-se da perspectiva cavaleira.
Parzysz (1991), em um de seus estudos, percebeu que a representação em perspectiva 
paralela mostrou-se mais eficiente que a perspectiva central porque os desenhos estavam 
mais próximos do real.
A perspectiva cavaleira é fornecida pela projeção cilíndrica oblíqua de suas faces em 
casos específicos em que posicionamos o objeto, ficam paralelas ao plano de projeção conforme 
as figuras de perspectiva cavaleira a seguir.
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FIGURA 93 – PERSPECTIVA CAVALEIRA
FONTE: Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/39288627/2-Perspectiva-Cavaleira>. 
Acesso em: 25 mar. 2011.
Os raios projetantes incidem no plano de projeção com ângulos de 30º e as faces 
a sofrerem distorção terão suas medidas, no plano de projeção, reduzidas a dois terços do 
valor real.
Os raios projetantes incidem no plano de projeção com ângulos de 45º e as faces a 
sofrerem distorção terão suas medidas, no plano de projeção, reduzidas à metade do valor 
real.
Os raios projetantes incidem no plano de projeção com ângulos de 60º e as faces 
que sofrem distorção terão suas medidas, no plano de projeção, reduzidas a um terço do 
valor real.
FONTE: Disponívelem: <http://www.ufmt.br/cuiabano/3_Disciplinas/Desenho_Tecnico/Perspectivas/
Perspectivas.pdf>>. Acesso em: 14 mar. 2011.
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FIGURA 94 – PERSPECTIVA CAVALEIRA POSIÇÕES ANGULARES
FONTE: Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/39288627/2-Perspectiva-Cavaleira>. 
Acesso em: 25 mar. 2011.
4.2 PERSPECTIVA CÔNICA
Pode-se dizer que a perspectiva é uma maneira de transmitir ao observador a aparência 
que as formas assumem a distância, bem como as três dimensões que estas possuem. A 
perspectiva cônica está mais associada a nossa ideia que geralmente temos de perspectiva, 
pois é a que mais se assemelha à interpretação feita pelos nossos olhos, conforme podemos 
ver na representação da figura a seguir.
FIGURA 95 – PERSPECTIVA CÔNICA
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/images?hl=pt-br&rlz=1T4SKPT_
pt-BRBR397BR 402&q=PERSPECTIVA%20CONICA&um=1&ie=UTF-
8&source=og&sa=N&tab=wi&biw=1259&bih=505>. Acesso em: 15 abr. 2011.
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Estimado(a) acadêmico(a)! A perspectiva cônica pode ser 
entendida como uma ciência, um ramo da óptica, uma disciplina 
que floresceu para melhor representar os desenhos que na 
época eram de muita importância na Grécia Antiga e em Roma, 
durante a Idade Média. 
A figura a seguir nos mostra um exemplo de ilusão da perspectiva cônica: “O anúncio 
de Santo Emídio”.
FIGURA 96 – O ANÚNCIO DE SANTO EMÍDIO 
FONTE: Disponível em: < http://www.profcardy.com/geodina/perspectiva-
conica.php.>. Acesso em: 14 abr. 2011.
Os artistas elaboravam suas próprias regras antes da invenção da perspectiva cônica 
e até então não sentiam falta dos fundamentos matemáticos que dariam às suas perspectivas 
uma lógica que eles mesmos criaram.
Na Itália, os romanos já haviam desenvolvido um sistema racional baseado nos princípios 
ópticos. Nos séculos XII e XIV, os italianos imaginavam construções empíricas, combinando 
observações da natureza e relações simples de proporções.
Os pintores do norte da Europa resolviam os problemas que os italianos não conseguiam 
resolver, graças a um estudo minucioso da natureza, dando uma maior atenção às cores e à 
luminosidade.
 
No início do século XV, em meio ao cenário artístico e intelectual de Florença, 
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desenvolveu-se o princípio da perspectiva cônica, que também é conhecida como perspectiva 
central, linear ou artificial, atribuída a Leon Battista, arquiteto, artista e a Fillipo Brunelleschi, 
arquiteto e escultor.
Se Brunelleschi foi o primeiro a demonstrar os princípios da perspectiva cônica pela 
sua experiência do perspectógrafo em 1413, é graças a Alberti que ele deve a geometria plana 
empregada. Seu método muito simples permitiu aos artistas desenhar um espaço geométrico 
regular. Esses métodos têm por consequência serem mais perfeitos que os princípios básicos 
deixados.
Contudo, se fosse para apontar um inventor dessa arte pictórica, segundo este mesmo 
autor, o nomeado seria Filippo Brunelleschi (1377-1446). Brunelleschi demonstrou seu interesse 
e compreensão por problemas de perspectiva ao planejar e executar a impressionante 
construção da abóboda da catedral de sua cidade (CROSBY, 1999). Ele revelou também a 
existência de um “potencial ilusionístico da representação perspectivada” com uma pintura 
construída em perspectiva, da seguinte forma:
Em frente ao Batistério de Florença, [ele] posicionou uma tela quadrada, na 
qual se via uma representação perspectivada do próprio Batistério. Um pequeno 
orifício fora previamente aberto num específico ponto da mesma tela. Entre a 
tela e o Batistério, voltado para a primeira, Brunelleschi colocou um espelho. 
Olhando por detrás da tela, através do orifício, a pintura, refletida no espelho, 
surgia como uma cópia exata do Batistério ao fundo. (FRAGOSO, 2003, p. 107).
Esta ilusão de que as imagens em perspectiva são carregadas de realismo deve ser 
constantemente confrontada, pois elas não são, incontestavelmente, constituídas de simples 
espelhos do mundo. “Trata-se, afinal, de sistemas simbólicos, produtos da experiência humana, 
construídos a partir de conjuntos de crenças socialmente constituídos”. (FRAGOSO, 2003, p. 
106).
FIGURA 97 – MOSTRANDO A PROFUNDIDADE – IGREJA MATRIz DE SANTO TIRSO
FONTE: Disponível em: <http://br.olhares.com/igreja_matriz_de_santo_tirso_foto3181496.
html>. Acesso em: 14 abr. 2011.
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FIGURA 98 – PERSPECTIVA CÔNICA 
FONTE: Disponível em: <http://edu-plasticavisual.blogspot.com/2008/12/dibujar-en-
perspectiva.html>. Acesso em: 18 abr. 2011.
Além de seus estudos teóricos, Dürer dedicou-se também ao uso de “diversos 
subterfúgios mecânicos [...] [para] fabricar desenhos em perspectiva” (FLORES, 2007a, p. 
70). Dessa forma, construindo máquinas de desenhar em perspectiva, como podemos ver 
na figura a seguir, levou a um enorme deslumbramento dos artistas pela possibilidade de ver 
e representar com mais exatidão.
FIGURA 99 – PERSPECTÓGRAFO DE DÜRER
FONTE: Disponível em: <http://www.profcardy.com/geodina/perspectiva-conica.php>. 
Acesso em: 9 abr. 2011.
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4.3 PROJEÇÃO CÔNICA
O pintor deveria adotar uma posição fixa, com relação aos objetos que iria reproduzir, 
pois para criar geometricamente a ilusão de profundidade, o pintor deve partir de um ponto 
de vista perfeitamente definido. Brunelleschi utilizou um dispositivo engenhoso e complicado: 
o espectador deve fica atrás do painel pintado, no qual se abria um orifício e mirar o painel 
através deste orifício por meio de um espelho. 
O perspectógrafo consiste de algumas linhas que auxiliam a construção de uma 
perspectiva exata, formando uma espécie de grelha. Esse esquema situa os pontos de 
acordo com a maior parte das linhas convergentes. Carlo Crivelli duvidava em utilizar a grelha 
perspectiva numa tela como verificação (para confirmar a sua perspectiva intuitiva) quando 
acabava sua composição conforme o método de Alberti. 
Assim, a perspectiva emergiu, como
[...] uma nova maneira de sentir, pensar e ver o mundo [...]. Esta nova percep-
ção abriu a possibilidade para um modo próprio de representação do espaço: 
um espaço em perspectiva. Oriunda das problemáticas de representação 
do espaço tridimensional, inserida num campo de conhecimento específico, 
pautada por um novo modo de olhar, a perspectiva foi criada como um método 
capaz de reproduzir de “modo real” o que vemos. Este caráter realista leva 
à crença de que existe um mundo organizado, medido e padronizado [...]. 
(FLORES, 2007a, p. 28).
Segundo Flores (2007a), essa nova percepção de mundo renascentista repercutiu 
em diversos aspectos, no modo como o conhecimento é construído, no método de como os 
saberes são ensinados, no estilo de como as relações sociais são criadas, enfim, na forma de 
se perceberem as coisas. 
A janela de vidro para a perspectiva é o plano em que é esboçado o desenho. Na Figura 
a seguir, visualiza-se o caixilho envidraçado de Albrecht Dürer, que pode ser entendido como 
uma janela de vidro, um dos seus diferentes instrumentos perspectivos, também chamada de 
máquina para desenhar em perspectiva.
FIGURA 100 – CAIXILHO ENVIDRAÇADO DE ALBRECHT DÜRER
FONTE: Flores (2007a, p. 70).
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Os traços da construção em perspectiva podem ser observados na figura a seguir.
FIGURA 101 – REPRESENTAÇÃO DO MÉTODO DE ALBERTI - NOÇÃO DE PERSPECTIVA
FONTE: Parramón (apud FLORES, 2007a, p. 53).
No século XV, a pintura e a matemática estavam encadeadas uma na outra, sendo 
tema de muitos tratados escritos no período. A título de exemplo, citam-se aqui os estudos 
de dois artistas: Piero Della Francesca (1416-1492),que escreveu três tratados a respeito 
de aritmética, geometria e pintura, e Albrecht Dürer, que propôs em sua primeira obra a tão 
desejada relação entre a teoria matemática e a prática do artesão, considerando a geometria 
como uma “geometria construtiva”. Dürer tinha como objetivo principal “fundar a pintura sobre 
a certeza matemática e tornar as instruções reunidas em sua obra amplamente acessíveis aos 
leitores pintores, artesãos e matemáticos”. (FLORES, 2007a, p. 180).
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Caro(a) acadêmico(a), apresentamos, a seguir, de maneira resumida, os conteúdos 
apresentados neste tópico, a fim de que você possa revê-los e fixá-los melhor:
	Sistema cônico é quando o ponto de projeção está a uma distância finita do objeto.
	No sistema cônico o real tamanho da figura não é mantida, dificultando o estudo do objeto 
apenas pela projeção.
	O sistema cilíndrico tem como ponto de projeção um ponto impróprio, ou seja, o seu ponto 
de projeção está no infinito.
	Dentro do sistema cilíndrico podemos ter o caso oblíquo e o ortogonal. Este último é mais 
usado por manter as proporções do objeto mais fidedignas.
	A base do sistema mongeano é o sistema de projeção cilíndrico ortogonal.
RESUMO DO TÓPICO 2
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Caro(a) acadêmico(a), com vistas a uma melhor fixação dos conteúdos estudados 
neste tópico, procure resolver os exercícios que seguem:
1 Comente os tipos de sistemas de projeção estudamos neste tópico.
2 Por que o sistema cilíndrico é considerado melhor que o sistema cônico?
3 Apresente os problemas podem ocorrer ao estudarmos uma projeção obtida por um 
sistema de projeção oblíqua.
4 Você consegue imaginar no cotidiano uma situação perfeita de uma projeção cilíndrica? 
Justifique.
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SISTEMA MONGEANO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
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Poderíamos ter juntado este tópico com o anterior, mas o sistema Mongeano é tão 
usado atualmente que preferimos dar uma ênfase especial ao falarmos dele. 
Como esse sistema é o adotado no mundo das projeções, o assunto é tratado de forma 
bem completa, para que o aluno consiga entender e visualizar seu formato e suas nomenclaturas.
2 SISTEMA MONGEANO
Para suprir os problemas da projeção de um objeto em um único plano, Monge bolou 
um sistema de dupla projeção simultânea. O objeto é projetado, ao mesmo tempo, num plano 
horizontal (PH) e num plano vertical (PV). Verifique:
FIGURA 102 – SISTEMA MONGEANO
FONTE: Os autores
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Notem que, na figura, estamos projetando um círculo que estava situado no espaço, em 
dois planos. No plano horizontal (PH), vimos a circunferência exatamente como ela é. No plano 
vertical (PV) vimos apenas um segmento de reta. Embora pareça que o PH já seria suficiente, 
é o PV que nos dá a certeza que o objeto é apenas um círculo. Além do mais, sem o PV não 
saberíamos a localização do objeto.
Observem também que os planos horizontais e verticais repartem o espaço em quatro 
subespaços a que chamamos de diedros. A intersecção entre os dois espaços é chamada de 
Linha de Terra.
Embora, a figura acima seja muito bonita, ela não é fácil de desenhar, pois estes planos 
ortogonais complicam bastante. Contudo, não precisamos desenhá-los, basta lembrarmos 
que eles existem, e isso é fundamental. Nós usaremos a épura para representar os desenhos 
projetados no sistema mongeano. Com a épura, o desenho fica facílimo, mas sua leitura só 
fica clara quando lembrarmos onde e de como ela fora obtida.
2.1 SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÕES 
O matemático Gaspard Monge (1746-1818) criou o MÉTODO DE DUPLA PROJEÇÃO 
ORTOGONAL, em meio às guerras napoleônicas, utilizando dois planos π1 (pi1) e π2 (pi2)
dispostos de maneira ortogonal entre si.
Já na Escola Militar, ao desenhar:
[...] uma planta de um forte com os canhões em lugares a serem determinados 
por certos dados experimentais, Monge contornou o tedioso procedimento 
aritmético da época substituindo-o por outro, geométrico, mais rápido. Seu 
método, que consistia em inteligentemente representar objetos tridimensionais 
por meio de projeções convenientes sobre um plano bidimensional, foi adotado 
pelos militares e considerado segredo absoluto. (EVES, 1995, p. 489).
Para resolvermos problemas que precisamos desenhar e interpretar as projeções, 
é necessário que os dois planos de projeção (π1) e(π2) se transformem em um único plano, já 
que os problemas serão resolvidos em uma superfície bidimensional, como em uma folha de 
papel. Para transformar os dois planos em um único plano será necessário fazer com que um 
dos planos seja rebatido sobre o outro, num giro de 90° em torno da Linha de Terra (LT), ou 
seja, mantendo-se fixo o plano de projeção (π’) e girando o plano de projeção (π) no sentido 
horário até que os dois se tornam um único plano.
Deve-se lembrar que para projetar um objeto sobre um plano, posiciona-se o observador 
em um ponto impróprio, na direção do vetor normal do plano de projeção.
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Caso a projeção será feita em dois planos, serão consideradas duas posições 
simultâneas do observador. Utilizando os dois planos, surgem quatro possibilidades para alocar 
o objeto que será projetado. Estas quatro regiões são conhecidas como diedros.
FIGURA 103 – PLANOS ORTOGONAIS ENTRE SI E SUAS NOMENCLATURAS
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_
M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
FIGURA 104 – PLANOS DE PROJEÇÕES PERPENDICULARES
FONTE: Disponível em: <http://200.195.174.230/Materiais/755_433.pdf>. Acesso 
em: 29 mar.2011.
Um objeto pode estar localizado em qualquer dos quatro diedros que terá sua projeção 
horizontal e vertical. A Geometria Descritiva estuda essas projeções nos quatro diedros. Os 
elementos de projeção plano, objeto, observador tem uma ordem diferente em cada diedro 
e em relação a cada plano de projeção. Embora o observador esteja no infinito na projeção 
cilíndrica ortogonal, o mesmo foi colocado na ilustração para que se possa perceber melhor 
a ordem em que cada elemento está. A ordem dos elementos de projeção é a seguinte em 
cada um dos diedros:
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FIGURA 105 – ORDEM DOS ELEMENTOS DE PROJEÇÃO
FONTE: Disponível em: <http://200.195.174.230/Materiais/755_433.pd>. Acesso em: 29 mar. 2011.
Esta representação considera os quatro diedros, podendo ser efetuada em um 
dos quatro. Portanto, há a necessidade da escolha de um dos diedros para definir a sua 
representação. A representação final das projeções não poderá ser um conjunto de planos 
perpendiculares entre si. Desta maneira, os planos devem ser rotacionados de tal maneira 
que todas as imagens projetadas estejam em um mesmo plano. No caso de um objeto estar 
no segundo ou no quarto diedro, haverá uma sobreposição de imagens:
FIGURA 106 – SOBREPOSIÇÃO DAS PROJEÇÕES DOS OBJETOS DO 
SEGUNDO E QUARTO DIEDROS
FONTE: Os autores. 
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No desenho técnico brasileiro, utilizamos o primeiro diedro como base para a construção 
das vistas.
Para que o objeto seja representado sem que haja dúvida sobre suas características, 
são utilizados três planos de projeção. Estes planos são dispostos de maneira ortogonal entre 
si, dois a dois, de maneira semelhante às faces de um cubo. 
FIGURA 107 – MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL
FONTE: Os autores.
As arestas invisíveis devem ser representadas de maneira tracejada, neste caso, as 
arestas horizontais da figura a seguir. Em muitas situações, duas vistas sãonecessárias para 
representar univocamente um objeto. Entretanto, existem casos em que duas representações 
podem não ser suficientes:
FIGURA 108 – PROJEÇÃO DE DOIS OBJETOS DISTINTOS RESULTANDO AS 
MESMAS IMAGENS
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_
M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
Na figura a seguir, as arestas tracejadas são as verticais.
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FIGURA 109 – PROJEÇÃO DE DOIS OBJETOS DISTINTOS RESULTANDO AS 
MESMAS IMAGENS
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm>. 
Acesso em: 20 mar. 2011.
Perceba que as projeções nos dois planos são idênticas entre si. Para garantir que um 
objeto seja representado sem que haja dúvida sobre suas características, são utilizados três 
planos de projeção. Estes planos são dispostos de maneira ortogonal entre si, dois a dois, de 
maneira semelhante às faces de um cubo. 
FIGURA 110 – TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO ORTOGONAIS ENTRE SI
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
Van Hiele (1986) considera importante à visualização, a representação mental, a análise 
dos conceitos, são passos para a formalização do conhecimento. Os modelos reais como 
subsídios têm sido utilizados como recursos didáticos em outras áreas do conhecimento e não 
tem sido diferente nos métodos de representações geométricas para facilitar a compreensão 
tridimensional.
Para a projeção tridimensional, serão indispensáveis três projeções simultâneas de um 
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mesmo objeto com o observador alocado a uma distância infinita de cada um dos planos, nas 
direções dos respectivos vetores normais.
FIGURA 111 – PROJEÇÃO DO OBJETO EM TRÊS PLANOS
FONTE: Os autores. 
 A figura a seguir mostra que com as três vistas, pelo menos uma delas será diferente 
das vistas projetadas do outro objeto. Por isso a importância do terceiro plano.
FIGURA 112 – PROJEÇÃO DE DOIS OBJETOS DISTINTOS RESULTANDO EM PELO 
MENOS UMA IMAGEM DIFERENTE
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm>. 
Acesso em: 29 mar. 2011.
2.1.1 Épura mongeana 
Uma vez que não existe mais dúvida em relação ao objeto projetado, pode-se 
desconsiderar o objeto e utilizar apenas as suas projeções.
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FIGURA 113 – REMOÇÃO DO OBJETO 
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
Para manipular estas representações com facilidade, os planos deverão ser rotacionados 
de tal maneira que as representações fiquem dispostas em um único plano. 
FIGURA 114 – ABERTURA DA ÉPURA 
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
Esta representação das vistas ortográficas em um único plano é denominada épura 
mongeana. As vistas ortográficas são as representações das projeções de um objeto em planos 
distintos, defasados de 90° entre si. Elas são descritas em um único plano denominado épura 
mongeana. As vistas ortográficas podem ser classificadas em: 
• Vistas ortográficas principais.
• Vistas ortográficas auxiliares. 
• Vistas secionais. 
As vistas ortográficas principais são as projeções de um objeto em planos cujos vetores 
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normais coincidam com as direções dos eixos da base do E3. As vistas ortográficas auxiliares 
são projeções em um plano auxiliar que pode ser alocado e rotacionado de maneira conveniente 
para que planos inclinados e oblíquos possam ser representados em sua verdadeira grandeza. 
Os cortes e seções são representações da intersecção de um plano secante com o objeto de 
interesse, exaltando detalhes internos aos objetos.
DIC
AS!
Caro(a) acadêmico(a)! Você poderá visualizar melhor as vistas 
ortográficas passo a passo com animação e interatividade no site: 
<http://www.stefanelli.eng.br/webpage/p-projecoes-ortogonais.
html>. 
2.1.2 As seis vistas principais
Lembrando que foram utilizados três planos de projeção para identificar univocamente 
o objeto, podem ser utilizados outros planos ortogonais entre si, dois a dois, de tal maneira 
que os planos de projeção sejam distribuídos como as faces de um cubo. Estas seis faces 
possuirão seis imagens simultâneas de objeto.
FIGURA 115 – OS SEIS PLANOS DE PROJEÇÃO
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
Para representar as seis vistas, devem-se abrir os planos sob a forma de épura com 
a seguinte distribuição: 
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FIGURA 116 – ABERTURA DA ÉPURA 
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_
M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
A vista que melhor identifica as características do objeto é definida como vista frontal. 
Quando o objeto é observado no aspecto tridimensional, temos à esquerda da vista frontal a 
vista lateral direita. De maneira análoga, os elementos que podem ser observados à direita da 
vista frontal, temos aí a vista lateral esquerda. Quando o objeto for representado por cima, a 
partir da posição frontal, temos a vista superior, localizada abaixo da frontal e analogamente 
a vista inferior, localizada acima da frontal. A sexta vista ortográfica principal é oposta a vista 
frontal e é denominada de vista posterior. Convencionou-se que sua localização seria ao lado 
da vista lateral esquerda.
FIGURA 117 – NOMENCLATURA DAS VISTAS 
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_
M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
A distribuição das vistas ortográficas obtém-se na abertura da épura:
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FIGURA 118 – DISPOSIÇÃO DAS VISTAS PELO PRIMEIRO DIEDRO
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/
DTarq_M3.htm>. Acesso em: 20 mar. 2011.
Um cuidado muito especial dever ser tomado no espaçamento entre as vistas da épura, 
pois, esse espaçamento deve ser o mesmo entre todas as vistas ortográficas principais.
FIGURA 119 – AS SEIS VISTAS ORTOGRÁFICAS PRINCIPAIS
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm>. 
Acesso em: 20 mar. 2011.
No projeto arquitetônico, usamos basicamente as vistas principais que são utilizadas 
no 1˚ diedro, conforme especificam as normas técnicas brasileiras de desenho.
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FIGURA 120 – SEIS FACES PROJETADAS
FONTE: Disponível em: <http://www.rau-tu.unicamp.br/~luharris/DTarq/DTarq_M3.htm>. 
Acesso em: 20 mar. 2011.
Nada mais é que o modo de apresentação e como desenhamos uma projeção no sistema 
mongeano. Com este modo, o desenho de qualquer objeto se resume a alguns segmentos 
de reta.
Cabe salientar aos alunos, novamente, que é importantíssimo entender bem como é 
conseguida a épura, pois a sua leitura fica óbvia quando os conceitos básicos estão entendidos.
A épura vem da rotação do plano horizontal (PH) até se encontrar ao plano vertical (PV). 
Ao ser feito isso, parecerá que temos um único plano, o que facilita muito na hora de desenhar, 
mas que exige cautela na hora de fazer sua leitura.
Obtendo a épura:
Para facilitar a visualização, imaginaremos um ponto P no 1º diedro, com projeção P’ 
no PVS e projeção P’’ no PHA.
3 ÉPURA
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FIGURA 121 – DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL
FONTE: Os autores
Agora faremos a rotação, no sentido horário, do plano horizontal até que ele coincida 
com o plano vertical.
FIGURA 122 – REBATIMENTO DO PH
FONTE: Os autores
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A rotação do plano horizontalde 90o feita acima é conhecida como 
rebatimento.
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Temos, então, a sobreposição de dois planos. Visualizando esta sobreposição de frente, 
fica bem evidente a facilidade de desenhar.
FIGURA 123 – OBTENÇÃO DA ÉPURA
FONTE: Os autores
Onde:
 PH – Plano Horizontal
 PV – Plano Vertical
 PVS – Semiplano Vertical Superior
 PVI – Semiplano Vertical Inferior
 PHA– Semiplano Horizontal Anterior
 PHP – Semiplano Horizontal Posterior
 LT – Linha de Terra
Todos os desenhos das projeções no sistema mongeano serão feitos na épura, que é 
esta última etapa desenhada acima.
Na épura são representadas exclusivamente as projeções de uma 
determinada figura.
O segmento de reta que liga as projeções P’ e P’’ é chamado de linha de chamada e é 
perpendicular à linha de terra.
A linha de Terra em épura pode ser representada por LT ou pelas letras x e y nas suas 
extremidades, mas o usual é colocarmos dois pequenos traços nas extremidades como mostra 
a figura acima.
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4 COTA E AFASTAMENTO
Trabalhar com a projeção na épura é muito vantajoso devido à facilidade de desenhar, 
embora a leitura requeira certo conhecimento e cuidado.
Para dar a localização de um ponto no espaço necessitamos de duas medidas: a cota 
e o afastamento.
Vamos visualizar novamente uma épura com a projeção obtida de um ponto P:
FIGURA 124 – ÉPURA
FONTE: Os autores
A cota do ponto P será a exata distância entre P’’ e a Linha de Terra (LT). Podemos 
pensar como sendo a “altura” do ponto P, ou a distância entre o ponto e o plano horizontal (PH).
O afastamento do ponto P será a exata distância entre P’ e a Linha de terra (LT). 
Podemos pensar como sendo o deslocamento lateral do ponto P, ou a distância entre P e o 
plano vertical (PV).
Para reforçar, Pinheiro (1990, p. 12) explica da seguinte maneira: “a distância de um 
ponto ao plano horizontal (π) de projeção denomina-se cota; a distância de um ponto ao plano 
vertical (π’) de projeção denomina-se afastamento”.
A cota e o afastamento constituem as coordenadas de um ponto, mas não são suficientes 
para a exata localização desse ponto no espaço, pois temos uma infinidade de pontos com a 
mesma cota e afastamento.
 
Precisamos então de mais uma coordenada, a abscissa, que tomamos a partir de um 
ponto marcado arbitrariamente sobre a linha da terra, denotado por 0 (zero), que chamaremos 
de origem do sistema. Quando a abscissa estiver situada à direita da origem ela é positiva, e 
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se estiver à esquerda ela é negativa. 
Observe na figura a seguir a representação da abscissa, da cota e do afastamento no 
sistema mongeano e na épura.
FIGURA 125 – COMPARAÇÃO – SISTEMA MONGEANO X ÉPURA
FONTE: Os autores
Podemos dizer que, no sistema mongeano, a abscissa é a menor distância entre a 
origem (0) é o ponto de intersecção das projeções(I). Na épura é a menor distância entre a 
origem e a linha de chamada.
Assim, um ponto fica definido por três coordenadas: abscissa (a), afastamento (b) e 
cota (c), nessa ordem, P[a, b, c]. 
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Para que você, caro(a) acadêmico(a), possa melhor relembrar os conteúdos 
estudados neste tópico, apresentamos, a seguir, um breve resumo:
	Sistema mongeano: dupla projeção ortogonal, uma projeção com ponto de projeção acima 
do objeto (dando a projeção no plano horizontal PH) e outra com ponto de projeção ao lado 
do objeto (gerando a projeção no plano vertical PV).
	Épura: é obtida através da rotação do Plano Horizontal. É o método mais utilizado por preservar 
todas as informações importantes e por ser muito fácil de desenhar e manipular.
	Linha de terra: é a reta de intersecção entre o PV (plano vertical) e o PH (plano horizontal). 
Também podemos notar sua presença na épura, dividindo esta ao meio.
	Linha de chamada: é o segmento de reta que une as projeções P’ e P’’ de um ponto.
	Cota: é a “altura” de um ponto no espaço. Na épura é a exata distância entre a LT e P’’.
	Afastamento: é a “distância lateral” de um ponto no espaço. Na épura é a distância entre a 
LT e P’.
	Abscissa: é a distância da origem do sistema a intersecção das projeções. Na épura é a 
distância entre a origem e a linha de chamada.
RESUMO DO TÓPICO 3
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É importante que você responda às questões a seguir, COM SUAS PRÓPRIAS 
PALAVRAS, para que você se aproprie das definições que serão usadas nos próximos 
tópicos.
1 Escreva o que você entende por rebatimento.
2 Como você explicaria o que significa:
a) cota:
b) afastamento:
c) abscissa:
3 Faça as projeções do ponto P no PH e PV, e destaque a cota, o afastamento e a 
abscissa na figura a seguir. (você pode usar a técnica de retas paralelas, vista no 
Tópico1, para desenhar as projeções):
4 Faça o rebatimento dos planos da figura da questão 4 para obter a épura, e destaque 
a cota o afastamento e a abscissa.
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5 Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Dada 
a figura a seguir a abscissa, afastamento e cota, são respectivamente:
a) ( ) P(-2,4,-2).
b) ( ) P(2,4,-2).
c) ( ) P(-2,4,2).
d) ( ) P(2,4,2).
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PROJEÇÃO DE UM PONTO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
UNIDADE 2
A projeção de um ponto é bem fácil de aprender e muito importante, porque, se 
imaginarmos toda e qualquer forma geométrica como um conjunto de pontos, bastará generalizar 
a ideia aprendida sobre os pontos e expandir para as outras formas.
É exatamente nisso que nos baseamos ao organizarmos esse material, reforçar bastante 
a projeção de ponto e de reta para que depois o aluno possa “caminhar” sozinho na planificação 
de figuras mais complexas.
Neste tópico daremos a noção exata de como projetar um ponto na épura, mostraremos 
o que acontece com a cota e com o afastamento quando o ponto se encontra nos quatro diedros 
e, por fim, conseguiremos saber o diedro de origem do ponto no espaço apenas observando 
o sinal da cota e do afastamento. Não levaremos em conta a abscissa do ponto, pois ela não 
interfere no sinal da cota e do afastamento.
Quando olhamos a épura, temos que lembrar que o que vimos é a projeção do ponto P 
inicial e não o próprio ponto P. Esta noção, apesar de óbvia, causa muita confusão nos alunos 
mais distraídos.
2 PROJEÇÃO DE UM PONTO NA ÉPURA
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No 1º Diedro
FIGURA 126 – PONTO DO 1° DIEDRO
FONTE: Os autores
Notem que, além da economia de espaço e de informações pouco importantes, podemos 
fazer algumas generalizações sobre a cota e o afastamento obtidos na épura quando o ponto 
se encontra no 1º diedro.
A épura traz a projeção P’ abaixo da LT e a P’’ acima da LT. Contudo, observando o 
ponto no espaço, sabemos que tanto a cota quanto o afastamento são positivos. 
Concluímos, então, que, quando a cota (distância entre P’’ e LT) está acima da LT, terá 
um valor positivo. E quando o afastamento (distância de P’ e LT) está abaixo da LT, terá um 
valor positivo.
Para reforçar: Para ter valor positivo, a cota tem que aparecer acima 
da LT e o afastamento abaixo.
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FIGURA 127 – PONTO DO 2° DIEDRO
FONTE: Os autores
Notem que, ao “girarmos” o plano horizontal, a projeção P’ do ponto P vai parar acima 
da LT. Porém, ela ainda indica o afastamento e, com isso, concluímos que, quando o ponto 
está no segundo diedro, tanto a cota comoo afastamento aparecem acima da LT na épura.
Vale lembrar que a cota é positiva (está aparecendo acima da LT) e o afastamento é 
negativo (está acima da LT e é para baixo que ele é positivo).
No 3º diedro
FIGURA 128 – PONTO NO 3° DIEDRO
FONTE: Os autores 
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Notem que a cota aparece abaixo da LT e o afastamento acima. Isso indica que ambos 
os valores são negativos, uma vez que estão localizados numa posição contrária à que ocorre 
com o ponto do 1º diedro.
No 4º diedro
FIGURA 129 – PONTO NO 4° DIEDRO
FONTE: Os autores
A épura nos mostra as duas medidas abaixo da LT, o que nos indica que o afastamento 
é positivo e a cota, negativa.
Exemplos
1) Construa a épura de um ponto P [1, 5, -3].
 
Solução: Sabemos que o 1 é a abscissa, 5 é o afastamento e -3 é a cota. Afastamento 
positivo e cota negativa nos dão um ponto no 4º diedro (ver quadro resumo). A épura do 4º 
diedro tem ambas as medidas a seguir da LT, logo:
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Imagine o ponto do espaço e a rotação dos planos. Faça a construção 
em outra folha e depois compare os resultados.
2) Determine as coordenadas do ponto representado na épura a seguir:
Solução: Com o uso de uma régua graduada, medimos que a origem (0) está a 1,5cm 
da linha da chamada. Portanto, a abscissa mede 1,5cm. Como a linha de chamada está à 
esquerda da origem, temos abscissa negativa.
 
Medimos que P’ está a 2cm acima da LT, que P’’ está 4cm abaixo, P’ representa o 
afastamento e P’’ a cota. Temos o afastamento acima da LT e a cota abaixo da LT. Isso indica 
que ambas as medidas são negativas e o ponto se encontra no 4º diedro.
 
Portanto: P [-1,5; -2; -4].
3) Determine o diedro que se encontra o ponto P [3, -8, 7]
Solução: Sabemos que o 3 é a abscissa, -8 é o afastamento e 7 é a cota. Como o 
afastamento é negativo e a cota é positiva, então, o ponto P pertence ao segundo diedro (ver 
quadro resumo).
Para sabermos em qual diedro está um ponto, não precisamos da abscissa, 
basta que tenhamos o valor da cota e do afastamento.
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3 PROJEÇÃO DE UM PONTO 
 PERTENCENTE AO PLANO NA ÉPURA
Até o presente momento, tratamos apenas dos pontos que estão localizados em um 
dos quatro diedros. Mas, um ponto pode pertencer a alguns dos planos: PHA, PHP, PVS, PVI, 
ou até mesmo a intersecção dos planos que chamamos de linha da terra (LT).
3.1 PONTO PERTENCENTE 
 AO PLANO HORIzONTAL
Todos os pontos de cota nula pertencem ao plano horizontal, que pode ser PHA ou PHP.
Caro estudante, como você está familiarizado com o sistema mongeano e com a épura, 
faremos a representação dos pontos P ∈ PHA e Q ∈ PHP na mesma figura
FIGURA 130 – PONTO NO PH
FONTE: Os autores
Notem que, após o rebatimento, a projeção P’ ≅ P vai parar abaixo da LT, e a projeção 
P’’ permanece sobre a LT. Podemos observar que a cota é nula, pois está em cima da linha da 
terra e o afastamento é positivo, pois está abaixo da linha da terra.
Já a projeção Q’ ≅ Q fica acima da LT, e a projeção Q’’ permanece sobre a LT. E podemos 
dizer que a cota é nula, pois está em cima da linha da terra e o afastamento é negativo, pois 
está acima da linha da terra.
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3.2 PONTO PERTENCENTE AO PLANO VERTICAL
Todos os pontos de afastamento nulo pertencem ao plano vertical, que pode ser PVS 
ou PVI.
Veja agora, a representação dos pontos P ∈ PVS e Q ∈ PVI, no sistema mongeano e 
na épura.
FIGURA 131 – PONTO NO PV
FONTE: Os autores
Notem que, após o rebatimento, a projeção P’’ ≅ P fica acima da LT, e a projeção P’ 
permanece sobre a LT. Logo o afastamento é nulo, pois está em cima da linha da terra e a cota 
é positiva, pois está acima da linha da terra.
Já a projeção Q’’ ≅ Q vai parar abaixo da LT, e a projeção Q’ permanece sobre a LT. 
E podemos dizer que o afastamento é nulo, pois está em acima da linha da terra e a cota é 
negativa, pois está abaixo da linha da terra.
3.3 PONTO PERTENCENTE A LINHA DA TERRA
Todos os pontos de cota nula e afastamento nulo pertencem à linha da terra, e suas 
projeções coincidem.
Observe a figura em que P ∈ LT:
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FIGURA 132 – PONTO NA LT
FONTE: Os autores
Após o rebatimento as projeções P’ e P’’ ficam sobre a linha da terra, veja o resumo 
no quadro, a seguir.
1º 
Diedro
2º 
Diedro
3º 
Diedro
4º 
Diedro
PHA PHP PVS PVI LT
Afastamento +
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
-
Acima 
LT
+
Abaixo 
LT
+
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
0 0 0
Cota +
Acima 
LT
+
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
-
Abaixo 
LT
0 0 +
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
0
QUADRO 1 – RESUMO
FONTE: Os autores
LEITURA COMPLEMENTAR
GASPARD MONGE (1746-1818)
Howard Eves
Monge fez seus estudos básicos em escolas oratorianas, primeiro em Beaunne, sua 
cidade natal, depois em Lyon, onde, aos dezesseis anos de idade, tornou-se instrutor de física. 
Uma planta de sua cidade natal, em escala apreciavelmente grande, elaborada com notável 
perícia, abriu-lhe as portas de escola militar de Mézières como desenhista. Tendo de desenhar 
a planta de um forte com os canhões em lugares a serem determinados por certos dados 
experimentais, Monge contornou o tedioso procedimento aritmético da época, substituindo-o por 
um outro, geométrico, mais rápido. Seu método, que consistia em inteligentemente representar 
objetos tridimensionais por meio de projeções convenientes sobre um plano bidimensional, 
foi adotado pelos militares e considerado segredo absoluto. Posteriormente, veio a se tornar 
matéria amplamente ensinada com o nome de geometria descritiva. Em 1768, Monge chegava 
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a professor de Matemática e, em 1771, a professor de Física da mesma escola militar. Em 
1780, foi designado para a cátedra de hidráulica do Liceu de Paris.
FIGURA – GASPARD MONGE
FONTE: Disponível em: <http://www-groups.dcs.st-and.
ac.uk/~history/Mathematicians/Monge.html>. Acesso 
em: 29 maio 2008.
Monge foi ministro da marinha e, como tal, engajou-se na tarefa de produzir armas e 
munições para armada. Foi o maior responsável, junto ao Diretório, pela criação da Escola 
Politécnica, da qual se tornou professor. Ganhou o afeto e a admiração calorosos de Napoleão, 
a quem acompanhou, juntamente com o matemático Joseph Fourier (1768-1830), à malfadada 
expedição de 1798 ao Egito. No retorno à França, reassumiu suas funções na Escola Politécnica, 
na qual sempre se mostrou um professor singularmente brilhante. Suas aulas serviram de 
inspiração a uma série de grandes geômetras, entre eles Charles Dupin (1784-1873) e Jean 
Victor Poncelet (1788-1867), o primeiro responsável por contribuições de vulto ao campo da 
geometria diferencial e o segundo ao da geometria projetiva.
Considera-se ainda que Monge, além de criador da Geometria Descritiva, seja também 
o pai da geometria diferencial.
FONTE: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 
Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. p. 489 – 490.
UNIDADE 2TÓPICO 4142
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Neste tópico, estudamos que:
	Conseguir projetar um ponto é um grande passo para projetar qualquer objeto, uma vez que 
qualquer objeto é formado por infinitos pontos.
	No 1º diedro a cota e o afastamento são positivos, na épura a cota aparece acima da LT e o 
afastamento abaixo.
	No 2º diedro a cota é positiva e o afastamento é negativo, na épura ambos aparecem acima 
da LT.
	No 3º diedro a cota e o afastamento são negativos, na épura o afastamento aparece acima 
da LT e a cota abaixo.
	No 4º diedro a cota é negativa com o afastamento positivo, a cota e o afastamento aparecem 
na épura abaixo da LT.
Quadro de resumo:RESUMO DO TÓPICO 4
1º 
Diedro
2º 
Diedro
3º 
Diedro
4º 
Diedro
PHA PHP PVS PVI LT
Afastamento +
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
-
Acima 
LT
+
Abaixo 
LT
+
Abaixo 
LT
-
Acima 
LT
0 0 0
Cota +
Acima 
LT
+
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
-
Abaixo 
LT
0 0 +
Acima 
LT
-
Abaixo 
LT
0
Quando a cota é nula o ponto pertence ao plano horizontal, e o afastamento é positivo 
se estiver abaixo da LT e negativo se estiver acima da LT.
Quando o afastamento é nulo o ponto pertence ao plano vertical, e a cota é positiva se 
estiver acima da LT e negativa se estiver abaixo da LT.
Quando a cota e o afastamento são nulos o ponto pertence a linha da terra.
UNIDADE 2 TÓPICO 4 143
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1 Determine o diedro que se encontra cada um dos pontos:
a) A[0,-3, 12]
b) B[5,13, 2]
c) C[-1,-6, -1]
d) D[2,5, -4]
2 Desenhe a épura dos pontos a seguir, considerando que todos tem abscissa nula:
a) cota = 2, afastamento = -3
b) cota = 4, afastamento = 5
c) cota = -1, afastamento = -6
d) cota = -4, afastamento = 5
e) cota = 0, afastamento = 2,5
f) cota = -1,2; afastamento = 0
g) cota = 0; afastamento = 0
3 Com o auxílio de uma régua graduada, determine a cota, o afastamento e o diedro 
dos pontos representados nas épuras a seguir:
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a)
b)
UNIDADE 2TÓPICO 4144
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c)
d)
e)
4 Represente em Épura as situações a seguir:
a) Ponto no 1º diedro 
b) Ponto no 2º diedro
UNIDADE 2 TÓPICO 4 145
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c) Ponto no 3º diedro
d) Ponto no 4º diedro
e) Ponto no Plano Vertical Superior
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f) Ponto no Plano Vertical Inferior
g) Ponto no Plano Horizontal Superior
h) Ponto no Plano Horizontal Inferior
UNIDADE 2 TÓPICO 4 147
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i) Ponto na Linha de Terra
UNIDADE 2TÓPICO 4148
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AVAL
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 2, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade.
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UNIDADE 3
PROJEÇÕES DE RETAS, VERDADEIRA 
GRANDEzA E POLÍGONOS NA ÉPURA
OBJETIVOS DE APRENDIzAGEM
 A partir do estudo da presente Unidade, o(a) acadêmico (a) 
estará apto a:
 • projetar retas na épura e identificar sua localização no espaço;
 • identificar e nomear os diferentes tipos de retas em relação à 
sua posição em relação ao plano;
 • definir e encontrar a Verdadeira Grandeza dos segmentos;
 • projetar um polígono na épura.
PLANO DE ESTUDOS
 Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada 
um deles, você encontrará exercícios e desafios que o ajudarão a 
compreender toda a Unidade. 
TÓPICO 1 – PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS EM 
RELAÇÃO A UM DOS PLANOS
TÓPICO 2 – SEGMENTOS OBLÍqUOS AOS DOIS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
TÓPICO 3 – VERDADEIRA GRANDEzA
TÓPICO 4 – PROJEÇÕES DE POLÍGONOS
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Desde o início do Caderno de Estudos, você está adquirindo conhecimentos para que 
consiga desenhar e entender desenhos tridimensionais projetados em épura.
Evidentemente, a quantidade de conceitos não presentes nesse compêndio é gigantesca, 
mas os que existem são suficientes para que você consiga estudar sozinho e sanar suas dúvidas.
O que você deveria entender é que não importa a forma do objeto no mundo 
tridimensional. O objeto terá sempre apenas três dimensões. Cada parte do objeto pode ser 
pensada como uma figura num plano. Esta figura, por sua vez, pode ser pensada como a união 
de várias retas e sabemos que uma reta é a união de infinitos pontos.
Claro que não ficaremos projetando infinitas retas para formar um objeto, muito menos 
infinitos pontos. Para projetar um objeto, projetamos os segmentos que “contornam” o objeto.
É para isto que estudaremos agora. Veremos como projetar retas nas mais variadas 
posições no plano de dupla projeção ortogonal e representaremos as mesmas na épura.
PROJEÇÃO DE RETAS PARALELAS 
EM RELAÇÃO A UM DOS PLANOS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 3
2 IDEIAS BÁSICAS
Já foi visto anteriormente que uma reta é a união de infinitos pontos, embora 
necessitemos de apenas dois para definir exatamente a reta. É nessa pequena necessidade 
que nos basearemos para projetar a reta, pois a projeção de um ponto pertencente a qualquer 
UNIDADE 3TÓPICO 1152
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reta faz parte da projeção dessa reta.
Em outras palavras, para projetar uma reta, basta projetar dois pontos dessa reta e 
traçar, pelos pontos projetados, as retas projetadas (uma projetada no PH e outra no PV).
3 PROJETANDO SEGMENTOS PARALELOS
Projetaremos segmentos de reta, que nada mais são que partes finitas de uma reta, 
embora seja sabido que, ao desenharmos um segmento, praticamente desenhamos a ideia 
da sua reta suporte. Por esse motivo, as definições vistas para segmentos, neste tópico e no 
tópico 2, estendem-se às retas.
UNI
Reta suporte é a reta que contém o segmento
3.1 SEGMENTO PARALELO AOS DOIS PLANOS
Dado um segmento AB no 1º Diedro, paralelo ao PV (Plano Vertical) e ao PH (Plano 
Horizontal). Temos a seguinte projeção, usando os planos ortogonais:
FIGURA 133 – SEGMENTO PARALELO
FONTE: Os autores
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Essa dupla projeção ortogonal nos dará a seguinte épura:
FIGURA 134 – ÉPURA DO SEGMENTO PARALELO
FONTE: Os autores
Este tipo de segmento é o mais fácil de ser projetado na épura, pois ambas as projeções 
dão a verdadeira grandeza (VG) do segmento.
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UTU
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Verdadeira Grandeza (VG) é o real tamanho do segmento. Estudaremos 
como definir a VG de um segmento, posteriormente.
Notem que o segmento A’’B’’ e o segmento A’B’, são projeções do segmento original AB. 
O interessante é que conseguimos a projeção do segmento sem nos preocuparmos com este, 
apenas projetamos os seus pontos extremos A e B da mesma forma feita na unidade passada.
Usaremos esta tática para todos os segmentos, reduzindo, com isso, a sua projeção a 
uma projeção simultânea de dois pontos.
Para projetar um segmento, projetamos seus pontos extremos como 
visto na unidade anterior.
Cabe salientar, ainda, que as retas que tenham as duas projeções na épura, paralelas 
à linha de terra, podem ser chamadas de reta paralela à linha de terra ou ainda reta fronto-
horizontal.
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3.2 SEGMENTO PERPENDICULAR 
 A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Veja o segmento AB e suas projeções representadas na dupla projeção ortogonal abaixo.
FIGURA 135 – SEGMENTO PERPENDICULAR AO PH
FONTE: Os autores
Usamos o símbolo: ≅ para indicar a coincidência entre os pontos
Vale chamar atenção do aluno para que perceba que o segmento AB é perpendicular 
ao PH, fazendo com que a projeção dos pontos extremos A e B no PH coincidam.
Na épura teremos a situação descrita da seguinte forma:
FIGURA 136 – ÉPURA DO SEGMENTO PERPENDICULAR AO PH
FONTE: Os autores
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Como o segmento AB é perpendicular ao PH, ele aparece na épura sempre como 
descrito na figura anterior e podemos destacar algumas características:
Se o segmento é perpendicular ao PH, então, ele é paralelo ao PV. Com isso, a projeção 
A’’B’’ tem o mesmo tamanho de AB, ou seja, representa a VG de AB.
O afastamento e a abscissa são idênticos para todos os pontos do segmento AB, por 
isso A’ e B’ são pontos coincidentes na épura. A reta que tenha essas características também 
é conhecida por reta vertical.
Caso o segmento seja perpendicular aoPV, então as características são similares, 
embora tenhamos que fazer ajustes nas generalizações finais.
Para uma melhor absorção dos conceitos faremos a projeção e a épura também 
para esse caso, embora tenhamos a certeza de que, com algum esforço, o aluno já tenha a 
capacidade de imaginar o que irá acontecer.
Plano de dupla projeção ortogonal:
FIGURA 137 – SEGMENTO PERPENDICULAR AO PV
FONTE: Os autores
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Na épura:
FIGURA 138 – ÉPURA DO SEGMENTO PERPENDICULAR AO PV
FONTE: Os autores
Como o segmento AB é perpendicular ao PV, temos que ele é paralelo ao PH.
A projeção no PH mostra a VG do segmento AB. Esta projeção é o segmento A’B’ na 
épura.
A cota e a abscissa de todos os pontos do segmento AB são as mesmas, por isso, as 
projeções A’’ e B’’ são coincidentes.
A reta com estas características pode ser chamada de reta de topo.
3.3 SEGMENTO PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
Quando temos certeza de que um segmento AB é paralelo a um dos planos, não 
podemos afirmar muito em relação ao outro plano, porque o segmento pode ser paralelo, 
perpendicular ou oblíquo.
Já houve casos de ele ser paralelo aos dois planos e de ser paralelo a um e perpendicular 
ao outro. Então, ater-nos-emos a mostrar a projeção de um segmento paralelo a um plano e 
oblíquo ao outro.
Começaremos com o segmento paralelo ao PH. Na dupla projeção ortogonal teremos:
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FIGURA 139 – SEGMENTO PARALELO AO PH
FONTE: Os autores
Na épura:
FIGURA 140 – ÉPURA SEGMENTO PARALELO AO PH
FONTE : Os autores
Observando a projeção desse segmento paralelo ao PH e oblíquo ao PV, podemos 
notar a presença de algumas características.
A mais relevante é o fato de que a projeção no PH representa a VG do segmento AB. 
Na épura, essa projeção é o segmento A’B’.
A cota dos pontos de AB são as mesmas, por isso o segmento A’’B’’ na épura aparece 
paralelo a LT.
O ângulo entre a reta suporte do segmento A’B’ e a LT da épura é o mesmo que o ângulo 
formado entre a reta suporte do segmento AB e o PV.
Esta reta recebe o nome de reta horizontal.
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Analisando agora um segmento AB paralelo ao PV e oblíquo ao PH. No plano de dupla 
projeção ortogonal tal segmento terá a seguinte forma:
FIGURA 141 – SEGMENTO PARALELO AO PV
FONTE: Os autores
Na Épura
FIGURA 142 – ÉPURA DE SEGMENTO PARALELO AO PV
FONTE: Os autores
Características observadas nas projeções:
A projeção do plano vertical tem a VG do segmento AB. Na épura, esta projeção, bem 
como a VG, aparecem no segmento A’’B’’.
Como o afastamento é igual em todos os pontos do segmento AB, o segmento A’B’, na 
épura, é paralelo a LT.
O ângulo formado pela reta suporte do segmento A’’B’’ e a LT na épura é o mesmo que 
o ângulo formado entre a reta suporte do segmento AB e o PH.
É dado o nome de reta frontal ou reta de frente às retas que tenham estas características.
Exemplos
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1) Represente no sistema mongeano e na épura as projeções do segmento de reta AB 
de extremos A [1, 2, 3] e B [3, 2, 3].
Solução: no sistema mongeano. Basta desenhar os planos perpendiculares, fazer as 
marcações da abscissa, afastamento e cota dos pontos A e B, e unir esses pontos.
FIGURA 143 – EXEMPLO 1 – SIST. MONGEANO
FONTE: Os autores
Solução: na épura. Você pode fazer as projeções da reta nos planos perpendiculares 
e depois fazer o rebatimento. Ou simplesmente localizar os pontos na épura conforme visto 
no exemplo do Tópico 4 da Unidade 2, e unir esses pontos.
FIGURA 144 – EXEMPLO 1 – ÉPURA
FONTE: Os autores
Observações:
1ª) Como os pontos A e B têm afastamento e cotas iguais, ambas as projeções dão a 
verdadeira grandeza (VG) da reta.
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2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta fronto-horizontal, pois é paralela 
aos dois planos, ou porque tem abscissas diferentes e afastamentos e cotas iguais.
2) Represente na épura o segmento de reta AB de extremos A [1, 1, 3] e B [3, 2, 3].
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Qualquer dúvida com relação ao sinal do afastamento ou da cota, 
consulte o quadro de sinais no final do Tópico 4, da Unidade 2.
Solução: O ponto A [1, 1, 3] tem afastamento (1) abaixo da LT e cota (3) acima da LT.
O ponto B [3, 2, 3] tem afastamento (2) abaixo da LT e cota (3) acima da LT.
FIGURA 145 – EXEMPLO 2 – ÉPURA
FONTE: Os autores
Observações:
1ª) Como os pontos A e B têm cotas iguais, então, a projeção A’’B’’ representa a VG e 
é paralelo a LT.
2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta horizontal, pois é paralela ao 
plano horizontal, ou porque tem abscissas e afastamentos diferente e cotas iguais.
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A seguir, apresentamos de maneira resumida os assuntos tratados no presente 
Tópico. Leia-os e estará contribuindo para a fixação dos mesmos.
	Para projetar um segmento de reta, basta fazermos as projeções de seus pontos extremos 
e depois uni-los.
	Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas diferentes e afastamentos e cotas 
iguais, então, o segmento é paralelo aos dois planos de projeção em que se projeta a VG.
	Se os pontos extremos de um segmento têm cotas diferentes e abscissas e afastamentos 
iguais, então, o segmento é perpendicular ao PH e paralelo ao PV em que é projetada a VG 
do segmento.
	Se os pontos extremos de um segmento têm afastamentos diferentes e cotas e abscissas 
iguais, então, o segmento é perpendicular ao PV e paralelo ao PH em que é projetada a VG 
do segmento.
	Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas e afastamentos diferentes e cotas 
iguais, então, o segmento é paralelo ao PH em que é projetada a VG.
	Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas e cotas diferentes e afastamentos 
iguais, então, o segmento é paralelo ao PV em que é projetada a VG.
RESUMO DO TÓPICO 1
UNIDADE 3TÓPICO 1162
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1 Cite o dado a uma reta que possui o afastamento e a cota constantes.
2 Dê as características de uma reta vertical.
3 Dê as características de uma reta topo.
4 Dê as características de uma reta frontal.
5 Apresente as características de uma reta horizontal.
6 Represente no sistema mongeano o segmento de reta AB de extremos A [0, 2, -3] e 
B [2, -1, 4].
7 Represente na épura os segmentos de extremos: 
a) A [0, 2, 3] e B [5,2, 3]
b) C [1, 3, 4] e D [1, 3, 2]
c) E [2, 1, 4] e F [2, 2, 4]
d) G [0, 2, 3] e H [2, 4, 3]
e) I [0, 3, 2] e J [1, 3, 3]
8 Como podemos chamar a reta suporte de cada um dos segmentos da questão 7.
9 Represente em épura as situações a seguir:
a) Reta Oblíqua aos dois planos - Reta Qualquer
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b) Reta Paralela ao PH e Oblíqua ao PV - Reta Horizontal
c) Reta Paralela ao PV e Oblíqua ao PH - Reta Frontal
d) Reta Paralela aos dois planos - Reta Fronto-Horizontal
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e) Reta Perpendicular ao PH - Reta Vertical
f) Reta Perpendicular ao PV - Reta Topo
g) Reta Perpendicular à Linha de Terra - Reta de Perfil
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SEGMENTOS OBLÍqUOS AOS DOIS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 3
No tópico passado, já vimos como projetar um segmento de reta. Não mudará nada 
agora, pois faremos a projeção do mesmo jeito. Colocamos os segmentos oblíquos em um 
tópico separado para que o leitor consiga identificar que a projeção dos segmentos oblíquos 
não têm a Verdadeira Grandeza (VG).
Quando o segmento de reta é oblíquo aos dois planos(PV e PH), em relação à Linha 
de Terra (LT) ele poderá ser oblíquo ou ortogonal.
2 SEGMENTO ORTOGONAL A LT.
Observaremos, primeiramente, o caso em que o segmento AB é oblíquo em relação 
aos planos PH e PV, e ortogonal em relação a LT.
Uma reta é dita Ortogonal a outra se forem reversas e formarem um 
ângulo de 90º.
UNIDADE 3TÓPICO 2166
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FIGURA 146 – SEGMENTO ORTOGONAL A LT
FONTE: Os autores
Na épura
FIGURA 147 – ÉPURA DO SEGMENTO ORTOGONAL A LT
FONTE: Os autores
Nenhuma das projeções A’B’ ou A’’B’’ tem a VG do segmento AB.
As duas projeções, tanto no PH quanto no PV, são perpendiculares à LT. Isso acontece 
porque todos os pontos do segmento AB têm a mesma abscissa e afastamento e cota diferente.
A reta que tem essas características é chamada de reta de perfil.
Exemplo: Represente na épura o segmento de reta AB de extremos A [1, 2, 3] e B [1, 3, 2].
Solução: O ponto A [1, 2, 3] tem afastamento (2) abaixo da LT e cota (3) acima da LT.
O ponto B [1, 3, 2] tem afastamento (3) abaixo da LT e cota (2) acima da LT.
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FIGURA 148 – EXEMPLO 1 – ÉPURA
FONTE: Os autores
Observações:
1ª) Como os pontos A e B têm abscissas iguais e afastamentos e cotas diferentes, 
então, os segmentos projetados A’B’ e A’’B’’ não representam a VG.
2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta perfil, pois é ortogonal à LT, ou 
porque tem abscissas iguais e afastamentos e cotas diferentes.
3 SEGMENTO OBLÍqUO A LT
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Uma reta é oblíqua à outra se ambas forem reversas e não formarem 
um ângulo de 90º.
FIGURA 149 – SEGMENTO OBLÍQUO A LT
FONTE: Os autores
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Na épura:
FIGURA 150 – ÉPURA DO SEGMENTO OBLÍQUO A LT
FONTE: Os autores
Nenhum dos segmentos que aparecem na épura tem a VG do segmento AB. 
As duas projeções, tanto no PH quanto no PV, não são perpendiculares a LT. Isso 
acontece porque todos os pontos do segmento AB têm abscissa, afastamento e cota diferente.
A reta que tem essas características é chamada de reta qualquer ou reta genérica.
Exemplo: Represente na épura o segmento de reta AB de extremos A [1, 1, 2] e B [2, 2, 3].
Solução: O ponto A [1, 1, 2] tem afastamento (1) abaixo da LT e cota (2) acima da LT.
O ponto B [2, 2, 3] tem afastamento abaixo (2) da LT e cota (3) acima da LT.
FIGURA 151 – EXEMPLO DE ÉPURA DE RETA QUALQUER
FONTE: Os autores
Observações:
1ª) Como os pontos A e B têm abscissas, afastamento e cotas diferentes, então, os 
segmentos projetados A’B’ e A’’B’’ não representam a VG.
2ª) A reta que passa pelos pontos A e B chama-se reta qualquer, pois é oblíqua a LT, ou 
porque tem abscissas, afastamento e cotas diferentes.
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Neste tópico, estudamos vários pontos referentes aos segmentos oblíquos aos 
dois planos de projeção, os quais apresentamos, resumidamente, a seguir, para que 
você, caro(a) acadêmico(a), possa fixá-los melhor:
	Se os pontos extremos de um segmento têm abscissas iguais e afastamentos e cotas 
diferentes, então, o segmento é ortogonal à LT, suas projeções são perpendiculares a LT e 
não apresentam a VG.
	Se os pontos extremos de um segmento possuem abscissas, afastamentos e cotas diferentes, 
então, o segmento é oblíquo à LT, suas projeções não são perpendiculares à LT e não 
apresentam a VG.
RESUMO DO TÓPICO 2
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1 Apresente as características de uma reta perfil.
2 Apresente as características de uma reta qualquer.
3 Represente na épura os segmentos de extremos:
a) A[1, 3, 4] e B[1,2, 3]
b) C[-1, 3, 4] e D[-1, 2,3]
c) E[1, 1, 4] e F[2, 2, 3]
d) G[1, 2, 3] e H[-2, 4, 5]
4 Explique como podemos chamar a reta suporte de cada um dos segmentos da 
questão 3.
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VERDADEIRA GRANDEzA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 3
A Verdadeira Grandeza (VG) de um segmento de reta é o seu real tamanho. Como você 
já viu nos tópicos anteriores, nem sempre as projeções ficam do mesmo tamanho do que o 
segmento original. Na verdade, para a projeção ficar com o mesmo tamanho, o segmento tem 
que estar em determinadas posições em relação aos planos de projeção.
Nada disso é novidade para vocês. Contudo, no Tópico 2 desta Unidade, lidamos com 
segmentos cujas projeções não apresentam a VG do segmento original. Por motivos óbvios, 
é evidente que ter pelo menos uma das projeções mostrando a VG do segmento original é 
muitíssimo benéfico.
O que mostraremos neste tópico é o que fazer para conseguir a VG de segmentos 
projetados como os do Tópico 2 que, primeiramente, não nos dão projeções que mostram a VG.
2 VG DE UM SEGMENTO 
 CONTIDO NUMA RETA DE PERFIL
Não esqueçam de que este tipo de reta foi vista e explicada no Tópico 2 desta Unidade. 
Naquele momento, vimos que nenhuma das projeções do segmento conservava a VG grandeza 
do segmento original. Contudo, sabíamos que o segmento inicial era ortogonal à LT (Linha de 
Terra).
Sabendo disso, para conseguir a VG do segmento, basta “criar” um plano ortogonal à 
LT e aos planos de projeção. Este plano será, evidentemente, paralelo ao segmento. Como 
sabemos que planos paralelos têm projeções com VG, solucionaremos o nosso problema.
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Para facilitar a compreensão das frases escritas acima, faremos um esquema mostrando 
tal fato.
Começamos com a projeção de um segmento AB contido numa reta de perfil, como 
visto no tópico passado:
FIGURA 152 – VG DO SEGMENTO CONTÍDO NUMA RETA PERFIL
FONTE: Os autores
Agora, ao invés de fazermos a épura normalmente a partir das projeções no PV e no 
PH, criamos um terceiro plano ortogonal à LT, ao PH e ao PV
FIGURA 153 – PLANO PERFIL (PP)
FONTE: Os autores
Este Plano é chamado de Plano de Perfil (PP).
Observando só o 1º diedro dos três planos ortogonais entre si, teremos:
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FIGURA 154 – PROJEÇÃO NO PP
FONTE: Os autores
Para construir a épura, primeiramente fazemos o que estamos acostumados, ou seja, 
rebatemos o PH “para baixo”. Em seguida, rebatemos o PP “para trás”. Teremos, então, uma 
épura com duas LT.
FIGURA 155 – OBTENÇÃO DA ÉPURA REBATENDO PH, PV E PP
FONTE: Os autores
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Com essa simples medida nós conseguimos uma projeção A’’’B’’’ com a VG do segmento 
AB, que era o nosso objetivo inicial.
Podemos construir a épura de um segmento contido numa reta perfil com a VG sem 
representá-la no sistema mongeano. Para isso, teremos que utilizar compasso e as técnicas de 
construção de retas paralelas com esquadros, conforme estudado no Tópico 3, da Unidade1.
Observe a seguinte situação: Construir a épura com a VG do segmento projetado na 
épura a seguir:
FIGURA 156 – ÉPURA DO SEGMENTO CONTIDO NUMA RETA PERFIL
FONTE: Os autores
1º Passo: Trace duas retas r e s paralelas à LT, passando por B’’ e A’’.
FIGURA 157 – 1° PASSO – VG DO SEGMENTO DE RETA PERFIL
FONTE: Os autores
2º passo: Projete o segmento A’B’ na reta r, colocando a ponta seca do compasso em 
B’’ e a outra ponta em A’ e, em seguida, a ponta seca em B’’ e a outra ponta em B’. O resultado 
dessa operação foi o segmento CB’’’.
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FIGURA 158 – 2° PASSO – VG DO SEGMENTO DE RETA PERFIL
FONTE: Os autores
3º passo: Construir o segmento CA’’’ paralelo e congruente a A’’B’’.
FIGURA 159 – 3° PASSO – VG DO SEGMENTO DE RETA PERFIL
FONTE: Os autores
4º PASSO: Traçar o segmento de extremos A’’’B’’’ que apresenta a VG.
FIGURA 160 – 4° PASSO – VG DO SEGMENTO DE RETAPERFIL
FONTE: Os autores
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Observe que construímos a épura com a VG, sem precisar da nova LT.
3 VG DE UM SEGMENTO CONTIDO 
 NUMA RETA qUALqUER
Vimos, no Tópico 2 desta unidade, que uma reta qualquer é oblíqua aos dois planos 
de projeção e também a LT.
Consequentemente, nenhuma projeção conserva a VG do segmento real. Para conseguir 
visualizar uma projeção com a VG, fixamos um dos planos (o PV ou o PH) e rotacionamos o 
outro, mantendo sempre a ortogonalidade entre ambos, até que este plano fique paralelo ao 
segmento.
Como sabemos, uma vez tendo o plano paralelo, teremos uma projeção com a VG 
garantida. Os desenhos facilitarão a compreensão:
Essa é a projeção de um segmento AB, contido numa reta qualquer:
FIGURA 161 – PROJEÇÃO DE UMA RETA QUALQUER
FONTE: Os autores
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Agora, rotacionamos um dos planos, até que ele fique paralelo ao segmento, sempre 
mantendo a ortogonalidade entre o PV e o PH.
FIGURA 162 – ROTAÇÃO DO PH
FONTE: Os autores
Abandonando o PH (Plano de Projeção Horizontal inicial) e adotando como “novo” PH 
o PH’ (Plano de Projeção Horizontal rotacionado), teremos o seguinte:
FIGURA 163 – “NOVO” PH PARA SISTEMA ORTOGONAL
FONTE: Os autores
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Observando o que aconteceu na perspectiva de épura:
FIGURA 164 – ÉPURA ANTES E DEPOIS DA ROTAÇÃO
FONTE: Os autores
Comparando as duas épuras:
FIGURA 165 – VISÃO CONJUNTA
FONTE: Os autores
E, finalmente, a “nova” épura:
FIGURA 166 – ÉPURA ROTACIONADA 
FONTE: Os autores
Antes: (sem PH’) Depois: (com o PH’)
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1º passo: Traçar duas retas r e s paralelas a LT, passando por A’ e B’’.
FIGURA 168 – OBTENÇÃO DA VG DO SEGMENTO QUALQUER – 1° 
PASSO
FONTE: Os autores
2º passo: Projetar o segmento A’B’ na reta r, colocando a ponta seca em A’ e a outra 
ponta em B’, gerando o segmento CA’ paralelo a LT.
Notem que os afastamentos dos pontos A e B não mudam com a rotação. O que muda 
são as cotas apenas, que igualam entre si. 
Se tivéssemos optado por rotacionar o PV ao invés do PH quem permaneceria eram as 
cotas, e igualaríamos os afastamentos. Porém a teoria e o jeito de fazer são similares.
Veremos como construir a épura de um segmento contido numa reta qualquer com a 
VG sem representá-lo no sistema mongeano. Para isso, teremos que utilizar o compasso e as 
técnicas de construção de retas paralelas com esquadros, estudadas no Tópico 3 da Unidade1.
Observe a seguinte situação: Construir a épura com a VG do segmento projetado na 
épura a seguir.
FIGURA 167 – OBTENÇÃO DA VG DO SEGMENTO QUALQUER 
FONTE: Os autores
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FIGURA 170 – OBTENÇÃO DA VG DO SEGMENTO QUALQUER – 3° 
PASSO
FONTE: Os autores
4º Passo: Traçar o segmento de extremos DA’’ que apresenta a VG.
FIGURA 171 – OBTENÇÃO DA VG DO SEGMENTO QUALQUER – 4° 
PASSO
FONTE: Os autores
FIGURA 169 – OBTENÇÃO DA VH DO SEGMENTO QUALQUER – 2° 
PASSO
FONTE: Os autores
3º passo: Trace um segmento CD paralelo a B’B’’ começando em C até a reta s.
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Neste tópico, estudamos vários pontos referentes à verdadeira grandeza, os quais 
apresentamos, resumidamente, a seguir, para que você, caro(a) acadêmico(a), possa 
fixá-lo melhor:
	Plano Perfil é um plano ortogonal a LT, ao PH e ao PV.
	Para obter a VG de uma reta perfil, basta projetá-la no PP.
	Para obter a VG de uma reta qualquer, basta rotacionarmos um dos planos (PH ou PV) até 
que ele fique paralelo ao segmento.
RESUMO DO TÓPICO 3
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1 Localize o segmento de extremos A [1, 3, 4] e B [1,2, 3], no sistema mongeano e 
faça sua projeção no plano perfil (PP).
2 Localize o segmento de extremos A [1, 1, 4] e B [2, 2, 3], no sistema mongeano e 
faça sua projeção no plano rotacionado (PH ou PV).
3 Construa a épura com a VG de cada um dos segmentos de extremos:
a) A [1, 3, 4] e B [1,2, 3]
b) C [-1, 3, 4] e D [-1, 2,3]
c) E [1, 1, 4] e F [2, 2, 3]
d) G [1, 2, 3] e H [-2, 4, 5]
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PROJEÇÃO DE POLÍGONOS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
UNIDADE 3
Consideraremos que você já sabe perfeitamente o que é um polígono e que esteja 
habituado com suas nomenclaturas.
Veremos dois casos: polígono paralelo a um dos planos de projeção e ortogonal aos 
dois planos.
Projetar um polígono nada mais é que projetar os vértices desse polígono. Sempre 
tentaremos projetar os polígonos mostrando uma projeção que tenha todos os lados, mantendo 
a VG, para conseguir ter uma noção correta do polígono.
2 POLÍGONO PARALELO A UM DOS PLANOS
É o caso mais fácil, pois em um dos planos de projeção o triângulo aparecerá com as 
projeções de todos os seus lados, mantendo suas VGs. Essa informação já é trivial para nós, 
porque nos tópicos anteriores vimos várias vezes que um plano paralelo “recebe” projeção de 
segmento mantendo a VG.
Vale lembrar que um polígono será paralelo a um plano α quando o plano que contém 
esse polígono é paralelo ao plano α. Esta afirmação é reforçada pela definição de planos 
paralelos feitos por Príncipe Junior (1977, p. 147): “dois planos são paralelos quando um deles 
contiver duas retas concorrentes, paralelas ao outro”.
Temos dois casos: o polígono pode ser paralelo ao PH (1º caso) ou paralelo ao PV (2º 
caso).
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2.1 1º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PH
O polígono será paralelo ao PH quando todos os pontos pertencentes a este polígono 
tiverem cotas iguais.
Observe o seguinte exemplo:
FIGURA 172 – POLÍGONO PARALELO AO PH
FONTE: Os autores
Para verificar se um polígono é paralelo ao PH, basta verificar se as 
cotas dos vértices são iguais.
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Na épura teremos:
FIGURA 173 – ÉPURA DO POLÍGONO PARALELO AO PH
FONTE: Os autores
Como o triângulo é paralelo ao PH, todos os pontos do triângulo têm a mesma cota, o 
que, na épura, aparece como um segmento (acima da LT). E, abaixo da LT, teremos o triângulo, 
mantendo a VG de seus lados.
2.2 2º CASO – POLÍGONO PARALELO AO PV
O polígono será paralelo ao PV quando todos os pontos pertencentes ao polígono 
tiverem afastamentos iguais.
Observe o seguinte exemplo:
FIGURA 174 – POLÍGONO PARALELO AO PV
FONTE: Os autores
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Para verificar se um polígono é paralelo ao PV, basta verificar se o 
afastamento dos vértices é igual.
Na épura teremos:
FIGURA 175 – ÉPURA DO POLÍGONO PARALELO AO PV
FONTE: Os autores
Como o triângulo é paralelo ao PV, todos os pontos do triângulo têm o mesmo 
afastamento o que na épura aparece como um segmento (abaixo da LT). E acima da LT teremos 
o triângulo mantendo a VG de seus lados.
3 POLÍGONO ORTOGONAL 
 AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
O polígono será ortogonal aos planos PV e PH quando todos os pontos pertencentes 
ao polígono tiverem abscissas iguais.
Visualmente, no sistema de dupla projeção ortogonal, teremos o seguinte caso:
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FIGURA 176 – POLÍGONO ORTOGONAL AO PV E AO PH
FONTE: Os autores
Para verificar se um polígono é ortogonal aos PV e OH basta verificar se 
a abscissa dos vértices são iguais.
Na representação na épura temos:
FIGURA 177 – ÉPURA DO PLÍGONO ORTOGONAL AOS PLANOS
FONTE: Os autores
É nítida a faltade visualização do triângulo nessa épura. Faremos o que para sanar 
esse problema? O mesmo que fizemos para visualizar a VG da reta de perfil, criaremos um 
plano ortogonal ao PH e ao PV (que por consequência será paralelo ao polígono). Com isso, 
obteremos a épura:
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FIGURA 178 – INSERÇÃO DO PP
FONTE: Os autores
FIGURA 179 – ÉPURA DA PROJEÇÃO COM TRÊS PLANOS
FONTE: Os autores
Com o plano auxiliar ortogonal ao PH e ao PV, temos a projeção do triângulo, mostrando 
a VG dos seus lados originais.
Observe os seguintes exemplos:
1) Construa a épura do triângulo ABC de vértices A [1, 2, 3], B [3, 2, 4] e C [2, 2, 3].
Solução: Como os três vértices possuem o mesmo afastamento (2), podemos dizer que 
o triângulo é paralelo ao PV, o que, na épura, aparece como um segmento (abaixo da LT), e 
acima da LT teremos o triângulo, mantendo a VG de seus lados.
Portanto, basta localizar cada vértice na épura e uni-los.
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FIGURA 180 – EXEMPLO DE TRIÂNGULO PARALELO AO PV
FONTE: Os autores
Qualquer dúvida com relação ao sinal do afastamento ou da cota, consulte 
o quadro de sinais no final do Tópico 4, da Unidade 2.
1) Construa a épura com a VG do triângulo ABC de vértices A [1, 3, 6], B [1, 4, 5] e C 
[1, 3, 4].
Solução: Como os três vértices possuem a mesma abscissa (1), podemos dizer 
que o triângulo é ORTOGONAL aos PV e PH, e que, na épura, aparecem como segmentos 
perpendiculares à LT.
FIGURA 181 – EXEMPLO DE ÉPURA COM SEGMENTO ORTOGONAL
FONTE: Os autores
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É sabido que, se o polígono for oblíquo, precisamos projetá-lo no PP para obter a VG 
no sistema mongeano, mas na épura podemos obter a VG fazendo apenas as operações do 
Tópico 3, item 2, dessa Unidade, como veremos a seguir.
1º passo: Trace uma reta r paralela à LT, passando por B’’.
FIGURA 182 – VG DO TRIÂNGULO ORTOGONAL – 1° PASSO
FONTE: Os autores
2º passo: Projete o segmento A’B’ em r, que dará origem ao segmento DB’’’.
FIGURA 183 – VG DO TRIÂNGULO ORTOGONAL – 2° PASSO
FONTE: Os autores
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3º passo: Leve o segmento A’’C” até D, que dará origem ao segmento A’’’C’’’.
FIGURA 184 – VG DO TRIÂNGULO ORTOGONAL – 3° PASSO
FONTE: Os autores
4º passo: Basta ligar os pontos A’’’, B’’’ e C’’’ e você terá a épura com a VG 
(∆A’’’B’’’C’’’).
FIGURA 185 – VG DO TRIÂNGULO ORTOGONAL – 4° PASSO
FONTE: Os autores
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LEITURA COMPLEMENTAR
MOSAICOS E ORIGAMI: A ANTIGA ARTE DE DOBRADURA DE PAPEL 
MOSTRA COMO SE ACHATA UM CILINDRO
Ian Stewart
O origami, que em japonês significa a arte da dobradura de papel, 
guarda numerosas relações com a matemática. Examinaremos neste 
texto suas contribuições para a teoria dos mosaicos e para a inteligência 
mecânica.
Tibor Tarnai, da Universidade de Budapeste, estudou um fenômeno 
que os engenheiros se esforçam para compreender - o esmagamento das 
estruturas: toda obra submetida a forças excessivas se deforma ou se 
rompe. Quando observado em folhas finas de metal, é particularmente 
interessante, pois essas peças têm uma resistência considerável, apesar 
de sua massa frágil. A mais conhecida é a lata de alumínio para bebidas, 
uma obra-prima da produção industrial.
Quando um cilindro de metal é comprimido seguindo seu eixo 
– ou seja, quando o movimento obedece a ele e é feito em seu sentido 
–, ele permanece cilíndrico até que as forças atinjam um valor crítico, a 
carga de esmagamento. E então ele é achatado de uma só vez. Durante 
a realização de experiências de laboratório, todavia, é possível limitar a 
deformação, por exemplo, a ajustar um cilindro um pouco menor do que 
aquele que está sendo testado em seu interior. Dessa forma, analisam-se 
as primeiras etapas do processo.
O esmagamento gera uma soberba estrutura simétrica, composta de losangos, que 
se assemelha bastante às figuras que obtemos ao dobrar uma folha de papel em triângulos e 
A Estrutura de Yoshimura corresponde ao modo principal de 
achatamento de um cilindro.
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enrolá-la como um cilindro. O papel se deforma, então, como ocorre com uma folha de metal.
O primeiro tipo de deformação é chamado de estrutura de Yoshimura (ver ilustração 
abaixo). Obtém-se tal estrutura pavimentando-se um plano com triângulos isósceles (formando 
o que chamamos, aqui, de mosaicos), todos planos, ou seja, não deformados.
Podem outras pavimentações do plano ser dobradas do mesmo modo? Sabemos há 
muito tempo que existem exatamente três tipos de mosaicos (ou pavimentações) regulares e 
uniformes. “Regular” significa que as peças são todas polígonos regulares idênticos; “uniformes” 
quer dizer que as combinações das peças são idênticas a cada vértice. Os mosaicos regulares 
e uniformes são compostos de triângulos equiláteros, de quadrados ou de hexágonos.
Mosaicos Semirregulares
Em 1850, o matemático suíço Ludwig Schläfli demonstrou que existem, além dos 
regulares, oito tipos uniformes e “semirregulares”, nos quais todas as peças são polígonos 
regulares, mas não necessariamente idênticos. Designamos essas peças pelo símbolo de 
Schläfli, que assinala a natureza das peças ao redor de cada vértice. Por exemplo, a colméia 
é assinalada (6³), quer dizer, seis triângulos equiláteros em cada vértice, e (44), ou seja, quatro 
quadrados.
Os mosaicos uniformes semirregulares (ver sequência de figuras) são: (34.6), (3³.4²), 
(3².4.3.4), (3.4.6.4), (3.6.3.6), (3.12²), (4.6.12) e (4.8²). O mosaico (3.4.6.4), por exemplo, tem, 
em cada vértice, um triângulo equilátero, um quadrado, um hexágono e um outro quadrado. Na 
estrutura de Yoshimura, a peça não é um polígono regular (os triângulos deveriam ser equiláteros 
e não isósceles), e não deveria, portanto, estar na lista. Ela corresponderia à fórmula (36).
Quais estruturas podem ser dobradas no sentido das arestas de polígonos, de modo 
que as faces poligonais permaneçam planas? É possível dobrar uma estrutura 44 no sentido 
de suas linhas horizontais, ou das verticais, sem que as peças quadradas se deformem. Em 
contrapartida, isso não pode ser feito com uma estrutura 44 no sentido das linhas horizontais 
e verticais, pois as peças se curvam.
Em 1989, Koryo Miura demonstrou que nenhum mosaico no qual três arestas se cruzam 
num vértice pode ser dobrado, o que elimina as possibilidades (6³), (3.12²), (4.6.12) e (4.8²). 
Acontece o mesmo com os mosaicos (34.6) e (3.4.6.4), nos quais as faces poligonais não 
permanecem planas. Linhas atravessam os mosaicos (3.6.3.6) e (44), que podem ser dobrados 
no sentido dessas linhas, mas, ainda desta vez, os resultados são pouco interessantes.
Só restam, então, os mosaicos (36), (3³.4²) e (3².4.3.4), que não só podem ser dobrados, 
como enrolados em cilindro, como a estrutura de Yoshimura. Esses três mosaicos devem 
merecer a atenção dos engenheiros. Eles podem ser dobrados de várias maneiras. A figura 
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2 mostra quatro maneiras de dobrar o mosaico (3².4.3.4); os segmentos negros indicam as 
dobras em relevo, e os pontilhados, as dobras em cruz. A mesma figura mostra os respectivos 
cilindros vincados.
A estrutura das linhas de dobradura se repete na totalidade do plano. Os paralelogramos 
coloridos da figura 2 indicam a unidade básica. A menor unidade básica possível (em vermelho) 
tem uma superfície igual a dois quadrados e três triângulos. Um desses quadrados é dividido em 
duas partes que daria um quadrado se as bordas opostas da unidade básica fossem coladas. 
É o único motivo de dobradura possível, cuja unidade básica contém dois quadrados.
A segundaunidade básica (em verde) contém quatro quadrados e supõe-se também 
que ela seja a única dobradura com essa particularidade. A terceira (em azul) contém seis 
quadrados; há várias dobraduras desse tipo, e deixo aos leitores a possibilidade de encontrar 
outras. A última (em laranja) contém oito quadrados, e há novamente várias dobraduras desse 
tipo. Deixo também aos leitores a possibilidade de encontrar as que correspondam a (36) e (3³.4²).
Como ocorre na estrutura de Yoshimura, determinadas dobraduras assemelham-se à 
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superfície obtida pelo achatamento de um cilindro real. Além disso, o achatamento pode ser 
simulado por computador; basta fazer como se as peças planas do mosaico sejam ligadas por um 
material elástico. Os resultados são úteis tanto em arquitetura como em inteligência mecânica. 
É sempre animador ver como a matemática reconcilia uma arte antiga com a modernidade.
FONTE: Extraído e adaptado de: STEWART, Ian. Mosaicos e origami. Scientific american. São Paulo, 
Ed. especial: Etnomatemática, n. 11, p. 78-79. 
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Para uma melhor fixação dos conteúdos tratados, apresentamos, para você, 
caro(a) acadêmico(a), um breve resumo:
	Para projetar um polígono, basta projetar os vértices desse polígono e ligá-los.
	Se os vértices de um polígono têm cotas iguais, então, esse polígono é paralelo ao PH em 
que é projetada a VG do polígono.
	Se os vértices de um polígono têm afastamentos iguais, então, esse polígono é paralelo ao 
PV em que é projetada a VG do polígono.
	Se os vértices de um polígono têm abscissas iguais, então, esse polígono é ortogonal aos 
planos PH e PV, e sua VG fica projetada no PP.
RESUMO DO TÓPICO 4
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1 Pesquise em livros de matemática do ensino médio ou na internet e dê:
a) a definição de polígono;
b) cinco exemplos diferentes de polígonos.
2 Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo:
a) ( ) Podemos ter um polígono paralelo ao PH e paralelo ao PV.
b) ( ) Existe como desenhar um polígono perpendicular ao PV e oblíquo ao PH.
c) ( ) Sempre que o polígono é paralelo a LT ele será paralelo a um dos planos de 
projeção.
d) ( ) Se todos os segmentos pertencentes a um polígono são ortogonais a um plano 
então esse polígono é ortogonal a esse plano.
e) ( ) Há casos de polígonos oblíquos aos planos de projeção que produzem, em um 
deles, a projeção com a VG.
3 Construa a épura dos triângulos de vértices relacionados abaixo e depois consiga 
suas VG:
a) A (0,2,3); B (0,2,5) e C (0,4,4)
b) A (-1,3,3); B (8,3,4) e C (-6,3,10)
c) A (-1,-1,6); B (3,6,6) e C (-7,3,6)
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Prezado acadêmico, agora que chegamos ao final da 
Unidade 3, você deverá fazer a Avaliação.
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