Introdução à Pesquisa Operacional

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Pesquisa OperacionalSISTEMAS DE INFORMAÇÃO
Pesquisa Operacional
Vila Velha (ES)
2016
Escola Superior Aberta do Brasil
Diretor Geral 
Nildo Ferreira
Diretora Acadêmica
Ignêz Martins Pimenta
Coordenadora do Núcleo de Educação a Distância
Ignêz Martins Pimenta
Coordenadora do Curso de Administração EAD
Giuliana Bronzoni Liberato
Coordenador do Curso de Pedagogia EAD
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Coordenador do Curso de Sistemas de Informação EAD
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Produção do Material Didático-Pedagógico
 Escola Superior Aberta do Brasil
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Coqueiral de Itaparica - Vila Velha, ES
CEP 29102-040
Apresentação
Caro estudante,
Seja bem-vindo à disciplina Pesquisa Operacional. Aqui, o aluno tem contato com 
uma interessante disciplina que fomenta o raciocício lógico e a aplicação de mode-
los matemáticos e sistemas de computador para a solução de problemas reais.
Seja para maximizar as intenções lucro de em um projeto ou a redução de aciden-
tes, perdas ou prejuízos, a Pesquisa Operacional pode ser uma ferramenta útil e 
eficaz.
O aluno será levado desde os primórdios da disciplina nos anos 1940, até os moder-
nos sistemas de simulação em computador, passando pelo método gráfico, simplex, 
modelo primal e dual.
Bom estudo!
Equipe Acadêmica da ESAB 
Objetivo
Apresentar a Pesquisa Operacional e sua utilização na solução de problemas diários 
de gestão. 
Habilidades e competências
• Apresentar modelos de solução de problemas;
• Apresentar e desenvolver diferentes métodos para solução de problemas de 
programação linear;
• Estudar a forma algébrica, a solução gráfica, o método simplex e o uso de planilhas 
eletrônicas em programação linear.
Ementa
Introdução. Modelos e forma-padrão de problemas de programação linear. 
Solução gráfica de um Problema de Programação Linear - PPL. Fundamento 
teórico do simplex. Dualidade. Análise de sensibilidade. Exemplos de aplicações de 
programação linear.
Sumário
1. O QUE É PESQUISA OPERACIONAL ...................................................................................7
2. AS ORIGENS DA PESQUISA OPERACIONAL ......................................................................11
3. OS MODELOS NA PESQUISA OPERACIONAL.....................................................................14
4. O PROCESSO DE DEFINIÇÃO DE UM PROBLEMA .............................................................18
5. MODELAGEM DE UM PROBLEMA ...................................................................................22
6. MODELOS MATEMÁTICOS DE OTIMIZAÇÃO ......................................................................27
7. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR ........................................................................31
8. MODELO GERAL DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR .........................................36
9. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO SIMPLEX......................40
10. TEORIA DO MÉTODO SIMPLEX ........................................................................................50
11. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO GRÁFICO ......................55
12. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR: DUALIDADE ...............................59
13. O PAPEL DA TEORIA DA DUALIDADE NA ANÁLISE DA SENSIBILIDADE ..............................65
14. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE EM PROGRAMAÇÃO LINEAR ...............................................69
15. A OTIMIZAÇÃO E O USO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS ....................................................75
Glossário ..............................................................................................................................86
Referências ..........................................................................................................................87
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1 O que é Pesquisa Operacional?
Objetivo
Saber o que é Pesquisa Operacional e qual a sua utilidade.
A Pesquisa Operacional (PO) é um método científico utilizado nas 
tomadas de decisões. Esse método consiste em estruturar processos, fazer 
previsões, comparações de valores, de custos e eficiência e assim propor 
um conjunto de alternativas e ações para a tomada de decisão. Ou seja, a 
pesquisa operacional é um sistema organizado que se utiliza de modelos 
para propor a maneira mais eficiente e com maior chance de acerto. 
Pode-se dizer que a PO é uma ferramenta que utiliza a matemática 
aplicada ao processo decisório, utilizando modelos matemáticos 
estruturados.
A pesquisa operacional, como é conhecida hoje, surgiu na Segunda 
Guerra Mundial. A disciplina é resultado de estudos feitos por cientistas 
de várias áreas contratados para resolverem problemas de estratégia e 
tática de ordem militar.
Desde o acontecimento da Revolução, Industrial as organizações vêm 
crescendo de forma extraordinária e complexa. Pequenos artesãos que 
tocavam pequenas oficinas, hoje são grandes e complexas corporações 
com atuação global. Um fator primordial para essa mudança foi o 
grande aumento na divisão do trabalho e a divisão das responsabilidades 
gerenciais dentro das empresas. Os resultados foram muito positivos. 
Porém, juntamente com os benefícios, esse crescente aperfeiçoamento 
criou novos problemas, que ainda acontecem em muitas empresas. Um 
deles é a tendência dos vários setores da empresa formarem impérios 
de certa forma autônomos com objetivos próprios, perdendo então a 
visão de como suas atividades devem estar em sintonia com os objetivos 
da empresa. O que é melhor para um setor pode ser prejudicial a 
outro, o que pode gerar conflitos de objetivos. Um problema comum 
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é que, conforme aumenta a dificuldade e a especialização, fica cada vez 
mais difícil distribuir os recursos disponíveis para as várias atividades 
de maneira eficiente para toda a organização. Esses problemas e 
a necessidade de achar forma melhor de solucioná-los, criaram as 
condições para a existência da pesquisa operacional (conhecida com PO).
Para I Silva, II Silva, Golçalves e Murolo (2010) a PO geralmente possui 
seis fases, são elas:
• Formulação de problema;
• Construção do modelo do sistema;
• Cálculo da solução através do modelo;
• Teste do modelo e da solução;
• Estabelecimento de controles da solução
• Implantação e acompanhamento.
Estas fases podem ser descritas da seguinte forma:
Formulação do problema
Esta é a fase em que o responsável pelo estudo em Pesquisa Operacional 
juntamente com o administrador do sistema deverão entrar em comum 
acordo ao definir os objetivos a serem atingidos e quais são as possíveis 
alternativas para que as metas sejam de fato alcançadas.
Nessa fase, também serão levantadas quais são os limites técnicos do 
sistema e a relação dele com os outros sistemas da empresa e também do 
ambiente externo. Assim será possível ter uma visão crítica de possíveis 
soluções para esses problemas.
Ainda nessa fase, deverá ser feito o acordo de uma medida eficiente 
para o sistema, que permita que o administrador ordene as soluções 
encontradas, concluindo, assim, o processo decisório.
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Construção do modelo do sistema
Os modelos mais importantes na Pesquisa Operacional são os modelos 
matemáticos, que são aqueles formados por um conjundo de equações e 
inequações.
Uma dessas equações serve para mensurar a eficácia do sistema para cada 
solução que é proposta. Essa equação é conhecida como função objetivo 
ou função de eficiência. As outras equações normalmente servem para 
descrever as limitações ou restrições técnicas existentes do sistema. 
Segundo I Silva, II Silva, Golçalves e Murolo (2010), existem duas 
variáveis que compõem as equações, são elas:
• Váriáveis controladas ou de decisão: São variáveisem que os 
valores estão sobre o domínio do administrador. Nesse caso, decidir 
é atribuir em particular um valor para cada uma dessas variáveis. Em 
uma programação de produção, a variável de decisão é a quantidade 
que deve ser produzida em um período, cabe ao administrador 
controlar.
• Variáveis não controladas:São variáveis cujos valores são atribuídos 
por sistemas que estão fora do controle do administrador. 
Geralmente são os custos com a produção, demanda de produtos, os 
preços de mercado que são variáveis não controladas.
Cálculo da solução através do modelo
Esse cálculo é feito por meio de técnicas matemáticas específicas. Ao 
construir esse modelo, pode ser levado em consideração a disponibilidade 
de alguma técnica para calcular a solução.
Teste do modelo e da solução
O teste é realizado através de dados empíricos do sistema. Em caso de 
dados históricos, ele deverá ser utilizado no modelo, para produzir um 
desempenho que possa ser comparado com o desempenho observado 
no sistema. Se o desvio verificado não for conveniente, o modelo será 
reformulado ou até mesmo descartado. No caso da inexistência de 
dados históricos, os dados empíricos serão registrados no sistema já em 
funcionamento sem interferência, até que possa ser feito o teste.
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Estabelecimento de controles da solução
Ao ser construído o modelo e através do seu experimento é possível 
identificar parâmetros que são fundamentais para a resolução do 
problema. Qualquer mudança dos parâmetros deve ser controlada para 
assegurar a validade da resolução adotada. Se por ventura houver desvio 
de algum desses parâmetros, além do que é permitido, será feito o cálculo 
de uma nova solução ou até mesmo a reformulação do modelo, se for 
necessário.
Implementação e acompanhamento
Nesta fase, será apresentada a solução para o administrador, evitando o 
uso da linguagem técnica empregada no modelo. A linguagem técnica 
usada no sistema de estudo facilita a compreensão e proporciona 
boa vontade na implantação do sistema que está sendo sugerida. 
Essa implantação precisa ser acompanhada para que seja observado 
o comportamento do sistema em relação à solução escolhida. Nesse 
processo, algum ajuste pode ser feito.
Na próxima unidade, será apresentado um pouco mais da história do 
desenvolvimento da Pesquisa Operacional como disciplina e como ramo 
do conhecimento
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2 As origens da Pesquisa Operacional
Objetivo
Conhecer quais fatores constribuíram para o surgimento da pesquisa 
operacional como disciplina.
A pesquisa operacional teve como ponto de partida a Segunda Guerra 
Mundial. Sua origem está diretamente ligada à intervenção do radar, no 
ano de 1934, através da equipe de pesquisa liderada pelo cientista Robert 
Watson-Watt. Em suas pesquisas, o cientista Watson-Watt descobriu 
que as ondas de rádio eram refletidas, quando algum objeto obstruía sua 
trajetória. A partir dessa descoberta, foram desenvolvidos vários métodos 
para detectar a invasão de aeronaves consideradas hostis dentro do espaço 
aéreo britânico, sempre sob a supervisão do professor Patrick Blackett.
A expressão pesquisa operacional da forma como é conhecida hoje, 
segundo Sawyer et al (1989) foi criada em meados de 1938 por A. P. 
Rowe para nomear a equipe de pesquisa de Watson-Watt, que, dentro 
do Comitê de Estudos de Defesa aérea Britânica, passou a ser conhecida 
como Seção de Pesquisa Operacional.
Com as conquistas obtidas através do desenvolvimento dos sistemas 
de radares, o camando aliado decidiu convidar mais cientistas de 
renome no meio acadêmico para juntar-se a eles e formarem equipes 
interdisciplinares, a fim de auxiliá-los na busca de soluções para os 
problemas de planejamento, logística e transporte, comuns no teatro de 
operações.
Os grupos originados da pesquisa operacional usavam pensamentos 
imaginativos para resolver situações complicadas que envolviam 
máquinas, pessoas, materiais e recursos financeiros. Alguns exemplos 
dos problemas que precisavam ser solucionados por eles consistiam em: 
fazer uso eficiente da nova tecnologia de radar, reduzir o número de 
navios afundados por submarinos inimigos, maximizar o uso de frotas 
de aeronaves, melhorar a precisão dos bombardeios. Eles trabalhavam 
em conjunto e com total apoio dos decisores. Sua abordagem consistia 
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em coletar dados e analisá-los para construir um modelo e fazer 
recomendações.
As pesquisas e estudos das equipes de cientistas foram primordiais para a 
vitória da Batalha Aéra da Grã-Bretanha. Através dessas pesquisas sobre 
administrar melhor as operações de comboio e antissubmarinos, os 
cientistas foram determinantes na vitória da Batalha do Atlântico Norte.
Com o fim da guerra, foi natural expandir o sucesso da pesquisa 
operacional nas estratégias de guerra para as organizações civis. Além 
do mais, a indústria pós-guerra tinha tido um crescimento expressivo 
e enfrentava dificuldades causadas pela crescente complexidade das 
organizações. Muitos pesquisadores viram que, de certa forma, esses 
problemas se assemelhavam àqueles que os militares também tinham 
enfrentado, porém, essas dificuldades estavam inseridas em outro 
contexto. No ano de 1948, Massachusetts Institute Of Technology 
(MIT) criou o primeiro programa formal de estudos em pesquisa 
operacional para esferas não militares. No início da década de 1950, a 
PO foi introduzida em várias organizações do governo e da indústria. O 
período de 1945 a meados de 1970 ficou conhecido como a “idade do 
ouro” da pesquisa operacional devido a sua rápida disseminação.
Existem dois fatores quem foram primordiais para o rápido crescimento 
da PO nesse período:
• Primeiro fator: o progresso considerável das técnicas de PO. Após 
a guerra, os cientistas foram motivados a desenvolver pesquisas 
consideráveis nessa área (qual?), o que resultou em avanços 
significativos rumo ao que havia de mais novo. Um exemplo 
importantíssimo é o método simplex desenvolvido para solucionar 
problemas com programação linear (desenvolvido por George 
Dantizig em 1947). Ainda na década de 1950 várias ferramentas 
padrão da PO atingiram um estado bem desenvolvido, são elas: 
programação linear, programação dinâmica, teoria das filas e teoria 
do inventário.
• Segundo fator: a revolução computacional foi outro fator 
primordial para o crescimento da PO. Exigiu-se um grande volume 
no processamento de cálculos para tratar com eficiência dos difíceis 
problemas considerados pela PO. Fazer esses cálculos à mão não 
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era viável. Por isso, o desenvolvimento dos computadores, com 
capacidade para realizar esses cálculos infinitamente mais rápido 
que os seres humanos e isso impulsionou bastante a PO. A criação 
de computadores pessoais na década de 1980 foi outro estímulo, 
possuindo ótimos pacotes de software para pesquisa operacional. 
Com isso, a PO alcançou um número expressivo de pessoas e esse 
avanço acelerou mais ainda na década de 1990 e no século XXI. 
Atualmente, milhares de pessoas têm fácil acesso a softwares de PO. 
Uma vasta quantidade de computadores é utilizada para resolver os 
problemas relacionados da PO, incluindo problemas complexos.
A pesquisa operacional mostrou-se a representante mais relevante das 
abordagens direcionadas ao processo decisório. Com uma estrutura de 
ferramentas estatísticas e matemáticas, a programação linear é a mais 
conhecida delas, pois buscou estabelecer modelos para as mais variadas 
decisões.
Em muitos países, atualmente, existem sociedades que têm como 
objetivo difundir o crescimento na área da pesquisa operacional. A 
primeira sociedade foi o Operational Research Club, fundado em 
Londres, no ano de 1948. O Clube publicou sua primeira revista em 
março 1950. Em 1953, a sociedade mudou seu nome para Operational 
Reseach Society e rebatizou o nome da revista, em 1978, como Jornaul 
of the Operational Reseach Society (primeiramente foi chamada de 
Operational Research Quaterly).
Atualmente, umadas maiores sociedades profissionais é a Informs 
(Institute for Operations Reseach and the Management Sciences) 
fundade em 1995, resultado da fusão de outras duas sociedades. É uma 
sociedade com mais de 10 mil membros.
No Brasil, em 1969, foi fundada a Sobrapo (Sociedade Brasileira de 
Pesquisa Operacional), ela é sediada no Rio de Janeiro.
Saiba mais
Você pode pesquisar mais informações sobre a 
Sobrapo através do site www.sobrapo.org.br.
http://www.sobrapo.org.br
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3 Os Modelos na Pesquisa Operacional
Objetivo
Conhecer a importância dos modelos dentro da pesquisa operacional 
e quais são eles.
A pesquisa operacional utiliza-se de modelos como embasamento 
científico para influenciar nas decisões. Deduz-se que uma pessoa que faz 
o uso da pesquisa operacional deve dominar as principais características 
da modelagem de problemas.
O modelo dentro da pesquisa operacional pode ser compreendido como 
a representação matemática de um conjunto de eventos, sejam eles físicos 
ou subjetivos, sendo considerados importantes para o gestor tomar 
sua decisão. Os modelos matemáticos são os mais utilizados pelos que 
praticam as técnicas de PO. De uma maneira mais simplificada, um 
modelo matemático é constituído por restrições, variáveis, critérios e um 
objetivo.
Na maioria dos casos, até chegar a uma decisão, o processo geralmente 
é o mesmo. O indivíduo tem o contato com o problema e o coloca em 
destaque para ver qual é a sua importância, quais são as consequências 
ao se tomar uma atitude ou não, quais são as possíveis alternativas para 
solucioná-lo, estabelece um critério para selecionar uma das alternativas, 
avalia todas elas até chegar a uma conclusão.
(Andrade, 2011)
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Geralmente nas situações em que é preciso tomar uma decisão, o passo 
primordial para entender qual é o caráter do problema é identificar quais 
são todos os fatores envolvidos, que viabilizam elementos para analisar 
e concluir. Em um processo para construir um modelo, existem fatores 
que são conhecidos como variáveis do problema, essas variáveis podem 
assumir valores variados durante o desenvolvimento da solução.
Segundo Andrade (2011), as variáveis do modelo de um problema na 
tomada de decisão podem ser classificadas em três categorias:
• Variáveis de decisão
• Variáveis controláveis ou endógenas
• Variáveis não controláveis ou exógenas
Variáveis de decisão: são as variáveis definidas pelo analista detentor 
das informações necessárias para servir de base para o gerente chegar à 
decisão. 
Variáveis controláveis: são as variáveis em que o tomador de decisões 
pode contribuir para atingir seus objetivos.
Variáveis não controláveis: são as variáveis em que o tomador de 
decisões não pode ter controle, mas que, mesmo assim, influencia os 
resultados de uma decisão.
O modelo tem por objetivo, por meio de uma função matemática, 
indicar a melhor maneira de se alcançar um objetivo em uma decisão. 
As restrições mostram as relações matemáticas que existem entre as 
variáveis do problema e as limitações que foram identificadas dentro do 
cenário em que se encontra o processo decisório. O critério é a função 
matemática que tem por objetivo medir o desempenho da ação.
O algorítimo é a estrutura lógica que indica as relações matemáticas 
entre as variáveis e constantes do problema. A estrutura é composta pelo 
objetivo, restrições e critério do modelo.
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Andrade (2011) diz que, dependendo de como o processo de decisão 
for abordado pelo analista e da natureza da decisão, é possível identificar 
diferentes tipos de modelo, são eles:
• Modelos conceituais
• Modelos simbólicos ou matemáticos
• Modelos heurísticos
Modelos conceituais: são aqueles que relacionam de maneira lógica 
e sequencial as fases do processo de tomada de decisão, de modo que 
possibilita o progresso controlado e coerente com os objetivos almejados.
Modelos simbólicos ou matemáticos: são modelos em que as 
informações importantes para a tomada de decisão podem ser 
mensuradas. Com isso, é possível usar símbolos matemáticos para 
apresentá-las e utilizar as funções matemáticas para mostrar as ligações 
entre as informações e a operação do sistema.
Modelos heurísticos: esses modelos são construídos devido à dificuldade 
do problema e quando as informações não podem ser quantificadas e 
nem podem ser utilizados modelos matemáticos. São baseados em regras 
intuitivas onde, determinada solução, permite avançar para uma melhor 
solução. São processos de busca inteligente de estágios do processo 
decisório direcionado a aumentar a qualidade do método escolhido.
A pequisa operacional tem sua metodologia voltada para encontrar 
a solução de problemas que podem ser representados por modelos 
matemáticos. Andrade (2011) diz que o modelo mais adequado para um 
determinado cenário depende de alguns elementos. São eles:
• A característica matemática das relações entre as variáveis.
• Os objetivos da pessoa encarregada de tomar a decisão.
• O grau de incerteza relacionado ao ambiente de decisão.
A partir dessas observações é possível dividir o modelo matemático 
em dois tipos conhecidos por modelos de simulação e modelos de 
otimização.
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Modelos de simulação
Esses modelos buscam ofertar uma representação do mundo real. Tem 
por objetivo possibilitar a criação e análise de possibilidades, antes 
de realizar alguma delas. Sendo assim, possibilita o analista ter maior 
flexibilidade e liberdade para escolher a ação mais conveniente.
O analista pode criar situações e ambientes através de hipóteses para 
simular quais as consequências de suas decisões e, assim, escolher a 
melhor alternativa.
(ANDRADE 2011)
Modelos de otimização
Esses modelos são opostos aos modelos de simulação. São modelos 
estruturados para escolher uma única opção que será considerada como 
ótima, baseado nos critérios definidos pelo analista, não permitindo a 
flexibilidade de escolha. O critério faz parte da estrutura do modelo, 
ele acha a melhor solução através de análise matemática. Essa análise é 
realizada por métodos sistemáticos, conhecidos como algoritimos.
(ANDRADE 2011)
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4 O Processo de Definição de um Problema
Objetivo
Conhecer os passos necessários para definir um problema.
Para fazer a definição de um problema, é preciso, antes, reconhecê-lo 
e saber que ele demanda uma solução. Assim, é necessário responder a 
uma gama de perguntas para saber quais serão as possíveis consequências 
desse problema dentro da organização. “Que parte da organização é 
afetada pelo problema? O problema envolve as operações atuais ou 
alguma previsão de operações futuras? Quais hipóteses que devem ser 
feitas? Quais são as restrições a possíveis soluções? Quais são os objetivos” 
(Moreira, 2010).
Antes de identificar qual a melhor maneira de solucionar um problema, 
é preciso conhecer o real significado do termo problema. É preciso 
antes, saber discenir a diferença que há entre perceber e identificar uma 
“situação problema”.
Smith (1989) diz que “muitas das definições para a palavra problema 
partem do pressuposto da existência de uma diferença ou disparidade 
entre o modo como as coisas são e como elas deveriam ser”. Com esse 
ponto de vista, um problema pode ser um sentimento de impedimento. 
Uma barreira a ser ultrapassada, a insatisfação com uma situação vigente, 
ou ainda a sensação de mudança, ou uma divergência entre a situação 
atual e a situação que era desejada.
O problema dentro da pesquisa operacional pode ser considerado como 
a divergência que existe entre o resultado planejado e o resultado não 
previsto ou não desejado atingido em uma determinada situação.
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Perceber um problema não significa que ele foi identificado. Na maioria 
dos casos, é possível perceber que existe algo de errado, porém não é 
possível, ou não é fácil identificar o que causou o erro.
Longaray (2004) exemplifica tal situação, tomando como exemplo o uso 
do computador.
Imagine,por exemplo, que você está em sua casa trabalhando e seu computador 
para de funcionar de forma inesperada. Você percebe que há um problema, mas 
conseguiria especificar que problema é esse?
Sua resposta pode ser sim ou não. Se restringirmos a situação a uma possível falta de 
luz generalizada no bairro, poderemos dizer que essa foi a origem do problema. Nesse 
caso, você conseguirá identificá-lo claramente.
Mas e se não faltou energia elétrica no bairro e seu computador não apresentou 
nenhum defeito anteriormente? Ainda assim você conseguirá identificar o problema? 
Provavelmente sua resposta será não.
Embora seja possível perceber o efeito gerado pelo problema: o computador não liga. 
Entretanto, as causas do problema podem ser as mais diversas: hard disk, memória 
RAM, software, bateria da BIOS etc. (LONGARAY, 396 f., 2004)
Com esse exemplo, é possível compreender que a causa é o fato que dá 
origem ao problema. Todo problema, necessariamente, tem ao menos um 
causador. Normalmente, problemas difíceis, procedem de várias causas 
que acontecem simultaneamente ou encadeada por diversas situações. Na 
maioria das situações, para determinar o que causou o problema é preciso 
fazer uma análise detalhada de todo o contexto e de suas variáveis.
O efeito evidencia a ocorrência do problema, tornando-o perceptível. 
Todo problema causa pelo menos um efeito, e ele sempre é motivado por 
uma ou várias causas.
O exemplo da falha do computador mostra que somente um problema 
simples e com poucas variáveis é fácil de definí-lo. Dentro das empresas, 
porém, a maioria dos problemas engloba uma grande quantidade de 
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fatores inseridos em um cenário de alta complexidade, onde fazem parte 
clientes, fornecedores, condições de mercado, concorrentes, etc. Mesmo 
de forma indireta, essas particularidades refletem nas decisões.
Com isso, nota-se que é possível empregar a relação lógica de causa e 
efeito para definir um problema.
Kaoru Ishikawa (1993) desenvolveu um esquema que facilita essa tarefa. 
Esse esquema é conhecido como diagrama de causa-efeito, espinha de 
peixe ou diagrama de Ishikawa, amplamente usado em metodologias de 
análise e solução de problemas.
O diagrama de Ishikawa, graficamente, é uma estrutura parecida com o 
esqueleto de um peixe, em que a cauda representa a origem do problema 
e a cabeça mostra o efeito causado por esse problema. As espinhas 
mostram o conjunto de causas.
(Ishikawa, 1993)
Longaray (2010) usa o exemplo da ocorrência de um acidente de 
trabalho para exemplificar o diagrama de Ishikawa. Ao examinar o 
livro de controle de acidentes de trabalho, verificou-se que um mesmo 
acidente aconteceu quatro vezes no mesmo ano. Após essa confirmação, 
nenhum setor da empresa assumiu a responsabilidade por esses acidentes. 
A responsabilidade sempre recaiu sobre o funcionário que se acidentou.
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Perante essa situação, a gerência de RH (Recursos Humanos) reuniu 
os responsáveis pelos setores de segurança do trabalho, produção, 
manutenção e CIPA (Comissão Interna de Prevenção de Acidente) para 
detectar o verdadeiro problema.
Foram realizadas várias reuniões, a fim de compreender melhor o 
problema. O gerente de produção, que tinha formação em pesquisa 
operacional, sugeriu o uso do diagrama de Ishikawa para documentar a 
organização do processo. Tiveram como resutado a seguinte figura.
(Adaptado de Longaray, 2010)
Através da figura, é possível constatar que o acidente é o efeito do 
problema (cabeça). Percebe-se que o acidente aconteceu por causa do 
uso incorreto de EPI, pois os funcionários desconheciam as normas de 
segurança, que não eram divulgadas de maneira eficiente, patrocinador 
não era comprometido com essa causa e a política de segurança era 
deixada em segundo plano.
Foi possível definir a política de segurança em segundo plano como 
o problema. O efeito desse problema foi o acidente de trabalho, 
que decorreu do conjunto de seis outras causas que desencadearam o 
problema.
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5 Modelagem de um Problema
Objetivo
Conhecer os passos para fazer a modelagem de um problema.
O processo de modelagem de um problema nada mais é do que um 
conjunto de procedimentos escolhidos para fazer a construção de um 
esquema que possa representar o problema. Durante esse processo é 
preciso levar em conta que o mundo em que vivemos é formado por 
vários eventos dinâmicos e que tudo o que está a nossa volta nem 
sempre segue uma lógica pré-determinada. Dentro da modelagem de 
um problema, é preciso antecipar todos os fatores, circunstâncias e 
possibilidades, conforme os objetivos almejados.
Cada pessoa tem uma visão única e particular de determinada situação. 
Voltando ao exemplo do computador mencionado na unidade anterior, 
diante daquela situação cada pessoa pode ter uma ideia diferente para 
solucionar o problema, enquanto uma pessoa pode querer consertar, 
outra pode querer comprar um novo computador. São soluções distintas 
para o mesmo problema. Assim, é possível concluir que cada pessoa tem 
um modelo mental personalizado para solucionar seus problemas.
Esse exemplo ajuda a compreender o porquê da impossibilidade de criar 
modelos perfeitos para a solução de um problema. Na maioria dos casos, 
o que é possível fazer é criar esquemas, a fim de buscar demonstrar as 
perspectivas das pessoas sobre determinada situação.
Dentro da modelagem de um problema, a grande dificuldade consiste 
na abstração do cenário. Essa é a etapa que não é necessário cálculos 
matemáticos, nem o uso da estatística ou da lógica formalizada, como 
imaginam as pessoas que estão iniciando na pesquisa operacional.
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Esse processo de abstração de cenário se resume na habilidade da pessoa 
que utiliza a pesquisa operacional em estruturar determinada situação e 
estabelecer as relações que existem nela, também precisa identificar todos 
os que participam e qual é a sua interação com o problema.
Saiba mais
Processo de abstração de cenário – pode ser 
resumido na capacidade do praticante de pesquisa 
operacional de mapear determinada situação, 
estabelecer as relações existentes nela, bem como 
identificar todos os participantes e suas interações 
com o problema. (Longaray, 2013)
Alex Faickney Osborn publicou a técnica de brainstorming em seu 
livro Applied Imagination no ano de 1953. No livro, o autor aborda a 
utilização do processo criativo para solucionar problemas. Osborn (1953) 
diz que as pessoas não expõem suas ideias por medo de críticas ou de 
avaliações negativas. Com isso, o processo criativo fica prejudicado.
A técnica de braisntorming tem a finalidade de libertar as pessoas da 
rigidez comportamental que o processo de socialização gera. A técnica 
tem por base a quantidade de ideias que são criadas através de um 
determinado tema. Quanto mais ideias se têm, maiores são as chances de 
se obter o sucesso na solução do problema.
Para operacionalizar o processo de brainstorming, é preciso seguir 
alguns passos. Segue algumas sugestões de passos a serem seguidos para 
operacionalizar o processo:
• Formar um grupo de pessoas. Com isso, é possível obter várias 
percepções de uma mesma situação.
• Realizar rodadas de ideias. Com isso, os participantes podem 
contribuir com ideias diferentes em cada rodada.
• As ideias não precisam ser justificadas. Todas elas devem ser 
consideradas, independente do grau de dificuldade de sua execução.
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• As ideias precisam ficar visíveis para todos os membros do grupo.
• Escolher as ideias que são mais adequadas para a ocasião. 
Quando o grupo já tiver esgotado todas as possibilidades, deve voltar 
às ideias que são consideradas mais interessantes.
A parte mais difícil de usar a técnica de brainstorming é fazer com que 
as pessoas não façam pré-julgamento das ideias. Essa técnica é para fazer 
com que as ideias sejam geradas de maneira livre e espontânea sobre um 
determinado tema. Nesse processo, não pode existir qualquer tipo de 
proibição ou impedimentode expressar alguma opinião.
Dentro da pesquisa operacional, o brainstorming auxilia na abstração de 
cenários e permite perceber detalhes que irão influenciar na qualidade 
da tomada de decisão. Cada situação onde existe um problema, por 
mais parecida com outra situação já vivida por um indivíduo, tem suas 
próprias particularidades, cada situação é única.
Para a modelagem de um problema ser bem-sucedida, ela precisa que 
seus usuários reconheçam suas vantagens e limitações. Com isso, Phillips, 
Ravidran e Solberg (1976) sugeriram alguns cuidados que devem ser 
tomados na modelagem de problemas, listados em dez princípios:
1. Não construa um modelo complicado, quando um simples é 
suficiente. Dentro da modelagem devem ser evitados modelos 
complexos, a não ser que seja necessário. A implantação dos modelos 
na pesquisa operacional necessita do esforço computacional, quanto 
mais complexo for o modelo, maior será o custo.
2. Cuidado para não modelar um problema em detrimento de 
determinada técnica. Deve-se ter o cuidado de não direcionar o 
modelo de um problema para usar uma técnica com que se tenha 
mais empatia ou preferência. Existe uma grande diversidade de 
opções para resolver um problema, não se deve restringir uma 
gama de oportunidades para apenas uma ferramenta de modelagem 
matemática.
3. Seja rigoroso com a etapa de abstração do cenário. É preciso 
detalhar ao máximo o contexto da decisão, com isso será possível 
construir um modelo que se aproximará da realidade.
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4. Modelos devem ser legitimados antes de serem implementados. 
Com a construção do modelo, o profissional de pesquisa operacional 
deverá usar ferramentas capazes de comparar o resultado do modelo 
desenvolvido com o resultado esperado do sistema real para o qual 
foi projetado.
5. Um modelo não deve ser tomado ao pé da letra. Muitas vezes 
quando o modelo não atinge o resultado esperado, seus criadores 
acreditam que o motivo não é o modelo e, sim, outros fatores. 
6. Um modelo não deve ser criticado por não fazer aquilo que ele 
não foi construído para fazer. Os modelos são construídos para 
atender as necessidades de uma determinada situação. Quando os 
modelos são adaptados para outros contextos, nem sempre alcançam 
os resultados desejados. 
7. Cuidado para não gerar expectativas que extrapolem as reais 
potencialidades do modelo. É importante compreender que o 
modelo é apenas uma forma de lidar com um problema, não são 
modelos infalíveis.
8. Alguns benefícios da modelagem estão relacionados ao processo 
de desenvolvimento do modelo. Um modelo já pronto não é 
capaz de mostrar todo o conhecimento que é adquirido durante a 
sua construção. Por mais difícil que seja é preciso passar por todo o 
processo de criação do modelo.
9. Um modelo não pode ser melhor do que as informações contidas 
nele. Se as informações existentes no modelo não forem precisas, 
não se pode esperar um resultado eficaz.
10. Modelos não podem substituir decisores. Par mais elaborado 
que seja um modelo, ele nunca substutuirá a capacidade do ser 
humano de perceber e analisar os fatos.
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Resumo
A pesquisa operacional é um sistema organizado que se utiliza de 
modelos para um sistema da maneira mais eficiente com maior chance de 
acerto. Pode-se dizer que a PO é uma ferramenta matemática aplicada no 
processo decisório, utilizando-se modelos matemáticos estruturados.
A pesquisa operacional, como é conhecida hoje, surgiu na Segunda 
Guerra Mundial. Ela foi resultado de estudos feitos por cientistas de 
várias áreas contratados para resolverem problemas de estratégia e tática 
de ordem militar.
O modelo dentro da pesquisa operacional pode ser compreendido 
como a representação matemática de um conjunto de eventos, sejam 
eles físicos ou subjetivos, sendo considerados importantes para o gestor 
tomar sua decisão. Os modelos matemáticos são os mais utilizados pelos 
que praticam as técnicas de PO. De uma maneira mais simplificada, um 
modelo matemático é constituído por restrições, variáveis, critérios e um 
objetivo.
O problema dentro da pesquisa operacional pode ser considerado como 
a divergência que existe entre o resultado planejado e o resultado não 
previsto ou não desejado atingido em uma determinada situação.
O processo de modelagem de um problema nada mais é do que um 
conjunto de procedimentos escolhidos para fazer a construção de um 
esquema que possa representar o problema. Durante esse processo é 
preciso levar em conta que o mundo em que vivemos é formado por 
vários eventos dinâmicos e que tudo o que está a nossa volta nem 
sempre segue uma lógica pré-determinada. Dentro da modelagem de 
um problema, é preciso antecipar todos os fatores, circunstâncias e 
possibilidades, conforme os objetivos almejados.
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6 Modelos Matemáticos de Otimização
Objetivo
Conhecer os modelos de otimização, suas finalidades e aplicações.
A utilização de modelos de otimização tem como objetivo encontrar, 
entre todas as possibilidades, a melhor solução possível. Sendo assim, 
a solução para o problema modelado, dentro do ponto de vista da 
otimização, deve ser única.
Muitas vezes a ideia de otimizar alguma coisa leva ao pensamento 
equivocado de que é preciso alcançar sempre o maior resultado, ou 
seja, o maior lucro, o maior número de vendas. Esse pensamento está 
correto, quando o modelo tem por intuito maximizar o objetivo, 
conhecido como maximização do objetivo. Porém, em algumas situações 
o objetivo da otimização é chegar ao resultado mínimo de algum fator, 
por exemplo, diminuir os custos ou o tempo de fabricação de algo, 
conhecido como minimização do objetivo.
O resultado bom depende da variável em estudo. Uma variável de 
prejuízo, acidentes de trabalho ou custos, por exemplo, possuem 
resultados bons quando minimizados. Quanto menor, melhor.
Com isso, pode-se dizer que o objetivo do modelo de otimização é 
maximizar (Max) ou minimizar (Min) o resultado de algo. Assim, em 
uma visão lógica, é possível dizer que quando dentro de um modelo de 
otimização, e o resultado estiver no limite extremo inferior das opções, 
teremos a minimização, quando o resultado for o oposto e estiver no 
limite extremo superior, teremos a maximização.
Qualquer modelo de otimização está sujeito a restrições. Essas restrições 
mostram fatores que limitam certos problemas. Na maioria das vezes, 
estão relacionadas a recursos humanos e financeiros, matéria-prima, etc. 
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Para ser classificada como restrição, ela deve, obrigatoriamente, estar 
relacionada ao objetivo do modelo e impactar diretamente no resultado 
final.
As restrições podem ser de limite superior ou inferior:
• Restrições de limite superior – são restrições em que existe um 
limite máximo estabelecido para um determinado recurso. O uso do 
recurso não poderá ultrapassar esse limite.
• Restrições de limite inferior – são restrições em que existe um 
limite mínimo para o uso de um determinado recurso. Seu uso não 
poderá ser menor do que o limite estipulado.
Visto que a estrutura básica de um modelo de otimização é composta por 
um objetivo e pelo conjunto de restrições, veremos que os elementos que 
constroem a dinâmica do modelo são as variáveis.
Pode-se dizer que a varável é um elemento da natureza que pode ter 
valores diferentes. Esse valor na maioria das vezes é o resultado do 
modelo em que a variável está inserida. Nos modelos de otimização, 
as variáveis são elementos que se quer expressar em números, como 
por exemplo, quando se quer saber qual é quantidade de funcionários 
necessários para formar uma equipe que irá atuar em um turno.
Cada variável deverá ser representada por uma icógnita. Normalmente, 
a variável é representada pela letra x. Os índices são representados pela 
letra i, e se for preciso, também é representado pela letra j. Outras 
letras também podem ser usadas para representá-los, desde que se tenha 
coerência da lógica e da variável.
Nos modelos de otimização, as variáveis,na maioria das vezes, assumem 
resultados positivos. 
Um valor positivo indica a existência daquele evento em uma relação proporcional ao 
número de unidades que a variável representa. 
Um valor nulo indica que aquela variável não se altera nas condições específicas a que 
está sendo submetida ou em que está sendo testada.(Longaray, p.49, 2013)
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Dentro do modelo de otimização, existem as constantes, que ao contrário 
das variáveis, não sofrem mudanças, independente das alterações que 
possam ocorrer em outras situações dentro do contexto em que estão 
inseridas.
Vimos que um modelo simples de otimização é composto por uma 
estrutura básica que contem um determinado número de constantes e 
variáveis que compõem o objetivo e as restrições.
É preciso estruturar de uma forma lógica todos esses aspectos para 
dar sentido ao modelo de otimização elaborado. Para que todos 
os interessados no problema possam entendê-lo e não só a pessoa 
responsável por encontrar a solução.
Com a construção do algoritimo, é possível organizar de maneira 
lógica e estruturada todos esses aspectos fundamentais para o modelo 
de otimização. O algoritmo pode-se dizer que é uma sequência de 
informações bem definida e limitada. Pode ser realizada de maneira 
ordenada e desencadeada, como um roteiro lógico.
Laudon (2004) diz que a receita de um bolo é um bom exemplo de 
algoritmo. Para que o bolo dê certo, é preciso ter uma receita e executá-
la corretamente. Os ingredientes devem ser incorporados em uma 
determinada ordem. É preciso obedecer à maneira que se deve misturar 
esses ingredientes (à mão ou com o uso da batedeira). Por fim, é preciso 
usar uma forma adequada e colocar o bolo para assar no forno a uma 
determinada temperatura e esperar o tempo de cozimento. Com isso, se 
tem a solução do problema, o bolo pronto. Assim, podemos dizer que os 
modelos de otimização têm a sua “receita de bolo”, que são os algoritmos 
de otimização.
A estrutura lógica do modelo é representada pelos algoritmos de 
otimização. Os objetivos, as restrições, as constantes e as variáveis são 
engendradas de maneira que a solução matemática do problema seja 
alcançada.
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Da mesma forma que já existem receitas de bolo prontas, a otimização 
tem padrões de algoritmos criados ao longo da história da pesquisa 
operacional. Não é preciso começar do zero e só consultar esses padrões 
já existentes e verificar qual é o mais adequado.
Cabe ao usuário dos métodos de pesquisa operacional conhecer os 
algoritmos básicos de otimização e saber como usá-los em cada situação.
Por meio da perspectiva algébrica, o modelo de otimização pode ser 
classificado como modelo de programação matemática.
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7 Introdução à Programação Linear
Objetivo
Conhecer origem da programação linerar e suas características 
fundamentais.
É um ramo da Matemática que estuda formas de resolver problemas de 
otimização cujas condições podem ser expressas por inequações lineares, 
isto é, inequações do primeiro grau.
Segundo Hiller, Lieberman (2013) a criação da programação linear tem 
sido apontada como um dos maiores avanços científicos do século XX. 
A programação linear tem causado grande impacto desde 1950, quando 
surgiu.
Foi através da equipe de cientistas convocada pelos Aliados da Segunda 
Guerra, no início da década de 40, que a programação linear teve a sua 
propagação. Os grandes problemas relacionados à Grande Guerra, suas 
complexidades e muitas variáveis envolvidas, foram o campo perfeito 
para o desenvolvimento da disciplina.
Atualmente, a programação linear é uma ferramenta-padrão que ajudou 
e ajuda grandes e médias empresas a reduzirem custos. A programação 
linear não é usada só em empresas, seu emprego se espalhou muito 
rápido em outros setores da sociedade. Grande parte da computação 
científica usada em computadores dedica-se ao uso da programação 
linear. 
Um problema de programação linear que tenha só duas variáveis pode 
ser resolvido graficamente, representando as soluções de cada uma das 
inequações por um semiplano e em seguida procurando o ponto do 
polígono obtido que corresponde à solução ótima.
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Num problema de programação linear com duas variáveis x e y, o que se 
pretende é maximizar (ou minimizar) uma forma linear z = A x + B y
A e B são constantes reais não nulas.
A forma linear traduz a função objetivo nas variáveis x e y.
As variáveis x e y estão sujeitas a certas condições restritivas expressas por 
inequações lineares em x e y que traduzem as restrições do problema.
Qual é a natureza da pesquisa operacional e para quais problemas ela é 
direcionada? Vejamos. (citando Ravindran et al., 1987):
“Passo I. Identifique as variáveis desconhecidas a serem determinadas 
(elas são denominadas variáveis de decisão) e represente-as através de 
símbolos algébricos (por exemplo, x e y ou x1 e x2).
Passo II. Liste todas as restrições do problema e expresse-as como 
equações (=) ou inequações (≤, ≥) lineares em termos das variáveis de 
decisão definidas no passo anterior.
Passo III. Identifique o objetivo ou critério de otimização do problema, 
representando-o como uma função linear das variáveis de decisão. O 
objetivo pode ser do tipo maximizar ou minimizar.
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O exemplo de utilização da Programação Linear na solução de 
problemas.
Exemplo 1 - O problema do mix de produção
A empresa Dalai-Lama deseja planejar a produção de incensos. Os 
incensos requerem dois tipos de recursos: mão de obra e materiais. 
A empresa fabrica três tipos de incenso, cada qual com diferentes 
necessidades de mão de obra e materiais, conforme tabela abaixo:
Modelo
A B C
Mão-de-obra (horas por unidade 7 3 6
Materiais (g/ unidade produzida) 4 4 5
Lucro ($ / unidade) 4 2 3
A disponibilidade de materiais é de 200 g/dia. A mão de obra disponível 
por dia é de 150 horas. Formule um problema de programação linear 
para determinar quanto deve ser produzido de cada tipo de incenso, tal 
que o lucro total seja maximizado.
Para resolver o problema acima, aplicam-se os passos para a construção 
de um modelo de programação linear.
Passo I - Identifique as variáveis de decisão. As atividades a serem 
determinadas dizem respeito às quantidades de produção dos três tipos 
de incenso.
Representando essas quantidades em termos algébricos, tem-se:
xA = produção diária do incenso tipo A
xB = produção diária do incenso tipo B
xC = produção diária do incenso tipo C
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Passo II - Identifique as restrições. Neste problema, as restrições dizem 
respeito à disponibilidade limitada dos recursos de mão de obra e 
materiais. O tipo A requer 7 horas de mão de obra por unidade, e 
sua quantidade produzida é xA. Assim, a demanda por mão de obra 
para o incenso tipo A será 7xA horas (se considerarmos uma relação 
linear). Analogamente, os tipos B e C vão requerer 3xB e 6xC horas, 
respectivamente. Assim, a quantidade total de horas de trabalho 
demandadas na produção dos três tipos de incenso será 7xA + 3xB + 
6xC. Sabe-se que esta quantidade não deve exceder o total de horas 
disponíveis na empresa, isto é, 150 horas. Assim, a restrição relacionada à 
mão de obra será:
7xA + 3xB + 6xC ≤ 150
Para obter a restrição relacionada aos materiais, utiliza-se raciocínio 
similar. A restrição resultante será:
4xA + 4xB + 5xC ≤ 200
Para finalizar, deseja-se restringir as variáveis de decisão no domínio dos 
reais não-negativos (isto é, x ≥ 0). Essas restrições, uma para cada variável 
de decisão são denominadas restrições de não negatividade. Apesar de 
serem comuns em muitas aplicações de programação linear, não são 
necessárias para a utilização da metodologia.
• Ao desenvolver um modelo para a Politoy, investigaremos características 
comuns a todos os problemas de PL
VARIÁVEIS DE DECISÃO
O primeiro passo na formulação de um problema de PL é a definição das 
variáveis de decisão relevantes.
Estas variáveis devem descrever completamente as decisões a seremtomadas.
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A Politoy deve decidir sobre:
x1 = núm. de soldados produzidos a cada semana
x2 = núm. de trens produzidos a cada semana
Passo III - Identifique o objetivo. O objetivo é maximizar o lucro 
total oriundo das vendas dos produtos. Supondo que tudo o que for 
produzido encontre mercado consumidor, o lucro total resultante das 
vendas será:
z = 4xA + 2xB + 3xC
Assim, o problema de mix de produção apresentado acima pode ser 
escrito como um modelo de programação matemática através das 
seguintes expressões:
Determine os valores de xA, xB e xC que maximizem:
z = 4xA + 2xB + 3xC
sujeito às restrições:
7xA + 3xB + 6xC ≤ 150
4xA + 4xB + 5xC ≤ 200
xA ≥ 0
xB ≥ 0
xC ≥ 0
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8 Modelo geral de problemas de programação linear
Objetivo
Conhecer como é feito o modelo geral para se calcular as questões de 
programação linear.
Quando estamos diante de um problema, temos o costume de organizar 
o comportamento das variáveis e das limitações de forma linear em 
detrimento de alternativas matemáticas mais sofisticadas como, por 
exemplo, as não lineares: inversa, logarítmica, ou quadrática. Através 
dessa perspectiva, a programação linear assume o papel de um padrão das 
técnicas de otimização.
São problemas em que se procura a melhor solução (a que dá menor 
prejuízo, maior lucro, a que é mais eficiente, etc.)
Alguns desses problemas resolvem-se, procurando máximos ou mínimos 
de uma função, outros resolvem-se por outros processos.
Primeiramente, para se trabalhar com programação linear é preciso 
compreender o que é linearidade dentro do contexto de otimização da 
pesquisa operacional.
A linearidade pode ser entendida como um caso especial da relação Y = f(X), onde o 
valor de Y é função (dependente) do valor de X. Tal relação será considerada linear se 
para todos os valores possíveis de X e Y uma dada variação no valor de X representa 
uma variação constante no valor de Y. (Longaray, p.60, 2013)
Veja exemplo a seguir, onde X é a variável independente, Y é a variável 
dependente e a variação em X e Y de uma dada função.
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X Variação em X Y Variação em Y
-2 -4
-1 +1 -1 +3
0 +1 2 +3
1 +1 5 +3
2 +1 8 +3
(Longaray, 2013)
Ao analisar a figura, conseguimos identificar a relação matemática entre 
as variáveis X e Y:
2+3(-2)=-4
2+3(-1)=-1
2+3(0)=2
2+3(1)=5
2+3(2)=8
Essas relações podem ser representadas de uma maneira mais aprimorada 
pela função: Y=2+3x
Com isso, temos uma equação linear do tipo f(X)=a+b(X), que é 
normalmente escrita da seguinte forma Y=a+bX, onde a variável 
dependente é Y, X é a variável independente, a é uma constante numérica 
conhecida como intersecção, e b é uma constante numérica conhecida 
como coeficiente angular.
Todo problema de pesquisa operacional pode ser representado por meio 
de uma função objetivo e de um conjunto de restrições, todas lineares. 
Dessa forma, temos o seguinte modelo genérico.
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(LOESCH, HEIN, 2009)
No modelo acima, devemos interpretar da seguinte forma:
• x₁, x₂,…,xn = conjunto de variáveis estruturais do problema;
• c1, c2…,cn = coeficientes da função objetivo;
• aij e b = coeficientes das restrições. Os coeficientes bi da mão direita 
serão considerados não negativos, essa é uma exigência imposta pela 
teoria do método Simplex;
• a representação {=,≤,≥} significa a presença de uma dessas três 
relações em cada restrição;
• a função objetivo expressa a meta que se deseja compreender. Essa 
meta será de maximização (Max Z = ...) ou de minimização (Min Z 
= ...).
As restrições mostram limites que devem ser respeitados. O algoritmo de 
resolução procura uma solução ótima dentro do espaço de soluções que 
sejam compatíveis com o problema de programação linear. O espaço de 
pontos onde os componentes são valores das variáveis que atendem ao 
conjunto de restrições. As restrições poderão ser uma igualdade (=) ou 
uma desigualdade não-estrita (≤ou ≥).
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As restrições de não-negatividade das variáveis fazem parte das condições 
necessárias para se aplicar o algoritmo do Simplex de resolução de 
problemas de programação linear. Normalmente isso acontece em 
decorrência da natureza da variável dentro do modelo, pode ter situações 
em que as variáveis são irrestritas, ou seja, podem assumir um valor irreal. 
Todos os valores de coeficientes são conhecidos durante a modelagem do 
problema. As variáveis são calculadas através do algoritmo de resolução. 
Na programação linear, as variáveis devem ser quantidades reais.
A programação linear e seus modelos são submetidos a algumas 
condições que devem ser sanadas, para poder alcançar os resultados 
desejados com o seu uso: a hipótese da proporcionalidade, a da 
aditividade, a da divisibilidade e a da certeza.
• Hipótese da proporcionalidade: a quantidade de bens que entra 
e sai em cada atividade devem ser sempre proporcionais ao nível da 
mesma, dessa forma, deve estar na presença de um modelo linear.
• Hipótese da atividade: a condição de atividade existe em todos os 
modelos de programação linear. Considera as atividades do modelo 
como entidades totalmente independentes, não permite que tenha 
interdependência entre elas.
• Hipótese da divisibilidade: as variáveis de decisão podem assumir 
qualquer valor, sejam eles inteiros ou fracionários, desde que 
atendam as restrições de recursos e de não negatividade.
• Hipótese da certeza: Os valores concedidos a cada parâmetro do 
modelo de programação linear é assumido como uma constante 
conhecida.
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9 Solução de Problemas de Progra-mação Linear: Método Simplex
Objetivo
Apresentar o modelo Simplex.
Segundo Moreira (2010), o Simplex é uma metodologia que envolve 
uma sequência de cálculos repetitivos por meio dos quais é possível 
chegar à solução de um problema de programação linear (PPL). Essa 
sequência de cálculos recebe o nome de algoritmo. 
Esse método é mais extenso, mesmo sem acrescentar nenhuma nova 
dificuldade. Ocorre que sua solução é passo a passo e exige um pouco 
mais de tempo.
O Método Simplex exige que o modelo esteja na forma padrão. Ou seja, 
iguala-se à equação a zero.
As restrições são, inicialmente, apresentadas na forma de inequações.
Estas restrições são transformadas em equações através da introdução de 
novas variáveis (não-negativas), chamadas de “variáveis de folga”.
Para facilitar a solução dos PPL (Problema de Programação Linear), 
usaremos a Forma Tabular. Trata-se de uma forma visualmente mais 
amigável. 
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O modelo conceitual posto por Chvátal (1980) citado por 
Lachtermacher (xxxx) é o seguinte:
Assim, durante o desevolvimento do método, todas as vezes que a 
solução não for ótima, volta-se em busca de nova solução. Esse processo 
se dá em passos e mesmo podendo ser demorado, seguindo os passos, o 
estudante resolverá o PPL no método simplex.
Para o desenvolvimento do método, utilizaremos o exemplo trazido por 
Lachtermacher (2002):
Iniciando a solução de um PPL partimos da forma padrão e 
introduzimos as ‘folgas’.
Folgas: Como é necessário igualar a Função Objetivo ou as restrições, 
tornando-as de inequações em equações, não se sabe ao certo o valor de 
X1, X2 ou Xn. Exemplo da restrição abaixo: 2X1 + 4X2 ≤ 10, sabe-se 
que o valor de X1 + 2X2 é menor ou igual a 9 e que os valores de X1 
e X2 são positivos devido às restrições de não-negatividade (X1 e X2 
são maiores que zero) mas não se sabe ao certo os seus valores. Assim, 
para que a soma de X1 e 2X2 seja igual a nove introduz-se uma folga. 
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Transformando a inequação original em uma equação com sinal de 
igualdade.
Problema na forma padrão 
Max Z = 3x1 + 5x2
Sujeito a: 2X1 + 4X2 ≤ 10
 6X1 + X2 ≤ 20
 X1 - X2 ≤ 30 
 X1 ≥ 0,X2 ≥ 0
Conforme já abordado anteriormente, as restrições são equivalentes à 
disponibilidade de recursos como dinheiro, estoque, horas de trabaho. 
São limites que a realidade impõe para a otimizaçãode qualquer trabalho 
ou atividade.
Inicialmente, a Função Objetivo precisa ser igualada a zero, trazendo 
todas as variáveis para o lado esquerdo da equação, assim:
Z - 3x1 - 5x2 = 0 (Igualando a função a zero e multiplicando os termos 
por -1, temos:
Z - 3x1 - 5x2 = 0
Quanto às restrições, é necessário alterar o dicionário inicial, passando 
todas as variáveis para o mesmo lado, o lado esquerdo, incluindo as 
folgas.
Considerando a nomenclatura que se utiliza aqui, as folgas serão 
denominadas XF. Em outros livros e materiais, o aluno encontrará 
s (o termo em inglês é slack), outros acrescentam x3, x4 e assim 
sucessivamente.
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(1) 2X2 + 4X4 + XF1 = 10
(2) 6X1 + X2 + XF2 = 20
(3) X1 - X2 + XF3 = 30
Agora é necessário construir a tabela ou tableau.
Colocaremos o valor de Z, X1, X2, XF1, XF2, XF3 e o termo 
independente que chamaremos de b. Sendo que b é o termo 
independente de cada restrição ou da F.O.
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 -3 -5 0 0 0 0
0 2 4 1 0 0 10
0 6 1 0 1 0 20
0 1 -1 0 0 1 30
Os valores correspondem aos coeficientes de na Função Objetivo e em 
cada uma das restrições.
1º Passo: Identificar a variável que ‘entra’. Essa é a variável que dá a 
maior contribuição. No caso da tabela, teremos o menor valor. No caso é 
-5.
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 -3 -5 0 0 0 0
0 2 4 1 0 0 10
0 6 1 0 1 0 20
0 1 -1 0 0 1 30
Assim, fica identificada a variável X2
2º Passo: Identificar a linha que ‘sai’ ou linha pivô, o que recairá sobre 
uma das restrições.
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O termo independente b é dividido pelos valores da coluna da variável 
X2.
O objetivo é escolher o menor valor positivo.
10 ÷ 4 = 2,5
20 ÷ 1 = 20
30 ÷ -1 = -30 ->não convém usar o valor negativo
3º Passo: Identificar o elemento pivô. O valor que está na intercessão 
entre a linha pivô e a coluna da variável que ‘entra’. Depois vai ficar fácil 
do aluno perceber que essa é a variável que define o problema devido 
ao fato de que a cada unidade acrescentada em em X2, o resultado da 
Função Objetivo cresce em 2 unidades.
4º Passo: Calcular a “Nova Linha Pivô – NLP”.
Coloca-se os coeficientes da linha pivô.
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
Linha 
pivô
0 2 4 1 0 0 10
Dividir 
por 4
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Essa é a nova Nova Linha Pivô – NLP.
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Considerando que se obteve a nova linha pivô, é necessário recalcular as 
linhas de nossa tabela, introduzindo a nova linha pivô.
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5º Passo: Calcular as novas linhas.
A partir desse ponto, usa-se o algorítimo de repetição.
Para calcular a Nova Primeira Linha – NLP. Multiplica-se os valores pelo 
coeficiente da variável que ‘entra’. No caso a variável é X2 e o número é 
5. Veja lá na função objetivo.
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Nova 1ª 
linha
0 2,5 5 1,25 0 0 12,5
1ª Linha 1 -3 -5 0 0 0 0
+ Nova 
1ª
1 -0,5 0 1,25 0 0 12,5
Essa é a Nova Primeira Linha.
Calculando a Nova Terceira Linha.
Linha 
Pivô
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
x 0 -1,5 -1 -0,25 0 0 -2,5
(+) 0 6 1 0 1 0 20
Nova 3ª 
Linha
0 5,5 0 -0,25 0 17,5
Calcular a nova 4ª linha.
Linha 
Pivô
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
0 1 -1 0 0 1 30
0 1,5 0 0,25 0 1 32,5
A solução ótima deverá apresentar uma tabela apenas com valores 
positivos na Função Objetivo.
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6ª Passo: Montar a nova tabela a partir dos valores encontrados.
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 -0,5 0 1,25 0 0 12,5
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
0 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
0 1,5 0 0,25 0 1 32,5
Após essas interações, testaremos para ver se encontramos a solução que 
maximiza a Função Objetivo.
Solução:
Variáveis Básicas - VB Variáveis Não Básicas - VNB Valor de Z
São as que apresentam 
valores zerados ou com valor 
de 1.
X2 = 2,5
XF2 = 17,5
XF3 = 32,5
É necessário que X1 e XF1 
cheguem ao valor de zero 
que o valor atribuído a Z seja 
verdadeiro.
X1 = 0
XF1 = 0
Z = 12,5
Busca-se o termo independente (b) relativo à variável não básica com 
valor de 1.
O valor encontrado ainda não é uma solução ótima. Ainda existem 
valores negativos na tabela.
Aplicando o modelo conceitual abaixo, recalculamos a tabela.
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Passo 7º:
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 -0,5 0 1,25 0 0 12,5
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
0 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
0 1,5 0 0,25 0 1 32,5
Encontrar na linha da Função Objetivo o maior número negativo. Só 
temos o -0,5 na coluna do X1.
O termo independente b é dividido pelos valores da coluna da variável 
X1.
O objetivo é escolher o menor valor positivo.
2,5 ÷ 0,5 = 5
17,5 ÷ 5,5 = 3,18
32,5 ÷ 1,5 = 21,67 
Calcular a Nova Linha Pivô.
NLP 0 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
÷5,5 0 1 0 -0,045 0,182 0 3,18
Essa é a Nova Linha Pivô – NLP.
Vai ser necessário calcular de novo as demais 3 linhas. Começando com a 
1ª linha.
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NLP 0 1 0 -0,045 0,182 0 3,18
x coef1ª 
linha 
(0,5)
0 0,5 0 -0,023 0,091 0 1,59
+1ª linha 1 -0,5 0 1,25 0 0 12,5
Nova 
Primeira 
Linha
1 0 0 1,227 0,091 0 14,09
Calculando a nova 2ª linha:
NLP 0 1 0 -0,045 0,182 0 3,18
x coef 
2ª linha 
(-0,5)
0 -0,5 0 0,023 -0,091 0 -1,59
+ 
Segunda 
Linha
0 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Nova 
Segunda 
Linha
0 0 1 0,273 -0,091 0 0,91
Não recalculamos a terceira linha, pois ela se tornou a Linha Pivô.
Calculando a nova 4ª linha:
NLP 0 1 0 -0,045 0,182 0 3,18
x coef 
4ª linha 
(-1,5)
0 -1,5 0 0,068 -0,273 0 -4,77
+ Quarta 
Linha
0 1,5 0 0,25 0 1 32,5
Nova 
Quarta 
Linha
0 0 0 0,318 -0,273 1 27,73
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Nova tabela.
Z X1 X2 XF1 XF2 XF3 b
1 0 0 1,227 0,091 0 14,09
0 0 1 0,273 -0,091 0 0,91
0 1 0 -0,045 0,182 0 3,18
0 0 0 0,318 -0,273 1 27,73
Solução:
Variáveis Básicas – VB Variáveis Não Básicas - VNB Valor de Z
São as que apresentam 
valores zerados ou com valor 
de 1.
X1 = 3,18
X2 = 0,91
XF3 = 27,73
É necessário que XF1 e XF2 
cheguem ao valor de zero 
que o valor atribuído a Z seja 
verdadeiro.
XF1 = 0
XF1 = 0
Z = 14,09
Solução ótima encontrada.
Observe que, na linha 1, encontramos apenas coeficientes zerados ou 
positivos. Esse é o indicativo de que se encontrou a solução ótima para o 
PPL.
No Estudo Complementar desta Unidade, o estudante encontrará outro 
exemplo de desenvolvimento do Simplex.
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10 Teoria do Método Simplex
Objetivo
Apresentar os fundamentos teóricos do Método Simplex.
A pesquisa operacional está baseada em teoremas, os quais apresentamos 
abaixo:
• Teorema I
• O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de 
Programação Linear formam um conjunto convexo.
• Teorema II
• Toda solução compatível básica, do sistema de equações lineares 
de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do 
conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de 
soluções.
Segundo Lachtermacher (2005), os teoremas acima podem ser explicados 
assim:
O Método Simplex:
• Baseia-se nas variáveis de FOLGA
• Base para os relatórios de Sensibilidade do software SOLVER
• Sistema com n variáveis e m equações
• Seleciona m variáveis (BÁSICAS)
• As demais assumem valor = 0 (NÃO BÁSICAS)
• Calcula Função Objetivo para cada rodada
• Escolhe a de maior valor
• Para Problemas mais Complexos
• Solução via Excel
• Ferramenta Solver
As ferramentas de solução de problemas de pesquisa operacional através 
de computadores serão apresentadas na Unidade 15.
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Considere a solução gráfica do problema
• Teorema III
• Se a função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo menos 
uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de 
soluções viáveis.
• Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto 
extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo 
valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses 
pontos extremos.
Verificação Geométrica do Teorema III
• O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca. Logo, o 
valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido, deslocando-se o 
máximo ou o mínimo a função-objetivo.
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Entretanto, a função-objetivo pode assumir uma inclinação, tal que no 
ponto ótimo ela coincida com a inclinação de alguma restrição.Considere a solução gráfica do problema
A lógica do método simplex se baseia em buscar a solução ótima do 
problema na interseção de duas ou mais linhas ou planos. O processo 
utilizado consiste em uma sistemática específica de resolução de equações 
simultâneas. Na literatura, são encontradas diversas variantes do método 
simplex.
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Resumo
A utilização de modelos de otimização tem como objetivo encontrar, 
entre todas as possibilidades, a melhor solução possível. Sendo assim, 
a solução para o problema modelado, dentro do ponto de vista da 
otimização, deve ser única.
Atualmente, a programação linear é uma ferramenta-padrão que ajudou 
e ajuda grandes e médias empresas a reduzirem custos. A programação 
linear não é usada só em empresas. Seu emprego se espalhou muito 
rápido em outros setores da sociedade. Grande parte da computação 
científica usada em computadores dedica-se ao uso da programação 
linear. 
Quando estamos diante de um problema, temos o costume de organizar 
o comportamento das variáveis e das limitações de forma linear em 
detrimento de alternativas matemáticas mais sofisticadas como, por 
exemplo, as não lineares: inversa, logarítmica, ou quadrática. Através 
dessa perspectiva, a programação linear assume o papel de um padrão das 
técnicas de otimização.
Segundo Moreira (2010), o Simplex é uma metodologia que envolve 
uma sequência de cálculos repetitivos por meio dos quais é possível 
chegar à solução de um problema de programação linear (PPL). Essa 
sequência de cálculos recebe o nome de algoritmo.
A pesquisa operacional está baseada em teoremas, os quais apresentamos 
abaixo:
• Teorema I
• O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de 
Programação Linear formam um conjunto convexo.
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• Teorema II
• Toda solução compatível básica, do sistema de equações lineares 
de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do 
conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de 
soluções.
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11 Solução de Problemas de Progra-mação Linear: Método Gráfico
Objetivo
Apresentar a solução de problemas, utilizando gráficos.
A técnica de resolução de problemas consiste em representar o conjunto 
das possíveis soluções num sistema de eixos ortogonais. Apresenta-se 
o conjunto de pontos (x1, x2) que obedecem ao grupo de restrições 
impostas pelo problema em estudo. O resultado será a representação da 
função objetivo nas posições que o gráfico oferecer.
Por se tratar de programação linear, a representação gráfica da equação 
com duas ou mais variáveis se dará em uma reta. A representação das 
inequações lineares formará os semiplanos formados pela reta da equação.
Exemplo apresentado por Silva et al (2010):
Representar graficamente a inequação x1 + 2x2 >= 10
a.Construir a reta correspondente à equação: x1 + 2x2 = 10 (acompanhe 
no gráfico)
Para que o gráfico seja construído, precisamos de dois pontos:
Fazendo x1 = 0 teremos: 2x2 = 10, logo x2 = 5
Fazendo x2 = 0 teremos: x1 = 10
b.Testar a inequação: x1 + 2x2 >= 10
Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta, por 
exemplo o ponto (x1 = 10, x2 = 5).
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Substituindo na inequação:
10 + 2 x 5 >= 10 ou 20>=10, o que é verdadeiro, portanto a região das 
soluções da inequação é aquela que contém o ponto testado.
A substituição dos valores de X1 e X2 visam auxiliar o aluno a encontrar 
os pontos a serem ligados no gráfico (reta). Assim, como o resultado bom 
é com valores maiores ou iguais (>=) a 10, os pontos abaixo da reta não 
satisfazem o modelo, logo, nenhum ponto abaixo da reta (5,10) faz parte 
da solução ótima para o problema proposto.
Avaliação do objetivo
Utilizando gráficos para solucionar Problemas de Programação Linear.
Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução 
ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada 
graficamente.
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12 Solução de Problemas de Progra-mação Linear: Dualidade
Objetivo
Mostrar como fazer uso dos modelos da programação linear.
Alguns autores, como Puccini (1972), Hillier e Lieberman (2006) 
difinem a dualidade como a probabilidade de existir um algoritmo 
simétrico (dual) para cada modelo original (primal) de programação 
linear e ambas conduzem para uma mesma solução.
Para todo modelo de maximização (ou minimização), existe outro modelo de 
minimização (ou maximização). O problema que dá origem (maximizar ou minimizar) 
é chamado de primal e o subsequente (minimizar ou maximizar), de dual. Os valores 
otimizados das funções objetivo do primal e do dual são iguais. O dual representa os 
custos internos (preços sombra) e pode ser obtido do quadro ótimo Simplex. (PASSOS, 
p.141, 2008)
Existe um protocolo para converter o algoritmo primal em seu algoritmo 
correspondente dual. Primeiro, deve-se definir as variáveis duais e a 
quantidade de restrições do modelo dual. Em seguida, é estabelecida a 
função-objetivo dual. E por último, as restrições duais.
Em um problema, a definição das variáveis duais está diretamente ligada 
ao número de restrições do modelo primal. Sendo assim, o modelo dual 
e o modelo primal terão o número de restrições na mesma proporção. 
No exemplo a seguir de Longaray (2013), a variável dual será 
representada de maneira matemática por yn, onde n representa o número 
de restrições do algoritmo primal que ela foi originada.
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min Z=20x1+30x2
Sujeito a:
x1+6x2≥18
30x1+15x2≥90
3x1+6x2≥30
x1≥ 0;x2≥0
Vimos que, no exemplo dado, o modelo primal possui três restrições, 
sendo assim, seu modelo dual terá três variáveis duais, y1, y2, e y3, vindas 
respectivamente das restrições do problema primal.
O que determina o número de restrições do modelo dual é o número de 
variáveis do modelo primal. O número de variáveis originais (x1, x2, ..., 
xn) do modelo primal mostra a quantidade de restrições que o modelo 
dual terá. Nesse nosso exemplo, onde o algoritmo primal é composto 
pelas variáveis x1 e x2, teremos ,assim, o modelo dual composto por duas 
restrições.
Quando for estabelecida a quantidade de variáveis e restrições que irá 
formar o modelo dual, poderá, então, dar início ao processo de conversão 
da função-objetivo e das restrições do modelo primal e do algoritmo 
dual.
A função-objetivo de um modelo de programação linear é formada por 
seu objetivo seja ele maximizar ou minimizar e a soma dos produtos dos 
coeficientes dos objetivos e das variáveis (x1, x2, ..., xn ou y1, y2, ..., yn) do 
modelo a ser executado.
O objetivo de um modelo dual sempre será oposto do modelo primal, 
sendo assim, o objetivo primal de minimizar cria um objetivo dual de 
maximizar e vice-versa.
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A letra D represenda o objetivo dual no lugar de Z.
Na função-objetivo dual, o coeficiente da variável dual virá de uma 
restrição primal cujo teor independente é bi.
Vejamos o seguinte exemplo onde se tem a seguinte função-objetivo 
dual:
max D=18y1+90y2+30y3
Vemos que a função-objetivo do exemplo usado é formada pelo objetivo 
de maximização, em que temos três variáveis duais y1, y2 e y3 (devido o 
modelo primal possuir três restrições) e pelas componentes 18, 90 e 30 
(termos independentes das restrições primais).
Em um modelo de programação linear, suas restrições são formadas no 
lado esquerdo com suas variáveis e seus coeficientes acompanhados por 
um sinal lógico (≤,=ou ≥). No lado direito, está o termo independente da 
expressão matemática.
Já vimos que cada variável de decisão do primal gera uma restrição do 
modelo dual. Assim, o lado esquerdo de uma restrição dual é composto 
por uma coluna de coeficientes da variável que gera o modelo primal, 
onde são multiplicados, termo a termo, pela variável dual derivada da 
respectiva restrição dual.
A restrição dual terá sempre como sinal lógico o sinal oposto da restrição 
do modelo primal. Ou seja, se no primal a restrição for com o sinal ≥, a 
restrição dodual será ≤.
Em uma restrição dual, o termo independente ci, equivale ao coeficiente 
da variável que gerou essa restrição na linha da função-objetivo do 
primal.
Vejamos no exemplo a seguir em que a primeira restrição dual é dada por:
1y1+30y2+30y3≤20
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Veja que os coeficientes que estão do lado esquerdo da primeira 
restrição dual foram tirados da coluna da variável x1 nas três restrições 
correspondentes do modelo primal e multiplicadas por suas respectivas 
variáveis duais, y1, y2 e y3.
Nesse exemplo, as restrições do primal são todas com o sinal ≥, sendo 
assim, as restrições do dual serão com o sinal ≤.
A primeira restrição do dual, do lado direito, é o coeficiente da variável x1 
na função-objetivo primal.
Continuando na mesma linha de raciocínio, temos a segunda restrição 
dual originada da variável x2:
6y1+15y2+6y3≤30
As variáveis duais devem sempre obedecer à situação de não negatividade 
da programação linear y1≥0; y2≥0;e y3≥0.
O modelo dual completo fica da seguinte forma:
maxD=18y1+90y2+30y3 
Sujeito a:
1y1+30y2+3y3≤20
6y1+15y2+6y3≤30
y1≥ 0;y2≥0 e y3≥0
Dentro do processo para converter um modelo primal para um modelo 
dual, vistos nos exemplos anteriores, as únicas situações que não foram 
comentadas são as que têm uma variável livre no algoritmo primal ou 
quando uma das retrições possui o sinal lógico de =.
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Em casos em que o modelo primal possuir uma variável livre de sinal, a 
restrição dual gerada dessa variável terá o sinal de igualdade como sinal 
lógico.
Vejamos este exemplo:
maxZ=4x1+6x2
Sujeito a:
2x1+3x2≤8
6x1+7x2≤10
x1≥ 0;x2 _____ livre
O modelo dual correspondente será:
minD=8y1+10y2 
Sujeito a:
2y1+6y2≥4
3y1+7y2=6
y1≥ 0;y2≥0
Quando a situação for o contrário, em que a restrição do modelo dual 
possuir sinal de igualdade, a variável do modelo dual correspondente será 
livre de sinal.
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Vejamos o exemplo a seguir:
minZ=13x1+12x2+14x3
Sujeito a:
3x1+2x2+4x3≥17
6x1+9x2+2x3≥23
1x1+1x2+1x3=10
x1≥ 0;x2 e x3≥0
Transformando e modelo dual, fica da seguinte forma:
maxD=17y1+23y2+10y3 
Sujeito a:
3y1+6y2+1y3≤13
2y1+9y2+1y3≤12
34+2y2+1y3≤14
y1≥ 0;y2≥0 e y3 ____livre 
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13 O Papel da Teoria da Dualidade na Análise da Sensibiliadade
Objetivo
Compreender o papel da dualidade dentro da análise da sensibilidade 
e como isso acontece.
A análise de sensibilidade nada mais é do que investigar o efeito na 
solução ótima de um problema, quando são realizadas mudanças nos 
valores dos parâmetros de modelo aij, bi e ci. No entanto, ao modificar 
esses valores no problema primal, consequentemente também serão 
modificados os valores correspondentes no modelo dual. Com isso, 
é possível escolher qual problema utilizar na investigação mudança. 
Devido ao inter-relacionamento primal-dual é muito fácil fazer a 
alternância entre os dois tipos de problema, se for preciso. Em algumas 
situações é melhor analisar o problema dual primeiro, para determinar o 
efeito da complementaridade no problema primal.
Suponhamos que as mudanças que foram feitas no modelo original sejam 
nos coeficientes de uma variável que era não básica na solução original 
ótima. Qual seria o efeito dessas mudanças na solução? O resultado ainda 
seria viável e ótimo?
Devido à variável envolvida ser não básico, ou seja, com o valor igual a 
zero, alterar seus coeficientes não poderá afetar a viabilidade da solução. 
Uma só é equivalente, quando a solução básica complementar para o 
problema dual continuar viável, mesmo após sofrer alterações, visto 
que essas alterações atingem o problema dual, modificando apenas uma 
restrição.
As variáveis de decisão normalmente representam os níveis das atividades 
consideradas em determinado problema. Em alguns casos, essas 
atividades seriam escolhidas em um grupo maior de atividades possíveis, 
onde as atividades remanescentes não foram incluídas no modelo 
original, por serem menos atrativas. Ou essas atividades não tinham 
aparecido até o modelo original ter sido formulado ou resolvido.
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A questão é que se essas atividades, que até então não tinham sido 
consideradas, se tornarem interessantes ao serem acrescentandas ao 
modelo modificaria a solução ótima original?
Quando se acrescenta outra atividade no modelo original isso, implica 
incluir uma nova variável com suas respectivas restrições, coeficientes 
e função-objetivo. A única mudança resultante no problema dual é 
adicionar uma nova restrição.
Depois de executar essas mudanças, a solução ótima original mais a 
nova variável (não básica) = 0, continuaria sendo ótima para o problema 
primal? A solução básica complementar para o problema dual ainda seria 
satisfatória? Essas questões podem ser respondidas ao verificar se essa 
solução básica complementar satisfaz uma restrição. Nessa situação, é a 
nova restrição para o problema dual.
Vejamos no exemplo a seguir a inclusão de uma nova atividade:
maxZ=3x1+5x2+4xnova 
Sujeito a:
x1+2xnova≤4
2x2+3xnova≤12
3x1+2x2+xnova≤18
e
x1≥ 0; x2≥0 e xnova≥0
Supondo que a solução ótima original para esse problema sem xnova era 
(x1,x2,x3,x4,x5) = (2, 6, 2, 0, 0). A solução junto com xnova=0 ainda seria 
ótima?
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Para responder essa pergunta, é preciso verificar a solução básica 
complementar para o problema dual. Suponha que a solução básica 
complementar dual seja o exemplo a seguir:
(y1,y2,y3,z1- c1,z2- c2 )=(0,3/2,1,0,0)
Essa solução é ótima para o problema dual original. Será que ela 
continuaria ótima com a nova restrição dual?
2y1+3y2+y3≥4
Acrescentando essa solução, temos:
2(0)+3(3/2)+(1)≥4
O resultado continua satisfatório, visto que a solução dual ainda é 
viável (a solução continua sendo ótima). Por consequência, a solução 
primal original (2, 6, 2, 0, 0), juntamente com xnova=0, ainda continua 
ótima. Sendo assim, é possível que essa terceira nova atividade não seja 
conveniente ser agregada à equação.
Esse método facilita a realização da análise de sensibilidade nos 
coeficientes de uma nova variável agregada ao problema primal. Através 
da verificação da nova restrição dual, é possível observar o quanto 
cada um dos valores desses parâmetros podem ser modificados, antes 
de interferir na viabilidade da solução dual, consequentemente, a 
otimalidade da solução primal.
Vimos duas aplicações importantes da teoria da dualidade na análise de 
sensibilidade, onde é possível ver como Z mudaria se fossem realizadas 
pequenas alterações em bi.
Ao averiguarmos a consequência de se modificar os valores de bi e aij 
(para variáveis básicas), a solução ótima obtida originalmente pode se 
transformar em uma solução básica super ótima.
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Para reotimizar e identificar a nova solução ótima original, é preciso 
aplicar o método simplex dual começando com a solução básica.
Para ter um resultado mais eficiente, o mais viável é resolver o problema 
dual através do método simplex, a fim de identificar a solução ótima 
para o problema primal. Através desse método, ao encontrar a solução, a 
análise de sensibilidade para o problema é direcionada ao problema dual.
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14 Análise de Sensibilidade em Pro-gramação Linear
Objetivo
Conhecer o efeito gerado por mudanças em dados dos problemas de 
programação linear nos resultados encontrados.
Nesta unidade, veremos como uma variação nos dados de entrada afeta a 
solução ótima. É importante saber como isto ocorre: Técnicas de Análise 
de Sensibilidade ou Análise de Pós-otimalidade.
1. Quando há dados controláveis (capital, capacidade de produção), a 
análise de sensibilidade permite estudar quais alterações nestes dados 
são convenientes. Exemplo: compensa usar horas-extras na produção 
de um dado bem? 
2. Quando há dados obtidos por métodos estatísticos (previsão de 
vendas), a análise de sensibilidade permite detectar quais dados são 
mais relevantes e devem ser obtidos com maior acuracidade.
Os seguintes efeitos de alteraçõesnos dados serão estudados: 1. Mudança 
nos valores de coeficientes de custos (vetor C); (a) para variáveis básicas 
na solução ótima do modelo. (b) para variáveis não-básicas na solução 
ótima do modelo. 2. Mudança nos valores das constantes nas restrições 
(vetor b) 3. Mudanças nas restrições (matriz A): (a) acréscimo de uma 
nova variável. (b) alterações nas colunas da matriz de coeficientes das 
variáveis nas restrições. ( c) acréscimo de novas restrições.
A apresentação da técnica de Análise de Sensibilidade será feita através 
do exemplo abaixo: Uma empresa deseja planejar a produção de seus três 
produtos: a, b, c. Os lucros unitários associados à venda de cada produto 
são, respectivamente, US$ 2, US$ 3 e US$ 1. Utiliza-se dois tipos de 
Insumos (Recursos) para a produção: trabalho (há 1 unidade) e matéria-
prima (há 3 unidades). Sabendo-se quanto cada Produto utiliza de cada 
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Recurso, o Departamento de Pesquisa Operacional da empresa formulou 
o modelo abaixo, visando à produção ótima dos produtos a, b, c:
Sejam X1, X2 e X3 as quantidades a produzir de cada produto, a, b, c:
Solução ótima: lucro total ótimo = US$ 8, produzir 1 unidade produto 
a, 2 unidades produto b, não produzir o produto c.
Obter informações acerca de esquemas alternativos de produção 
Muitas vezes estas informações são mais interessantes que a própria 
solução ótima.
(a)Para variáveis básicas na solução ótima do modelo – Por exemplo pode 
interessar saber para quais valores de c1 (Lucro Unitário do Produto a) a 
solução da Tabela 2 permanece ótima. A intuição indica que:
Se c1 deve diminuir a produção do produto a. 
Se c1 deve aumentar a produção do produto a. 
Conclusão: Deste modo, deve haver um intervalo onde c1 varia de tal 
forma, que a solução da Tabela 2 não se altera.
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Fonte: http://www.feg.unesp.br/~fmarins/po/slides/2o.s/An%E1lise%20
de%20Sensibilidade.pdf 
Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção 
Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá UNESP
Análise de Sensibilidade
Solução Gráfica ou Análise Gráfica – Na solução gráfica, pode-se 
observar pequenas variações nos coeficientes e o efeito na função 
objetivo.
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A Análise do Coeficientes – utilizando regressão linear, é possível 
observar as eventuais variações nos coeficientes e o efeito no resultado.
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Análise do Excel (Solver) - abaixo apresenta-se o relatório de 
sensibilidade do Solver.
A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de 
certeza nos coeficientes e constantes.
Em uma análise de sensibilidade, queremos responder basicamente duas 
perguntes:
• Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função-objetivo?
• Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição?
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Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade:
Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da 
função-objetivo e constantes das restrições:
Hipótese de uma alteração a cada momento.
A análise de sensibilidade, ou análise pós-ótima é um conjunto 
de técnicas que, de forma bastante simples (em PL), nos fornece 
informações sobre a sensibilidade da solução ótima a alterações na 
formulação do problema.
Analisaremos em nossos estudos os seguintes casos:
1. Variações nos coeficientes da FO;
2. Variações nas quantidades dos recursos;
3. Acréscimo de variável;
4. Acréscimo de restrição.
Com essas análises, poderemos responder perguntas do tipo “Dentro 
de que intervalo pode o preço de venda do produto x variar, sem 
afetar a solução ótima?”, “Como seria afetada a decisão ótima, se a 
disponibilidade do recurso b fosse reduzida de k unidades?”, “Seria 
interessante fabricar um determinado produto que hoje não faz parte da 
minha programação de produção?”. 
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15 A Otimização e o Uso de Planilhas Eletrônicas
Objetivo
Apresentar a utilização de planilhas eletrônicas como ferramenta útil 
de solução de problemas de programação linear.
A otimização utilizando planilhas eletrônicas pode ser facilitada através 
do Solver do Microsoft Excel.
O estudante deverá buscar um conhecimento mínimo desse aplicativo de 
planihas eletrônicas.
O Solver deverá ser ativado no Excel 
Para que a programação linear possa ser útil à tomada de decisões, esse 
ramo da matemática, também conhecido como métodos quantitativos, 
pode ajudar na contabilidade gerencial, análise de projetos, análise de 
carteiras de investimento, dentre outras aplicações.
A utilização do Excel para a solução de problemas de programação linear 
será apresentada, utilizando o exemplo abaixo:
A Indústria Maximóveis pretende escolher entre 2 produtos. Qual o mix 
ideal de quantidades a serem produzidas, a fim de utilizar de maneira 
eficiente os recursos da fábrica, seja em mão de obra ou equipamentos 
disponíveis?
O exemplo apresentado por Corrar e Teóphilo (2011) é o seguinte:
A Indústria Maximóveis fabrica dois tipos de produtos: cadeiras e mesas. 
Os produtos apresentam as seguintes margens de contribuição (MCT) 
por unidade:
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Produto
Margem de Contribuição por unidade 
($0)
Cadeiras 10
Mesas 8
Os produtos são processados por dois departamentos: montagem e 
acabamento. Ao passar por esses departamentos, cada unidade do 
produto consome determinado número de horas, conforme indicado 
abaixo:
Departamento
Consumo de horas pelos produtos (em 
un.)
Cadeiras Mesas
Montagem 3 3
Acabamento 6 3
Os departamentos apresentam, contudo, limitação em sua capacidade 
produtiva, como mostra-se abaixo:
Departamento Capacidade máxima disponível em horas
Montagem 30
Acabamento 48
Deseja-se saber qual é a melhor combinação possível de cadeiras e mesas 
a serem produzidas, de forma a obter a maior margem de contribuição 
total?
Para os cálculos e simulações abaixo, utilizou-se o Microsof Excel 2010.
Passo 1: Elaboração da Planilha
A planilha do caso Indústria Maximóveis é mostrada na figura a seguir:
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Figura xx. Montagem do problema no Excel para utilização do Solver
Os dados iniciais do problema são informados nas seguintes células:
• B5 e C5 – margens de contribuição unitárias dos produtos;
• B8 e C9 – tempo gasto pelos produtos em cada departamento;
• E8 e E9 – capacidade produtiva dos departamentos.
As variáveis de decisão – quantidade de cadeiras © e de mesas (M) a 
serem produzidas – estão representadas nas células B4 e C4. Essas células 
são inicialmente preenchidas com zeros. Poderiam, mesmo, ficar vazias, 
porque ainda não se sabe qual quantidade de produtos deve ser fabricada. 
Após o emprego da ferramenta computacional, essas células apresentarão 
a solução do problema.
A função-objetivo do problema é representada pela expressão MCT = 
10C + 8M. A equação está reproduzida na célula D5 da planilha: D5 = 
(B5 * B4) + (C5 *C4).
As fórmulas das restrições são: 
Depto de Montagem = 3C + 3M ≤ 30
Depto de Acabamento = 6C + 3M ≤ 48
Essas fórmulas estão reproduzidas nas células D8 e D9 
D8: = (B8*B4)+(C8+C4)
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D9: = (B9+B5)+(C9+C4)
Passo 2: Especificar os parâmetros do Solver
A ferramentar solver precisa ser habilitada para aparecer no Menu Dados, 
da seguinte forma.
No Excel 2010, selecionar Aquivo, Opções:
Escolher Suplementos
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e sem seguida do lado direito escolher Suplementos do Excel e clicar em Ir.
Selecionar o Solver.
Pronto. Agora é só ir à Guia dados e verá o Solver no canto superior 
esquerdo.
Figuraxx: Guia Dados com a opção do Solver
Clicar no Solver e alimentar as caixas de diálogo com os dados do 
problema.
Figura x: Parâmetros do Solver
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Preencher a célular de destino que corresponde à função objetivo. 
Como indicado anteriormente, a função-objetivo de nosso exemplo está 
representada na célula D5.
Observe que existe a opção de Maximizar, Minimizar e escolher um 
Valor Determinado. Por padrão a opção Maximizar vem marcada.
No campo, Alterando Células Variáveis,escolher B4 a C4 clicando e 
selecionado ou escrevendo da seguinte forma: $B$4;$C$41 .
Passo 3: Adicionar as Restrições
É necessário adicionar as restrições do problema, para que o Solver possa 
efetuar os cálculos.
No quadro Sujeito às Restrições, clique em Adicionar para informar as 
restrições do problema:
Figura xx: Inclusão das Restrições
Basta clicar e informar a célula da restrição, no caso:
• D8. Infomar da seguinte forma $D$8.
• Escolher o sinal de maior ou igual, menor ou igual, igual ou outro. 
No caso, escolher menor ou igual e indicar a restrição. O limite 
daquela restrição. Infomar o valor de 30. Ou o estudante pode 
escolher a célula que contém esse valor, no caso a célula E8.
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Escolher de novo o botão adicionar e indicar a segunda restrição.
O quadro deverá ficar assim:
Figuraxx: Quadro com as restrições do problema
É recomendado selecionar Método de Solução. Escolher Simplex LP.
Clicar em Opções.
Preencher o tempo de cálculo e as interações.
Figura xx: Opções do Solver
Em seguida clicar OK.
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Clicar em Resolver.
O Solver apresenta a seguinte caixa:
Abaixo os resultados apresentados:
Figura xxx: Plhanilha final com o resultado do problema.
Figuraxxx: Relatório do Solver
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Figura xxx: Relatório de Sensibilidade
Figura xxx: Teste dos Limites
O aluno deverá observar nos resultados que a solução ótima que retornou 
92 como a maior Margem de Contribuição possível utilizou o total de 
horas disponíveis dos Departamentos de Montagem e Acabamento.
Ocorre que as restrições impunham a necessidade de se escolher a 
quantidade a ser produzida de cadeiras e mesas. O mix final de produção 
que maximizou o resultado desejado, a margem de contribuição (lucro), 
foi produzir 6 cadeiras e 4 mesas.
Desde a montagem da Função Objetivo, já era possível deduzir que 
seriam produzidas mais cadeiras que mesas num cenário de maximização. 
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MCT = 10C + 8M. Como as cadeiras apresentavam uma maior 
contribuição à Margem de Contribuição, era de se deduzir que seriam 
produzidas em maior quantidade que as mesas.
OUTRAS OPÇÕES
Além do Excel, existem softwares de simulação úteis à solução de 
problemas de programação linear.
Um desses softwares é o LINDO. LINDO (Linear, INteractive, and 
Discrete Optimizer) é uma conveniente, mas poderosa ferramenta para 
resolver Problemas de Programação linear, inteira e quadrática.
O software pode ser baixado gratuitamente no site O que é o LINDO? 
LINDO (Linear, INteractive, and Discrete Optimizer) é uma 
conveniente, mas poderosa ferramenta para resolver Problemas de 
Programação linear, inteira e quadrática. O seu uso é simples e pode 
facilitar cálculos demorados e eventualmente tediosos.
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Resumo
A unidade 11 apresenta o método gráfico para solução de problemas. 
Assim, pode-se ver a interação das restrições no plano cartesiano, a 
delimitação trazida pelas variáveis de forma visual e descomplicada. 
A unidade 12 trabalha com a forma dual que é obtida diretamente do 
quadro de solução do método simplex.
Já a unidade 13 apresenta a análise de sensibilidade, ou seja, investida 
o efeito na solução ótima de pequenas mudanças nos parâmetros do 
modelo, primeiro na forma dual e depois de forma mais geral na unidade 
14.
Na unidade 15, é apresentada a possibilidade de solução de problemas 
de programação linear, utilizando planilhas eletrônicas, especialmente o 
Microsoft Excel e a ferramenta Solver.
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Glossário
Brainstorming
Tempestade de ideias; técnica definida pela apresentação espontânea de 
pensamentos e ideias, tendo como propósito solucionar alguma questão, 
problema ou produzir algo criativo.R
Otimizar
Ocasionar circunstâncias mais proveitosas para; retirar o que há de melhor 
em; aprimorar, melhorar, otimizar o desenvolvimento do produto, otimizar 
as condições de trabalho. R
Variável
Representação de um evento físico que possa assumir diferentes valores 
em função de alterações em outros elementos que façam parte de seu 
contexto. R
Constante
Evento cujo valor não sofre mudança, independentemente das alterações 
realizadas em outros componentes do modelo. R
Algoritimo
Sequência definida e limitada de instruções que podem ser executadas de 
forma desencadeada e ordenada, de acordo com um roteiro lógico. R
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Referências
ANDRADE, Eduardo Leopoldo. Introdução à pesquisa operacional : métodos 
e modelos para análise de decisões. 5. ed. - Rio de Janeiro : LTC, 2015
BARBOSA, M. A.; Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. 
Curitiba: Ibpex, 2010. 
BLACKETT, P. Studies of War; nuclear and conventional. Londres: Oliver & 
Boyd, 1962.
BRONSON, R. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1985.
CAIXETA-FILHO, José Vicente. Pesquisa operacional: técnicas de otimização 
aplicadas a sistemas agroindustriais – 2. ed. – 5 reimpr. – São Paulo: Atlas, 2011.
ERLICH, P. Modelos quantitativos de apoio às decisões – I. Revista de 
Administração de Empresas, São Paulo, v. 36, n. 1, p. 33-41, jan/fev./mar. 1996.
HILLIER, F.; LIEBERMAN, G. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: 
Campus, 1988.
HILLIER, F.; LIEBERMAN, G. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2006.
ISHIKAWA, K. Controle da qualidade total à maneira japonesa. Rio de Janeiro: 
Campus, 1993.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de 
Janeiro: Editora Campus, 2006. 
LACHTERMACHER G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 4. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall; 2009.
LAUDON, K.; LAUDON, J. Sistemas de informações gerenciais. Rio de 
Janeiro: Perason, 2004.
LOESCH, Cláudio; HEIN, Nelson. Pesquisa operacional: fundamentos e 
modelos. São Paulo: Saraiva, 2009.
www.esab.edu.br 88
LONGARAY, A. A. Notas de aula do curso de metodologia de análise e 
solução de problemas. Rio Grande, 2010.
LONGARAY, A. A. Estruturação de situações problemáticas baseada na 
integração da Soft Systems Methodology e da MCDA Construtivista. 2004. 
396 f. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) – Programa de Pós-
Graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, 
Florianópolis, 2004.
MOREIRA, D.A. Pesquisa operacional: curso introdutório. São Paulo: Editora 
Thompson, 2007. 
OSBORN, A. Applied imagination: principles and procedures of creative 
problem solving. New York: Charles Scribner’s Sons, 1953.
PHILLIPIS, D.; RAVIDRAN, A.; SOLBERG, J. Operations reseach. New York: 
John Wiley & Sons, 1976.
PUCCINI, A. L. Introdução à programação linear. Rio de Janeiro: LTC, 1972.
SILVA, E. M. da. Pesquisa operacional: programação linear . 3. ed. . São Paulo: 
Atlas, 1998. 
SAWYER, F.: CHARLESBY, A.: EATERFIELD, T.: TREADWELL, E. 
Reminiscenses of operational research in World War II by some of its practioners. 
Journal of the Operational Research Society, v. 40, n 2, p. 115-136, 1989.
SMITH, G Defining managerial problemas: a framework for prescriptive 
theorizing. Management Science, v.35, n.8 p. 963-981, 1989.
TAHA, H. A. Pesquisa operacional: uma visão geral. 8.ed. São Paulo: Pearson 
Prentice hall, 2008.