Apostila Matemática Financeira Aplicada

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL UNINTER 
Matemática Financeira 
Aplicada 
UTA PROCEDIMENTOS APLICADOS À 
CONTABILIDADE 
 
JENIFFER SILVA 
11/04/2022 
 
 
 
 
 
 
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/38
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/38
CONVERSA INICIAL
A matemática financeira é a base para analisar alternativas de aplicação e obtenção de recursos
financeiros, como a quantidade que devemos depositar para acumular um determinado valor ou o
valor que devemos pagar a mais por estar realizando um empréstimo. 
Segundo Camargo (2007), a matemática financeira estuda a evolução do valor do dinheiro no
tempo, por meio da capitalização ou do desconto. A capitalização se refere à incorporação de juros a
uma quantia principal para determinar seu valor futuro, ao passo que o desconto se refere à
descapitalização de um montante para encontrar seu valor presente.
Na definição acima são apresentados vários conceitos como capitalização, juro, montante,
principal, valor futuro e valor presente, assim, nesta aula, abordaremos os principais conceitos
financeiros, a diferença entre capitalização simples e composta e as diferentes taxas envolvidas nas
operações financeiras.  
CONTEXTUALIZANDO
No nosso dia a dia realizamos várias operações, como compras utilizando o cartão de crédito,
empréstimos bancários e aplicações financeiras, mas quais são os principais conceitos que devemos
considerar para analisar as alternativas que são ofertadas?
As movimentações financeiras são baseadas na definição de uma taxa de juros. Assim, quando
realizarmos um empréstimo para pagarmos em prestações mensais, o valor final é superior ao valor
inicial. Dessa forma, é importante avaliarmos as opções para saber em qual local é mais vantajoso
realizar o empréstimo e qual a taxa que iremos pagar em cada alternativa.
Portanto, temos que a matemática financeira faz parte do nosso cotidiano, logo precisamos
entender os principais conceitos que estão envolvidos nas operações financeiras para tomar decisões
mais assertivas e vantajosas.
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/38
Saiba mais
Para entendermos um pouco mais como a matemática financeira é muito útil na nossa vida
pessoal, profissional e sobretudo nas organizações, vamos ler os seguintes artigos:
1. ENTENDA por que a matemática financeira pode ser útil para você. CapitalNow, 4 set.
2019. Disponível em: <https://www.capitalresearch.com.br/blog/investimentos/importancia-da-
matematica-financeira/>. Acesso em: 16 mar. 2021.
2. ALMEIDA, G. O que é a matemática financeira e qual a sua importância? Certifiquei, 23
out. 2020. Disponível em: <https://www.certifiquei.com.br/matematica-financeira/>. Acesso em:
16 mar. 2021.
3. SEM CRISE: entenda a importância da matemática financeira. Onze, 2020. Disponível em:
<https://www.onze.com.br/blog/importancia-da-matematica-financeira/>. Acesso em: 16 mar.
2021.
TEMA 1 – CONCEITOS FINANCEIROS
Figura 1 – Conceitos financeiros
Créditos: Kan_Chana/Shutterstock.
https://www.capitalresearch.com.br/blog/investimentos/importancia-da-matematica-financeira/
https://www.certifiquei.com.br/matematica-financeira/
https://www.onze.com.br/blog/importancia-da-matematica-financeira/
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/38
Uma pessoa aplica certa quantia, também chamada de capital, na poupança por um
determinado período. Essa aplicação é como se ela fizesse um empréstimo para o banco, logo, no
final do período, receberá uma quantia de juros a mais como compensação sendo este valor
estabelecido por uma porcentagem que chamamos de taxa de juros. Dessa forma, no final do
período, a pessoa terá na poupança a quantia correspondente ao capital mais o juro.
O capital (C) é o valor aplicado por meio de alguma operação financeira e também é conhecido
como principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado.
Ao rendimento em dinheiro decorrente da utilização de uma quantia por certo período de
tempo damos o nome de juros (J) e a incorporação do juro ao capital é denominada de capitalização.
Ao prazo durante o qual alguém paga ou recebe juros chamamos de tempo e o representamos pela
letra n. Assim, n indica o número de vezes que o capital será acrescido de juro. Consideramos os
juros mediante uma taxa percentual de juro (i) que se refere a uma unidade de tempo, que pode ser,
por exemplo, ano, semestre, mês ou dia. 
O valor disponível no final do período recebe o nome de montante ou valor futuro. Dessa forma,
o montante é obtido pela soma do capital ao juro e representado pela letra M.
Exemplo:
O valor de R$ 1.000 foi aplicado à taxa de 20% ao ano, durante 4 anos, produzindo R$ 800 de
juros no período.
Nesse exemplo foram apresentados os seguintes dados:
Capital (C) = R$ 1.000
Taxa de juros (i) = 20% ao ano
Tempo (n) = 4 anos
Juro (J) = R$ 800
Sabemos que montante (M) é obtido pela soma do capital ao juro, assim:
M = C + J
M = 1000 + 800
M = 1.800
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/38
Logo, no final dos 4 anos, teremos um montante de R$ 1.800.
TEMA 2 – JUROS
Figura 2 – Juros
Fonte: Vector Knight/Shutterstock.
  Pagamos juros quando financiamos a compra de um bem ou realizamos um empréstimo e
recebemos sempre que aplicamos dinheiro em um investimento. Segundo Castanheira (2016),
podemos utilizar as seguintes expressões como conceito de juros:
dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado
à nossa disposição;
remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado;
aluguel pago pelo uso do dinheiro.
De acordo com Francisco (1991), juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital
financeiro, por determinado tempo, a uma taxa previamente combinada. 
Para o cálculo do juro utilizamos uma taxa percentual aplicada sobre o capital que se refere a
uma unidade de tempo. No exemplo apresentado no tema 1, temos uma taxa de juros de 20% ao
ano, assim a taxa e o tempo estão na mesma unidade, ou seja, a taxa é apresentada ao ano, o tempo
expresso em ano. Caso isso não ocorra, devemos transformar a taxa ou o tempo para a obtenção da
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/38
homogeneidade entre ambos. Outro ponto que devemos observar ao utilizar a taxa é a capitalização
do juro, que pode ser, por exemplo, mensal, anual, diária, semestral, entre outras. 
Exemplo:
Considere um empréstimo de R$ 1.000 a taxa de 24% ao ano durante quatro meses.
Nesse exemplo, temos uma taxa de 24% anual, mas o período é apresentado em meses. Dessa
forma, devemos transformar e deixar taxa e tempo na mesma unidade. Para realizar esse processo
lembramos que um ano possui 12 meses, logo devemos dividir a taxa por 12 para transformar a taxa
anual em taxa mensal:
 24% / 12 = 2% ao mês
Podemos também transformar a taxa percentual em uma fração decimal dividindo o valor
encontrado por 100, assim:
2% / 100 = 0,02 ao mês.
Segundo Castanheira (2016), o regime de capitalização é que determina a forma de se
acumularem os juros. Caso estes incidam somente sobre o capital inicial, trata-se de juros simples ou
capitalização simples; se incidirem sobre o capital mais os juros acumulados anteriormente, são juros
compostos, também chamados de capitalização composta.  
TEMA 3 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Figura 3 – Capitalização simples
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/38
Créditos: Monster Ztudio/Shutterstock.
Na capitalização simples, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial, ou seja, é calculado
sobre o capital emprestado ou aplicado sendo produzido unicamente por este capital.
Vamos considerarcomo exemplo um empréstimo de R$ 1.000 durante 4 anos, à taxa de 20% ao
ano. Teremos em cada ano um valor de R$ 200 de juro, ou seja, aplicamos a taxa de 20% sobre o
capital de R$ 1.000:
20% de 1.000
Como estamos trabalhando com juro simples, o valor do juro, para cada período será o mesmo,
pois são calculados sobre o mesmo capital de R$ 1.000, que é o capital inicial. Assim, podemos
representar esse exemplo considerando o seguinte fluxo em que temos no momento zero ou inicial o
valor de R$ 1.000. Passando do período inicial para o período 1, temos a incidência dos 20% de juros,
produzindo o valor de R$ 200, que somamos ao valor inicial, obtendo o valor atualizado de R$ 1.200
(1.000 + 200 = 1.200). O mesmo ocorre para o período 2, em que temos o juro de R$ 200 que produz
um valor atualizado de R$ 1.400 (1.200 + 200 = 1.400). O mesmo raciocínio aplicamos nos demais
períodos obtendo um montante final de R$ 1.800. 
Figura 4 – Relação entre montantes e juros (1)
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/38
No exemplo acima, cada intervalo produz o mesmo valor de juro, ou seja, para cada período
consideramos uma taxa de 20% sobre o capital inicial de R$ 1.000 que produz um juro de R$ 200 por
período. Assim, para saber o total de juros pago, multiplicamos o valor de cada intervalo pelo
número total de intervalos, ou seja:
20% de 1.000 = 200
R$ 200 x 4 = R$ 800
De acordo com Castanheira (2016), para o cálculo dos juros simples (J) sobre o capital (C),
aplicamos a taxa de juros (i) e consideramos o tempo (n) sobre o qual eles incidem. Com isso,
chegamos à fórmula:
J = C . i . n
Vimos no tema 1 que montante (M) é obtido pela soma do capital ao juro e representado pela
fórmula:
M = C + J
Sabendo que J = C.i.n, podemos substituir na fórmula do montante o juro (J):
M = C + J
M = C + (C . i . n)
Na expressão acima temos em comum o C, então podemos colocar em evidência e obter a
fórmula para o cálculo do montante considerando juros simples:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/38
M = C (1 + i . n)
Vamos resolver o exemplo apresentado utilizando as fórmulas, assim temos:
C = 1.000
n = 4 anos
i = 20% = 20/100 = 0,20 ao ano
J = C . i . n
J = 1000 . 0,20 . 4
J = 800
Para o montante temos:
M = C (1 + i . n)
M = 1000 ( 1 + 0,20 . 4)
Resolvendo a multiplicação do parêntese, obtemos:
M = 1000 (1 + 0,8)
Realizando a soma e após a multiplicação, obtemos o valor do montante:
M = 1000 . 1,8
M = 1800
Encontramos os mesmos valores do fluxo apresentado, ou seja, para um empréstimo de R$ 1.000
durante 4 anos pagamos um montante de R$ 1.800 sendo R$ 800 de juros.
Saiba mais
Para encontrarmos os valores acima podemos também utilizar a calculadora HP 12C, sendo
que para o cálculo de juros simples será necessário utilizar o período em dias e a taxa de juros
em ano, assim resolvemos o exemplo da seguinte forma:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/38
f    REG                     (limpa os registros (memórias) financeiros)
f    2                          (duas casas decimais no visor)
1440  n                      (período em dias, considerando ano comercial, 360 dias)
20    i                         (define a taxa de juro anual)
1000 CHS PV            (capital inicial)
f INT                         (valor do juro simples)
+                              (valor do montante)                                 Exemplo 1:
Uma pessoa realiza um empréstimo de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à
taxa de 3% ao mês. Quanto pagará de juros?
Antes de iniciarmos a resolução deste problema, vamos identificar os dados apresentados no
enunciado:
C = R$ 2.000,00
n = 3 meses
i = 3% = 0,03 ao mês (a.m.)
J= ?
Com os dados acima vamos aplicar a fórmula do juro simples:
J = C . i . n
J = 2.000 x 0,03 x 3
J = 180
Saiba mais
Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros. Para utilizar a  HP12C,
precisamos transformar a taxa em ano e o período em dias, assim:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/38
f    REG                    
f    2                         
90  n                  (período em dias, considerando 30 dias por mês)
36    i                 (taxa anual 3% x 12)
2000 CHS PV            (capital inicial)
f INT                         (valor do juro simples)
Exemplo 2:
Determine o montante ao final de 8 meses de um capital de R$ 1.500,00 aplicados à taxa de juro
simples de 40% ao ano (a.a).
O enunciado fornece os seguintes dados:
C = 1500
n = 8 meses
i = 40% ao ano
M = ?
Analisando os dados, percebemos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, pois a
taxa é apresentada em ano e o período em meses. Dessa forma, será necessário transformar a taxa
para meses, lembrando que 1 ano possui 12 meses, logo dividimos a taxa por 12:
i = 40% ao ano
40% / 12 = 3,33333333% ao mês / 100 = 0,03333333
Agora aplicamos a fórmula do montante:
M = C (1 + i . n)
M = 1500 (1+ 0,03333333. 8)
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/38
M = 1500 (1 + 0,26666664)
M = 1500 . 1,2666666
M = 1900
Logo um capital de R$ 1.500 aplicados à taxa de 40% ao ano em 8 meses produzirá um
montante de R$ 1.900,00.
Saiba mais
Para utilizar a HP12C, precisamos transformar o período em dias, assim:
f    REG                    
f    2                         
240  n                (período em dias, considerando 30 dias por mês)
40    i                 (taxa anual)
1500 CHS PV            (capital inicial)
f INT                         (valor do juro simples)
+                              (valor do montante)                                
Exemplo 3:
Qual é o capital inicial que devemos depositar para obter um montante de R$ 148.000 daqui a
18 meses a uma taxa de juro simples de 48% ao ano?
Neste exercício, o objetivo é calcular o valor do capital inicial (C) e o enunciado fornece os
seguintes dados:
M = 148000
n = 18 meses
i = 48% a.a
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 13/38
Como temos o montante e precisamos encontrar o capital, vamos aplicar a fórmula do
montante, mas precisamos primeiramente transformar a taxa, pois ela está anual e o período em
meses:
i = 48% a.a / 12 = 4% a.m / 100 = 0,04
M = C (1 + i . n)
148000 = C (1+0,04 . 18)
148000 = C (1 + 0,72)
148000 = C (1,72)
Precisamos isolar o valor de C então vamos passar o valor 1,72 que está multiplicando para o
outro membro dividindo:
148000 / 1,72 = C
C = 86046,51
Logo para termos um montante de R$ 148.000 no final de 18 meses a taxa de 48% ao ano
precisamos depositar inicialmente R$ 86.046,51.
Exemplo 4:
Qual é a taxa que devemos aplicado o capital de R$ 3.200 para produzir R$ 4.184 no final de 10
meses?
Neste exemplo, temos o capital, o montante e o tempo, sendo necessário calcular a taxa de
juros, assim:
C = 3200
M = 4184
n = 10
i = ?
M = C (1 + i . n)
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 14/38
4184 = 3200 (1 + i. 10)
Precisamos isolar a variável i, então vamos passar o 3.200 que está multiplicando para o outro
membro, dividindo:
4184 / 3200 = 1 + i. 10
1,3075 = 1 + i. 10
Agora vamos passar o 1 que está somando para o outro membro, subtraindo:
1,3075 – 1 = i. 10
0,3075 = i.10
Por fim, passando o 10 que está multiplicando para o outro membro, dividindo:
0,3075 / 10 = i
i = 0,0308 x 100 = 3,08% ao mês
Como temos o nosso tempo em meses, a resposta final da taxa será apresentada em meses.
Logo, para obter R$ 4.184 no final de 10 meses com um capital de R$ 3.200, precisamos aplicar com
uma taxa de 3,08% ao mês.
TEMA 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Figura 5 – Capitalização composta
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 15/38
Créditos: Doubletree Studio/Shutterstock.
A maioria das operações utiliza  juros compostos, por ser mais lucrativo, por exemplo, compras
com cartãode crédito, empréstimos bancários, aplicações financeiras na poupança e aplicações em
fundos de renda fixa.
No juro composto, no fim de cada período, o juro é somado ao capital constituído no início, para
produzirem novos juros no período seguinte, ou seja, o juro de cada intervalo de tempo é
incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
De acordo com Castanheira (2016), na capitalização composta, os juros do primeiro período são
somados ao capital inicial e, sobre os dois, serão calculados os juros do segundo período, e assim
sucessivamente, daí de os juros compostos serem chamados de juros sobre juros.
 Considerando o exemplo de um capital de R$ 1.000 colocado a 20% ao ano durante 4 anos a
juro composto, temos no fim do primeiro ano que o juro é igual a R$ 200 (20% de R$ 1.000), que é
somado ao capital de R$ 1.000 produzindo o novo capital de R$ 1.200. Esse novo valor produzirá
juros no segundo ano, conforme fluxo mostrado na Figura 6:
Figura 6 – Relação entre montantes e juros (2)
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 16/38
No segundo ano, o juro será de R$ 240, ou seja, a taxa de 20% será calculada considerando o
novo valor de R$ 1.200, produzindo um novo saldo de R$ 1440 (1200 + 240). Já no terceiro ano o
juro será R$ 288, pois aplicamos a taxa de 20% no saldo anterior que é de R$ 1440, produzindo um
valor de R$ 1728 (1440 + 288). No quarto ano, o juro será de 20% sobre o capital R$ 1.728, ou seja,
345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano será de R$ 2.073,60 sendo o juro total de
R$1.073,60.
M = C + J
2073,60 = 1000 + J
J = 2073,60 – 1000
J = 1073,60
Comparando os valores obtidos em juros compostos com os juros simples, apresentados no
tema 3, verificamos que em juros simples temos um montante de R$ 1.800 com juro de R$ 800 e em
juro composto temos um juro de R$ 1.073,60. Essa diferença ocorre, pois em juro simples o juro é
calculado sempre sobre o capital inicial. No exemplo temos uma diferença de R$ 273,60 (1073,60 –
800) no montante final comparando juros simples e compostos.  A tabela e o gráfico abaixo
apresentam a evolução dos montantes considerando juros simples e composto:
Tabela 1 – Evolução dos montantes
Anos 0 1 2 3 4
Montante Juro Simples 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 17/38
Montante Juro Composto 1.000 1.200 1.440 1.728 2.073,60
Figura 7 – Relação entre juros simples e composto
Para calcular os juros aplicamos a fórmula J = C.i, sendo assim, para obter o montante de cada
período, é necessário multiplicar o capital por (1+i) tantas vezes quanto for o número de períodos
envolvidos, assim o montante no primeiro período será:
M1 = C (1+i)
M1 = 1000 (1+0,20)
M1 = 1000 . 1,20
M1 = 1.200
ou seja,
J = C .i
J = 1000 . 0,20 = 200
M = C + J
M1 = 1000 + 200 = 1.200
Para o segundo período utilizamos o novo valor encontrado (M1), assim:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 18/38
M2 = M1 (1+i)
Sabemos que M1 = C (1+i), então substituímos na fórmula acima:
M2 = C (1+i) (1+i)
M2 = 1000 (1+0,20) (1+0,20)
M2 = 1000. 1,20.1,20
M2 =1.440
Verificamos que o fator (1+i) varia de acordo com a quantidade de períodos, ou seja, ele aparece
à quantidade de períodos da capitalização. Logo, a fórmula do montante para Juro Composto será:
M = C. (1 + i)n
Exemplo 1:
Uma pessoa realiza um empréstimo de R$ 2.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 3 meses, à
taxa de 3% ao mês. Quanto pagará no final do período?
C = R$ 2.000,00
n = 3 meses
i = 3% ao mês / 100 = 0,03
M = ?
Aplicando a fórmula, temos:
M = C. (1 + i)n
M = 2.000 . (1 + 0,03)³
M = 2.000 . (1,03)³
M = R$ 2.185,45
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 19/38
Saiba mais
Para encontrarmos os valores acima podemos também utilizar a calculadora HP 12C, sendo
que para o cálculo da capitalização composta precisamos manter o período (n) na mesma
unidade de tempo da taxa de juros (i), assim:
f    REG                     (limpa os registros (memórias) financeiros)
f    2                          (duas casas decimais no visor)
3  n                           (período)
3    i                          (define a taxa de juro)
2000 CHS PV            (capital inicial)
FV
Exemplo 2:
Qual o valor dos juros compostos produzidos considerando um capital R$ 500,00 que aplicado
durante 8 meses à taxa de 5% ao mês?
C =  500
i = 5% / 100 = 0,05
n = 8
J = ?
M = C  × (1 + i)n
M = 500 × (1 + 0,05)8
M = 500 × (1,05)8
M = R$ 738,73
Encontramos o valor do montante e, para calcular o juro, utilizamos a seguinte fórmula:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 20/38
M = C + J
Isolando o juro, temos:
J = M – C
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
Outra alternativa para calcular o juro é aplicar a seguinte fórmula, que obtemos substituindo M =
C + J na fórmula do montante:
M = C + J
M = C × (1 + i)n
C + J = C × (1 + i)n
J = C × (1 + i)n - C
Colocando C em evidência, obtemos:
J = C [(1 + i)n – 1]
Aplicando a fórmula obtida, obtemos o mesmo resultado:
J = C [(1 + i)n – 1]
J = 500 [(1+0,05)8 -1]
J =  500 [(1,05)8 -1]
J =  500 [1,477455 -1]
J =  500 [0,477455]
J = 238,73
Saiba mais
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 21/38
Pela calculadora HP 12C, temos:
f    REG                      
f    2                           
8  n                            (período)
5    i                           (define a taxa de juro)
500 CHS PV              (capital inicial)
FV
RCL PV                     (RCL mostra uma posição de memória)
+
Exemplo 3:
Qual é o capital a ser aplicado à taxa de juros composto de 1,5% ao mês durante 8 meses que
produzirá um montante de R$ 2.816,23?
Nesse exercício, temos os seguintes dados:
M = 2.816,23
i = 1,5% a.m / 100 = 0,015
n = 8 meses
C = ?
Precisamos calcular o capital e temos o valor do montante, assim aplicamos a fórmula:
M = C. (1 + i)n
2816,23 = C (1 + 0,015)8
2816,23 = C (1,015)8
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 22/38
2816,23 = C . 1,126493
Para isolar a variável C vamos passar o valor 1,1265 que está multiplicando para o outro membro
dividindo:
2816,23 / 1,126493 = C
C =  2499,99 = 2500
C =  2500
Podemos isolar o capital na fórmula do montante e obter a seguinte fórmula, que resultará no
mesmo valor encontrado no exemplo 3:
M = C. (1 + i)n
Saiba mais
Outra alternativa para encontrar o capital é utilizar a calculadora HP 12C, assim:
f    REG   
f    2        
8  n                           
1,5    i                          
2816,23 CHS FV         
PV
Segundo Francisco (1991), na constituição do montante, os juros podem ser calculados no fim
de cada ano, semestre, trimestre ou mês. Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente,
semestralmente, trimestralmente ou mensalmente. Geralmente, com referência ao período de
capitalização, a taxa de juros é anual. Por exemplo, juros de 18% ao ano capitalizado semestralmente,
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 23/38
assim a taxa semestral proporcional a 18% a.a é de 9% ao semestre. Vale lembrar que um ano possui
dois semestres. Assim:
18% ao ano / 2 = 9% ao semestre
Exemplo 4:
Qual é o montante que será produzido aplicando R$ 500 a taxa de juro composto de 24% ao
ano capitalizados trimestralmente durante 2 anos?
Neste exercício, temos os seguintes dados:
C = 500
i = 24% a.a
n = 2 anos
M = ?
A taxa e o período estão em anos, mas o exercício indica que a capitalização é trimestral. Dessa
forma, precisamos transformar taxa e período em trimestres, lembrando que um ano possui 4
trimestres. Assim:
i = 24% a.a / 4 = 6% a.t / 100 = 0,06
n = 2 anos = 8 trimestres
Agora aplicamos a fórmula do montante:
M = C. (1 + i)n
M = 500 (1+0,06)8
M = 500 (1,06)8
M = 500 . 1,593848
M = 796,92
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/24/38
Saiba mais
Pela calculadora HP 12C temos:
f    REG   
f    2        
8  n                           
6  i                          
500 CHS PV         
FV
Estudamos o cálculo do juro composto utilizando as fórmulas e a calculadora financeira HP 12C,
mas podemos também utilizar o Excel. Para calcular o montante / valor futuro no Excel utilizamos a
fórmula:
VF  = (taxa;períodos;valorpresente)
Aplicando o fórmula acima no exemplo 4, temos:
Quadro 1 – Cálculo de montante
A B
1 Capital -500
2 Taxa 6%
3 Período 8
4 Montante = VF (B2; B3; B1; 0)
Saiba mais
Para saber mais da utilização da HP 12C e o Excel, acesse o seguinte link e leia o capítulo
indicado:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 25/38
1. FERREIRA, R. G. Juros compostos: a força mais poderosa do mundo em finanças pessoais –
entenda o que é e aprenda a calcular no Excel e na HP12C. Clube do Valor, 23 nov. 2020.
Disponível em: <https://clubedovalor.com.br/blog/juros-compostos/>. Acesso em: 16 mar. 2021.
2. Capítulo 5 da seguinte obra:
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada. São Paulo: Pearson, 2006.
TEMA 5 – TAXAS
Figura 8 – Taxas
Créditos: Monster Ztudio/Shutterstock.
Existem várias formas de identificar uma taxa de juro e podemos utilizar a taxa equivalente, taxa
nominal, taxa efetiva, taxa aparente e taxa real.
5.1 TAXA EQUIVALENTE
Segundo Castanheira (2008), duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos constantes o
capital e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o mesmo, quaisquer
que sejam os períodos de capitalização. Para a determinação da taxa equivalente, em capitalização
composta, utilizamos a fórmula:
https://clubedovalor.com.br/blog/juros-compostos/
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 26/38
Em que:
iq = taxa que eu quero
it = taxa que eu tenho
q = tempo da taxa que eu quero
t = tempo da taxa que eu tenho
Exemplo 1:
Qual é a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês?
Para obter a taxa equivalente, vamos analisar os dados fornecidos onde queremos calcular a taxa
anual de uma taxa de 1,2% ao mês, logo a taxa que tenho é 1,2% e o tempo que tenho é 1 mês, pois
a taxa é apresentada em mês (1,2% ao mês). O tempo que quero é 1 ano, pois queremos calcular a
taxa anual. Percebemos que o tempo que tenho (1 mês) não está na mesma unidade do tempo que
quero (1 ano), assim precisamos transformar, lembrando que 1 ano é igual a 12 meses. Assim:
iq = taxa que eu quero = ?
it = taxa que eu tenho = 1,2% /100 = 0,012
q = tempo da taxa que eu quero = 1 ano = 12 meses
t = tempo da taxa que eu tenho = 1 mês
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 27/38
Saiba mais
Podemos utilizar também a calculadora HP 12C para encontrar a taxa equivalente, assim:
f    REG   
f    4
STO     EEX
100   CHS   PV
101,2  FV
12    1/x    n
i
O comando STO EEX indica que a taxa equivalente será calculada em capitalização composta. No
comando PV, sempre informamos o valor 100 para encontrar a taxa em percentual. No FV
informamos o resultado da soma entre o PV e a taxa conhecida que, nesse caso, é 1,2% (100 + 1,2 =
101,2). Já no n devemos informar o resultado da divisão do tempo da taxa que eu tenho pelo tempo
da taxa que eu quero (t/q).          
Exemplo 2:
Qual é a taxa equivalente ao bimestre de 24% a.a?
iq = taxa que eu quero = ?
it = taxa que eu tenho = 24% /100 = 0,24
q = tempo da taxa que eu quero = 1 bimestre
t = tempo da taxa que eu tenho = 1 ano = 6 bimestres
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 28/38
Saiba mais
Pela calculadora HP 12 C, temos:
f    REG   
f    4
STO     EEX
100   CHS   PV
124  FV
6      ni
5.2 TAXA NOMINAL
De acordo com Castanheira (2016), temos uma taxa nominal quando o prazo de formação e
incorporação dos juros ao capital inicial não coincide com aquele a que ela se refere. Normalmente, é
expressa para periodicidade anual e transformada em taxa para periodicidade menor, de forma
proporcional.
Exemplo 1:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 29/38
Taxa de 24% a.a, capitalização mensal.
Temos uma taxa anual e queremos a taxa mensal, assim consideramos que um ano possui doze
meses e realizamos a divisão, logo:
24% a.a / 12 = 2% a.m
Exemplo 2:
Taxa nominal de 36% a.a, capitalização trimestral.
Considerando que 1 ano possui 4 trimestres, temos:
36% a.a / 4 = 9% a.t
5.3 TAXA EFETIVA
Segundo Castanheira (2008), quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada
coincide com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu, temos uma taxa
efetiva.
De acordo com Francisco (1991), quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas
proporcionais, os juros obtidos no fim de um ano são maiores do que a taxa oferecida. Por exemplo,
um capital de R$ 100 colocados a 20% a.a, capitalizado semestralmente por um ano, produz o
seguinte montante:
M = C. (1 + i)n
M = 100. (1 + 0,10)2
M = 100. (1,10)2
M = 100 . 1,21
M = 121
Obs.: a taxa foi transformada de anual para semestral, assim:
20% a.a / 2 = 10% a.s = 0,10
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 30/38
Com o valor do montante obtido vamos encontrar a taxa anual:
M = C. (1 + i)n
121 = 100. (1 + i)1
121 / 100 = 1 + i
1,21 = 1 + i
1,21 – 1 = i
i = 0,21 x 100 = 21% a.a
Logo, o juro pago no ano foi de 21%, assim a taxa de 20% a.a. é a taxa nominal e a taxa de 21%
é a taxa efetiva. 
Saiba mais
Pela calculadora HP 12C, temos:
f    REG   
f    2     
100 CHS PV         
2  n                           
10  i                          
FV
1   n
i
5.4 TAXA REAL E APARENTE
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 31/38
De acordo com Castanheira (2008), a taxa aparente é a taxa que se utiliza sem se levar em conta
a inflação do período. Já a taxa real é a taxa que se utiliza levando-se em consideração os efeitos
inflacionários do período.
Considere que uma empresa deu um aumento salarial de 20% para um determinado funcionário
referente a um período em que houve inflação, então este valor de 20% não reflete um aumento real,
pois não considerou a inflação do período, logo essa taxa é uma taxa aparente. Caso a correção
efetuada no salário tenha sido menor que a inflação do período, podemos ter uma taxa real negativa.
Considerando um capital C aplicado por um determinado tempo n e que resultou em um
montante M, temos a fórmula do montante considerando a taxa aparente:
M = C. (1 + ia)
Se considerarmos que nesse período n ocorreu uma inflação I, devemos acrescentar a taxa real i
e a taxa de inflação I no cálculo do montante, logo:
M = C. (1 + i).(1+I)
Agora vamos igualar a duas fórmulas do montante para encontrar a fórmula da taxa real i:
C. (1 + ia) = C. (1 + i).(1+I)
Passamos o C que está multiplicando no segundo membro dividindo e assim podemos
eliminar essa variável:
(1 + ia) = (1 + i).(1+I)
Para isolar o i passamos (1+I) que está multiplicando para o outro membro dividindo:
(1 + ia) = (1 + i).(1+I)
Agora o 1 que está somando passa subtraindo:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 32/38
Exemplo 1:
Qual é a taxa real de uma aplicação em que a taxa aparente foi de 8% ao mês, em um período
em que a inflação foi de R$ 2,86%?
O enunciado fornece os seguintes dados:
ia = 8% /100 = 0,08
I = 2,86% /100 = 0,0286
Exemplo 2:
Qual é a taxa real de uma aplicação em que a taxa aparente foi de 4% ao mês, em um período
em que a inflação foi de R$ 5%?
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 33/38
A taxa real encontrada foi negativa, ou seja, nessa aplicação ocorreu um prejuízo.
TROCANDO IDEIAS
Nesta aula estudamos os principais conceitos envolvendo a matemática financeira e entendemos
por que o juro composto é tão utilizado na prática. Provavelmente você já realizou ou conhecealguém que já fez um empréstimo, financiamento ou alguma aplicação financeira. Escolha uma
operação financeira e avaliei os seguintes pontos:
Prazo da operação;
Taxa utilizada;
Capital inicial;
Montante. 
NA PRÁTICA
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver alguns exercícios:
Exercício 1:
Considerando uma aplicação de R$ 4.000, qual das situações terá maior rendimento e de quanto
a mais será?
1. Juro simples, à taxa de 3% ao mês durante 2 meses;
2. Juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses.
Vamos calcular o juro de cada situação e após comparar os resultados obtidos:
1. Juro simples, à taxa de 3% ao mês durante 2 meses
C = 4000
i = 3% / 100 = 0,03
n = 2 meses
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 34/38
J = C .i.n
J = 4000 . 0,03 . 2
J = 240
Saiba mais
Utilizando a HP 12C, temos:
f    REG                    
f    2                         
60  n       (período em dias)         
36    i      (taxa anual)            
4000 CHS PV      
f INT                      
2. Juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 3 meses.
C = 4000
i = 2% / 100 = 0,02
n = 3 meses
M = 4000 (1+0,02)3
M = 4000 (1,02) 3
M = 4000 1,0612
M = 4244,80
M = C + J
4244,80 = 4000 + J
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 35/38
J = 4244,80 – 4000
J = 244,80
Saiba mais
Pela HP12C temos:
f    REG                     
f    2                          
3  n                           
2    i                          
4000 CHS PV             
FV
RCL PV                    
+
Temos na primeira opção um juro de R$ 240 e na segunda um total de R$ 244,80, logo a
segunda opção terá o maior rendimento com uma diferença de R$ 4,80 a mais.
Exercício 2:
Qual o tempo que devemos aplicar um capital de R$ 800.000 à taxa de juro simples de 16% ao
ano para obtermos um montante de R$ 832.000?
Analisando o enunciado, temos:
C = 800.000
n = ?
i = 16% ao ano
M = 832.000
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 36/38
Aplicando a fórmula do montante, temos:
M = C (1 + i.n)
832000 = 800000 (1 + 0,16 n)
1,04 = 1 + 0,16 n
1,04 – 1 = 0,16 n
0,04 = 0,16 n
n = 0,25
Como a taxa está em ano, temos a resposta também em ano, ou seja, 0,25 do ano que
corresponde a 3 meses:
0,25 x 12 = 3 meses
Exercício 3:
Qual o juro de uma aplicação de R$ 1.000 colocado por 4 anos a uma taxa de juro composto de
20% a.a, capitalizados semestralmente?
Analisando o enunciado, temos:
C = 1000
n = 4 anos
i = 20% a.a
J = ?
Nesse exercício, temos a capitalização semestral, assim precisamos transformar a taxa e o tempo
para semestre, lembrando que em um ano temos 2 semestres. Assim:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 37/38
n = 4 anos x 2 = 8 semestres
i = 20% a.a / 2 = 10% a.s = 0,10
Aplicando a fórmula do juro composto, temos:
J = C [(1 + i)n – 1]
J = 1000 [(1+0,10)8 – 1]
J = 1000 [(1,10)8 – 1]
J = 1000 [2,1436 – 1]
J = 1000 . 1,1436
J = 1143,60
Saiba mais
Utilizando a HP 12C, temos:
f    REG                     
f    2                          
8  n                           
10    i                          
1000 CHS PV             
FV
RCL PV                    
+
FINALIZANDO
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 38/38
Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo a matemática financeira, como juro,
taxa, montante, capital; diferenciamos o juro simples do juro composto além de apresentar as
diferenças entre as taxas nominal, efetiva, aparente e real. Vimos que nas operações financeiras
temos a aplicação do juro composto e que esses conceitos ajudarão na análise de alternativas,
tornando a tomada de decisão mais assertiva.
REFERÊNCIAS
CAMARGO, C. Análise de investimentos e demonstrativos financeiros. Curitiba: Ibpex, 2007.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex, 2008.
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016.
FRANCISCO, W. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1991.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada.
São Paulo: Pearson Prentise Hall, 2006.
1
Prof.ª Aline Purcote
Matemática Financeira Aplicada
Aula 1
Conversa Inicial
Para que serve e onde posso aplicar os 
conceitos da matemática financeira?
O que é capitalização?
Qual a diferença entre juro
simples e juro composto?
Quais as diferentes taxas utilizadas
nas aplicações financeiras?
Matemática financeira
Principais temas:
Conceitos financeiros
Juros
Capitalização simples
Capitalização composta
Taxas
Conceitos financeiros
Capital (C) = valor aplicado por meio de 
alguma operação financeira. Principal, valor 
atual, valor presente ou valor aplicado
Juros (J) = rendimento em dinheiro 
decorrente da utilização de uma
quantia por certo período de tempo
Capitalização = incorporação do juro ao 
capital
Conceitos financeiros
2
Tempo (n) = prazo durante o qual alguém 
paga ou recebe juros. Indica o número de 
vezes que o capital será acrescido de juro 
Taxa de juro (i) = ano, semestre, mês ou dia 
Montante ou Valor Futuro (M) = valor 
disponível no final do período. É obtido
pela soma do capital ao juro
Juros
Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. 
Custo do capital de terceiros colocado à nossa 
disposição
Remuneração paga pelas instituições
financeiras sobre o capital nelas aplicado
Aluguel pago pelo uso do dinheiro
Compensação pelo uso de um capital
financeiro, por determinado tempo,
a uma taxa previamente combinada
Juros
Capitalização simples
O juro é calculado sempre sobre o capital 
inicial, ou seja, é calculado sobre o capital 
emprestado ou aplicado sendo produzido 
unicamente por este capital
Empréstimo de R$ 1.000 durante 4 anos,
à taxa de 20% ao ano
Capitalização simples Taxa = 20% / período
1.000 1.200 1.400 1.600 1.800
Montantes
200 200 200 200
Juros
0 1 2 3 4 anos
3
𝑴 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟎,𝟐𝟎.𝟒
𝑴 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟎,𝟖𝟎
𝑴 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏,𝟖 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝑱 𝟏𝟎𝟎𝟎.𝟎,𝟐𝟎.𝟒
𝑱 𝟖𝟎𝟎
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊.𝒏 𝑱 𝑪. 𝒊.𝒏
Determine o montante ao final de 8 meses de 
um capital de R$ 1.500,00 aplicados à taxa 
de juro simples de 40% ao ano.
40% / 12 = 3,3333% ao mês / 100 = 0,0333
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 .𝒏 
𝑴 𝟏𝟓𝟎𝟎 .𝟏,𝟐𝟔𝟔𝟒 
𝑴 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝟎,𝟎𝟑𝟑𝟑 .𝟖 
𝑴 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝟎,𝟐𝟔𝟔𝟒 
𝑴 𝟏𝟖𝟗𝟗,𝟔𝟎 
Qual o capital inicial que devemos depositar 
para obter um montante de R$ 148.000 daqui 
a 18 meses a uma taxa de juro simples de 
48% ao ano?
i = 48% a.a / 12 = 4% a.m / 100 = 0,04
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 .𝒏 
𝟏𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 𝑪 𝟏,𝟕𝟐 
𝟏𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 𝑪 𝟏 𝟎,𝟎𝟒 .𝟏𝟖 
𝟏𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 𝑪 𝟏 𝟎,𝟕𝟐 
𝟏𝟒𝟖𝟎𝟎𝟎 /𝟏,𝟕𝟐 𝑪 𝑪 𝟖𝟔𝟎𝟒𝟔,𝟓𝟏 
Capitalização composta
O juro de cada intervalo de tempo
é incorporado ao capital inicial e
passa a render juros também
Juros sobre juros
Empréstimo de R$ 1.000 durante
4 anos, à taxa de 20% ao ano
Capitalização composta
Taxa = 20% / período
1.000 1.200 1.440 1.728 2.073,6
Montantes
200 240 288 345,60
Juros
0 1 2 3 4 anos
4
𝑴 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟎,𝟐𝟎 𝟒
𝑴 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏,𝟐𝟎 𝟒
𝑴 𝟏𝟎𝟎𝟎.𝟐,𝟎𝟕𝟑𝟔 𝟐𝟎𝟕𝟑,𝟔𝟎
𝑱 𝟐𝟎𝟕𝟑,𝟔𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟕𝟑,𝟔𝟎
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 𝒏
Qual o valor do montante e dos juros 
compostos produzidos considerando um 
capital R$ 500,00 que aplicado durante
8 meses à taxa de 5% ao mês?
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 𝒏
𝑴 𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝟎,𝟎𝟓 𝟖
𝑴 𝟓𝟎𝟎 𝟏,𝟎𝟓 𝟖
𝑴 𝟕𝟑𝟖,𝟕𝟑
𝑱 𝟕𝟑𝟖,𝟕𝟑 𝟓𝟎𝟎
𝑱 𝟐𝟑𝟖,𝟕𝟑
Qual o capital a ser aplicado à taxa de juros 
composto de 1,5% ao mês durante 8 meses 
que produzirá um montante de R$ 2.816,23?
𝑪
𝑴
𝟏 𝒊 𝒏
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 𝒏
𝟐𝟖𝟏𝟔,𝟐𝟑 𝑪 .𝟏,𝟏𝟐𝟔𝟒𝟗𝟑 
𝟐𝟖𝟏𝟔,𝟐𝟑 𝑪 𝟏 𝟎,𝟎𝟏𝟓 𝟖
𝟐𝟖𝟏𝟔,𝟐𝟑 𝑪 𝟏,𝟎𝟏𝟓 𝟖 
𝟐𝟖𝟏𝟔,𝟐𝟑/𝟏,𝟏𝟐𝟔𝟒𝟗𝟑 𝑪 
𝑪 𝟐𝟒𝟗𝟗,𝟗𝟗 𝟐𝟓𝟎𝟎 
Qual o montante que será produzido 
aplicando R$ 500 a taxa de juro composto de 
24% ao ano capitalizados trimestralmente 
durante 2 anos?i = 24% a.a/4 = 6% a.t/100 = 0,06
n = 2 anos = 8 trimestres
𝑴 𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝟎,𝟎𝟔 𝟖
𝑴 𝟓𝟎𝟎 𝟏,𝟎𝟔 𝟖
𝑴 𝟓𝟎𝟎.𝟏,𝟓𝟗𝟑𝟖𝟒𝟖
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 𝒏
𝑴 𝟕𝟗𝟔,𝟗𝟐
Taxas
Duas ou mais taxas são equivalentes se, ao 
mantermos constantes o capital e o prazo de 
aplicação do capital, o montante resultante 
da aplicação for o mesmo quaisquer que 
sejam os períodos de capitalização
Taxa equivalente
𝒊𝒒 𝟏 𝒊𝒕
𝒒
𝒕 𝟏
5
Qual a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês?
𝒊𝒒 𝟏 𝒊𝒕
𝒒
𝒕 𝟏
𝒊𝒒 𝟏 𝟎,𝟎𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝟏 𝟏
𝒊𝒒 𝟏,𝟎𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟏
𝒊𝒒 𝟏,𝟏𝟓𝟑𝟖𝟗𝟓 𝟏
𝒊𝒒 𝟎,𝟏𝟓𝟑𝟖𝟗𝟓 𝟏𝟓,𝟑𝟖𝟗𝟓%𝒂.𝒂
Quando o prazo de formação e incorporação 
dos juros ao capital inicial não coincide com 
aquele a que ela se refere
Normalmente é expressa em ano
Exemplo: taxa de 24% a.a.,
capitalização mensal
Taxa nominal
Quando o prazo a que se refere uma
taxa coincide com aquele de formação
e incorporação do juro ao capital que o 
produziu
Quando uma taxa de juros anual é paga em 
parcelas proporcionais, os juros obtidos no 
fim de um ano são maiores do que a taxa 
oferecida
Taxa efetiva Capital de R$ 100 colocados a 20% a.a., 
capitalizado semestralmente por um ano
𝑴 𝟏𝟎𝟎. 𝟏 𝟎,𝟏𝟎 𝟐
𝑴 𝟏𝟎𝟎. 𝟏,𝟏𝟎 𝟐
𝑴 𝟏𝟎𝟎.𝟏,𝟐𝟏
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 𝒏
𝑴 𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟎𝟎. 𝟏 𝒊 𝟏
𝟏𝟐𝟏 /𝟏𝟎𝟎.𝟏 𝒊
𝟏,𝟐𝟏 𝟏 𝒊
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 𝒏
𝒊 𝟎,𝟐𝟏.𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟏%𝒂.𝒂
Taxa aparente é a taxa que se utiliza sem
se levar em conta a inflação do período
Taxa real é a taxa que se utiliza
levando-se em consideração os
efeitos inflacionários do período
Taxa real e aparente
 i 
1 i𝐚
1 I
𝟏
Qual a taxa real de uma aplicação onde à 
taxa aparente foi de 8% ao mês, em um 
período em que a inflação foi de R$ 2,86%?
 i 
1 i𝐚
1 I
𝟏 i 
1 0,08
1 0,0286
𝟏
 i 
1,08
1,0286
𝟏
 i 1,05 𝟏
 i 0,05 𝟓%
6
Na Prática
Considerando uma aplicação de R$ 4.000, 
qual das situações terá maior rendimento e 
de quanto a mais será?
Juro simples, à taxa de 3%
ao mês durante 2 meses
Juro composto, à taxa de 2%
ao mês durante 3 meses
Na prática 
Finalizando
Conceitos: juro, taxa, montante, capital
Juro simples x juro composto
Diferenças entre as taxas nominal,
efetiva, aparente e real
Cálculo de taxas equivalentes 
Temas
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
AULA 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/23
CONVERSA INICIAL
Na aula anterior, vimos que a matemática financeira estuda a evolução do valor do dinheiro no
tempo, por meio da capitalização ou do desconto, sendo que o desconto refere-se à descapitalização
de um montante para encontrar seu valor presente. Enquanto a capitalização determina o valor
nominal de uma aplicação, a operação de desconto determina o valor atual de um título vencível no
futuro.
Segundo Castanheira (2008), podemos imaginar o desconto como aquele benefício que alguém
merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida ou o resgate de um título. Assim,
desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate
antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de capitalização
simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.
Nesta aula, vamos estudar os principais conceitos envolvendo desconto, os tipos de desconto, a
relação entre eles e o cálculo de títulos equivalentes.
CONTEXTUALIZANDO
Título de crédito é um comprovante de dívida e indica que uma pessoa deve uma quantia em
dinheiro numa data futura. Esse título possui data de vencimento, mas o devedor pode antecipar o
seu pagamento, obtendo com isso um abatimento, ou seja, um desconto. Os títulos de crédito mais
utilizados são a nota promissória e a duplicata.
Segundo Castanheira (2008), a nota promissória é um comprovante da aplicação de capital com
vencimento predeterminado, sendo um título em que necessariamente uma das partes é pessoa
física. Já a duplicata é um título emitido por pessoa jurídica contra o seu cliente, que pode ser pessoa
física ou jurídica.
O conceito de desconto é muito utilizado e possui alguns detalhes importantes, como tipo de
desconto, taxa utilizada e período de antecipação. Com certeza você já deve ter solicitado desconto
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/23
no pagamento de um título ou conhece alguém que já realizou esse processo.
TEMA 1 – DESCONTO
De acordo com Castanheira (2008), desconto é o abatimento concedido sobre um título de
crédito em virtude de seu resgate antecipado e ocorre quando conhecemos o valor nominal de um
título e desejamos determinar seu valor atual.
O valor nominal corresponde ao valor no dia do vencimento do título, ou seja, o valor obtido no
final do período. Já o valor atual ou valor presente é um valor menor que o nominal e obtido em
qualquer período antes do final do compromisso, ou seja, antes da data de vencimento do título.
Considerando o valor nominal e o valor atual, o desconto será a diferença entre eles. Para calcular o
desconto, utilizamos uma taxa de desconto e um período de tempo, isto é, o tempo que falta para
vencimento da dívida ou do título.
Fonte: elaborado com base em Puccini, 2007.
Consideramos dois tipos de desconto: simples e composto. O desconto simples é o processo de
determinação do valor atual de um título utilizando o sistema de juros simples. Já no desconto
composto utilizamos o sistema de juros compostos.
TEMA 2 – DESCONTO SIMPLES
O desconto pode ser calculado considerando como capital o valor nominal ou valor atual, assim
temos dois modos de calcular o desconto: desconto simples comercial e desconto simples racional.
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/23
Desconto simples comercial, representado por Dc, também é conhecido como desconto por fora
ou bancário. É o desconto calculado aplicando uma taxa de descontos simples (i) sobre o valor
nominal (N) do título, considerando um prazo de antecipação do pagamento (n). Assim:
Dc = N .i . n
O valor atual (Vc) ou valor presente é igual ao valor nominal menos o desconto:
Vc = N – Dc
Como Dc = N .i . n, temos:
Vc = N – (N .i . n)
Colocando o valor de N em evidência chegamos à fórmula do valor atual (Vc):
Vc = N (1 – i . n)
Exemplo 1: uma duplicata de R$5.000 foi quitada 4 meses antes do vencimento, à taxa de
desconto comercial simples de 1,5% ao mês. Qual o valor do desconto e o valor atual? O enunciado
fornece os seguintes dados:
N = 5000
n = 4 meses
i = 1,5% ao mês / 100 = 0,015
Aplicando os dados acima encontramos o valor do desconto:
Dc = N .i . n
Dc = 5000 .0,015 . 4
Dc = 300
Como o valor atual (Vc) é igual ao nominal menos o desconto, temos:
Vc = N – Dc
Vc = 5000 – 300
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/23
Vc = 4.700
Exemplo 2: qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$120,75, à taxa
de desconto comercial simples de 6% a.a., 4 meses antes do vencimento? O enunciado fornece os
seguintes dados:
N = 120,75
n = 4 meses
i = 6% ao ano
Vc = ?
Temos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, assim transformamos a taxa que
está em ano para meses e após aplicamos a fórmula para encontrar o valor atual:
i = 6% ao ano / 12 = 0,5% a.m / 100 = 0,005
Vc = N (1 – i . n)
Vc = 120,75 (1 – 0,005 . 4)
Vc = 120,75 (1 – 0,02)
Vc = 120,75 . 0,98
Vc = 118,34
O desconto simples racional, representado por Dr, também conhecido como desconto por
dentro, é calculado aplicando taxa de juros simples (i) sobre o valor atual (Vr) do título, considerando
o prazo de antecipação do pagamento (n). Logo:
Dr = Vr . i .n
Sabemos que o valor atual é igual ao nominal (N) menos o desconto:
Vr = N – Dr
Substituindo Dr na fórmula acima e isolando o Vr, encontramos a fórmula do valor atual no
desconto racional simples:
06/04/2022 09:24UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/23
Vr = N – Dr
Vr = N – (Vr . i .n)
Vr + (Vr . i .n) = N
Vr (1+ i.n) = N
Exemplo 3: qual o valor do desconto racional simples e o valor do resgate de um título de R$200,
4 meses e 12 dias antes do vencimento à taxa de 20% a.a.? O enunciado fornece os seguintes dados:
N = 200
n = 4 meses e 12 dias
i = 20% ao ano
Temos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, assim transformamos a taxa que
está em ano para dias e o período também para dias. Lembrando que um mês possui 30 dias e um
ano 360 dias:
n = 4 meses e 12 dias = (30*4) + 12 = 120 + 12 = 132 dias
i = 20% ao ano / 360 = 0,0556% a.d / 100 = 0,000556
Vr = 186,33
Agora aplicamos a fórmula do desconto racional simples:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/23
Dr = Vr . i .n
Dr = 186,33 . 0,000556 . 132
Dr = 13,68
Exemplo 4: qual o valor atual de um título de R$75,40 que sofreu um desconto racional simples
de 1,5% ao mês, 1 mês e 17 dias antes do vencimento? O enunciado fornece os seguintes dados:
N = 75,40
n = 1 mês e 17 dias
i = 1,5% ao mês
Temos que a taxa e o período não estão na mesma unidade, assim transformamos a taxa que
está em mês para dias e o período também para dias:
n = 1 mês e 17 dias = 30 + 17 = 47
i = 1,5% ao mês / 30 = 0,05% a.d / 100 = 0,0005
Vr = 73,66
O desconto simples racional ou comercial é aplicado aos títulos de curto prazo, geralmente
inferiores a um ano.
TEMA 3 – DESCONTO COMERCIAL X RACIONAL
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/23
Considerando as fórmulas do desconto comercial e racional simples que estudamos no tema 2,
temos:
Dc = N .i . n
Dr = Vr . i .n
Vamos substituir o valor de Vr na segunda fórmula para encontrar a fórmula do desconto
racional:
 
Comparando as fórmulas dos descontos, temos que o desconto comercial é sempre maior que o
racional, pois o desconto racional é obtido dividindo o desconto comercial por 1+ i.n:
Realizando a diferença entre os descontos temos:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/23
Substituindo por Dr, temos:
Isolando o Dc e colocando em evidência o Dr chegamos à seguinte relação:
Analisando a relação entre o desconto comercial e racional temos que Dc>Dr, logo Vc < Vr.
Exemplo: Considerando um título de R$38.400,00 que vencerá daqui a cinco meses, uma taxa de
desconto simples de 3% ao mês, calcular o desconto comercial e o desconto racional.
Nesse exercício temos os seguintes dados e como queremos determinar os dois descontos
podemos calcular o desconto comercial; com a relação entre os descontos determinar o desconto
racional:
N = 38.400
i = 3% ao mês /100 = 0,03
n = 5 meses
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/23
Dc = N .i . n
Dc = 38400 . 0,03. 5
Dc = 5760
Com o valor do desconto comercial vamos encontrar o desconto racional pela relação:
5760 = Dr ( 1 + 0,03.5)
5760 = Dr (1 + 0,15)
5760 = Dr . 1,15
Dr = 5008,70
TEMA 4 – DESCONTO COMPOSTO
Estudamos que na operação de desconto temos o valor nominal de um título e calculamos o
valor atual, sendo que realizamos esse processo para o desconto simples. Agora vamos alterar o
regime de capitalização calculando o desconto composto, considerando os dois tipos de desconto: o
comercial, também chamado de bancário, e o racional.
De acordo com Castanheira (2008), o desconto comercial, representado por Dc, é determinado
aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal do título de crédito, ou seja, o desconto é
calculado sobre o valor da dívida na data do seu vencimento. Para calcular o valor atual realizamos
uma sucessão de descontos simples. Assim, para o cálculo do valor atual utilizamos a seguinte
fórmula:
Vc = N (1 – i )n
Vimos no Tema 1 que o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Logo,
aplicamos esse conceito e substituímos o valor do Vc para encontrar a fórmula do desconto
comercial composto:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/23
Dc = N – Vc
Dc = N – (N (1 – i )n)
Dc = N [ 1 - (1 – i )n ]
Exemplo 1: qual o desconto comercial composto de um título de R$8.000,00 descontado um ano
antes do vencimento, com taxa de 3% ao bimestre? Nesse exemplo temos os seguintes dados:
N = 8000
n = 1 ano
i = 3% ao bimestre / 100 = 0,03
Dc = ?
Temos a taxa em bimestre e o período em ano. Assim, vamos transformar o período em bimestre
para ter a mesma unidade, lembrando que em um anos temos seis bimestres.
n = 1 ano = 6 bimestres
Agora vamos aplicar a fórmula do desconto comercial composto:
Dc = N [ 1 - (1 – i )n ]
Dc = 8000 [ 1 – (1 – 0,03)6]
Dc = 8000 [ 1 – (0,97)6]
Dc = 8000 [ 1 – 0,833]
Dc = 8000 . 0,1670
Dc = 1336
Então, temos um desconto comercial composto de R$1.336.
Exemplo 2: qual o valor atual de um título de R$500, vencível em três anos, que será resgatado
pelo desconto composto comercial com taxa de 20% a.a., capitalizados semestralmente? Nesse
exemplo temos:
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/23
N = 500
n = 3 anos
i = 20% a.a
Vc = ?
A taxa foi apresentada em ano e o período também, mas temos capitalização semestral. Assim
será necessário alterar os dois para semestre, lembrando que um ano possui dois semestres:
n = 3 anos x 2 = 6 semestres
i = 20% a.a / 2 = 10% ao semestre / 100 = 0,10
Com os dados transformados aplicamos a fórmula para encontrar o valor atual:
Vc = N (1 – i )n
Vc = 500 (1 – 0,10)6
Vc = 500 (0,90)6
Vc = 500 . 0,531441
Vc = 265,72
Vimos no Tema 2 que o desconto racional simples é calculado sobre o valor atual do título e
vamos considerar a mesma definição para o cálculo do desconto racional composto. Considerando
essa definição, temos a seguinte fórmula para o cálculo do valor atual:
Substituindo o valor atual na definição de desconto, chegamos à fórmula do desconto racional
composto:
Dr = N – Vr
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 13/23
Exemplo 3: qual o desconto racional composto de um título no valor de R$30.000,00,
descontado 120 dias antes do seu vencimento à taxa de 4% a.m.? Nesse exemplo temos:
N = 30000
n = 120 dias
i = 4% a.m / 100 = 0,04
Dr = ?
Como temos o período em dias e a taxa em mês, vamos transformar o período de dias para
meses, lembrando que um mês possui 30 dias.
n = 120 dias / 30 = 4 meses
Vamos utilizar os dados acima para encontrar o valor do desconto racional composto:
Dr = 4356
Exemplo 4: calcule o valor atual de um título de R$800,00 que será resgatado dois anos e meio
antes do vencimento, com taxa 22% a.a. capitalizados trimestralmente, considerando o desconto
racional composto. Nesse exemplo temos os seguintes dados e precisamos considerar a taxa e
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 14/23
período em trimestre, pois a capitalização é trimestral. Lembrando que em um ano temos quatro
trimestres:
N = 800
n = 2 anos e meio = (2x4) + 2 = 10 trimestres
i = 22% a.a / 4 = 5,5% a.t / 100 = 0,055
Vr = ?
Vr = 468,34
TEMA 5 – TÍTULOS EQUIVALENTES
Em algumas situações podemos substituir um título por outro com o propósito de antecipar ou
postergar o pagamento. Para que essa substituição ocorra, os títulos precisam ser equivalentes.
Assim, o problema de equivalência aplica-se quando há substituição de títulos com vencimentos
diferentes.
De acordo com Castanheira (2008), para estabelecer a equivalência entre títulos é necessário
escolher uma data para o cálculo do valor do novo título. Essa data é denominada de data focal ou
data de referência. Na data focal, os valores atuais dos dois títulos são iguais.
Considere um título de R$100 com vencimento para três meses e um segundo título, de
R$109,31, com vencimento para sete meses. Considerando o cálculo de desconto comercial simples e
uma taxa de 2% ao mês, vamos calcular o valor atual dos dois títulos:
 
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/15/23
1º Título:
N = 100
n = 3 meses
i = 2% ao mês / 100 = 0,02
Vc = N (1 – i . n)
Vc = 100 (1 – 0,02 . 3)
Vc = 100 (1 – 0,06)
Vc = 100 . 0,94
Vc = 94
2º Título:
N = 109,31
n = 7 meses
i = 2% ao mês / 100 = 0,02
Vc = N (1 – i . n)
Vc = 109,31 (1 – 0,02 . 7)
Vc = 109,31 (1 – 0,14)
Vc = 109,31 . 0,86
Vc = 94
Analisando os valores atuais dos dois títulos temos que são iguais à taxa de 2% ao mês. Assim, o
título de R$100 para três meses é equivalente ao título de R$109,31 para sete meses. Logo, dois ou
mais títulos são equivalentes em certa data se os seus valores atuais forem iguais, mas essa
equivalência só existirá a uma determinada taxa.
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 16/23
Considerando N o valor nominal de um título com vencimento para n meses, N1 o valor nominal
de outro título com vencimento para n1 meses e a definição de títulos equivalentes, temos que os
valores atuais são iguais, assim:
N1 (1 – i . n1) = N (1 – i . n)
Isolando o valor de N1, temos:
Exemplo 1: um título de R$200 para 45 dias vai ser substituído por outro para 65 dias. Qual o
valor nominal do novo título considerando uma taxa de 20% a.a.? O enunciado fornece os seguintes
dados:
N = 200
n = 45 dias
n1 = 65 dias
i = 20% a.a
Antes de aplicar a fórmula é preciso transformar a taxa que está anual em taxa diária, lembrando
que um ano tem 360 dias.
i = 20% a.a / 360 = 0,055556% a.d / 100 = 0,000556
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 17/23
Pelo sistema de capitalização composta considerando desconto racional composto, os títulos
serão equivalentes na data zero pelo critério de valor atual, se a uma determinada taxa seus valores
atuais forem iguais. Considerando vários títulos N1, N2, ... , Nn com vencimentos n1, n2,..., nn, temos:
Exemplo 2: considere os seguintes títulos e verifique se são equivalentes à taxa de 1% ao mês
pelo critério de desconto racional composto:
Título 1: valor nominal de R$1.000 com vencimento para 1 mês.
Título 2: valor nominal de R$1.010 com vencimento para 2 mês.
Título 3: valor nominal de R$1.033 com vencimento para 4 mês.
Para verificar se os títulos são equivalentes precisamos calcular os valores atuais e após comparar
os valores obtidos:
Título 1: valor nominal de R$1.000 com vencimento para um mês.
Título 2: valor nominal de R$1.010 com vencimento para dois meses.
Título 3: valor nominal de R$1.033 com vencimento para quatro meses.
Analisando os resultados temos que os dois primeiros títulos são equivalentes à taxa de 1% ao
mês e o terceiro título não é equivalente aos demais.
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 18/23
TROCANDO IDEIAS
Você já realizou ou conhece alguém que realizou financiamento ou empréstimo? O pagamento
ocorreu na data de vencimento ou houve antecipação? Se pago antecipadamente, ocorreu desconto?
Qual o desconto praticado?
NA PRÁTICA
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver alguns exercícios.
Exercício 1: qual o valor do desconto e o valor recebido de um título de R$5.000,00 com
vencimento para 60 dias, considerando desconto comercial simples que cobra juros de 4% ao mês?
Nesse enunciado temos os seguintes dados:
N = 5000
n = 60 dias
i = 4% ao mês / 100 = 0,04
Dc = ?
Vc = ?
O período de antecipação está em dias e a taxa em mês. Antes da aplicação da fórmula vamos
transformar o período em meses.
n = 60 dias = 2 meses
Dc = N .i . n
Dc = 5000 . 0,04 . 2
Dc = 400
Temos o valor do desconto, agora vamos calcular o valor recebido pelo detentor do título:
Vc = N – Dc
Vc = 5000 – 400
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 19/23
Vc = 4.600
Exercício 2: um título de R$1.300,00 foi resgatado antes de seu vencimento obtendo desconto
racional simples de R$238,78. Qual o prazo para o vencimento desse título se a taxa de juros aplicada
foi de 27% a.a.? O enunciado fornece os seguintes dados:
N = 1300
Dr = 238,78
i = 27% a.a / 100 = 0,27
n = ?
Com os dados acima, vamos encontrar o valor atual do título.
Vr = N – Dr
Vr = 1300 – 238,78
Vr = 1061,22
Agora vamos aplicar a fórmula do desconto para encontrar o prazo para vencimento desse
título.
Dr = Vr . i .n
238,78 = 1061,22 . 0,27 . n
238,78 = 286,5294 n
n = 0,8334
Como a taxa está em ano o resultado obtido também é representado em ano, vamos converter
para meses utilizando regra de três simples.
1 ano 12 meses
0,8334 ano n
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 20/23
n = 0,8334*12 = 10 meses
Exercício 3: um título de R$21.000,00 foi descontado dois meses antes com valor atual de
R$20.168,40. Qual a taxa mensal de desconto para o desconto racional composto? No enunciado
temos os seguintes dados:
N = 21.000
Vr = 20.168,40
n = 2 meses
i = ?
Aplicamos a fórmula do valor atual para encontrar a taxa utilizada.
Como temos que isolar a variável i, vamos passar (1+i)2 que está dividindo para o primeiro
membro multiplicando:
Agora vamos passar o valor 20.168,40 que está multiplicando para o segundo membro
dividindo:
Para isolar a variável i será necessário tirar a potência que aparece na operação entre parêntese,
lembrando que o inverso da potenciação é a raiz.
(1 + i) = 1,020408
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 21/23
Para finalizar, vamos passar o 1 que está somando no primeiro membro para o segundo
membro, subtraindo:
i = 1,020408 – 1
i = 0,020408 x 100
i = 2,0408% a.m
Exercício 4: uma pessoa possui dois títulos, um de R$720,00 com vencimento para dois meses e
outro de R$960,00 com vencimento para três meses. Não podendo pagar os títulos, essa pessoa
propõe a substituição por um único título com vencimento para quatro meses à taxa de 1,2% ao mês,
considerando desconto comercial simples. Qual o valor nominal do novo título?
Nesse exercício temos a substituição de dois títulos por um único. Assim, a soma dos valores
atuais dos títulos substituídos deve ser igual ao valor atual do novo título.
N = R$ 720
n = 2 meses
N’ = R$ 960
n = 3 meses
n1 = 4 meses
i = 1,2% ao mês
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 22/23
Na aula anterior, estudamos juros simples e compostos e nesta aula complementamos com os
conceitos relacionados a desconto. Vimos como calcular utilizando fórmulas, mas podemos também
utilizar a calculadora financeira HP 12C. Para saber mais sobre a utilização dessa calculadora, acesse <
http://adailmarcos.blogspot.com/2011/03/desconto-comercial-simples-desconto-e.html> e leia os
capítulos 3 e 11 do livro Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada,
disponível na biblioteca virtual.
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo desconto simples e composto, as
diferenças entre desconto comercial e racional, a relação entre os descontos e os principais conceitos
sobre títulos equivalentes.
REFERÊNCIAS
CAMARGO, C. Análise de Investimentos e demonstrativos financeiros. Curitiba: Ibpex, 2007.
CASTANHEIRA, N. P, MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2008.
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo Aplicado à Gestão e aos Negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016.
FRANCISCO, W. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1991.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada.
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
PUCCINI, E. C. Matemática Financeira. 2007. Disponível em:
<https://www.yumpu.com/pt/document/read/14514487/matematica-financeira-ernesto-coutinho-
puccinipdf>. Acesso em: 06 fev. 2021.
http://adailmarcos.blogspot.com/2011/03/desconto-comercial-simples-desconto-e.html
06/04/2022 09:24 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 23/23
1
Prof.ª Aline Purcote
Matemática Financeira Aplicada
Aula 2
Conversa Inicial
Capitalização x desconto
Título de crédito: nota promissória e 
duplicata
Quais os tipos de desconto?
Valor nominal x valoratual
O que são títulos equivalentes?
Matemática financeira
Principais temas:
Desconto
Desconto simples
Relação entre o desconto comercial e 
racional
Desconto composto
Títulos equivalentes
Desconto
Abatimento concedido sobre um título de 
crédito em virtude de seu resgate antecipado 
Valor nominal = valor no dia do vencimento 
do título, obtido no final do período 
Valor atual ou valor presente = valor menor 
que o nominal obtido em qualquer período 
antes da data de vencimento do título
Desconto
2
Desconto simples x desconto composto
Valor
atual
Valor 
Nominal D = Valor Nominal – Valor Atual
0 n
D
i
Desconto simples 
Desconto simples 
Desconto
Comercial, 
“por fora” ou 
bancário 
Racional ou 
“por dentro”
Valor nominal
Valor atual
Taxa de descontos simples (i) sobre o valor 
nominal (N) do título, considerando um prazo 
de antecipação do pagamento (n)
Representado por Dc
Dc = N .i . n
Vc = N – Dc Vc = N (1 – i . n)
Desconto comercial
Uma duplicata de R$ 5.000,00 foi quitada 4 
meses antes do vencimento, à taxa de desconto 
comercial simples de 1,5% ao mês. Qual o valor 
do desconto e o valor atual?
Dc = N .i . n
Dc = 5000 .0,015 . 4
Dc = 300
Vc = N – Dc
Vc = 5000 – 300
Vc = 4.700
Qual o valor atual de uma duplicata de valor 
nominal equivalente a R$ 120,75, à taxa de 
desconto comercial simples de 6% a.a., 4 meses 
antes do vencimento?
i = 6% ao ano/12 = 0,5% a.m./100 = 0,005
Vc = N (1 – i . n)
Vc = 120,75 (1 – 0,005 . 4)
Vc = 120,75 (1 – 0,02)
Vc = 120,75 . 0,98
Vc = 118,34
3
Representado por Dr
Taxa de juros simples (i) sobre o valor atual 
(Vr) do título, considerando o prazo de 
antecipação do pagamento (n):
Dr = Vr . i .n
Vr = N – Dr
Desconto racional
𝑽𝒓
𝑵
𝟏 𝒊𝒏
Qual o valor do desconto 
racional simples e o valor do 
resgate de um título de R$ 
200,00 4 meses e 12 dias antes 
do vencimento, à taxa de 20% 
a.a.? 
n = 4 meses e 12 dias = 
(30*4) + 12 = 120 + 12 = 
132 dias
i = 20% ao ano / 360 = 
0,0556% a.d. / 100 = 
0,000556
𝑽𝒓
𝑵
𝟏 𝒊𝒏
𝑽𝒓
𝟐𝟎𝟎
𝟏 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔. 𝟏𝟑𝟐
𝑽𝒓
𝟐𝟎𝟎
𝟏 𝟎, 𝟎𝟕𝟑𝟑𝟗𝟐 
𝑽𝒓
𝟐𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟕𝟑𝟑𝟗𝟐 
𝑽𝒓 𝟏𝟖𝟔, 𝟑𝟑
𝐃𝒓 𝑽𝒓 . 𝒊 . 𝒏
𝐃𝒓 𝟏𝟖𝟔, 𝟑𝟑 . 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔 . 𝟏𝟑𝟐
𝐃𝒓 𝟏𝟑, 𝟔𝟖
Desconto comercial x racional
O desconto comercial é sempre maior que o 
racional: Dc>Dr, logo Vc < Vr
Dc = N .i . n
Dr = Vr . i .n
Relação entre o desconto comercial e 
racional
𝑽𝒓
𝑵
𝟏 𝒊𝒏
𝑫𝒓
𝑵
𝟏 𝒊𝒏
. 𝒊. 𝒏
𝑫𝒓
𝑵. 𝒊. 𝒏
𝟏 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓 𝑵. 𝒊. 𝒏
𝑵. 𝒊. 𝒏
𝟏 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓 𝑫𝒄
𝑫𝒄
𝟏 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓
𝑫𝒄 𝟏 𝒊. 𝒏 𝑫𝒄
𝟏 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓
𝑫𝒄 𝑫𝒄. 𝒊. 𝒏 𝑫𝒄
𝟏 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓
𝑫𝒄. 𝒊. 𝒏
𝟏 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓
𝑫𝒄
𝟏 𝒊. 𝒏
. 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓 𝑫𝒓. 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓 𝑫𝒓. 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝑫𝒓 𝟏 𝒊. 𝒏
Considerando um título de R$ 38.400,00 que 
vencerá daqui a cinco meses, uma taxa de 
desconto simples de 3% ao mês, calcular o 
desconto comercial e o desconto racional 
𝑫𝒄 𝑵. 𝒊. 𝒏
𝑫𝒄 𝟑𝟖𝟒𝟎𝟎. 𝟎, 𝟎𝟑. 𝟓
𝑫𝒄 𝟓𝟕𝟔𝟎
𝑫𝒄 𝑫𝒓 𝟏 𝒊. 𝒏
𝟓𝟕𝟔𝟎 𝑫𝒓 𝟏 𝟎, 𝟎𝟑. 𝟓
𝟓𝟕𝟔𝟎 𝑫𝒓 𝟏 𝟎, 𝟏𝟓
𝟓𝟕𝟔𝟎 𝑫𝒓. 𝟏, 𝟏𝟓
𝑫𝒓
𝟓𝟕𝟔𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
𝑫𝒓 𝟓𝟎𝟎𝟖, 𝟕𝟎
Desconto composto
4
Taxa de desconto sobre o valor nominal do 
título 
Vc = N (1 – i)n
Dc = N – Vc
Desconto comercial
Dc = N – (N (1 – i )n) 
Dc = N [1 - (1 – i )n]
Qual o desconto comercial composto de um título 
de R$ 8.000,00 descontado um ano antes do 
vencimento com uma taxa de 3% ao bimestre? 
Dc = N [ 1 - (1 – i)n]
Dc = 8000 [1 – (1 – 0,03)6]
Dc = 8000 [1 – (0,97)6]
Dc = 8000 [1 – 0,833]
Dc = 8000 . 0,1670
Dc = 1336
Qual o valor atual de um título de R$ 500,00, 
vencível em 3 anos, que será resgatado pelo 
desconto composto comercial com uma taxa 
de 20% a.a., capitalizados semestralmente?
n = 3 anos x 2 = 6 semestres
i = 20% a.a. / 2 = 10% ao semestre / 100 = 0,10
Vc = N (1 – i)n
Vc = 500 (1 – 0,10)6
Vc = 500 (0,90)6
Vc = 500 . 0,531441
Vc = 265,72
Calculado sobre o valor atual do título
Desconto racional
𝑽𝒓
𝑵
𝟏 𝒊 𝒏
𝑫𝒓 𝑵 𝑽𝒓
𝑫𝒓 𝑵
𝑵
𝟏 𝒊 𝒏
𝑫𝒓 𝑵 𝟏
𝟏
𝟏 𝒊 𝒏
Qual o desconto racional composto de um 
título no valor de R$ 30.000,00 descontado 
120 dias antes do seu vencimento, à taxa de 
4% a.m.?
n = 120 dias / 30 = 4 meses
𝑫𝒓 𝑵 𝟏
𝟏
𝟏 𝒊 𝒏
𝑫𝒓 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏
𝟏
𝟏 𝟎, 𝟎𝟒 𝟒
𝑫𝒓 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏
𝟏
𝟏, 𝟎𝟒 𝟒
𝑫𝒓 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏
𝟏
𝟏, 𝟏𝟔𝟗𝟗
𝑫𝒓 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟎, 𝟖𝟓𝟒𝟖
𝑫𝒓 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟎, 𝟏𝟒𝟓𝟐
𝑫𝒓 𝟒𝟑𝟓𝟔
5
Títulos equivalentes
Substituição de títulos com vencimentos 
diferentes com o propósito de antecipar ou 
postergar o pagamento
Data focal ou data de referência: os valores 
atuais dos dois títulos são iguais 
Desconto comercial simples:
Títulos equivalentes
𝑵𝟏 𝟏 𝒊. 𝒏𝟏 𝑵 𝟏 𝒊. 𝒏 𝑵𝟏
𝑵 𝟏 𝒊. 𝒏
𝟏 𝒊. 𝒏𝟏
Um título de R$ 200,00 para 45 dias vai ser 
substituído por outro para 65 dias. Qual o 
valor nominal do novo título, considerando 
uma taxa de 20% a.a.? 
i = 20% a.a./360 = 0,055556% a.d./100 = 0,000556
𝑵𝟏
𝑵 𝟏 𝒊. 𝒏
𝟏 𝒊. 𝒏𝟏
𝑵𝟏
𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔. 𝟒𝟓
𝟏 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔. 𝟔𝟓
𝑵𝟏
𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟎𝟐
𝟏 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟏𝟒 
𝑵𝟏
𝟐𝟎𝟎. 𝟎, 𝟗𝟕𝟒𝟗𝟖
𝟎, 𝟗𝟔𝟑𝟖𝟔𝟎
𝑵𝟏
𝟏𝟗𝟒, 𝟗𝟗𝟔
𝟎, 𝟗𝟔𝟑𝟖𝟔𝟎
𝑵𝟏 𝟐𝟎𝟐, 𝟑𝟏
Capitalização composta considerando 
desconto racional composto: na data zero a 
uma determinada taxa seus valores atuais 
são iguais 
Títulos N1, N2, ... , Nn com vencimentos n1, 
n2,..., nn:
𝑽𝒓
𝑵𝟏
𝟏 𝒊 𝒏𝟏
𝑵𝟐
𝟏 𝒊 𝒏𝟐
⋯
𝑵𝒏
𝟏 𝒊 𝒏𝒏
Os seguintes títulos são equivalentes à taxa de 1% 
ao mês pelo critério de desconto racional composto?
Título 1: R$ 1.000,00 com vencimento para 1 mês 
Título 2: R$ 1.010,00 com vencimento para 2 
meses 
Título 3: R$ 1.033,00 com vencimento para 4 
meses 
𝑽𝒓
𝑵𝟏
𝟏 𝒊 𝒏𝟏
𝑽𝒓
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎, 𝟎𝟏 𝟏
𝟗𝟗𝟎, 𝟏𝟎
𝑽𝒓
𝑵𝟐
𝟏 𝒊 𝒏𝟐
𝑽𝒓
𝟏𝟎𝟏𝟎
𝟏 𝟎, 𝟎𝟏 𝟐
𝟗𝟗𝟎, 𝟏𝟎
𝑽𝒓
𝑵𝟑
𝟏 𝒊 𝒏𝟑
𝑽𝒓
𝟏𝟎𝟑𝟑
𝟏 𝟎, 𝟎𝟏 𝟒
𝟗𝟗𝟐, 𝟔𝟗
Na Prática
6
Exercícios práticos
Utilização da HP 12C nas operações financeiras
Na prática 
Jeffrey B. Banke / Shutterstock
Finalizando
Conceitos de desconto 
Desconto comercial x desconto racional
Títulos equivalentes
Aula 2
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/30
CONVERSA INICIAL
Anteriormente, estudamos o pagamento de um montante em uma única vez após um período
de tempo, mas como realizar os cálculos quando o pagamento ocorre em parcelas? Quais são os
principais conceitos que precisamos levar em consideração?
De acordo com Castanheira e Macedo (2008), a sucessão de depósitos ou de pagamentos (ou de
recebimentos), em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou a pagar (ou receber) uma
dívida, é denominada renda ou série uniforme. Essa sucessão de pagamentos pode se destinar ao
pagamento de uma dívida, o que caracteriza uma amortização ou pode se destinar a uma poupança,
uma capitalização.
Nesta aula, abordaremos as definições de fluxo de caixa e classificações das rendas, bem como
as principais séries de pagamentos ou recebimentos que formam a base para os principais modelos
de financiamentos de dívidas existentes no mercado. Estudaremos também a relação de equivalência
existente entre fluxos de caixa e o cálculo do valor presente e futuro das diferentes rendas.
CONTEXTUALIZANDO
Provavelmente você já fez ou conhece alguém que tenha efetuado um financiamento tendo uma
sucessão de pagamentos a realizar. Esses pagamentos chamamos de renda, mas esta não é apenas o
pagamento de uma dívida, pois também podemos realizar uma série de depósitos para aplicação de
um determinado valor. Dessa forma, segundo Castanheira (2016), a definição completa de renda é
uma sucessão de pagamentos, de recebimentos ou de depósitos.
Imagineque você pretende fazer uma compra e, para isso, realiza várias pesquisas no mercado a
fim de comparar e encontrar o melhor preço. Após muita procura, constata que o melhor preço é R$
5.000,00, mas esse valor só é válido à vista; caso seja parcelado, a taxa de juros inviabiliza a compra.
Dessa forma, você faz as contas e verifica em seu orçamento que não possui o valor, mas não quer
perder a oportunidade, que é muito vantajosa. Para tanto, encontra a alternativa de efetuar quatro
depósitos mensais iguais numa conta remunerada a uma taxa de juros de 5% a.m, sendo que, no final
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/30
deste período, você terá o valor que precisa para pagamento à vista. Como o valor da mercadoria
permanecerá inalterado, a poupança será uma opção, avaliando que o dinheiro estará rendendo
durante o período da aplicação.
No exemplo acima, temos a sucessão de depósitos para formar uma poupança e assim comprar
o item desejado à vista. Considerando os dados apresentados, podemos calcular o valor dos
depósitos a serem realizados. Para efetuar estes e outros cálculos, vamos estudar os principais
conceitos envolvendo fluxo de caixa e rendas.
TEMA 1 – FLUXO DE CAIXA E CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS
De acordo com Castanheira (2008), a sucessão de depósitos e/ou saques ou, ainda, de
recebimentos e/ou pagamentos, em dinheiro (caixa), previstos para determinado tempo, é
denominada fluxo de caixa. Também podemos considerar as seguintes definições:
Série de pagamentos ou recebimentos que juntos formam uma operação financeira;
Representação de receitas e despesas ocorridas em diferentes períodos;
Sucessão de entradas e saídas de dinheiro no tempo;
Entradas e saídas de caixa ao longo de um período de tempo.
Um fluxo de caixa pode ser representado de forma analítica ou gráfica. Na forma gráfica, a linha
do tempo ou diagrama ilustra o fluxo evidenciando sua distribuição ao longo do período, em que o
eixo horizontal representa a linha do tempo iniciada a partir de uma data zero (data inicial ou data
atual). As setas voltadas para baixo são as saídas de dinheiro representando despesas, aplicações,
custos ou parcelas, e as setas voltadas para cima são as entradas de dinheiro, representando receitas
ou economias realizadas. No exemplo a seguir, temos uma saída de R$ 5.000 no período zero e
entradas de R$ 500 nos demais períodos.
Figura 1 – Exemplo de fluxo de caixa
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/30
Quando ocorrer, em um mesmo período, um pagamento e um recebimento, podemos
representar os movimentos com uma seta para cima e outra para baixo ou indicar apenas uma seta
com a diferença entre eles. No exemplo acima, vamos considerar que no período 2 ocorreu uma
entrada de R$ 500 e uma saída de R$ 800, então podemos representar apenas uma seta para baixo
com uma saída de R$ 300 (R$ 500 – R$ 800 = - R$ 300).
Já na forma analítica, ilustramos o fluxo de caixa utilizando uma tabela com a representação das
entradas e saídas. Considere um fluxo de caixa em que, no período inicial zero, serão investidos R$
5.000,00; no período 1 e 2, ocorrerão recebimentos, respectivamente, de R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00;
no período 3, ocorrerá um novo investimento de R$ 1.000,00; e no período 4, recebimento de R$
9.000,00. O fluxo de caixa analítico das movimentações é representado da seguinte forma:
Tabela 1 – Exemplo de fluxo de caixa (1)
Período Entradas Saídas
0   5.000,00
1 2.000,00  
2 4.000,00  
3   1.000,00
4 9.000,00  
Podemos também representar as entradas de dinheiro como positivas e as saídas negativas.
Assim a representação do mesmo fluxo de caixa seria:
Tabela 2 – Fluxo de caixa (2)
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/30
Instantes Entradas (+) Saídas (-)
0 - 5.000,00
1 + 2.000,00
2 + 4.000,00
3 - 1.000,00
4 + 9.000,00
Vimos no início desta aula que renda, de acordo com Castanheira e Macedo (2008), é a sucessão
de depósitos ou de pagamentos (ou de recebimentos), em épocas diferentes, destinados a formar
um capital (capitalização) ou a pagar (ou receber) uma dívida (amortização). Francisco (1991) define
rendas como um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a
constituir um capital ou amortizar uma dívida.
As rendas podem ser classificadas considerando quatro parâmetros: o prazo, o valor, o período e
a forma. Quanto ao prazo, as rendas podem ser:
Temporárias: a duração é limitada, o número dos termos que compõe a renda é finito, possui
um prazo final. Por exemplo, um financiamento de 12 prestações iguais;
Perpétuas: a duração é ilimitada, o número de períodos que compõe a renda é infinito, por
exemplo, seguros de vida e aposentadoria.
Quanto ao valor, as rendas são classificadas como:
Constantes: todos os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos possuem valores iguais,
por exemplo, um financiamento que possui 12 prestações iguais de R$ 500;
Variáveis: todos os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos não possuem valores
iguais. Se um dos pagamentos for de valor diferente dos demais, a renda é variável, por
exemplo, realizo depósitos diferentes em uma poupança, sendo no 1º mês R$ 200, no 2º mês
R$ 500 e no 3º mês R$ 800. 
Considerando a periodicidade, as rendas podem ser classificadas em:
Periódicas: quando a periodicidade entre os pagamentos, recebimentos, saques ou depósitos
são iguais. Por exemplo, pagamentos mensais, semestrais ou anuais;
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/30
Não periódicas: quando a periodicidade entre os pagamentos, recebimentos, saques ou
depósitos não são iguais entre si. O intervalo entre dois períodos consecutivos é variável.
Quanto à forma de pagamento ou de recebimento, temos:
Imediatas: o primeiro pagamento, recebimento, saque ou depósito ocorre no primeiro período,
podendo ser:
Postecipado: quando a ocorrência é no final do período, ou seja, sem entrada. Por
exemplo, uma compra financiada em três pagamentos mensais, ocorrendo o primeiro
pagamento 30 dias após a compra ou ainda as compras realizadas no cartão de crédito
onde o pagamento ocorrerá após o vencimento do cartão;
Antecipado: quando a ocorrência é no início do período, ou seja, com entrada sendo que
o valor da entrada é igual ao valor das demais parcelas. Por exemplo, uma compra
financiada em três pagamentos mensais, ocorrendo o primeiro pagamento no ato da
compra (1 + 2).
Diferidas: o primeiro pagamento, recebimento, saque ou depósito não ocorre no primeiro
período, havendo, um prazo de carência. Por exemplo, realizamos uma compra hoje e os
pagamentos terão início após 120 dias.  As rendas diferidas podem ser:
Postecipada: quando o primeiro pagamento ocorre um período após o término da
carência;
Antecipada: quando o primeiro pagamento coincide com o final da carência. 
TEMA 2 – MODELO BÁSICO DE RENDA
No tema 1, estudamos a classificação das rendas e neste tema estudaremos o modelo básico
que consiste em uma renda que é simultaneamente temporária, constante, imediata, postecipada e
periódica.  
De acordo com Castanheira (2016), para determinarmos o valor atual (ou valor presente) de uma
sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor atual do desconto racional composto
de cada parcela da renda, ou seja, o valor atual de cada parcela da série de pagamentos ou
recebimentos pelo desconto racional composto e, em seguida, somamos os valores encontrados.
Para calcular o valor atual, aplicamos a seguinte fórmula:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/30
  ou  
onde:
V = Valor atual, Valor Presente (PV ou VP), capital (C), valor à vista ou valor da renda na data
focal zero.
p = valor das prestações ou parcelas.
Obs.: quando utilizamos a HP 12C, o valor das prestações é simbolizado por PMT.
i = taxa de juro composto da operação.
n = número de prestações ou número de pagamentos ou número de parcelas.Exemplo 1
Determinar o valor à vista de um produto que foi comprado em 10 prestações iguais a R$
2.000,00, vencíveis mensalmente, sendo o pagamento a partir do primeiro mês (sem entrada), com
taxa de juro composto de 2% ao mês.
O enunciado fornece os seguintes dados:
n = 10
p = 2000
i = 2% a.m. / 100 = 0,02 a.m.
Agora vamos aplicar a fórmula para encontrar o valor à vista do produto:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/30
V = 17965,17
Podemos resolver esse exemplo utilizando a calculadora financeira HP12C, seguindo os passos:
f    REG                     (limpa os registros / memórias)
f    2                          (duas casas decimais no visor)
2000   CHS  PMT     (define o valor da prestação)
10  n                         (define o número de prestações)
2    i                          (define a taxa de juro composto)
PV                            (calcula o valor atual)
PV = R$ 17.965,17
Também podemos calcular o valor à vista utilizando a função VP do Excel:
VP (taxa, NPER, pgto)
onde:
NPER = número de períodos
PGTO = o valor das prestações.
Assim:
= VP(2%;10;-2000)
VP = 17.965,17
O valor à vista do produto é de R$ 17.965,17.
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/30
Exemplo 2
Qual é o valor da prestação a ser paga pelo comprador que deseja adquirir um produto que
custa R$ 5.000,00 à vista, mas pode ser financiado sem entrada, em 10 prestações mensais iguais, à
taxa de 3% ao mês?
V = 5.000
i = 3% a.m. = 0,03 a.m.
n = 10
p = ?
Utilizando a calculadora financeira HP12C, temos:
f    REG                   (limpa os registros (memórias) financeiros)
f    2                         (duas casas decimais no visor)
5000 CHS PV          (define o valor presente)
10  n                        (define o número de prestações)
3    i                         (define a taxa de juro composto)
PMT                         (calcula o valor das prestações)
PMT = R$ 586,15
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/30
Podemos também calcular o valor da prestação utilizando a função PGTO do Excel:
PGTO (taxa, NPER, VP)
onde:
NPER = número de períodos
VP = o valor presente de um investimento.
Assim:
=PGTO(3%;10;-5000)
= 586,15
O valor da prestação a ser paga é de R$ 586,15.
Além de calcular o valor presente, podemos encontrar o valor futuro (VF ou FV) ou montante (M)
no final do período. Para determinar o montante de uma renda postecipada, podemos somar os
montantes de cada depósito ou utilizar a seguinte fórmula:
  ou 
Exemplo 3
Uma pessoa deposita mensalmente na poupança o valor de R$ 100,00. Considerando uma renda
média de 1,4% ao mês, quanto essa pessoa possuirá no momento do último depósito, supondo que
realizou 120 depósitos na data prevista?
O enunciado fornece os seguintes dados:
p = 100
i = 1,4% a.m. / 100 = 0,014 a.m.
n = 120
M = ?
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/30
Pela calculadora financeira HP12C, temos:
f    REG                   
f    2                         
100 CHS PMT         
120 n   
1,4 i                        
FV   (calcula o valor futuro, montante)
FV = R$ 30.738,59
Podemos calcular o valor futuro (Montante) utilizando a função VF do Excel:
VF (taxa, NPER, pgto, VP)
onde:
NPER = número de períodos
PGTO = o valor das prestações
VP = o valor presente de um investimento
=VF(1,4%;120;-100)
VF = 30.738,59
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/30
O valor do montante no final dos 120 depósitos será de R$ 30.738,59.
Exemplo 4
Quanto possuirá no final de 2 anos uma pessoa que deposita R$ 1.000,00 mensalmente, sabendo
que está rendendo 2% ao mês?
M = ?
p = 1000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 2 anos = 24 meses
Obs.: temos a taxa em meses e o período em anos, assim transformamos o período para mês.
Utilizando a calculadora financeira HP12C seguir os passos:
f    REG                   
f    2                         
1000 CHS PMT         
24 n (considerado o período em meses para estar na mesma unidade da taxa)                     
2  i                        
FV (calcula o valor futuro, montante)
FV = R$ 30.421,86
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 13/30
A pessoa possuirá R$ 30.421,86 no final dos 2 anos. Pelo Excel temos:
=VF(2%;24;-1000)
TEMA 3 – RENDA ANTECIPADA
Segundo Castanheira (2016), a renda é antecipada em relação ao valor atual quando a primeira
parcela ocorre na data zero, ou seja, é dada uma entrada de mesmo valor que as demais parcelas.
Para o cálculo do valor atual, utiliza-se o mesmo conceito de rendas postecipadas. No entanto, como
os pagamentos ou recebimentos ocorrem com a antecipação de um período, multiplicamos a
fórmula da renda postecipada por (1 + i).
  ou 
Para o cálculo do Valor Futuro (FV) ou montante (M), utilizamos a fórmula: 
  ou 
Exemplo 1
Um produto é anunciado em 12 prestações mensais iguais de R$ 8.400,00, sendo que o primeiro
pagamento ocorrerá no ato da compra (entrada). Qual o preço à vista desse produto, sabendo que a
taxa de juro utilizada foi de 2,5% ao mês?
O enunciado fornece os seguintes dados:
p = 8.400
i = 2,5% a.m. / 100 = 0,025 a.m.
n = 12
Agora vamos aplicar a fórmula para encontrar o valor à vista do produto:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 14/30
Utilizando a calculadora financeira HP12C seguimos os passos abaixo:
f    REG                   
f    2                         
g   BEG
8400   CHS PMT    
12 n                        
2,5    i                         
PV                           
PV = R$ 88.319,35
Obs.: neste exercício, temos uma renda antecipada. Assim, é necessário manter visível a
expressão BEGIN, logo utilizamos as teclas g BEG no início dos cálculos.
Também podemos calcular o valor atual utilizando a função VP do Excel, acrescentando no tipo o
número 1 para indicar renda antecipada:
VP(taxa, nper, pgto, [vf], [tipo])
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 15/30
=VP(2,5%;12;-8400;0;1)
O preço à vista do produto é de R$ 88.319,35.
Exemplo 2
Uma pessoa deposita, no início de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o
valor futuro, sabendo que a instituição financeira paga juros de 2% ao mês, capitalizados
mensalmente.
O enunciado fornece os seguintes dados:
p = 100
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 5 meses
Agora vamos aplicar a fórmula do montante:
Pela calculadora financeira HP12C temos:
f    REG                   
f    2                         
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 16/30
g   BEG
100   CHS PMT    
5 n                        
2 i                         
FV                           
FV = R$ 530,81
Podemos calcular o valor futuro utilizando a função VF do Excel, mas precisamos indicar no tipo
o número 1, pois estamos trabalhando com renda antecipada:
VF(taxa,nper,pgto,[vp],[tipo])
=VF(2%;5;-100;0;1)
O valor futuro será de R$ 530,81.
Exemplo 3
Uma pessoa deseja ter R$ 48.000,00 daqui a 6 meses. Quanto deverá aplicar no início de cada
mês considerando uma taxa de 1,8% ao mês?
O enunciado fornece os seguintes dados:
M = 48000
n = 6 meses
i = 1,8% a.m. / 100 = 0,018 a.m
Agora vamos aplicar a fórmula do montante para encontrar o valor das prestações:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 17/30
Podemos também isolar a variável p na fórmula do montante e obter uma fórmula para o cálculo
do valor da prestação, assim:
Pela calculadora financeira HP12C temos:
f    REG                   
f    2                         
g   BEG
48000 CHS FV   
6 n                        
1,8 i                         
PMT                           
PMT = R$ 7.512,27
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 18/30
Podemos realizar este cálculo utilizando a função PGTO do Excel. Como temosuma renda
antecipada vamos considerar no tipo o número 1 que indica que os vencimentos ocorrem no início
do período. Assim:
PGTO(taxa, nper, pv, [fv], [tipo])
=PGTO(1,8%;6;0;-48000;1)
Para obter R$ 48.000,00 daqui a 6 meses, será necessário aplicar R$ 7.512,27 no início de cada
mês.
TEMA 4 – RENDA DIFERIDA
Estudamos no tema 1 que uma renda pode ser classificada como diferida sempre que existir um
prazo de carência, podendo ser postecipada ou antecipada. Na renda diferida antecipada, a primeira
parcela vence justamente com a carência; já na diferida postecipada a primeira parcela vence um
período após a carência.  
Para efetuar os cálculos envolvendo rendas diferidas, utilizamos as mesmas fórmulas do modelo
básico de renda que estudamos no tema 2 e a fórmula de capitalização composta que estudamos
anteriormente.
Exemplo 1
Uma compra foi financiada em quatro pagamentos mensais, postecipados no valor de R$
3.000,00. Considerando-se uma carência de 2 meses e uma taxa de juros de 3% a.m, qual é o valor à
vista da compra efetuada?
O enunciado fornece os seguintes dados:
p = 3000
n = 4 meses
carência = 2 meses
i = 3% a.m. / 100 = 0,03 a.m
Primeiramente vamos aplicar a fórmula do valor atual da renda postecipada:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 19/30
Pela calculadora financeira HP12C temos:
f    REG                    
f    2                         
3000   CHS PMT     
4 n                        
3 i                         
PV                         
Trabalhamos com uma renda postecipada. Assim, o valor do V que encontramos representa o
valor atual um período antes do primeiro pagamento, por isso será necessário considerar o período
de carência para encontrar o valor atual na data zero. Para esse cálculo, vamos utilizar a fórmula do
juro composto que estudamos anteriormente:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 20/30
Pela calculadora financeira HP12C:
f    REG                    
f    2                         
11151,28 CHS FV     
2 n                        
3 i                         
PV                         
O valor à vista da compra efetuada foi de R$ 10.511,15.
Exemplo 2
Uma compra foi financiada em 12 pagamentos mensais iguais a R$ 20.000,00. Considerando
uma carência de 12 meses e uma taxa de juros de 4% a.m, qual o valor atual sendo que as prestações
vencem no início do intervalo?
O enunciado fornece os seguintes dados:
p = 20000
n = 12 meses
carência = 12 meses
i = 4% a.m. / 100 = 0,04 a.m
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 21/30
Primeiramente vamos aplicar a fórmula do valor atual da renda postecipada:
Pela calculadora financeira HP12C:
f    REG                    
f    2                         
20000 CHS PMT     
12 n                        
4 i                         
PV                         
O enunciado indica que temos uma renda diferida antecipada, pois o pagamento será realizado
no início do intervalo, logo vamos considerar um intervalo a menos de carência, ou seja, vamos
utilizar no cálculo a carência de 11 meses.
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 22/30
Pela calculadora financeira HP12C:
f    REG                    
f    2                         
187701,47 CHS FV     
11 n                        
4 i                         
PV                         
O valor atual é de R$ 121.927,30.
TEMA 5 – EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
No tema 1, estudamos os principais conceitos envolvendo fluxo de caixa e agora vamos verificar
quando dois ou mais fluxos são considerados equivalentes. De acordo com Castanheira e Macedo
(2008), a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juro e, se dois fluxos são equivalentes a
certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada.
Para avaliarmos a equivalência entre fluxos de caixa, precisamos calcular o valor atual de cada
fluxo e avaliar se os resultados são iguais. Dessa forma, se os fluxos possuem o mesmo valor atual a
uma taxa de juros, os seus montantes após n períodos serão necessariamente iguais.
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 23/30
Exemplo
Considere os seguintes fluxos de caixa e avalie se são equivalentes à taxa de 1,8% ao mês:
a. Pagamento único com montante de R$ 1.112,98 em seis meses;
b. Oito parcelas mensais, sem entrada, de R$ 135,34.
Para avaliar se os fluxos apresentados são equivalentes, precisamos calcular os valores atuais
considerando a taxa de 1,8% ao mês. Para o primeiro fluxo temos um pagamento único, então vamos
calcular o valor atual utilizando a fórmula de juro composto:
 
Pela calculadora financeira HP12C temos:
f    REG                    
f    2                         
1112,98   CHS FV     
6 n                        
1,8 i                         
PV                         
No segundo fluxo, temos oito parcelas mensais, sem entrada, de R$ 135,34. Assim, vamos utilizar
a fórmula da renda postecipada para encontrar o valor atual:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 24/30
Pela calculadora financeira HP12C:
f    REG                    
f    2                         
135,34   CHS PMT     
8 n                        
1,8 i                         
PV                         
Avaliando os resultados obtidos, concluímos que os valores atuais são iguais, assim os fluxos são
equivalentes considerando a taxa de 1,8% ao mês.
TROCANDO IDEIAS
Nesta aula, estudamos as definições e características de cada tipo de renda e vimos as diferenças
entre renda postecipada, também conhecida como modelo básico, antecipada e diferida. Logo, antes
de realizar os cálculos, é importante identificar o tipo de renda com que estamos trabalhando.
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 25/30
Considere que um produto foi vendido por R$ 324,00 de entrada, mais seis prestações mensais e
iguais de R$ 200,00 com uma taxa de juro de 2,5% ao mês. Analisando este exemplo, qual é o tipo de
renda que está sendo utilizada?
Neste exemplo, temos uma entrada de R$ 324,00 mais seis prestações de R$ 200,00, logo a
entrada não possui o mesmo valor das parcelas, assim não temos uma renda antecipada. Devemos
considerar como renda as seis prestações, que são características do modelo básico de renda (renda
postecipada). Caso seja necessário calcular o preço à vista desse produto, deve-se aplicar a fórmula
da renda postecipada e somar ao resultado o valor da entrada.
NA PRÁTICA
Nesta aula, estudamos o cálculo do valor presente, futuro e prestações dos diferentes tipos de
rendas. Para praticar os assuntos estudados nesta aula, vamos resolver os seguintes exercícios.
Exercício 1
Uma loja vende uma máquina por R$ 2.000,00 à vista. Considerando a taxa de juros de 1,25%
a.m., em regime de juros compostos, determine o valor da prestação para cada um dos seguintes
planos de financiamento:
a. 20% de entrada e o saldo financiado em 24 prestações mensais e iguais sendo a primeira
prestação vencendo um mês após a compra.
Neste plano, temos uma entrada de 20%. Assim, a entrada será de R$ 400, ou seja:
2000 x 0,20 = 400
Descontando a entrada de R$ 400, teremos um financiamento de R$ 1.600 (2000 – 400 = 1600).
Com base nesse valor, vamos calcular as prestações considerando o modelo básico de renda e
utilizando a HP12C:
1600 CHS PV           
24 n                        
1,25 i
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 26/30
PMT                          
PMT = R$ 77,58
b. 1+24 prestações mensais.
Nesse plano, temos uma entrada que é do mesmo valor das demais parcelas, assim
consideramos uma renda antecipada. Vamos calcular o valor das prestações utilizando a HP12C:
g   BEG
2000 CHS PV   
25 n                        
1,25 i                         
PMT                           
PMT = R$ 92,49
Exercício 2
Um empréstimo de R$ 3.000,00pode ser pago em qualquer um dos planos indicados a seguir.
Verifique se os planos são equivalentes considerando a taxa de 2,5% ao mês de juro composto.
a. Quatro parcelas mensais e iguais a R$ 400,00 sem entrada nos primeiros quatro meses mais
uma parcela de R$ 1.821,77 no final do oitavo mês;
b. Três parcelas mensais sendo no primeiro mês o valor de R$ 492,00, no segundo mês R$
1.596,95 e no terceiro mês R$ 1.076,89.
  Para avaliar se os fluxos apresentados são equivalentes, precisamos calcular os valores atuais
considerando a taxa de 2,5% ao mês. No primeiro fluxo, temos quatro parcelas mensais e iguais a R$
400,00 sem entrada. Assim, calcule o valor atual utilizando a fórmula da renda postecipada:
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 27/30
Pela calculadora financeira HP12C:
f    REG                    
f    2                         
400   CHS PMT     
4 n                        
2,5 i                         
PV                         
Como temos mais uma parcela de R$ 1.821,77 no final do oitavo mês, será necessário aplicar a
fórmula do juro composto:
Pela calculadora financeira HP12C:
f    REG                    
f    2                         
1821,77 CHS FV     
8 n                        
2,5 i                         
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 28/30
PV                         
Para finalizar, somamos os resultados obtidos:
No segundo fluxo, temos três parcelas mensais, sendo no primeiro mês o valor de R$ 492,00; no
segundo mês, R$ 1.596,95; e no terceiro, R$ 1.076,89. Como as parcelas são diferentes, vamos aplicar
a fórmula do juro composto para cada uma delas e somar os resultados:
Pela calculadora financeira HP12C:
492 CHS FV     
1 n                        
2,5 i                         
PV = 480
1596,95 CHS FV     
2 n                        
2,5 i                         
PV = 1.520
1076,89  CHS FV     
3 n                        
2,5 i                         
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 29/30
PV = 999,99 = 1.000
480 + 1520 + 1000 = 3000
Comparando os resultados, concluímos que os fluxos são equivalentes à taxa de 2,5% ao mês.
FINALIZANDO
Nesta aula, vimos os principais conceitos envolvendo fluxo de caixa, bem como os cálculos e
caraterísticas de cada tipo de renda. Estudamos também que as rendas possuem a seguinte
classificação e, com base nessa classificação, efetuamos os cálculos de valor presente, valor futuro e
prestação.
Quadro 1 – Classificação das rendas
Fonte: Francisco, 1991.
REFERÊNCIAS
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex, 2008.
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016.
FRANCISCO, W. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1991.
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada.
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
PUCCINI, E. C. Matemática financeira. Yumpu, 2007. Disponível em:
<https://www.yumpu.com/pt/document/read/14514487/matematica-financeira-ernesto-coutinho-
puccinipdf>. Acesso em: 5 maio 2021.  
06/04/2022 09:25 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 30/30
1
Profª Aline Purcote
Matemática Financeira Aplicada
Aula 3
Conversa Inicial
Como realizar os cálculos quando o 
pagamento ocorre em parcelas? 
Fluxo de caixa versus rendas
Renda postecipada versus antecipada versus 
diferida
O que são fluxos equivalentes?
Matemática financeira
Principais temas
Fluxo de caixa e classificação de rendas
Modelo básico de renda
Renda antecipada
Renda diferida
Equivalência de fluxos de caixa
Fluxo de caixa e
classificação de rendas
Sucessão de depósitos, saques, recebimentos 
ou pagamentos, em dinheiro, previstos para 
determinado tempo
Série de pagamentos ou recebimentos que 
juntos formam uma operação financeira
Fluxo de caixa
2
Representação de receitas e despesas 
ocorridas em diferentes períodos
Sucessão de entradas e saídas de dinheiro no 
tempo
Entradas e saídas de caixa ao longo de um 
período
Representação: forma gráfica versus analítica
0 1 2 3 4 
500 500 500 500
5000
Períodos Entradas Saídas
0 5.000,00
1 2.000,00
2 4.000,00
3 1.000,00
9.000,00
Instantes Entradas (+) Saídas (-)
0 - 5.000,00
1 + 2.000,00
2 + 4.000,00
3 - 1.000,00
4 + 9.000,00
Sucessão de depósitos ou pagamentos (ou 
recebimentos), em épocas diferentes, 
destinados a formar um capital 
(capitalização) ou a pagar (ou receber) uma 
dívida (amortização)
Conjunto de dois ou mais pagamentos, 
realizáveis em épocas distintas, destinados a 
constituir um capital ou amortizar uma dívida
Classificação de rendas
Fonte: Elaborado com base em Francisco, 1991
Rendas
Temporária
Perpétua
Periódica
Não Periódica
Constante
Variável
Imediata
Diferida
Postecipada
Antecipada
Modelo básico de renda
Modelo básico: renda temporária, constante, 
imediata, postecipada e periódica
𝑀 𝑝
1 𝑖 1
𝑖
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
3
Um carro será adquirido em 4 prestações 
mensais de R$ 2.626,24. As prestações serão 
pagas a partir do mês seguinte ao da compra, 
com taxa de juros compostos de 2% a.m. 
Qual é o preço do carro à vista?
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
𝑉 2626,24
1 0,02 1
1 0,02 0,02
𝑉 2626,24
1,0824 1
1,0824 0,02
𝑉 2626,24
0,0824
0,0216
𝑉 2626,24 . 3,8148 10.018,58
Qual o valor da prestação a ser paga pelo 
comprador que deseja adquirir um produto 
que custa R$ 5.000,00 à vista, mas pode ser 
financiado sem entrada, em 10 prestações 
mensais iguais, à taxa de 3% ao mês?
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖 5000 𝑝 8,530297
5000 𝑝
1 0,03 1
1 0,03 . 0,03
5000 𝑝
0,343916
0,040317
𝑝
5000
8,530297
𝑝 586,15
Uma pessoa deposita mensalmente R$ 
100,00 durante 5 meses para formação de 
uma poupança, rendendo uma taxa de 10% 
a.m. Quanto ela terá no final do período?
𝑀 𝑝
1 𝑖 1
𝑖 𝑀 100
0,610510
0,10
𝑀 100
1 0,10 1
0,10
𝑀 100
1,610510 1
0,10
𝑀 100 6,1051 
𝑀 610,51
Renda antecipada
Primeira parcela ocorre na data zero: entrada
Entrada: mesmo valor das demais parcelas
Renda antecipada
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
. 1 𝑖 𝑀 𝑝
1 𝑖 1
𝑖
. 1 𝑖
Um carro é vendido em 12 pagamentos 
mensais e iguais de R$2.800,00, sendo a 
primeira prestação no ato da compra. 
Considerando que a loja opera com uma taxa 
de juros de 8% a.m. , qual o preço desse 
carro à vista?
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
. 1 𝑖
𝑉 2800
1 0,08 1
1 0,08 . 0,08
. 1 0,08
𝑉 2800
2,518170117 1
2,518170117.0,08
. 1,08
𝑉 2800
1,518170117
0,201453609
. 1,08
𝑉 2800 7,536078031 . 1,08
V= 22.789,10 
4
Uma pessoa deseja ter R$ 48.000,00 daqui a 
6 meses. Quanto ela deverá aplicar no início 
de cada mês considerando uma taxa de 1,8% 
ao mês?
48000 𝑝 6,27656833 . 1,018
𝑀 𝑝
1 𝑖 1
𝑖
. 1 𝑖
48000 𝑝
1 0,018 1
0,018
. 1 0,018
48000 𝑝
1,018 1
0,018
. 1,018
48000 𝑝
1,11297823 1
0,018
. 1,018
48000 𝑝
0,11297823
0,018
. 1,018
48000 𝑝. 6,38954656
𝑝
48000
6,38954656
𝑝 7512,27
Renda diferida
Diferida: sempre que existir um prazo de 
carência
Renda diferida antecipada: primeira parcela 
vence justamente com a carência
Renda diferida postecipada: primeira parcela 
vence um período após a carência
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
𝐶
𝑀
1 𝑖
Uma compra foi financiada em 12 
pagamentos mensais iguais a R$ 20.000,00. 
Considerando uma carência de 12 meses e 
uma taxa de juros de 4% a.m., determine o 
valor atual
a) Com as prestações vencendo no final do 
intervalo
b) Com as prestações vencendo no início do 
intervalo
a) Com as prestações vencendo no final do 
intervalo
𝐶
𝑀
1 𝑖
𝑉 20000
0,60103222
0,06404129
𝑉 20000 9,38507360
𝑉 20000
1 0,04 1
1 0,04 . 0,04
𝑉 20000
1,60103222 1
1,60103222.0,04
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
𝑉 20000
1,04 1
1,04 . 0,04
𝑉 187701,47
𝐶
187701,47
1 0,04
𝐶
187701,47
1,04
𝐶
187701,47
1,60103222
𝐶 117.237,78
b) Com as prestações vencendo no início do 
intervalo𝐶
𝑀
1 𝑖
𝑉 20000
0,60103222
0,06404129
𝑉 20000 9,38507360
𝑉 20000
1 0,04 1
1 0,04 . 0,04
𝑉 20000
1,60103222 1
1,60103222.0,04
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
𝑉 20000
1,04 1
1,04 . 0,04
𝑉 187701,47
𝐶
187701,47
1 0,04
𝐶
187701,47
1,04
𝐶
187701,47
1,53945406
𝐶 121927,30
5
Equivalência de fluxos de caixa
Depende da taxa de juro e deixará de existir 
se a taxa for alterada
Ocorre quando são iguais os valores atuais 
de cada fluxo
Se possuem o mesmo valor atual, seus 
montantes, a uma taxa de juros, após n 
períodos, serão necessariamente iguais
A equivalência de fluxos de caixa
Considere os seguintes fluxos de caixa e 
avalie se são equivalentes à taxa de 1,8% 
a.m.
Pagamento único com montante de 
R$ 1.112,98 em 6 meses
8 parcelas mensais, sem entrada, de 
R$ 135,34
Pagamento único com montante de 
R$ 1.112,98 em 6 meses
8 parcelas mensais, sem entrada, de 
R$ 135,34
𝐶
𝑀
1 𝑖
𝑉 135,34
0,15340605
0,02076131
𝐶
1112,98
1,112978226
𝐶
1112,98
1 0,018
𝐶 1000
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
𝑉 135,34
1 0,018 1
1 0,018 . 0,018
𝑉 135,34 7,38903518
𝑉 1000
Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses 
por R$ 2.431,02. Entretanto, o devedor 
sugere a sua quitação em dois pagamentos, 
sendo o primeiro deles daqui a 3 meses, no 
valor de R$ 1.157,63, e o segundo, 3 meses 
depois, no valor de R$ 1.340,10. Mostre que 
o plano de pagamento proposto pelo devedor 
é equivalente ao original se considerarmos 
uma taxa de juros compostos de 5% a.m. C	=	R$	2.000,00
C
1 2 3 4
R$ 2431,01
C
3 6
R$ 1340,10
R$ 1157,63
𝑴 𝑪 𝟏 𝒊 𝒏 ⇒ 𝟐𝟒𝟑𝟏, 𝟎𝟐 𝑪 𝟏 𝟎, 𝟎𝟓 𝟒 ⇒ 𝑪 𝑹$ 𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑴𝟑 𝑪𝟑 𝟏 𝒊 𝒏 ⇒ 𝟏𝟏𝟓𝟕, 𝟔𝟑 𝑪𝟑 𝟏 𝟎, 𝟎𝟓 𝟑 ⇒ 𝑪𝟑 𝑹$ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑴𝟔 𝑪𝟔 𝟏 𝒊 𝒏 ⇒ 𝟏𝟑𝟒𝟎, 𝟏𝟎 𝑪𝟔 𝟏 𝟎, 𝟎𝟓 𝟔 ⇒ 𝑪𝟔 𝑹$ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
6
Na Prática
Exercícios 
práticos
Utilização da 
HP 12C nas 
operações 
financeiras
Marco A M Oliveira / Shutterstock
Finalizando
Fluxo
de caixa
Rendas
Fonte: Elaborado com base em Francisco, 1991
Rendas
Temporária
Perpétua
Periódica
Não Periódica
Constante
Variável
Imediata
Diferida
Postecipada
Antecipada
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
AULA 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/24
CONVERSA INICIAL
Um sistema de amortização é um plano de pagamento de uma dívida, podendo assumir
diferentes formas, baseadas nos modelos de rendas que estudamos anteriormente. Utilizamos os
sistemas de amortização quando realizamos compra a prestação, empréstimos em bancos com
pagamentos periódicos e empréstimos para compra da casa própria.
Segundo Camargo (2007), a amortização trata basicamente da forma como a dívida será saldada,
conforme as regras estabelecidas entre as partes contratantes da operação.
Nesta aula, estudaremos os principais sistemas de amortização de dívidas utilizadas pelo
mercado, os conceitos que envolvem cada modelo, além dos quadros de amortização.
CONTEXTUALIZANDO
Quando realizamos um financiamento para compra de um veículo ou de um imóvel, a dívida é
formada pelo valor emprestado, juros, encargos e o prazo de pagamento. Com base nestes
elementos, calculamos as prestações, mas como ocorre a quitação da dívida?
Ao pagar as prestações, parte do valor está amortizando a dívida, ou seja, pagando o valor
emprestado, e a outra parte está pagando os encargos e juros cobrados na operação. Para definir
quanto pagaremos em cada prestação, há diferentes formas, que chamamos de sistemas de
amortização, assim, podemos utilizar várias metodologias para estabelecer a forma que uma dívida
será liquidada.
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e
financiamentos que envolvem desembolsos periódicos.
Saiba mais
Para entender mais sobre os sistemas de amortização e conhecer algumas aplicações,
acesse aos seguintes links:
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/24
Disponível em: <https://wikihaus.com.br/blog/amortizacao-de-parcelas-entenda-o-que-e/
>. Acesso em: 3 mar. 2021.
Disponível em: <https://comocomprarumapartamento.com.br/como-comprar/amortizacao
-de-parcelas/>. Acesso em: 3 mar. 2021.
TEMA 1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Figura 1 – Sistema de amortização
Créditos:  thodonal88/Shutterstock.
Quando realizamos um empréstimo ou um financiamento, podemos pagar a dívida em
prestações, sendo que, ao realizarmos o pagamento, estamos amortizando a dívida. Segundo
Castanheira (2008), amortizar significa devolver o capital que se tomou emprestado.
De acordo com Camargo (2007), amortização refere-se à devolução gradual do valor principal
(capital) de uma dívida por meio de pagamentos periódicos, combinados entre o credor e o devedor,
sendo que o cálculo das prestações devidas é feito conforme um sistema de amortização de
empréstimos.
O valor a ser pago a cada prestação deve considerar a restituição do capital principal, ou seja, do
capital emprestado e do juro. O juro a ser cobrado será calculado sempre sobre o saldo devedor pelo
critério de capitalização composta que estudamos em aulas anteriores. Logo, as prestações serão a
soma da parcela da amortização mais a parcela do juro cobrado, assim:
https://wikihaus.com.br/blog/amortizacao-de-parcelas-entenda-o-que-e/
https://comocomprarumapartamento.com.br/como-comprar/amortizacao-de-parcelas/
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/24
Prestação = parcela da amortização + parcela de juro
Após o pagamento da prestação, devemos atualizar o saldo devedor reduzindo desse saldo
somente a parcela da amortização, logo:
Saldo devedor = saldo devedor anterior - parcela da amortização
Considerando as definições acima, temos que os sistemas de amortização demostram a
composição das prestações a serem pagas em relação ao capital que está sendo amortizado e do
juro, além de evidenciar a situação da dívida após o pagamento de cada prestação. Dentre os
sistemas de amortização, vamos estudar o sistema francês, também conhecido como sistema Price; o
sistema de amortização constante, conhecido como sistema SAC; o sistema americano; o sistema
misto; e o sistema alemão.
TEMA 2 – SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE)
Figura 2 – Sistema francês de amortização
Créditos: thodonal88/Shutterstock.
No sistema Francês de Amortização (SFA), também conhecido como sistema Price, é adotado o
critério de rendas imediatas que estudamos em aulas anteriores. Este sistema é muito utilizado no
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/24
setor financeiro, sendo frequentemente adotado pelas instituições financeiras e pelas construtoras
em financiamentos imobiliários.
De acordo com Francisco (1991), pelo sistema francês, o empréstimo é amortizado com
pagamentos constantes, no fim de cada período. Esses pagamentos são constituídos dos juros sobre
o saldo devedor e uma quota de amortização. Como os pagamentos são todos do mesmo valor, à
medida que eles vão sendo realizados, os juros tornam-se menores, enquanto as quotas de
amortização são progressivamente maiores.
Para calcular o valor das prestações utilizamos a fórmula do modelo básico de renda que
estudamos em aulas anteriores:
Após calcular o valor da prestação, podemos preencher a seguinte tabela que irá demonstrar a
situação da dívida ao longo do tempo:
Tabela 1 – Dívida
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - sd
1 Prestação J1= sd x i A1 = prestação - J1 sd1 = sd – A1
2 Prestação J2= sd1 x i A2 = prestação – J2 sd2 = sd1 – A2
3 Prestação J3= sd2 x i A3 = prestação – J3 sd3 = sd2 – A3
Fonte: Elaborado com base em Camargo, 2007.
Na tabela acima, temos os seguintes cálculos para cada período:
Juro = saldo devedor (sd) x taxa (i);
Amortização = prestação (p) – juro (J);
Saldo Devedor = saldo devedor anterior(sd) – amortização (A).
Exemplo: Um empréstimo de R$10.000,00 será pago em quatro prestações anuais sucessivas
postecipadas com uma taxa de juros efetiva de 10% a.a. Calcule o valor da prestação anual e elabore
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/24
a tabela demonstrando a operação.
O enunciado fornece os seguintes dados:
Empréstimo = 10.000;
Período = 4 anos;
i = 10% a.a. / 100 = 0,10.
Primeiramente vamos calcular o valor das prestações utilizando a fórmula do modelo básico de
renda:
Com o valor das prestações, vamos preencher a tabela que irá demonstrar a situação da dívida
ao longo do tempo:
Tabela 2 – Dívida ao longo do tempo
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 10.000
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/24
1 3.154,71 1.000 2.154,71 7.845,29
2 3.154,71 784,53 2.370,18 5.475,11
3 3.154,71 547,51 2.607,20 2.867,91
4 3.154,71 286,79 2.867,92 0
Na tabela 2, temos que o juro devido é calculado diretamente do saldo devedor, e as
amortizações pela diferença entre a prestação e o juro de cada período. Ao final de cada um dos
períodos, resta um saldo devedor, que é o saldo devedor do início do período seguinte.
Considerando o período 1, temos os seguintes cálculos:
Juro = 10.000 x 0,10 = 1.000;
Amortização = 3.154,71 – 1.000 = 2.154,71;
Saldo Devedor = 10.000 – 2.154,71 = 7.845,29.
Para o período 2, consideramos o saldo devedor atualizado para realizar os cálculos, assim:
Juro = 7.845,29 x 0,10 = 784,53;
Amortização = 3.154,71 – 784,53 = 2.370,18;
Saldo Devedor = 7.845,29 – 2.370,18 = 5.475,11.
Seguindo esse raciocínio, preenchemos os demais períodos da tabela, sendo que, no último
período, o saldo devedor deve ser quitado, ou seja, teremos um saldo devedor igual a zero.
Analisando a tabela, temos que o saldo devedor está reduzindo consequentemente o juro, já a
amortização aumentou ao longo do tempo, uma vez que as prestações são fixas.     
Os cálculos apresentados também podem ser realizados utilizando o Excel e a calculadora
financeira HP 12C.
Saiba mais
Para saber mais sobre o assunto, acesse os seguintes materiais:
Capítulo 12, tópico 12.1.3 – Sistema francês de amortização (SFA), da obra disponível na
Biblioteca Virtual: Matemática Financeira Aplicada, de Nelson Pereira Castanheira e Luiz
Roberto Dias de Macedo.
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/24
Capítulos 8, tópico 8.6 – Sistema de amortização francês (Price), da obra disponível na
Biblioteca Virtual: Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada.
TEMA 3 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Figura 3 – Sistema de amortização constante
Créditos: Billion Photos/Shutterstock.
No Tema 2, estudamos o sistema de amortização PRICE, no qual as prestações são constantes
em todos os períodos. Neste tema, estudaremos o sistema de amortização SAC, no qual a
amortização que é constante ao longo do tempo.
Segundo Francisco (1991), pelo Sistema de Amortização Constante, as prestações são
decrescentes, pois a quota de amortização é constante em todas elas e os juros decrescem em
função do saldo devedor, que diminui a cada pagamento realizado.
 De acordo com Camargo (2007), no SAC, o valor referente à amortização do principal é igual em
cada prestação, assim, são os juros e o valor total das prestações que variam ao longo do tempo. No
início, as prestações são mais altas e tendem a baixar até o final da operação. Desta forma, o saldo
devedor decresce linearmente até sua extinção na última prestação.
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/24
  Para encontrar o valor da amortização, dividimos o valor principal da dívida (capital) pelo
número de prestações (n) consideradas na transação, assim:
Após calcular o valor da amortização, a tabela que irá demonstrar a situação da dívida ao longo
do tempo terá a seguinte configuração:
Tabela 3 – Dívida ao longo do tempo
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - sd
1 p1 = A + J1 J1= sd x i A sd1 = sd – A
2 p2 = A + J2 J2= sd1 x i A sd2 = sd1 – A
3 p3 = A + J3 J3= sd2 x i A sd3 = sd2 – A
Fonte: elaborado com base em Camargo, 2007.
Na tabela 3, temos os seguintes cálculos para cada período:
Juro = saldo devedor (sd) x taxa (i);
Prestação = amortização (A) + juro (J);
Saldo Devedor = saldo devedor anterior (sd) – amortização (A).
Exemplo: Considere um empréstimo de R$ 10.000,00 a uma taxa de 4% a.m. que será pago em 4
vezes. Calcule o valor das prestações a serem pagas e elabore a tabela demonstrando a operação.
O enunciado fornece os seguintes dados:
Empréstimo = 10.000;
i = 4% a.m / 100 = 0,04;
Período = 4.
Primeiramente, vamos calcular o valor da amortização:
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/24
Com o valor da amortização, vamos preencher a tabela, que irá demonstrar a situação da dívida
ao longo do tempo.
Tabela 4 – Dívida ao longo do tempo
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 10.000
1 2.900 400 2.500 7.500
2 2.800 300 2.500 5.000
3 2.700 200 2.500 2.500
4 2.600 100 2.500 0
Na tabela acima, temos que o juro devido é calculado diretamente do saldo devedor, e as
prestações pela soma da amortização mais o juro de cada período. Considerando o período 1, temos
os seguintes cálculos:
Juro = 10.000 x 0,04 = 400;
Prestação = 2.500 + 400 = 2.900;
Saldo Devedor = 10.000 – 2500 = 7.500.
Para o período 2, consideramos o saldo devedor atualizado para realizar os cálculos, assim:
Juro = 7.500 x 0,04 = 300;
Prestação = 2.500 + 300 = 2.800;
Saldo Devedor = 7.500 – 2.500 = 5.000.
Seguimos o mesmo raciocínio para preencher os demais períodos da tabela, sendo que no
último período, o saldo devedor deve ser quitado. Analisando a tabela, temos que o saldo devedor
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/24
está reduzindo consequentemente o juro e as prestações diminuem ao longo do tempo, já que a
amortização é constante.
Os cálculos apresentados também podem ser realizados utilizando o Excel e a calculadora
financeira HP 12C.
Saiba mais
Para saber mais, acesse os seguintes materiais:
Capítulo 12, tópico 12.1.4 – Sistema de amortização constante (SAC), da obra disponível na
Biblioteca Virtual: Matemática Financeira Aplicada, de Nelson Pereira Castanheira e Luiz
Roberto Dias de Macedo.
Capítulos 8, tópico 8.4 – Sistema de Amortização Constante (SAC), da obra disponível na
Biblioteca Virtual: Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem
descomplicada.
TEMA 4 – COMPARAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS
Figura 4 – Comparação entre os sistemas
Créditos: carballo/Shutterstock.
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/24
Nos temas anteriores, estudamos os sistemas de amortização Price e SAC, os quais possuem as
seguintes características:
Sistema de Amortização Francês (Price) – SFA: prestações iguais, periódicas e sucessivas, sendo
pago periodicamente os juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortização.
Sistema de Amortização Constante – SAC: prestações periódicas, sucessivas e decrescentes,
sendo pago periodicamente os juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortização
constante.
Para comparar os dois sistemas, vamos elaborar as tabelas de amortização considerando um
financiamento de R$ 10.000,00, em 5 prestações mensais com juros compostos e efetivos de 2% ao
mês.
Price
Tabela 5 – Amortização
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 10.000,00
1 2.121,58 200,00 1.921,58 8.078,42
2 2.121,58 161,57 1.960,01 6.118,41
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 13/24
3 2.121,58 122,37 1.999,21 4.119,20
4 2.121,58 82,38 2.039,20 2.080,00
5 2.121,58 41,60 2.079,98 0
SAC
Tabela 6 – Amortização
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 10.000
1 2.200 200 2.000 8.000
2 2.160 160 2.000 6.000
3 2.120 120 2.000 4.0004 2.080 80 2.000 2.000
5 2.040 40 2.000 0
Analisando as tabelas, temos que no sistema Price as prestações são constantes e o valor
amortizado é crescente ao longo do tempo, ao contrário dos juros, que decrescem
proporcionalmente ao saldo devedor. Já no SAC, verificamos o comportamento constante no valor
das amortizações e decrescente no valor das prestações, assim como nos juros. No SAC, iniciamos
pagando prestações maiores que as do Price, mas elas diminuem com o tempo.
Comparando os dois sistemas, identificamos as seguintes diferenças:
Quadro 1 – Diferenças
Price SAC
Prestação Constante Decrescente
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 14/24
Amortização Crescente Constante
Primeira prestação Menor Maior
Última prestação Maior Menor
Saldo devedor Redução inicial lenta Redução linear
Saiba mais
Para entender melhor os sistemas estudados, leia os seguintes artigos:
Disponível em: <https://www.calculadorafacil.com.br/financeiro/sistema-sac-e-tabela-price
#:~:text=A%20primeira%20diferen%C3%A7a%20entre%20o,at%C3%A9%20o%20final%20d
o%20financiamento>. Acesso em: 3 mar. 2021.
Disponível em: <https://exame.com/invest/minhas-financas/sac-ou-price-veja-qual-financi
amento-e-melhor-para-voce/>. Acesso em: 3 mar. 2021.
Segundo Camargo (2007), apesar de apresentar prestações diferentes tanto no que se refere ao
seu valor total como na sua composição entre juros e amortização, os sistemas são ditos
equivalentes, pois quando descontados a uma mesma taxa, por um mesmo período produzem o
mesmo valor presente, que deverá ser igual ao valor do financiamento. Para demostrar a equivalência
entre os sistemas, vamos calcular o valor presente das prestações de cada um considerando os dados
do exemplo que utilizamos no início deste tema, assim:
Price
SAC
https://www.calculadorafacil.com.br/financeiro/sistema-sac-e-tabela-price#:~:text=A%20primeira%20diferen%C3%A7a%20entre%20o,at%C3%A9%20o%20final%20do%20financiamento
https://exame.com/invest/minhas-financas/sac-ou-price-veja-qual-financiamento-e-melhor-para-voce/
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 15/24
Observamos que os fluxos de caixa dos dois sistemas apresentam o mesmo valor presente,
comprovando a equivalência dos métodos.
TEMA 5 – OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Figura 5 – Outros sistemas de amortização
Créditos: Nik Symkin/Shutterstock.
Até o momento, estudamos os sistemas de amortização Price e SAC, mas existem outras
possibilidades para o processo de quitação de uma dívida. Assim, estudaremos, neste tema, o sistema
americano, o sistema misto e o sistema alemão.
De acordo com Camargo (2007), no sistema americano, periodicamente são pagos apenas os
juros da dívida, enquanto que o capital principal é pago somente no final de empréstimo, na última
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 16/24
prestação. Dessa forma, o saldo devedor é o mesmo até a liquidação da dívida na última parcela. Até
a penúltima prestação, são pagas apenas parcelas constantes de juros, pois são calculadas sobre o
mesmo saldo devedor, sendo que a última prestação, além do pagamento dos juros, deve cobrir
também toda a amortização do empréstimo.
A tabela que irá demonstrar a situação da dívida ao longo do tempo terá a seguinte
configuração:
Tabela 7 – Dívida ao longo do tempo
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - sd
1 p1 = J1 J1= sd x i - sd
2 p2 = J2 J2= sd x i - sd
3 p3 = A + J3 J3= sd x i A = sd
Fonte: elaborado com base em Camargo, 2007.
Exemplo 1: um empréstimo de R$10.000,00 será pago em quatro prestações anuais com uma
taxa de juros efetiva de 10% a.a. Elabore a tabela demonstrando a operação.
Considerando os dados do enunciado, elaboramos a tabela da amortização pelo sistema
americano:
Tabela 8 – Amortização
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 10.000
1 1.000 1.000 - 10.000
2 1.000 1.000 - 10.000
3 1.000 1.000 - 10.000
4 11.000 1.000 10.000 0
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 17/24
Podemos utilizar também o Sistema de Amortização Misto (SAM), no qual os pagamentos
constituem a média aritmética dos pagamentos pelos sistemas Price e SAC. Utilizamos as seguintes
fórmulas para o calcula das prestações, amortização e juros:
Exemplo 2: considerando os valores das prestações pelos sistemas Price e SAC, calcule as
prestações para o sistema de amortização misto de um empréstimo de R$ 10.000 em 3 anos com
taxa de 20% ao ano.
Tabela 9 – Valor das prestações
Período Price SAC
1 R$ 4.747,25 R$ 5.333,33
2 R$ 4.747,25 R$ 4.666,67
3 R$ 4.747,25 R$ 4.000,00
Para calcular a prestação pelo sistema Misto, precisamos calcular a média aritmética dos
pagamentos pelos Sistemas Price e SAC, ou seja:
No primeiro período, temos:
Aplicando o mesmo raciocínio para os demais períodos, temos:
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 18/24
Tabela 10 – Valor das prestações
Período Price SAC SAM
1 R$ 4.747,25 R$ 5.333,33 R$ 5.040,29
2 R$ 4.747,25 R$ 4.666,67 R$ 4.706,96
3 R$ 4.747,25 R$ 4.000,00 R$ 4373,63
Segundo Francisco (1991), pelo Sistema Alemão (SAI), também chamado de sistema dos juros
antecipados, o devedor paga os juros do primeiro período no ato do empréstimo e, no fim desse
período, a primeira quota de amortização juntamente com os juros do segundo período. Assim, no
fim de cada período, o devedor paga uma prestação constituída de uma parcela correspondente à
quota de amortização, e outra dos juros antecipados correspondentes ao período seguinte. Dessa
forma, a última prestação é igual à quota de amortização, pois não há juros a serem pagos.
O sistema alemão é parecido com o sistema Price, o que muda é a forma de considerar os juros
em cada período. No Price, os juros são considerados de forma postecipada. Já no sistema alemão,
os juros são tratados de forma antecipada. Para a utilização desse sistema, consideramos as seguintes
fórmulas para calcular a prestação e amortização:
Exemplo 3: uma loja vendeu a prazo um produto cujo preço à vista é de R$ 600,00 em quatro
prestações mensais com uma taxa de juro de 2% ao mês. Elabore a tabela demonstrando a operação.
Primeiramente, vamos calcular o valor das prestações e a primeira amortização:
Prestações
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 19/24
Primeira amortização
Já temos a amortização do primeiro período e precisamos calcular para os demais. No segundo
período, temos:
Seguimos o mesmo raciocínio para calcular as demais amortizações e após preenchemos a
tabela de amortização, lembrando que, no período zero, já temos que considerar o pagamento do
juro:
Tabela 11 – Amortização
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 12,00 12,00 - 600,00
1 154,58 9,09 145,49 454,51
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 20/24
2 154,58 6,12 148,46 306,05
3 154,58 3,09 151,49 154,56
4 154,58 - 154,58 0
Considerando os períodos 0 e 1, temos o seguinte cálculo para juro e saldo devedor. Para os
demais períodos, seguimos o mesmo raciocínio:
Período 0
Juro = 600 x 0,02 = 12
Período 1
Saldo Devedor = 600 – 145,49 = 454,51
Juro = 454,51 x 0,02 = 9,09
TROCANDO IDEIAS
Vimos que um sistema de amortização é um plano de pagamento de uma dívida que pode
assumir diferentes formas, sendo utilizado quando realizamos compra à prestação, empréstimos e
financiamentos. Você já realizou ou conhece alguém que já tenha realizado alguma operação
utilizando os sistemas de amortização? Avalie o sistema que foi utilizado, como foi composta a
prestação paga e como foi realizada a amortização da dívida.
NA PRÁTICA
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver alguns exercícios.
Exercício 1: uma empresa emprestou R$ 60.000,00, a uma taxa de 63% a.a., por quatro meses,
com amortizações mensais pelo sistema SAC. Quanto essa empresa pagará de juros totais ao final
dos quatro meses? Elabore atabela de amortização da dívida.
Antes de preencher a tabela, precisamos transformar a taxa, pois o período está em meses e a
taxa foi apresentada em anos. Assim:
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 21/24
i = 63% / 12 = 5,25% / 100 = 0,0525
A = 60.000 / 4 = 15.000
Tabela 12 – Amortização
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 60.000
1 18.150,00 3.150,00 15.000 45.000
2 17.362,50 2.362,50 15.000 30.000
3 16.575,00 1.575,00 15.000 15.000
4 15.787,50 787,50 15.000 0
Somando a coluna juros, temos que a empresa pagará um total de R$ 7.875,00 de juros nesta
operação.
Exercício 2: um produto é comprado por R$ 10.000,00, sendo pago 20% de entrada e o saldo
devedor financiado em 6 prestações mensais postecipadas com uma taxa de 4% ao mês. Com base
nessas informações, elabore as tabelas de amortização Price, SAC e sistema Americano e, depois,
compare o valor das prestações e juros pago por cada sistema.
Para elaborar as tabelas de amortização, precisamos lembrar que, no ato da compra, ou seja, no
período 0, será paga uma entrada de 20% do valor, assim será paga uma entrada de R$ 2.000 (10.000
x 0,20). Como ocorreu a entrada, o saldo devedor que será financiado será R$ 8.000.
Sistema Price
Antes de elaborar a tabela, é necessário calcular o valor da prestação:
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 22/24
Tabela 13 – Amortização
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 2.000,00 - 2.000,00 8.000,00
1 1.526,10 320,00 1.206,10 6.793,90
2 1.526,10 271,76 1.254,34 5.539,56
3 1.526,10 221,58 1.304,52 4.235,04
4 1.526,10 169,40 1.356,70 2.878,34
5 1.526,10 115,13 1.410,97 1.467,37
6 1.526,10 58,69 1.467,41 0
Sistema SAC
Antes de elaborar a tabela, é necessário calcular o valor da amortização:
A = 8000 / 6 = 1.333,33
Tabela 14 – Tabela
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 2.000,00 - 2.000,00 8.000,00
1 1.653,33 320,00 1.333,33 6.666,67
2 1.600,00 266,67 1.333,33 5.333,34
3 1.546,66 213,33 1.333,33 4.000,01
4 1.493,33 160,00 1.333,33 2.666,68
5 1.440,00 106,67 1.333,33 1.333,35
6 1.386,66 53,33 1.333,33 0
Sistema americano
Tabela 15 – Tabela
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 23/24
0 2.000 - 2.000 8.000
1 320 320 - 8.000
2 320 320 - 8.000
3 320 320 - 8.000
4 320 320 - 8.000
5 320 320 - 8.000
6 8.320 320 8.000 0
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos os principais sistemas de amortização, os quais apresentam as seguintes
características:
Price = prestação constante;
SAC = amortização constante;
Americano = pagamento apenas dos juros e na última prestação o saldo devedor;
Misto = média aritmética dos pagamentos dos sistemas SAC e PRICE;
Alemão = pagamento de juros antecipados.
REFERÊNCIAS
CAMARGO, C. Análise de Investimentos e demonstrativos financeiros. Curitiba: Ibpex, 2007.
CASTANHEIRA, N. P; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2008.
FRANCISCO, W. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1991.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada.
São Paulo: Pearson Prentise Hall, 2006.
PUCCINI, E. C. Matemática Financeira. 2007. Disponível em:
  <https://www.yumpu.com/pt/document/read/14514487/matematica-financeira-ernesto-coutinho-
puccinipdf>. Acesso em: 3 mar. 2021.
06/04/2022 09:26 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 24/24
1
Profª Aline Purcote
Matemática Financeira Aplicada
Aula 4
Conversa Inicial
Como ocorre a quitação de uma dívida? 
O que são sistemas de amortização?
Quais as diferenças entre cada sistema?
Como são formadas as prestações a serem 
pagas? 
Como elaborar uma tabela de amortização?
Matemática financeira
Principais temas
Sistemas de amortização
Sistema francês de amortização (Price)
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Comparação entre os sistemas
Outros sistemas de amortização
Sistemas de amortização
Amortizar = devolver o capital que se tomou 
emprestado
Amortização = devolução gradual do valor 
principal (capital) de uma dívida por meio de 
pagamentos periódicos
Pagamentos = conforme um sistema de 
amortização de empréstimos 
Prestação = parcela da amortização + parcela de 
juro
Juro = considera o saldo devedor pelo critério de 
capitalização composta
2
Saldo devedor = saldo devedor anterior -
parcela da amortização
Sistemas de amortização 
Sistema francês (Sistema Price)
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema americano
Sistema misto
Sistema alemão 
Sistema francês de 
amortização (Price)
Pagamentos constantes, no fim de cada 
período 
Pagamentos = juros sobre o saldo devedor e 
uma quota de amortização 
Como os pagamentos são todos do mesmo 
valor, à medida que eles são realizados, os 
juros tornam-se menores, enquanto as 
quotas de amortização são progressivamente 
maiores
Prestações = modelo básico de renda 
Tabela de amortização
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - sd
1 Prestação J1= sd x i A1 = prestação - J1 sd1 = sd - A1
2 Prestação J2= sd1 x i A2 = prestação - J2 sd2 = sd1 - A2
3 Prestação J3= sd2 x i A3 = prestação - J3 sd3 = sd2 - A3
𝑽 𝒑
𝟏 𝒊 𝒏 𝟏
𝟏 𝒊 𝒏. 𝒊
Um empréstimo de R$ 10.000,00 será pago em 
quatro prestações anuais sucessivas postecipadas 
com uma taxa de juros efetiva de 10% a.a. Calcule o 
valor da prestação anual e elabore a tabela 
demonstrando a operação
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
10000 𝑝
1,10 1
1,10 . 0,10
10000 𝑝
1 0,10 1
1 0,10 . 0,10
10000 𝑝
1,4641 1
1,4641.0,10
10000 𝑝
0,4641
0,146410
10000 𝑝 3,16986545
𝑝
10000
3,16986545
𝑝 3154,71
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 10.000
1 3.154,71 1.000 2.154,71 7.845,29
2 3.154,71 784,53 2.370,18 5.475,11
3 3.154,71 547,51 2.607,20 2.867,91
4 3.154,71 286,79 2.867,92 0
𝒑 𝟑𝟏𝟓𝟒, 𝟕𝟏
3
Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago 
nas seguintes condições
Carência de 4 meses
4 parcelas mensais, vencendo a primeira 1 
mês após a carência
Taxa de juro composto de 30% ao ano
O juro será incorporado ao capital durante 
o período de carência, mas não será pago 
durante essa carência
Taxa de juro composto de 30% ao ano
Dívida no final da carência
Prestação
𝑖 0,022104451 2,2104451%
𝑀 𝐶 1 𝑖 𝑀 50000 1 0,022104451 𝑀 54.569,64
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
54569,64 𝑝
1 0,022104451 1
1 0,022104451 . 0,022104451
𝑝 14.404,55
𝑖 1 𝑖 1 𝑖 1 0,30 1
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 50.000,00
1 - - - 51.105,22
2 - - - 52.234,87
3 - - - 53.389,49
4 - - - 54.569,64
5 14.404,55 1.206,23 13.198,32 41.371,32
6 14.404,55 914,49 13.490,06 27.881,26
7 14.404,55 616,30 13.788,25 14.093,01
8 14.404,55 311,52 14.093,03 0
𝒑 𝟏𝟒. 𝟒𝟎𝟒, 𝟓𝟓
Sistema de Amortização 
Constante (SAC)
SAC = amortização constante ao longo do tempo
As prestações são decrescentes, pois a quota de 
amortização é constante em todas elas e os juros 
decrescem em função do saldo devedor, que 
diminui a cada pagamento realizado 
Os juros e o valor total das prestações variam ao 
longo do tempo
O saldo devedor decresce linearmente até a sua 
extinção na última prestação 
Amortização
Tabela de amortização
𝐴
𝐶
𝑛
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - sd
1 p1 = A + J1 J1 = sd x i A sd1 = sd - A
2 p2 = A + J2 J2 = sd1 x i A sd2 = sd1 - A
3 p3 = A + J3 J3 = sd2 x i A sd3 = sd2 - A
4
Empréstimo de R$ 10.000,00 a uma taxa de 
4% a.m., a ser pago em 4 vezes. Calcule o 
valor das prestações a serem pagas e elabore 
a tabela demonstrando a operação
𝑨
𝑪
𝒏
𝑨
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒
𝑨 𝟐𝟓𝟎𝟎
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 10.000
1 2.900 400 2.500 7.500
2 2.800 300 2.500 5.000
3 2.700 200 2.500 2.500
4 2.600 100 2.500 0
Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago 
nas seguintes condições
Carência de 4 meses
4 parcelas mensais, vencendo a primeira 1 
mês após a carência
Taxa de juro composto de 30% ao ano
O juro seráincorporado ao capital durante 
o período de carência, mas não será pago 
durante essa carência 
Taxa de juro composto de 30% ao ano
Dívida no final da carência
Amortização
𝑖 1 𝑖 1 𝑖 1 0,30 1 𝑖 0,022104451 2,2104451%
𝑀 𝐶 1 𝑖 𝑀 50000 1 0,022104451 𝑀 54.569,64
𝐴
𝐶
𝑛
𝐴
54569,64
4
𝐴 13.642,41
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 50.000,00
1 - - - 51.105,22
2 - - - 52.234,87
3 - - - 53.389,49
4 - - - 54.569,64
5 14.848,64 1.206,23 13.642,41 40.927,23
6 14.547,08 904,67 13.642,41 27.284,82
7 14.245,53 603,12 13.642,41 13.642,41
8 13.943,97 301,56 13.642,41 0
Comparação entre os sistemas
Price: prestações iguais, periódicas e 
sucessivas, sendo pagos periodicamente os 
juros sobre o saldo devedor e uma quota de 
amortização 
SAC: prestações periódicas, sucessivas e 
decrescentes, sendo pagos periodicamente os 
juros sobre o saldo devedor e uma quota de 
amortização constante 
Price versus SAC
5
Financiamento de R$ 10.000,00, em 5 
prestações mensais com juros efetivos de 2% 
ao mês 
𝑉 𝑝
1 𝑖 1
1 𝑖 . 𝑖
10000 𝑝
1 0,02 1
1 0,02 . 0,02
10000 𝑝
1,104080803 1
1,104080803.0,02
10000 𝑝
0,104080803
0,022081616
10000 𝑝 4,713459513
𝑝 2121,58
𝐴
𝐶
𝑛
𝐴
10000
5
𝐴 2000
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 10.000,00
1 2.121,58 200,00 1.921,58 8.078,42
2 2.121,58 161,57 1.960,01 6.118,41
3 2.121,58 122,37 1.999,21 4.119,20
4 2.121,58 82,38 2.039,20 2.080,00
5 2.121,58 41,60 2.079,98 0
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 10.000
1 2.200 200 2.000 8.000
2 2.160 160 2.000 6.000
3 2.120 120 2.000 4.000
4 2.080 80 2.000 2.000
5 2.040 40 2.000 0
Price SAC
Prestação Constante Decrescente
Amortização Crescente Constante
Primeira prestação Menor Maior
Última prestação Maior Menor
Saldo devedor Redução inicial lenta Redução linear
Os sistemas são ditos equivalentes quando 
descontados a uma mesma taxa, por um 
mesmo período e produzem o mesmo valor 
presente, que deverá ser igual ao valor do 
financiamento
Outros sistemas de amortização
Sistema americano
Periodicamente, são pagos apenas os juros da 
dívida
Capital principal pago na última prestação
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - sd
1 p1 = J1 J1 = sd x i - sd
2 p2 = J2 J2 = sd x i - sd
3 p3 = A + J3 J3 = sd x i A = sd
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Os pagamentos se constituem na média 
aritmética dos pagamentos pelos Sistemas 
Price e SAC
𝑷𝑺𝑨𝑴
𝑷SFA 𝑷𝑺𝑨𝑪
𝟐
𝑨𝑺𝑨𝑴
𝑨SFA 𝑨𝑺𝑨𝑪
𝟐 𝑱𝑺𝑨𝑴
𝑱SFA 𝑱𝑺𝑨𝑪
𝟐
Período Price SAC SAM
1 R$ 4.747,25 R$ 5.333,33 R$ 5.040,29
2 R$ 4.747,25 R$ 4.666,67 R$ 4.706,96
3 R$ 4.747,25 R$ 4.000,00 R$ 4373,63
6
𝑷
𝑪. 𝒊
𝟏 𝟏 𝒊 𝒏
𝑨𝟏 𝑷 𝟏 𝒊 𝒏 𝟏 𝑨𝒌
𝑨𝟏
𝟏 𝒊 𝒌 𝟏
Sistema alemão (SAI): sistema dos juros antecipados
Pagamento do juro do primeiro período no ato do 
empréstimo
Prestação = parcela correspondente à quota de 
amortização + juros antecipados do período 
seguinte
Última prestação = quota de amortização
Venda de R$ 600,00 em quatro prestações 
mensais com uma taxa de juro de 2% ao mês
𝑷
𝟔𝟎𝟎. 𝟎, 𝟎𝟐
𝟏 𝟏 𝟎, 𝟎𝟐 𝟒
𝑷 𝟏𝟓𝟒, 𝟓𝟖
𝑨𝟏 𝟏𝟓𝟒,𝟓𝟖 𝟏 𝟎, 𝟎𝟐 𝟒 𝟏
𝑨𝟏 𝟏𝟒𝟓,𝟒𝟗
𝑨𝟐
𝟏𝟒𝟓,𝟒𝟗
𝟏 𝟎, 𝟎𝟐 𝟐 𝟏
𝑨𝟐 𝟏𝟒𝟖,𝟒𝟔
𝑷
𝑪. 𝒊
𝟏 𝟏 𝒊 𝒏
𝑨𝟏 𝑷 𝟏 𝒊 𝒏 𝟏 𝑨𝒌
𝑨𝟏
𝟏 𝒊 𝒌 𝟏
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 12,00 12,00 - 600,00
1 154,58 9,09 145,49 454,51
2 154,58 6,12 148,46 306,05
3 154,58 3,09 151,49 154,56
4 154,58 - 154,58 0
Na Prática
Um produto é comprado por R$ 10.000,00, 
sendo pagos 20% de entrada e o saldo 
devedor financiado em 6 prestações mensais 
postecipadas com uma taxa de 4% ao mês. 
Com base nessas informações, elabore as 
tabelas de amortização Price, SAC e do 
sistema americano e, depois, compare os 
valores das prestações e juros pagos por 
cada sistema 
Finalizando
Sistemas de amortização
Price = prestação constante
SAC = amortização constante
Americano = pagamento apenas dos juros 
e, na última prestação, o saldo devedor 
Misto = média aritmética dos pagamentos 
dos sistemas SAC e Price
Alemão = pagamento de juros antecipados
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/32
CONVERSA INICIAL
CUSTO DE CAPITAL E AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS
Diariamente, nos deparamos com oportunidades de investimentos, tanto na vida pessoal como
dentro das organizações, e precisamos decidir qual a melhor opção para investir os recursos
disponíveis. Segundo Camargo (2007), entendemos por investimento o comprometimento atual de
dinheiro ou de outros recursos feitos na expectativa de colher benefícios maiores no futuro.
De acordo com Camargo (2007), financeiramente, qualquer investimento pode ser analisado em
função do lucro ou do prejuízo econômico que produz, da taxa percentual de retorno que
proporciona ou do tempo que leva para retornar o investimento inicialmente despendido. Para
determinar esses indicadores, existe, na teoria financeira, uma diversidade de técnicas de análise de
investimento, cada qual responsável por informar ao gestor sobre um aspecto do projeto.
Nesta aula, estudaremos alguns métodos de análise de investimentos. Dentre as ferramentas,
temos o VPL e a TIR, que indicam se um investimento é atrativo ou não. Será atrativo quando a TIR
for superior à taxa mínima de atratividade e quando o VPL for positivo. Estudaremos também o
Índice Benefício ou Custo (IBC) e o período de Payback, que indica o tempo que o investimento leva
para ser recuperado.
CONTEXTUALIZANDO
Os investimentos de uma empresa podem estar relacionados à aquisição de máquina,
equipamentos, novos produtos, novas unidades de negócio, aplicações financeiras ou abertura de
uma nova empresa. Para tomarmos a decisão de investir ou não, o ideal é realizar um estudo de
viabilidade econômica e financeira.
Considere uma empresa que pretende renovar as suas máquinas, pois essa atualização reduzirá
custos de produção e garantirá melhor qualidade de seus produtos. Temos vários benefícios ao
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/32
realizar o investimento, mas será que o investimento é realmente viável? Em quanto tempo ocorrerá
o retorno desse investimento?
Para responder essas questões, temos várias ferramentas que indicam se um investimento é
viável ou não, possibilitando ao gestor realizar uma análise e tomar decisões mais assertivas.
Saiba mais
Para entender a importância da análise de investimento, acesse os seguintes links:
<https://valoreasy.com.br/blog/analise-de-investimentos/>.
<https://www.ibmex.com.br/post/viabilidade-financeira-e-sua-import%C3%A2ncia>.
<https://weinvest.com.br/metodos-de-analise-de-investimento/>.
De acordo com Andrich e Cruz (2013), não são apenas os grandes investimentos que exigem
análises. Decisões simples, do cotidiano, como a opção por realizar uma compra à vista ou a prazo,
por exemplo, deveriam sempre ser precedidas de um estudo de viabilidade financeira. Quando a
operação envolve prazos, não podemos desprezar o valor do dinheiro no tempo. 
TEMA 1 – CUSTO DE CAPITAL
Crédito: Wutzkohphoto/Shutterstock.
https://valoreasy.com.br/blog/analise-de-investimentos/
https://www.ibmex.com.br/post/viabilidade-financeira-e-sua-import%C3%A2ncia
https://weinvest.com.br/metodos-de-analise-de-investimento/
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/32
De acordo com Samanez (2007), para a empresa, o custo do capital é a remuneração que ela
deve oferecer aos fornecedores dos recursos de que necessita. Caso ela consiga gerar, com esses
recursos, retorno superior ao custo deles, então, estará gerando valor. Dessa maneira, o custo do
capital pode funcionar como um limite mínimo para o retorno dos investimentos. Se esse custoestiver abaixo do limite mínimo, os investimentos não deverão ser feitos, pois a empresa
experimentará uma queda em seu valor de mercado.
1.1 CUSTO MÉDIO PONDERADO DO CAPITAL (CMPC)
A empresa possui duas fontes de obtenção de capital, podendo utilizar o capital próprio e/ou
capital de terceiros. O capital próprio é representado pelos investimentos realizados pelos próprios
sócios ou acionistas e recursos que possui origem nos lucros gerados pela empresa. Ao destinar
recursos à empresa, os sócios exigem uma rentabilidade que chamamos de custo do capital próprio.
Já o capital de terceiros possui origem em outras fontes, como empréstimos bancários, e geram um
custo do capital de terceiros. Como a empresa utiliza essas duas fontes de obtenção de capital, é
necessário realizar investimentos que forneçam rentabilidade superior ao custo médio das fontes de
recursos, ou seja, rentabilidade superior ao custo médio ponderado do capital.
Segundo Samanez (2007), o Custo Médio Ponderado do Capital (CMPC) é uma média ponderada
dos custos das diversas fontes de recursos que financiam os ativos da empresa. O enfoque do CMPC
parte da ideia de que o projeto é financiado simultaneamente com capital próprio e capital de
terceiros, portanto, é igual à soma das rentabilidades médias dessas fontes de recursos, ponderadas
pela participação de cada uma no financiamento total.
Para calcular o custo do capital, vamos utilizar o cálculo da média aritmética ponderada, assim:
ke = kp x Cp% + kt x Ct%
Ou seja,
Onde:
ke – custo do capital da empresa em percentual = CMPC;
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/32
kp – custo do capital próprio em percentual;
kt – custo do capital de terceiros em percentual;
Cp% – participação percentual do capital próprio;
Ct% – participação percentual do capital de terceiros;
Cp – capital próprio;
Ct – capital de terceiros.
Exemplo 1: Uma empresa possui 70% de capital de terceiros e 30% de capital próprio. Considere
que o custo de capital de terceiros é de 12% e a remuneração mínima requerida pelos sócios é de
20%. Calcule o custo médio ponderado de capital.
O enunciado fornece os seguintes dados:
kp = 20% = 0,20
kt = 12% = 0,12
Cp% = 30% = 0,30
Ct% = 70% = 0,70
Com base nos dados acima, vamos aplicar a fórmula para calcular o custo médio ponderado:
ke = kp x Cp% + kt x Ct%
ke = 0,20 x 0,30 + 0,12 x 0,70
ke = 0,06 + 0,084
ke = 0,1440 = 14,40%
Exemplo 2: Qual o custo de capital de uma empresa que possui R$ 400.000,00 obtidos com
terceiros e R$ 600.000,00 dos sócios? Considere um custo de capital de 10% ao mês de terceiros e
20% de capital próprio.
O enunciado fornece os seguintes dados:
kp = 20% = 0,20
kt = 10% = 0,10
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/32
Cp = 600.000
Ct = 400.000
Com base nos dados acima, vamos aplicar a fórmula para calcular o custo médio ponderado:
Para entendermos o CMPC, precisamos das noções de estrutura de capital, custo do capital
próprio, capital de terceiros, bem como dos conceitos de risco e retorno. A estrutura de capital é a
combinação entre os dois tipos de capitais: capital de terceiros e capital próprio. É encontrada no
balanço patrimonial da empresa pela somatória do passivo não circulante (passivo exigível a longo
prazo) e do patrimônio líquido.
Fonte: Elaborado com base em Andrich e Cruz, 2013, p. 24.
Exemplo 3: Considere o seguinte balanço patrimonial de uma determinada empresa e calcule
seu custo do capital.
Balanço Patrimonial Custo
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/32
Valor do Ativo 100 Passivo    30 7,50%
    Capitais Próprios 70 15%
O custo do passivo, de 7,5%, é o custo de oportunidade do capital para os investidores que
detêm a dívida da empresa. Já o custo dos capitais próprios, de 15%, é o custo de oportunidade do
capital para os investidores que detêm as ações da empresa. Vamos aplicar a seguinte fórmula para
calcular o custo médio ponderado:
1.2 CUSTO DO CAPITAL PRÓPRIO – MODELO CAPM
Segundo Samanez (2007), o custo do capital próprio é o custo de oportunidade do investidor,
pois representa sua expectativa de retorno do capital, que é o parâmetro utilizado por ele para
decidir entre aplicar seu capital no projeto ou em outras oportunidades de investimento. Dentre as
várias formas de cálculo do custo do capital próprio, temos o modelo CAPM. Esse modelo quantifica
o custo do capital próprio, tendo como base a diferença percebida pelos donos da empresa (ou
acionistas) entre o risco do mercado e o risco da empresa, ou seja:
kp = klr + β . ( km - klr )
Onde:
kp – custo de capital próprio;
klr – taxa livre de risco (normalmente utilizada a taxa Selic);
km – taxa de retorno do mercado;
β (beta) – nível de risco da empresa em relação ao risco do mercado.
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/32
Samanez (2007) indica que a aplicação do CAPM requer informações como a rentabilidade dos
ativos sem risco, a rentabilidade esperada do índice de mercado e o beta da empresa. Os passos para
determinação do custo do capital próprio são:
1. Obter o beta das ações da empresa em publicações especializadas ou medido por meio
das cotações das ações negociadas em bolsa. Para empresas sem títulos negociados no
mercado, o beta dee ser estimado por meio dos betas de empresas com atividades
operacionais semelhantes.
2. Ajustar o beta do projeto em relação à alavancagem financeira, caso esse projeto altere
o risco ou a estrutura de capital da empresa.
3. Escolher a taxa livre de risco.
4. Definir a carteira de mercado e medir seu retorno.
5. Calcular o custo do capital próprio usando o CAPM.
Exemplo 4: Uma empresa listada na bolsa de valores apresenta beta no valor de 1,2 com taxa de
remuneração do mercado de 12%. Considerando a Selic de 6,5%, qual é o custo do capital próprio
dessa empresa?
O enunciado fornece os seguintes dados:
klr = 6,5%
km = 12%
β = 1,2
kp = klr + β . ( km - klr )
kp = 0,065 + 1,2 (0,12 – 0,065)
kp = 0,065 + 1,2 (0,055)
kp = 0,065 + 0,066
kp = 0,131
O retorno esperado para o investimento será de 13,1%.
Saiba mais
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/32
Para entender mais sobre o modelo CAPM, acesse os seguintes links e verifique como o
modelo pode ser utilizado em análise de investimentos:
<https://www.youtube.com/watch?v=RTzoij_p_co>.
<https://www.youtube.com/watch?v=dg4jMnBFsQA>.
TEMA 2 – VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
Crédito: Amnaj Khetsamtip/Shutterstock.
De acordo com Andrich e Cruz (2013), para um projeto ou investimento ser considerável viável, o
retorno obtido por meio da aplicação de determinada taxa de desconto deve, no mínimo, ser
superior ao rendimento de uma aplicação de baixo risco. Isso se os capitais investidos forem
próprios. Se forem de terceiros, esse retorno deverá cobrir minimamente o custo de capital. Dentre as
diversas técnicas de análise de investimentos, estudaremos, neste tema, o Valor Presente Líquido
(VPL), que é uma das técnicas mais conhecidas e utilizadas.
Segundo Castanheira (2016), o VPL é a fórmula matemático-financeira utilizada para determinar
o valor presente de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros estipulada, menos o custo
do investimento inicial. Basicamente, é o cálculo de quanto os futuros pagamentos, somados a um
https://www.youtube.com/watch?v=RTzoij_p_co
https://www.youtube.com/watch?v=dg4jMnBFsQA
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/32
capital inicial, estariam valendo atualmente. Para o cálculo do valor presente das entradas e saídas de
caixa, é utilizada a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) como taxa de desconto.
Consideramos TMA como a remuneração mínima dos capitais investidos, ou seja, é a taxa
oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital. Segundo Andrich e Cruz (2013), é a taxa
utilizada para descontar os fluxos de caixa projetados, trazendo-os aosvalores presentes.
De acordo com Castanheira (2016), o VPL consiste em trazer para o dia zero (valor atual) cada
valor futuro de uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos, sendo que do somatório
desses valores atuais deduz-se o valor do investimento a ser feito. Assim, obtemos o VPL aplicado à
fórmula:
O VPL pode apresentar como resultado um valor positivo, negativo ou nulo, que interpretamos
da seguinte forma:
VPL positivo (VPL > 0) – investimento viável, ou seja, cobrirá o investimento inicial e a
remuneração mínima exigida pelo investidor. Dessa forma, temos que o investimento analisado
é mais rentável que a aplicação alternativa da TMA.
VPL negativo (VPL < 0) – investimento inviável, ou seja, é mais rentável aplicar na TMA do que
no investimento proposto.
VPL nulo (VPL = 0) – o investimento deverá ser analisado, pois possui exatamente a TMA
prevista.
Exemplo: Uma empresa possui dois investimentos e precisa decidir em qual irá investir. Calcule
o VPL considerando os fluxos de caixa apresentados a seguir e uma taxa mínima de atratividade de
6%. Depois, indique qual será a melhor opção de investimento para essa empresa.
Período Investimento A Investimentos B
0 -80.000,00 -100.000,00
1 25.000,00 30.000,00
2 25.000,00 30.000,00
3 25.000,00 30.000,00
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/32
4 25.000,00 40.000,00
Créditos: Aline Purcote.
Para decidir qual o melhor investimento, vamos aplicar a fórmula do VPL no fluxo de caixa de
cada investimento considerando a taxa de 6%, assim:
VPL do investimento A:
VPL do investimento B:
Agora, analisamos os valores obtidos, sendo que a melhor alternativa de investimento será
aquela que fornecer a maior diferença positiva entre os valores atuais das receitas e das despesas. O
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/32
investimento A produz um VPL de R$ 6.627,64, já o B um retorno de R$ 11.874,10. Logo,
consideramos o investimento B, que apresenta o maior VPL.
Estudamos o cálculo do VPL por meio da fórmula, mas podemos calcular também utilizando a
calculadora HP12C e o Excel, como veremos a seguir.
a. Calculadora HP12C
Inserimos o valor do investimento inicial utilizando as teclas CHS e CF0. A tecla CHS negativa o
valor, pois consideramos o investimento como desembolso. Em seguida, inserimos os fluxos
esperados utilizando a tecla CFj. Para finalizar, inserimos a taxa e utilizamos a opção NPV para obter o
valor do VPL. Vamos aplicar esses passos nos investimentos.
VPL do investimento A:
80.000 CHS g CF0
25.000 g CFj
25.000 g CFj
25.000 g CFj
25.000 g CFj
6 i
f NPV
VPL do investimento B:
100.000 CHS g CF0
30.000 g CFj
30.000 g CFj
30.000 g CFj
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 13/32
40.000 g CFj
6 i
f NPV
b. Excel
No Excel, utilizamos a fórmula direta do VPL, incluindo a taxa e os valores esperados. Para
encontrar o valor final, precisamos somar o que foi investido inicialmente. Assim, somamos à fórmula
o valor do investimento inicial.
Crédito: Aline Purcote.
TEMA 3 – ÍNDICE BENEFÍCIO OU CUSTO (IBC)
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 14/32
Crédito: Pro Symbols/Shutterstock.
Segundo Camargo (2007), o IBC, também chamado de índice de lucratividade, mostra o retorno
que a empresa obtém para cada R$ 1,00 investido em um determinado projeto. Para tanto, devem
ser relacionados os dispêndios de capital com os fluxos de benefícios resultantes do investimento,
descontados pela TMA.
Para calcular o IBC, utilizamos a seguinte fórmula:
Para aceitar ou rejeitar um projeto, consideramos que quanto maior o IBC, melhor, sendo que os
projetos com IBC > 1 serão aceitos e projetos com IBC < 1 serão rejeitados. Utilizamos como
referência o índice 1,0, em que IBC > 1 significa que, para cada R$ 1,00 investido no projeto, a
empresa está obtendo um retorno maior. Para IBC < 1, a empresa estará perdendo dinheiro em
relação à TMA, não obtendo retorno suficiente para cobrir cada R$ 1,00 investido. 
De acordo com Camargo (2007), como a fórmula utiliza o valor presente de todo o fluxo de caixa
do investimento (entradas e saídas) descapitalizado pela TMA, o resultado desse método é também
correlacionado com o VPL, sendo que o projeto que tiver VPL > 0 apresentará IBC > 1.
Exemplo 1: Um projeto possui investimento inicial de R$ 490.000,00 e entradas de caixa de R$
150.000,00 nos próximos quatro anos. Calcule o IBC considerando um custo de capital de 9,38% a.a.
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 15/32
Para calcular o IBC, precisamos calcular primeiramente o valor presente das entradas, assim:
Encontramos o valor presente das entradas e precisamos também do valor presente das saídas.
Como temos apenas a saída do investimento inicial, o valor presente das saídas é igual a R$
490.000,00. Para finalizar, aplicamos a fórmula do IBC:
Podemos efetuar os cálculos também pela calculadora HP12C, assim:
150000 g CFj
4 g Nj
9,38 i
f NPV
490000
:
O projeto não será atrativo, pois temos um IBC < 1, ou seja, a cada R$ 1,00 investido o retorno é
de apenas R$ 0,98.
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 16/32
Exemplo 2: Uma empresa tem a possibilidade de iniciar um novo negócio com um custo de
instalação de R$ 600.000,00, gastos anuais de R$ 50.000,00 e renda anual de R$ 400.000,00 durante
três anos de operação, sendo que após esse prazo o negócio será desativado e não terá valor
residual. Considerando uma TMA de 15% a.a., calcule o IBC e verifique se esse novo negócio será ou
não vantajoso para a empresa.  
Para calcular o IBC, precisamos calcular o valor presente das entradas e das saídas, assim:
Valor presente das entradas:
Valor presente das saídas:
Para finalizar, aplicamos a fórmula do IBC:
Podemos efetuar os cálculos pela calculadora HP12C, assim:
600000 g CF0
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 17/32
50000 g CFj
3 g Nj
15 i
f NPV
f REG
400000 g CFj
3 g Nj
15 i
f NPV
714161,26 :
A cada R$ 1,00 investido, temos um retorno de R$ 1,28, portanto, a proposta é vantajosa para a
empresa.
TEMA 4 – TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 18/32
Crédito: Andrii Yalanskyi/Shutterstock.
Nos temas anteriores, estudamos o VPL e o IBC para a avaliação de investimentos. Neste tema,
estudaremos a Taxa Interna de Retorno (TIR), que é uma metodologia para analisar investimentos e
está voltada para a variável taxa. Segundo Andrich e Cruz (2013), no método do VPL trabalhamos
com valores, isto é, trazemos os fluxos projetados ao tempo presente, comparando o resultado
obtido com o investimento realizado. Já no método da TIR, em vez de calcularmos os valores
descontados, buscamos a taxa de desconto que iguala os fluxos ao valor inicialmente investido.
De acordo com Castanheira (2016), a taxa de retorno ou taxa interna de um fluxo de caixa é a
taxa de juros compostos (taxa de desconto) que anula seu valor presente (valor atual). Dessa forma, a
TIR é a taxa que torna o VPL igual a zero, ou seja, é a taxa que zera o investimento. Taxas de
desconto menores que a TIR produzem um VPL positivo e as taxas maiores que a TIR tornam o VPL
negativo. Podemos observar o comportamento do VPL e da TIR para um investimento no gráfico
seguinte:
Francisco (1991) define a taxa de retorno de um investimento como a taxa de juros que anula a
diferença entre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Uma alternativa de
investimento é considerada vantajosa quando a taxa de retorno é maior que a Taxa Mínima de
Atratividade (TMA). Dessa forma, ao analisar a TIR, chegamos à seguinte conclusão:
TIR > TMA – investimento viável;
TIR < TMA – investimento inviável.
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 19/32
Segundo Camargo (2007), uma TIR maior que a TMAindica maior ganho investindo-se no
projeto do que na TMA, portanto, quanto maior seu resultado, melhor o retorno para a empresa.
Caso o projeto apresente TIR menor que a TMA, é preferível aplicar nessa segunda alternativa e
rejeitar o projeto analisado.
Considerando o fluxo de caixa composto de um investimento inicial de R$ 100,00 e uma entrada
no primeiro período de R$ 120,00, vamos calcular a TIR considerando que a taxa (i) torna o VPL igual
a zero, assim:
Isolando a variável i, temos:
Para calcular a TIR, podemos utilizar a calculadora HP12C usando a tecla IRR, que determina a
taxa interna de retorno quando as parcelas são fornecidas pelas teclas CF0 e CFj, assim: 
f REG
100 CHS g CF0
120 g CFj
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 20/32
f IRR
Exemplo 1: Uma empresa necessita investir R$ 30.000.000,00 para obter fluxos futuros de R$
11.000.000,00; R$ 12.100.000,00; e R$ 13.310.000,00 ao longo de três anos. Qual a TIR desse
investimento?
Utilizando a HP12C, temos:
f REG
30.000.000 CHS g CF0
11.000.000 g CFj
12.100.000 g CFj
13.310.000 g CFj
f IRR
A taxa interna de retorno do projeto é de 10% ao ano.
Outra alternativa para o cálculo da TIR é a aplicação direta da fórmula no Excel:
Crédito: Aline Purcote.
Exemplo 2: Qual a TIR de um projeto que possui investimento inicial de R$ 150.000,00 e
previsão de fluxo de receitas anuais de R$ 19.500,00 pelo período de 10 anos? Considere que a TMA
da empresa é de 6% a.a.
Pela calculadora HP12C, temos:
150000 CHS g CF0
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 21/32
19500 g CFj
10 g Nj
f IRR
Podemos também resolver utilizando o Excel:
Crédito: Aline Purcote.
A taxa interna de retorno do projeto é de 5,08% ao ano. Considerando que a TMA da empresa é
de 6% a.a., o projeto não é viável, pois podemos ganhar mais aplicando na TMA.
Saiba mais
Para saber mais sobre a aplicação da TIR e do VPL no estudo de viabilidade econômica
utilizando o Excel, acesse o seguinte link:
<https://www.hashtagtreinamentos.com/viabilidade-economica-no-excel?gclid=CjwKCAiA
hbeCBhBcEiwAkv2cY9l50r3xSz-i7M_-IgGbpFwqGYg16f4_Ff-jjuGuqd3zVveb-dzdKBoCcy0QA
vD_BwE>.
TEMA 5 – PERÍODO DE PAYBACK
https://www.hashtagtreinamentos.com/viabilidade-economica-no-excel?gclid=CjwKCAiAhbeCBhBcEiwAkv2cY9l50r3xSz-i7M_-IgGbpFwqGYg16f4_Ff-jjuGuqd3zVveb-dzdKBoCcy0QAvD_BwE
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 22/32
Crédito: Astel
Design/Shutterstock.
No tema anterior, analisamos investimentos considerando a variável taxa. Neste tema, vamos
analisar o Payback (PB), que é o tempo de retorno de um investimento, ou seja, o tempo que o
investimento inicial leva para ser recuperado.
Para aceitar ou rejeitar um projeto, consideramos:
Payback < tempo máximo aceitável – aceita;
Payback > tempo máximo aceitável – rejeita.
Camargo (2007) indica que a decisão de aceitar ou rejeitar um projeto pelo tempo de retorno se
baseia em parâmetros subjetivos, ou seja, não existe um tempo máximo considerado ideal para
tornar um projeto viável. Assim, esse processo depende de cada empresa em função de suas próprias
características e das peculiaridades do investimento proposto.
Quando temos um fluxo de caixa constante, o Payback será calculado dividindo o investimento
inicial pelo valor das entradas, assim:
Exemplo 1: Qual o Payback de um projeto com investimento inicial de R$ 23.000,00 que possui
o seguinte fluxo de caixa anual?
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 23/32
0 1 2 3 4 5 6 7
-23.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 10.000
O projeto retornará o investimento inicial em 4,6 anos, ou seja, o retorno ocorrerá em 4 anos, 7
meses e 6 dias.
Quando temos um fluxo de caixa com diferentes entradas ao longo do tempo, somamos as
entradas até atingir o valor mais próximo do investimento inicial. Caso falte valor a ser recuperado,
dividimos o que falta de retorno pelo valor da próxima entrada, assim:
Exemplo 2: Qual o Payback de um projeto com investimento inicial de R$ 4.500,00 considerando
o seguinte fluxo de caixa?
0 1 2 3 4 5 6 7
-4.500 1.200 1.000 700 900 300 800 400
Para calcular o tempo de retorno, somamos as entradas, assim, repetimos o valor do período 1 e
somamos para os demais períodos:
Período 2 = 1.200 + 1.000 = 2.200
Período 3 = 2.200 + 700 = 2.900
Seguindo o mesmo raciocínio para os demais períodos, temos:
0 1 2 3 4 5 6 7
  -4.500 1.200 1.000 700 900 300 800 400
∑entradas   1.200 2.200 2.900 3.800 4.100 4.900 5.300
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 24/32
Analisando a segunda linha da tabela, temos que o investimento inicial só será recuperado após
o quinto período, pois até esse período os fluxos positivos não atingiram o valor do investimento de
R$ 4.500. No período 5, temos um valor acumulado de R$ 4.100, faltando R$ 400 para recuperar o
valor investido, assim:
Logo, o investimento será retornado em 5,5 períodos.
Os cálculos realizados até o momento não levam em consideração o valor do dinheiro no tempo,
assim, para eliminar essa desvantagem, calculamos o Payback descontado (PBd), que indica o tempo
de retorno do investimento considerando os fluxos descontados pela TMA, ou seja, calculamos o
tempo de retorno para que os fluxos projetados, descontados a determinada taxa, superem o valor
do investimento inicial.
De acordo com Camargo (2007), o tempo de retorno do investimento é encontrado,
primeiramente, calculando-se o VP dos fluxos de caixa. Em seguida, os valores positivos são somados
até atingir o valor mais próximo do investimento inicial. O saldo que falta para recuperar todo o
investimento é, então, dividido pelo VP da próxima entrada, a fim de evidenciar qual o tempo de
recuperação do investimento. Assim:
Exemplo 3: Qual o Payback de um projeto com investimento inicial de R$ 1.000,00 considerando
o seguinte fluxo de caixa e taxa mínima de 3%?
0 1 2 3
-1.000 320 550 400
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 25/32
O primeiro passo é descontarmos os fluxos projetados, trazendo-os para valores presentes.
Vamos descontar o valor de cada período individualmente:
Período 1
 
Pela HP12C, temos:
320 CHS FV
3 i
1 n
PV
Período 2
Pela HP12C, temos:
550 CHS FV
3 i
2 n
PV
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 26/32
Período 3
Pela HP12C, temos:
400 CHS FV
3 i
3 n
PV
Agora, resumimos os valores encontrados na seguinte tabela e somamos os valores do VP:
0 1 2 3
  -1.000 320 550 400
VP   310,68 518,43 366,06
∑VP   310,68 829,11 1.195,17
Analisando a terceira linha da tabela, temos que o investimento inicial será recuperado após o
segundo mês, pois até esse período os fluxos positivos não atingiram o valor do investimento de R$
1.000. No mês 2, temos um valor acumulado de R$ 829,11, faltando R$ 170,89 para recuperar o valor
investido, assim:
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 27/32
O projeto retornará o investimento inicial em 2,47 meses, ou seja, o retorno ocorrerá em 2 meses
e 14 dias.
TROCANDO IDEIAS
Nesta aula, vimos que podemos analisar um investimento em relação ao seu retorno, à sua taxa
e ao seu tempo. Para entender melhor essas técnicas, vamos avaliar a seguinte aplicação, disponível
em: <https://solarview.zendesk.com/hc/pt-br/articles/360053021011-O-que-s%C3%A3o-TMA-VPL-TI
R-e-Payback->. Acesso em: 22 jul. 2021.
NA PRÁTICA
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver o seguinte exercício: Uma indústria quer
vender uma máquina antiga por R$ 5.000,00 e comprar uma máquina nova, à vista, por R$ 17.000,00.
Com a troca da máquina, durante os próximos 24 meses, estima-se um ganho de R$ 1.200,00
mensais pela venda dos produtos e despesas mensais de R$ 300,00. A empresa dispõe de recursos
suficientes para realizar o investimento, os quais estão sendo remunerados a uma taxa de 15% a.a.
Utilizando as técnicasestudadas nesta aula (VPL, IBC, TIR e PBd), indique se é ou não vantajoso,
financeiramente, realizar esse investimento.
Para iniciar a resolução, encontramos a taxa equivalente aplicando a fórmula a seguir:
https://solarview.zendesk.com/hc/pt-br/articles/360053021011-O-que-s%C3%A3o-TMA-VPL-TIR-e-Payback-
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 28/32
Dos R$ 17.000,00 disponíveis para o investimento, R$ 5.000,00 continuam sendo remunerados
pela TMA, isso ocorre porque temos R$ 5.000,00 liberados pela venda da máquina antiga. Dessa
forma, vamos calcular os retornos mensais da aplicação dos R$ 5.000,00 a 15% a.a., utilizando a
HP12C:
5000 CHS PV
1,1715 i
24 n
PMT
Logo, temos uma remuneração de R$ 240,20 que devemos incorporar no ganho de R$ 1.200,00
mensais pela venda dos produtos, assim, teremos por mês um valor de R$ 1.440,20 (1.200 + 240,20).
Como temos despesas mensais de R$ 300,00, consideramos mensalmente no fluxo de caixa o valor
de R$ 1.140,20 (1.440,20 – 300,00). A seguir, podemos analisar o fluxo de caixa desse investimento:
Com base nos dados fornecidos, vamos calcular os indicadores de viabilidade financeira:
Valor Presente Líquido (VPL):
Pela HP12C, temos:
17000 CHS g CF0
1140,20 g CFj
24 g Nj
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 29/32
1,1715 i
f NPV = 6.734,25
Índice Benefício ou Custo (IBC):
Pela HP12C, temos:
17000 g CF0
300 g CFj
24 g Nj
1,1715 i
f NPV
f REG
1440,20 g CFj
24 g Nj
1.1715 i
f NPV
23244,76 : = 1,29
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 30/32
Taxa Interna de Retorno (TIR):
17000 CHS g CF0
1140,20 g CFj
24 g Nj
f IRR = 4,2197
Payback descontado (PBd):
Vamos calcular o valor presente acumulado até o 15º mês:
Para o 16º e 17º mês, temos:
Logo, temos os seguintes retornos acumulados:
VP Retorno Acumulado
VP16 = 946,35 15601,15 + 946,35 = 16.547,50
VP17 = 935,39 16547,50 + 935,39 = 17.482,89
Para finalizar, vamos analisar os indicadores calculados:
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 31/32
Indicador Proposta
VPL 6.734,25
IBC 1,29
TIR 4,2197%
PBd 16,48 meses
Com base nos indicadores calculados, é ou não vantajoso, financeiramente, realizar esse
investimento?
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos o custo do capital e os principais métodos para análise de investimentos:
VPL =  considera o investimento inicial e uma série de fluxos de caixa futuros para calcular
quanto vale o investimento atualmente.
IBC = indica o retorno para cada R$ 1,00 investido em um determinado projeto.
TIR = taxa de desconto que faz com que o VPL seja igual a zero.
Payback = tempo que o investimento inicial leva para ser recuperado.
REFERÊNCIAS
ANDRICH, E. G; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira moderna: uma abordagem prática. Curitiba:
Intersaberes, 2013.
CAMARGO, C. Análise de investimentos e demonstrativos financeiros. Curitiba: Ibpex, 2007.
FRANCISCO, W. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1991.
SAMANEZ, C. P. Gestão de investimentos e geração de valor. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2007.
06/04/2022 09:27 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 32/32
1
Profª Aline Purcote
Matemática Financeira Aplicada
Aula 5
Conversa Inicial
Investimento = comprometimento atual de 
dinheiro feito na expectativa de colher benefícios 
maiores no futuro
O que é custo do capital?
Quais as fontes de obtenção de capital? 
Qual a melhor opção para investir os recursos 
disponíveis?
Métodos de análise de investimentos: 
VPL, TIR, IBC e Payback
Matemática financeira
Custo de capital
Valor presente líquido (VPL)
Índice benefício/custo (IBC)
Taxa interna de retorno (TIR)
Período de Payback
Principais temas
Custo de Capital
Remuneração que a empresa deve oferecer 
aos fornecedores de recursos
Pode funcionar como um limite mínimo para 
o retorno dos investimentos, abaixo do qual 
estes não deverão ser feitos
Realizar investimentos que forneçam 
rentabilidade superior ao custo médio das 
fontes de recurso, ou seja, rentabilidade 
superior ao custo médio ponderado do capital
1 2
3 4
5 6
2
Fonte de 
Capital
Capital Próprio 
Sócios ou 
acionistas e 
lucros gerados 
pela empresa
Custo do 
capital próprio
Capital de 
Terceiros
Empréstimos 
bancários 
Custo do 
capital de 
terceiros
Média ponderada dos custos das diversas fontes 
de recursos
ke = kp x Cp% + kt x Ct% 
𝒌𝒆 𝒌𝒑
𝑪𝒑
𝑪𝒕 𝑪𝒑
· 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒕
𝑪𝒕
𝑪𝒕 𝑪𝒑
· 𝟏𝟎𝟎
ke: Custo do capital da empresa em percentual 
= CMPC
kp: Custo do capital próprio em percentual 
kt: Custo do capital de terceiros em percentual 
Custo Médio Ponderado do Capital (CMPC)
ke = kp x Cp% + kt x Ct% 
Cp%: Participação percentual do capital 
próprio 
Ct%: Participação percentual do capital de 
terceiro 
Cp: Capital próprio 
Ct: Capital de terceiro
Uma empresa possui 70% de capital de 
terceiros e 30% de capital próprio. Considere 
que o custo de capital de terceiros é de 12% 
e a remuneração mínima requerida pelos 
sócios é de 20%, calcule a custo médio 
ponderado de capital
ke = kp x Cp% + kt x Ct% 
ke = 0,20 x 0,30 + 0,12 x 0,70
ke = 0,06 + 0,084
ke = 0,1440 = 14,40%
Combinação entre o capital de terceiros e capital 
próprio sendo encontrada no balanço patrimonial 
da empresa com a somatória do passivo 
não circulante 
(passivo exigível 
a longo prazo) e 
do patrimônio 
líquido
Estrutura de capital
Fonte: Gestão Financeira Moderna, 2013, p. 24
Balanço Patrimonial
Ativo Passivo
Ativo circulante
Passivo circulante
Passivo não circulante
Ativo não circulante
Ativo não circulante
Ativo realizável a longo prazo
Investimentos
Imobilizado
Intangível
Patrimônio líquido
Considere o seguinte balanço patrimonial de 
uma determinada empresa e calcule o custo 
do capital desta empresa
Balanço Patrimonial Custo
Valor do Ativo 100 Passivo 30 7,50%
Capitais Próprios 70 15%
𝒌𝒆 𝒌𝒑
𝑪𝒑
𝑪𝒕 𝑪𝒑
· 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒕
𝑪𝒕
𝑪𝒕 𝑪𝒑
· 𝟏𝟎𝟎
𝒌𝒆 𝟎,𝟏𝟓
𝟕𝟎
𝟑𝟎 𝟕𝟎
· 𝟏𝟎𝟎 𝟎,𝟎𝟕𝟓
𝟑𝟎
𝟑𝟎 𝟕𝟎
· 𝟏𝟎𝟎
𝒌𝒆 𝟎,𝟏𝟓
𝟕𝟎
𝟏𝟎𝟎
· 𝟏𝟎𝟎 𝟎,𝟎𝟕𝟓
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
· 𝟏𝟎𝟎
𝒌𝒆 𝟏𝟎,𝟓 𝟐,𝟐𝟓 𝟏𝟐,𝟕𝟓%
7 8
9 10
11 12
3
Quantifica o custo do capital próprio, 
considera a diferença percebida pelos 
acionistas entre o risco do mercado e 
o risco da empresa
kp = klr + β . ( km - klr )
Custo do capital próprio - modelo CAPM Uma empresa listada na bolsa de valores 
apresenta um beta de 1,2 com uma taxa 
de remuneração do mercado de 12%. 
Considerando a Selic de 6,5%, qual é o 
custo do capital próprio desta empresa?
kp = 0,065 + 1,2 (0,12 – 0,065)
kp = 0,065 + 1,2 (0,055)
kp = 0,065 + 0,066
kp = 0,131
Valor Presente Líquido (VPL)
Determina o valor presente de pagamentos 
futuros descontados a uma taxa de juros 
estipulada menos o custo do investimento inicial
Quanto os futuros pagamentos, somados a um 
capital inicial, estariam valendo atualmente
Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
Remuneração mínima dos capitais investidos, 
ou seja, é a taxa oferecida pelo mercado para 
uma aplicação de capital
Trazer para o dia zero (Valor Atual) cada valor 
futuro sendo que do somatório desses valores 
atuais deduz-se o valor do investimento a ser 
feito
VPL Positivo (VPL > 0): investimento viável
VPL Negativo (VPL < 0): investimento inviável
VPL Nulo (VPL = 0): investimento deverá ser 
analisado
𝑽𝑷𝑳
𝑴𝟏
𝟏 𝒊 𝟏
𝑴𝟐
𝟏 𝒊 𝟐
𝑴𝟑
𝟏 𝒊 𝟑
⋯
𝑴𝒏
𝟏 𝒊 𝒏
𝑪
Uma empresa estuda a possibilidade de 
reformar uma máquina. A reforma está 
orçada em R$200.000 e dará uma 
sobrevida de cinco anos ao equipamento, 
proporcionando uma diminuição nos custos 
operacionais da ordem de R$75.000 ao ano. 
Considerando um custo de capital de 15% 
a.a., analisar a viabilidade econômica da 
reforma do equipamento
13 14
15 16
17 18
4
VPL = 65217,39 + 56710,77 + 49313,72 + 42881,49 + 37288,26 – 200000
VPL = 51.411,63 200000 CHS g CF0
75000 g CFj
75000 g CFj
75000 g CFj
75000 g CFj
75000 g CFj
15 i
f NPV
200000 CHS gCF0
75000 g CFj
5 g Nj
15 i
f NPV
𝑽𝑷𝑳
𝑴𝟏
𝟏 𝒊 𝟏
𝑴𝟐
𝟏 𝒊 𝟐
𝑴𝟑
𝟏 𝒊 𝟑
⋯
𝑴𝒏
𝟏 𝒊 𝒏
𝑪
𝑽𝑷𝑳
𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟏
𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟐
𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟑
𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟒
𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟓
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
Índice Benefício/Custo (IBC)
Índice de lucratividade
Retorno que a empresa obtém para cada R$ 1,00 
investido em um determinado projeto
IBC >1: para cada R$ 1,00 investido, a 
empresa está obtendo um retorno maior
IBC < 1: a empresa estará perdendo dinheiro 
em relação à TMA, não obtendo retorno 
suficiente para cobrir cada R$ 1,00 investido
IBC = 
Valor presente das entradas de caixa
Valor presente das saídas de caixa
Um projeto possui investimento inicial 
de R$ 490.000,00 e entradas de caixa de 
R$ 150.000,00 nos próximos quatro anos. 
Calcule o IBC considerando um custo de 
capital de 9,38% a.a.
150000 g CFj
4 g Nj
9,38 i
f NPV
490000
:
IBC = 
Valor presente das entradas de caixa
Valor presente das saídas de caixa
𝑽𝑷
𝑴𝟏
𝟏 𝒊 𝟏
𝑴𝟐
𝟏 𝒊 𝟐
𝑴𝟑
𝟏 𝒊 𝟑
𝑴𝟒
𝟏 𝒊 𝟒
𝑽𝑷
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟎𝟗𝟑𝟖 𝟏
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟎𝟗𝟑𝟖 𝟐
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟎𝟗𝟑𝟖 𝟑
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟎𝟗𝟑𝟖 𝟒
𝑽𝑷
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟎𝟗𝟑𝟖
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟏𝟗𝟔𝟑𝟗𝟖
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟑𝟎𝟖𝟔𝟐𝟏
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟒𝟑𝟏𝟑𝟔𝟗
𝑽𝑷 𝟏𝟑𝟕𝟏𝟑𝟔,𝟓𝟖𝟖 𝟏𝟐𝟓𝟑𝟕𝟔,𝟑𝟑𝟖 𝟏𝟏𝟒𝟔𝟐𝟒,𝟒𝟕𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟒𝟕𝟗𝟒,𝟕𝟖𝟎𝟒
𝑽𝑷 𝟒𝟖𝟏𝟗𝟑𝟐, 𝟏𝟗
𝑰𝑩𝑪
𝟒𝟖𝟏𝟗𝟑𝟐,𝟏𝟗
𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟎, 𝟗𝟖𝟑𝟓
Uma empresa tem a possibilidade de iniciar 
um novo negócio com um custo de instalação 
de R$ 600.000,00, gastos anuais de R$ 
50.000,00 e renda anual de R$ 400.000,00 
durante três anos de operação sendo que 
após este prazo o negócio será desativado e 
não terá valor residual
Considerando uma TMA de 15% a.a, calcule o 
IBC e verifique se este novo negócio será ou 
não vantajoso para empresa
600000 g CF0
50000 g CFj
3 g Nj
15 i
f NPV
f REG
400000 g CFj
3 g Nj
15 i
f NPV
714161,26 :
IBC = 
Valor presente das entradas de caixa
Valor presente das saídas de caixa
𝑽𝑷
𝑴𝟏
𝟏 𝒊 𝟏
𝑴𝟐
𝟏 𝒊 𝟐
𝑴𝟑
𝟏 𝒊 𝟑
𝑽𝑷
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟏
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟑
𝑽𝑷
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟏𝟓
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟑𝟐𝟐𝟓
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟓𝟐𝟎𝟖𝟕𝟓
𝑽𝑷 𝟑𝟒𝟕𝟖𝟐𝟔,𝟎𝟖𝟕𝟎 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟓𝟕,𝟒𝟔𝟔𝟗 𝟐𝟔𝟑𝟎𝟎𝟔,𝟒𝟗𝟑𝟎
𝑽𝑷 𝟗𝟏𝟑𝟐𝟗𝟎, 𝟎𝟓
𝑽𝑷
𝟗𝟏𝟑𝟐𝟗𝟎,𝟎𝟓
𝟕𝟏𝟒𝟏𝟔𝟏,𝟐𝟔
𝟏, 𝟐𝟖
𝑽𝑷 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟏
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟏𝟓 𝟐
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎, 𝟏𝟓 𝟑
𝑽𝑷 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟑𝟒𝟕𝟖,𝟐𝟔𝟎𝟖𝟕 𝟑𝟕𝟖𝟎𝟕,𝟏𝟖𝟑𝟑𝟔 𝟑𝟐𝟖𝟕𝟓,𝟖𝟏𝟏𝟔𝟐
𝑽𝑷 𝟕𝟏𝟒𝟏𝟔𝟏, 𝟐𝟔
19 20
21 22
23 24
5
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Buscamos a taxa de desconto que iguala os 
fluxos ao valor inicialmente investido
Taxa de juros compostos (taxa de desconto) que 
anula seu valor presente (valor atual)
Fonte: www.dicionariofinanceiro.com/valor-presente-liquido
VPL Positivo
VPL Negativo
Taxa Mínima de Atratividade (%)
TIR
VPL ($)
Uma alternativa de investimento é considerada 
vantajosa quando a taxa de retorno é maior que 
a taxa mínima de atratividade (TMA)
TIR > TMA: investimento viável
TIR < TMA: investimento inviável
Investimento inicial de R$ 100 e uma 
entrada no primeiro período de R$ 120
𝑽𝑷𝑳
𝑴𝟏
𝟏 𝒊 𝟏
𝑪
𝟏𝟐𝟎
𝟏 𝒊 𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟎
𝟏 𝒊 𝟏
𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝒊 𝟏 𝒊 𝟎,𝟐 𝟐𝟎%
Uma empresa necessita investir R$ 30.000.000 
para obter fluxos futuros de R$ 11.000.000, 
R$ 12.100.000 e R$ 13.310.000 ao longo de 
três anos
Qual a TIR deste investimento?
30.000.000 CHS g CF0
11.000.000 g CFj
12.100.000 g CFj
13.310.000 g CFj
f IRR
Período de Payback
Tempo de retorno de um investimento
Tempo que o investimento inicial leva para 
ser recuperado
Para aceitar ou rejeitar um projeto 
consideramos
Payback < tempo máximo aceitável: aceita
Payback > tempo máximo aceitável: rejeita
25 26
27 28
29 30
6
Qual é o Payback de um projeto com 
investimento inicial de R$ 23.000,00 que 
possui o seguinte fluxo de caixa anual? 
0 1 2 3 4 5 6 7
-23.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 10.000
PB = 
Investimento Inicial
Valor da entrada
𝑷𝑩
𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎𝟎
𝑷𝑩 𝟒,𝟔
Qual é o Payback de um projeto com 
investimento inicial de R$ 4.500,00 
considerando o seguinte fluxo de caixa?
0 1 2 3 4 5 6 7
-4.500 1.200 1.000 700 900 300 800 400
0 1 2 3 4 5 6 7
-4.500 1.200 1.000 700 900 300 800 400
∑ 1.200 2.200 2.900 3.800 4.100 4.900 5.300
PB = nº de períodos inteiros +
quanto falta para retornar
valor da próxima entrada
𝑷𝑩 𝟓
𝟒𝟎𝟎
𝟖𝟎𝟎
𝑷𝑩 𝟓 𝟎,𝟓 𝑷𝑩 𝟓,𝟓
Qual é o Payback de um projeto com 
investimento inicial de R$ 1.000,00 considerando 
o seguinte fluxo de caixa e taxa mínima de 3%? 
0 1 2 3
-1.000 320 550 400
0 1 2 3
-1.000 320 550 400
VP 310,68 518,43 366,06
∑VP 310,68 829,11 1.195,17
PBd = nº de períodos inteiros +
quanto falta para retornar
VP da próxima entrada
𝑽𝑷
𝑴𝟏
𝟏 𝒊 𝟏
𝑽𝑷
𝟑𝟐𝟎
𝟏 𝟎,𝟎𝟑 𝟏
𝑽𝑷 𝟑𝟏𝟎,𝟔𝟖
𝑷𝒃𝒅 𝟐
𝟏𝟕𝟎,𝟖𝟗
𝟑𝟔𝟔,𝟎𝟔
𝑷𝒃𝒅 𝟐 𝟎,𝟒𝟕
𝑷𝒃𝒅 𝟐,𝟒𝟕
Na Prática
Uma indústria quer vender uma máquina 
antiga por R$ 5.000,00 e comprar uma 
máquina nova, à vista, por R$ 17.000,00. 
Com a troca da máquina, durante os 
próximos 24 meses, estima-se um ganho 
de R$ 1.200,00 mensais pela venda dos 
produtos e despesas mensais de R$ 300,00
A empresa dispõe de recursos suficientes 
para realizar o investimento, os quais estão 
sendo remunerados à taxa de 15% a.a. 
Utilizando as técnicas estudadas nesta aula 
(VPL, IBC, TIR e PBd), indique se é ou não 
vantajoso financeiramente realizar este 
investimento
31 32
33 34
35 36
7
Finalizando
Análise de Investimento
VPL = considera o investimento inicial e 
uma série de fluxo de caixa futuro para 
calcular quanto vale o investimento 
atualmente
IBC = indica o retorno para cada R$ 1,00 
investido em um determinado projeto
Aula 5
TIR = taxa de desconto que faz com que o 
VPL seja igual à zero
Payback = tempo que o investimento inicial 
leva para ser recuperado
37 38
39
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 1/23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 2/23
CONVERSA INICIAL
Nas aulas anteriores, estudamos a diferença entre a taxa real, taxa aparente e que um capital é
emprestado mediante uma taxa de juro. Nesta aula, acrescentamos mais uma variável na análise de
um fluxo de caixa, a inflação. Segundo Wakamatsu (2018), o trabalho para a inflação consiste em
ponderá-la quando da análise do valor futuro de uma operação, ou seja, se temos uma aplicação que
gera um fluxo de caixa X num instante futuro, esse X precisa ser corrigido pela inflação para que
possamos analisá-lo com precisão. Afinal, o X do presente não é o mesmo do X do futuro.
Estudamos que a taxa aparente é a taxa que se utiliza sem levar em conta a inflação do período.
Já na taxa real, levamos em consideração os efeitos inflacionários do período. Mas o que é inflação e
quais os impactos no nosso dia a dia?
Para responder a essas perguntas, estudaremos as definições de inflação, os principais índices e
o impacto da inflação no nosso cotidiano dentro e fora das organizações. Estudaremos também os
principais conceitos de análise de títulos de renda fixa. 
CONTEXTUALIZANDO
Constantemente, os meios de comunicação divulgam os índices de inflação e devemos ficar
atentos a esses números, pois os alimentos, vestuário, aluguel e outros itens fazem parte da lista de
produtos e serviços que são impactados pela inflação.
Segundo Puccini (2007), a inflação é um desajuste de ordem econômica que se reflete em um
processo de aumento generalizado de preços de produtos e serviços. Considerando essa definição,
como a inflação impacta no nosso cotidiano?
Já parou para pensar que um determinado valor hoje não compra as mesmas coisas que
comprava há dois anos atrás? Já foiao supermercado e percebeu um aumento no preço dos
alimentos que compõem a cesta básica? Esses são alguns dos efeitos causados pela inflação, pois a
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 3/23
inflação faz com que o dinheiro  perca valor, ou seja, é a desvalorização do dinheiro tendo como
consequência a desvalorização do poder de compra.
Se considerarmos uma aplicação que obteve uma rentabilidade em um determinado período, só
teremos um rendimento real se analisarmos a inflação desse período. Da mesma forma, para quem
recebe salários, o reajuste anual realizado pelas empresas deve no mínimo comtemplar a inflação,
sendo que o percentual acima da inflação consideramos como ganho real.
Saiba mais
Para entender mais sobre o efeito da inflação no nosso dia a dia, vamos acessar os seguintes
links: Inflação: O que é e como funciona? <https://www.youtube.com/watch?v=ecEDzJpPRok> e
O que é inflação e como ela afeta sua vida? <https://blog.nubank.com.br/o-que-e-inflacao/>.
Os índices de inflação influenciam o nosso planejamento financeiro, pois demonstram as
variações de preços e ajudam na definição de objetivos monetários para manter o nosso poder de
compra. Dessa forma, conhecer os principais conceitos envolvendo a inflação e seus índices são
essenciais para todos, incluindo os investidores, pois um investimento só trará ganhos reais se os
rendimentos forem acima da inflação.
TEMA 1 – PROCESSO INFLACIONÁRIO
Figura 1 – Inflação
https://www.youtube.com/watch?v=ecEDzJpPRok
https://blog.nubank.com.br/o-que-e-inflacao/
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 4/23
Crédito: mechichi/Shutterstock.
Chamamos de inflação o aumento generalizado dos preços dos produtos e serviços e da alta
generalizada desses preços ao longo do tempo, surgindo o processo inflacionário. Gimenes (2006)
define inflação como um aumento geral e contínuo dos preços de produtos e serviços em
determinado período de tempo.
Podemos considerar a inflação como um aumento do custo de vida para o consumidor,
resultante da elevação dos preços e da desvalorização da moeda tendo como consequência a
redução do poder de compra. O aumento dos preços faz com que o consumidor precise de
mais  dinheiro para adquirir os mesmos produtos. De acordo com Castanheira (2008), um período
inflacionário é o momento em que os preços estão em elevação, ou seja, durante um período
inflacionário, uma certa quantidade de dinheiro compra menor quantidade de bens do que comprava
antes.
A inflação possui várias causas, podendo ser uma inflação de demanda ou uma inflação de
custos. A inflação de demanda ocorre quando há excesso de demanda agregada em relação à
produção disponível, ou seja, os preços sobem por conta da alta procura. Com muita procura e
pouco produto no mercado, o resultado é o aumento dos preços. Temos um excesso de procura por
bens e serviços, logo a demanda supera a oferta causando o aumento dos preços. 
Já a inflação de custos é associada à inflação de oferta em que a demanda permanece, mas os
custos aumentam. É o aumento dos preços de bens e serviços causados pela alta nos custos de
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 5/23
produção, fazendo com que os preços sofram aumento e sejam repassados ao consumidor. O
aumento dos custos de produção pode ocorrer por aumento na mão de obra, matéria-prima,
tributos, taxas de juros e fontes de energia.
A diferença entre a inflação de demanda e a de custos está justamente na demanda. Na inflação
de custos, a procura continua a mesma, o que altera é o preço em virtude da alta nos custos de
produção. Já na inflação de demanda, o preço aumenta em virtude do aumento da demanda. 
A inflação também influência o custo e o rendimento de financiamentos e aplicações. De acordo
com Samanez (2007), em contextos inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão
monetária ou rendimento aparente das aplicações e investimentos. Nessa situação, é importante
determinar a taxa real de juros e o custo ou rendimento real de um financiamento ou uma aplicação.
No processo de cálculo da taxa real, é necessário homogeneizar os valores das séries financeiras de
forma que se retirem os efeitos corrosivos da inflação sobre os valores aplicados ou recebidos em
cada data.
A variação dos preços não evolui na mesma proporção em todos os setores, dessa forma, os
vários índices da economia, setorizados e globais, procuram medir as mais diversas variações de
preços de um período para outro. No próximo tema, vamos definir e estudar os diferentes índices de
preços que são utilizados para medir a inflação.
TEMA 2 – ÍNDICES DE PREÇOS
Figura 2 – índices de preços
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 6/23
Crédito:  VectorMine/Shutterstock.
De acordo com Puccini (2007), um índice de preços é um número índice estruturado construído
para medir a mudança que ocorre nos preços de bens e serviços em um dado período de tempo.
Esses índices são compostos sob critérios metodológicos específicos e tomam como referência uma
cesta básica de consumo de bens e/ou serviços que satisfaçam a uma determinada necessidade. É
possível construir índices a partir de cestas básicas de construção civil, de cesta básica de alimentos,
de cesta básica de consumo de famílias que pertencem a determinada faixa de rendas e outros.
Para Assaf (2017), um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que, entre
outras aplicações, permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período
para outro. Em outras palavras, o índice de preços representa uma média global das variações de
preços que se verificaram num conjunto de determinados bens ponderado pelas quantidades
respectivas.
Para calcular a inflação, utilizamos os índices de preços, chamados de índices de inflação, que são
divulgados por várias instituições, tais como: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e a
Fundação Getúlio Vargas (FGV).
O IBGE produz dois índices de preços, o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA),
que é o índice utilizado no sistema de metas para a inflação considerado o oficial pelo governo
federal e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC). Além desses, a inflação possui outros
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 7/23
índices como o IPA (Índice de Preços ao Produtor Amplo), o INCC (Índice Nacional de Custo da
Construção) e o IGP (Índice Geral de Preços).
 O objetivo do IPCA e o INPC é medir a variação de preços de uma cesta de produtos e serviços
consumida pela população, por exemplo, arroz, feijão, passagem de ônibus, material escolar e
médico, mostrando se os preços aumentaram ou diminuíram de um mês para o outro. Os índices
levam em conta não apenas a variação de preço de cada item, mas também o peso que ele tem no
orçamento das famílias.
O IPCA é utilizado pelo governo federal como o índice oficial de inflação do Brasil, servindo de
referência para as metas de inflação e para as alterações na taxa de juros. Seu principal objetivo é
mostrar a variação de preços do comércio para os consumidores finais. O IBGE coleta os dados do
primeiro ao último dia de cada mês em 16 capitais brasileiras considerando nove grupos: a
alimentação, residência, comunicação, despesas pessoais, educação, habitação, saúde, transporte e
vestuário.
A diferença entre o IPCA e o INPC é que o IPCA aponta a variação do custo de vida médio de
famílias com renda mensal de 1 e 40 salários mínimos, atingindo uma parcela maior da população. Já
o INPC mede a variação do custo de vida médio apenas de famílias com renda mensal de 1 a 5
salários mínimos. 
O Índice de Preços ao Produtor Amplo (IPA) medido pela FGV é voltado ao produtor e avalia o
aumento de preços dos produtos do agronegócio e indústrias no setor atacadista. Esse índice
registra as variações de preços de produtos agropecuários e industriaisnas transações
interempresariais, ou seja, nos estágios de comercialização anteriores ao consumo final, dessa forma,
é um índice de preços de venda de produtos em nível de produtor. O seu cálculo é dividido em três
versões: o IPA-DI, que demonstra a média de preços do dia 1º ao dia 30 de cada mês, o IPA-10, que
calcula do dia 11 de um mês ao dia 10 do próximo e o IPA-M, que mede os valores do dia 21 de um
mês ao dia 20 do próximo.
O INCC (Índice Nacional de Custo da Construção), calculado mensalmente pela FGV, demonstra a
variação de custos dos insumos utilizados em obras habitacionais. Esse índice é muito utilizado para a
correção de contratos de compra e venda de imóveis e é composto pela média ponderada dos dados
coletados em sete capitais brasileiras: Rio de Janeiro, São Paulo, Belo Horizonte, Salvador, Recife,
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 8/23
Porto Alegre e Brasília. O cálculo considera os valores de materiais, equipamentos, serviços e mão de
obra, sendo dividido em três grupos: estruturais, instalações e acabamentos.
Já o Índice Geral de Preços (IGP), também divulgado pela FGV, é formado pela média ponderada
de três índices de preço: IPA (Índice de Preços ao Produtor Amplo), com um peso de 60%, IPC (Índice
de Preços ao Consumidor), com um peso de 30% e o INCC (Índice Nacional de Custo da Construção),
com um peso de 10%. Esse índice é apresentado em três versões: IGP-DI (Índice Geral de Preços –
Disponibilidade Interna) que é calculado do primeiro ao último dia do mês, IGP-M (Índice Geral de
Preços – Mercado), calculado do dia 21 ao dia 20 do mês seguinte e o IGP-10, que mede do dia 11 ao
dia 10 do mês seguinte. Esse índice é usado para ajuste anual de contratos de aluguel, energia
elétrica, escolas, alguns tipos de seguros e planos de saúde.   
Saiba mais
Para conhecer mais sobre os índices de inflação, vamos acessar os seguintes links:
Inflação: <https://www.ibge.gov.br/explica/inflacao.php>; <https://www.ibge.gov.br/explica/
inflacao.php> IPCA e o INPC?: <>; Evolução dos principais índices de inflação: <https://www.info
money.com.br/ferramentas/inflacao/>; Portal da Inflação: <https://portal-da-inflacao-ibre.fgv.br/
>.
TEMA 3 – TAXAS
Figura 3 – Inflação
https://www.ibge.gov.br/explica/inflacao.php
https://www.ibge.gov.br/explica/inflacao.php
https://www.infomoney.com.br/ferramentas/inflacao/
https://portal-da-inflacao-ibre.fgv.br/
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 9/23
Crédito: Kachka/Shutterstock.
No tema anterior, estudamos os principais índices de preços, e neste tema veremos que, pela
evolução dos índices, podemos avaliar como os preços gerais da economia variaram no período.
Dessa forma, vamos calcular a taxa de inflação a partir de índices de preços e da relação do índice
ocorrida no período de cálculo com o período anterior. A taxa de inflação pode ser calculada pela
seguinte fórmula:
onde: 
I = taxa de inflação obtida a partir de determinado índice de preços.
Pn = índice de preços utilizado para o cálculo da taxa de inflação.
Pn-t = índice de preços no período anterior considerado.
Exemplo 1: Considerando a seguinte tabela que apresenta valores divulgados do IGP-DI, calcule
a taxa de inflação para o mês de dezembro/X3 e do 1º semestre.
  DEZ/X2 JUN/X3 NOV/X3 DEZ/X3
IGP-DI 100,00 708,38 1.353,79 1.576,56
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 10/23
Fonte: Assaf, 2017.
Para calcular a taxa de inflação do mês de dezembro/X3, vamos considerar os valores de Dez/X3
e Nov/X3 para aplicação da fórmula, assim:
Pelo resultado obtido, temos que a inflação aumentou em 16,46 % em dezembro comparado
com o mês anterior. Agora vamos calcular a taxa de inflação do 1º semestre considerando os valores
de Dez/X2 e Jun/X3, assim:
Exemplo 2: Os índices gerais de preços referentes ao primeiro semestre de um determinado ano
são apresentados a seguir. Calcule a evolução dos preços no semestre e a evolução mensal.
DATA ÍNDICE DE PREÇOS
31/12/X 148,70
31/01/XX 150,07
28/02/XX 152,15
31/03/XX 153,98
30/04/XX 157,21
31/05/XX 158,13
30/06/XX 162,01
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 11/23
Fonte: Assaf, 2017.
Para calcular a evolução dos preços no semestre, vamos utilizar o valor em 30/06/XX com o valor
de dezembro do ano anterior (31/12/X), assim:
Agora, vamos calcular a evolução mensal dos preços utilizando a relação do índice ocorrida no
período de cálculo com o período anterior:
Janeiro:
Fevereiro:
Seguindo com o cálculo para os demais meses, chegamos à seguinte evolução mensal dos
preços:
DATA ÍNDICE DE PREÇOS Evolução Mensal
31/12/X 148,70 -
31/01/XX 150,07 0,92%
28/02/XX 152,15 1,39%
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 12/23
31/03/XX 153,98 1,20%
30/04/XX 157,21 2,10%
31/05/XX 158,13 0,59%
30/06/XX 162,01 2,45%
Já calculamos a taxa de inflação e agora vamos calcular a taxa de desvalorização da moeda. De
acordo com Almeida (2016), o efeito inflacionário representa uma elevação nos níveis de preços, e a
taxa de desvalorização da moeda mede a queda no poder de compra causada por esses aumentos
de preços. A taxa de desvalorização da moeda, para diferentes taxas de inflação pode ser obtida pela
fórmula:
Exemplo 3: Considere que em um determinado período a taxa de inflação foi de 8%, qual é a
taxa de desvalorização da moeda?
A queda na capacidade de compra é de 7,41 %, isto é, as pessoas adquirem 7,41 % a menos de
bens e serviços do que costumavam consumir.
Exemplo 4: Considerando um determinado período em que a inflação tenha atingido 10,6 %,
determine a redução do poder aquisitivo do consumidor, supondo que os seus vencimentos não
sofreram reajuste no período.
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 13/23
Com a inflação de 10,6 %, o consumidor passou a ter uma capacidade de compra 9, 58% menor.
Saiba mais
Para saber mais sobre a correção de valores considerando a inflação, acesse o seguinte link
que apresenta uma ferramenta online que permite corrigir seu dinheiro pela  inflação utilizando
diferentes índices. Corrigir valores pela inflação: IPCA, IGPM, IGPDI, INPC <https://clubedospoup
adores.com/ferramentas/corrigir-valores-pela-inflacao-ipca-igpm-igpdi-inpc.html>.
TEMA 4 – VALORES MONETÁRIOS EM INFLAÇÃO
Figura 4 – Valores monetários em inflação
Crédito: eamesBot/Shutterstock.
De acordo com Assaf (2017), ao relacionar valores monetários de dois ou mais períodos em
condições de inflação, defronta-se com o problema dos diferentes níveis de poder aquisitivo da
moeda. O ajuste para se conhecer a evolução real de valores monetários em inflação se processam
mediante indexações (inflacionamento) e desindexações (deflacionamento) dos valores nominais, os
https://clubedospoupadores.com/ferramentas/corrigir-valores-pela-inflacao-ipca-igpm-igpdi-inpc.html
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 14/23
quais se processam por meio de índices de preços. A  indexação  consiste em corrigir os valores
nominais de uma data em moeda representativa de mesmo poder de compra em momento
posterior. A  desindexação,  ao contrário, envolve transformar valores nominais em moeda
representativa de mesmo poder de compra num momento anterior.
Vamos considerar que uma pessoa comprou um terreno no valor de R$ 60.000 e após três anos
vendeu por R$ 80.000. Analisando esses valores, temos um ganho nominal de 33,3 %, ou seja:
Considerando que nesse período a inflação atingiu 40 %, vamos calcular o resultado real da
operação representando os valores monetários em moeda representativa de poder de compra.
Podemos indexar os valores para a data da venda, assim:
Podemos também desindexar os valores, colocando em moeda da data da compra:
Analisando os resultados, temos uma evolução real negativa, ou seja, nessa venda ocorreu um
prejuízo real de -4,76 % considerando a inflação do período de 40%.
Assaf (2017) indica que, ao se tratar de uma série de informações monetárias, é comum trabalhar
com valores deflacionados para se chegar à evolução real de cada período. Por exemplo, vamos
calcular o crescimento real das vendas de uma empresa considerando a seguinte tabela que indica as
vendas em determinado período e o índice geral de preços:
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 15/23
 
ANO VENDAS NOMINAIS (R$) ÍNDICE GERAL DE PREÇOS
1 25.715 100,0
2 35.728 120,8
3 47.890 148,6
4 59.288 179,8
5 71.050 227,7
Fonte: Assaf, 2017.
Inicialmente, vamos analisar a evolução nominal das vendas e o crescimento do índice de preços:
ANO Vendas Nominais ($) Evolução Nominal das
Vendas
Índice Geral de Preços Crescimento do Índice de
Preços
1 25.715 – 100,0 –
2 35.728 1,389 120,8 1,208
3 47.890 1,340 148,6 1,230
4 59.288 1,238 179,8 1,210
5 71.050 1,198 227,7 1,266
Fonte: Assaf, 2017.
Para o ano 2, temos:
Evolução Nominal das vendas:
Crescimento do Índice de Preços:
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 16/23
Seguindo o mesmo raciocínio para os demais anos e comparando a evolução nominal das
vendas com a evolução do índice de preço, temos que até o 4º ano as vendas tiveram uma evolução
maior que o índice, ou seja, apresentaram crescimento real positivo crescendo mais que a inflação. Já
no último ano, ocorreu uma evolução nominal menor que a inflação.
Com os dados apresentados na tabela, podemos calcular a taxa real de crescimento das vendas.
Para o ano 2, temos:
Seguido o mesmo raciocínio para os demais anos, chegamos à seguinte evolução real das
vendas:
Ano Evolução Real das Vendas
2 (1,389/1,208) – 1 = 14,98%
3 (1,340/1,230) – 1 = 8,94%
4 (1,238/1,210) – 1 = 2,31%
5 (1,198/1,266) – 1 = -5,37%
 Fonte: Assaf, 2017.
Vamos encontrar as vendas anuais deflacionadas e a taxa de variação real do ano dividindo as
vendas nominais pela evolução do índice de preços (base: 1), para o ano 1 e 2 temos:
Ano 1:
Ano 2:
ANO Vendas Nominais Evolução do Índice de Preços (base: 1) Vendas Deflacionadas Variação Real
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 17/23
1 25.715,00 1,000 25.715,00 –
2 35.728,00 1,208 29.576,16 14,98%
3 47.890,00 1,486 32.227,46 8,94%
4 59.288,00 1,798 32.974,42 2,31%
5 71.050,00 2,277 31.203,34 -5,37%
Fonte: Assaf, 2017.
Analisando a tabela, temos que as vendas apresentaram crescimento real até o ano 4,
decrescendo em 5,37 % no ano 5.
Segundo Puccini (2007), sempre que você se deparar com uma série temporal de valores
financeiros, em regime inflacionário, terá a necessidade de reduzi-la a valores financeiros
equivalentes para analisar a sua evolução real. Para se conhecer a evolução real do faturamento, os
valores devem ser ajustados para refletir o mesmo poder de compra, levando em conta a inflação
verificada no período.
TEMA 5 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE TÍTULOS DE RENDA FIXA
Figura 5 – Análise de títulos de renda fixa
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 18/23
Crédito: Lisa-S/Shutterstock.
Segundo Berger (2015), um ativo de renda fixa é um instrumento financeiro cuja característica
principal é o conhecimento do valor de resgate no início do prazo da aplicação. Nesse tipo de
aplicação, você sabe que irá receber, no regate da aplicação, um rendimento determinado. Quanto à
classificação, a mais utilizada é relativa ao conhecimento dos valores futuros (resgate) – prefixados e
pós-fixados.
Nos ativos prefixados, os valores dos recebimentos são conhecidos, ou seja, a taxa já é
preestabelecida na compra. Já os ativos pós-fixados não conhecemos os recebimentos, pois é
normalmente remunerada, com base na variação de um indexador que pode ser um índice de preço,
variação cambial ou taxa de juros de curto prazo. O indexador é uma variável, como o  IPCA, CDI,
SELIC e serve para indicar o rendimento do título no período até o vencimento, sendo um fator-chave
para rentabilidade dos títulos pós-fixados.
Os CDBs (Certificados de Depósito Bancário), Tesouro Direto, Debêntures, entre outros títulos,
são exemplos de aplicações de renda fixa. Os investimentos de renda fixa são divididos em títulos
públicos e os títulos privados.
O CDB (Certificado de Depósito Bancário) é um título do tipo crédito privado que são oferecidos
por bancos comerciais, múltiplos ou de investimento. Nesse título, o investidor empresta dinheiro ao
banco, que o remunera com um valor a mais como prêmio, essa remuneração é definida no ato da
contratação do título e pode variar de acordo com o valor total aplicado, o prazo e a necessidade do
banco emissor. De acordo com Berger (2015), as instituições financeiras utilizam o CDB como um
instrumento de captação de recursos (passivo) para realizar empréstimos aos seus clientes. Os CDBs
podem ser classificados em dois tipos o prefixado em que se sabe quanto será a valorização do
investimento, pois a taxa de remuneração é negociada no momento em que se aplica e pós-fixado
onde a remuneração será o resultado da capitalização entre variação de um índice de correção com
uma taxa de juros fixa.  
Temos também o  Tesouro Direto, que é um programa desenvolvido pelo  Tesouro Nacional
Brasileiro e funciona para venda de títulos públicos federais para pessoas físicas. São títulos
distribuídos pelo governo como forma de buscar capital para sustentar suas operações em nível
nacional; esses títulos apresentam menor risco, pois são garantidos pelo tesouro nacional. A compra
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 19/23
e venda de títulos públicos oferecem diversas opções, seja atrelada à taxa Selic, as taxas prefixadas
ou de acordo com a inflação, no caso, o IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo).
Os principais títulos da dívida pública são: Letras do Tesouro Nacional (LTN), que são emitidas
para financiamentos de curto e médio prazo, Letras Financeiras do Tesouro (LFT), também emitidas
para financiamentos de curto e médio prazo e Notas do Tesouro Nacional (NTN), emitida para
financiamentos de médio e longo prazo.
Já as debêntures são aplicações em que  o investidor faz um empréstimo para uma empresa
sendo aplicações que oferecem rentabilidade e baixo risco. Segundo Berger (2015), é um título de
crédito representativo de empréstimo que uma companhia faz com terceiros e que assegura a seus
detentores direitos contra a emissora, nas condições constantes da escritura de emissão. É um valor
mobiliário emitido pelas sociedades anônimas, representativo de uma fração de um empréstimo.
De acordo com Berger (2015), podemos também dizer que um título de renda fixa é um passivo,
governamental ou privado, que gera um fluxo de pagamento preestabelecido. São títulos
representativos de contratações de empréstimos (captações) pelas empresas ou governos, que
prometem pagar a seus investidores determinados fluxos futuros de rendimentos. Como esses
pagamentos são fixos, os preços desses títulos variam com as mudanças nas taxas de juros, gerando
um potencial para ganhos ou perdas.
Saiba mais
Para conhecer mais sobre os títulos de renda fixa, vamos acessar os seguintes links: Títulos de
renda fixa: quais são os mais populares do mercado?: <https://blog.genialinvestimentos.com.br/titulo
s-de-renda-fixa/>; Renda Fixa: tudo o que você precisa saber para começar a investir: <https://www.i
nfomoney.com.br/guias/renda-fixa/>.
Os investimentos também são impactados pelos índices de inflação, assim vamos acessar o
seguinte link que indica qual é o impacto das variações do IPCA nos seus investimentos e aplicações
financeiras. IPCA: Conheça o principal índice brasileiro de inflação: <https://www.infomoney.com.br/g
uias/ipca/>.
TROCANDO IDEIAS
https://blog.genialinvestimentos.com.br/titulos-de-renda-fixa/
https://www.infomoney.com.br/guias/renda-fixa/
https://www.infomoney.com.br/guias/ipca/
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 20/23Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo a inflação, o seu impacto no nosso
cotidiano e como ela influencia no nosso poder de compra. Para refletir os assuntos estudados, leia a
seguinte reportagem que mostra quanto a inflação mudou ao longo dos anos: A inflação na década –
o quanto ela mudou ao longo dos anos? <https://blog.nubank.com.br/inflacao-na-decada/>.
NA PRÁTICA
Para praticar os conteúdos apresentados nesta aula, vamos resolver os seguintes exercícios.
Exercício 1: Quanto maior for a taxa de inflação, maior será a taxa de desvalorização da moeda
(TDM) e menor será o poder de compra da população. Com base nessa afirmação e considerando a
tabela abaixo, calcule a TDM e analise os resultados obtidos:
Ano Inflação
2012 14,74%
2013 10,39%
2014 6,13%
2015 5,05%
2016 2,81%
Para calcular a taxa de desvalorização da moeda para diferentes taxas de inflação, utilizamos a
fórmula:
Aplicando a fórmula, para os anos de 2012 e 2013, temos:
2012:
https://blog.nubank.com.br/inflacao-na-decada/
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 21/23
2013:
Aplicando o mesmo cálculo para os demais anos, chegamos aos seguintes resultados:
Ano Inflação TDM
2012 14,74% 12,85%
2013 10,39% 9,41%
2014 6,13% 5,78%
2015 5,05% 4,81%
2016 2,81% 2,73%
Analisando a tabela, no ano 2012, em que a taxa de inflação foi de 14,74 %, temos uma queda
no poder de compra da população de 12,85 %.
Exercício 2: Considere uma aplicação de R$ 100.000,00 que gerou, ao final de um ano,
rendimentos de juros de R$ 12.000,00. Sabendo que no período da aplicação a inflação atingiu 5,6 %,
calcule o retorno nominal e o real desse investimento. Para este investimento, temos os seguintes
resultados:
Rendimento Nominal = R$ 12.000
Inflação no período = 0,056 x 100000 = 5.600
Ganho real = 12.000 – 5.600 = 6.400
Valor da aplicação corrigido pela inflação = 5.600 + 100.000 = 105.600
Vamos calcular a taxa de retorno nominal realizando a divisão entre o rendimento nominal e o
valor investido, assim:
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 22/23
Para calcular o ganho real, precisamos considerar o rendimento real e o capital investido
corrigido pela inflação, pois só existirá lucro ao comparar valores expressos com o mesmo poder de
compra, logo:
FINALIZANDO
Nesta aula, estudamos os conceitos básicos do processo inflacionário, o que são índices de
preços, o cálculo da taxa de inflação e a taxa de desvalorização da moeda, além dos valores
monetários em inflação e uma introdução à análise de títulos de renda fixa.
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
ASSAF, A. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 2017.
BERGER, P.L. Mercado de renda fixa no Brasil: ênfase em títulos públicos. Rio de Janeiro:
Interciência, 2015.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2008.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada.
São Paulo: Pearson Prentise Hall, 2006.
PUCCINI, E. C. Matemática Financeira. 2007. Disponível em:
<https://www.yumpu.com/pt/document/read/14514487/matematica-financeira-ernesto-coutinho-
puccinipdf>. Acesso em: 17 jul. 2021.
SAMANEZ, C. P. Gestão de investimentos e geração de valor. São Paulo: Pearson Prentise Hall,
2007.
_____. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Pearson Prentise
Hall, 2007.
06/04/2022 09:28 UNINTER
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/ 23/23
WAKAMATSU. A. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2018.
1
Profª Aline Purcote
Matemática Financeira Aplicada
Aula 6
Conversa Inicial
O que é inflação?
Quais os impactos da inflação no nosso dia a 
dia? 
Inflação versus poder de compra
Quais são os índices de inflação e como são 
calculados?
Quais os principais títulos de renda fixa?
Matemática financeira
Processo inflacionário
Índices de preços
Taxas
Valores monetários em inflação
Introdução à análise de títulos de renda fixa
Principais temas
Processo inflacionário 
Inflação = aumento geral e contínuo dos preços 
de produtos e serviços em determinado período 
de tempo
Processo inflacionário = alta generalizada dos 
preços ao longo do tempo
Inflação:
Aumento do custo de vida
Elevação dos preços
Desvalorização da moeda
Redução do poder de compra
2
Inflação versus rendimento de 
financiamentos e aplicações
Inflação
Demanda
Excesso de demanda/
alta procura/demanda 
supera a oferta 
Custos Inflação de oferta/custos de produção aumentam
Índices de preços
Número índice estruturado construído para 
medir a mudança que ocorre nos preços de 
bens e serviços em dado período de tempo
Permite medir as variações ocorridas nos 
níveis gerais de preços de um período para 
outro
Referência para cálculo = cesta básica de 
consumo de bens e/ou serviços
Cálculo da inflação = índices de preços = 
índices de inflação
Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE)
Fundação Getúlio Vargas (FGV)
Índice Nome Divulgação Descrição
IPCA
Índice Nacional 
de Preços ao 
Consumidor 
Amplo 
IBGE
-Índice oficial da inflação no Brasil.
-Variação de preços do comércio para os 
consumidores finais.
-Dados do primeiro ao último dia de cada mês. 
-16 capitais brasileiras
-Grupos: alimentação, residência, comunicação, 
despesas pessoais, educação, habitação, saúde, 
transporte e vestuário.
- Renda mensal de 1 e 40 salários mínimos.
INPC
Índice Nacional 
de Preços ao 
Consumidor
IBGE - Renda mensal de 1 a 5 salários mínimos. 
Índice Nome Divulgação Descrição
IPA Índice de Preços ao Produtor Amplo FGV
- Voltado ao produtor.
- Variações de preços de produtos 
agropecuários e industriais nas transações 
interempresariais.
- IPA-DI = média de preços do dia 1º ao dia 30 
de cada mês.
- IPA-10 = calcula do dia 11 de um mês ao dia 
10 do próximo 
- IPA-M = valores do dia 21 de um mês ao dia 
20 do próximo.
INCC Índice Nacional de Custo da Construção FGV
- Variação de custos dos insumos utilizados em 
obras habitacionais. 
- Utilizado para a correção de contratos de 
compra e venda de imóveis.
- Composto pela média ponderada dos dados 
coletados em sete capitais brasileiras: Rio de 
Janeiro, São Paulo, Belo Horizonte, Salvador, 
Recife, Porto Alegre e Brasília. 
- Considera os valores de materiais, 
equipamentos, serviços e mão de obra.
- Dividido em três grupos: estruturais, 
instalações e acabamentos. 
3
Índice Nome Divulgação Descrição
IGP Índice Geral de Preços FGV
- Média ponderada de três índices de preço: 
IPA (60%), IPC (30%) e o INCC (10%). 
- IGP-DI (Índice Geral de Preços –
Disponibilidade Interna), que é calculado do 
primeiro ao último dia do mês.
- IGP-M (Índice Geral de Preços – Mercado), 
calculado do dia 21 ao dia 20 do mês 
seguinte.
- IGP-10 que mede do dia 11 ao dia 10 do 
mês seguinte.
- Usado para ajuste anual de contratos de 
aluguel, energia elétrica, escolas, alguns tipos 
de seguros e planos de saúde. 
Taxas
Relação do índice ocorrida no período de 
cálculo com o período anterior
Fórmula:
Taxa de inflação
𝑰
𝑷𝒏
𝑷𝒏 𝒕
𝟏
Calcular a evolução dos preços no semestre 
DATA ÍNDICE DE PREÇOS
31/12/X 148,70
31/01/XX 150,07
28/02/XX 152,15
31/03/XX 153,98
30/04/XX 157,21
31/05/XX 158,13
30/06/XX 162,01
𝑰
𝟏𝟔𝟐,𝟎𝟏
𝟏𝟒𝟖,𝟕𝟎
𝟏
𝑰 𝟏,𝟎𝟖𝟗𝟓 𝟏
𝑰 𝟎,𝟎𝟖𝟗𝟓 𝟖,𝟗𝟓%
Calcular a evolução mensal
DATA ÍNDICE DE PREÇOS Evolução Mensal
31/12/X 148,70 -
31/01/XX 150,07 0,92%
28/02/XX 152,15 1,39%
31/03/XX 153,98 1,20%
30/04/XX 157,21 2,10%
31/05/XX 158,13 0,59%
30/06/XX 162,01 2,45%
𝑰 𝟎,𝟎𝟏𝟑𝟗 𝟏,𝟑𝟗%
𝑰 𝟏,𝟎𝟏𝟑𝟗 𝟏
𝑰
𝟏𝟓𝟐,𝟏𝟓
𝟏𝟓𝟎,𝟎𝟕
𝟏
𝑰 𝟎,𝟎𝟎𝟗𝟐 𝟎,𝟗𝟐%
𝑰 𝟏,𝟎𝟎𝟗𝟐 𝟏
𝑰
𝟏𝟓𝟎,𝟎𝟕
𝟏𝟒𝟖,𝟕𝟎
𝟏
Mede a queda no poder de compra causada 
pelo aumento de preços
Fórmula:
Taxa de desvalorização da moeda
𝑻𝑫𝑴
𝑰
𝟏 𝑰
4
Considerando certo período em que a inflaçãotenha 
atingido 10,6%, determine a redução do poder 
aquisitivo do consumidor, supondo que os seus 
vencimentos não sofreram reajuste no período
𝑻𝑫𝑴 𝟎,𝟎𝟗𝟓𝟖 𝟗,𝟓𝟖%
𝑻𝑫𝑴
𝟎,𝟏𝟎𝟔
𝟏,𝟏𝟎𝟔𝟎
𝑻𝑫𝑴
𝟎,𝟏𝟎𝟔
𝟏 𝟎,𝟏𝟎𝟔
𝑻𝑫𝑴
𝑰
𝟏 𝑰
Valores monetários em inflação
Valores monetários de dois ou mais períodos 
em condições de inflação = problema nos 
níveis de poder aquisitivo da moeda
Evolução real do faturamento = ajustar para 
refletir o mesmo poder de compra, 
considerando a inflação verificada no período
Ajuste para evolução real:
Indexações (inflacionamento)
Desindexações (deflacionamento)
Uma pessoa comprou um terreno no valor de R$ 
60.000,00 e, após três anos, vendeu por R$ 
80.000,00, sendo que, neste período, a inflação 
atingiu 40%
Ganho nominal:
Ganho real:
𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝒙𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟑,𝟑%
𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏,𝟒𝟎
𝟏
𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟖𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟏
𝟎,𝟗𝟓𝟐𝟒 𝟏 𝟎,𝟎𝟒𝟕𝟔𝒙𝟏𝟎𝟎 𝟒,𝟕𝟔% 𝟎,𝟗𝟓𝟐𝟒 𝟏 𝟒,𝟕𝟔%
𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐,𝟖𝟔
𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏
𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟏,𝟒𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏
ANO
Vendas 
Nominais 
($)
Evolução 
Nominal das 
Vendas
Índice Geral 
de Preços
Crescimento do 
Índice de Preços
1 25.715 – 100,0 –
2 35.728 1,389 120,8 1,208
3 47.890 1,340 148,6 1,230
4 59.288 1,238 179,8 1,210
5 71.050 1,198 227,7 1,266
Calcular o crescimento real das vendas de 
uma empresa
ANO
Vendas 
Nominais 
Evolução do 
Índice de Preços 
(base: 1)
Vendas 
Deflacionadas 
Variação 
Real
1 25.715,00 1,000 25.715,00 –
2 35.728,00 1,208 29.576,16 14,98%
3 47.890,00 1,486 32.227,46 8,94%
4 59.288,00 1,798 32.974,42 2,31%
5 71.050,00 2,277 31.203,34 -5,37%
Calcular o crescimento real das vendas de 
uma empresa
5
Introdução à análise de títulos 
de renda fixa
Renda fixa = instrumento financeiro cuja 
característica principal é o conhecimento do 
valor de resgate no início do prazo da 
aplicação
Regate da aplicação = rendimento 
determinado
Classificação:
Prefixados: taxa preestabelecida na compra
Pós-fixados: variação de um indexador
CDB (certificado de depósito bancário)
Título de crédito privado oferecido por 
bancos comerciais, múltiplos ou de 
investimento
O investidor empresta dinheiro ao banco
As instituições financeiras utilizam como 
captação de recursos para realizar 
empréstimos aos seus clientes
Classificação: 
Prefixado = taxa de remuneração é 
negociada no momento em que se aplica 
Pós-fixado = remuneração será o resultado 
da capitalização entre variação de um 
índice de correção com uma taxa de juros 
fixa
Tesouro direto
Venda de títulos públicos federais para 
pessoas físicas
Títulos distribuídos pelo governo como 
forma de buscar capital para sustentar 
suas operações
Opções: atrelada à taxa Selic, às taxas 
prefixadas ou de acordo com a inflação, 
no caso, o IPCA (índice de preços ao 
consumidor amplo)
Principais títulos:
Letras do Tesouro Nacional (LTN)
Letras Financeiras do Tesouro (LFT)
Notas do Tesouro Nacional (NTN)
6
Aplicações onde o investidor faz um 
empréstimo para uma empresa
Valor mobiliário emitido pelas sociedades 
anônimas, representativo de uma fração de 
um empréstimo
Debêntures
Na Prática
Quanto maior for a taxa de inflação, maior será a 
taxa de desvalorização da moeda (TDM) e menor 
será o poder de compra da população. Com base 
nesta afirmação e considerando a tabela a 
seguir, calcule a TDM e analise os resultados 
obtidos:
Ano Inflação
2012 14,74%
2013 10,39%
2014 6,13%
2015 5,05%
2016 2,81%
𝑻𝑫𝑴
𝑰
𝟏 𝑰
Considere uma aplicação de R$ 100.000,00 
que gerou, ao final de um ano, rendimentos 
de juros de R$ 12.000,00. Sabendo que, no 
período da aplicação, a inflação atingiu 5,6%, 
calcule o retorno nominal e o real deste 
investimento
Finalizando
Processo inflacionário
Índices de preços
Taxa de inflação
Taxa de desvalorização da moeda
Valores monetários em inflação
Títulos de renda fixa
Disciplina curricular MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA
Carga horária da disciplina 72h
Unidade de aprendizagem (UTA) GESTÃO FINANCEIRA (Núcleo Base)
Periodicidade 1º QUADRIMESTRE
Ementa da disciplina
Juros: conceito econômico básico; Montante, principal e juros: conceitos financeiros; Capitalização: ajustes de 
períodos e taxas; Capitalização: regime simples e composto de juros; Taxas efetivas: proporcionais e equivalentes; 
Valor presente e valor futuro: conceitos básicos; Algumas operações importantes com juros simples; Descontos 
racional e comercial; Relações importantes sobre os descontos; Desconto médio para vários títulos; Valor presente 
e valor futuro: conceitos básicos; Capitalização mista ou linear; Desconto racional; Desconto comercial; Valor 
equivalente e títulos equivalentes; Fluxo de caixa: postecipado, antecipado, diferido; Identificação da taxa de juro 
fluxo uniforme; Sistema de amortização por preço constante (SPC); Sistema de amortização constante (SAC); 
Outros sistemas de amortização; Custo do capital: custo médio ponderado; Custo do capital: de terceiros e próprio; 
Taxa interna de retorno (TIR); Valor presente líquido (VPL); Uma percepção mais densa sobre o fluxo de caixa; 
Processo inflacionário e índices de preço; Taxa de juro aparente e taxa de juro real; O impacto da inflação: valores 
monetários e taxas; A estatística na medição do risco e da esperança; Introdução à análise de títulos de renda fixa.
- Habilidade de aplicar juro simples. Habilidade na determinação de desconto simples. Habilidade de aplicar juro 
composto. Habilidade na determinação de desconto composto. Habilidade de calcular taxas nominal, efetiva, real, 
aparente;
- Habilidade em utilizar as variáveis nas equações dos diversos tipos de renda. Habilidade em analisar o resultado 
de uma Taxa Interna de Retorno. Habilidade de calcular o Valor Presente Líquido e tomar uma decisão a partir do 
resultado encontrado.
- Em realizar cálculos em capitalização simples, composta e determinar taxa nominal, efetiva, real e aparente;
- Em identificar os diversos tipos de Rendas. Em utilizar a fórmula do Modelo Básico de Renda. Em calcular a Taxa 
Interna de Retorno de um investimento. Em determinar o Valor Presente Líquido de uma aplicação.
- Aulas expositivas disponibilizadas em Roteiros Interativos no Ambiente Virtual de Aprendizagem - AVA;
- Desenvolvimento de atividades de reflexão e debates entre alunos-alunos e alunos-professores via Ambiente 
Virtual de Aprendizagem - AVA (fórum);
- Realização de debates e explicações via Lives, Chats e aulas ao vivo em Estúdio;
- Esclarecimento de dúvidas e realização de discussões via chat com o Professor da disciplina;
- Indicação de Referências (bibliográficas e audiovisuais) para ampliação do conhecimento.
- Na aplicação de juros simples, no cálculo do Montante em capitalização simples e desconto simples. Na aplicação 
de juros compostos, no cálculo do Montante em capitalização compostO e desconto composto. Na realização da 
análise dos diversos tipos de taxa: nominal, efetiva, real, aparente;
- Na conceituação de Renda. Na conceituação de Modelo Básido de Renda. Na conceituação de Renda antecipada. 
Na conceituação de Renda diferida. Na determinação da Taxa Interna de Retorno. Na determinação do Valor 
Presente Líquido.
A avaliação será realizada com base nos objetivos propostos, levando-se em conta:
- Leitura dos textos indicados e a interação com os colegas da EaD;
- Realização de Atividades Pedagógicas On-line (APOL);
- Uma prova objetiva – no Ambiente Virtual de Aprendizagem - AVA – realizada no polo de apoio presencial;
- Uma prova discursiva – realizada no polo de apoio presencial.
PLANO DE ENSINO MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA 
Habilidades
Competências
Procedimentos metodológicos
Conhecimentos
Sistemática de avaliação
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática financeira aplicada. 3. ed. Curitiba: 
Intersaberes, 2014. (BVP)
RYBA, Andrea; LENZI, Ervin Kaminski; LENZI, Marcelo Kaminski. Elementos de Engenharia Econômica. Curitiba: 
Editora Intersaberes, 2012. (BVP)SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira. 5 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. (BVP)
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial e financeira. Curitiba: Intersaberes, 2014. 
(BVP)
GITMAN, Lawrence J.; JOEHNK, Michael D. Princípios de Investimentos. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2005. 
(BVP)
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira: Aplicações à análise de investimentos. 4 ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2007. (BVP)
VANNUCCI, Luiz Roberto. Matemática Financeira e Engenharia Econômica – Princípios e Aplicações. 2 ed. São 
Paulo: Blucher, 2018. (BVP)
WAKAMATSU, André. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. (Bvp)
Bibliografia complementar
Bibliografia básica
CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL UNINTER 
Escola Superior de Gestão e Negócios 
 
Caro aluno, 
No quadro abaixo é possível verificar como estão organizadas as aulas, bem como as 
avaliações previstas para a disciplina Matemática Financeira Aplicada. 
 
 
CRONOGRAMA DAS ATIVIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O QUE E QUANDO ESTUDAR? 
 
Matemática Financeira Aplicada 
 
 
 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias 
de Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: Intersaberes, 
2012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÕES 
 
 
 
 
 
1ª semana 
 
Estudar os conteúdos da 
Aula 1 e os capítulos indicados. 
 
 
 
 
Aula 1–Juros e Capitalização Conceitos Introdutórios 
 
TEMA 1 – CONCEITOS FINANCEIROS 
TEMA 2 – JUROS 
TEMA 3 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
TEMA 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
TEMA 5 – TAXAS 
 
Leitura dos capítulos 1, 2, 3, 4 e 5 da obra Matemática 
Financeira Aplicada. 
 
 
 
 
 
Atividade Pedagógica Online 
APOL 1 
 
 
Composta por 10 questões 
objetivas envolvendo os 
conteúdos das aulas 1, 2 e 3. 
 
 
Você terá 5 tentativas para 
realização de cada APOL. 
 
Início às 18h00 e término às 
23h59h. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª semana 
 
Estudar os conteúdos da 
Aula 2 e os capítulos indicados. 
 
 
 
 
 
Aula 2 –Operações de Desconto 
 
TEMA 1 – DESCONTO 
TEMA 2 – DESCONTO SIMPLES 
TEMA 3 – DESCONTO COMERCIAL X RACIONAL 
TEMA 4 – DESCONTO COMPOSTO 
TEMA 5 – TÍTULOS EQUIVALENTES 
 
Leitura dos capítulos 2 e 3 da obra Matemática Financeira 
Aplicada 
 
 
3ª semana 
 
 
Estudar os conteúdos da 
Aula 3 e os capítulos indicados. 
 
 
 
 
Aula 3 – Rendas / Séries Uniformes 
 
TEMA 1 – FLUXO DE CAIXA E CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS 
TEMA 2 – MODELO BÁSICO DE RENDA 
TEMA 3 – RENDA ANTECIPADA 
TEMA 4 – RENDA DIFERIDA 
TEMA 5 – EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA 
 
Leitura dos capítulos 4, 5 e 6 da obra Matemática 
Financeira Aplicada 
 
 
 
 
 
 
 
Verifique as datas disponíveis em 
seu calendário acadêmico, em 
material complementar, em seu 
AVA. 
 
 
 
4ª semana 
 
Estudar os conteúdos da 
Aula 4 e os capítulos indicados. 
 
Aula 4 –Sistemas de Amortização 
 
TEMA 1 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
TEMA 2 – SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE) 
TEMA 3 – SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
TEMA 4 – COMPARAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS 
TEMA 5 – OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
Leitura dos capítulos 7 e 12 da obra Matemática Financeira 
Aplicada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade Pedagógica Online 
APOL 2 
 
Composta por 10 questões 
objetivas envolvendo o conteúdo 
das aulas 4, 5 e 6. Você terá 5 
tentativas para realização de 
cada APOL. 
 
Início às 18h e término às 
23h59h. 
 
Verifique as datas disponíveis em 
seu calendário acadêmico, em 
material complementar, em seu 
AVA. 
 
5ª semana 
 
Estudar os conteúdos da 
Aula 5 e os capítulos indicados. 
 
 
 
Aula 5 –Custo de Capital e Avaliação de Investimentos 
 
TEMA 1 – CUSTO DE CAPITAL 
TEMA 2 – VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) 
TEMA 3 – ÍNDICE BENEFÍCIO OU CUSTO (IBC) 
TEMA 4 – TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
TEMA 5 – PERÍODO DE PAYBACK 
 
Leitura dos capítulos 8 e 9 da obra Matemática Financeira 
Aplicada 
 
 
 
 
6º semana 
 
Estudar os conteúdos da 
Aula 6 e os capítulos indicados. 
 
 
 
Aula 6 –Impactos da inflação 
 
TEMA 1 – PROCESSO INFLACIONÁRIO 
TEMA 2 – ÍNDICES DE PREÇOS 
TEMA 3 – TAXAS 
TEMA 4 – VALORES MONETÁRIOS EM INFLAÇÃO 
TEMA 5 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE TÍTULOS DE RENDA FIXA 
 
Leitura dos capítulos 9, 10, 11 e 12 da obra Matemática 
Financeira Aplicada. 
7º semana em diante 
 
Avaliações 
Revisão dos conteúdos das rotas e dos livros para realização 
das provas 
 
 
Verifique as datas disponíveis em seu calendário acadêmico, em material complementar, 
em seu AVA. 
 
 
 
ORIENTAÇÕES DE ESTUDO 
 Nossa sugestão é que você siga os passos seguintes até que encontre a sua própria forma de estudar. 
 Leia a Rota de Aprendizagem, dando atenção também aos materiais indicados nas aulas tais como artigos, 
capítulos de livros, links na internet, vídeos. Leia também o capítulo do livro base da disciplina; 
 Ao longo da leitura anote todas as dúvidas que surgirem pois elas poderão ser sanadas na vídeoaula ou 
na aula interativa ao vivo; 
 Após a leitura do material, assista a vídeo-aula; 
 Volte aos textos para tentar sanar as dúvidas. Caso não consiga entre em contato com a Tutoria. Vale 
lembrar que quanto mais você sanar as dúvidas sem precisar de ajuda, mais estará aprofundando sua 
aprendizagem; 
 Inicie a resolução da APOL com antecedência ao prazo final, pois assim você poderá realizar a tarefa com 
mais eficiência. 
 Após iniciar a APOL, você pode sair dela e voltar quantas vezes achar necessário, desde que não clique em 
Finalizar, e observando o prazo máximo para sua realização. Sendo assim, sugerimos que após iniciar uma 
APOL você acesse as perguntas e analise-as, e em seguida retorne aos materiais estudados. Enfim, 
prepare-se para responder as questões. 
 Ao finalizar a APOL ela já é automaticamente corrigida e sua nota fica gravada no seu histórico. 
Bons estudos!