Desenvolvimento Da Mente Matemática I - Coletânea Montessori

Prévia do material em texto

Matemática Preparatória
M A T E M Á T I C A I
D E S E N V O L V I M E N T O D A M E N T E
Centro de Pesquisa e Capacitação Mario M. Montessori
T A L I T A D E A L M E I D A
C O L E T Â N E A M O N T E S S O R I
ABEM
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
PESQUISADORA DOS TEXTOS
Talita de Almeida
ILUSTRADORAS
Débora Figueiredo Corsino 
Talita de Almeida
CAPA
Cassio Siqueira
REVISÃO
Rosane Rabello
DIGITAÇÃO/DIAGRAMAÇÃO 
Luiz Antonio Ignacio da Costa
PRODUÇÃO
Edneide Deodato
Material Descontínuo (Conhecimento Físico dos Objetos)
Material Contínuo (Blocos Operativos - Descoberta da Lógica
e Números em Cores - Cuisinaire)
Exploração do Espaço (Topologia)
Exploração dos Objetos (Conjuntos)
Primeiros Gráficos Práticos
Da Equipotência ao Número
 Numerais e seus Símbolos
 Símbolos para os Cardinais (Símbolos Sociais de Grupo-Clan)
 Simbolismo para os Cardinais (Simbolismo Universal)
©
 P
RE
SE
N
CE
 E
di
to
ra
 
 
 
5ª
 E
di
çã
o 
20
18
DESENVOLVIMENTO DA MENTE
M AT E M Á T I C A I
C O L E T Â N E A M O N T E S S O R I
Centro de Pesquisa e Capacitação Mario M. Montessori
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
• Presidenta da ABEM - Associação Brasileira de 
Educação Montessoriana, que se expressa no 
exterior como BMS - Brazilian Montessori Society.
• Professora Especializado em Educação de 6 a 
12 anos - Curso Internacional de Bergamo - 
Itália - Certificado AMI Associação Montessori 
Internacional/Holanda.
• Professora Especializada em Educação 
de 12 a 18 anos - Escola Secundária Montessori. Certificado Centro Internacional 
Maria Montessori - Perugia/Itália. Prof. Luciano Mazzetti.
• Professora de Ensino Médio - MEC/ BR.
• Professora Especializada em Educação Pré- Escolar SEE/RJ/BR.
• Membro Fundador da AIE/RJ/BR - Academia Internacional de Educação.
• Membro Fundador da OMB - Organização Montessori do Brasil/BR.
• Membro Fundador do Montessori & Associados/BR.
• Autora e Editora de Literatura Especializada Montessoriana para Formação 
de Professores.
• Consultora e Capacitadora em Educação Montessori.
• Conferencista Internacional.
©PRESENCE Editora
• CNPJ 68.743.970/0001-10 Inscrição Municipal: 01.449.109 • Inscrição Estadual: 77.197.940 Pça. José de 
Alencar, no 8 - Flamengo - Rio de Janeiro, RJ - 22230-020 Brasil
Tel.: (21) 3477-1663 /(21) 2267-9050 /(21) 98202-8429/(21) 99855-4259
E-mail: montessoripresenceedit@hotmail.com
Site: www.montessoribrasil.com.br
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
DEDICATÓRIA
Ao Colégio Constructor Sui Campus Montessori.
Dedico este manual à escola que criei há 40 anos e que 
nela coloquei meus sonhos de adolescência. 
Por que esta dedicatória a uma escola?
Porque seu texto, que não é só meu e sim uma adaptação 
de cursos de formação, expressa um texto que vai do simples ao 
complexo, da construção à abstração, exatamente como a vida 
faz: constrói e reconstrói, em movimento contínuo.
Desejo que este conteúdo se some à Aritmética Montessori 
de forma harmônica, exatamente como um casal de bailarinos 
que executa sua dança com técnica, sabedoria e transmitindo 
profunda emoção.
TALITA DE ALMEIDA 
Educadora Montessori Internacional
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
S U M Á R I O 
 
I D A D E S 
2 3 4 5 6 
II APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
 
1 
MANIPULAÇÃO DO MATERIAL 
DESCONTÍNUO 
Conhecimento Físico dos Objetos 
 
5 
MANIPULAÇÃO DO MATERIAL CONTÍNUO 
Descoberta da Lógica - Blocos Operativos 
 
21 
MANIPULAÇÃO DO MATERIAL CONTÍNUIO 
Números em Cores - Material Cuisinaire 
 
31 
EXPLORAÇÃO DO ESPAÇO - 
Topologia 
 
45 
EXPLORAÇÃO DOS OBJETOS - 
Conjuntos 
 
81 PRIMEIROS GRÁFICOS PRÁTICOS 
 
87 DA EQUIPOTÊNCIA AO NÚMERO 
 
93 NUMERAIS E SEUS SÍMBOLOS 
 
99 
SÍMBOLOS PARA CARDINAIS 
Símbolos Sociais de Grupo (Clan) 
 
105 SÍMBOLOS PARA OS CARDINAIS 
Simbolismo Universal 
 
109 BIBLIOGRAFIA BAÁSICA 
 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
Verso em branco 
Verso em branco 
APRESENTAÇÃO 
Matemática... a ciência que intriga a todos desde a mais tenra história da humanidade. 
Presente no cotidiano de todos os povos. 
Por isso, impossível falar dessa ciência sem conhecer o trabalho dos nossos antepassados... 
Este manual apresenta em seu conteúdo um caminho feito pelos nossos antepassados partindo 
da correspondência entre as pedrinhas e as ovelhas até a construção e representação dos 
números. 
Ao tratar o assunto “Manipulação do material descontínuo” a criança terá a oportunidade de 
manipulação de um material que visa, principalmente, à descoberta da propriedade pela qual é 
possível analisar, ordenar, classificar, confrontar. O professor encontrará nas orientações para 
o trabalho com esse material além das três fases de abordagens, as atividades que ajudarão a 
criança a desenvolver o vocabulário matemático básico por meio das classificações e prepará-
la para o trabalho com conjuntos e exploração sensorialmente dos materiais. 
A Matemática I introduz também a Manipulação do Material contínuo com o qual a criança 
descobrirá a lógica por meio de vários materiais indicados. 
Continuando com a proposta da educação do pensar o Manual enumera várias outras atividades 
que vão desde a exploração do espaço e dos objetos e os primeiros gráficos práticos. 
Com o desenvolvimento gradual do conceito de número que vai se formando, a criança constrói 
a ideia do numeral até expressar os números através de sinais criados por ela e finalmente 
chegar a conquista dos símbolos universais. 
A abrangência e a profundidade do tratamento dado aos assuntos permitem ao professor a 
possibilidade de mostrar que os números e suas quantidades representadas são fruto de um 
longo caminho percorrido pelos que vieram antes de nós. 
 
 Maria das Graças Soares e Silva 
Capacitadora em Educação Montessori com curso de formação de 
professores Montessori ministrado pela OMB e Meca (Organização 
Montessori do Brasil e Montessori Education Corporation 
Association). 
 
I 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
Verso em branco
 
APRESENTAÇÃO 
A Matemática geralmente é apresentada como algo que não nos pertence. No entanto, ela 
deve fazer sentido e ser observada e vivenciada no cotidiano. Afinal, a Matemática é dinâmica. 
Nas obras de Montessori é notável sua defesa em prol da autonomia da criança. Ela sempre 
acreditou no interesse da criança e no seu impulso à ação e à liberdade de escolha. Quando a 
criança exercita sua liberdade, ela se torna construtora de seu próprio conhecimento. 
Para uma criança pequena, tudo é experimento, ela é ousada na exploração de um mundo 
em que tudo é novidade, ela vivencia cada experiência com muito entusiasmo. Ela naturalmente 
explora os objetos concretos, tenta alcançar, apalpar e vai construindo de uma maneira informal a 
ideia de número, forma e medida. 
Neste sentido este manual procura realçar o valor do caminho percorrido na construção do 
conceito intuído pela relação entre as quantidades implícitas, objetivando a intuição e abstração 
do pensamento lógico matemático tornando o conhecimento mais claro e perceptível. 
As noções de Topologia são trabalhadas como separação, ordem, sucessão, fechamento e 
continuidade, apresentando um caminho de localização no espaço. 
A noção espacial e as relações topológicas são fundamentais no processo de organização e 
classificação dos objetos familiares evidenciando suas propriedades que permitirá a criançainterpretar e compreender os objetos do mundo físico. 
No Manual de Matemática Preparatória são apresentados materiais como Material 
Descontínuo que objetiva ordenar, classificar e confrontar explorando a variedade dos elementos 
encontrados. Material Contínuo estruturado que propõe estruturas lógicas da mente. 
A Exploração do Espaço Topológico, a Exploração da noção de Conjuntos, a Noção de 
Gráficos e a Aquisição do conceito de Número e Numeral são apresentados através de 
informação conceitual concreta e exercícios práticos que desafiam e reforçam o conteúdo 
estudado desenvolvendo atividades com o corpo favorecendo uma variedade de vocabulário 
matemático tais como discriminar, mensurar os elementos encontrados, associando a atividade 
mental a exercícios musculares favorecendo o desenvolvimento do raciocínio lógico e a 
concretização do uso de símbolos numéricos para a representação de quantidades. 
Zenize Santos. 
Capacitadora e ministrante de oficinas e disciplinas de Educação 
Montessori com curso de Formação de Professores Montessori ministrado 
pela ABEM (Associação Brasileira de Educação Montessoriana). 
Certificado de Reconhecimento de Formação Montessoriana Internacional 
(Participante ABEM, FACSA e professioniste montessoriani - Itália). 
Especialista em Gestão Educacional (Faculdade Metodista Grambery). 
Especialista em Educação Montessori (6 a 9 anos), (Faculdade America 
do Sul). Especialista em Educação Montessori (0 a 6anos), (Faculdade 
Santo Agostinho - FACSA). Matemática Avançada Montessorina (9 a 14 
anos), (Colégio Montessori Rainha da Paz. Licenciada em Letras-inglês 
(Faculdade Estácio de Sá). 
 
III
APRESENTAÇÃO 
A Matemática geralmente é apresentada como algo que não nos pertence. No entanto, ela 
deve fazer sentido e ser observada e vivenciada no cotidiano. Afinal, a Matemática é dinâmica. 
Nas obras de Montessori é notável sua defesa em prol da autonomia da criança. Ela sempre 
acreditou no interesse da criança e no seu impulso à ação e à liberdade de escolha. Quando a 
criança exercita sua liberdade, ela se torna construtora de seu próprio conhecimento. 
Para uma criança pequena, tudo é experimento, ela é ousada na exploração de um mundo 
em que tudo é novidade, ela vivencia cada experiência com muito entusiasmo. Ela naturalmente 
explora os objetos concretos, tenta alcançar, apalpar e vai construindo de uma maneira informal a 
ideia de número, forma e medida. 
Neste sentido este manual procura realçar o valor do caminho percorrido na construção do 
conceito intuído pela relação entre as quantidades implícitas, objetivando a intuição e abstração 
do pensamento lógico matemático tornando o conhecimento mais claro e perceptível. 
As noções de Topologia são trabalhadas como separação, ordem, sucessão, fechamento e 
continuidade, apresentando um caminho de localização no espaço. 
A noção espacial e as relações topológicas são fundamentais no processo de organização e 
classificação dos objetos familiares evidenciando suas propriedades que permitirá a criança 
interpretar e compreender os objetos do mundo físico. 
No Manual de Matemática Preparatória são apresentados materiais como Material 
Descontínuo que objetiva ordenar, classificar e confrontar explorando a variedade dos elementos 
encontrados. Material Contínuo estruturado que propõe estruturas lógicas da mente. 
A Exploração do Espaço Topológico, a Exploração da noção de Conjuntos, a Noção de 
Gráficos e a Aquisição do conceito de Número e Numeral são apresentados através de 
informação conceitual concreta e exercícios práticos que desafiam e reforçam o conteúdo 
estudado desenvolvendo atividades com o corpo favorecendo uma variedade de vocabulário 
matemático tais como discriminar, mensurar os elementos encontrados, associando a atividade 
mental a exercícios musculares favorecendo o desenvolvimento do raciocínio lógico e a 
concretização do uso de símbolos numéricos para a representação de quantidades. 
Zenize Santos. 
Capacitadora e ministrante de oficinas e disciplinas de Educação 
Montessori com curso de Formação de Professores Montessori ministrado 
pela ABEM (Associação Brasileira de Educação Montessoriana). 
Certificado de Reconhecimento de Formação Montessoriana Internacional 
(Participante ABEM, FACSA e professioniste montessoriani - Itália). 
Especialista em Gestão Educacional (Faculdade Metodista Grambery). 
Especialista em Educação Montessori (6 a 9 anos), (Faculdade America 
do Sul). Especialista em Educação Montessori (0 a 6anos), (Faculdade 
Santo Agostinho - FACSA). Matemática Avançada Montessorina (9 a 14 
anos), (Colégio Montessori Rainha da Paz. Licenciada em Letras-inglês 
(Faculdade Estácio de Sá). 
 
III
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
Verso em branco
1
MANIPULAÇÃO DO MATERIAL DESCONTÍNUO 
CONHECIMENTO FÍSICO DOS OBJETOS 
INTRODUÇÃO: 
Entende-se por Material Descontínuo todo o material sistematizado; é um 
material heterogêneo que não foi construído com o propósito preciso de alcançar um 
determinado fim. 
São considerados materiais descontínuos: bolinhas, chapinhas, tampas de 
vidros, recolhidos informalmente entre as crianças. É claro que se evitará usar esta 
nomenclatura - descontínuo - com as crianças. Para elas serão sempre: chapinhas, 
tampas e outros. 
O material polivalente deve ser usado tal qual é encontrado nas salas de aula ou 
em ambientes domésticos, podendo, a qualquer momento, ser substituído por outro 
totalmente diverso, pois os objetivos não mudarão. Trata-se, simplesmente, de um 
conjunto de objetos quaisquer, que podem variar em forma, dimensão, cor, matéria e 
estão sujeitos à observação e à manipulação. 
APRESENTAÇÃO: 
A manipulação do material descontínuo visa, principalmente, à descoberta da 
propriedade pela qual é possível ordenar, classificar, confrontar. 
A apresentação passa por três fases: 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
2
1ª fase: Coleta do Material 
O professor pede às crianças que busquem objetos conhecidos no ambiente; 
coloca um tapete no chão e começa a recolher o material coletado pelas crianças ou 
trazido por ele mesmo. Todo material é colocado sobre o tapete e manipulado pelas 
crianças, para que elas comecem a perceber suas características, explicitando-as. 
2ª fase: Análise do Material Coletado 
Todo o material coletado é analisado e discutido. São evidenciadas suas 
qualidades: forma, peso, tamanho, espessura, cor, utilidade, matéria prima, além de 
seus nomes. 
Comparando os objetos entre si, o professor, com os alunos, ressalta suas 
diferenças e características comuns. 
3ª fase: Seleção do Material 
Analisados os objetos, o professor passa à terceira etapa que será reunir todo o 
material em caixas, a partir de características comuns. 
Caso não tenham caixas disponíveis, pode-se separar todo o material em uma 
bandeja, sugerindo que, no dia seguinte, as crianças tragam caixas de casa. 
Estando de posse de caixas forradas em papel seda, contact ou tecido, o 
professor refaz o exercício anterior, isto é, refaz a análise dos objetos: 
• Dar um nome a cada objeto; 
• definir suas qualidades; 
• ressaltar as diferenças/semelhanças entre eles. 
A partir de agora, o professor pode pedir que sejam reordenados os objetos 
segundo características próprias como: cor, tamanho, forma, peso e assim por diante. 
Esses objetos selecionados são agrupados em caixas, de acordo com a 
característica destacada. Na parte externa da caixa, o professor coloca um cartãozinho 
com uma palavra ou desenho que defina o seu conteúdo: “pedras”, “plástico”, 
“madeira” e que quase se constitui, como um Jogo Intuitivo do Nome / Substantivo. 
3
EXERCÍCIOS: 
Várias atividades podem decorrer deste trabalho, como, por exemplo: 
• Reclassificar os objetos de uma determinada caixa, considerando 
 características diferentes da destacada na lª classificação.Exemplo: Considerar as cores ou formas de objetos que foram classificados 
por utilidade. 
• Recolher todo e qualquer material descontínuo no ambiente, nomeando-o e 
caracterizando-o. 
• Tecer considerações sobre os vários objetos dispostos no ambiente: 
– Para que servem; 
– De que material são formados. 
• Ordenar objetos segundo o tamanho, do maior para o menor. 
• Reordenar do menor para o maior. 
• Indicar as diferenças mais flagrantes entre os objetos. 
• Indicar as semelhanças entre os objetos. 
• Classificar os objetos segundo: cores, dimensões, matéria prima, destinação 
(para meninos ou para meninas). 
• Dispor objetos homogêneos: 
– Segundo o tamanho: do maior ao menor ou vice-versa ou pela gradação: do 
mais claro ao mais escuro ou vice-versa. 
• Recolher vegetais no ambiente, qualificando-os. 
• Recolher objetos que tenham ponta. 
• Recolher garrafinhas, caixas, objetos de uso pessoal. 
CONTROLE DO ERRO: 
 Na seleção do material, no professor e no aluno. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
4
IDADE: 
A partir dos 2 anos, quando a criança já pode começar a fazer coleta de 
material. 
OBJETIVOS DIRETOS: 
• Descobrir a propriedade pela qual é possível analisar, confrontar, ordenar e 
classificar 
• Desenvolver o vocabulário matemático básico por meio das classificações. 
OBJETIVOS INDIRETOS: 
• Preparar para o trabalho com conjuntos. 
• Explorar sensorialmente os materiais. 
OBSERVAÇÃO: 
Este trabalho com o material descontínuo é muitas vezes confundido com o 
trabalho com a Caixa de contagem. A diferença entre ambos está no próprio 
objetivo; enquanto que com a Caixa de contagem o que importa é a 
quantidade de elementos que a compõe, nas caixas com material descontínuo 
o que interessa são as variedades dos elementos. 
5
MANIPULAÇÃO DO MATERIAL CONTÍNUO 
BLOCOS OPERATIVOS - DESCOBERTA DA LÓGICA 
INTRODUÇÃO: 
 A partir do momento em que as crianças já são capazes de comparar para 
estabelecer relações e classificar, o fato de ordenar com base em critérios pré-
determinados não trará maiores dificuldades para elas. 
 Pode-se passar, agora, para um material que já foi construído com o objetivo 
bem preciso e que é definido como contínuo ou estruturado, pois permite o 
reconhecimento por meio do exercício com as estruturas lógicas da mente. 
 O raciocínio lógico, aristotélico, foi considerado durante muito tempo como 
ciência filosófica, mas hoje é considerado uma ciência matemática, justamente pelo 
fato da sua linguagem desenvolver todo o raciocínio matemático. A introdução à 
Lógica na Educação Infantil tem como objetivo uma mudança da “situação de 
ensinar” para a “situação de aprender”, exigindo do professor uma mudança de 
atitude e de mentalidade, a fim de que a criança alcance o desenvolvimento do seu 
pensamento lógico e das suas estruturas mentais. 
 As cores, as formas e as dimensões são propriedades, atributos, que se referem 
a objetos, constituindo-se o material-base das experiências matemáticas. Como são 
atributos de simples percepção pelas crianças, os relacionamentos lógicos entre esses 
atributos são facilmente identificados, desde que exercícios sejam convenientemente 
escolhidos e adaptados ao estágio de desenvolvimento da criança. 
 
MATERIAL: 
• Blocos Operativos ou Blocos Lógicos - compostos de 48 peças ou placas que 
variam em: cor, forma, tamanho e espessura, devendo haver 1 caixa para 
cada grupo de 4 ou 5 alunos. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
6
As quatro variáveis, por sua vez, possuem os seguintes valores: 
• cor - azul, amarelo, vermelho 
• forma - quadrado, triângulo, círculo e retângulos 
• tamanho - grande, pequeno 
• espessura - grosso, fino 
Cada peça do conjunto possui quatro atributos que deverão ser reconhecidos e 
nomeados pelas crianças. As peças lógicas são: 
• quadrado grande grosso vermelho • quadrado grande grosso amarelo 
• triângulo grande grosso vermelho • triângulo grande grosso amarelo 
• retângulo grande grosso vermelho • retângulo grande grosso amarelo 
• círculo grande grosso vermelho • círculo grande grosso amarelo 
• quadrado grande fino amarelo • quadrado pequeno grosso azul 
• triângulo grande fino amarelo • triângulo pequeno grosso azul 
• retângulo grande fino amarelo • retângulo pequeno grosso azul 
• círculo grande fino amarelo • círculo pequeno grosso azul 
• quadrado pequeno fino vermelho • quadrado pequeno fino amarelo 
• triângulo pequeno fino vermelho • triângulo pequeno fino amarelo 
• retângulo pequeno fino vermelho • retângulo pequeno fino amarelo 
• círculo pequeno fino vermelho • círculo pequeno fino amarelo 
• quadrado grande grosso azul • quadrado grande fino vermelho 
• triângulo grande grosso azul • triângulo grande fino vermelho 
• retângulo grande grosso azul • retângulo grande fino vermelho 
• círculo grande grosso azul • círculo grande fino vermelho 
• quadrado grande fino azul • quadrado pequeno grosso vermelho 
• triângulo grande fino azul • triângulo pequeno grosso vermelho 
• retângulo grande fino azul • retângulo pequeno grosso vermelho 
• círculo grande fino azul • círculo pequeno grosso vermelho 
• quadrado pequeno grosso amarelo • quadrado pequeno fino azul 
• triângulo pequeno grosso amarelo • triângulo pequeno fino azul 
• retângulo pequeno grosso amarelo • retângulo pequeno fino azul 
• círculo pequeno grosso amarelo • círculo pequeno fino azul 
7
APRESENTAÇÃO: 
 O trabalho com os Blocos Lógicos é regido por quatro princípios, que são 
apresentados em quatro fases: 
lª fase: Princípio dinâmico (a partir dos 2 anos) 
 Consiste no contato direto com as 48 peças. Esse contato cria novos estímulos, 
não só para a estrutura do pensamento lógico, como também para o enriquecimento 
da memória. É uma aprendizagem por meio da descoberta, pois, pela manipulação 
das peças, a criança chega à descoberta dos atributos. Nesta fase, o professor deixa 
que as crianças explorem ludicamente todas as peças da caixa dos blocos. 
2ª fase: Princípio da construtividade (3 anos) 
 Nas experiências regidas pelo primeiro princípio, a criança verifica a 
objetividade dos conceitos e faz construções livres. Quando a criança já explorou 
bastante os blocos, começa a descobrir que existem pontos em comum entre as peças 
e separa-as segundo características, tais como: forma, cor, espessura ou tamanho. Por 
exemplo: de repente, em meio ao manuseio livre das peças, a criança separa todas as 
amarelas. Neste momento, o professor começa com os diversos exercícios que são 
sugeridos para serem executados com o auxílio dos cartões com um atributo. 
3ª fase: Princípio da variabilidade perceptiva (4 anos e meio) 
Esse princípio baseia-se na exploração das mais diversas possibilidades de 
variações que funcionam como atributos de cada bloco. 
 Por meio do constante manuseio do material, a criança interioriza o conteúdo 
da caixa com seus atributos e a relação entre eles. O importante é fazer com que a 
criança consiga perceber o que é variável ou não na relação entre determinadas peças 
e, para tal, o professor executa jogos com regras diversas. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
8
4ª fase: Princípio da variabilidade matemática (6 anos) 
As crianças, segundo descobertas próprias, percebem diferenças e semelhanças 
entre as peças, estando, portanto, em condições de serem conduzidas a um estágio de 
abstração. 
Tendo sido apresentada às crianças uma mesma estrutura sob formas 
equivalentes e tão variadas quanto possível, através da realização de operações com 
materiais concretos, pela comparação e gene, elas alcançarão à abstração matemática. 
Isto quer dizer: a criança é capaz de aplicar os conceitos adquiridos por meio dos 
diversos jogos lógicos e outras situações matemáticas. 
 O início da apresentação dosBlocos Lógicos pode surgir de uma atividade com 
um grupo de 4 ou 5 crianças, manuseando livremente as peças de uma caixa de 
blocos. O professor fica à parte, deixando que elas joguem livremente, pois é sempre 
importante para o professor o hábito de observar os alunos em atividade. A partir 
desta observação que o professor começará a executar os diversos jogos apresentados 
mais adiante. 
 A segunda etapa do trabalho só poderá surgir quando a criança se mostrar 
segura em relação ao material que tem em mãos e quando começar a criar suas 
próprias regras dentro do simples manuseio dos blocos. Por exemplo, agrupar as 
peças pela forma, pela cor e outros. 
 Uma tarefa interessante, de proveito informal, é recolocar as peças na caixa, 
possivelmente em ordem. 
 Aos poucos, o professor pode começar a trabalhar ao lado das crianças, 
nomeando as peças, executando construções e pedindo pelas características as peças 
que faltam. 
 Assim, emergem lenta, mas progressivamente, as características do material: 
suas formas, seus tamanhos, suas cores e suas espessuras. 
 Para começar a selecionar os blocos, o professor pode fazer, por exemplo, 
jogos como os que se seguem, mesmo usando uma nomenclatura nova bi e 
tridimensional. 
9
– Cada criança traz ao tapete os blocos que sejam "redondos", isto é, as 
circulares. 
– Colocar juntos todos os elementos circulares, mas separá-los pela cor. 
Indagar quais são as cores que se tem agora. 
O professor chega, desta forma, à classificação por atributos, com o 
reconhecimento de todas as peças, pois, ao mostrar uma peça, será fácil para a criança 
descrevê-la. 
EXERCÍCIOS: 
1. USO DE CARTÕES: 
 Fazer, em cartolina, cartões que representem os atributos das peças ou seja, cor, 
espessura, tamanho e forma. Com estes cartões - 10 cm x 10 cm - o professor, após 
explicá-los bem, pode: 
• Colocar os 4 cartões que definam uma peça e pedir a uma criança o bloco 
correspondente. 
• Colocar 1 bloco e pedir a uma criança que selecione os cartões que 
descrevam a peça pedida. 
• Colocar 1, 2 ou 3 cartões e pedir peças com estas características. 
• Verificar o número de peças quando se coloca 1 cartão, 2 cartões, 3 cartões, 
observando que quanto mais atributos são colocados, tem-se menor número 
de peças. 
• Colocar os 4 cartões e verificar que, com os 4 atributos, tem-se 1 só bloco 
com estas características. 
 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
10
Por exemplo: 
 
Se colocado 
1 cartão tem-se 16 blocos 
Se colocados 
2 cartões têm-se 4 blocos 
Se colocados 
3 cartões têm-se 2 blocos 
Finalmente, se colocados 4 cartões: 
... tem-se 1 só bloco com estas quatro características. 
 
Os cartões possuem as seguintes convenções (segundo os atributos): 
11
2. CARTÕES E OUTROS MATERIAIS 
 A partir dos exercícios anteriores, o professor pode fazer outros cartões, tipo 
peças de dominó, para as crianças trabalharem. A criança coloca o cartão sobre o 
tapete e, ao lado, associa à peça correspondente. 
3. JOGO DO DETETIVE 
O professor dispõe 4 aros no chão, sendo um para cada forma. Coloca as peças 
(1 de cada) no interior dos aros, nomeando-as. Em seguida, ele pega outras peças das 
que sobraram e redistribui, de olhos fechados ou vendados1, pelos aros, avisando que, 
quando colocar no aro errado, as crianças devem bater palmas e dizer qual o erro. 
4. JOGO DE 1 DIFERENÇA 
Com uma caixa de Blocos Lógicos, o professor dispõe as peças soltas sobre 
uma mesa ou tapete. Em seguida, coloca uma peça ao centro e pede à criança que 
coloque ao lado uma outra peça com apenas 1 atributo de diferença da primeira. Ao 
 
1De olhos fechados ou vendados significa uso do sentido estereognóstico, reconhecer sem o uso da visão, sendo um 
nível de abstração mais elevado. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
12
colocar a sua peça, a criança deverá dizer qual o atributo que a diferencia da anterior. 
Daí o jogo segue formando uma “serpente”. 
5. JOGO COM 2 DIFERENÇAS 
É uma variação do anterior, considerando-se 2 atributos de diferença entre as 
peças vizinhas. 
cor 
forma 
espessura 
cor 
cor 
forma 
13
6. JOGO SEGUNDO UMA REGRA 
O professor inicia uma nova sequência, agora seguindo uma regra pré-
estabelecida. 
 Exemplo: 
– 1G, 1P, 1G, 1P 
– azul, amarelo, vermelho, azul, amarelo, vermelho 
– 1 fino, 1 grosso, 1 fino, 1 grosso 
A criança deverá perceber os atributos que estão sendo considerados na 
arrumação. 
7. JOGO DE NEGAÇÃO SIMPLES COM DUAS EQUIPES 
A finalidade deste jogo é tornar os alunos conscientes do princípio da 
contradição, isto é, se um objeto está em algum lugar, não pode estar ao mesmo 
tempo em outro lugar. 
O professor forma duas equipes de 3 ou 4 crianças, todos sentados a volta de 
uma mesa retangular, uma equipe em frente a outra. Ele evidencia que os alunos 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
14
precisam reconhecer bem os atributos de suas peças para poder descobrir os atributos 
que elas NÃO contêm. Sobre a mesa, dividida em 2 territórios, ele levanta um 
“muro” com livros ou caixas, de modo que uma equipe não veja as peças que a outra 
equipe tem. 
Cada equipe fica com 24 peças escolhidas ao acaso. A equipe A pede uma peça 
à equipe B designando-a pelos seus quatro atributos. Se a peça estiver realmente em 
poder da B, ela deverá ser entregue. Uma peça não poderá ser pedida mais de uma 
vez. As crianças vão jogando até quando tiverem sido pedidas todas as peças; vencerá 
a equipe que tiver maior número de peças. 
No início, muitas crianças pedem peças que estão do seu lado. Não 
compreendem que, se a peça está com elas, não pode estar também do outro lado. 
Com a continuidade, elas aprendem que cada peça está de um lado ou do outro. Logo 
que tiverem atingido o estágio no qual não cometem mais erros, o jogo será encerrado 
e o conceito passará a ser usado no cotidiano. 
Esta conclusão da situação “ou” (com sentido exclusivo) é um passo lógico 
muito importante. 
8. JOGO DA PEÇA ESCONDIDA 
É talvez a variante mais difícil do Jogo da Negação e pode ser jogada por um 
grupo de 4 a 6 crianças. Um aluno esconde uma peça e os demais deverão adivinhar 
qual a peça escondida. No início, as crianças tentarão ordenar as figuras restantes em 
grupos, para identificar a peça oculta; mais tarde, porém, o professor sugere que 
adivinhem que peça está faltando, sem tocar nelas. Para variar este jogo, o professor 
pode esconder 2 ou mais peças ou mesmo não esconder nenhuma. 
9. OUTRO JOGO DE NEGAÇÃO 
Uma criança escolhe uma peça e pede aos demais membros de sua equipe que 
digam todos os atributos que ela não tem. 
15
10. JOGO DAS RESPOSTAS 
 Para este jogo recomenda-se pequenos cartões ou placas com as palavras ou 
desenhos representativos dos atributos e outros com o sinal que significará não. Uma 
criança será o chefe da equipe, que convidará outra criança a pensar numa figura, sem 
nomeá-la. Em seguida, o chefe mandará seus colegas fazerem perguntas, como: “é 
vermelho?” “é um retângulo?”, “é um círculo?” Se a criança que pensou na peça 
responder sim, será colocado sobre a mesa apenas o cartão com o atributo 
adivinhado. Se a resposta for não, será colocado o cartão de negação junto com o 
atributo citado (N = não azul). A primeira criança que, valendo-se das informações 
conseguidas, pegar a peça certa, será a vencedora e o novo líder. 
11. JOGO DAS COLUNAS 
 Arrumar as peças em colunas, seguido a colocação dos cartões que representam 
os atributos. 
As peças correspondentes serão colocadas nos lugares indicados pelos pontos. 
 Exemplo: No ponto destacado no desenho acima, ficarão todos os triângulos 
vermelhos.Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
16
12. JOGO DAS COLUNAS COM NEGAÇÃO 
 Fazer o mesmo jogo anterior, com negações. 
No ponto assinalado ficam todas as peças que não são triângulos e não são 
azuis. 
Neste caso, o ponto assinala um conjunto vazio, pois, não se tem peças que 
sejam, ao mesmo tempo, vermelhas e amarelas. E, no local assinalado com um “X”, 
ficam todas as peças azuis (que não são vermelhas e não são amarelas). Perceber 
como a criança reage à percepção da impossibilidade de combinação de atributos. 
17
13. JOGO DE RUAS 
O professor traça no chão ou em papel os caminhos a serem seguidos e indica, 
com cartões, os atributos das peças que podem entrar em cada rua. Algumas peças 
serão distribuídas entre as crianças e cada uma delas tentará levar as suas pelos 
caminhos, uma de cada vez. 
14. TABULEIRO DE ATRIBUTOS 
Em uma folha de papel-metro ou cartolina, riscar um diagrama. 
saída saída 
entrada entrada 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
18
 No espaço à esquerda, colocar uma peça e, com fichinhas, marcar os atributos 
da peça destacada. 
O professor pode também colocar fichas nos espaços referentes aos atributos e 
pedir para a criança colocar a peça relativa ao espaço à esquerda. 
15 - JOGO DA INCÓGNITA OU DA INTERROGAÇÃO (?) 
Usar diferentes cartões com uma incógnita ou "?" (ver pág. 16), para descobrir 
o que falta na série. 
CONTROLE DO ERRO: 
 
 No professor, no aluno e no material. 
IDADE: 
 
A partir dos 2 anos como manipulação e dos 3 anos como jogos bem 
dinâmicos. 
OBJETIVO DIRETO: 
• Possibilitar a descoberta das primeiras e mais simples possibilidades de 
classificação e de relação entre os atributos dos Blocos Lógicos. 
OBJETIVO INDIRETO: 
• Intuição ao trabalho com conjuntos. 
19
OBSERVAÇÃO: 
A respeito deste trabalho com os Blocos Lógicos, torna-se imprescindível a 
leitura dos livros de Dienes, seu criador, bem como o livro “Pensar é Divertido” de S. 
Koethe. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
20
Verso em branco 
21
MANIPULAÇÃO DO MATERIAL CONTÍNUO 
NÚMEROS EM CORES - MATERIAL CUISINAIRE
INTRODUÇÃO: 
 Outro tipo de material contínuo que se deve manipular logo de início são as Barras 
Cuisinaire, que têm como objetivo principal ajudar a criança a construir o conceito de 
número. 
MATERIAL: 
 Caixa com 10 divisões, contendo barrinhas tridimensionais de madeira, de 
comprimentos diferentes da 1ª à 10ª, que guardam entre si as mesmas diferenças em 
centímetros (de 1 cm x 1 cm). 
O conjunto denomina-se Material Cuisinaire1
 As barras são coloridas, na seguinte ordem:
 
1 O material Cuisinaire difere das barrinhas coloridas de Montessori em forma, dimensão, cor e mesmo funções.
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
22
APRESENTAÇÃO1
 As barras, assim como os materiais precedentes, serão introduzidas sem uma 
apresentação específica. 
 O material é manipulado livremente; a criança passa a observar, construir, desenhar, 
assim como fez com os Blocos Lógicos. O material para ser arrumado exige, também, o de 
raciocínio lógico. 
 
1 Para esta atividade podem ser usadas, além do Material Cuisinaire, que concretiza o conceito aqui apresentado, as 
Contas Coloridas de Montessori ou as Barrinhas do Semissimbólico de Lubienska de Lenval Particularmente, os autores 
acham mais interessante o uso dos dois primeiros materiais (Cuisinaire e Montessori) ou a confecção de um material 
específico para a atividade, deixando o Semissimbólico para ser usado dentro de seus próprios objetivos. 
23
Ao continuar o trabalho, o professor constata que algumas crianças já 
perceberam que as barrinhas possuem uma característica de cor relacionada ao 
comprimento. A descoberta deve ser individual e evidenciar segurança. 
O professor pode sugerir uma atividade com de uma série de barrinhas: 
 – Coloque sobre a mesa todas as barrinhas roxas. Disponha uma abaixo da 
outra. O que você observa? 
– Nota-se que são todas roxas e todas do mesmo tamanho, do mesmo 
comprimento. 
O exercício é repetido várias vezes com as barrinhas das outras cores até que a 
criança chega a uma mesma conclusão: 
• Todas as barrinhas da mesma cor são do mesmo comprimento. 
• Todas as barrinhas de cores diversas são de comprimentos diversos. 
É preciso que o professor se assegure de que todas as crianças já conheçam 
todas as cores. Este seria o único conhecimento imprescindível, pois o importante é 
que o material seja aceito e compreendido por todos, pois não existem cortes ou 
riscos evidenciando quantidades. 
A descoberta das cores e dos comprimentos das barrinhas aparece dia após dia, 
não importando em que espaço de tempo. Aos poucos, as crianças estão construindo 
as sequências (“escadas”) com as barrinhas, quer na horizontal, quer na vertical, quer 
em ordem crescente ou decrescente. 
Talvez, a princípio, a "escada" não surja completa, mas decerto nascerá 
espontaneamente. 
A partir do momento em que a criança construa a sequência, outras arrumações 
podem ser tentadas. É importante que o professor deixe as crianças tentarem, pois, 
manipulando o material, elas estarão descobrindo relações. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
24
EXERCÍCIOS: 
 
Para os exercícios, o professor sugere que as crianças devem colocar as 
barrinhas em sequência:/gradação de tamanho: 
1. Construção de pontes, mesas, cadeiras e outros. 
 
25
2. Colocar uma barrinha sobre as outras barrinhas da mesma cor. O que se observa? 
3. Colocar em pé todos as barrinhas cor de rosa. O que se nota? 
4. Continuar repetindo o exercício com todas as barras. O que se nota? 
Todas as barras da mesma cor se equivalem, isto é, são igualmente altas. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
26
5. Colocar uma barrinha vermelha e um verde claro juntas. O que se nota?
As barrinhas de cores diferentes possuem altura ou comprimento diferente: elas 
não se equivalem. 
6. Colocar uma branca, uma vermelha e um verde claro juntas. O que se observa? 
 O conjunto apresenta altura diferente na sucessão de cores. 
27
7. Agora, colocar a barrinha branca sobre a vermelha. O que se observa? 
 A barrinha branca e a vermelha juntas se equivalem à verde. 
8. Colocar uma barra de cada cor juntas, obedecendo a uma certa ordem: da maior 
para a menor ou da menor para a maior em fila sobre o plano ou em pé, na vertical. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
28
9. Fazer uma escada ascendente e um descendente lado a lado. 
10. Fazer combinações com as barras que possibilitem equivalências. 
Depois, em papel quadriculado, colorir os espaços para representar, graficamente, 
a equivalência executada. 
CONTROLE DO ERRO: 
No material, no aluno e no professor. 
IDADE: 
A partir dos 3 anos. 
29
OBJETIVO DIRETO: 
• Possibilitar as mais simples combinações de cores e comprimentos, pois este 
material não é numérico como as barrinhas de contas coloridas. 
OBJETIVO INDIRETO: 
• Permitir a intuição do relacionamento: símbolo-quantidade numérica. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
30
Verso em branco 
31
EXPLORAÇÃO DO ESPAÇO - TOPOLOGIA 
INTRODUÇÃO: 
Define-se TOPOLOGIA como “um ramo da Matemática que estuda as linhas 
que permanecem imutáveis em uma figura quando esta é submetida a deformações. A 
Topologia tambémé chamada de “Geometria sobre uma folha de borracha”. 
A criança ao manipular objetos do ambiente desenvolve uma percepção sobre 
os fatos e acontecimentos, desenvolvendo sinapses neuronais que favorecem os 
contatos diretos com a realidade. 
Nos primeiros anos de vida, as impressões sensoriais são intensas e combinam-
se com os elementos motores. À medida que a criança se desenvolve, aumenta, pouco 
a pouco, o número de conceitos que se incorporam às suas experiências. 
É interessante salientar que muitas dificuldades da criança na escola prendem-
se à inexistência ou falta de informação conceitual, especialmente àquelas que se 
relacionam ao espaço. 
 O pensamento da criança organiza-se, predominantemente, em termos da sua 
própria posição no ambiente em que vive; portanto, as oportunidades oferecidas, por 
este ambiente, são muito importantes como base para o seu desenvolvimento físico, 
psíquico emocional e mesmo espiritual. 
 Desde que nasce, a criança é um explorador do espaço. Suas atitudes são 
sempre de pesquisa, de novas descobertas em relação ao mundo que a cerca. Quando 
chega à escola, ela já tem muitas ideias sobre o espaço que a circunda. Será função da 
escola estimular e ampliar estas ideias, multiplicando as experiências, verificando em 
que ponto ela se encontra nas suas relações dentro do espaço e que conceitos já 
conseguiu formar. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
32
 A criança de zero a seis anos é capaz de desenvolver conceitos avançados 
referentes ao espaço, desde que se tome em consideração que ela divide o espaço, 
primeiro, em relação a si mesma, depois em relação a objetos e pessoas; só em fase 
posterior se ligará a um sistema fixo de referências. 
Explorando o ambiente, a criança formará, por de suas próprias descobertas, 
conceitos como: 
• abertura - as portas podem estar abertas e fechadas; as caixas podem estar 
abertas ou fechadas, 
• passagem - não se poderá entrar nem sair de uma sala a não ser por uma 
porta ou janela aberta ou por um buraco na parede, 
• fronteiras-como sair do pátio sem abrir o portão; as paredes são fronteiras da sala,
• verso das coisas - existe sempre uma parte do objeto que não se vê; esta parte está 
no verso (parte atrás dos objetos), 
• curvas abertas, fechadas, ponto de curva, 
• região exterior e interior, 
• região interseção. 
Estas noções são chamadas topológicas e o campo da Matemática que se ocupa 
do seu estudo chama-se TOPOLOGIA. Os próprios matemáticos, a cada dia, estão 
realizando novas descobertas, mas as conclusões acima enfocadas e as. Experiências 
sugerem que a vivência da Topologia pode ser iniciada a partir dos dois anos e meio, 
aproveitando a relação dos conceitos destacados acima, para organização de uma 
sequência programática. 
A TOPOLOGIA trata de coisas que nos são familiares, como o lado interno de 
uma luva, o verso de um quadro. É algo parecido com a Geometria, pois usa linhas, 
pontos e figuras, mas as figuras são mais livres do que na Geometria, pois podem 
mudar de forma e tamanho, conservando, entretanto, as propriedades que dizem 
respeito a sua estrutura (propriedades estruturais). 
Dentro das noções topológicas algumas considerações são importantes: 
– Triângulo, círculo e quadrado não se diferenciam, pois, a forma não é 
importante. 
33
– Jamais é perguntado: “Qual o comprimento?” “Qual o tamanho?” “Qual a 
distância?” 
– São perguntas corretas: “Onde?” “Entre que pontos?” “Dentro ou fora?” 
 O que importa, topologicamente, é o espaço, desde que esse não sofra
deformações. 
Por exemplo: Tendo-se desenhado em uma folha de borracha fina ou elástico 
largo (tipo borracha de câmara de ar) uma determinada linha com um ponto dentro, 
duas pessoas tomam as pontas da folha de borracha e a puxam de diversas maneiras, 
produzindo alterações na figura inicialmente desenhada. O ponto marcado, no 
entanto, permanece no interior e, assim, as propriedades estruturais permanecem 
inalteradas. 
Outro exemplo: se num pedaço de cordão dá-se um nó em um determinado 
ponto, pode-se modificar à vontade a forma e a posição do cordão, pois o nó 
permanece no mesmo lugar. 
Estas atividades simples, iniciais, servem de embasamento para o professor, 
principalmente, por ser a Topologia uma área de Matemática ainda não muito 
conhecida, nem devidamente explorada, nesta faixa etária. 
A folha de borracha pode ser puxada em qualquer direção; o ponto, entretanto, 
continuará no interior. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
34
Para trabalhar com a criança em Topologia, o professor deve continuar as 
atividades iniciadas com o material descontínuo, focando nos movimentos corporais, 
pesquisa no ambiente e utilização de situações da Vida Prática. 
Em seguida, pode-se fazer uma representação com objetos, pois a situação 
ainda é bastante concreta e tem a vantagem da criança poder observar melhor as 
situações, por ser um observador mais que um executor. 
Ainda nesta fase, o professor pode fazer alguns exercícios gráficos com 
elementos reais como por exemplo: 
– Traçar curvas fechadas e pedir à criança que coloque elementos dentro ou 
fora delas, ou então, fazer linhas retas e curvas com caroços de milho, barbante, 
feijões e outros. 
É de grande importância salientar a diferença entre TOPOLOGIA e 
GEOMETRIA: 
• A GEOMETRIA estuda a propriedade da figura bem determinada e, em certo 
sentido, estático. Por exemplo: quando se fala em triângulo, todos podem 
imaginar uma figura delimitada em três lados retos e com três ângulos. 
 • A TOPOLOGIA estuda a figura em movimento, as figuras que mudam 
continuamente o aspecto, a forma e a dimensão. Estuda-se o atributo permanente, e a 
característica que não varia, quando uma figura muda de aspecto. 
 A Topologia difere da Geometria. 
Como no exemplo citado anteriormente, numa figura sobre uma folha de 
borracha, qualquer que seja o aspecto que a folha tome, aquela figura inicial fica 
sempre delimitada pela linha fechada, desenhando-se no centro da linha fechada um 
triângulo e distendendo-se a borracha de todos os modos, a linha externa se 
transforma em outras figuras, mas mantém, proporcionalmente, o mesmo espaço, 
enquanto que o triângulo (interno) assume aspectos diversos, mas estará sempre no 
interior da linha fechada. 
Resumindo, o que se observa em relação ao exemplo citado? 
l. A linha fechada continua a ser uma linha fechada. 
2. A linha fechada do triângulo continua ainda a ser uma linha fechada. 
35
3. A figura traçada no interior da linha fechada é ainda e será sempre uma 
figura interna. 
Reciprocamente, a linha externa apresentará qualquer aspecto, mas será sempre 
uma figura que encerra, que contém a outra, isto é, não há mudança espacial do 
conteúdo. 
É imprescindível, para este trabalho ser realizado com crianças, que elas 
dominem completamente conceitos tais como: dentro/fora, em cima/embaixo, 
interior/exterior. 
Sugere-se, a seguir, um tipo de material para ajudar à conquista destes 
conceitos. 
MATERIAL: 
 Cesta com pedaços de lã grossa colorida, pedaços de fios de metal recobertos 
de plástico, círculos pequenos, recortados em papel cartão preto (2 ou 3) e contas 
médias de madeira. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
36
APRESENTAÇÃO: 
 O professor coloca a cesta sobre a mesa ou tapete e, constrói uma linha reta. 
Ao mesmo tempo em que fala “linha reta”, o professor passa o dedo sobre a lã e pede 
que a criança repita o movimento. 
 O professor procede da mesma forma para apresentar o conceito de linha 
curva. Pode ser feita a Lição de 3 Tempos. 
 Seguindo o mesmo processo, o professor nomeia outros conceitos topológicos, 
usando ou não os círculos ou as contas: 
 • linha curvaaberta • ponto interno 
 • linha curva fechada • ponto externo 
 • ponto na reta • região interior 
 • ponto na curva • região exterior 
 
Quando a criança domina todos os conceitos apresentados, pode ser 
confeccionado um livro sobre “TOPOLOGIA”, seguindo as mesmas características 
de composição de livros descritas em Linguagem1 
EXERCÍCIOS: 
Estes exercícios têm como objetivo ajudar na formação de conceitos 
topológicos: 
1. Cada criança segura as mãos de dois colegas, formando uma roda. 
Propostas: 
• O professor está dentro ou fora da roda? 
• Vamos colocar o Paulo fora da roda. 
• Vamos colocar o menor aluno da turma dentro da roda. 
• Façam uma roda cercando o João. 
• João, tente romper o cerco feito pelos seus colegas. 
• João, solte a mão do Gilberto e todos ajudem a abrir a roda. 
 
1 COLETÂNEA MONTESSORI - Desenvolvimento da LINGUAGEM I. 3ª Edição PRESENCE Editora. RJ/BR 2018. ®
37
2. Antes, foi composta uma curva fechada; agora faz-se uma curva aberta e 
questiona-se: 
• Uma pessoa pode ficar dentro de uma curva fechada? E dentro de uma 
aberta? 
• Vamos formar uma curva aberta indo da porta até à janela. 
• Vamos formar uma curva, separando estas mesas daquelas outras. 
• Vamos construir uma curva fechada, cercando o professor. 
• Vamos ao pátio cercar uma árvore com uma curva fechada. 
• Vamos separar a árvore do muro com uma curva aberta. 
• A fila das pessoas que esperam o ônibus é uma curva aberta ou fechada? 
3. O professor desenha figuras geométricas em uma folha de borracha ou 
elástico largo; cola uma conta de plástico, madeira ou vidro no centro ou 
marca um ponto com Pilot. 
As crianças esticam a folha e observam que a conta permanece no mesmo 
lugar. 
4. O professor corta canudos de refresco para obter 12 pedaços de 5 cm; passa 
um fio elástico através deles formando um cubo. Depois, distorce o cubo 
para as crianças observarem as novas formas, sem que haja necessidade de 
rasgar ou cortar o elástico. 
5. Com balões de encher, o professor desenha redes idênticas em todos eles, 
mas enche os balões de modo que fiquem de tamanhos diferentes. As 
crianças observam as transformações das redes e a volta ao tamanho inicial. 
6. Através de perguntas, o professor orienta a observação das crianças para as 
portas e janelas: “Como está a porta?” (fechada) “E agora, como está?” 
(aberta). 
7. O professor sugere que algumas crianças saiam da sala, ficando dentro com 
outras. Pergunta: “Quem está dentro?” “Quem está fora?” “Onde estou?”. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
38
8. Experiências podem ser feitas com caixas. O professor apresenta duas 
caixas: uma aberta, outra fechada. As crianças devem dizer como está cada 
uma das caixas. 
O professor coloca um objeto na caixa e indaga: “Onde coloquei?” 
Retirando o objeto, indaga: “E agora onde está?”. O que ficou dentro? 
9. O professor pode combinar conceitos (perto, dentro, fora, ao lado, em cima, 
embaixo, atrás, na frente e outros), usando uma bandeja com grande número 
de objetos. 
Com estes objetos o professor verifica os conceitos já adquiridos pelas 
crianças: 
 • Coloque o lápis dentro da caixa grande. 
 • Coloque o dado longe da caixa pequena. 
 • Coloque o círculo perto da caixa e longe dos dados. 
10. O exercício acima poderá evoluir sob a forma de exercício gráfico, com 
recorte e colagem 
11. O professor coloca cordas no chão formando círculos. As crianças 
caminham ao lado das cordas pelo lado de fora; quando o professor disser 
o nome da criança, esta deve pular para dentro do círculo e o professor 
pergunta: “Onde está você?”. 
39
12. As crianças colam barbante em folhas de cartolina, formado curvas 
fechadas. Em seguida, o professor pede que colem feijão dentro da curva 
ou no interior da curva. 
13. O jogo do gato e o rato também serve para apresentar noções de dentro, 
fora, interior, exterior. 
14. Na área externa, podem ser riscados três domínios ou regiões. 
O professor divide o grupo em dois subgrupos. Um grupo terá para si dois 
domínios, situados a alguma distância um do outro; o outro grupo terá 
apenas um único domínio. A um sinal, o primeiro grupo muda de domínio 
enquanto as crianças do segundo grupo procuram tocar em alguma criança 
do grupo contrário, enquanto esta estiver fora do seu domínio. A criança 
que for tocada passa para o segundo grupo. 
15. O professor estende um plástico no chão ou risca um grande domínio. 
Em seguida, propõe às crianças as regras do jogo: 
• Aqui é um quartel, uma região, um domínio. 
• O professor caminha com as crianças em volta do plástico ou do risco 
traçado no chão e continua: 
– Aqui estão as fronteiras. Somente poderá entrar no quartel o soldado que 
estiver de chapéu na cabeça; para sair é preciso tirar o chapéu. 
Ele deve preparar alguns chapéus e colocar rapidamente na cabeça de 
algumas crianças, estabelecendo que, somente, quem estiver de chapéu, 
pode atravessar a fronteira e permanecer dentro. Da mesma forma, a 
criança deve pular para fora, logo que o professor retire o chapéu de sua 
cabeça. 
16. O professor traça no chão duas circunferências concêntricas, enquanto 
explica para as crianças o que está fazendo: 
– Estou riscando regiões ou domínios. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
40
Em seguida, abro, nas fronteiras dos domínios, “portas” ou “passagens” 
(continua falando). 
Ele evidencia que cada região tem três passagens ou portas destacadas 
com marcas ou cores diferentes e dispostas de tal modo que a porta de 
certa cor de uma região não seja vizinha da porta da mesma cor, da outra 
região. 
O professor diz à criança que portas devem ser usadas para caminhar 
dentro das regiões traçadas: 
– Vá até a região do meio, passando só pelas portas azuis. A uma 
segunda ordem a criança volta, obedecendo ao caminho traçado pelo 
professor. Numa etapa seguinte, o professor deve usar portas de cores 
diferentes. Esse jogo, também, pode ser feito com as circunferências 
traçadas em cartolina, usando-se um cavalinho de brinquedo para a 
criança fazer a movimentação. 
17. Este jogo deve ser realizado numa sala que tenha só uma porta. São 
necessários os seguintes materiais: vários pedaços de barbante de 
comprimentos diferentes (alguns são bastante compridos para estender-se 
41
além da porta), diversos cartões (a maior parte sem nenhuma inscrição) e 
alguns cartões com o desenho de uma porta. 
Cada criança tira um barbante e um cartão. O professor ou outra criança se 
coloca num ponto central da classe e todos os demais participantes 
entregam-lhe uma das pontas do seu barbante à medida em que se procura 
afastar da referência central o mais que puder, de acordo com o tamanho 
do barbante. Somente ultrapassam a porta aqueles que tirarem o barbante 
de tamanho suficiente para isso e que é acompanhado do cartão com o 
desenho da porta. Se a criança se afastou o mais possível, mas não pode 
sair da sala, pois não tem o cartão, deve enrolar o que lhe sobrar do 
barbante. 
18. O professor traça, numa folha de papel, domínios com várias fronteiras, 
para serem coloridos com o maior número de cores possíveis, sem que haja 
vizinhos da mesma cor. 
Num jogo posterior, o professor pede que o colorido seja feito com o 
menor número de cores possíveis. 
Ainda usando pedaços de papel colorido, colar, formando colcha de 
retalhos, de modo que não haja vizinhos da mesma cor. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
42
19. O professor sugere que sejam criados espaços com dobradura de papel, 
pintando os espaços com o menor número possível de cores.OUTROS EXERCÍCIOS: 
A) O professor pede que uma criança vá ao quadro para desenhar alguns balões 
coloridos. 
Pede a outro aluno para desenhar os cordões destes balões e pergunta ao grupo: 
Viram como os cordões parecem embaraçados? Agora, quem pode me dizer 
qual é o cordão do balão amarelo? E o do vermelho? E o do azul? E o do 
verde? 
43
B) O professor pede que uma criança trace uma linha com o giz, de modo que a 
lousa fique dividida ao meio no sentido da largura. (sentido horizontal) 
O professor continua pedindo: 
– Desenhe alguma coisa sobre a linha. 
– Desenhe alguma coisa sob a linha. 
Agora, apague os desenhos e faça sobre a linha o desenho que você havia 
feito embaixo e sob a linha, o desenho que havia feito em cima. 
C) O professor pede que uma criança dívida a lousa em 2 partes no sentido da 
altura (sentido vertical): 
– Faça um desenho à direita.
– Faça um desenho à esquerda. 
D) O professor pede que uma criança construa uma fila com as barrinhas 
vermelhas Cuisinaire. Sobre esta, deve fazer outra fila com as reguinhas 
verdes. Depois, inverter a colocação das barrinhas.
 
E) O professor mostra um diagrama traçado no quadro, papel ou areia e 
pergunta: 
– A estrela está dentro ou fora do diagrama? 
IDADE: 
Dos 3,6 anos em diante. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
44
OBJETIVO DIRETO: 
• Favorecer o desenvolvimento da relação entre corpo e espaço, entre corpo e 
objeto e objeto e espaço. 
OBJETIVO INDIRETO: 
• Preparar a conceitos topológicos mais avançados. 
45
EXPLORAÇÃO DOS OBJETOS - CONJUNTOS 
 INTRODUÇÃO: 
O estudo de Conjuntos deve ser feito por meio de exercícios vivenciais e 
experiências que possibilitem à criança a intuição e compreensão, e propiciem, ao 
mesmo tempo, o desenvolvimento do vocabulário matemático, paralelo à formação 
de conceitos. 
A própria criança deduz o que seja Conjunto através das experiências que têm 
oportunidade de vivenciar, pois ela já está habituada a trabalhar com conjuntos e 
elementos quando usou o Material Descontínuo e os Blocos Lógicos. 
Assim as primeiras experiências das crianças na escola devem começar com o 
reconhecimento de conjuntos que façam parte do ambiente escolar e da sua própria 
casa. Todo o trabalho anterior com os Blocos Lógicos e com o Material Descontínuo 
servirá de base para essa intuição. 
Os conjuntos observados podem ser isolados, trazidos para o tapete, onde seus 
elementos serão examinados e bem definidos pelas crianças. 
Bandejas, caixas, aros, lãs, bastidores e outros serão usados neste momento, a 
fim de que as crianças estabeleçam os limites de cada conjunto. 
A partir daí uma grande variedade de atividades levam as crianças a perceber 
conjuntos que tenham características comuns, como por exemplo: conjunto de 
meninas, conjunto de cadeiras, conjunto de bolas e outros. 
Como foi colocado anteriormente, com a manipulação do Material 
Descontínuo e Contínuo, a criança já se habituou a agir com destreza nas ocasiões em 
que são necessárias as capacidades de classificar e ordenar. E em que consiste 
ordenar, classificar, se não, “colocar junto” os elementos mais diversos, obedecendo a 
um critério lógico? 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
46
Para começar um trabalho sistemático com conjuntos, o professor pode pegar 
os Blocos Lógicos ou algumas caixas com Material Descontínuo e colocá-los sobre 
uma mesa ou tapete. 
MATERIAL: 
• Blocos Lógicos 
• cesta com pedaços de lã ou barbante e outros 
• Material descontínuo em caixas, cestas ou bandejas 
APRESENTAÇÃO: 
 
Os exercícios passam por diversas fases, desde a mais simples (composição do 
conjunto) até as mais complexas (união e interseção). O trabalho pode ser dividido 
em etapas: 
A - Formação de conjuntos 
• identificação de elementos 
• limite 
• conceito de pertinência 
B - Conjunto Universo 
C - Representação de Conjuntos 
D - Conjuntos Homogêneos e Heterogêneos 
E - Subconjuntos 
F - Conjunto Vazio e Conjunto Unitário 
G - Relação de Contenência (Inclusão) 
H - Correspondência/Potência 
I - Interseção/Reunião 
J - União de Conjuntos 
47
A. Formação de Conjuntos 
• Identificação de Elementos e Limite 
 
O objetivo é a identificação inicial dos elementos do conjunto e os limites. 
Para iniciar o trabalho, o professor pega os Blocos Lógicos ou mesmo algumas 
caixas do Material Descontínuo. 
Com o material sobre a mesa ou tapete, o professor começa a identificar e 
classificar os objetos por algum atributo, por exemplo: pela forma. Em seguida, ele 
sugere que as crianças “cerquem” os elementos classificados com lã ou barbante 
(limite). 
O professor diz: 
– Vamos limitar o que está dentro e o que está fora deste primeiro conjunto, 
isto é, o que pertence ao conjunto e o que não pertence. Os triângulos que pertencem 
ao conjunto ficam dentro desta linha curva fechada; de fora, ficam os objetos que não 
são triângulos e, portanto, não pertencem ao conjunto. 
O professor continua o trabalho, formando, com a criança, todos os outros 
conjuntos possíveis com o material disponível. 
Dois cuidados serão tomados então: 
1º - Limitar sempre os conjuntos formados com lã ou barbante ou aro. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
48
2º - Nomear os conjuntos (exemplo: círculos, de peças vermelhas, de 
prismas). 
O professor deve, também, explicar a função da lã, do barbante e do aro como 
limite do conjunto. 
• Conceito de Pertinência
A ideia de “pertencer” a um conjunto, ou seja, ser um elemento do conjunto, é 
um conceito muito importante. 
Com exercícios sucessivos, o professor pode chegar à introdução dos sinais: 
(pertence ) (não pertence ) . Para isso, usa pequenos cartões brancos, com os 
sinais desenhados em preto ou vermelho. 
Estes cartões são colocados entre o conjunto formado e um elemento deste 
mesmo conjunto, quando se fizer a relação de pertinência. 
Leitura: Este triângulo pertence ao conjunto de triângulos. 
Leitura: Este círculo não pertence ao conjunto de triângulos. 
49
Mais tarde, quando a criança conhece a representação gráfica de um conjunto 
(ver item C), fará a relação de pertinência. 
OBSERVAÇÃO: 
Esta atividade deve envolver uma série de exercícios práticos de formação de 
conjuntos. Estes exercícios são descritos no final do capítulo, devendo o 
professor selecioná-los de acordo com os conceitos desenvolvidos no 
momento. 
B. Conjunto Universo
Entende-se por Conjunto Universo o conjunto maior que envolve outros 
subconjuntos de características mais específicas. Por exemplo: o conjunto dos 
mamíferos compreende vários subconjuntos: os selvagens, os domésticos, os úteis, os 
nocivos e outros. Mas, existe um conjunto maior, que engloba o conjunto dos 
mamíferos, que é o conjunto dos animais. Logo, o conjunto dos animais, neste caso, 
será o Conjunto Universo. 
Outro exemplo: em uma caixa de Blocos Lógicos encontram-se triângulos 
equiláteros azuis, vermelhos e amarelos, grossos e finos, grandes e pequenos e com 
eles o professor pode formar vários subconjuntos, nomeando-os de acordo com estas 
características. O Conjunto Universo, neste caso, poderá ser aquele formado por 
todos os triângulos da caixa, sejam quais forem suas cores, tamanhos ou espessuras. 
C. Representação de Conjuntos
O objetivo principal é estimular a compreensão do uso de um símbolo 
elementar para a representação dos conjuntos. 
Através dos exercícios realizados anteriormente a criança já é capaz de: 
– Definir um conjunto 
– Reconhecer elementos que pertencem ou não pertencem ao conjunto 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
50
APRESENTAÇÃO: 
Para iniciarum trabalho que leve à representação de um conjunto, o professor 
pede às crianças que formem um conjunto qualquer. A partir da formação do 
conjunto, o professor passa à representação gráfica no quadro de giz. 
A primeira representação será o Diagrama de Venn - linha curva fechada, que 
se usa para delimitar os elementos de um conjunto. 
Para a criança será apenas a representação gráfica do limite feito com a lã, nos 
exercícios com material concreto. 
Outra forma de representação é a Tabular - quando todos os elementos do 
conjunto são enumerados entre chaves. 
A = Carlos, Pedro, Paulo, João }{
51
E, por fim, a Representação Característica - os elementos são agrupados pela 
característica que os une. 
Existe ainda uma infinidade de códigos que podem ser criados para determinar 
os elementos do conjunto, por exemplo: 
 A = meninos da classe }{
● Caroline 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
52
D. Conjuntos Homogêneos e Heterogêneos
 Construir, delimitar e determinar um conjunto não é o bastante para o 
desenvolvimento do pensamento matemático. 
 Já se sabe que o raciocínio lógico é de essencial importância para a 
compreensão das operações com conjuntos, como por exemplo, para determinar 
como um elemento que “fisicamente” não está presente pode também fazer parte de 
um conjunto (exemplo: mesmo a criança que tenha faltado à aula fará parte do 
conjunto de alunos da turma). 
 É preciso, seguindo um raciocínio lógico, reconhecer a razão pela qual os 
elementos de um conjunto estão “juntos”. 
 Sempre que se puder indicar com precisão este motivo, à primeira vista e 
rapidamente, estar-se-á diante de um conjunto homogêneo. 
Conjunto homogêneo é o formado por elementos que tenham alguma relação 
entre si, facilmente perceptível, ao qual se pode dar um nome logo que é formado ou 
observado. 
 _ 
 
_ 
 
automóveis 
bicicletas _ 
 _ ônibus 
53
O conjunto A é homogêneo porque possibilita dizer, à primeira vista, o motivo 
pelo qual seus elementos estão reunidos. 
Observa-se, agora, o conjunto B: 
Este conjunto é homogêneo porque há uma relação evidente entre seus 
elementos: são frutas. 
B = conjunto de frutas
A = conjunto de triângulos
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
54
 Quando um conjunto não é homogêneo ele, é heterogêneo, isto é, aquele 
conjunto diante do qual não se percebem semelhanças entre os elementos ou atributos 
comuns. 
Os elementos do conjunto F não apresentam nenhuma característica comum 
evidente. Este conjunto é heterogêneo. 
E. Subconjuntos
 A finalidade do estudo dos subconjuntos é possibilitar a determinação das 
relações lógicas no interior de um conjunto. 
APRESENTAÇÃO: 
 Para começar, o professor pede que a criança forme um conjunto com os 
triângulos azuis dos Blocos Lógicos, limitando-o com barbante. 
55
Analisando este conjunto, o professor ajuda a criança a observar que ele é 
composto de triângulos grandes e pequenos. Limitando com barbante o conjunto dos 
triângulos pequenos, o professor tem um subconjunto do conjunto maior, assim: 
Leitura: B subconjunto de A.
Este subconjunto B é parte do conjunto A. 
Continuando, representa-se o conjunto de pessoas da classe. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
56
E também pode-se representar o grupo de pessoas que usam óculos: 
Em síntese, primeiro, foram representadas as pessoas da classe, e, em seguida, 
o subconjunto das pessoas que usam óculos. 
 Neste mesmo conjunto, é possível determinar outros subconjuntos: 
 • de crianças louras 
 • de crianças com 5 anos 
 • de crianças com menos de 5 anos 
 • de crianças que moram em casas 
 • ... 
F. Conjunto Vazio e Conjunto Unitário 
 Através dos exercícios com subconjuntos, chega-se, inevitavelmente, aos 
conjuntos: vazio e unitário. 
APRESENTAÇÃO: 
 Na própria situação de exercícios com os subconjuntos, o subconjunto das 
crianças com menos de 5 anos pode ser um CONJUNTO VAZIO. Pode-se concluir 
que o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto. 
57
 E o que é um conjunto vazio? É o conjunto sem elementos. 
 Representa-se o conjunto vazio com os símbolos: 
Por sua vez, o CONJUNTO UNITÁRIO é aquele que possui apenas 1 
elemento. 
G. Relação de Contenência
 A partir da noção de subconjuntos, o professor pode mostrar a relação de 
contenência, isto é, se um determinado conjunto está ou não contido em um conjunto 
maior ou se um conjunto contém ou não outro conjunto menor indicado. 
 Múltiplas observações podem ser feitas baseadas nos exemplos anteriores. 
 No primeiro, o subconjunto dos triângulos azuis pequenos está contido no 
conjunto de triângulos azuis; logo, o conjunto de triângulos azuis contém o 
subconjunto de triângulos azuis pequenos. 
 O mesmo acontece no segundo exemplo, quando foi feita a relação de 
contenência entre o conjunto de pessoas da classe e o subconjunto de pessoas da 
classe que usam óculos. 
Com a realização de exercícios sucessivos, o professor pode chegar à 
introdução dos sinais: 
contém não contém 
está 
contido 
não está 
contido 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
58
Para isso utilizará pequenos cartões brancos, com sinais desenhados em preto. 
 Estes cartões são colocados entre dois conjuntos, quando é feita a relação de 
contenência. 
 Exemplo: 
Leitura: O conjunto dos triângulos azuis pequenos está contido no conjunto de 
triângulos azuis, sendo, portanto, subconjunto dele. 
Seja A o conjunto de letras do alfabeto e B o conjunto de vogais, tem-se: 
 • O conjunto A contém o conjunto B 
 • O conjunto B está contido em A, sendo, portanto, subconjunto dele. 
 Outro exemplo: 
G = {numerais pares} H = {3 - 5 - 9} 
• O conjunto G não contém o conjunto H 
 • O conjunto H não está contido em G, não sendo, portanto, subconjunto dele. 
H. Correspondência – Potência 
 A partir da correspondência entre conjuntos estabelecem-se as diversas 
relações entre os mesmos. 
59
APRESENTAÇÃO: 
 O professor pede que cada menino dê a mão a uma menina e faz notar que 
sempre sobram meninos ou meninas. Lança, então, a pergunta: 
 – Quantas meninas temos a mais nesta classe? 
 O professor escreve os nomes lado a lado no quadro de giz. 
É feita a correspondência um a um e fica determinado que sobram a Carolina e 
a Joana. 
Pode-se mudar a ordem das crianças, mas sempre sobram duas meninas. 
 Outra forma de representação: 
 
O conjunto das meninas é maior que o dos meninos, porque tem mais 
elementos. 
A = meninos
B = meninas 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
60
 O conjunto B é mais potente que o A. 
 Em seguida, com outros exemplos, o professor e as crianças chegam a 
conjuntos com igual potência, isto é, com o mesmo número de elementos. 
 O professor diz que são equipotentes. 
 Para o trabalho de potência dos conjuntos, o professor pede à criança para 
desenhar no quadro um conjunto qualquer. Em seguida, outra criança desenha ao lado 
outro conjunto e uma terceira criança estabelece a relação entre os conjuntos B e A. 
 Convém lembrar que não é possível fazer a relação entre todos os elementos do 
conjunto, sendo um maior do que o outro. 
Para que se visualize claramente qual o conjunto mais potente, o professor faz a 
seguinte relação entre o primeiro e o último elemento de cada conjunto: 
Com esta representação será possível apresentar à criança a ideia perfeita dos 
sinais: 
> e < (maior e menor) 
Por exemplo: 
B A ou B A 
Leitura: B é mais potente do que A ou B é maior do que A.
Coloca-se, agora, o exemplo invertido: 
61
Leitura: B é mais potenteque A ou A é menos potente que B.
No caso de conjuntos equipotentes tem-se: 
Neste caso, não se usa o sinal = (igual), porque o conjunto A pode ser formado 
de bananas e o B de abacaxis, portanto não se pode dizer que bananas são iguais a 
abacaxis. O sinal é que quer dizer equipotente. 
OBSERVAÇÕES: 
 • Chama-se a correspondência “um a um” de correspondência biunívoca.
• O conjunto mais potente é também chamado de conjunto maior e o 
conjunto menos potente é chamado de o conjunto menor. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
62
 Os conjuntos equipotentes são também denominados conjuntos equivalentes. 
 • Usam-se o sinal para indicar que dois conjuntos são equipotentes, 
podendo utilizar-se o sinal < = >, indicando que eles são equivalentes. 
I. Interseção - Reunião
INTERSEÇÃO: 
 A interseção entre dois conjuntos é o conjunto de objetos comuns a ambos, 
isto é, os elementos que pertencem, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos. 
APRESENTAÇÃO: 
 O professor pede a duas crianças que formem 2 conjuntos, por exemplo: o 
conjunto A com todos os quadrados da caixa dos Blocos Lógicos e o conjunto B com 
todas as peças vermelhas da mesma caixa. O que acontece é o óbvio: 
Tem-se no conjunto A elementos que pertencem ao conjunto B: os quadrados 
vermelhos. 
 O professor, com cuidado, puxa o barbante ou lã que limita o conjunto B e 
forma o conjunto interseção. 
63
A representação gráfica será assim: 
A zona tracejada é a região interseção, formada pelos elementos comuns aos 
dois conjuntos. 
 Pode existir, ainda, um conjunto interseção vazio, por exemplo: 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
64
A partir de exercícios sucessivos, o professor pode chegar à introdução 
do sinal ∩ (interseção).
Seguindo o exemplo acima, ele tem: 
G interseção H significa um conjunto vazio. 
Outro exemplo: 
Ou 
65
REUNIÃO: 
 A reunião de dois conjuntos é formada por todos os elementos que pertencem 
seja a um ou a outro conjunto ou aos dois de uma vez. 
 Para se formar um conjunto reunião juntam-se aos elementos do primeiro 
conjunto, os elementos do segundo, não repetindo os elementos comuns aos dois 
conjuntos. 
 Exemplo: Dois meninos, Carlos e Daniel, querem aproveitar as férias visitando 
as cidades históricas de Minas Gerais. Carlos quer visitar Ouro Preto, Sabará e 
Diamantina. Daniel gostaria de ver Ouro Preto, Congonhas do Campo, Mariana e 
Sabará. 
 Chame-se de C o conjunto de cidades que Carlos quer visitar e de D o conjunto 
de cidades que Daniel gostaria de conhecer. 
Tem-se então: 
C = {Ouro Preto, Sabará, Diamantina} 
D = {Ouro Preto, Congonhas do Campo, Mariana, Sabará} 
 Fazendo a reunião entre estes conjuntos, encontra-se o conjunto F, de todas as 
cidades mencionadas: as que Carlos quer visitar e as que Daniel gostaria de ver. 
F = {Ouro Preto, Sabará, Diamantina, Congonhas do Campo e Mariana 
Logo: 
C D = F
Outros exemplos: 
Sejam os conjuntos: 
I = {4, 6, 8, 10} 
∩ 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
66
J = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} 
I U J = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} 
Sejam os conjuntos: 
O = {a, b, c, d} 
P = {e, f, g} 
O U P = { a, b, c, d, e, f, g } 
Consideremos os conjuntos: 
X = {azul, amarelo, verde, branco} 
Y = {azul, branco} 
X U Y = {azul, amarelo, verde, branco} 
J. União de Conjuntos
 O objetivo principal da união de conjuntos é a introdução ao conceito de 
Adição. 
 Para iniciar o trabalho é importante que as crianças já dominem bem as 
Barrinhas de Contas Coloridas Montessori1 ou Semissimbólico Lubienska porque 
este trabalho, feito anteriormente, foi uma forma de intuir a Adição. 
APRESENTAÇÃO: 
O professor pede à criança que forme dois conjuntos diferentes com objetos 
escolares, limitando-os com barbante ou lã. 
 
1COLETÂNEA MONTESSORI - Desenvolvimento da Mente Matemática. Aritmética 2. PRESENCE Editora, 2018. 
RJ/BR 
67
Em seguida, limita os dois conjuntos, unidos, com um barbante maior. 
E diz: 
– Com este limite eu formei um conjunto que é o resultado da união dos dois 
outros. 
No primeiro conjunto - A - tínhamos um lápis, uma revista e uma borracha. 
No segundo - B - um giz, um lápis de cera, um livro e um caderno.
No conjunto união tem-se agora: uma borracha, um lápis, uma revista, um giz, 
um lápis de cera, um livro e um caderno. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
68
Com exercícios sucessivos, o professor pode chegar à fixação do conceito do 
sinal U (união). 
M = J U L 
M = L U J 
J U L = M 
L U J = M 
Outro exemplo: 
O professor desenha no quadro de giz dois conjuntos e pede à criança que faça 
a União deles, traçando o Diagrama de Venn. 
O conjunto G compreende 7 elementos: os 3 do conjunto C mais os 4 do 
conjunto D. 
 Pode-se representar as quantidades de várias maneiras: 
69
G = D + C 7 = 4 + 3 
 G = C + D 7 = 3 + 4 
 D + C = G 4 + 3 = 7 
 C + D = G 3 + 4 = 7 
Para a introdução da Adição, a partir da união de conjuntos, o professor pede 
que as crianças reproduzam no caderno ou papel quadriculado todas as barrinhas 
coloridas, em ordem crescente e indiquem o valor correspondente, pintando-as: 
A seguir, a criança faz uma tabela com diversas equivalências: 
A criança também pode representar assim: 
 3 + 1 (três mais um) 
 1 + 3 (um mais três) 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
70
Em lugar de escrever “e”, a criança põe o sinal + que é o sinal da Adição; em 
vez da palavra “fazem”, a criança coloca o sinal de igualdade (=). 
Outras equivalências podem ser feitas: 
l + 2 + 1 = 4 
1 + 1 + 2 = 4 
2 + 1 + 1 = 4 
1 + 1 + 1 + 1 = 4 
 4 2 
4 2
6
 4 2 
4 
 4 
 6 
71
OBSERVAÇÃO: 
Todos os exercícios de união de conjuntos podem ser comprovados com as 
Barrinhas de contas coloridas Montessori ou Semissimbólico e representados sob 
forma de Adição. 
EXERCÍCIOS: 
 Tem-se uma série de exercícios a serem empregados em diversos momentos do 
trabalho com conjuntos: 
 1. Dizer se os conjuntos a seguir são homogêneos ou heterogêneos e porque: 
– o conjunto de nozes 
– o conjunto das rosas 
– o conjunto formado de: maçã, biscoito, caramelo, chocolate 
– o conjunto formado de: carro, bicicleta, trem, avião 
– o conjunto formado de: lua, pipa, televisão 
– o conjunto formado de: caneta, borracha, uva, elefante 
– o conjunto de flores 
2. Representar, no quadro e depois sobre o papel, os conjuntos descritos acima: 
– primeiro com desenho 
– depois com símbolos 
Recordar que, para o conjunto homogêneo, o símbolo será único, repelido 
tantas vezes quantos forem os elementos entre si. 
Por exemplo: 
 
3. Dado um conjunto no qual os elementos são representados com sinais 
convencionais, reproduzir os elementos com desenhos. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
72
 4. Pedir que os alunos representem conjuntos homogêneos: 
– com desenhos 
– com símbolos 
5. Pedir que os alunos representem conjuntos heterogêneos: 
– com desenhos 
– com símbolos 
6. Traçar os sinais de relação entre os seguintes conjuntos e determinar o 
conjunto mais potente, qual o conjunto menos potente ou a equipotência dos 
conjuntos: 
– o conjunto de mesas e cadeiras da sala 
– o conjunto de meninos e meninas da classe 
 gato 
peixe 
borboleta 
73
– o conjunto de homens e mulheres da família 
– o conjunto de alunos com óculos e o conjunto de alunos sem óculos 
– o conjunto de portas e janelas da classe 
 
7. Traçar as setas da relação e determinar o conjunto mais potente,o menos 
potente ou a equivalência nos conjuntos. 
8. Desenhar dois conjuntos com igual potência. 
9. Desenhar dois conjuntos de modo que o primeiro seja mais potente que o 
segundo. 
10. Desenhar dois conjuntos de modo que o primeiro seja menos potente que o 
segundo. 
ll. Formar, com o conjunto de todas as barrinhas coloridas, um a um, os 
subconjuntos que se seguem: 
– das barras brancas 
– das vermelhas 
– das azuis 
– o subconjunto das barras verdes (verde claro/escuro) 
– o subconjunto das barras que não são verdes 
– o subconjunto das barras que não são brancas, ...
12. Formar, no conjunto dos Blocos Lógicos, um de cada vez, os subconjuntos 
abaixo: 
– os grandes 
– os pequenos 
– os grossos 
– os finos 
– os retângulos 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
74
– os quadrados 
– os triângulos 
– os grandes grossos 
– os grandes finos 
– os grandes retangulares 
– os grandes quadrados 
– os redondos 
– os grandes triângulos 
– os pequenos triângulos 
– os pequenos retângulos 
– os pequenos quadrados 
– os pequenos círculos 
– os pequenos triângulos finos 
– os pequenos quadrados grossos e outros 
 13. Desenhar o conjunto da família e determinar: 
– o subconjunto das pessoas que são mães 
– dos que têm menos de 70 anos 
– dos irmãos e outros 
 
 14. Desenhar o conjunto da classe e determinar o subconjunto dos alunos de 2, 
3 e 4 anos. 
 15. Desenhar o conjunto dos animais do curral e determinar o subconjunto de: 
– animais com quatro patas 
– com orelhas grandes 
– com rabo 
– sem chifres e outros 
16. Desenhar o conjunto dos animais que voam e determinar o subconjunto dos 
animais que têm: 
– duas asas 
– quatro asas e outros 
75
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
76
16. Desenhar o conjunto dos animais que voam e determinar o subconjunto dos 
animais que têm: 
 – duas asas 
 – quatro asas e outros 
 
 17. Desenhar o conjunto de funcionários da Educação Infantil e determinar o 
subconjunto de: 
 – pessoas do sexo feminino e do masculino 
 – pessoas claras e morenas 
 – pessoas altas e baixas e outros 
 
18. Apresentar o conjunto: 
Procurar todas as possibilidades de subconjuntos e contar quantos são. Assim: 
19. Apresentar o conjunto A = {a, b, c}; procurar todos os possíveis 
subconjuntos e representar com o Diagrama de Venn e com as chaves. 
A = 
77
 20. Repetir o exercício com os conjuntos: 
 G = {rosa, margarida} 
 H = {caneta, borracha, lápis, régua} 
 21. Desenhar dois conjuntos, colocando entre eles os sinais das relações e 
escrever qual é o mais potente. 
 22. Desenhar dois conjuntos, colocando entre eles os sinais das relações e 
escrever qual é o menos potente. 
 
 23. Desenhar dois conjuntos igualmente potentes, colocando os sinais da 
relação para evidenciar a idêntica quantidade dos conjuntos. 
 24. Desenhar dois conjuntos e indicar a maior ou menor potência mediante os 
sinais convencionais: 
 25. Construir o conjunto dos triângulos azuis, construir o conjunto dos 
triângulos finos. Fazer a interseção entre os 2 conjuntos. 
 26. Desenhar o conjunto das letras necessárias para escrever a palavra “rosa” e 
o conjunto das letras necessárias para escrever a palavra “sabão”. 
 Achar a interseção. 
 27. Representar o conjunto dos blocos finos e o conjunto dos blocos finos 
amarelos. Achar a interseção entre os dois conjuntos. 
28. Representar a interseção entre conjuntos A = {2, 4, 5, 7} e o conjunto 
B = {4, 2} 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
78
 29. Representar a interseção entre os conjuntos: 
– quadrúpedes = {cavalo, mula, leão, gato} 
– carnívoros = {leão, gato, falcão, águia} 
30. Procurar a interseção entre as letras das palavras “ramo” e “mora”. 
31. Procurar e representar dois conjuntos com a interseção vazia. 
 32. Procurar e representar dois conjuntos e sua interseção não vazia. 
 33. Representar a união dos quadrados vermelhos e dos quadrados azuis dos 
Blocos Lógicos: 
– com conjuntos 
– com as barrinhas coloridas Montessori 
 34. Registrar a operação com: 
– os nomes dos conjuntos 
– símbolos numéricos 
 35. Representar a união dos triângulos e dos círculos grandes: 
– com conjuntos 
– com barras coloridas 
 36. Representar a união de: 
A = {cavalo, pombo, carneiro} 
B = {pássaro, águia, bezerro} 
IDADE: 
 Dos 3,6 anos em diante, com ênfase aos 5/5,6 anos.
79
OBJETIVO DIRETO: 
• Favorecer a aquisição da capacidade de ordenar, classificar, obedecendo 
a critérios lógicos pré-estabelecidos. 
OBJETIVO INDIRETO: 
• Fundamentar o conceito de número. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
80
Verso em branco 
81
PRIMEIROS GRÁFICOS PRÁTICOS 
INTRODUÇÃO: 
 No capítulo dedicado à apresentação da correspondência um a um, foi 
apresentado, pela primeira vez, um gráfico concreto, real e prático, isto é, foi 
representada, visualmente, com grande clareza e simplicidade, uma situação 
matemática sem usar os numerais. 
 Observa-se então: 
 – A possibilidade de operacionalização de uma situação real, isto é, a facilidade 
de extrair dos fatos simples e diários, elementos matemáticos. 
 – A possibilidade e facilidade de representar estas situações devido à 
viabilidade de ser compreendida rapidamente. 
MATERIAL: 
● Papel quadriculado 
● Lápis ou canetas hidrocor coloridas 
● Cubinhos coloridos 
APRESENTAÇÃO: 
 O professor começa por relacionar os alunos presentes: meninos e meninas, um 
atrás do outro, cada menino dando a mão a uma menina. 
Ele evidencia que se percebe logo que não se têm tantos meninos quanto 
meninas: há um menino a mais ou uma menina a menos.
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
82
O professor propõe uma outra disposição: as meninas de frente para os 
meninos. Faz-se a relação: um menino, uma menina. O que sucede? Continua a haver 
mais um menino ou menos uma menina. 
Para visualizar bem, o professor representa esta situação no quadro: uma 
"bolinha" para as meninas e um "x" para os meninos. Cada menina vem ao quadro e 
marca sua "bolinha". Agora, cada menino vem fazer seu “x”, vizinho à "bolinha" das 
meninas. 
O gráfico ou diagrama é a representação gráfica da medida na qual um certo 
fenômeno físico, social, econômico se manifesta. 
83
O princípio que determina a construção de um gráfico consiste, geralmente, em 
estabelecer uma correspondência entre os números (medida da modalidade 
quantitativa do fenômeno) e o que há de geométrico (segmento, superfície, sólido). 
Voltando ao exemplo anterior, o professor propõe que se execute o diagrama 
em outro sentido, mudando, inclusive os símbolos: 
Mais uma vez constata-se que falta uma menina para um dos meninos. 
 O professor pode fazer um gráfico diferente. Apanha os livros da classe. Os meninos 
fazem uma pilha de livros aqui, as meninas fazem uma pilha à parte. O que se verifica? A 
pilha de livros das meninas é menor que a dos meninos. 
Para visualizar melhor, colocam-se os livros lado-a-lado, no chão: 
É fácil observar que uma fila de livros é mais comprida do que a outra. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
84
Em seguida, o professor pode exemplificar com cubinhos coloridos e diz: 
– Hoje, façamos um gráfico diferente, usando cubinhos brancos. 
– Agora, cada criança vem até à mesa com tantos cubinhos brancos quantos forem as 
pessoas de sua família. Um para a mamãe, um para o papai, uma para cada irmão, ... 
– Agora, cada um explica quais são as pessoas representadas pelos cubinhos: 
Alice diz: 
– Um para mamãe, outro para papai, um para minhairmã e um para meu irmão. 
O professor indaga: 
– E basta? 
– Sim, não tem mais nenhuma pessoa na minha família.
– E você, como fica? Não tem nenhum cubinho para você? Você fica fora? 
Rapidamente, Alice coloca-se junto na representação. 
Cada aluno faz a sua pilha, indicando pessoa a pessoa. 
...................................................................................................................................... 
O professor continua: 
– Aqui está a família de Alice. Ao lado, tem-se a família de Eva. Em seguida, a de 
João, a de Ana, a de Pedro, a de Sueli e a de Tiago. Pode-se fazer esta representação em 
quadro quadriculado ou mesmo papel quadriculado 
85
Com lápis ou giz colorido, fazem-se colunas relativas às famílias, e escolhem-se 
cores-código. Assim, no quadrado relativo à mãe, colorimos de amarelo; no relativo ao pai, 
colore-se de vermelho, no relativo aos irmãos, colore-se de verde; no das irmãs, de. azul e o 
relativo aos avós pode ser branco. 
Por exemplo: 
Análise do Gráfico 1, sem a inclusão do aluno: 
• Alice tem: mãe, pai, 2 irmãs, 1 irmão 
• Eva tem: mãe, pai, 1 irmã, 1 irmão, 1 parente 
• João tem: mãe, pai, 1 irmão, 5 irmãs 
• Ana tem: mãe, pai, 1 irmão, 2 irmãs, 1 parente 
• Pedro tem: mãe, pai, 1 irmão, 1 irmã 
• Sueli tem: mãe, pai, 1 irmão 
• Tiago tem: mãe e 1 irmão 
 Numa segunda análise, pode-se perceber: 
• Todos têm mãe - A / E / J / A / P / S / T 
• Tiago não tem pai 
• João tem muitas irmãs 
• Tiago vive só com a mãe e o irmão 
• A família mais numerosa é a de João e a menos numerosa é a de Tiago 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
86
O professor conclui: 
 – Este gráfico ficou tão bonito e tão interessante que deveríamos reproduzi-lo 
no caderno ou folheto quadriculado, pois creio que servirá muito em nossos futuros 
trabalhos. 
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS: 
l. Fazer uma fila com as crianças, que, por exemplo, têm TV e outra com as 
que não tem. Confrontar as duas filas. Usar outros temas. 
2. Usar o quadrado como unidade representativa, fazendo a lista que indica os 
meninos e as meninas da classe. 
3. Representar no quadro o gráfico feito. 
4. Usar o quadrado como unidade representativa, formando um gráfico 
representando: 
• Quantos alunos têm aparelho de ar condicionado em casa. 
• Quantos vêm à escola de ônibus ou de carro. 
• Quantos têm um quarto para si e quantos dormem com outras pessoas. 
• Quantos almoçam à mesa com os pais e quantos não.
• Quantos tomam leite pela manhã e quantos não. 
 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
IDADE: 
A partir dos 5 anos. 
OBJETIVO DIRETO: 
• Usar a linguagem gráfica e simbólica para representação de uma situação 
matemática sem usar os numerais. 
OBJETIVO INDIRETO: 
• Preparar a representação gráfica nos meios de comunicação ou estudo 
pessoal.
87
DA EQUIPOTÊNCIA AO NÚMERO 
INTRODUÇÃO: 
Todas as atividades precedentes foram básicas para o desenvolvimento do 
conceito de número e para a construção da futura matemática. 
Os assuntos foram apresentados de forma simples e objetiva, sendo 
desenvolvidos em ordem lógica e gradativa. Porém, não se pode afirmar quanto 
tempo requerem as várias passagens para serem assimiladas, “digeridas” pelas 
crianças, cada uma em particular. 
O importante é que o professor não tenha pressa e que esteja atento à 
estruturação dos esquemas mentais que se estão formando e com a atitude inteligente 
da criança diante das situações de vida diária. 
MATERIAL: 
 • Barra de madeira com 10 pinos 
 • Pincel atômico 
 • 10 pregos 
 • 10 sacos plásticos transparentes 
 •10 fitas estreitas 
APRESENTAÇÃO: 
Para começar este trabalho de passagem da equipotência ao número, precisa-se 
de uma primeira linha numérica, que será um material simples, mas básico ao 
desenvolvimento do trabalho. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
88
O professor prepara uma barra madeira (mais ou menos 5 cm de largura), que 
fica presa à parede, à altura dos olhos das crianças. Com uma caneta larga (Pilot, 
pincel atômico) traça uma linha horizontal bem ao centro da placa de madeira, 
terminando como uma seta. 
No sentido vertical, com espaços regulares de 10 cm, traçar 10 linhas. Em cada 
ponto de encontro entre as duas linhas perpendiculares colocar um prego ou uma 
tacha pequena. 
O professor pede, então, aos alunos, que construam pequenos conjuntos com 
poucos elementos e que os coloquem em pequenos sacos plásticos transparentes, 
como se eles fossem o Diagrama de Venn. Em seguida, devem nomear os elementos 
de cada conjunto, separadamente. Seria interessante que houvesse, também, um 
conjunto vazio. 
O professor prossegue, representando agora, sobre o papel, estes conjuntos. 
Porém, em vez de dar um símbolo, ele ou a criança desenha os objetos contidos em 
cada conjunto. Ao conjunto pode ser dado o próprio nome da criança. 
– Luiz tem um conjunto unitário, isto é, este conjunto só tem um elemento. 
89
O conjunto também pode ser representado assim: 
Tem-se então: 
 
 
• desenho 
• diagrama de Venn 
• nome do conjunto 
O professor passa, agora, a recolher e ordenar os conjuntos que foram feitos. 
Primeiramente, agrupa os alunos que têm os conjuntos equipotentes, isto é, os que 
têm conjuntos com o mesmo número de elementos ou com a mesma potência. Para 
isto, faz a relação um a um. Surgem diversos conjuntos equipotentes. 
O professor sugere que deve ser dado um nome para cada conjunto. 
Ele diz: 
– O conjunto de Pedro tem um, um e um. Como pode ser chamado?... Três. 
Em verdade, usa-se um nome para denominar a quantidade de elementos do 
conjunto. No caso, "três" nomeia o conjunto que tem um, um e um. Este conjunto 
pode ser chamado por outros nomes, em outros idiomas, mas o sentido será sempre 
de três.
Por exemplo: “trois” em francês, “three” em inglês, .... Mas, vamos chamar de 
“três” porque todos nós entendemos, porque é o nosso idioma. 
Voltando aos saquinhos, o professor continua: 
– Vamos fechar os sacos com barbante ou fita, colocar os saquinhos “três” 
todos juntos em um dos pregos da nossa linha, sobre a parede. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
90
Em seguida, o professor propõe guardar os desenhos representativos dos 
conjuntos com três elementos, colocando uma capa e escrevendo de forma bem clara: 
 
 
 
 
 
 
 
Á L B U M D O T R Ê S 
Professor e alunos fazem o mesmo com os demais sacos, colocando-os sempre 
em um preguinho vazio, não esquecendo de colecionar os desenhos em álbuns ao 
final de cada contagem. 
Após organizar três ou quatro conjuntos, o professor pode sugerir que eles 
sejam colocados em ordem. Para tal, ele propõe que seja feita a relação entre os 
conjuntos, como já foi explicado em capitulo anterior. 
Pode-se usar, também os sinais para a representação dos 
conjuntos. 
Tem-se, então: um, menor do que três; três, menor do que sete. 
um três sete 
91
OBSERVAÇÃO: 
Quando o sinal vem entre desenhos, coloca-se o sinal duplo (< ) . 
Quando o sinal vem entre numerais, ele é constituído de um só traço (< ). 
O professor prossegue propondo arrumar os sacos nos pregos, ordenadamente. 
Ele procura, sempre, ir estabelecendo as relações antes de cada colocação. 
É dada especial atenção ao conjunto vazio, que significa ausência de 
quantidade: zero. 
 
 É bem evidenciada a relação com o conjunto vazio. 
 As crianças, certamente, notam que o conjunto vazio deve vir antes do
conjunto um. 
A arrumação fica assim: 
 
É importante que o professor sempre relacione, estabeleça comparações e, 
frequentemente,use a linguagem matemática precisa.
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
92
 Ao final do trabalho, professor e alunos construíram não só a linha numérica de 
0 a 9, como também, confeccionaram os diversos álbuns com estas quantidades. 
SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS: 
 1. Preparar conjuntos em sacos plásticos. 
 2. Reproduzir, com desenhos, os conjuntos em papel. 
 3. Dado um conjunto, indicar sua quantidade ou vice-versa. 
 4. Reunir conjuntos equipotentes. 
 5. Prender, no prego da linha numérica, todos os conjuntos equipotentes. 
6. Reunir todos os desenhos que reproduzem um conjunto equipotente e formar 
álbum. 
7. Confrontar os conjuntos presos à linha numérica para determinar a maior ou 
menor potência e colocar os conjuntos em ordem crescente ou decrescente. 
8. Continuar o exercício até o fim da linha numérica e reconhecer a ordem dos 
números. 
 9. Fazer exercícios de numeração crescente e decrescente. 
10. Dada uma série de conjuntos, em uma certa gradação, desenhar o conjunto 
que falta. 
l l. Dada uma série desordenada de conjuntos, ordenar os conjuntos de forma 
crescente ou decrescente. 
IDADE: 
A partir de 4,6 anos. 
OBJETIVO DIRETO: 
• Preparar para o conceito de número. 
OBJETIVO INDIRETO: 
• Preparar para a Aritmética e atividades numéricas de maior 
complexidade. 
93
NUMERAIS E SEUS SÍMBOLOS
INTRODUÇÃO: 
Esta é uma passagem muito interessante que relembrará a descoberta do 
número a partir das necessidades do Homem em sobreviver e à capacidade de seu 
cérebro em observar, imaginar agir, e criar. 
Neste momento, poderá ser usada a História dos Numerais e as crianças 
experimentarem criar seus próprios símbolos. 
 MATERIAL: 
Para esta atividade, o professor pode usar fotografias das crianças e outros 
materiais variados já existentes na classe. 
APRESENTAÇÃO: 
O professor sugere às crianças que tragam seus retratos e, em seguida, pede 
que descrevam cada fotografia: época, idade, ação. O professor, então, escolhe uma 
foto qualquer e pergunta: 
– Quem é esta criança? 
– É o Carlos. Respondem os alunos. 
O professor pede a Carlos que vá até o quadro e escreva seu nome em letra 
cursiva: Carlos 
Após a escrita do nome, o professor solicita que escreva o seu nome com 
outros tipos de letras, em outros idiomas ou ele mesmo escreve: 
Karl Charles Carl 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
94
Voltando à foto, o professor pergunta mais uma vez:
– Quem é esta criança da foto? 
– O Carlos. 
– E o que escreveu na lousa? 
– Carlos. 
– E esta criança aqui, em carne e osso, a meu lado?
– Também é o Carlos. 
– Bem, qual é o verdadeiro Carlos? Quantos Carlos são? 
– Sou eu! Sou só eu! 
– E este da foto? 
– SOU EU! 
– E o Carlos escrito na lousa? 
– SOU EU também! 
– Isto me parece estranho! Afinal quero saber quem é o verdadeiro Carlos! O 
da foto? O da lousa? Este aqui? 
– O verdadeiro sou eu. Este é o meu retrato, o da lousa é o meu nome! 
– Muito bem. Este é o seu nome; é a escrita do seu nome e foi visto que se 
pode escrevê-lo de diversas formas. Aqui estão algumas fotos suas, em diferentes 
situações; o seu nome foi escrito de várias formas, mas o Carlos verdadeiro, que 
anda, que pula, que come e que brinca, afinal quem é? 
– SOU EU!!! 
– Certo, o da fotografia é a sua imagem, o da lousa é uma escrita, um desenho. 
Na verdade, todos são símbolos. 
Apresentado o conceito concreto do que é um símbolo, o professor passa para 
a formação de conjuntos com objetos da sala. 
Ele pede, então, a algumas crianças, que formem conjuntos com 3 elementos, 
limitando-os com lã ou barbante. Em seguida, evidencia um destes conjuntos e pede a 
uma das crianças que vá à lousa e represente este conjunto em um diagrama. 
 
95
Então, pergunta: 
– O que você desenhou? 
– Uma flor, um prego e um livro. 
– Uma flor? Então cheire-a. 
– Não posso, é um desenho. 
– Muito bem. Diga-me, agora: quantos elementos têm o seu conjunto? 
– Três. 
– E o do Gilberto? 
– Três. 
– Qual de vocês sabe escrever o três? 
– Eu!... Eu!... Eu!... 
O professor aproveita e apresenta diversas formas de representação do 3: 
a) (...conta a lenda que um camponês marcava cada feixe de feno 
que transportava com um traço no portal do celeiro ou em 
alguma árvore. Os romanos também usavam o mesmo 
sistema, na Antiguidade.) 
b) (os chineses usavam esta representação) 
c) (palavra em português) 
d) (palavra em inglês) 
 
três 
three 
. . . . . 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
96
O professor pergunta: 
– Qual é o verdadeiro três? Nenhum. Como a palavra Carlos, todos são 
símbolos. Qualquer um destes conjuntos pode ser representado pelo símbolo “3” ou 
numeral 3; mas, o verdadeiro número “três” é aquele que está em nossa mente: aquele 
conjunto que vocês imaginam com 3 elementos.
O professor continua: 
– Para representar a quantidade por meio de símbolos pode-se fazer uma 
correspondência: 
 O professor marca um traço para cada elemento do conjunto, mostrando a 
correspondência. 
OU
97
 O professor apresenta um cartão com o símbolo e o relaciona ao diagrama por um 
cordão ou fio de lã. 
EXERCÍCIOS: 
 1. Desenhar um conjunto de objetos do ambiente escolar. 
 2. Indicar a quantidade de elementos de conjuntos, modificando o tipo de símbolo 
numérico usado. Por exemplo: 
 3. Desenhado um conjunto, representar com símbolo a quantidade dos elementos que 
a ele pertence, indicando com setas o relacionamento entre o símbolo e cada elemento do 
conjunto. 
 Por exemplo: 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
98
 4. Reproduzir o conjunto precedente e indicar com um símbolo a quantidade, 
omitindo as setas da correspondência. 
CONTROLE DO ERRO: 
 No aluno e no professor. 
IDADE: 
 Logo que a criança dominar o relacionamento símbolo/quantidade. 
OBJETIVOS DIRETOS: 
 • Concretizar o conceito de símbolo para a representação de quantidades. 
 • Estabelecer as diversas formas de representação dos símbolos numéricos. 
 • Adquirir o conceito de número e de numeral. 
OBJETIVO INDIRETO: 
• Preparar aos materiais montessorianos: Barras Vermelhas e Azuis, 
Cartões de Relacionamento, Numerais de Lixa e materiais subsequentes básicos1. 
 
1 COLETÂNEA MONTESSORI - Desenvolvimento da Mente Matemática II ARITMÉTICA 1. Primeiro Plano do 
Desenvolvimento. PRESENCE Editora, RJ/BR, 2018.
99
SIMBOLISMO PARA OS CARDINAIS (1) 
SÍMBOLOS SOCIAIS DE GRUPO (CLAN) 
INTRODUÇÃO: 
Finalmente, chega-se à fase de relacionamento símbolo/quantidade. O capítulo 
anterior - Os Numerais e seus Símbolos - apresentou concretamente o conceito de 
símbolo e as suas diversas possibilidades de representação. 
Inicialmente, o trabalho foi sobre o conceito de quantidade, sem levar em conta 
o conceito de número. Depois, o trabalho passou à primeira relação 
símbolo/quantidade. Agora a atividade está centrada nas diversas formas de 
representação das quantidades, isto é, nas diversas convenções de representação para 
a numeração cardinal1. 
MATERIAL: 
O professor usa todo o material disponível, tais como: Caixas de Material 
Descontínuo, Blocos Lógicos, Caixas de Contagem, além de cartões brancos para as 
crianças fazerem a correspondência. 
APRESENTAÇÃO: 
O professor pede a algumas crianças que formem conjuntos com vários 
elementos, enquanto ele tem em mãos vários cartões brancos para as crianças fazerem 
a correspondência. 
 
1 CARDINAL - O número inteiro considerado independente de qualquer ordem de sucessão.
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
erív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
100
A partir do momento em que os cartões não sejam suficientes para a execução 
do relacionamento (ou correspondência), o professor sugere a criação de outros 
símbolos. 
Por exemplo: 
Pedro: 
Gustavo: 
Guilherme: 
Gabriel: 
quer dizer um
quer dizer dois
quer dizer três
quer dizer quatro
um dois três quatro
um três quatrodois cinco seis
um três quatrodois cinco seis
101
 Assim, as crianças vão sugerindo, com seu trabalho, uma sucessão de 
diferentes símbolos numéricos. 
 O professor nota que, a partir de uma certa quantidade, as crianças param por 
falta de símbolos ou incapacidade em combiná-los. Então, ele pode sugerir que se 
escolha, por exemplo, o símbolo que convencione a quantidade. Ele sugere que se 
use, por exemplo, a série de Gustavo, mas que, ao chegar ao quarto por falta de novos 
códigos, se recomece a usar os símbolos iniciais, combinados com o último obtido, e 
assim por diante: 
 A partir desta experiência, as crianças podem fazer diversos conjuntos e, com 
um cartão, representar a quantidade de elementos, usando sempre os símbolos que 
decidiram considerar como oficiais. 
 Outra atividade seria retornar à proposta do capítulo anterior, quando os 
elementos são colocados em sacos plásticos transparentes e ordenados em linha 
numérica. 
 Agora, acima de cada saquinho, o professor coloca um cartão com o símbolo. 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
102
EXERCÍCIOS: 
1. Desenhar no quadro de giz ou lousa um conjunto e colocar um cartão com o novo 
símbolo, um de cada vez. 
2. Determinar, na caixa dos Blocos Lógicos, o conjunto formado por: 
• Quadrados vermelhos, grandes e grossos 
• Círculos grandes e azuis 
• Retângulos grossos grandes 
• Formas pequenas vermelhas 
3. Representar conjuntos em folha de papel ou caderno, colori-los e colocar o 
cartãozinho com o símbolo. 
4. Fazer exercícios com as barras Coloridas Cuisinaire: 
a) A barrinha branca, a quantos cubos corresponde? 
b) Que símbolo numérico corresponde à barrinha vermelha? 
 
c) Duas barrinhas vermelhas, qual o símbolo correspondente? 
d) Duas barrinhas vermelhas, a qual barra corresponde? 
Qual o símbolo correspondente? 
e) Uma barrinha rosa a quantas vermelhas corresponde? 
Qual o símbolo que se relaciona a ela? 
 
103
f) Refazer, no caderno ou papel quadriculado, toda a série das barras 
relacionadas a símbolos. 
CONTROLE DO ERRO: 
 No aluno e no professor. 
IDADE: 
 A partir do momento em que a criança conquista a noção de quantidade e a 
coordenação da escrita para os símbolos. Dos 4,6 anos em diante. 
OBJETIVO DIRETO: 
● Possibilitar a descoberta de diversas formas de representar os cardinais. 
OBJETIVO INDIRETO: 
● Preparar à numeração subsequente e operações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
j)
k)
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
104
Verso em branco 
105
SIMBOLISMO PARA OS CARDINAIS 
SIMBOLISMO UNIVERSAL1
INTRODUÇÃO: 
O professor seleciona um material interessante no ambiente escolar que 
possibilite o relacionamento símbolo/quantidade. 
APRESENTAÇÃO: 
Quando o professor percebe que as crianças já relacionam bem as quantidades 
com os símbolos e já possuem uma boa movimentação da escrita dos numerais 
cardinais, gerada pelos exercícios com os Numerais de Lixa2, ele pode apresentar 
para elas como surgiu a universalidade dos símbolos devido à necessidade do 
Homem em usar os mesmos símbolos para representar as quantidades, principalmente 
no comércio, leis, datas. 
O professor apresenta, então, os símbolos até agora usados e os numerais 
arábicos, estabelecendo a relação: Por exemplo: 
 
1 É interessante que o professor realize uma pesquisa dos diversos símbolos existentes na Antiguidade e sua evolução, principalmente no Ensino 
Fundamental e utilize a história e os símbolos como conteúdo programático e artístico (associar à História da Arte). Utilizar também a História dos 
Sistemas de Numeração. Ópera Nazionale Montessori, Roma, Itália
2 Material especializado Montessori.
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
106
Como atividade de fixação, o professor sugere a troca dos símbolos da linha 
numérica pelos numerais cardinais. 
EXERCÍCIOS: 
1. Representar a escada ascendente (com as Barras Coloridas Cuisinaire) do 
branco ao verde escuro e escrever ao lado o numeral cardinal correspondente. 
 2. Desenhar na lousa, quadro de giz ou papel, uma linha inclinada, escrever 
alguns símbolos e pedir que as crianças coloquem os numerais que faltam. 
107
3. Criar exercícios gráficos, no quadro ou papel, acrescentando os valores que 
faltam sobre as linhas. 
 4. Colocar cartõezinhos com os símbolos numéricos nestes conjuntos: 
 5. Desenhar os conjuntos correspondentes aos seguintes cartões: 
 
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
108
 6. Representar, simbolicamente, os conjuntos correspondentes aos seguintes 
valores: 
CONTROLE DO ERRO: 
No aluno e no professor. 
IDADE: 
Quando a criança conquista as etapas precedentes, paralelo à conquista dos 
materiais montessorianos como: Barras da Numeração e Numerais de Lixa. O 
relacionamento quantidade/símbolo será fixado através dos Fusos, Tentos e Jogos 
Aritméticos de Grupo. Dos 4,6 anos em diante. 
OBJETIVOS DIRETOS: 
• Usar o simbolismo universalmente aceito para a representação da quantidade. 
• Preparar à escrita dos numerais cardinais segundo limites da quadrícula. 
• Conhecer o nome e a escrita dos cardinais. 
OBJETIVOS INDIRETOS: 
 
• Preparar à numeração, como conceito crescente de mais um.
• Preparar ao conceito de numeração ordinal, fracionário e decimal.
3 
2 
5 
0 
4 
BIBLIOGRAFIA MATEMÁTICA I 
 
• 14º Curso Internacional de Estudos Montessorianos de 6 a 12 anos, 
Bergamo, Itália, hoje denominado International Centre for Montessori 
Studies Foundation. Prof. Camillo Grazzini, Eleonora Honegger Caprotti e 
Antonia Trezzi. 1974/1975. 
 
• Curso Nacional de Especialização Didática segundo o Método Montessori, 
promovido pelo “Ente Opera Montessori” Roma, Itália, hoje Opera Nazionale 
Montessori). 1962/1963. Prof. Maria Teresa Marchetti, Anna Maria Pecchia e 
Maria Pia Fini. 
 
• Estudos de Cursos Anuais e Intensivos de São Paulo, Recife, Rio de Janeiro - 
Brasil, desde 1964 realizados pela OBRAPE - Organização Brasileira de 
Atividades Pedagógicas e ABEM - Associação Brasileira de Educação 
Montessoriana. 
 
• ALMEIDA, Talita de, CAVALIERI BAZILIO, Luiz. Educação Cósmica 
Montessoriana. A criança de 6 a 12 anos. Rio de Janeiro/RJ: OBRAPE 
Editora, 1979. 
 
 MONTESSORI, Maria. L’Autoeducazione nelle scuole elementari. 
Milão/IT: Editora Garzanti, 1962. 
 
 _______________ . Psicoaritmetica. Milão/IT: Editora Garzanti, 1972. 
(texto em italiano) 
 
 _______________ . Mente Absorvente. Rio de Janeiro/RJ: Portugália 
Editora (Brasil), s/ data. 
 
 _______________. A Descoberta da Criança (Pedagogia Científica). 
Campinas/SP: Editora Kírion, 2017 (título em italiano: La Scoperta del 
Bambino).
 
5ª Edição. 2018. 
BRASIL 
RIO DE JANEIRO 
©
Ed
iç
ão
 R
eg
ist
ra
da
 p
ar
a 
us
o 
pe
ss
oa
l e
 in
tr
an
sf
er
ív
el
 - 
A
BE
M
 - 
20
19
 
©PRESENCE Editora
• CNPJ 68.743.970/0001-10 Inscrição Municipal: 01.449.109 • Inscrição Estadual: 77.197.940 Pça. José de 
Alencar, no 8 - Flamengo - Rio de Janeiro, RJ - 22230-020 Brasil
Tel.: (21) 3477-1663 /(21) 2267-9050 /(21) 98202-8429/(21) 99855-4259
E-mail: montessoripresenceedit@hotmail.com
Site: www.montessoribrasil.com.br