Magnetismo e Eletromagnetismo

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Indaial – 2019
MagnetisMo e 
eletroMagnetisMo
Prof. Jaison Rodrigo da Costa
Prof.a Liana Graciela Heinig
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof. Jaison Rodrigo da Costa
Prof.a Liana Graciela Heinig
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
C837m
Costa, Jaison Rodrigo da
Magnetismo e eletromagnetismo. / Jaison Rodrigo da Costa; Liana 
Graciela Heinig. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
155 p.; il.
ISBN 978-85-515-0424-6
1. Magnetismo. - Brasil. 2. Eletromagnetismo. – Brasil. I. Heinig, 
Liana Graciela. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 537 
III
apresentação
Olá, acadêmico! Neste material sobre magnetismo e eletromagnetismo 
mergulharemos no maravilhoso universo das propriedades magnéticas da 
matéria. Ao final da disciplina, você será capaz de compreender fisicamente 
como funciona uma bússola, ímãs, a importância do campo magnético na 
Terra, como se formam as auroras boreais, as importantes Equações de 
Maxwell e a implicação física de cada uma, entre outros fenômenos incríveis!
O magnetismo se desenvolveu com o estudo das propriedades 
magnéticas dos ímãs e dos materiais ferrosos. Até no início do século XIX, 
os fenômenos elétricos e magnéticos foram estudados separadamente, de 
forma independente e distintos um do outro. Entretanto, em 1820, o físico 
Oersted estabeleceu relações que mudaram a visão das duas áreas. Oersted 
mostrou a relação existente entre as duas áreas da Física, nascendo então o 
eletromagnetismo.
Na Unidade 1 estudaremos o campo magnético, a força magnética 
e o campo gerado por correntes elétricas, em que aprofundaremos e 
compreenderemos de forma mais clara como aconteceu a fusão da eletricidade 
e do magnetismo.
Se podemos gerar um campo magnético a partir de uma corrente 
elétrica, será que o inverso é possível? Surpreendentemente, podemos 
verificar o fenômeno inverso: um campo magnético pode produzir uma 
corrente elétrica. Este será o tema de estudo da Unidade 2, tal que nosso 
objeto de estudo será a indutância e indutores em circuitos elétricos. 
Para finalizar, a Unidade 3 contemplará o estudo das equações de 
Maxwell, e veremos que praticamente todos os princípios físicos podem ser 
resumidos nas quatro equações de Maxwell. 
Esperamos que você desfrute do material que foi preparado com 
muito cuidado nos detalhes, para que você, como futuro professor, transcenda 
o conhecimento escolar e transforme a vida de muitos estudantes. Complete 
seu estudo resolvendo as autoatividades, acompanhando as aulas e sanando 
suas dúvidas com a equipe da UNIASSELVI. 
Bons estudos.
Prof. Jaison Rodrigo da Costa
Prof.a Liana Graciela Heinig
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você terá 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
VII
UNIDADE 1 – CAMPO MAGNÉTICO .................................................................................................1
TÓPICO 1 – CAMPO MAGNÉTICO .....................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 CONCEITO DE CAMPO ......................................................................................................................4
2.1 ÍMÃS ....................................................................................................................................................5
2.2 BÚSSOLAS ..........................................................................................................................................7
2.3 CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE .............................................................................................9
2.4 AURORA POLAR ............................................................................................................................10
2.5 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR ATIVIDADE CEREBRAL .........................................11
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................13
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................14
TÓPICO 2 – FORÇA MAGNÉTICA ....................................................................................................15
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................15
2 ESTUDO DA FORÇA MAGNÉTICA ...............................................................................................16
3 TRAJETÓRIAS CIRCULARES ..........................................................................................................18
4 FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE ...................................20
5 TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE ................................................22
6 ENERGIA EM UM DIPOLO MAGNÉTICO ...................................................................................24
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................25
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................33
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................34TÓPICO 3 – CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES .............................37
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................37
2 CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR CORRENTE ...........................................................37
3 FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS .....................................................................40
4 LEI DE AMPÈRE ...................................................................................................................................42
5 SOLENOIDES E TOROIDES .............................................................................................................43
6 BOBINA PERCORRIDA POR CORRENTE E O ESTUDO 
DOS DIPOLOS MAGNÉTICOS .......................................................................................................45
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................47
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................48
UNIDADE 2 – CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA ....................51
TÓPICO 1 – INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ..............................................................................53
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................53
2 A DESCOBERTA DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ..........................................................53
3 FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA ...........................................................................................55
4 LEI DE FARADAY .................................................................................................................................57
4.1 FORMAS DE VARIAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO ..............................................................60
suMário
VIII
5 LEI DE LENZ..........................................................................................................................................63
6 A GUITARRA ELÉTRICA ...................................................................................................................68
7 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS ...............................................................................................69
8 INDUTORES E INDUTÂNCIA .........................................................................................................70
9 AUTOINDUÇÃO ..................................................................................................................................72
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................73
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................86
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................87
TÓPICO 2 – CIRCUITOS
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................89
2 CIRCUITOS RL .....................................................................................................................................89
3 ENERGIA MAGNÉTICA ....................................................................................................................93
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................95
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................96
TÓPICO 3 – OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA ...............97
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................97
2 OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC ............................................................................................97
3 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS – RLC .........................................................................................101
4 CORRENTE ALTERNADA ...............................................................................................................103
5 TRANSFORMADORES ....................................................................................................................104
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................108
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................110
UNIDADE 3 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL...................111
TÓPICO 1 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS ...............................................................................113
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................113
2 CARACTERÍSTICAS DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS .................................................113
2.1 A RELAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉTRICO E MAGNÉTICO .............................................117
3 TRANSPORTE DE ENERGIA E VETOR DE POYNTING ........................................................120
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................122
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................133
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................134
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DE MAXWELL ........................................................................................135
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................135
2 LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS ......................................................................136
3 CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS .......................................................................................137
4 CORRENTE DE DESLOCAMENTO ..............................................................................................138
5 AS EQUAÇÕES ...................................................................................................................................139
6 EQUAÇÕES DE MAXWELL NO FORMALISMO DIFERENCIAL ..........................................141
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................145
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................146
TÓPICO 3 – MAGNETISMO DA MATÉRIA ..................................................................................147
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................147
2 ÍMÃS PERMANENTES .....................................................................................................................147
3 MAGNETISMO E ELÉTRONS ........................................................................................................149
3.1 MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO ORBITAL ....................................................................150
IX
4 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS ................................................................151
4.1 DIAMAGNETISMO ......................................................................................................................1514.2 PARAMAGNETISMO ...................................................................................................................152
4.3 FERROMAGNETISMO .................................................................................................................152
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................153
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................154
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................155
X
1
UNIDADE 1
CAMPO MAGNÉTICO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• caracterizar o campo magnético e as linhas de indução magnética;
• compreender a relação entre a eletricidade e o magnetismo;
• conhecer alguns processos históricos que permeiam o estudo do 
eletromagnetismo;
• determinar expressões matemáticas para campos magnéticos gerados por 
correntes elétricas em diferentes formatos e geometrias;
• definir a Lei de Biot-Savart e a Lei de Ampère para campos magnéticos.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CAMPO MAGNÉTICO
TÓPICO 2 – FORÇA MAGNÉTICA
TÓPICO 3 – CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CAMPO MAGNÉTICO
1 INTRODUÇÃO
O estudo do eletromagnetismo é datado na Grécia Antiga, onde já se 
conheciam algumas propriedades magnéticas de um minério ferroso chamado 
magnetita. Já os chineses utilizaram uma agulha feita de magnetita (bússola) 
para orientar as navegações, operando castigos ou até sentença de morte a quem 
desregulasse a bússola durante a viagem. Séculos depois, em aproximadamente 
1600, William Gilbert publicou um tratado sobre o magnetismo, chamado De 
Magnete, no qual retratava a hipótese de que a Terra era um imenso ímã.
FIGURA 1 – TRATADO DE MAGNETE – WILLIAM GILBERT
FONTE: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/De_Magnete_Title_
Page_1628_edition.jpg/220px-De_Magnete_Title_Page_1628_edition.jpg>. Acesso em: 27 maio 2019.
Já a experiência de Oersted foi fundamental para a união dos estudos da 
eletricidade e do magnetismo, nascendo em 1820 o eletromagnetismo. Anos depois, 
André-Marie Ampére (1775-1836) propôs que todo fenômeno magnético tem 
correntes elétricas como causa. Para Michael Faraday (1791-1867), a interação entre 
os corpos poderia ser descrita por meio de linhas de campo magnético e elétrico.
Houve um grande esforço experimental para descobrir se existem ou não 
monopolos magnéticos, embora sem sucesso. A história do magnetismo é tão 
fascinante quanto os fenômenos magnéticos. Nesse momento, ficaremos com a tarefa 
de estudar os campos magnéticos e a pergunta central: “O que produz um campo 
magnético?”. As aplicações do eletromagnetismo deixaremos para a engenharia. 
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
4
2 CONCEITO DE CAMPO 
O conceito de campo permitiu investigar a interação entre corpos e o 
que acontece no interior da matéria. Fenômenos como a atração e repulsão de 
cargas elétricas em objetos eletrizados e ímãs permitem visualizar esse espaço 
que chamamos de campo. Mas como que um objeto “sente” a presença do outro 
sem que estejam em contato? Para responder a essa pergunta, podemos pensar 
em três tipos de interações: gravitacionais, elétricas e magnéticas.
O campo gravitacional, já estudado na área da Mecânica, manifesta-se 
quando há interação entre duas massas por meio da força de atração gravitacional. 
Um exemplo disso é a força que a Terra exerce sob qualquer outro corpo que 
esteja a sua volta, como satélites. 
O campo elétrico é resultado da interação entre cargas elétricas por meio 
da força elétrica. Isso é facilmente percebido quando aproximamos um pedaço de 
papel de uma caneta eletrizada por atrito. 
Já o campo magnético, que é objeto de estudo deste tópico, é resultado da 
interação de um objeto ou partícula magnetizada pela força eletromagnética. Ao 
aproximarmos um ímã a um prego, é possível ver como o ímã faz o prego se atrair 
e “grudar” na sua superfície.
FIGURA 2 – INTERAÇÕES MEDIADAS POR CAMPOS
FONTE: Os autores; <https://i2.wp.com/www.paulobrites.com.br/wp-content/uploads/2014/02/
atrito-pente.gif?ssl=1>; <https://cdn.britannica.com/s:575x450/41/190641-004-E1B4A003.jpg>. 
Acesso em: 16 maio 2019. 
Campo é uma propriedade física de uma região do espaço onde é possível 
sentir a presença de uma massa, carga elétrica ou de um objeto magnetizado.
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | CAMPO MAGNÉTICO
5
Portanto, o campo magnético é uma região do espaço ao redor de um 
ímã sobre o qual atuam forças magnéticas sobre outros objetos magnéticos. 
Assim como o campo elétrico, o campo magnético é um campo vetorial. Embora 
não possamos ver ou sentir a presença de um campo magnético naturalmente, 
podemos utilizar uma bússola para “visualizar” um campo magnético da Terra, 
como veremos a seguir. 
2.1 ÍMÃS
As observações sobre as propriedades magnéticas dos materiais são 
muito antigas, estudadas por gregos como Platão, Sócrates e Tales de Mileto. 
Os gregos realizaram as primeiras observações sobre ímãs naturais na região 
de Magnésia, localizada na Ásia Menor (por isso o nome magnetismo). Eles 
observaram que, ao colocar um pedaço de ferro nas proximidades de uma 
pedra chamada magnetita, ela os atraía. A magnetita, composta por óxido de 
ferro (Fe3O4), possui propriedades magnéticas e, por isso, foi muito utilizada 
para a construção de ímãs artificiais, por meio dos processos de imantação.
FIGURA 3 – MAGNETITA, CONHECIDA COMO ÍMÃ NATURAL POR SUAS 
PROPRIEDADES MAGNÉTICAS
FONTE: <https://alunosonline.uol.com.br/fisica/fontes-campo-magnetico.html>. 
Acesso em: 16 maio 2019.
No início do século XVII, o cientista e médico inglês William Gilbert (1544-
1603) publicou o tratado De magnete, considerado um dos primeiros trabalhos 
sistemáticos sobre o magnetismo, na qual ele sugeriu que a Terra era uma imensa 
esfera magnética. Gilbert realizou várias experiências e descreveu as propriedades 
de atração e repulsão dos ímãs, princípios básicos do magnetismo. 
Em algumas partes do ímã, os objetos metálicos se acumulam com mais 
intensidade. Se pegarmos um ímã e aproximarmos pedaços de metal, observamos 
que os objetos se acumulam nas extremidades do ímã. Essas extremidades são 
chamadas de polos (norte e sul), como mostra a figura:
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
6
FIGURA 4 – ILUSTRAÇÃO DE UM ÍMÃ
FONTE: Os autores
Ao aproximar dois ímãs, notaremos que há uma força magnética entre 
esses polos. Embora existam ímãs de diferentes formatos (circulares, cilíndricos, 
planares, de barra ou ferradura), todos apresentam dois polos distintos bem 
localizados. A interação da força magnética dos polos de um ímã acontece como 
mostra o quadro a seguir:
QUADRO 1 – PROPRIEDADES DOS ÍMÃS
FONTE: Os autores
ATRAÇÃO
REPULSÃO
Como podemos observar no quadro, polos magnéticos de mesma 
polaridade se repelem e polos magnéticos de polaridades opostas se atraem. Mas 
você já tentou quebrar um ímã? Se você ainda não quebrou, ainda é tempo! Não 
entenda mal, não se trata de “vandalismo científico”, mas em prol da ciência, esse 
é um bom motivo para que você conduza essa experiência em casa. Será que é 
possível separar os polos de um ímã?
Até hoje não foi possível isolar um único polo magnético. Fisicamente, 
significa dizer que não existem monopolos magnéticos. Na prática, vemos que, 
ao quebrar um ímã, obteremos dois novos ímãs. Nas extremidades do ímã que foi 
cortado, aparecerão dois novos polos.
Devido a essa propriedade magnética,todo ímã possui um campo 
magnético que sai do polo norte e entra no polo sul. As linhas de indução do 
campo magnético podem ser observadas utilizando limalha de ferro e um ímã, 
como mostra a figura:
TÓPICO 1 | CAMPO MAGNÉTICO
7
FIGURA 5 – ILUSTRAÇÃO DAS LINHAS DE INDUÇÃO MAGNÉTICA UTILIZANDO UM ÍMÃ E 
LIMALHA DE FERRO E REPRESENTAÇÃO DAS LINHAS DE CAMPO
FONTE: <https://blog.enem.com.br/wp-content/uploads/2018/03/energia-el%C3%A9trica-
300x220.jpg>. Acesso em: 16 maio 2019.
Nas próximas unidades, estudaremos as equações de Maxwell e 
provaremos matematicamente o princípio de inseparabilidade de polos (não 
existem monopolos magnéticos).
2.2 BÚSSOLAS
A interação de ímãs com bússolas pode causar estranheza, mas esses 
dois objetos têm muita coisa em comum. Conhecendo as propriedades dos ímãs, 
podemos imantar uma agulha e construir uma bússola. Diversos cientistas, ao 
longo dos séculos, descreveram sua admiração por bússolas. Albert Einstein 
escreveu em suas notas autobiográficas:
Aos 4 ou 5 anos, experimentei esse sentimento quando meu pai 
me mostrou uma bússola. O fato de a agulha comportar-se de 
uma certa forma não se encaixava entre os tipos de ocorrências 
que podiam ser colocados no mundo inconsciente dos conceitos 
(eficácia produzida pelo “toque direto”). Lembro-me ainda – ou 
pelo menos creio que me lembro – que essa experiência me causou 
uma impressão profunda e duradoura. Devia haver algo escondido 
nas profundezas das coisas (EINSTEIN, 1982, p. 9).
Povos chineses a utilizavam como instrumento de navegação no século 
XII. Acredita-se que o uso da bússola foi preponderante para desenvolvimento das 
Grandes Navegações e expansão marítima e comercial. Mas o que é uma bússola?
A bússola é constituída de um pequeno ímã em forma de agulha montado 
numa estrutura que não recebe muito atrito do suporte que a mantém. Por ser 
magnética, a bússola pode sofrer interferência de ímãs, por isso ela aponta para a 
direção norte-sul se não houver ímãs em suas proximidades. 
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
8
FIGURA 6 – BÚSSOLA
FONTE: <https://www.palaciodasbonecas.com.br/image/cache/data/MADEIRA%20E%20
MDF/7893798279047-1-800x600.jpg>. Acesso em: 16 maio 2019.
Experimento: Construindo uma bússola caseira
Com a tecnologia contemporânea, podemos nos localizar facilmente por aplicativos nos 
smartphones ou utilizando um aparelho chamado GPS (Global Position System). Esses 
dispositivos permitem que a orientação espacial seja mais precisa do que nos tempos 
antigos. Esse dispositivo acabou ocupando o lugar da bússola, que por muitos anos foi um 
grande e importante instrumento para as navegações do século XV. 
Utilizando materiais simples, você pode construir uma bússola rústica e observar os 
fenômenos relacionados ao magnetismo que estudamos até aqui.
Você vai precisar de:
• 1 ímã
• 1 lápis
• 2 copos
• 1 agulha de costura
• linha de costura
Procedimento Experimental:
1- Esfregue um dos polos do ímã sobre a agulha várias vezes e sempre na mesa direção e 
sentido. Esse processo chama-se imantação.
2- Utilize os copos como suporte e suspenda o lápis entre os copos. Com a linha de costura, 
amarre uma extremidade no lápis e outra extremidade na agulha, mantendo a agulha 
entre o suporte de copos de modo que ela fique livre.
INTERESSA
NTE
FONTE: Adaptada de Bonjorno et al. (2016)
3- Aguarde a agulha se orientar em uma direção. Altere a posição e veja se ela retorna à 
posição inicial. Se isso acontecer, sua bússola está funcionando.
TÓPICO 1 | CAMPO MAGNÉTICO
9
Acompanhe no site https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/magnet-
and-compass uma simulação mostrando a interação do campo magnético de uma bússola 
com um ímã.
DICAS
2.3 CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE
Os polos de um ímã são chamados de norte e sul, pelo fato de a agulha da 
bússola apontar para as respectivas posições geográficas do planeta. Pensando 
nisso, reflita: se a Terra fosse um enorme ímã, qual seriam os polos magnéticos 
norte e sul do planeta?
Sim, a Terra pode ser vista como um grande ímã, e isso é percebido por meio 
da orientação da agulha de uma bússola. Uma das hipóteses para esse comportamento 
magnético se deve ao movimento das cargas elétricas no interior da Terra. 
Justamente por ser um imenso imã, a Terra possui um campo magnético 
intenso ao seu redor. Conhecida como magnetosfera, essa camada nos protege 
de partículas provenientes de ventos solares, sendo essencial para a vida 
terrestre. Se não tivéssemos essa “camada de proteção”, as partículas lançadas – 
principalmente pelo Sol – danificariam a atmosfera terrestre.
Os polos terrestres estão ilustrados na Figura 7. Na Física, estudamos o 
norte magnético localizado no sul geográfico e o sul magnético localizado no norte 
geográfico. Portanto, o polo norte da agulha é atraído pelo polo sul magnético da 
Terra, e o polo sul da agulha é atraído pelo polo norte magnético da Terra. 
FIGURA 7 – ILUSTRAÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE
FONTE: <http://georocks2011.blogspot.com/2011/11/campo-magnetico-terrestre.html>. 
Acesso em: 16 maio 2019.
Norte Magnético
Norte Geográfico
Sul Geográfico
Sul Magnético
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
10
Contudo, o norte magnético, para onde a agulha ou o ímã apontam não 
corresponde à exata posição do eixo geográfico do polo norte geográfico, já que o 
eixo magnético terrestre não coincide com o eixo de rotação. O ângulo entre esses 
dois eixos é de 13º. Esse fenômeno é chamado de declinação magnética. O valor 
da declinação magnética de um local é facilmente encontrado em mapas ou cartas 
náuticas, que são atualizadas frequentemente para o uso de navegações.
2.4 AURORA POLAR
O Sol é uma estrela gigante que aquece a Terra por irradiação, mas além 
de calor, o que mais essa estrela superfície de 6000 oC e distante 150000000 km de 
nosso planeta pode enviar?
Para responder a essa pergunta devemos saber qual é o “combustível” 
do Sol. A energia dessa estrela é proveniente de reações termonucleares, ou seja, 
basicamente é da fusão nuclear de hidrogênio formando hélio no núcleo do 
Sol; como o hélio é menos massivo que o hidrogênio, a massa resultante desse 
processo é “convertida” em energia. 
O Sol então emite os ventos solares, essa energia e outras partículas como 
prótons, nêutrons e elétrons que atingem a magnetosfera terrestre. A maioria 
das partículas que viajam em direção à Terra é desviada pelo campo magnético 
terrestre, entretanto, os polos apresentam uma região “vulnerável”. As partículas 
que compõem os ventos solares são direcionadas pelo próprio campo magnético 
terrestre e entram em nossa atmosfera.
FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO DOS VENTOS SOLARES (PLASMA SOLAR) ATINGINDO O CAMPO 
MAGNÉTICO TERRESTRE
FONTE: <https://auroraboreal.blog.br/o-que-e-aurora-boreal/>. Acesso em: 26 maio 2019.
Ao entrar em nossa atmosfera e com grande energia, essas partículas solares 
colidem com as partículas de oxigênio e nitrogênio que compõem a atmosfera 
terrestre, excitando-as. Quando essas partículas de oxigênio e nitrogênio, em 
sua maioria, voltam ao seu estado energético fundamental, liberam a energia em 
excesso em forma de luz produzindo as auroras polares. É por esse motivo que as 
auroras existem apenas nos polos ou em regiões próximas aos polos, sendo que 
no polo sul a aurora é conhecida com aurora austral, já no polo norte a aurora é 
conhecida como boreal.
TÓPICO 1 | CAMPO MAGNÉTICO
11
FIGURA 9 – AURORA POLAR
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 201)
Esse evento não é exclusivo do planeta Terra, pois ocorre da mesma forma 
em Júpiter, Saturno, Marte e Vênus, assim como também não é exclusivo da 
natureza, pois se pode produzir efeito semelhante em laboratório.
Exemplo: as auroras ocorrem devido aos ventos solares que carregam 
partículas com grande energia que atingem o campo magnético terrestre. Existe a 
possibilidade da ocorrência de auroras na faixa da linha do Equador?
Solução: as auroras ocorrem quando essas partículas são desviadas e 
entram na região “desprotegida”da Terra pelo campo magnético, ao atingirem as 
partículas que formam a atmosfera terrestre excitam-nas, e quando elas voltam ao 
seu estado fundamental de energia liberam a energia em excesso na forma de luz.
Portanto, não há como ocorrer uma aurora na região da linha do Equador, 
pois as partículas provenientes do Sol, ao atingirem o campo magnético terrestre 
na região da linha do Equador, são desviadas por ele, não possibilitando a 
formação de auroras nessa região.
2.5 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR ATIVIDADE 
CEREBRAL
Nosso cérebro é ativado por estímulos e estes ativam partes do cérebro. 
O cheiro de um perfume, escrever com sua caneta, digitar um texto, assistir 
a um filme são estímulos diferentes e ativam áreas diferentes do cérebro e, 
consequentemente, ativam campos magnéticos nessas regiões.
A magnetencefalografia (MEG) estuda o funcionamento do cérebro 
por meio dos campos magnéticos gerados a diferentes estímulos aos quais o 
paciente é submetido. Os pulsos elétricos produzidos e enviados ao sistema 
nervoso geram correntes elétricas e, como sabemos, as correntes elétricas geram 
campos magnéticos.
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
12
Entretanto, esses campos magnéticos gerados pelo cérebro são da ordem 
de 10-12, ou seja, são pouco intensos, portanto é utilizado um equipamento 
conhecido como SQUID (superconducting quantum interference device), que é 
capaz de captar campos magnéticos da ordem de 1 pT. Como o equipamento é 
muito sensível, durante seu uso se faz necessária uma análise minuciosa a fim de 
eliminar campos magnéticos gerados por outras fontes.
FIGURA 10 – CAMPO MAGNÉTICO NUM PONTO P GERADO POR ATIVIDADE CEREBRAL
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 237)
Exemplo: considere a Figura 10 e que o ponto P esteja situado a uma 
distância de 3 cm do pulso produzido por sulcos existentes na superfície do 
cérebro. A distância de um pulso é da ordem de 1 mm e um pulso típico possui 
o valor de 10 �A. Calcule a intensidade do campo magnético a essa distância da 
superfície do cérebro.
Solução: para resolvermos a questão, devemos considerar a expressão:
0
4 ²
idsB
r
µ
π
=
Que é a expressão para o Campo magnético produzido por uma corrente elétrica. 
Lembrando que μ0 vale 4πx10-7 T.m/A. Substituindo as grandezas, temos:
( )( )( )
( )
7 6 3
22
12
4 10 . / 10 10 1 10 
4 3 10 
1,1 10 
x T m A x A x m
B
x m
B x T
π
π
− − −
−
−
=
=
Esse valor representa um campo magnético muito pequeno! Ele é cerca de 
um milhão de vezes menos intenso que o campo magnético da Terra.
13
Neste tópico, você aprendeu que:
• O campo magnético é uma região do espaço ao redor de um ímã sobre o qual 
atuam forças magnéticas sobre outros objetos magnéticos.
• Não existem monopolos magnéticos. 
• Todo ímã possui um campo magnético que sai do polo norte e entra no polo sul. 
• O polo norte da agulha de uma bússola aponta sempre para o norte, ou seja, o 
polo norte da agulha é atraído pelo polo sul magnético da Terra, e o polo sul da 
agulha é atraído pelo polo norte magnético da Terra.
RESUMO DO TÓPICO 1
14
AUTOATIVIDADE
1 Se um ímã se quebra, o que acontece com os pedaços? Você 
pode uni-los como estavam antes?
2 Explique o significado físico da expressão “Não existem 
monopolos magnéticos”.
3 Como ocorrem as auroras polares?
4 Como as sinapses do cérebro geram campos magnéticos?
5 Pessoas aventureiras costumam levar um kit com diversos 
utensílios a fim de livrar-lhes de possíveis enrascadas. Um desses 
itens é a bússola, que serve para orientação, pois:
a) ( ) Ela aponta para o polo norte geográfico.
b) ( ) Ela aponta para o polo norte magnético.
c) ( ) Ela aponta para o polo sul geográfico.
d) ( ) Ela aponta para o polo sul magnético.
e) ( ) Se a pessoa estiver abaixo da linha do Equador ela aponta para o sul magnético 
e se ela estiver acima da linha do Equador ela aponta para o norte magnético.
6 Levando em consideração as propriedades magnéticas dos ímãs, 
julgue verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir:
( ) Polos de mesmo nome se repelem.
( ) Um ímã cortado ao meio dá origem a dois novos ímãs.
( ) Polos de nomes contrários se atraem.
( ) Um ímã cortado ao meio perde as propriedades magnéticas.
( ) Os metais ferromagnéticos são atraídos pelo ímã.
A sequência CORRETA é:
a) ( ) V – V – F – F – V.
b) ( ) F – F – V – F – V. 
c) ( ) F – V – F – V – F.
d) ( ) V – F – F – V – F.
e) ( ) V – V – V – F – V.
15
TÓPICO 2
FORÇA MAGNÉTICA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Até 1820, os fenômenos magnéticos foram estudados separadamente 
aos fenômenos elétricos. O físico Hans Christian Oersted (1777-1851), em seu 
Livro Pesquisa sobre a identidade de forças elétricas e químicas, publicado em 1821, 
verificou experimentalmente que a passagem de corrente elétrica estava atrelada 
a fenômenos magnéticos. Ao passar uma corrente elétrica num fio condutor, 
observou que a agulha de uma bússola colocada próxima ao fio era defletida de 
sua direção original, como mostra a ilustração.
FIGURA 11 – ILUSTRAÇÃO DO EXPERIMENTO DE OERSTED
FONTE: <http://www.fisicapaidegua.com/questoes/imagens/q36_pucsp_2003.jpg>. 
Acesso em: 20 maio 2019.
Esse experimento foi preponderante na união da eletricidade com o 
magnetismo, surgindo então o eletromagnetismo. Mas se a corrente elétrica afeta o 
campo magnético, como acontece essa deflexão? A atuação de cargas elétricas em 
movimento se efetiva por meio da força magnética, que apresenta características 
bem específicas, como veremos neste tópico.
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
16
2 ESTUDO DA FORÇA MAGNÉTICA
Como já vimos no tópico anterior, não existem monopolos magnéticos 
e, por isso, não podemos aplicar a analogia da força do campo elétrico, definido 
anteriormente por:
eFE
q
=


Para determinar o campo magnético, consideramos a força que age sobre 
uma partícula quando ela passa pelo ponto do campo magnético que queremos 
medir. Para isso, consideramos que uma partícula de prova está se aproximando do 
campo magnético com uma velocidade definida por módulo, direção e sentido. 
Depois de realizar esse experimento com diferentes direções entre a 
velocidade, campo magnético e a força magnética, verificou-se que a força 
magnética é resultado do produto vetorial entre o campo magnético e a velocidade 
da partícula:
B

v
F qv B= ×
 
(1)
De acordo com a Equação (1), a força magnética é resultado do produto 
vetorial entre a velocidade da partícula de prova e o campo magnético. 
FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO VETORIAL DA FORÇA MAGNÉTICA
FONTE: Os autores
Unidades de medida (no Sistema Internacional):
• Campo magnético: [B] = T (Tesla)
• Força Magnética: [F] = N (Newton)
• Velocidade: [v] = m/s
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
17
Outra unidade de medida muito utilizada para campo magnético é Gauss, tal 
que 1G = 104T.
IMPORTANT
E
Se o ângulo entre as direções da velocidade e do campo magnético for ϕ, temos:
F q vBsenφ= (2)
Dessa equação podemos interpretar as informações:
• A força magnética que atua na partícula é proporcional à velocidade.
• Se a partícula estiver parada, v = 0, portanto F = 0.
• Se o campo magnético e a velocidade forem paralelos, a força magnética é nula 
(sen 0o = sen 180o = 0).
• Se o campo magnético e a velocidade forem perpendiculares, a força magnética 
é máxima (sen 90o = 1).
A direção e o sentido do vetor força-magnética podem ser obtidos por 
regras práticas. Existem diversas regras de mão, direita ou esquerda, utilizadas 
no eletromagnetismo para indicar o sentido e direção dessas grandezas. Todas 
equivalem e se originam de uma única regra, relacionada ao produto vetorial. 
Neste material vamos adotar a regra da mão direita:
FIGURA 13 – REGRA DA MÃO DIREITA
FONTE: Os autores
Na regra da mão direita, o polegar aponta para a direção da força magnética, 
quando os outros dedos apontam para a velocidade e para o campo magnético. Se a 
carga for negativa, tem sentido oposto ao do produto vetorial . v B×

UNIDADE 1| CAMPO MAGNÉTICO
18
As linhas de indução magnética geradas pelo campo magnético são 
tridimensionais, porém as representações vetoriais são feitas no plano. Por isso, 
precisamos de uma convenção para representá-los, como mostra a figura a seguir: 
FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE VETORES TRIDIMENSIONAIS
FONTE: <http://www.alfaconnection.pro.br/images/ope01.gif>. Acesso em: 19 maio 2019.
entrando no plano do desenho
saindo do plano do desenho
Embora a corrente não seja uma grandeza vetorial, também se usa essa 
representação para indicar quando ela entra ou sai do plano. 
3 TRAJETÓRIAS CIRCULARES
Imagine que colocamos a partícula de prova se movendo em uma trajetória 
circular com raio R, tal que a velocidade é constante. Nesse caso, a força que age 
sobre a carga aponta para o centro da circunferência, mantendo-se perpendicular 
à velocidade da partícula (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009). 
Podemos visualizar esse fenômeno se considerarmos uma partícula 
eletrizada positivamente sendo lançada no interior de um campo magnético. 
Ao sofrer a ação da força magnética, a partícula descreverá uma trajetória curva 
e a força magnética atuará continuamente na partícula. Como consequência, o 
movimento da partícula será um movimento circular uniforme.
FIGURA 15 – ILUSTRAÇÃO DE UMA CARGA DE PROVA EM UMA TRAJETÓRIA CIRCULAR
FONTE: Os autores
Para a calcular o raio da trajetória que a partícula eletrizada descreve, 
vamos analisar esse movimento circular. Como a força é perpendicular à 
velocidade da partícula, esta apontará para o centro da trajetória. Desse modo, 
segundo a 2ª Lei de Newton, escrevemos a força centrípeta:
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
19
2mvF
R
= (3)
Em que m é a massa da partícula. Como vimos anteriormente, o módulo 
da força magnética é:
 F q vB=
Igualando (3) e (4), temos:
2
 mvq vB
R
=
Escrevendo a equação em termos do raio R:
( ) mvR raio
q B
=
Essa expressão relaciona o movimento da partícula de prova em 
termos do raio da trajetória. Mas quanto tempo ela leva para dar uma volta 
completa? Para isso, vamos analisar o período de revolução T. O período é igual 
à circunferência pela velocidade:
2 RT
v
π
=
Reescrevendo em termos da Equação (6):
( )2 2 
.
mv mT T período
v q B q B
π π
= → =
Outra grandeza característica do movimento circular é a frequência f 
(número de revoluções por minutos), inverso do período:
( )1 
2
q B
f f frequência
T mπ
= → =
E a frequência angular é dada pela equação:
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
20
( )2 q Bf frequência angular
m
ω π ω= → =
Como vemos nas equações (8), (9) e (10), o período, a frequência e a 
frequência angular independem da velocidade da partícula. Portanto, partícula 
com a mesma razão carga massa demoram o mesmo tempo para completar uma 
volta em torno da trajetória circular. Já o raio da trajetória aumenta linearmente 
com a velocidade da carga. 
q
m
O sentido de rotação para uma partícula positiva é o sentido anti-horário e o 
sentido de rotação para uma partícula negativa é o sentido horário.
ATENCAO
4 FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR 
CORRENTE
Como vimos no experimento de Oersted, uma corrente elétrica gera um 
campo magnético. Isso significa que existe uma interação entre o campo magnético 
e um condutor com portadores de carga elétrica em movimento, seja por corrente 
contínua ou alternada. Para estudar o comportamento da força magnética em um 
fio percorrido por corrente, vamos nos basear na seguinte figura:
FIGURA 16 – ILUSTRAÇÃO DE UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 217)
xx
B
L i
FB
(10)
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
21
Seja vd a velocidade de deriva de um elétron que se move para baixo, num 
comprimento L. Após um intervalo de tempo t, todos os elétrons de condução 
desse trecho passam pelo plano x indicado na figura. 
 d
Lv
t
=
Lembrando que a corrente elétrica é a razão da quantidade de carga que 
atravessa o fio em um intervalo de tempo:
qi
t
=
Podemos escrever a carga em termos da velocidade de deriva:
 
d
iL q
v
=
Substituindo q na Equação (2) e sabendo que Ø = 90o:
 90 d
d
iLF q vBsen F v B sen F iLB
v
φ= → = ° → =
A Equação (14) corresponde à força magnética que age num fio quando 
o campo magnético é perpendicular ao fio. Podemos generalizar a Equação (14) 
para casos em que o ângulo entre o campo e o fio sejam diferentes de Ø = 90o.
BF iL B= ×
  
Se o fio não for retilíneo ou o campo magnético for uniforme, podemos 
dividir o fio em pequenos pedaços e aplicar a Equação (15) na forma diferencial 
em cada pedaço infinitesimal:
 Bd F idL B= ×
  
A força que se transmite ao fio é exercida pela força gerada pelo campo 
magnético sobre o trecho do fio, tal que é o “elemento de corrente”. idL

(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
22
5 TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE
Grandes empresas pesquisam formas de aumentar seu lucro, visando a 
um baixo custo de produção e ainda há a cobrança por energia limpa ou que 
diminuam os impactos ambientais causados por muitas fontes de energia, na 
maioria, não renováveis.
Por conta disso, boa parte do trabalho no mundo é realizado por motores 
elétricos, pois transformam energia elétrica em energia mecânica. Esse tipo de 
motor possui baixo custo de produção, fácil transporte, facilidade no comando e 
limpeza além de possuir bom rendimento.
As forças responsáveis por esse trabalho são as forças magnéticas, ou seja, 
é devido ao campo magnético gerado por correntes elétricas que percorrem fios. 
Quando uma espira percorrida por corrente elétrica está imersa em um campo 
magnético, como o da figura a seguir, a espira entra em movimento de rotação.
FIGURA 17 – ESPIRA RETANGULAR PERCORRIDA POR CORRENTE ELÉTRICA (i) IMERSA EM UM 
CAMPO MAGNÉTICO
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 219)
Pela Figura 18 vemos que as forças nos lados 2 e 4 se cancelam, pois 
possuem mesma intensidade e sentidos opostos. Entretanto, as forças 1 e 3 são 
aplicadas em sentidos opostos fazendo a espira girar.
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
23
FIGURA 18 – ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE ELÉTRICA IMERSA EM CAMPO 
MAGNÉTICO COM VISTA PERPENDICULAR À CORRENTE
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 219)
O módulo da força que age sobre os lados 1 e 3 é:
1 3 senF F iaB θ= =
O torque sobre a espira será:
1 3. . 2 2
b bF Fτ = +
O fator é devido ao eixo de rotação ser no centro do lado b da espira. 2b
sen . sen . 
2 2
sen
b biaB iaB
iabB
τ θ θ
τ θ
= +
=
Como a área (A) da espira é dada por: A = ab, temos:
seniABτ θ=
Se considerarmos uma bobina, devemos multiplicar a Equação 17 pelo 
número de espiras que compõem essa bobina:
senNiABτ θ=
(14)
(15)
(16)
(17)
(17)
(18)
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
24
Portanto, a equação representa o módulo do torque total aplicado sobre 
a bobina e vale para qualquer tipo de bobina, independentemente do formato 
geométrico. Nos motores elétricos é necessário o uso de um comutador, dispositivo 
que inverte o sentido da corrente. 
6 ENERGIA EM UM DIPOLO MAGNÉTICO
Uma bobina percorrida por corrente elétrica que sofre um torque quando 
submetida a um campo magnético se comporta como um ímã de barra possuindo 
um dipolo magnético. Podemos, então, associar um momento magnético dipolar 
(μ) à bobina, sendo este definido por:
 NiAµ =
Portanto, a Equação 18 pode ser reescrita na forma:
senBτ µ θ=
Considerando o ângulo θ entre e , podemos escrever o torque na forma 
vetorial:
µ B

(19)
(20)
 Bτ µ= Χ
 
(21)
A Equação 21 se assemelha à equação para o torque exercido por um campo 
elétrico em um dipolo elétrico: . Para dipolos elétricos, a energia potencial 
é dada por: , portanto, analogamente, a energia potencial magnética é:
 p Eτ = Χ
 
U p E= ⋅

 U Bµ= ⋅

(22)
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
25
LEITURA COMPLEMENTARHISTÓRIA DA ELETRICIDADE
Mauricio Massazumi Oka
A primeira observação da eletrificação de objetos por atrito perdeu-se na 
antiguidade. Os filósofos gregos, como por exemplo, Thales de Miletus, no ano 
600 a.C., já sabiam que ao esfregar uma peça de âmbar com um pedaço de lã 
ou pele eram capazes de conferir ao âmbar a propriedade de atrair pequenos 
pedaços de palha. A palavra elétron, aliás, deriva da palavra âmbar (elektron), 
em grego. Esta constatação originou a ciência da eletricidade.
Os gregos sabiam também que algumas "pedras", as magnetitas 
(lodestones) que eram encontradas em Magnésia, uma localidade da Ásia Menor, 
podiam atrair exclusivamente o ferro, e isto mesmo sem serem esfregados. O 
estudo desta propriedade origina a ciência do magnetismo. No século 11, árabes 
e chineses usavam a magnetita flutuando sobre a água para se orientarem ao 
navegar pelos mares. Eram as bússolas. O primeiro estudo sistemático dos ímãs 
foi feito em 1269 por Pierre de Maricourt. Ele usou uma agulha magnetizada para 
traçar o que chamava de "linhas de força" ao redor de uma esfera de magnetita 
e descobriu que estas linhas convergem em duas regiões, em lados opostos da 
esfera, como as linhas longitudinais da Terra. Por analogia, ele chamou as regiões 
onde as linhas de força convergem de polos.
Em 1600, William Gilbert estendeu estes trabalhos e sugeriu que a própria 
Terra se comporta como um gigantesco ímã. Por volta de 1753, observações de que 
relâmpagos eram capazes de conferir propriedades magnéticas a peças de ferro 
sugeriam uma convergência entre a eletricidade e o magnetismo, mas demorou 
ainda algum tempo até que a relação entre as duas ciências se tornasse clara.
Em 1600, William Gilbert, médico da rainha Elizabeth I, foi o primeiro a 
distinguir claramente entre fenômenos elétricos e magnéticos. Foi ele quem cunhou 
a palavra eletricidade, derivando-a de "elektron" que significa âmbar, em grego. 
Gilbert mostrou que o efeito elétrico não é exclusivo do âmbar, mas que muitas 
outras substâncias podem ser carregadas eletricamente ao serem esfregadas.
Em 1729, Stephen Gray observou que era capaz de transferir a carga 
elétrica de um bastão de vidro para uma bola de marfim pendurada por um 
barbante. Porém a transferência de carga não ocorria se a bola era pendurada 
por um fio metálico. Daí concluiu que o metal "levava embora" o fluido (carga). 
Gray concluiu que a maior parte das substâncias podem ser classificadas de 
condutoras ou isolantes. Os condutores, como por exemplo, os metais e soluções 
iônicas, permitem o fluxo livre do fluido, enquanto que os isolantes, como por 
exemplo, a madeira, borracha, seda e vidro não permitem o fluxo do fluido.
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
26
Quando um bastão de vidro é friccionado por seda, ambos ficam 
carregados. Imagine a seguinte experiência. Duas bolas de isopor são suspensas 
por fios e colocadas próximas uma da outra. Ao tocar ambas as bolas com o bastão 
de vidro, ou ambas com seda, as bolas se repelem. Tocando uma das bolas com o 
vidro e a outra com seda elas se atraem.
Baseado neste tipo de evidência, Charles Du Faye, em 1733, propôs que 
existem dois tipos de cargas, que são observáveis como "fluxos elétricos", e que as 
cargas iguais se repelem enquanto que as cargas diferentes se atraem. O tipo da 
carga do vidro foi chamado de "vítreo" e o tipo da carga da seda ou do âmbar de 
"resinoso". Du Fay acreditava que estas cargas eram separadas pelo ato da fricção.
Por volta de 1750, Benjamin Franklin propôs que um único tipo de 
fluido flui de um corpo para o outro pela fricção, designando de positivamente 
carregado o corpo que acumulou fluido e negativamente carregado o corpo que 
perdeu fluido. Franklin realizou também a seguinte experiência: colocou duas 
pessoas, A e B, sobre um pedestal coberto de graxa para evitar a perda de carga. 
Depois de carregar um deles com o bastão de vidro e o outro com o pano de seda, 
observou que um terceiro indivíduo, C, aproximando-se de qualquer um deles 
causava o aparecimento de uma faísca.
Contudo, se A e B se tocavam, não havia faísca. Franklin concluiu que as 
cargas armazenadas no bastão de vidro e na seda eram de mesma amplitude, 
mas de sinais opostos e propôs ainda que a carga nunca é criada ou destruída, 
mas simplesmente transferida de um corpo para o outro. Hoje chamamos a esta 
propriedade de Conservação da Carga.
Em 1753, John Canton descobriu que é possível carregar um objeto 
metálico isolado eletricamente mesmo sem tocá-lo fisicamente com outro objeto 
carregado. Imagine, por exemplo, duas bolas metálicas sobre pedestais isolantes, 
em contato entre si. Aproxima-se um bastão de vidro positivamente carregado 
de uma das bolas. Nesta situação, separa-se as duas bolas e afasta-se o bastão de 
vidro. Canton observou que a bola próxima ao bastão de vidro ficou carregada 
negativamente, enquanto que a outra ficou carregada positivamente, e que a 
quantidade de carga armazenada era a mesma nas duas bolas. Este fenômeno é 
chamado de indução.
Durante todo o século XVIII, uma série de experiências foram realizadas, 
mas as observações eram meramente qualitativas. O primeiro passo importante 
na quantificação das forças elétricas foi dado pelo químico Joseph Priestley, 
descobridor do oxigênio, em 1766. Poucos anos antes, Benjamin Franklin havia 
realizado a seguinte experiência. Era conhecido que um copo metálico carregado 
era capaz de atrair um pequeno corpo descarregado e que este corpo neutro se 
carregava prontamente em contato com a superfície externa do copo. Contudo, 
ao suspender uma pequena esfera de cortiça no interior de um copo metálico 
tapado carregado, constatou que não atuava nenhuma força sobre a cortiça. E 
ainda, colocando o corpúsculo em contato com a superfície interna do copo, ele 
não se carregava. A pedido de Franklin, Priestley confirmou tal resultado. A única 
força conhecida à época era a força da gravidade, proporcional a 1/r². 
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
27
Sabia-se também que a força no centro de uma distribuição de massa na 
forma de uma calota esférica seria nula. Por analogia, Priestley propôs que a força 
elétrica deveria ser proporcional a 1/r². 
Contudo, o trabalho definitivo sobre as forças elétricas é creditado a 
Charles Auguste Coulomb. Em 1785, Coulomb realizou o seguinte experimento. 
Ele carregou com uma quantidade de carga Q uma pequena bola de seiva vegetal 
("pith") recoberta de ouro. Tocando-a com uma outra bola idêntica, sabia que cada 
uma delas ficaria com metade da carga (Q/2). Repetindo esse processo, Coulomb 
foi capaz de obter várias quantidades de carga. Para medir a força entre as bolas 
ele valeu-se de uma balança de torção.
Durante o século XVIII, os conceitos de diferença de potencial e corrente 
elétrica foram sendo desenvolvidos aos poucos. Contudo, um estudo mais 
sistemático da correlação entre estas duas grandezas era dificultado por uma série 
de razões. Uma das razões era a inexistência de uma fonte de corrente contínua. 
Até 1800, a única forma para produzir uma corrente elétrica era descarregar uma 
garrafa de Leyden ("Leyden jarr") através de um condutor. Naturalmente, isto 
produzia apenas uma corrente transitória. Não se sabia também se o condutor 
era apenas um caminho através do qual passa o "fluido" elétrico ou se exercia 
algum outro papel ativo. Além disso não existiam instrumentos de medidas de 
grandezas elétricas. Os investigadores precisavam usar seu corpo, língua e olhos 
como detectores.
Outras pessoas tentaram reproduzir o experimento, sem sucesso, pois 
procediam da forma usual, isolando a garrafa enquanto a carregavam. Três meses 
depois, em 1746, Pieter van Musschenbroek, um professor na Universidade de 
Leiden, percebeu que era necessário segurar a garrafa tanto durante a carga quanto 
durante a descarga. Durante o carregamento, o condutor interno carregado (a 
água) induz uma carga oposta no outro condutor (a mão), que fica conectado ao 
terra por meio de um condutor (o corpo). O choqueé sentido quando as cargas 
passam de uma mão para a outra. O processo de descarga é muito mais rápido 
que o de carga. Outros, logo perceberam que a água poderia ser substituída por 
bolinhas de chumbo. Mais tarde, as bolinhas de chumbo e a mão foram substituídas 
por folhas de metal cobrindo as superfícies interna e externa da garrafa de vidro. 
Depois, Benjamin Franklin substituiu a garrafa de vidro por uma placa plana de 
vidro. Finalmente, o mais simples destes dispositivos passou a ser duas placas 
metálicas paralelas separadas por ar. Surgia assim o "condensador", hoje mais 
conhecido como capacitor.
Em 1780, Luigi Galvani, fisiologista italiano, descobriu a "eletricidade 
animal" e realizava experiências sobre os efeitos da descarga elétrica através de 
tecidos animais, usando geradores eletrostáticos. Ele havia dissecado um sapo 
e ocorreu de estar tocando num nervo com um bisturi quando um gerador nas 
proximidades produziu uma descarga elétrica. Isto fez com que os músculos do 
sapo se contraíssem, mesmo sem haver contato elétrico entre o gerador e o bisturi, 
ou seja, por indução, um fenômeno que era desconhecido a Galvani. Ao invés de 
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
28
ater-se à indução, no entanto, Galvani resolveu usar esta descoberta para outro fim. 
Ele observou que as pernas de um sapo pendurado por um nervo se contraíam 
quando ocorria um relâmpago e decidiu tentar medir a eletricidade existente com 
tempo bom e seco (fair-weather field), que era sabido existir. Ele prendeu a espinha 
do sapo num gancho de latão e pendurou o sapo numa grade de ferro.
Quando nada ocorria por um bom tempo ele se impacientou e, enquanto 
remexia no arranjo, inadvertidamente tocou o gancho na grade, quando 
começou a observar uma série de contrações dos músculos do sapo. O mesmo 
efeito foi observado quando o sapo foi colocado sobre uma mesa de ferro e o 
gancho foi colocado em contato com a mesa. Mais tarde ele descobriu que outros 
pares de metais, como por exemplo, Cu e Zn, eram também capazes de causar 
estas contrações. Ele publicou os resultados em 1791 e chamou o fenômeno de 
"eletricidade animal".
Alessandro Volta, da Universidade de Pavia, repetiu os experimentos e 
inicialmente aceitou a ideia da "eletricidade animal". Ele observou que quando 
duas tiras de metal – como por exemplo, prata e zinco – eram unidas e as 
outras extremidades eram colocadas em contato com a língua, uma sensação 
definida de "gosto" era produzida. Volta, de fato, usou o gosto para classificar as 
propriedades elétricas dos metais. Em 1796, ele descobriu que placas de Cu e Zn 
ficam carregadas pelo mero contato dos dois metais. Ele finalmente concluiu que 
o efeito dependia do uso de diferentes metais e que o tecido animal funcionava 
apenas como um meio condutor entre os dois. 
Numa tentativa de amplificar o efeito, empilhou vários discos de Zn e Cu, 
mas não observou nenhum aumento do efeito. A capacidade de enguias elétricas 
produzir choques elétricos era conhecida desde a época dos gregos. Volta sabia 
também que os órgãos elétricos destes animais possuíam uma estrutura laminar 
(de várias camadas) intercaladas por fluido. Ele se valeu dessa evidência e 
separou os pares de discos de Zn e Cu com papel ensopado por solução salina 
ou ácida. Com este arranjo ele pôde produzir várias centelhas e incandescer fios 
metálicos. Em 1799, ele anunciou o invento da "pilha voltaica", que pela primeira 
vez permitiu gerar uma corrente contínua, o que foi de importância fundamental 
para o estudo futuro do eletromagnetismo.
A primeira distinção entre condutor e isolante havia sido feita por Stephen 
Gray, em 1729, conforme já foi descrito. Um avanço importante na determinação 
da condutividade foi dado por Henry Cavendish, em 1772. Ele usou seu próprio 
corpo como um detector do choque produzido pela descarga de uma garrafa de 
Leydan. Por exemplo, ele descarregou a garrafa através de tubos preenchidos 
com água potável ou com água do mar e ajustou o comprimento dos tubos até 
que a sensação de choque fosse a mesma nos dois casos, concluindo que a água 
do mar é 720 vezes mais condutora que a água potável. Ele tentou também 
segurar com as mãos fios metálicos por onde passava uma descarga elétrica para 
comparar o quanto cada metal conduzia. Em 1827, Georg Simon Ohm conseguiu 
demonstrar que a diferença de potencial através de um dispositivo é diretamente 
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
29
proporcional à corrente através dele. É o que conhecemos hoje como a lei de Ohm. 
Dispositivos que seguem a lei de Ohm são conhecidos de ôhmicos e aqueles que 
não seguem, de não ôhmicos.
As ciências da eletricidade e magnetismo desenvolveram-se isoladamente, 
até que em 1820 Hans Christian Oersted encontrou uma conexão entre os dois 
fenômenos. Enquanto preparava uma aula, Oersted observou que uma corrente 
elétrica passando por um condutor era capaz de causar a deflexão na agulha 
da bússola. Surgia assim a ciência do eletromagnetismo. Mais tarde, Oersted 
descobriu também que um ímã é capaz de gerar uma força sobre um fio conduzindo 
corrente. Michael Faraday realizou uma série de estudos experimentais e sobre 
estes dados trabalhou James Clerk Maxwell, que deu a forma matemática do 
eletromagnetismo, as leis de Maxwell. 
A grande descoberta de Maxwell em eletromagnetismo é a previsão 
de que a luz é uma onda eletromagnética e que sua velocidade pode ser 
determinada por medidas puramente elétricas e magnéticas. Em 1888, no artigo 
intitulado "On Electromagnetic Waves in Air and Their Reflection", H. Herz 
prova experimentalmente as previsões de Maxwell. Em 1879, Edwin H. Hall, sob 
orientação do professor Henry Roland, da Universidade Johns Hopkins, efetuou 
a medida do que conhecemos hoje como efeito Hall, usando um condutor de 
cobre, e descobriu que a corrente elétrica num metal é devido ao fluxo de um 
fluido que possui carga negativa. Provou ainda que, ao contrário do que Oersted 
sugerira, um campo magnético exerce a força sobre o fluido no condutor e não 
sobre o conduto.
Por volta de 1860 foi descoberto que uma grande diferença de potencial 
através de um ambiente contendo gás rarefeito (0,01 atm) causava fluorescência do 
gás. O aparato para estes estudos era contido em tubos de vidro. Quando a pressão 
era ainda mais baixa (10-3 mm de Hg), o tubo como um todo ficava escuro, mas 
observavam-se feixes luminosos de cor azulada emanando do eletrodo negativo 
(catodo). Onde os "raios catódicos" invisíveis atingiam a superfície do tubo de 
vidro observava-se a fluorescência do vidro, que brilhava numa cor esverdeada 
ou azulada. Descobriu-se que o "raio catódico" caminhava em linha reta, pois 
plaquetas de mica posicionadas no caminho do feixe produzia uma sombra na 
parede de vidro. Nos idos de 1880 conhecia-se uma série de fatos: (1) o raio era 
defletido por um campo magnético como se fossem cargas negativas; (2) o raio 
era emitido perpendicularmente à placa do catodo, ao contrário da luz que era 
emitido para todas as direções; (3) o raio carregava momento (uma vez que era 
capaz de girar pequenas hélices) e energia (uma vez que era capaz de aquecer um 
corpo). No início não se sabia se o "raio catódico" era uma onda eletromagnética 
ou um fluxo de partículas carregadas. Heinrich Hertz tentou defletir o raio por 
meio de campos elétricos, aplicando uma tensão, inicialmente de 22 V, entre duas 
placas planas paralelas, sem resultados. Ao atingir 500 V houve geração de uma 
descarga entre as placas e os estudos foram interrompidos. P. Lenard, assistente 
de Hertz, descobriu que o raio era capaz de atravessar finas folhas de metal (2 µm) 
e percorrer distâncias de até 1 cm no ar. Como as folhas metálicas não permitiam 
a passagem do gás de hidrogênio, o menor dos átomos, ficava provado que o 
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
30
"raio catódico" não era um feixe de átomos. Se os raios fossem feixes de partículas 
carregadas deveria haver geração de campo magnético, mas Hertz não foi capaz 
de medir tal campo. Dessemodo, a maioria dos cientistas alemães acreditava que 
o "raio catódico" deveria ser algum tipo de campo.
Em 1895, J. Perrin, na França, foi capaz de coletar os raios num cilindro e 
mostrar que eles carregavam cargas negativas.
Com um campo magnético defletindo o raio, foi capaz de evitar a coleta 
de carga, mostrando que o "raio catódico" era constituído de partículas. O aparato 
para estudar o "raio catódico" era o tubo de raio catódico (CRT – Cathode Ray 
Tube). Em 1897, J. J. Thomson, em Cambridge, realizou uma série de experimentos 
utilizando o CRT para estudar o elétron, que à época ele chamava de "corpúsculo". 
O CRT consistia de um catodo, onde o raio era gerado, e um anodo que possuía 
um pequeno orifício, para onde o raio era acelerado por meio de uma diferença 
de potencial aplicada entre os dois eletrodos. O conjunto era montado dentro de 
uma câmara de vidro mantida à baixa pressão. Na linha da trajetória do raio, o 
aparato permitia aplicar um campo magnético conhecido e existia ainda um par 
de placas paralelas, onde se aplicavam tensões que geravam um campo elétrico 
defletor. Thomson conseguiu provar, de início, que o raio podia ser defletido pelo 
campo elétrico. Isto foi possível porque Thomson trabalhava com níveis de vácuo 
melhores que os usados por Hertz.
Baseado nisso, Thomson realizou a seguinte sequência de medidas:
i) observar o ponto em que o feixe de cargas atinge a tela do CRT quando nem o 
campo elétrico nem o campo magnético são aplicados; 
ii) observar o ponto em que o feixe de cargas atinge a tela do CRT quando o 
campo magnético é aplicado; 
iii) determinar a intensidade do campo elétrico necessário para compensar o 
campo magnético, fazendo com que a posição observada em (ii) volte para a 
posição de (i). Para marcar as posições, a tela de vidro do CRT era coberta por 
um material fosforescente, como por exemplo, o ZnS. 
Thomson sabia, pelo conhecimento do seletor de velocidade, que a 
velocidade da partícula era v = E/B. A velocidade de suas partículas era de 3x107 
m/s Thomson utilizou vários gases no interior do tubo, mas obtinha sempre o 
mesmo valor de q/m para o "corpúsculo", concluindo que observava sempre a 
mesma partícula. Supondo ainda que este "corpúsculo" tivesse a mesma carga 
do íon H+, concluiu que o "corpúsculo" deveria ter uma massa pelo menos 1000 
vezes menor que o menor dos átomos, isto numa época em que muitos cientistas 
ainda relutavam em aceitar a ideia do átomo. Assim, o elétron foi a primeira 
partícula subatômica descoberta pelo homem e marca o início da eletrônica tal 
qual a conhecemos hoje.
Durante os séculos XVII e XVIII acreditava-se que tanto a matéria quanto a 
carga elétrica fossem contínuas. Em 14 de dezembro de 1900, Max Planck apresentou 
o seu artigo "Sobre a teoria da lei da distribuição de energia do espectro normal" 
TÓPICO 2 | FORÇA MAGNÉTICA
31
sobre a radiação térmica em que sugere pela primeira vez que esta radiação não 
seria um fluxo contínuo de energia, mas sim um fluxo de pacotes de energia. Este 
trabalho é considerado hoje a origem da física quântica clássica.
Em 1909, R. Andrew Millikan demonstrou que a carga elétrica é também 
quantizada. Em 1900, Drude sugeriu que num metal a condução de corrente é feita 
por uma nuvem de elétrons e desenvolveu toda uma teoria de condução térmica 
e elétrica, aplicando a teoria cinética dos gases. A teoria cinética dos gases supõe 
que as moléculas de gases são esferas sólidas idênticas que se movem em linha 
reta até colidir com uma outra molécula do gás. Drude supôs adicionalmente que 
as cargas positivas pertenciam a partículas muito mais pesadas que o elétron, que 
eram consideradas imóveis.
No modelo de Drude supunha-se que os elétrons possuíam uma distribuição 
de velocidade eletrônica dada pela distribuição de Maxwell Boltzmann. Pouco 
tempo depois de Pauli apresentar o seu princípio da exclusão, isto é, que dois 
elétrons não podem assumir exatamente a mesma energia, Sommerfeld aplicou a 
mesma ideia ao modelo de Drude.
Isto implicava aplicar a distribuição de Fermi-Dirac, o que ajudou a 
corrigir uma série de falhas do modelo de Drude. O modelo de Sommerfeld ainda 
deixava de explicar muitas observações experimentais. As razões para as falhas 
eram algumas hipóteses que eram assumidas no modelo. Hoje, sabe-se que as 
principais fontes dos erros de predição eram as seguintes hipóteses: 
i) aproximação de elétron livre; 
ii) aproximação de elétrons independentes; 
iii) aproximação de tempo de relaxação nula.
Neste meio-tempo, o modelo do átomo foi também sendo desenvolvido:
1- Em 1904, Thomson apresentou o modelo de um átomo como sendo uma espécie 
de "pudim de passas", uma distribuição contínua de carga positiva contendo 
elétrons de carga negativa.
2- Em 1911, Ernest Rutherford apresenta o modelo de um átomo contendo um 
núcleo de carga positiva circundada por elétrons.
3- Em 1913, Niels Bohr propõe que as "órbitas" dos elétrons são quantizadas e que 
os raios atômicos são múltiplos de 2 π h, onde h é a constante de Planck. Com 
isso explica os espectros atômicos.
4- Em 1925, Erwin Schröedinger desenvolve a equação de Schröedinger e o 
conceito da função de onda.
5- Resolve a equação de Schröedinger no caso de um elétron confinado num 
potencial eletrostático de um próton e consegue determinar os mesmos níveis 
de energia previstos pelo modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.
Simultaneamente adquiria-se também uma série de conhecimentos a 
respeito da radiação eletromagnética, como a sua dualidade onda partícula 
(fóton), da quantização dos fótons, bem como das diferentes formas como a 
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
32
radiação eletromagnética e a matéria interagem. Um destes conhecimentos era 
o espectro atômico que era explicado pelo modelo atômico de Bohr. Por outro 
lado, em 1913, W. H. Bragg e W. L. Bragg se valiam do raio X para estudar a 
cristalografia dos sólidos, isto é, o arranjo dos átomos num sólido. Foi descoberto 
que alguns sólidos, como por exemplo, os cristais iônicos, formavam redes 
periódicas tridimensionais. Como os íons de uma rede cristalina perfeita 
são arranjados como uma rede periódica regular, passou-se a considerar um 
potencial periódico e o comportamento de um elétron em tal potencial. Este 
estudo (Teorema de Bloch) leva à conclusão de que em um potencial periódico 
os elétrons podem apresentar energias apenas dentro de certas faixas de energia, 
ou seja, prevê que existem bandas de energia permitidas (como as bandas de 
valência e de condução), com bandas de energia proibida entre elas. O estudo da 
condutividade de um elétron num potencial periódico foi também feito supondo 
que o elétron não é uma partícula, mas sim, um pacote de onda com o nível de 
elétron livre. Esta aproximação é chamada de modelo semiclássico, cujo resultado 
mais expressivo é a previsão da existência das lacunas.
[...] 
FONTE: OKA, Mauricio Massazumi. História da eletricidade. 2000. Disponível em: http://www.lsi.
usp.br/~dmi/manuais/HistoriaDaEletricidade.pdf. Acesso em: 30 set. 2019.
33
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Um fio condutor na qual circula uma corrente elétrica, gera um campo 
magnético.
• A força magnética é resultado do produto vetorial entre o campo magnético e 
a velocidade da partícula:
F qv B= ×
 
• Numa trajetória circular, uma carga de prova pode ser descrita em termos:
( )
( )
( )
 
2 
1 
2
mvR raio
q B
mT período
q B
q B
f f frequência
T m
π
π
=
=
= → =
• A força magnética em um fio percorrido por corrente é:
 BF iL B= ×
  
E também pode ser descrita em forma infinitesimal:
Bd F idL B= ×
  
• Quando uma espira percorrida por corrente elétrica está imersa em um campo 
magnético, a espira entra em movimento de rotação. Numa espira, o torque 
aplicado é conhecido pela expressão:
senNiABτ θ=
(15)
34
AUTOATIVIDADE
FIGURA – ESQUEMA DA EXPERIÊNCIA REALIZADA PELO FÍSICO DINAMARQUÊS,
HANS CHRISTIAN OERSTED, EM 1820
FONTE: <http://www.fisicapaidegua.com/questoes/imagens/q36_pucsp_2003.jpg>.Acesso em: 24 out. 2019.
Ao fechar a chave Ch, a fonte de tensão V faz circular uma forte corrente 
elétrica pelo circuito. Com isso, verifica-se que:
a) ( ) A agulha da bússola não se move, porque a corrente elétrica gera um 
campo elétrico.
b) ( ) A agulha da bússola deflete, tendendo a ficar perpendicular ao fio, 
porque a corrente elétrica gera um campo magnético.
c) ( ) A agulha da bússola é atraída pelo fio, porque a corrente elétrica gera 
um campo magnético.
d) ( ) A agulha da bússola é repelida pelo fio, porque a corrente elétrica gera 
um campo magnético.
e) ( ) A agulha da bússola não se move, porque somente a corrente elétrica 
alternada gera campo magnético.
1 A figura a seguir mostra um esquema da experiência realizada 
pelo físico dinamarquês, Hans Christian Oersted, em 1820, 
considerada um dos marcos iniciais do eletromagnetismo. 
Com a chave Ch aberta, não há passagem de corrente pelo 
circuito e a bússola aponta na direção norte-sul terrestre.
2 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009) Uma linha de 
transmissão horizontal é percorrida por uma corrente de 5000 
A no sentido sul-norte. O campo magnético da Terra (60,0µT) 
tem a direção norte e faz um Ângulo de 70,0º com a horizontal. 
Determine (a) o módulo e (b) a direção da força magnética exercida pelo 
campo magnético da Terra sobre 100 m da linha.
3 Analise as afirmações a seguir em relação à força magnética 
sobre uma partícula carregada em um campo magnético.
35
I- Pode desempenhar o papel de força centrípeta.
II- É sempre perpendicular à direção de movimento.
III- Nunca pode ser nula, desde que a partícula esteja em movimento.
IV- Pode acelerar a partícula, aumentando o módulo de sua velocidade.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) I e II são verdadeiras.
b) ( ) Somente II é verdadeira.
c) ( ) Somente IV é verdadeira.
d) ( ) II e III são verdadeiras.
e) ( ) I e IV são verdadeiras.
4 Uma bobina circular de 160 espiras tem um raio de 1,90 cm. 
(a) Calcule a corrente que resulta em um momento dipolar 
magnético de módulo 2,3 A.m². (b) Determine o valor máximo 
do torque a que a bobina é submetida quando, sendo percorrida 
por essa corrente, é colocada na presença de um campo magnético uniforme 
de módulo 35,0 mT.
36
37
TÓPICO 3
CAMPOS MAGNÉTICOS 
PRODUZIDOS POR CORRENTES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Com os resultados experimentais de Oersted e o estabelecimento do 
Eletromagnetismo foi possível concluir que em cargas elétricas em movimento 
existe uma força de interação magnética. As manifestações de fenômenos 
magnéticos são explicadas por meio dessa força entre cargas em movimento.
Desse modo, a deflexão sofrida pela bússola no experimento de Oersted 
tem origem devido a essa força. Do mesmo modo é responsável ela orientação 
da agulha magnética na direção norte-sul de uma bússola e a atração e repulsão 
gerada por ímãs. 
Alguns anos depois, Michael Faraday (1791-1867) apresentou a ideia de 
campos magnéticos e elétricos. Os campos podem ser representados por linhas 
de campo, como vimos no tópico anterior a representação da indução magnética 
para ímãs. Em fios percorridos por corrente elétrica, as linhas de campo são 
circulares e fechadas, como estudaremos nesse tópico. 
A força magnética é gerada pela presença de um campo magnético, e as 
aplicações cotidianas consistem em inúmeros dispositivos que utilizamos, desde 
liquidificadores a discos rígidos de computadores. Começaremos estudando como 
determinar um campo magnético em um elemento de um fio condutor sujeito a 
uma diferencial de potencial e produzindo uma corrente elétrica, e finalizaremos 
nosso estudo analisando os solenoides e bobinas.
2 CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR CORRENTE
A figura a seguir mostra um elemento de fio condutor percorrido por uma 
corrente elétrica i. Como vimos, a corrente gera um campo magnético em torno 
do fio e que pode ser observado num ponto arbitrário que chamaremos de P. 
38
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
FIGURA 19 – ILUSTRAÇÃO DE UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE GERANDO UM 
CAMPO MAGNÉTICO
FONTE: Os autores
Para definir o sentido das linhas de um campo magnético, usamos a regra 
da mão direita. O dedo polegar representa o sentido da corrente e os demais 
dedos apontam para o sentido das linhas de indução magnética. Ou seja, envolva 
o elemento de corrente com a mão direita, tal que o polegar aponta no sentido 
da corrente, enquanto que os outros dedos indicam a orientação das linhas de 
campo magnético produzido pela corrente.
FIGURA 20 – DISPOSIÇÃO DOS DEDOS EM RELAÇÃO À CORRENTE E ÀS LINHAS 
DE CAMPO MAGNÉTICO
FONTE: <https://donaatraente.wordpress.com/enquadramento-teorico/campo-magnetico/
regras-para-determinar-o-sentido-do-campo-magnetico/>. Acesso em: 24 out. 2019.
Para o cálculo do campo magnético produzido por uma corrente, vamos 
começar analisando um elemento infinitesimal do fio condutor apresentado na 
seguinte figura:
FIGURA 21 – ELEMENTO DE CORRENTE PRODUZINDO UM CAMPO MAGNÉTICO
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 234)
i Corrente
ds r
θ
P
(para dentrodopapel)dB

id s
r
TÓPICO 3 | CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES
39
Para cada elemento do fio, associamos um comprimento , cuja direção 
é a mesma da corrente. Para determinar o campo magnético produzido pelo 
elemento de corrente , escolhemos um ponto P no exterior do fio. Portanto, o 
módulo do campo magnético é dado por:
ds
→
dB
→
ds
→
0
2
7
0 0
. . 
4 .
 4 .10 . /
i ds sendB
r
permeabilidadedovácuo T m A
µ θ
π
µ µ π −
=
→ → =
Vetorialmente, podemos escrever em termos produto vetorial do 
elemento de corrente e a distância do ponto P:
0
24 .
ˆ.i ds rdB
r
µ
π
×
=


Essa equação é conhecida como Lei de Biot-Savart e se baseia em 
observações experimentais. Ela é utilizada para determinar o campo magnético 
em diferentes geometrias, como veremos neste tópico.
Para calcular o campo magnético produzido pela corrente elétrica em 
um fio com comprimento muito grande (infinito), consideramos o esquema da 
figura a seguir. O campo magnético produzido no ponto P aponta para dentro 
do papel. “O módulo do campo magnético é determinado pelos elementos 
de corrente que compõem a metade superior de um fio infinitamente longo, 
integrando dB de 0 a ∞ ” (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 236). 
FIGURA 22 – ELEMENTO DE CORRENTE PRODUZINDO UM CAMPO MAGNÉTICO
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 236)
i
s r
θ
P
(para dentrodopapel)dB

id s
r
R
40
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
Como o campo magnético produzido pela metade superior é igual ao 
produzido na metade inferior, basta multiplicar a integral por 1:
0
20 0
.2 2
4
i sen dsB dB
r
µ θ
π
∞ ∞
= =∫ ∫
De acordo com a figura, podemos escrever a distância por meio de 
relações trigonométricas:
( )
2
2 2
²r s R
Rsen sen
s R
θ π θ
= +
= − =
+
Resolvendo a integral obtemos:
( )0 02 20 2 2
i Rds iB fio retilíneolongo
s R R
µ µ
π π
∞
= =
+∫
O campo magnético produzido pela metade superior ou inferior do fio é 
metade desse valor, ou seja:
( )0 
4
iB fio retilíneo semi infinito
R
µ
π
= −
Como vemos na equação anterior, o módulo do campo magnético 
depende da corrente elétrica que percorre o fio, e da distância entre o ponto 
arbitrário e o fio. 
3 FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS
Dois fios longos e paralelos percorridos por corrente sofrem interferência 
por meio do campo gerado entre eles, e desse modo também exercem forças um 
sobre o outro. Veja a figura:
TÓPICO 3 | CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES
41
FIGURA 23 – FIOS PARALELOS PERCORRIDOS POR CORRENTE ELÉTRICA
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 240)
Como vemos, as correntes percorrem o fio no mesmo sentido. De acordo 
com a regra da mão direita, a corrente ib entra pelo lado direito e sai pelo lado 
esquerdo, assim como a corrente ia. Entre os dois fios, há uma força de atração 
devido à diferença do sentido do campo magnético nessa região. Ao aplicar a 
regra da mão direita, para verificaro sentido do campo elétrico, concluímos que 
correntes paralelas se atraem enquanto que correntes opostas se repelem.
Para calcular a força magnética entre os dois fios, consideramos o campo 
magnético gerado por um fio longo:
0
2
iB
R
µ
π
=
A definição de força magnética que o segmento L (indicado na Figura 23) 
do fio b devido à presença do campo magnético produzido pelo fio a é:
ba b aF i L B= ×
  
Sabendo que o comprimento L e o campo magnético são perpendiculares, 
o módulo é dado por:
90ba b aF i LB sen= °
Substituindo a equação do campo magnético na força magnética, obtemos:
0
2
a
ba b
iF i L
d
µ
π
=
42
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
A definição de Ampère (uma das sete unidades básicas do SI) adotada em 1946 
é: “O ampère é a corrente constante que, quando mantida em dois condutores retilíneos, 
paralelos, de comprimento infinito e seção reta desprezível, separados por 1 m de distância 
no vácuo, produz em cada um uma força de módulo 2 x 10-7 N por metro de comprimento 
dos fios” (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 241).
INTERESSA
NTE
4 LEI DE AMPÈRE
Ao assistir aos resultados apresentados por Oersted, em 1820, na 
Academia de Ciências da França, o físico José Marie Ampère imediatamente deu 
início a uma série de experiências, cujo primeiro resultado estudava a interação 
magnética entre dois fios transportando correntes. 
Podemos usar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético associado 
a uma distribuição de correntes em que o sistema possui algum tipo de simetria. 
Segundo as experiências de Ampère, as linhas de forças magnéticas são fechadas, 
isto é, acontecem em curvas fechadas conhecidas como amperianas. 
A circulação de B é sempre diferente de zero e proporcional à intensidade 
de corrente i total que atravessa a curva:
( )0. envB ds i Lei de Ampèreµ=

∮
Na Lei de Ampère, a curva C é fechada e arbitrária, e i é a corrente total que 
atravessa a amperiana, e o produto escalar é o produto entre o campo magnético 
B e o elemento ds. Para compreender melhor, observe a imagem:
FIGURA 24 – APLICAÇÃO DA LEI DE AMPÈRE A UMA CURVA FECHADA
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 242)
i3
Amperiana
θ
id s
Sentido de 
integração
i2
i1
B

TÓPICO 3 | CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES
43
Como vemos na figura, a amperiana traçada envolve apenas duas 
correntes, i1 e i2, enquanto a corrente i3 está fora da curva. O sentido da 
amperiana também é determinado arbitrariamente para realizar a integração 
foi o sentido anti-horário.
Ainda, precisamos analisar as correntes que atravessam a área dessa 
curva, segundo a regra da mão direita: envolva a amperiana com a mão direita e 
os dedos apontando no sentido da integração. A corrente no sentido do polegar 
recebe sinal positivo e a corrente no sentido oposto recebe sinal negativo. 
Na Figura 24, a corrente i1 é positiva e a corrente i2 é negativa, portanto, a 
corrente envolvida é igual à diferença entre as duas correntes:
1 2 envi i i= −
Embora a corrente i3 contribua para o módulo do campo magnético 
do lado esquerdo da equação da Lei de Ampère, as contribuições se cancelam 
quando a integração acontece na curva fechada, por isso consideramos apenas as 
correntes que se encontram no interior da amperiana. 
5 SOLENOIDES E TOROIDES
Outra situação em que a Lei de Ampère é aplicada é no campo magnético 
produzido pela corrente em uma bobina do tipo solenoide. Primeiramente, 
consideramos que o comprimento do solenoide é muito maior que o diâmetro. 
Com base na figura a seguir, demonstraremos a lei de Ampère para solenoides:
FIGURA 25 – A) LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO EM UM SOLENOIDE. 
B) APLICAÇÃO DA LEI DE AMPÈRE
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 246)
Iniciamos traçando a amperiana retangular abcda no elemento do 
solenoide. Como vemos, o campo magnético na região interna do solenoide é 
uniforme e na região externa é nulo. Escrevemos a integral de linha como a soma 
de quatro integrais, correspondentes a cada segmento da amperiana:
44
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
. . . . . 
b c d a
a b c d
B ds B ds B ds B ds B ds= + + +∫ ∫ ∫ ∫
        
∮
a→b: nesse trecho, o campo magnético é uniforme e percorre o elemento 
h, portanto:
0.
b
a
B ds Bh iµ= =∫

b→c: o campo magnético é perpendicular ao elemento ds, portanto o 
produto escalar é nulo.
c→d: o campo magnético B=0 em todos os pontos fora do solenoide. 
d→a: o campo magnético é perpendicular ao elemento ds, portanto o 
produto escalar é nulo.
Desse modo, podemos concluir que, de acordo com a Lei de Ampère, 
temos:
0.
b
env
a
B ds Bh iµ= =

∮
A corrente envolvida pela amperiana é igual à corrente que passa pelo 
número de espiras por unidade de comprimento do solenoide, isto é, a amperiana 
envolve nh espiras, portanto:
( )0 0 Bh inh B in solenoide idealµ µ= → =
O campo magnético no interior do solenoide depende apenas do número 
de espiras e da corrente, não depende de outros parâmetros do formato do 
solenoide, como diâmetro e comprimento e área da seção transversal. Portanto, o 
solenoide é uma forma prática de gerar um campo uniforme. 
O toroide é outra forma de gerar um campo magnético. Podemos dizer 
que o toroide é um solenoide cilíndrico, em formato de anel. Para construir um 
toroide, encurvamos o solenoide cilíndrico até que as extremidades se toquem. 
Por apresentar simetria geométrica, também podemos aplicar a Lei de 
Ampère a esse componente. Veja a figura:
TÓPICO 3 | CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES
45
FIGURA 26 – SEÇÃO RETA DE UM TOROIDE
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 247)
i
r
Amperiana
B

Traçamos a amperiana no formato de circunferência de raio r, na região 
interna do toroide. Pela Lei de Ampère:
2
0
0
. envB ds i
π
µ=

∮
A corrente envolvida é a corrente que percorre as espiras do toroide. 
Analogamente ao solenoide, a corrente depende do número de espiras. 
Resolvendo a integral nessas condições, obtemos:
( )00.2 2
iNB r iN B toroide
r
µπ µ
π
= → =
Diferente do solenoide, o campo magnético do toroide é inversamente 
proporcional ao raio, portanto, este não é constante. Já para todos os pontos 
externos ao toroide, o campo B=0. 
6 BOBINA PERCORRIDA POR CORRENTE E O ESTUDO DOS 
DIPOLOS MAGNÉTICOS
Como se comporta o campo magnético produzido por uma corrente em 
uma bobina? Uma bobina se comporta como um dipolo magnético, isto é, na 
presença do campo magnético há um torque gerado pelo momento dipolar. A 
equação que descreve esse fenômeno é:
Bτ µ= ×
 
46
UNIDADE 1 | CAMPO MAGNÉTICO
Tal que o momento dipolar magnético tem módulo dado por µ = NiA. 
Para encontrar uma expressão matemática para o campo magnético precisamos 
utilizar a Lei de Biot-Savart, em que o campo é dado por:
0 . . 90.
4 ²
i ds sendB
r
µ
π
°
=
Após algumas manipulações algébricas, chegamos à expressão:
( ) .
2 ³
oB z
z
µ µ
π
=

A demonstração completa pode ser encontrada em diversos livros de Física 
Básica indicados nas Referências da disciplina.
DICAS
A partir dessa equação, aferimos as seguintes conclusões: bobina produz 
um campo magnético para diferentes pontos no eixo z; e a bobina sofre um torque 
na presença de um campo magnético. Vale ressaltar que essa equação é válida 
para valores de z muito grandes, ou seja, para dimensões inferiores à da bobina, 
o campo no eixo z é desprezível. 
Encerramos esta unidade em que estudamos os princípios básicos do 
eletromagnetismo, desde os experimentos primordiais ao estudo de campos 
magnéticos produzidos por diferentes geometrias e elementos de fio percorridos 
por corrente. Na próxima unidade estudaremos os circuitos e as propriedades 
magnéticas da matéria, como indução, indutores e oscilações eletromagnéticas.
47
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• O campo magnético pode ser gerado por correntes e calculado por meio da Lei 
de Biot-Savart:
0
24 .
ˆ.i ds rdB
r
µ
π
×
=


• O campo magnético produzido por uma correnteem um fio longo é dado pela 
expressão: 
0
2
iB
R
µ
π
=
• Em fios paralelos percorridos por corrente, a força é de atração para correntes 
de mesmo sentido e de repulsão para correntes em sentidos opostos. 
• A Lei de Ampère possui vasta aplicação em curvas fechadas, como solenoides 
e toroides, e é dada pela expressão:
2
0
0
. envB ds i
π
µ=

∮
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
48
AUTOATIVIDADE
FIGURA – PARTÍCULA IMERSA EM UM CAMPO MAGNÉTICO
FONTE: Os autores
Com base em sua análise da figura, marque V para as afirmações verdadeiras 
e F para as falsas:
( ) Se A estiver carregada positivamente, sua trajetória será desviada para 
cima ao atravessar o campo.
( ) Se A estiver carregada negativamente, sua trajetória será desviada para 
fora da folha da prova ao atravessar o campo.
( ) Independentemente da sua carga, sua trajetória não será desviada ao 
atravessar o campo.
a) ( ) V – F – V.
b) ( ) V – F – F.
c) ( ) F – V – V. 
d) ( ) F – F – V.
e) ( ) F – V – F.
1 É dado um solenoide retilíneo de comprimento 100 cm 
que contém 2000 espiras, percorrido por uma corrente de 
intensidade de 5 A. Sendo µ = 4π.10–7T.m/A a permeabilidade 
no vácuo, a intensidade do vetor campo magnético na região 
central do solenoide é:
a) ( ) B = 4π.10–7 T.
b) ( ) B = 4π.10–3 T.
c) ( ) B = 5π.103 T. .
d) ( ) B = 3π.10–3 T. 
e) ( ) B = 4.10–5 T.
2 A figura a seguir representa um campo magnético B vetorial, 
entrando na folha. Uma partícula A apresenta uma velocidade 
v e se dirige para o campo.
49
3 Utilizando a Lei de Ampère, refaça as expressões encontradas 
para o solenoide e para o toroide. 
4 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009) Um fio longo está 
sobre o eixo x e conduz uma corrente de 30 A no sentido 
positivo do eixo x. Um segundo fio longo é perpendicular ao 
plano xy, passa pelo ponto (0;4,0m;0) e conduz uma corrente 
de 40 A no sentido positivo no eixo z. Determine o módulo do campo 
magnético produzido pelos fios nos pontos (0;2,0m;0).
5 (HALLIDAY, RESNICK; WALKER, 2009) Um solenoide longo 
tem 100 espiras/cm e conduz uma corrente i. Um elétron se 
move no interior do solenoide em uma circunferência de 2,30 
cm de raio perpendicular ao eixo do solenoide. A velocidade do 
elétron é 0,0460c. Determine a corrente no solenoide.
50
51
UNIDADE 2
CIRCUITOS E PROPRIEDADES 
MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• entender as características da indução eletromagnética;
• entender como funciona a força eletromotriz induzida;
• compreender a composição dos circuitos;
• diferenciar os tipos de oscilações eletromagnéticas.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
TÓPICO 2 – CIRCUITOS 
TÓPICO 3 – OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE 
ALTERNADA
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
52
53
TÓPICO 1
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Se hoje usamos equipamentos e tecnologias que tempos atrás eram vistos 
em filmes de ficção científica, no passado os sonhos tecnológicos se resumiam 
a coisas que hoje parecem simples, como se comunicar a longas distâncias, 
transmitir informações com rapidez e produzir uma luz artificial. 
No século XIX, os cientistas buscavam incansavelmente consolidar os 
conhecimentos teórico e experimental sobre a eletricidade. A busca acontecia 
dentro das universidades e no mundo afora, por inventores e laboratórios de 
empresas privadas.
A verificação experimental de Oersted, em 1820, unindo a eletricidade e o 
magnetismo, gerou certa provocação nos cientistas da época. Será que o processo 
inverso é possível? Ou seja, será que um campo magnético variável é capaz de 
gerar corrente elétrica? É nesse cenário que Michael Faraday, em 1831, montou 
um arranjo experimental capaz de responder a esta pergunta. 
Após as descobertas realizadas nessa época, muitos aparatos tecnológicos 
como o telégrafo (1844), a lâmpada e o telefone foram inventados. Neste tópico, 
estudaremos a relação existente entre campos magnéticos variáveis e correntes 
elétricas. 
2 A DESCOBERTA DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
O arranjo experimental montado por Faraday era constituído de uma 
bateria, um fio enrolado em um núcleo de ferro e um amperímetro conectado 
ao circuito. Toda vez que o circuito era ligado ou desligado, surgia uma corrente 
elétrica, mas que surgia apenas durante um curto instante e logo cessava.
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
54
FIGURA 1 – ESQUEMA DO ARRANJO EXPERIMENTAL DE FARADAY
FONTE: <https://static.todamateria.com.br/upload/ex/pe/experimentofaraday.jpg>. 
Acesso em: 15 ago. 2019.
Para verificar se esse fenômeno era visualizado em outras configurações, 
Faraday montou diferentes arranjos experimentais. Um deles era constituído por 
uma bobina, um ímã e um amperímetro, como mostra a figura a seguir.
FIGURA 2 – ILUSTRAÇÃO DA CONFIGURAÇÃO EXPERIMENTAL 
DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
FONTE: <http://educacao.globo.com/fisica/assunto/eletromagnetismo/inducao.html>. 
Acesso em: 15 ago. 2019.
Ao aproximar o ímã da bobina, Faraday observava que o ponteiro do 
amperímetro se movia. Quando o ímã se encontrava em repouso, o amperímetro 
não registrava a passagem de corrente, e quando o ímã era afastado da bobina, 
o amperímetro se movia no sentido oposto. Com isso, o cientista observou que, 
ao mover o ímã em relação ao interior da bobina, surgia uma corrente elétrica 
variável no sistema.
Esse fenômeno se chama indução eletromagnética e representa uma das 
mais importantes descobertas da história da Física, uma vez que este é o princípio 
de funcionamento das turbinas geradoras de energia elétrica.
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
55
Você já ouviu falar sobre o dínamo? O dínamo é um gerador de eletricidade 
formado por um ímã fixo em um eixo móvel, em que existe uma bobina. O movimento 
de rotação causado pelo aparelho gera um movimento no eixo do dínamo, transformando 
energia mecânica em energia elétrica.
NOTA
O dínamo costumava estar acoplado em bicicletas antigas, em que a 
rotação da roda gerava uma energia para acender a lâmpada da bicicleta. Do 
mesmo modo, alguns equipamentos de academia também funcionam sobre o 
princípio de indução magnética composto por um dínamo. 
A base física do funcionamento de um gerador, como o dínamo, está 
na indução eletromagnética, em que a variação do fluxo magnético induz uma 
corrente elétrica em um condutor. O dínamo serviu de base para invenção de 
outros tipos de geradores, mesmo os mais atuais.
O filme O menino que descobriu o vento (Netflix/2019) conta a história de um 
menino que vivia numa comunidade africana e, após ver a seca atingir a terra, e o seu povo 
passando fome, com o auxílio dos livros da biblioteca da escola local consegue construir um 
dínamo a partir de materiais de sucata com a ajuda dos amigos. Vale a pena assistir ao filme!
DICAS
3 FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA
Michael Faraday descobriu que a corrente elétrica pode ser produzida em 
uma espira ao mover um ímã dentro dessa espira, para dentro e para fora, isso 
ocorre porque as linhas de campo que atravessam a espira promovem o fluxo de 
campo magnético ou fluxo magnético.
Vamos pensar na espira como sendo uma superfície de área A e quando 
as linhas de campo magnético (B) de um ímã atravessam essa área, formando um 
ângulo a entre si, dizemos que há fluxo magnético (Φ).
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
56
FIGURA 3 – CAMPO MAGNÉTICO ATRAVESSANDO UMA ESPIRA EM TRÊS SITUAÇÕES
FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 169)A expressão matemática na forma integral é escrita como:
Considerando que o campo magnético seja constante:
Se o campo magnético e a área da espira forem perpendiculares entre si, 
a expressão se reduz a:
De forma mais geral, podemos escrever o fluxo magnético como sendo:
Em que:
·
.
. .cos
B dA
B dA
B A
B A α
Φ = ∫
Φ = ∫
Φ =
Φ =


·
.
. .cos
B dA
B dA
B A
B A α
Φ = ∫
Φ = ∫
Φ =
Φ =


·
.
. .cos
B dA
B dA
B A
B A α
Φ = ∫
Φ = ∫
Φ =
Φ =


·
.
. .cos
B dA
B dA
B A
B A α
Φ = ∫
Φ = ∫
Φ =
Φ =


Grandeza Símbolo Unidade (SI*)
Fluxo Magnético Φ Wb (Weber)
Campo Magnético B T (tesla)
Área da Espira A m2 (metro quadrado)
Ângulo entre B e A a o (grau)
 *SI: Sistema Internacional de Unidades.
α = 0o 0o < α < 90o α = 90o 
B
n


B
n


B
n


B
n


B
n


B
n


αα
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
57
Exemplo 1: 
Um fio condutor de 20 cm de lado é colocado perpendicularmente a um 
campo magnético de intensidade 16x10-5T. A intensidade do campo magnético é 
reduzida a zero em 4 s. Determine o fluxo magnético que atravessa a espira.
Resolução: 
Convertendo o tamanho do lado da espira para metro, temos: 20 cm = 0,20 m. 
O fluxo magnético é dado por:
O fluxo magnético e a espira são perpendiculares entre si (cos 0), então:
( ) ( )5
3
. .cos
16 10 . 0,20 ².cos0
64 10 
B dA
B A
x T m
x Wb
α
−
−
Φ = ∫
Φ =
Φ =
Φ =

( ) ( )5
3
. .cos
16 10 . 0,20 ².cos0
64 10 
B dA
B A
x T m
x Wb
α
−
−
Φ = ∫
Φ =
Φ =
Φ =

4 LEI DE FARADAY
Faraday descobriu que uma força eletromotriz e uma corrente elétrica 
podem ser induzidas numa espira, para isso é necessário que haja uma variação 
na quantidade de campo magnético que atravessa a espira, ou seja, deve-se variar 
o fluxo magnético.
Experimentalmente, podemos visualizar a descoberta de Faraday 
utilizando um ímã, uma espira ligada em série com um amperímetro, como 
detalhado na sequência:
1- Se o ímã estiver em repouso, não há variação de fluxo magnético, portanto não 
há força eletromotriz e corrente elétrica induzida.
FIGURA 4 – ÍMÃ COM O POLO NORTE SENDO APROXIMADO DA ESPIRA
FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 170)
i = 0
ímã em repouso
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
58
2- Quando o ímã é aproximado da espira, o número de linhas de campo magnético 
aumenta e o amperímetro registrará a corrente elétrica induzida.
3- Quando o ímã é afastado da espira, o valor do amperímetro inverte, se for 
analógico, como na figura, o ponteiro se deslocará para o sentido oposto.
Essa experiência esclarece que a variação do fluxo magnético é consequência 
do movimento do ímã através da espira, e como surge uma corrente elétrica 
induzida, podemos afirmar que houve trabalho realizado no deslocamento dos 
elétrons. E só há trabalho se houver uma diferença de potencial (ddp) na espira, 
portanto, podemos dizer que a variação do fluxo magnético (Φ) estabelece na 
espira uma força eletromotriz ε (fem).
Deve-se ressaltar que a força eletromotriz induzida independe da 
resistência da espira, entretanto isso não ocorre com a corrente elétrica induzida.
Portanto, a Lei da Indução de Faraday pode ser enunciada como: a 
força eletromotriz induzida num circuito deve-se à variação do fluxo magnético 
durante o tempo em que ocorre tal variação. A expressão matemática para a Lei 
da Indução de Faraday é:
FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 170)
FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 170)
FIGURA 5 – CORRENTE ELÉTRICA INDUZIDA (i) NA ESPIRA PELA 
VARIAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO
FIGURA 6 – ÍMÃ SENDO AFASTADO DA ESPIRA E GERANDO UMA CORRENTE ELÉTRICA 
INDUZIDA (i) NO SENTIDO OPOSTA À GERADA AO APROXIMAR O ÍMÃ
i
ímã aproximando-se
i
ímã afastando-se
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
59
t
N
t
ε
ε
∆Φ
= −
∆
∆Φ
= −
∆t
N
t
ε
ε
∆Φ
= −
∆
∆Φ
= −
∆
No caso de uma variação de fluxo magnético através de uma bobina com 
N espiras, temos:
O sinal negativo por vezes é omitido, pois em algumas ocasiões estamos 
interessados apenas no módulo do valor da fem induzida e esse sinal indica a 
oposição da fem em relação à variação do fluxo magnético. A unidade da fem 
induzida é o volt (V).
Consideremos o exemplo anterior: 
Um fio condutor de 20 cm de lado é colocado perpendicularmente a um 
campo magnético de intensidade 16x10-5T. A intensidade do campo magnético é 
reduzida a zero em 4 s. Determine o valor da fem induzida.
Resolução: 
Já calculamos o fluxo magnético inicial: Φi = 64x10-3 Wb. O fluxo magnético 
após os 4 s é igual a zero, pois não temos mais intensidade de campo magnético, 
então Φf = 0. Portanto, a variação do fluxo magnético é:
Então, a fem induzida será:
( )
3
3
3
3
0 64 10
64 10 
64 10
4
16 10 
16 
f i
x
x Wb
t
x
x V
mV
ε
ε
ε
ε
−
−
−
−
∆Φ = Φ −Φ
∆Φ = −
∆Φ = −
∆Φ
= −
∆
−
= −
=
=
( )
3
3
3
3
0 64 10
64 10 
64 10
4
16 10 
16 
f i
x
x Wb
t
x
x V
mV
ε
ε
ε
ε
−
−
−
−
∆Φ = Φ −Φ
∆Φ = −
∆Φ = −
∆Φ
= −
∆
−
= −
=
=
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
60
4.1 FORMAS DE VARIAÇÃO DO FLUXO MAGNÉTICO
São três as formas de variar o fluxo magnético:
• Variação da intensidade do campo magnético
Consideremos um ímã e um circuito fechado. Quando o ímã é aproximado 
do circuito fechado há um aumento do fluxo magnético, o que implica o 
aparecimento de uma corrente elétrica induzida no circuito.
FIGURA 7 – ÍMÃ FIXO (À ESQUERDA) NÃO GERANDO CORRENTE ELÉTRICA E ÍMÃ SENDO 
APROXIMADO (À DIREITA) DA ESPIRA GERANDO CORRENTE ELÉTRICA INDUZIDA
FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 171)
•	 Variação	da	área	atravessada	pelo	fluxo	magnético
Considere uma região onde existe um campo magnético uniforme e uma 
espira. À medida que essa espira entra na região com campo magnético com 
uma velocidade , o fluxo magnético aumenta. Quando a espira está totalmente 
dentro da região do campo magnético não há variação de fluxo magnético. Ao 
deixar a região de campo magnético, volta a existir uma corrente induzida na 
espira devido à variação do fluxo magnético.
v
FIGURA 8 – VARIAÇÃO DA ÁREA (A) DE UMA ESPIRA QUADRADA SOBRE UMA REGIÃO 
DE CAMPO MAGNÉTICO ( ) COM O GALVANÔMETRO (G) INDICANDO A PRESENÇA DE 
CORRENTE ELÉTRICA NO CIRCUITO
B

FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 171)
ímã aproximando-se
ímã fixo
circuito fechado
circuito fechado
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
61
• Variação do ângulo entre e o plano da área atravessada 
Como o fluxo magnético depende do ângulo entre o campo magnético e a 
área atravessada por esse campo, voltamos à expressão:
Para que o fluxo magnético seja máximo, a componente normal (n) que 
é perpendicular ao plano da área e o campo magnético devem ser paralelos, 
dessa forma o cosseno de 0o vale 1 (cos 0o = 1). Para qualquer outro ângulo, o valor 
do fluxo magnético será menor, pois teremos ângulos maiores cujos cossenos 
serão menores.
B

B

B

. .cosB A αΦ =
FIGURA 9 – VARIAÇÃO DO ÂNGULO ENTRE A COMPONENTE NORMAL (n) À
 ÁREA E O CAMPO MAGNÉTICO ( )B
 B

FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 171)
Exemplo: 
Considere uma espira com área de 30 cm2 imersa numa região de campo 
magnético constante de intensidade 6x10-5T. Determine o fluxo magnético em três 
situações distintas:
a)
Resolução: 
O ângulo entre a normal à área e o campo magnético é de 0o e o fluxo 
magnético é dado por: Φ = B. A. cos a, então:
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
62
b) 
( )( )5 3
8
. .cos
6 10 3 10 cos0
18 10 
B A
x T x m
x Wb
α
− −
−
Φ =
Φ = °
Φ =
( )( )
( )
5 3
8
8
. .cos
6 10 3 10 cos60
118 10 
2
9 10 
B A
x T x m
x Wb
x Wb
α
− −
−
−
Φ =
Φ = °
Φ =
Φ =
c) 
( )( )
( )
5 3
8
. .cos
6 10 3 10 cos90
18 10 0
0
B A
x T x m
x Wb
α
− −
−
Φ =
Φ = °
Φ =
Φ =
Seguem alguns títulos para engrandecer sua leitura e estudos acerca da 
indução eletromagnética:
Livro: Universo Elétrico – A impressionante história da eletricidade.Autor: David Bodanis.
O livro traz a história da eletricidade por meio de uma odisseia composta por heróis e 
vilões, sendo narrada de uma forma eletrizante!
Livro: Faraday & Maxwell – Luz sobre os campos.
Autor: Frederico Firmo de Souza Cruz.
Esse livro faz parte da coleção Imortais da Ciência e trata das descobertas de Michael Faraday 
e James Clerk Maxwell, que transformaram o mundo com as suas descobertas e equações.
DICAS
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
63
5 LEI DE LENZ
Após a Lei da Indução de Faraday, Heinrich Friedrich Lenz propôs uma 
regra, conhecida por Lei de Lenz, que determina o sentido da corrente elétrica 
induzida na espira pelo ímã. Faraday comprovou que a variação do campo 
magnético, ou seja, o fluxo magnético numa espira gera uma força eletromotriz 
induzida na espira que, por sua vez, gera um fluxo magnético de sentido oposto 
ao fluxo magnético originário do ímã.
Essa é a contribuição de Lenz para a Lei de Faraday, matematicamente 
essa contribuição é o sinal negativo na Lei de Faraday:
De forma mais simples, podemos dizer que a corrente induzida num 
circuito fechado surgirá sempre no sentido contrário ao do ímã que lhe originou 
e o sinal negativo expressa essa oposição.
Para melhor compreensão, considere uma espira condutora fechada e um 
ímã, como na figura a seguir:
t
ε ∆Φ= −
∆
Contribuição de Lenz para a Lei de Faraday
FIGURA 10 – ESPIRA CONDUTORA E ÍMÃ
FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 171)
Agora, considere o polo norte da espira aproximando-se da espira. Isso 
implica o aparecimento de uma corrente elétrica induzida na espira devido ao 
fluxo magnético do campo do ímã. Essa corrente elétrica induzida gera um campo 
magnético induzido no sentido oposto ao campo magnético gerado pelo ímã.
ímã
espira
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
64
FIGURA 11 – ÍMÃ APROXIMANDO-SE DA ESPIRA COM SEU FLUXO MAGNÉTICO EM VERMELHO 
ATRAVESSANDO A ESPIRA. EM VERDE ESTÃO AS LINHAS DE CAMPO MAGNÉTICO INDUZIDO 
(B
ind
) GERADO PELA CORRENTE ELÉTRICA INDUZIDA (i)B

FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 175)
FONTE: Bonjorno et al. (2003, p. 175)
Ao afastar-se da espira, o fluxo magnético diminui, o que ocasionará uma 
corrente elétrica no sentido horário (i), gerando um campo magnético induzido 
(Bind ) no mesmo sentido do campo magnético do ímã.B

FIGURA 12 – ÍMÃ AFASTANDO-SE DA ESPIRA
Exemplo 1: 
Considere a figura a seguir, em que uma espira condutora possui uma 
semicircunferência de raio igual a 0,30 m e três fios retilíneos. A espira está 
imersa numa região de campo magnético uniforme ( ), cujo módulo é dado pela 
equação (em que o campo magnético é medido em Tesla e o tempo em segundos): 
B = 3t2 + 1t + 2. 
B

FIGURA 13 – ESPIRA CONDUTORA
FONTE: A autora
ímã aproximando-se
ímã afastando-se
BindB

i
i
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
65
Sendo a resistência elétrica igual a 3 Ω e que uma fonte de 1,5 V está ligada 
à espira, determine:
a) A intensidade e o sentido da força eletromotriz induzida (εind) na espira pelo 
campo magnético no instante 12 s.
Resolução: 
A Lei de Faraday estabelece que a fem induzida é igual à taxa de variação 
do fluxo magnético através da espira:
ind
d
dt
ε Φ= −
O fluxo magnético depende da área (A) da espira e da orientação da espira 
em relação ao campo magnético ( ). Como o campo magnético é uniforme e 
perpendicular ao plano, o fluxo magnético é: Φ = BA. E ainda, o campo magnético 
induzido (Bind) se opõe à variação do fluxo magnético, então:
B

( )
ind
ind
ind
d
dt
d BA
dt
dBA
dt
ε
ε
ε
Φ
= −
−
= −
=
Na figura, é fácil ver que apenas a parte da semicircunferência está imersa 
no campo magnético, então devemos considerar apenas sua área: , que, 
obviamente, é a metade da área de um círculo.
2
2
rA π=
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
3 1 2
2
6 1
2
0,30
6.12 1
2
10,3 
ind
ind
ind
ind
ind
r dB
dt
r d t t
dt
r t
V
πε
πε
πε
π
ε
ε
=
= + +
= +
= +
=
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
66
O fluxo através da espira é saindo do plano do papel, já o fluxo do campo 
magnético induzido se opõe, sendo orientado para dentro do plano do papel e 
pela regra da mão direita a corrente elétrica induzida tem sentido horário e o 
mesmo ocorre com a força eletromotriz induzida.
b) A corrente elétrica na espira no instante 12 s.
Resolução: 
Como a força eletromotriz tende a produzir uma corrente elétrica 
induzida no sentido horário e a força eletromotriz da fonte tende a produzir uma 
corrente elétrica no sentido anti-horário, a diferença entre as duas será a força 
eletromotriz total, e esta terá sentido horário, pois a força eletromotriz induzida 
é maior. Assim, teremos:
10,3 1,5
3
2,9 
total
ind fonte
i
R
i
R
i
i A
ε
ε ε
=
−
=
−
=
=
Exemplo 2: 
Considere a espira retangular da figura que está imersa num campo 
magnético variável ( ) perpendicular à espira e apontando para dentro do plano 
do papel. A intensidade do campo é definida pela equação: B = 2t3x2, sendo B em 
Tesla, t em segundos e x em metros. As dimensões da espira são 4,0 m de largura 
e 3,0 m de altura. Determine a intensidade e a direção da força eletromotriz 
induzida (εind) na espira em t = 0,20 s.
B

FIGURA 14 – ESPIRA RETANGULAR 
FONTE: A autora
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
67
Resolução: 
Para encontrar a força eletromotriz (εind) pela Lei de Faraday, devemos 
encontrar uma função para o fluxo magnético (Φ), e como o campo magnético é 
variável, devemos integrar e considerar dA = Hdx, então:
( )3 22
B dA
BdA
BHdx
t x Hdx
Φ = ∫ ⋅
Φ = ∫
Φ = ∫
Φ = ∫

Considerando o tempo constante e que a largura pode variar de 0 a 4, 
portanto, estes serão os limitantes da integral.
( )
4
3 2
0
43
3
0
3 3
3
3
3
2
2
3
4 02
3 3
642 3,0
3
128
t H x dx
xt H
t H
t
t
Φ =
Φ =
 
Φ = − 
 
Φ =
Φ =
∫
O valor da intensidade da força eletromotriz induzida é dado pela Lei de 
Faraday:
( )
( )
3
3
2
2
128
128
384
384 0,20
15,36 
ind
ind
ind
ind
ind
ind
d
dt
d t
dt
dt
dt
t
V
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Φ
=
=
=
=
=
=
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
68
O fluxo para dentro do papel aumenta com o tempo, pois o campo 
magnético aumenta com o tempo! Pela Lei de Lenz, o campo magnético induzido 
é oposto ao campo magnético original, sendo então para fora do plano do papel.
6 A GUITARRA ELÉTRICA
Sabe-se que uma guitarra acústica ou violão dependem das ressonâncias 
produzidas pelas cordas no interior oco do corpo do instrumento, mas na guitarra 
elétrica não acontecem tais oscilações, pois é um instrumento maciço, portanto 
não ocorrem oscilações acústicas.
Como ouvimos o som da guitarra? As oscilações das cordas metálicas são 
captadas por sensores que são bobinas de captação que enviam o sinal para os 
amplificadores e para os alto-falantes e a partir daí propagam-se como ondas 
sonoras no meio em que estão inseridas.
Numa guitarra há conjuntos de bobinas, que nesse caso são ímãs enrolados 
pelos fios que ligam a guitarra ao amplificador, sendo que o campo magnético do 
ímã gera um polo norte e um polo sul logo acima da corda metálica.
FIGURA 15 – REPRESENTAÇÃO DE UMA BOBINA E UM TRECHO DE UMA 
CORDA DE UMA GUITARRA ELÉTRICA
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 269)
Essa parte da corda gera outro campo magnético e, ao tocar a corda, ela 
oscila e seu movimento em relação à bobina gera uma variação do fluxo magnético 
através desta, o que implica o aparecimento de uma corrente elétrica induzida na 
bobina. Ao oscilar, a corda faz com que a corrente induzida varie seu sentido com 
a mesma frequência das oscilações da corda e essas frequências são transferidas 
para os amplificadores.
Numa guitarra existem diferentes formas e números de conjuntos de 
bobinas. Alguns guitarristas, como o ícone Jimi Hendrix, alterava o número de 
espiras das bobinas de suas guitarras para modificar e ter maior controle de sua 
guitarra. Na figura a seguir são três os conjuntosde bobinas que se encontram no 
corpo da guitarra elétrica.
Corda metálica
Ímã
Para o amplificadorBobina
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
69
FIGURA 16 – GUITARRA ELÉTRICA COM TRÊS CONJUNTOS DE BOBINAS 
NO CORPO DA GUITARRA
FONTE: <https://www.worten.pt/i/7ea23b505dc2868510dba288263e2d401cadf893.jpg>. 
Acesso em: 5 dez. 2019.
7 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS
Uma força eletromotriz é induzida por um campo magnético variável 
mesmo que a espira através da qual o fluxo magnético está variando seja apenas 
uma curva imaginária. O campo magnético variável induz um campo elétrico 
 em todos os pontos da curva. Se o campo magnético se tornar constante, o 
campo elétrico deixa de existir.
Vamos agora reescrever a equação para a Lei de Faraday considerando o 
campo elétrico. Para isso, consideremos uma partícula de carga q0 se movendo ao 
longo de uma circunferência. O campo elétrico induzido realiza um trabalho (W) 
nessa partícula, cujo valor depende da força eletromotriz, ou seja:
Sabemos que o trabalho é definido por:
Sendo o módulo da força elétrica que age sobre a partícula: F= q0E ao longo 
da circunferência cujo comprimento é igual a 2πr. Portanto, a equação (2) pode 
ser reescrita como:
Substituindo a equação (1) em (3):
 
E

( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
(1)
(2)
(3)
(4)
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
70
Agora, considerando uma trajetória fechada, a equação (2) fica escrita 
como uma integral fechada:
Como F= q0E, temos:
Lembrando que W = εq0, então:
Lembrando que , então a equação para a Lei de Faraday pode ser 
reescrita como:
d
dt
ε Φ= −
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
( )( )
0
0
0 0
0
0
2
2
2
W q
W F ds
W q E r
q q E r
rE
W F ds
W q E ds
W E ds
q
E ds
dE ds
dt
ε
π
ε π
ε π
ε
=
= ∫ ⋅
=
=
=
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Φ
⋅ = −∫
 
 
 
 
 
 
�
∮
∮
∮
∮
8 INDUTORES E INDUTÂNCIA
Um indutor é um dispositivo que pode ser utilizado para produzir um 
campo magnético conhecido em uma certa região. O fluxo magnético (Φ) é 
diretamente proporcional à corrente elétrica que o produz, sendo que a grandeza 
que garante a proporcionalidade é a indutância (L):
O tipo de indutor mais simples é a parte central de um solenoide longo 
com N espiras, portanto, podemos escrever a indutância como sendo:
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
(2)
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
71
O produto NΦ é chamado de enlaçamento fluxo magnético, que dividido 
pela unidade de corrente elétrica i resulta na indutância L, cuja unidade de 
medida é definida como Henry (H), em homenagem ao físico norte-americano 
John Henry.
Para o solenoide, devemos considerar a densidade de espiras (n), definida por:
Em que l é um segmento de comprimento do solenoide. E lembrando que 
o fluxo magnético depende do campo magnético e da área:
E que o campo magnético do solenoide é:
Substituindo (5) em (4):
Substituindo (3) e (6) em (2):
Portanto, a indutância por unidade de comprimento é:
Assim, fica claro que a indutância depende apenas da geometria do indutor!
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
( )
( ) ( )
0
0
0
0
2
0
2
0
 
solenoide
solenoide
Li
NL
i
Nn
l
B A
NB i
l
Ni A
l
nl NL i A
i l
nl
L inA
i
L ln A
L n A
l
µ
µ
µ
µ
µ
µ
Φ =
Φ
=
=
Φ =
=
 Φ =  
 
 =  
 
=
=
=
(3)
(4)
(5)
(6)
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
72
9 AUTOINDUÇÃO
Uma força eletromotriz autoinduzida εL surge em todo indutor cuja 
corrente elétrica é variável. Da Lei de Faraday temos:
Mas NΦ = Li e, nesse caso, εind = εL , portanto:
Essa equação representa a força eletromotriz autoinduzida. Vale lembrar 
que essa força sempre aparece quando a corrente varia com o tempo. Veja que essa 
equação matemática representa a taxa de variação da corrente elétrica. O sentido 
da força eletromotriz é fornecido pela Lei de Lenz, isto é, a força eletromotriz 
autoinduzida se opõe à variação que a produz.
( )
ind
L
L
dN
dt
d Li
dt
diL
dt
ε
ε
ε
Φ
= −
= −
= −
( )
ind
L
L
dN
dt
d Li
dt
diL
dt
ε
ε
ε
Φ
= −
= −
= −
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
73
LEITURA COMPLEMENTAR
MICHAEL FARADAY: O CAMINHO DA LIVRARIA À DESCOBERTA 
DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Valéria Silva Dias 
Roberto de Andrade Martins
A história de Faraday na sala de aula
Embora existam bons exemplos do uso da história em livros texto, isso 
ainda não se constitui a regra e sim exceção. Na maioria das vezes em que elementos 
da história de uma determinada Ciênciasão levados à sala de aula incluídos nos 
livros didáticos do Ensino Médio (alguns livros não fazem referência à História 
da Ciência que abordam), isso se dá por meio da apresentação do “surgimento” 
(normalmente descontextualizado) de uma grande teoria que “derruba” a teoria 
anteriormente vigente; de alguns aspectos da biografia de cientistas, descritos de 
forma caricatural, ou somente com fotos dos mesmos. 
É no estudo de eletromagnetismo que o nome de Michael Faraday surge 
como um personagem importante. Frequentemente se repete, nestes momentos, 
que Faraday era um garoto pobre, que muito pequeno já trabalhava como ajudante 
de um livreiro e que foi lendo os livros da livraria e percebeu que tinha algo 
especial, algo como uma genialidade escondida, cujo despertar permitiu torná-
lo, posteriormente, um grande cientista. Em uma mesma frase, Faraday passa de 
ajudante em uma livraria ao “descobrimento” da lei da indução. Mas, o que existe 
entre esses dois momentos?
Além disso, o que foi que Faraday descobriu? Seu trabalho foi 
essencialmente experimental (o que não significa que ele não tivesse pressupostos 
teóricos emergentes da produção científica na área) e qualitativo (sem medidas), 
e ele não chegou a nenhuma lei quantitativa da indução. Costuma-se apresentar, 
didaticamente, a indução eletromagnética falando sobre a corrente elétrica que é 
induzida em uma bobina quando se move um ímã em sua proximidade, mas não 
foi esse tipo de fenômeno que Faraday estudou, inicialmente. 
A trajetória percorrida por Faraday até chegar à elaboração de lei da indução 
mostra que seus progressos dependeram muito mais de trabalho de pesquisa, 
de leitura e estudo, de seu interesse e esforços, do que de uma superioridade 
intelectual incomum. A próxima seção relata uma parte dessa trajetória visando 
esclarecer essas convicções.
A história de Faraday segundo uma pesquisa histórica
Para estudar o trabalho de Faraday sobre eletromagnetismo, foram 
utilizados os trabalhos publicados pelo próprio Faraday, no período; além disso, 
foi consultado seu diário de laboratório que contém anotações de setembro 
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
74
de 1820 até março de 1862. Foi utilizado apenas o primeiro de sete volumes, 
compreendendo o período de setembro de 1820 a junho de 1832. Também foi 
empregado somente o primeiro volume da correspondência de Faraday, editado 
por Frank A. J. L. James, abrangendo o que foi mantido do período de 1811 a 1831.
A correspondência que foi conservada do período aqui estudado é 
bastante incompleta; aparentemente Faraday não guardava rascunhos ou cópias 
das correspondências que escrevia e enviava, assim muitas se perderam. Foi 
conservada maior quantidade de correspondência passiva (recebida) do que ativa 
(escrita pelo próprio Faraday). 
Com este material foi possível tentar acompanhar e compreender quais 
as ideias que guiaram as pesquisas de Faraday sobre eletromagnetismo, que 
resultaram na publicação de seis artigos em revistas e jornais conceituados no 
meio científico da época e no crescimento de sua reputação neste meio.
A história aqui apresentada será dividida em quatro partes. A primeira 
fará um breve retrato biográfico, apresentando a trajetória de Faraday através 
das datas mais relevantes de sua história. Depois o artigo focalizará o ano de 
1820 e os desdobramentos da descoberta do eletromagnetismo. As pesquisas de 
Faraday nesta área podem ser divididas em três períodos:
- 1820 a 1821, retratando as pesquisas iniciais, prioritariamente baseadas 
na reprodução de experimentos publicados por outros pesquisadores; 1821 a 
1823, enfocando o começo de uma atividade inovadora, que passou a contribuir 
com o desenvolvimento da área; 1825 a 1832, onde será mostrada a trajetória 
de investigações e questionamentos das teorias da época até a experiência da 
indução eletromagnética.
Um	breve	relato	biográfico
Michael Faraday nasceu em 22 de setembro de 1791, em Newington Butts, 
Surrey. Seus pais, James Faraday (que trabalhava como ferreiro) e Margaret 
Hastwell, já tinham dois filhos: Elizabeth e Robert. A família se mudou para 
Londres quando Faraday tinha cinco anos, época em que a Inglaterra sofria as 
consequências da Revolução Francesa. A situação financeira da família era ruim 
e Michael teve uma precária formação básica, aprendendo somente o necessário 
para ler, escrever e um pouco de Matemática.
Em 1804, com 13 anos, Faraday começou a trabalhar para G. Riebau, 
como ajudante em sua livraria. Sua função era transportar o material e ajudar nas 
encadernações. Nesse contato com os livros ele teve a oportunidade de melhorar 
sua formação, lendo com grande interesse todos os livros que podia. 
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
75
Em 1812, através da ajuda de um cliente da livraria, assistiu a uma 
série de quatro conferências do químico Humphry Davy, na Royal Institution. 
Anotou cuidadosamente essas conferências e enviou uma cópia para Davy, 
pedindo-lhe um emprego em qualquer função relacionada à Ciência. Em 
março do ano seguinte, com a demissão de um assistente, Faraday conseguiu 
o emprego. Então, aos 22 anos, Faraday tornou-se auxiliar de laboratório de 
Humphry Davy na Royal Institution de Londres.
Em outubro de 1813, Faraday acompanhou Davy em uma viagem pela 
França, Itália e Suíça, onde manteve contato com cientistas de diferentes áreas 
e aprendeu a “ver” e “pensar” os problemas científicos. Durante vários anos, 
apenas auxiliou Davy em seus estudos em Química e foi assim que adquiriu um 
enorme traquejo experimental. Davy foi um químico brilhante e seu laboratório 
era um dos mais bem equipados da Inglaterra. Com ele, Faraday fez um estudo 
sobre o cloro, experiências sobre difusão de gases e liquefação, dentre tantas 
outras atividades sobre Química. 
Até 1820 Faraday não havia se dedicado a pesquisas físicas. Neste ano, 
Hans Christian Ørsted divulgou a descoberta do eletromagnetismo (Martins, 
1986), e o novo fenômeno despertou o interesse de muitos investigadores – 
incluindo Humphry Davy. Motivado por esses estudos, aos 29 anos Faraday 
iniciou uma série de trabalhos independentes sobre eletromagnetismo, sempre 
intercalados pelos estudos sobre Química. 
Em 1821, Faraday fez suas primeiras conferências e começou a publicar 
seus trabalhos independentes. Casou-se com Sarah Barnad neste mesmo ano, e 
foi recomendado por Davy para sucedê-lo na superintendência do laboratório. A 
partir desse período, o trabalho de Faraday já era independente. Em 1824, ele se 
tornou membro da Royal Society, por seus trabalhos sobre Química.
Em 1825 ele se tornou diretor do laboratório, e no ano seguinte iniciou 
uma série de conferências semanais, às sextas-feiras. Até 1830 os trabalhos 
principais de Faraday foram sobre Química. Em 1831, com a descoberta da 
indução eletromagnética, Faraday iniciou um período em que se envolveu cada 
vez mais com pesquisas físicas, sem nunca abandonar, no entanto, a Química. 
Durante sua vida, foi chamado para consultoria em diversos trabalhos 
públicos e por 30 anos foi conselheiro da Trinity House. Sem nunca ter cursado 
uma universidade, recebeu títulos honorários e homenagens de toda parte do 
mundo, e ambos, Royal Society e Royal Institution, tentaram persuadi-lo a aceitar 
a presidência, sem sucesso.
No verão de 1858, Faraday se aposentou, após 38 anos de trabalho na Royal 
Institution. Morreu em 25 de agosto de 1867, em Hampton Court Green, Londres.
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
76
Primeira fase de pesquisas: 1820 – 1821
A descoberta de Ørsted, publicada em artigo datado de 21 de junho de 
1820 (Ørsted, 1986), desencadeou um grande interesse na comunidade científica 
da época e também Davy começou a investigar o assunto. Ele realizou uma série 
de experimentos e Faraday foi seu assistente, tendo desta forma seu primeiro 
contato com o eletromagnetismo. 
Em setembro daquele ano, Faraday descreveu uma série de experimentos 
realizados em setedias, sobre rotações eletromagnéticas, mas sua correspondência 
traz evidências de que outros experimentos foram anteriormente realizados. Em 
11 de agosto de 1821, Faraday recebeu uma carta de Richard Phillips, onde o 
autor indagava a Faraday sobre suas pesquisas em eletromagnetismo e sobre um 
artigo que teria sido encomendado por ele a Faraday. 
Numa outra carta, também de R. Phillips para Faraday, datada de 4 
de setembro, Phillips acusou o recebimento do artigo, citado anteriormente, e 
assegurou que sua publicação seria feita anonimamente, como pedido por Faraday:
Eu li hoje o artigo sobre eletromagnetismo, e nem necessito dizer que este 
tem minha inteira aprovação, sendo exatamente o que eu queria. [...] Eu tomarei 
todos os cuidados para manter seu nome privado, mas não tenho a mínima 
objeção de tornar este conhecido quando você desejar – tout au contraire – quanto 
mais cedo, melhor (Phillips, in James, 1991, p. 220).
Esses dados revelam que, embora não esteja claro em que circunstâncias, 
Faraday foi convidado a escrever um artigo de revisão sobre o eletromagnetismo, 
para a revista Annals of Philosophy. Sabemos que ele aceitou o convite e preferiu 
que seu nome não aparecesse na publicação; a carta citada não traz qualquer 
indicação a respeito do motivo, e as cartas de Faraday para Phillips se perderam. 
Sabemos também que Faraday se dedicou a ler um grande número dos 
trabalhos que haviam sido publicados até então e redigiu um artigo que foi 
publicado em três partes, sob o título de “Historical sketch of electro-magnetism” 
(Faraday, 1821a, 1822b). 
Na primeira parte do artigo Faraday fez um resumo do trabalho 
realizado for Ørsted, suas considerações e hipóteses que levaram à descoberta 
do eletromagnetismo. Na segunda parte, ele descreveu a contribuição dos 
pesquisadores posteriores a Ørsted, centralizando-se apenas nos fenômenos 
descobertos e evitando fazer considerações sobre os fatos. Ele analisou 
principalmente o trabalho de pesquisadores franceses, mencionando Arago, 
que foi o primeiro físico francês a tomar conhecimento da descoberta de Ørsted 
e a comunicá-la à Academia de Ciências de Paris, permitindo desta forma que 
Ampère tomasse conhecimento desse trabalho. 
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
77
Ampère logo se tornou um dos pesquisadores mais ativos na área, 
repetindo, variando e aplicando os resultados dos experimentos de Ørsted. Em 
seu trabalho propôs a redução dos fenômenos magnéticos a efeitos puramente 
elétricos e descobriu e analisou a interação entre duas correntes elétricas. Faraday 
comentou os resultados alcançados por Ampère:
Duas correntes elétricas se atraem quando se movem paralelas entre si 
e na mesma direção, e se repelem quando elas se movem paralelas entre si em 
direções contrárias (Faraday, 1821a, p. 276).
Nesses dois primeiros artigos sobre eletromagnetismo, Faraday não 
apresentou nenhuma contribuição original. Mas, estimulado pela leitura dos 
artigos que precisou consultar e intrigado, talvez, por alguns resultados estranhos 
encontrados na repetição dos experimentos (Faraday, 1823), começou a fazer 
novas investigações na Royal Institution que o conduziram a novas descobertas.
Segunda fase de pesquisas: 1821-1823
As primeiras experiências foram guiadas pela ideia (que, atualmente, 
sabemos estar errada) de que um fio conduzindo corrente deveria atrair ou repelir 
os polos magnéticos de uma agulha magnética. Faraday colocou o fio condutor 
em uma posição vertical.
Aproximando uma agulha para verificar as posições de atração e repulsão, 
Faraday encontrou que para cada polo existiam duas posições atrativas e duas 
repulsivas (Figura 1), permitindo que a agulha tomasse sua posição original em 
relação ao fio. 
Esse resultado não era o mesmo encontrado por Ørsted, para quem não 
existia uma posição atrativa e uma repulsiva para cada polo. Na descrição dos 
resultados apresentados no artigo, Faraday escreveu: 
Aproximando o fio, perpendicularmente, na direção de um polo de 
uma agulha, este se desviará para um lado, segundo a atração ou repulsão dada 
na extremidade do polo; mas, se o fio é continuamente aproximado do centro do 
movimento [o meio da agulha magnética], por um lado ou pelo outro da agulha, 
a tendência da agulha de mover-se na direção anterior diminui até anular-se, de 
forma que a agulha torna-se indiferente ao fio. Finalmente, o movimento se inverte e 
a agulha é fortemente forçada a passar pelo caminho oposto (Faraday, 1821b, p. 74).
Figura 1: Posições encontradas para cada pólo de agulha magnetizada: 2 de atração e 2 de repulsão.
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
78
A partir de experimentos como este, Faraday se convenceu, primeiramente, 
de que os polos da agulha magnética não estavam exatamente nas suas pontas, 
mas a uma certa distância das extremidades, no eixo da agulha. Porém, o 
resultado mais importante dos experimentos foi que, repetindo-os e observando 
os movimentos, Faraday se convenceu de que, ao invés de sofrer atração e 
repulsão, o polo magnético da agulha tendia a girar em torno do fio condutor.
Esses resultados eram compatíveis com a interpretação de Ørsted que, ao 
invés de descrever atrações e repulsões, descrevia os movimentos de rotação da 
agulha magnética, ou seja, estava preocupado com questões de direcionamento 
e não de forças. Faraday elaborou, então, vários experimentos para verificar tais 
conclusões. 
Faraday conseguiu, inicialmente, produzir a rotação de um fio condutor 
em torno de um ímã e, posteriormente, conseguiu fazer o polo girar ao redor do 
fio (Figura 2). Nos dois experimentos ao inverter a corrente elétrica, observou que 
a rotação mudava de sentido.
As rotações eletromagnéticas se constituíram numa contribuição 
importante ao desenvolvimento da nova área e o artigo de Faraday (1821b), 
bastante longo e repleto de experimentos e discussões, foi rapidamente traduzido 
para o francês (Faraday, 19821c) e acrescido de comentários escritos por Ampère.
Estes experimentos levaram a uma intensa correspondência entre os 
dois e logo no início do ano seguinte, em carta 16 datada de 23 de janeiro de 
1822, Ampère escreveu para Faraday descrevendo a repetição e analisando os 
experimentos de rotação eletromagnética, sugerindo que tais experimentos 
poderiam ser utilizados como provas da existência das correntes elétricas no 
interior dos ímãs. Em resposta, Faraday escreveu uma carta 17 para Ampère em 
2 de fevereiro, onde disse:
Figura 2: Esse aparelho permite observar tanto a rotação de um fio em torno de um ímã (lado 
direito) como a rotação de um ímã em torno de um fio condutor (lado esquerdo)15.
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
79
A rotação do ímã me parece ocorrer em consequência das diferentes 
partículas, das quais este é composto, serem colocadas, pela passagem da corrente, 
no mesmo estado que o fio de comunicação entre os polos voltaicos assume em 
relação à posição do polo magnético (Faraday in James, 1991, p. 251).
Em seguida, Faraday explicou o que queria dizer: o motivo básico da 
rotação do ímã em torno de seu eixo não seria a existência de correntes circulares 
em seu interior, mas sim uma interação entre a corrente elétrica que passa por ele 
e os polos magnéticos do próprio ímã. 
A descoberta dos novos fenômenos de rotação havia desviado Faraday de 
seu trabalho de revisão bibliográfica para os Annals of Philosophy. No entanto, 
pouco depois ele completou a terceira parte desse trabalho. Neste artigo, ainda 
publicado anonimamente, Faraday inicialmente fez um relato das teorias existentes 
sobre eletromagnetismo, que ele considerava serem as mais significativas. Neste, 
cita: Ørsted, Berzelius, Wollaston, Schweigger, Ridolfi e Ampère, apontando que 
as ideias deste último seriam as mais completas e precisas, embora necessitando 
ser desenvolvidas em maior profundidade.
A última publicação de Faraday desta sequência se deu em 1823, no 
Quarterly Journal of Science, com o título: “Historical statement respectingelectro-
magnetic rotation” (Faraday, 1823). O artigo apresentou sua argumentação contra-
acusações de ter-se apropriado indevidamente das ideias de Wollaston na questão 
da rotação eletromagnética. Como Wollaston era um importante personagem da 
época, além de ser amigo de Davy, é provável que Faraday estivesse em grandes 
apuros por causa dessa acusação.
Mesmo após essas acusações, em 18 de janeiro de 1823, Faraday voltou a 
trabalhar nos experimentos eletromagnéticos, começando uma sequência de vinte 
e quatro experimentos sobre rotações, com um enfoque bastante diferente do que 
tinha feito anteriormente. Todos eles estão relacionados a fenômenos de rotação 
de fios ou ímãs em torno de seus próprios eixos – um problema importante sob o 
ponto de vista da discussão entre Faraday e Ampère.
Terceira fase de pesquisas: 1825 – 1832
Depois de uma pausa, Faraday voltou a publicar sobre o assunto em 
1825, no Quarterly Journal of Science, um trabalho bem curto (Faraday, 1825), 
onde apresentou resultados negativos de sua primeira tentativa de influenciar a 
intensidade de correntes elétricas através de um ímã. 
Como a corrente elétrica [...] afeta poderosamente um ímã, tendendo a 
fazer seus polos passarem ao redor do fio [...] a esperança era, por várias razões, 
que a aproximação de um polo de um poderoso ímã diminuiria a corrente de 
eletricidade [...] (Faraday, 1825, p. 338).
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
80
O experimento consistiu em conectar os polos de uma bateria por um fio 
metálico, em forma de solenoide, com a extremidade ligada a um galvanômetro. 
Dentro do solenoide foi inserido um ímã e procurou-se observar alguma deflexão 
na agulha do galvanômetro.
Sabemos que deveria ter ocorrido algum efeito nesses experimentos 
(durante os instantes em que Faraday movia os ímãs), mas esses efeitos não foram 
observados. 
Uma carta 18 enviada a Faraday por Peter Barlow mostra que Faraday 
também esteve interessado, nesta época, nos experimentos apresentados por 
Arago na Academia de Ciências de Paris.
O fenômeno com o qual ele entreteve a Academia hoje é, por assim dizer, o 
inverso do anterior. Já que uma agulha em movimento é freada por uma placa em 
repouso, o Sr. Arago pensou que deveria seguir-se que uma agulha em repouso 
seria arrastada por uma placa em movimento (Arago,1825, p. 325).
Antes, porém, da realização de experimentos semelhantes aos de Arago 
(intitulados em seu diário por “Experimentos de indução elétrica em imitação 
aos experimentos de Arago na rotação de ímãs”), Faraday realizou outros em 28 
de novembro de 1825: “Experimentos de indução pela conexão de fio na bateria 
voltaica”. Aparentemente ele utilizou aqui a palavra “indução” em analogia ao 
que se observa no caso da eletricidade estática, em que a presença de uma carga 
elétrica induz uma carga oposta em corpos próximos. 
Durante os anos seguintes, ele afastou-se quase totalmente das pesquisas 
eletromagnéticas, como mostra a ausência completa desse assunto em seu diário 
de laboratório e em suas publicações.
Porém, um registro no diário, realizado em 22 de abril de 1828, mostra 
que Faraday não tinha abandonado sua busca. Nessa anotação ele descreveu um 
experimento em que fez um anel com fio de cobre (soldando suas extremidades) 
e fixou-o com um pedaço de fio para sustentá-lo com numa balança de torção 
(Figura 3). Introduziu no anel o polo de um ímã em barra, depois aproximou 
outros ímãs em diferentes posições e não observou nenhum efeito. 
Aproximou um ímã em forma de ferradura do fio, conectando seus polos, 
mas esse circuito fechado também não apresentou efeito observável. Repetiu o 
experimento torcendo as extremidades do fio para formar o anel (no lugar da 
solda) e usando platina e prata no lugar de cobre. Não obteve resultados.
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
81
Foi um experimento isolado em meio a suas experiências de Química e 
o resultado negativo parece não o ter motivado a prosseguir naquele momento. 
Uma nova fase de pesquisas sobre eletromagnetismo se iniciou somente em 1831, 
quando Faraday encontrou o que parece ter buscado desde o final de 1825: a 
indução eletromagnética.
Essas considerações, com suas consequências, a esperança de obter 
eletricidade do magnetismo comum, estimulou-me várias vezes a investigar 
experimentalmente o efeito indutivo das correntes elétricas. Eu, ultimamente, 
cheguei a resultados positivos, e não apenas tive minhas expectativas realizadas, 
mas obtive a chave que parece abrir várias explicações dos fenômenos magnéticos 
de Arago e, também, descobrir um novo estado que pode, provavelmente, 
ter influência em alguns dos mais importantes efeitos das correntes elétricas 
(Faraday, 1839-1855, p. 265).
O Diário de Faraday não dá nenhuma indicação do motivo pelo qual 
ele iniciou os novos experimentos. Do início de 1831 a julho do mesmo ano, 
Faraday estudou figuras acústicas em sólidos e líquidos. Em maio ele retornou 
rapidamente ao estudo do efeito termoelétrico, e nos dia 18 e 19 de agosto de 1831 
ele estava se dedicando a experimentos sobre elaboração de chapas de cobre para 
impressão de figuras (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 360ss). 
Sem nenhuma explicação prévia, nas anotações relativas ao dia 29 de 
agosto de 1831, Faraday começou por descrever um anel de ferro doce (Figura 4) 
que construiu para o experimento e foi preservado até hoje.
Figura 3: Anel de cobre suspenso: procurando produção de corrente pelo magnetismo.
Figura 4: Foto do anel de ferro, utilizado nas experiências de 1831.
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
82
Foi feito um anel de ferro [ferro doce] circular, com 7/8 de polegada de 
espessura e 6 polegadas de diâmetro externo. Várias espiras de fio de cobre foram 
enroladas ao redor de uma metade do anel, as espiras sendo separadas por barbante 
e algodão – existiam três extensões de fio, cada um com aproximadamente 24 pés 
de comprimento e eles poderiam ser ligados como uma só extensão ou usados 
como pedaços separados, cada um isolado do outro. Chamarei este lado do anel 
de A. No outro lado, mas separado por um intervalo, foram enrolados fios em 
dois pedaços juntos, contabilizando aproximadamente 60 pés em comprimento, 
a direção sendo como das primeiras espiras; este lado chamarei B (Faraday in 
Martin, 1932-1936, p. 367).
Faraday acreditava que a passagem de corrente elétrica em um dos 
enrolamentos poderia induzir uma corrente elétrica no outro enrolamento. Os dois 
enrolamentos do lado B foram unidos para formar um único, e sua extremidade foi 
conectada a um fio de cobre passando sobre uma agulha magnética a uma distância 
de 3 pés do anel. Deste modo, a agulha ao mover-se indicaria a passagem de uma 
corrente pelo lado B do anel. Uma das espiras do lado A foi conectada com uma 
bateria de 10 pares de placas, de 4 polegadas quadradas e, com a passagem da 
corrente pelo lado A, vinda da bateria, uma corrente foi detectada no lado B do anel.
Imediatamente um efeito sensível apareceu na agulha. Esta oscilou e 
estabeleceu-se por fim na posição inicial. Quebrando a conexão do lado A com a 
bateria, novamente houve uma perturbação na agulha (Faraday in Martin, 1932-
1936, p. 367).
Faraday havia encontrado um efeito e, para confirmá-lo, juntou as 
extremidades das espiras do lado A em um enrolamento único e conectou com a 
bateria. Um efeito ainda mais forte foi observado na agulha. A corrente somente 
surgia em B imediatamente após conectar o lado A com a bateria ou imediatamente 
ao desconectá-lo. Quando a corrente estava fluindo continuamente no lado A 
nada ocorria no lado B.
Note-se que, neste primeiro experimento bem-sucedido, depois de anos 
de tentativas, o que Faraday encontrou foi o efeito de uma corrente elétrica sobre 
outra, e não de um ímã sobre uma corrente elétrica. Sob o ponto de vista didático, 
geralmente se introduz a indução eletromagnética de outra forma.
Na sequência do mesmo dia (29 de agosto de 1831) Faraday procurou 
obter efeitosquímicos e fagulhas, indicações de que estava tentando verificar se o 
efeito obtido era realmente elétrico (como a corrente obtida através de uma pilha) 
ou de algum outro tipo.
No dia seguinte, Faraday fez outras experiências sempre com resultados 
de mesmo caráter, ou seja, só ocorrendo quando se estabelecia ou se interrompia 
a conexão com a bateria. Isso levou Faraday à seguinte indagação:
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
83
Não poderiam esses efeitos temporários estarem conectados com as 
causas da diferença entre os efeitos de metais em repouso e em movimento, nos 
experimentos Ze Arago? (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 369).
Faraday parece ter começado a entender que o disco estacionário, nos 
experimentos de Arago, não poderia produzir qualquer efeito sobre o ímã, sendo 
esses efeitos indutivos como no experimento do anel e, portanto, obtidos somente 
quando o disco estava em movimento relativo ao ímã. Uma evidência disso é que em 
23 de setembro de 1831, Faraday escreveu 19 a seu amigo R. Phillips contando que 
havia voltado a se ocupar com o eletromagnetismo e que tinha uma ideia, embora 
ainda não a pudesse confirmar, de que sabia por que metais eram magnéticos quando 
em movimento, apesar de não o serem (geralmente) quando em repouso.
Evidentemente, essa ideia motivou Faraday em suas atividades e 
certamente direcionou alguns dos experimentos seguintes.
Em um deles utilizou um cilindro de ferro e a hélice L [o pequeno cilindro 
de ferro de 7/8 de espessura e 4 polegadas de comprimento, envolvido com quatro 
pedaços de fio de 14 pés de comprimento cada].
Todos os fios foram unidos em uma única hélice e conectados à hélice 
indicadora, a distância, pelo fio de cobre: depois o ferro foi colocado entre os 
polos da barra magnética, como em um dos primeiros experimentos e na figura 
anterior. Toda vez que o contato magnético no norte ou sul foi estabelecido ou 
quebrado, existiu movimento magnético na hélice indicadora, o efeito sendo 
como nos primeiros casos, não permanente, mas meramente empurrando ou 
puxando. Mas, se o contato elétrico (isto é, através do fio de cobre) era quebrado, 
então as disjunções e contatos não produziram qualquer efeito. Assim, distinta 
conversão de magnetismo em eletricidade (Faraday in Martin, 1932-1936, p. 372). 
Este último experimento foi um grande sucesso, pois Faraday obteve 
(pela primeira vez) corrente elétrica induzida pela ação de um imã permanente, 
produzindo através desse dispositivo uma rápida variação magnética no cilindro 
de ferro. Nenhuma bateria foi utilizada. A “pinça” formada pelos dois ímãs (Figura 
Figura 5: Pinça formada por dois ímãs: obtenção de corrente induzida pela ação de um íma permanente.
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
84
5) produzia o efeito desejado. Deve-se notar que esse tipo de experimento é muito 
mais fácil de reproduzir do que o experimento descrito nos livros didáticos, de 
aproximar e afastar rapidamente um ímã de uma bobina. 
Após esses resultados, Faraday parece ter ficado em dúvida sobre a 
causa dos fenômenos. Nos experimentos iniciais com o anel, havia uma corrente 
elétrica que produzia um efeito no segundo enrolamento. No último experimento 
descrito, o efeito era produzido apenas por uma variação magnética. Seriam dois 
fenômenos diferentes? Seria possível obter algum efeito sem a presença de um 
núcleo de ferro? 
Ele confirmou essa hipótese com experimentos realizados no dia 29 de 
setembro de 1831, nos quais, pela primeira vez, utilizou a expressão “efeito 
induzido” para descrever o fenômeno. 
Os resultados que eu havia obtido nessa época com ímãs, levaram-me 
a acreditar que a corrente da bateria através de um fio induzia realmente uma 
corrente semelhante através do outro fio, mas que ela continuava apenas durante 
um instante, e tinha a mesma natureza da onda elétrica que passa através do 
choque de uma garrafa de Leyden, e não como a corrente de uma bateria voltaica, 
e por isso poderia magnetizar uma agulha de aço, embora afetasse pouco o 
galvanômetro (Faraday, 1839-1855, p. 266).
Nesse momento, Faraday já estava ciente de que era possível produzir 
correntes elétricas tanto a partir de uma outra corrente elétrica (a indução 
volta-elétrica) como pela variação magnética brusca (no experimento com a 
“pinça” formada por dois ímãs). Embora ele já tivesse tentado obter efeitos pela 
aproximação e afastamento de ímãs, não tinha obtido resultados, mas tais efeitos 
deviam existir. Por isso ele insistiu e no dia 17 de outubro de 1831 Faraday realizou 
o seu experimento mais conhecido, a indução de corrente pela movimentação de 
uma barra magnética dentro de uma bobina.
A descrição dada no diário se refere a um cilindro de papel, oco, coberto por 
8 enrolamentos [todos com mesma direção] de fio de cobre, com aproximadamente 
220 pés de comprimento, separados por algodão – identificado como “arranjo O”.
As oito extremidades das hélices, em uma extremidade do cilindro, 
foram limpas e rapidamente unidas como um feixe. O mesmo foi feito na outra 
extremidade. Essas extremidades compostas foram conectadas a um galvanômetro 
por longos fios de cobre, como vemos na Figura 6.
TÓPICO 1 | INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
85
Depois, um ímã cilíndrico de 3/4 de polegadas de diâmetro e 8 1/2 
polegadas de comprimento, teve uma extremidade inserida dentro da hélice – 
depois foi rapidamente empurrada em todo seu comprimento, e a agulha do 
galvanômetro moveu-se – depois, foi empurrada para fora e novamente a agulha 
se moveu, mas em direção oposta. Este efeito se repetiu todas as vezes que o ímã 
era colocado dentro ou retirado e, portanto, uma onda de eletricidade foi assim 
produzida pela mera aproximação de um ímã e não por sua formação in situ 
(Faraday in Martin, 1932-1936, p. 375).
Ou seja, o princípio descoberto era que o movimento de um ímã gera 
uma corrente elétrica no condutor. O trabalho realizado por Faraday no final de 
1831 complementou a descoberta do eletromagnetismo por Ørsted, mostrando 
a existência de um fenômeno inverso (produção de efeitos elétricos pelo 
magnetismo) e fornecendo a base necessária para o desenvolvimento de uma 
nova área de pesquisas.
FONTE: DIAS, Valéria Silva; MARTINS, Roberto de Andrade. Michael Faraday: o caminho da 
livraria à descoberta da indução eletromagnética. Ciência & Educação, Bauru, Programa 
de Pós-Graduação em Educação para a Ciência, Universidade Estadual Paulista (UNESP), 
Faculdade de Ciências, campus de Bauru, v. 10, n. 3, p. 517-530, 2004.
Figura 6: Foto do cilindro de papel e do ímã em barra, utilizados no famos experimento 
de 17 de outubro de 1831.
86
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• A indução eletromagnética proposta por Faraday é o fenômeno físico observado 
quando se move um ímã no interior de uma bobina, gerando corrente elétrica 
variável no circuito.
• A força eletromotriz é induzida numa espira quando o número de linhas de 
campo magnético que atravessam a espira variam. 
• A equação que descreve o fluxo magnético é: Φ = B.A.cos a.
• A Lei de Faraday sugere que o módulo da força eletromotriz induzida é igual 
à taxa de variação com o tempo do fluxo magnético que atravessa a espira. 
Matematicamente:
• Após a Lei da Indução de Faraday, Heinrich Friedrich Lenz propôs uma 
regra, conhecida por Lei de Lenz, que determina o sentido da corrente elétrica 
induzida na espira pelo ímã. Matematicamente:
• Um indutor é um dispositivo que pode ser utilizado para produzir um campo 
magnético conhecido em uma certa região. A indutância L do indutor é dada por:
 
N
t
t
NL
i
ε
ε
∆Φ
= −
∆
∆Φ
= −
∆
Φ
=
 
N
t
t
NL
i
ε
ε
∆Φ
= −
∆
∆Φ
= −
∆
Φ
=
 
N
t
t
NL
i
ε
ε
∆Φ
= −
∆
∆Φ
= −
∆
Φ
=
87
AUTOATIVIDADE
a) Enquanto a bobina é comprimida, determine o sentido da fem induzida na 
bobina. 
b) Quando a bobina atinge o limite máximo de compressão, qual o sentido da 
fem induzida na bobina?
Bobina
Solenoide
Bobina circular Bobina comprimida
no formato oval1 Após o experimento de Faraday foi possível criar sistemas 
alimentados por energia elétrica por meio do estudo da 
indução eletromagnética. Dentro desse contexto, surge o 
conceito de corrente elétrica induzida. Com base nos estudos 
deste tópico, explique o que é a corrente elétrica induzida.
2 (Adaptada de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 293). 
Na figura a seguir, uma bobina de 120 espiras, com 1,8 cm de 
raio e uma resistência de 5,3 Ω é coaxial com um solenoide de 
220 espiras/cm e 3,2 cm de diâmetro. A corrente no solenoide, 
diminui de 1,5 A para zero em um intervalo de tempo de ∆t = 25 ms Qual é 
a corrente induzida na bobina no intervalo ∆t?
3 (Adaptada de YOUNG; FREEDMAN, 2003). A figura a 
seguir mostra uma bobina sendo comprimida em um campo 
magnético uniforme. 
88
4 (Adaptada de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 298). 
Uma bobina circular tem 10,0 cm de raio e 30,0 espiras compactas. 
Um campo magnético externo de módulo 2,60 mT é aplicado 
perpendicularmente ao plano da bobina. 
a) Se a corrente na bobina é zero, qual é o fluxo magnético que enlaça as espiras?
b) Quando a corrente na bobina é 3,80 A em um certo sentido, o fluxo 
magnético através da bobina é zero. Qual é a indutância da bobina?
89
TÓPICO 2
CIRCUITOS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Como vimos no tópico anterior, o indutor é um dispositivo usado em 
circuitos elétricos com a finalidade de produzir um campo magnético. Neste 
tópico, vamos examinar alguns exemplos de como os indutores estão inseridos 
nos circuitos elétricos. Para isso, estudaremos o circuito RL composto por resistor 
e indutor e veremos como acontece o armazenamento da energia magnética.
2 CIRCUITOS RL
Os circuitos RL são compostos por resistor e indutor. Quando uma força 
eletromotriz é introduzida no circuito, a corrente elétrica não sofre um aumento 
brusco, mas seu aumento é exponencial, assim como quando removemos a força 
eletromotriz, a diminuição da corrente elétrica tende a zero exponencialmente.
FIGURA 17 – CIRCUITO RL
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 281)
Vamos analisar as duas situações:
1º) Quando a força eletromotriz é introduzida
Quando o resistor é atravessado pela corrente, o potencial varia para – iR. 
Como a corrente é variável, passa a existir uma força eletromotriz autoinduzida 
no indutor no sentido oposto ao da corrente. Como a corrente vai aumentando, o 
potencial varia de .diL
dt
−
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
90
FIGURA 18 – CIRCUITO RL COM AS FORÇAS ELETROMOTRIZES DA FONTE (ε) E 
AUTOINDUZIDA DO INDUTOR ε
L
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 281)
Aplicando a regra das malhas, temos:
Fazer manipular matematicamente a equação dividindo-a por R e depois 
integrando-a:
A integral do lado esquerdo será de 0 a i, enquanto a parcela direita da 
equação possuirá limitantes de 0 a t:
( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



(1)
(2)
TÓPICO 2 | CIRCUITOS
91
Essa equação apresentada anteriormente é para o aumento da corrente 
elétrica ao inserir uma força eletromotriz no circuito RL, sendo que a constante 
de tempo indutiva é:
Então para um tempo inicial 
( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



(3)
(4)
2º) Quando a fonte é desligada
Quando a fonte é desligada, a força eletromotriz ε deixa de fazer parte do 
circuito, portanto a equação (1) passa a ser escrita como:
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i ti t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
92
Integrando a equação, seus limitantes serão de i0 a i do lado esquerdo e de 
0 a t do lado direito.
Sendo que , então:
Exemplo: 
Considere que um circuito RL é conectado a uma bateria. Para que 
múltiplo da constante de tempo indutiva, a corrente atinge um valor 0,3% menor 
que o valor final?
Resolução: 
Quando o tempo inicial é zero, teremos: . O valor de 0,3% é 
determinado pelo termo , portanto, para a corrente atingir um percentual 
da corrente total devemos fazer:
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
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t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
( )
0 0
0
0
0
%
0
ln
1
1
0,97 1
1 0,97
ln 0,03
3,5
i
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
Rt
L
total
Rt
L
Rt
L
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
R dii
L dt
di R dt
i L
di R dt
i L
i R t
i L
i i e
i R
i e
R
i e
R
e
i i
e
R R
e
t
t
ε
ε
ε
ε
ε ε
τ
τ
−
−
−
−
−
−
= +
= +
− =
= −
= −
 
= − 
 
=
=
=
 
= − 
 
−
=
 
= − 
 
− =
= −
=
∫ ∫
TÓPICO 2 | CIRCUITOS
93
3 ENERGIA MAGNÉTICA
Quando duas partículas carregadas são afastadas, a energia potencial 
associada a elas fica armazenada no campo magnético gerado por corrente 
elétrica. Para restaurar essa energia, basta aproximar novamente as partículas.
Vamos encontrar uma expressão matemática para a energia magnética, 
para isso vamos considerar um circuito com uma fonte eletromotriz, conectado 
a um resistor e um indutor, teremos novamente a equação (1) do tópico anterior:
Essa equação descreve o aumento de corrente no circuito e também é uma 
das expressões para a Lei da Conservação de Energia. Multiplicando a equação 
por i, temos:
Sabemos que a corrente elétrica (i) é definida pela taxa com a qual as 
cargas atravessam um condutor (dq/dt), portanto:
Então, é a taxa de energia de energia que é fornecida ao circuito e 
podemos reescrever a equação para:
O termo i2R é a energia dissipada como energia térmica no resistor, mas 
nesse caso a energia é armazenada no campo magnético, portanto, reescrevendo 
a equação e integrando o lado esquerdo da energia mínima (0) à energia máxima 
(UB) e o lado direito da corrente elétrica mínima (0) à corrente elétrica máxima 
(i ), temos:
( )
0 0
0 0
0
ln
ln
1
 0 0 
 
i t
i t
Rt
L
Rt
L
Rt
L
L
diiR L
dt
diiR L
dt
L dii
R R dt
L di i
R dt R
di R dt
Li
R
di R dt
Li
R
Ri t
R L
i RR t
LR
i R e
R
i e
R R
i e
R
L
R
t i
t i indutorR
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε
τ
ε
−
−
−
− − + =
= +
= +
− = −
= −
−
= −
−
   − = −   
   
 −
  = −
 −
 
−
=
−
= − +
 
= − 
 
=
= → =
→∞→ =
∫ ∫
( ) emcurto



( )( )
2
2
2
0 0
2
2
2
23
2
2
10
0,50
20 
2
13 10 20
2
2,6 
B
B
B
U i
B
B
B
B
B
B
dii i R Li
dt
dq dii R Li
dt dt
dq
dt
dU dii R Li
dt dt
dU diLi
dt dt
dU Lidi
LiU
LiU
i
R
i
i A
LiU
x
U
U J
ε
ε
ε
ε
−
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫ ∫
( )( )
2
2
2
0 0
2
2
2
23
2
2
10
0,50
20 
2
13 10 20
2
2,6 
B
B
B
U i
B
B
B
B
B
B
dii i R Li
dt
dq dii R Li
dt dt
dq
dt
dU dii R Li
dt dt
dU diLi
dt dt
dU Lidi
LiU
LiU
i
R
i
i A
LiU
x
U
U J
ε
ε
ε
ε
−
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫ ∫
( )( )
2
2
2
0 0
2
2
2
23
2
2
10
0,50
20 
2
13 10 20
2
2,6 
B
B
B
U i
B
B
B
B
B
B
dii i R Li
dt
dq dii R Li
dt dt
dq
dt
dU dii R Li
dt dt
dU diLi
dt dt
dU Lidi
LiU
LiU
i
R
i
i A
LiU
x
U
U J
ε
ε
ε
ε
−
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫ ∫
( )( )
2
2
2
0 0
2
2
2
23
2
2
10
0,50
20 
2
13 10 20
2
2,6 
B
B
B
U i
B
B
B
B
B
B
dii i R Li
dt
dq dii R Li
dt dt
dq
dt
dU dii R Li
dt dt
dU diLi
dt dt
dU Lidi
LiU
LiU
i
R
i
i A
LiU
x
U
U J
ε
ε
ε
ε
−
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫ ∫
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
94
Exemplo: 
Considere uma força eletromotriz de 10 V sendo aplicada a uma bobina de 
13 mH de indutância e a uma resistência de 0,50 Ω. Qual é a energia armazenada 
no campo magnético?
Resolução: 
Para encontrar a energia armazenada no campo magnético, devemos 
encontrar o valor total da corrente elétrica, para isso:
Utilizando a expressão para a energia armazenada, temos:
( )( )
2
2
2
0 0
2
2
2
23
2
2
10
0,50
20 
2
13 10 20
2
2,6 
B
B
B
U i
B
B
B
B
B
B
dii i R Li
dt
dq dii R Li
dt dt
dq
dt
dU dii R Li
dt dt
dU diLi
dt dt
dU Lidi
LiU
LiU
i
R
i
i A
LiU
x
U
U J
ε
ε
ε
ε
−
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫ ∫
( )( )
2
2
2
0 0
2
2
2
23
2
2
10
0,50
20 
2
13 10 20
2
2,6 
B
B
B
U i
B
B
B
B
B
B
dii i R Li
dt
dq dii R Li
dt dt
dq
dt
dU dii R Li
dt dt
dU diLi
dt dt
dU Lidi
LiU
LiU
i
R
i
i A
LiU
x
U
U J
ε
ε
ε
ε
−
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫ ∫
10
0,50
20 
Ri
i
R
i
i A
ε
ε
=
=
=
=
95
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Se uma força eletromotriz ε é aplicada num circuito com um resistor R e um 
indutor L a corrente elétrica i cresce exponencialmente no circuito de acordo 
com a equação:
A taxa de aumento da corrente elétrica é a constante de tempo indutiva 
τL, definida por:
Entãopara um tempo inicial 
• Quando a força eletromotriz é retirada/desligada do circuito, a corrente passa 
a reduzir a corrente elétrica de acordo com a expressão:
• Quando duas partículas carregadas são afastadas, a energia potencial é 
armazenada no campo magnético segundo a equação:
( )
2
1
 0 0 
 
2
Rt
L
L
Rt
L
B
i e
R
L
R
t i
t i indutor emcurtoR
i e
R
LiU
ε
τ
ε
ε
−
−
 
= − 
 
=
= → =
 →∞→ =
=
=
( )
2
1
 0 0 
 
2
Rt
L
L
Rt
L
B
i e
R
L
R
t i
t i indutor emcurtoR
i e
R
LiU
ε
τ
ε
ε
−
−
 
= − 
 
=
= → =
 →∞→ =
=
=
( )
2
1
 0 0 
 
2
Rt
L
L
Rt
L
B
i e
R
L
R
t i
t i indutor emcurtoR
i e
R
LiU
ε
τ
ε
ε
−
−
 
= − 
 
=
= → =
 →∞→ =
=
=
( )
2
1
 0 0 
 
2
Rt
L
L
Rt
L
B
i e
R
L
R
t i
t i indutor emcurtoR
i e
R
LiU
ε
τ
ε
ε
−
−
 
= − 
 
=
= → =
 →∞→ =
=
=
( )
2
1
 0 0 
 
2
Rt
L
L
Rt
L
B
i e
R
L
R
t i
t i indutor emcurtoR
i e
R
LiU
ε
τ
ε
ε
−
−
 
= − 
 
=
= → =
 →∞→ =
=
=
96
AUTOATIVIDADE
FIGURA – CIRCUITO RL COM AS FORÇAS ELETROMOTRIZES DA FONTE (ε) E 
AUTOINDUZIDA DO INDUTOR ε
L
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 281)
1 (Adaptada de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 299). 
Um solenoide com uma indutância de 6,30 µH é ligado em série 
com um resistor de 1,20 kΩ. Determine:
a) Se uma bateria de 14,0 V é ligada ao circuito, quanto tempo é necessário 
para que a corrente no resistor atinja 80,0% do valor final?
b) Qual é a corrente no resistor no instante t = 1,0 τL?
2 Por que podemos dizer que a expressão é uma 
expressão para a conservação de energia?
3 De acordo com a Figura 18 apresentada no tópico, defina cada 
uma das grandezas que aparecem na imagem e diga qual sua 
unidade de medida no Sistema Internacional de Unidades (SI).
4 Considere o circuito da questão anterior, em que a indutância 
é de 12 H e o resistor seja de 40 Ω. Determine a constante 
indutiva do tempo.
5 Considere um circuito RL em que a força eletromotriz é de 24 
V, o resistor seja de 6 Ω e a indutância do indutor seja de 14 
H. Se o circuito fica ligado por 10 segundos, qual é a corrente 
elétrica?
2
2B
LiU =
97
TÓPICO 3
OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E 
CORRENTE ALTERNADA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Imagine que você fez uma receita de bolo, armazenou e a transportou 
até outro local para compartilhar com seus amigos. Será que é possível fazer a 
mesma coisa com a energia? Será possível produzir energia elétrica, armazená-la 
para depois utilizar a energia novamente? A resposta para essa pergunta é sim, é 
possível armazenar essa energia, porém o desafio para os cientistas e engenheiros 
é projetar um sistema de corrente alternada capaz de transferir energia de forma 
eficiente e construir equipamentos que possam reutilizar essa energia. 
Durante a década de 1880, Thomas Edson e George Westinghouse 
discutiram sobre as melhores formas de distribuir energia elétrica. Edson defendia 
a corrente contínua, enquanto Westinghouse afirmava que o melhor método seria 
a corrente alternada. Neste tópico, estudaremos como acontecem as oscilações em 
sistemas alternados em circuitos elétricos com indutores e capacitores, a corrente 
alternada e os transformadores.
2 OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC
Primeiramente, precisamos definir um sistema LC, ou seja, composto por 
capacitor e indutor. A função que representa a combinação com o tempo varia 
senoidalmente, de modo que as oscilações resultantes do campo elétrico e magnético 
geradas pelos dispositivos são chamadas de oscilações eletromagnéticas.
A figura a seguir, extraída do livro de referência da disciplina, mostra as 
etapas de um circuito LC. Observe que não há nenhuma resistência passando 
pelo circuito e que as linhas de campo magnético e campo elétrico são mostradas 
conforme acontece a sua variação. Cada etapa possui um gráfico de barras 
identificando as transformações que acontecem da energia armazenada no 
sistema, isto é, a energia elétrica e magnética. 
98
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
FIGURA 19 – CICLO DE OSCILAÇÃO DE UM CIRCUITO LC, INICIANDO EM a E FINALIZANDO EM h
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 306)
A energia armazenada no campo elétrico é dada pela equação , 
 enquanto a energia armazenada no campo magnético é . Lembrando que 
q é a carga do capacitor e i é a corrente do indutor. 
O estágio indicado pela letra a corresponde ao estado inicial do circuito. 
Nesse momento, como não há passagem de corrente elétrica no sistema, a energia 
magnética é nula e a energia elétrica é máxima. Nesse instante, o capacitor está 
totalmente carregado. Ao aumentar a corrente que passa no circuito, o capacitor 
vai sendo descarregado através do indutor. 
Como a carga do capacitor está diminuindo, a energia armazenada no 
campo elétrico também diminui. E o que acontece com o indutor? O indutor 
recebe essa energia para o campo magnético devido à existência de uma corrente 
elétrica e com isso o módulo da energia magnética aumenta. 
Como podemos ver na figura, no estágio indicado pela letra d o capacitor 
começa a se carregar com polaridade inversa. A corrente elétrica continua a 
transferir cargas positivas da placa de cima para a placa de baixo do capacitor, 
até que o capacitor esteja completamente carregado novamente e a corrente no 
indutor se anula novamente. 
Pelo princípio de conservação de energia, em sistemas ideais, os estágios 
de um ciclo de oscilação de um circuito LC continuam indefinidamente. Porém, 
em circuitos LC reais essas variações não são conservadas, de modo que as 
oscilações não continuam indefinidamente devido à existência de resistências 
internas do próprio circuito que ocasionam a dissipação de energia.
2
2
2
2
E
B
qU
C
LiU
=
=
2
2
2
2
E
B
qU
C
LiU
=
=
UB UE UB UE UB UE
UB UE UB UE UB UE
UB UE UB UE
(a)
(b) (c) (d)
(e)
(f)(g)(h)
L L L
L
L L L
i = 0 i = 0
C C C
C C C
CC
i i
i i
máx i
máx i
TÓPICO 3 | OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA
99
E se pensarmos nos processos que já estudamos, que sistema possui um 
comportamento semelhante de oscilações? Um sistema massa-mola, que compõe 
a base do estudo do movimento harmônico simples (MHS)! Para isso, faremos 
uma analogia entre o circuito LC e um sistema oscilante. 
A partir dos histogramas apresentados na Figura 19, a energia elétrica e 
a energia magnética se comportam de forma análoga à energia potencial elástica 
e energia cinética de um sistema do MHS. Não vamos entrar em detalhes nas 
demonstrações do MHS nesse momento porque já foram feitas em disciplinas 
anteriores. Mas vamos recordar a frequência angular de oscilação de um sistema 
bloco-mola ideal (atrito desprezível):
Ao compararmos o circuito LC com um conjunto bloco-mola, podemos 
corresponder as seguintes grandezas físicas:
• carga q corresponde à deformação x; 
• corrente i corresponde à velocidade v;
• capacitância 1/C corresponde à constante elástica k;
• indutância L corresponde à massa m.
 
Diante do exposto, determinamos a frequência angular de oscilação de 
um circuito LC, tal que:
k
m
ω =
Essa relação matemática também pode ser demonstrada através da 
análise de um oscilador de um circuito LC utilizando equações diferenciais. A 
energia total do sistema é a soma das energias elétrica (armazenada no capacitor) 
e magnética (armazenada no indutor):
Sendo um sistema ideal sem dissipação de energia, nenhuma energia é 
transformada em energia térmica, implicando:
( )
2 2
2 2
2
2
2
1 1 
2 2
0 , 
 
2 2
0 
 
²
 1 0
B E
LC LC
U U U
Li qU
C
dU aenergiaé constante logoa derivadaé nula
dt
dU d Li q
dt dt C
dU di q dqLi
dt dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d qL q
dt C
ω = =
= +
= +
=
 
= + 
 
= + =
= =
+ =
( )
2 2
2 2
2
2
2
1 1 
2 2
0 , 
 
2 2
0 
 
²
 1 0
B E
LC LC
U U U
Li qU
C
dU aenergiaéconstante logoa derivadaé nula
dt
dU d Li q
dt dt C
dU di q dqLi
dt dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d qL q
dt C
ω = =
= +
= +
=
 
= + 
 
= + =
= =
+ =
100
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
Portanto:
Mas a corrente é a variação de carga por intervalo de tempo . 
Fazendo essas substituições, temos:
Essa é a equação diferencial que descreve as oscilações que acontecem 
num circuito LC ideal. 
Como examinamos anteriormente a analogia entre o circuito LC e o sistema 
bloco-mola, podemos utilizar a equação diferencial que descreve a amplitude de 
uma oscilação do MHS para escrever as soluções da oscilação em um circuito LC. 
A função da elongação ou deslocamento de um MHS é:
( )
2 2
2 2
2
2
2
1 1 
2 2
0 , 
 
2 2
0 
 
²
 1 0
B E
LC LC
U U U
Li qU
C
dU aenergiaé constante logoa derivadaé nula
dt
dU d Li q
dt dt C
dU di q dqLi
dt dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d qL q
dt C
ω = =
= +
= +
=
 
= + 
 
= + =
= =
+ =
( )
2 2
2 2
2
2
2
1 1 
2 2
0 , 
 
2 2
0 
 
²
 1 0
B E
LC LC
U U U
Li qU
C
dU aenergiaé constante logoa derivadaé nula
dt
dU d Li q
dt dt C
dU di q dqLi
dt dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d qL q
dt C
ω = =
= +
= +
=
 
= + 
 
= + =
= =
+ =
( )
2 2
2 2
2
2
2
1 1 
2 2
0 , 
 
2 2
0 
 
²
 1 0
B E
LC LC
U U U
Li qU
C
dU aenergiaé constante logoa derivadaé nula
dt
dU d Li q
dt dt C
dU di q dqLi
dt dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d qL q
dt C
ω = =
= +
= +
=
 
= + 
 
= + =
= =
+ =
( )
2 2
2 2
2
2
2
1 1 
2 2
0 , 
 
2 2
0 
 
²
 1 0
B E
LC LC
U U U
Li qU
C
dU aenergiaé constante logoa derivadaé nula
dt
dU d Li q
dt dt C
dU di q dqLi
dt dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d qL q
dt C
ω = =
= +
= +
=
 
= + 
 
= + =
= =
+ =
Analogamente, a carga é escrita em termos da equação diferencial:
E a corrente:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
TÓPICO 3 | OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA
101
Desse modo, as equações da energia elétrica e energia magnética também 
podem ser escritas utilizando as considerações acima. Logo, substituímos a 
equação diferencial da carga e corrente na equação da energia, resultando em:
Sabendo que , obtemos:
É importante ressaltar que as oscilações do circuito LC respeitam o princípio 
da conservação de energia e, portanto, algumas considerações são válidas:
• A energia elétrica é máxima quando a energia magnética é mínima e vice-versa. 
• O valor máximo da energia total é igual a , isto é, a amplitude da energia 
como mostrado anteriormente nas equações diferenciais.
• Em qualquer instante, a soma das energias sempre é igual a .
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
3 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS – RLC
O que acontece num movimento harmônico quando há dissipação de 
energia? E num circuito LC? Como a energia é dissipada, parte do movimento vai 
sendo transformada em energia térmica. Nos circuitos LC, isso acontece através 
da resistência, gerando um decréscimo progressivo na amplitude das oscilações. 
O circuito no qual esse efeito acontece, chamaremos de circuito RLC (resistor, 
indutor e capacitor). 
Para o nosso estudo, vamos considerar o caso mais simples, em que os três 
dispositivos se encontram em série. Devido à ação da resistência no circuito, não 
temos mais o princípio da conservação de energia, desse modo a energia não é 
mais constante, diminuindo com o tempo, sendo dissipada. 
A perda de energia ocasiona uma oscilação amortecida, que diminui 
exponencialmente com o tempo. Para analisar como acontece esse decréscimo, 
busquemos uma equação que nos forneça a energia eletromagnética no circuito em 
função do tempo. Como vimos no item anterior, a energia total é conhecida por:
102
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
Por se tratar de um sistema dissipado, precisamos levar em conta a taxa de 
dissipação de energia, tal que essa transformação acontece por meio da equação:
Derivando a energia total em relação ao tempo e igualando a dissipação, 
obtemos:
 
Lembrando que a corrente é a variação de carga por intervalo de tempo 
 , portanto:
Provavelmente, você já deve ter estudado equações diferenciais. Como 
não é o foco desta disciplina desenvolver o cálculo da solução, vamos usar a 
solução conhecida para a equação do circuito RLC:
Agora, para finalizar, vamos escrever uma equação para a energia 
eletromagnética do circuito em função do tempo. Como vimos no tópico 
anterior, o valor máximo da energia total é igual a , isto é, a amplitude da 
energia. Substituindo a solução da equação da carga na energia total:
2 2
2 2
²
B E
Li qU U U
C
dU i R
dt
= + = +
= −
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
²
2 2
 ²
 
²
1 0 
²
 cos
1 ( cos ²
2 2
² cos² ²
2
Rt
L
Rt
L
E
Rt
L
E
dU d Li q i R
dt dt C
di q dqL i R
dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d q dqL R q circuito RLC
dt dt C
q Qe t
qU Qe t
C C
QU e t
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
−
−
−
 
= + = − 
 
+ = −
= =
+ + =
= +′
=
′
= ′ +
= +
2 2
2 2
²
B E
Li qU U U
C
dU i R
dt
= + = +
= −
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
²
2 2
 ²
 
²
1 0 
²
 cos
1 ( cos ²
2 2
² cos² ²
2
Rt
L
Rt
L
E
Rt
L
E
dU d Li q i R
dt dt C
di q dqL i R
dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d q dqL R q circuito RLC
dt dt C
q Qe t
qU Qe t
C C
QU e t
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
−
−
−
 
= + = − 
 
+ = −
= =
++ =
= +′
=
′
= ′ +
= +
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
²
2 2
 ²
 
²
1 0 
²
 cos
1 ( cos ²
2 2
² cos² ²
2
Rt
L
Rt
L
E
Rt
L
E
dU d Li q i R
dt dt C
di q dqL i R
dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d q dqL R q circuito RLC
dt dt C
q Qe t
qU Qe t
C C
QU e t
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
−
−
−
 
= + = − 
 
+ = −
= =
+ + =
= +′
=
′
= ′ +
= +
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
²
2 2
 ²
 
²
1 0 
²
 cos
1 ( cos ²
2 2
² cos² ²
2
Rt
L
Rt
L
E
Rt
L
E
dU d Li q i R
dt dt C
di q dqL i R
dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d q dqL R q circuito RLC
dt dt C
q Qe t
qU Qe t
C C
QU e t
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
−
−
−
 
= + = − 
 
+ = −
= =
+ + =
= +′
=
′
= ′ +
= +
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
²
2 2
 ²
 
²
1 0 
²
 cos
1 ( cos ²
2 2
² cos² ²
2
Rt
L
Rt
L
E
Rt
L
E
dU d Li q i R
dt dt C
di q dqL i R
dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d q dqL R q circuito RLC
dt dt C
q Qe t
qU Qe t
C C
QU e t
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
−
−
−
 
= + = − 
 
+ = −
= =
+ + =
= +′
=
′
= ′ +
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2
²
2 2
 ²
 
²
1 0 
²
 cos
1 ( cos ²
2 2
² cos² ²
2
Rt
L
Rt
L
E
Rt
L
E
dU d Li q i R
dt dt C
di q dqL i R
dt C dt
dq di d qi e
dt dt dt
d q dqL R q circuito RLC
dt dt C
q Qe t
qU Qe t
C C
QU e t
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
−
−
−
 
= + = − 
 
+ = −
= =
+ + =
= +′
=
′
= ′ +
= +
TÓPICO 3 | OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA
103
Fisicamente, a equação nos diz que a energia do campo elétrico oscila 
de acordo com quadrado do cosseno, enquanto que a amplitude das oscilações 
diminui exponencialmente com o tempo.
4 CORRENTE ALTERNADA
Quando estudamos circuitos elétricos e as leis básicas do eletromagnetismo, 
vemos de forma simplificada como acontecem os processos elétricos nos fios 
condutores através da alimentação de fontes de correntes contínuas. A corrente 
contínua funciona como um fluxo de elétrons, na qual a carga elétrica se 
movimenta de forma ordenada num único sentido.
A principal característica da corrente alternada é de que o fluxo de elétrons 
muda a direção constantemente. Na prática, a corrente alternada é mais eficaz no 
transporte de energia para locais distantes. Um exemplo disso é a energia que 
usamos nas nossas casas. 
A geração de energia acontece nas usinas, e para chegar até a residência 
percorre um caminho de centenas de quilômetros. Desse modo, a corrente 
alternada se torna uma opção mais eficiente, uma vez que a corrente contínua 
causaria grandes perdas no trajeto.
Outra vantagem da corrente alternada (ca) é que ela é capaz de suportar 
valores altos de tensão. Quanto maior for a voltagem, maior é a distância que a 
energia chega sem perder “força” no trajeto. No sistema de abastecimento elétrico 
do Brasil, a tensão e a corrente variam a polaridade 120 vezes por segundo e, 
portanto, possuem uma frequência de 60 Hz. 
Mas como o elétron se movimenta dentro de um fio sujeito à variação 
da frequência? Diferente da corrente contínua, o elétron não precisa chegar a 
algum lugar. A corrente elétrica é a variação de carga em área de seção reta de 
um fio por unidade de tempo. Isso significa que, ao dizer que a corrente em um 
fio corresponde a um Ampère, temos uma taxa de vazão de um coulomb por 
segundo. 
Em outras palavras, significa dizer que pode haver muitos portadores de 
carga se movendo no fio, e é isso o que importa para que haja a transferência de 
energia para o dispositivo: a colisão com átomos. 
Nos geradores de ca há uma espira condutora forçada a girar na presença 
do campo magnético externo. A presença do campo magnético induz uma força 
eletromotriz na espira, que varia senoidalmente conforme a expressão:
( )
.msen t
i Isen
ε ε ω
ω ϕ
=
= −
104
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
Tal que a corrente gerada no circuito elétrico é:
Em que I é a amplitude da corrente. Lembrando que a corrente não pode 
estar em fase com a força eletromotriz. 
Em suma, a grande vantagem da ca está em torno da mudança do sentido 
da corrente, que gera um campo magnético variável em torno do condutor, 
resultado da lei de indução de Faraday. Portanto, podemos aumentar ou diminuir 
a tensão usando um dispositivo chamado transformador, que estudaremos ainda 
neste tópico.
( )
.msen t
i Isen
ε ε ω
ω ϕ
=
= −
5 TRANSFORMADORES
Se pudéssemos voltar no tempo e acompanhar a discussão feita por Edson 
e Westinghouse, certamente definiríamos a corrente alternada como alternativa 
para o uso doméstico. Para transmitir energia elétrica em grandes distâncias, a 
tensão mais elevada é a uma opção mais viável, tal que a corrente transportada seja 
pequena. As perdas que ocorrem nos fios e linhas de transmissão são minimizadas. 
As linhas de transmissão costumam operar com valores de tensão na 
ordem de 500 kV. Por questões de segurança, os equipamentos eletrodomésticos 
operam com tensões inferiores, padronizadas no Brasil em 110 V ou 220 V. Para 
que aconteça a conversão da tensão nas nossas casas é utilizado um dispositivo 
chamado transformador.
Para o funcionamento de um transformador deve-se trabalhar somente 
com tensão alternada. A tensão aplicada pela fonte do circuito primário gera uma 
corrente alternada e consequentemente um fluxo magnético em sua bobina. O 
fato da corrente ser alternada faz o fluxo variar, induzindo uma tensão na bobina. 
A figura a seguir mostra a ilustração de um transformador ideal.
FIGURA 20 – REPRESENTAÇÃO DE UM TRANSFORMADOR IDEAL
FONTE: Young e Freedman (2009, p. 365)
Fonte de corrente 
alternada I1
V1
N1 N2
V2
R
ΦB
Enrolamento 
primário
Enrolamento secundário
Núcleo de ferro
TÓPICO 3 | OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA
105
Como podemos observar, o transformador é composto por duas bobinas 
ou enrolamentos, com número diferente de espiras, isoladas uma da outra, mas 
ligadas ao mesmo núcleo. O núcleo é feito de um material com permeabilidade 
magnética elevada, como o ferro. Desse modo, as linhas de campo ficam 
praticamente no interior do núcleo. O enrolamento primário é conectado com a 
fonte de tensão (conectada na rede de distribuição), enquanto que o enrolamento 
secundário conecta os terminais à tensão transformada. O símbolo que indica o 
transformador é ~. 
O transformador obedece à Lei de Indução de Faraday e não funciona com 
corrente contínua. O enrolamento primário é conectado à fonte de alimentação de 
ca, cuja força eletromotriz é conhecida pela equação:
msen tε ε ω=
O enrolamento secundário, composto por um número N de espiras, é 
ligado com uma resistência R. Como estamos tratando de um transformador ideal, 
desconsideramos as perdas internas que podem ser causadas pelo enrolamento 
dos fios. Em transformadores reais e que são finamente projetados, a dissipação 
de energia estimada é inferior a 1%. 
O fluxo magnético que acontece entre as espiras é escrito em termos da 
força eletromotriz que atua no sistema. A εespira é a mesma que atua no enrolamento 
primário e secundário. Já a tensão é escrita como o produto entre a εespira e o número 
de espiras de cada enrolamento:
Assim, podemos escrever a força eletromotriz:
A tensão transformada no enrolamento secundário:
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P sespira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
106
UNIDADE 2 | CIRCUITOS E PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA
Essa equação nos mostra a relação necessária para elevar ou diminuir a 
tensão. Logo, se NS > NP, o transformador eleva a tensão. Se NS < NP o transformador 
abaixa a tensão.
Agora, vamos analisar o que acontece com a corrente do transformador. 
Lembrando que a potência elétrica relaciona a corrente e a tensão, matematicamente 
expressa por:
Aplicando o princípio de conservação de energia, a potência distribuída 
nos enrolamentos é igual:
Substituindo pela expressão encontrada anteriormente para a tensão 
secundária:
Essa equação implica a diferença existente da corrente que depende da 
razão do número de espiras do enrolamento primário e secundário. Para verificar 
a resistência equivalente, aplicamos a primeira Lei de Ohm, considerando a 
equação anterior:
Isolando IP:
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
P PI V PS
VI= s
p
p
S P
S
N
N
N
I I
N
=
TÓPICO 3 | OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CORRENTE ALTERNADA
107
E substituindo 
 
, obtemos:
Comparando com a Lei de Ohm para a corrente primária encontrada 
acima, , concluímos que a resistência equivalente é:
A transmissão de energia nas redes que alimentam as residências 
domésticas depende da corrente e da tensão do sistema, que variam senoidalmente 
para manter o sistema de energia elétrica sem prejuízos. 
Ao detectar uma grande quantidade de partículas carregadas vindas do 
Universo em direção à Terra, os astrônomos comunicam as redes de distribuição elétrica, 
para possíveis alterações no sistema provenientes da interação dessas partículas com o 
campo produzido nas redes.
INTERESSA
NTE
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
V NI
R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
I I
N
NVI I I
R N
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R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
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N
NVI I I
R N
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R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
( )
2
2
 
 
 
1 
espira p P
espira s s
P s
espira
p s
P
s s
p
P P S S
P
P P S s
p
p
S P
S
pS
S S P
S
S S
P
P
P
s s
p
P
s
p S S
P P P
P P
P
P
S
eq
P
N V
N V
V V
N N
VV N
N
P iV potência
I V I V
VI V I N
N
N
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N
NVI I I
R N
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R N
VV N
N
V N
N N NI I V
R N R N
VI
R
NR R
N
ε
ε
ε
=
=
= =
=
=
=
=
=
= → =
=
=
 
= → =  
 
=
 
=  
 
108
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Um circuito indutor capacitor LC pode ser estudado a partir de uma analogia 
com o sistema mecânico bloco-mola. 
• O princípio de conservação de energia rege o circuito, de modo que a soma da 
energia magnética e elétrica é sempre igual a:
• A carga e a corrente num sistema LC variam senoidalmente conforme as equações:
• As oscilações amortecidas são representadas pelo circuito RLC, em que a 
resistência é responsável pela dissipação de energia do sistema. 
• A energia elétrica do sistema oscila de acordo com a função exponencial abaixo, 
tal que a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:
• A corrente alternada é a corrente que chega até nossas residências por meio de 
altas tensões. Para que sejam utilizadas em nossos equipamentos domésticos é 
necessário o uso de um transformador. 
• Num transformador:
◦ A corrente gerada no circuito elétrico é:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
 
 
 ²
2 2
1 ² ² ²
2 2
1
 ²
2
2
E
B
B
x Xcos t
q Qcos t carga
dqi Qsen t corrente
dt
q QU cos t
C C
LiU L Q sen t
LC
QU sen t
C
Q
C
ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω ϕ
ω ω ϕ
ω
ω ϕ
= +
= +
= =− +
= = +
= = +
=
= +
( ) ( )
( )
2
² cos² ² 
2
Rt
L
E
P
s s
p
p
S P
S
S
eq
P
QU e t energiaelétrica docircuito RLC
C
i Isen
VV N
N
N
I I
N
NR R
N
ω ϕ
ω ϕ
−
= +
= −
=
=

=  
 
′

( ) ( )
( )
2
² cos² ² 
2
Rt
L
E
P
s s
p
p
S P
S
S
eq
P
QU e t energiaelétrica docircuito RLC
C
i Isen
VV N
N
N
I I
N
NR R
N
ω ϕ
ω ϕ
−
= +
= −
=
=

=  
 
′

109
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará aoAVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
◦ A tensão transformada no enrolamento secundário é conhecida:
◦ A corrente do enrolamento secundário é:
◦ A resistência equivalente é igual a:
( ) ( )
( )
2
² cos² ² 
2
Rt
L
E
P
s s
p
p
S P
S
S
eq
P
QU e t energiaelétrica docircuito RLC
C
i Isen
VV N
N
N
I I
N
NR R
N
ω ϕ
ω ϕ
−
= +
= −
=
=

=  
 
′

( ) ( )
( )
2
² cos² ² 
2
Rt
L
E
P
s s
p
p
S P
S
S
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P
QU e t energiaelétrica docircuito RLC
C
i Isen
VV N
N
N
I I
N
NR R
N
ω ϕ
ω ϕ
−
= +
= −
=
=

=  
 
′

( ) ( )
( )
2
² cos² ² 
2
Rt
L
E
P
s s
p
p
S P
S
S
eq
P
QU e t energiaelétrica docircuito RLC
C
i Isen
VV N
N
N
I I
N
NR R
N
ω ϕ
ω ϕ
−
= +
= −
=
=

=  
 
′

110
AUTOATIVIDADE
1 (PIETROCOLA et al., 2016, p. 109). Um transformador tem 
300 espiras no enrolamento primário e 6000 no secundário. 
Qual será a tensão obtida nos terminais do secundário se o 
primário for conectado a uma tensão contínua de 110 V? E se 
for conectado a uma tensão alternada desse valor?
2 (PIETROCOLA et al., 2016, p. 109). Em um transformador, o 
enrolamento primário é constituído por 500 espiras e o secundário, 
por 2000 espiras. A potência gerada pelo primário é de 6,0 kW 
quando sujeito a uma tensão alternada de 120 V. Determine a 
intensidade da corrente em cada enrolamento. 
3 Uma das vantagens da corrente alternada é a possibilidade 
de trabalhar com altas tensões, minimizando as perdas pelos 
fios de transmissão. Para que possamos ligar nossos aparelhos 
domésticos à rede que abastece nossa casa é necessário o 
uso de transformadores. Com base no estudo feito, explique o que é um 
transformador e qual o princípio básico para seu funcionamento.
4 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009, p. 335). Em um certo 
circuito LC oscilante a energia total é convertida de energia 
elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em 1,50 
µs. Determine:
a) O período das oscilações.
b) A frequência das oscilações.
c) Se a energia magnética é máxima em um certo instante, quanto tempo é 
necessário para que seja máxima novamente?
111
UNIDADE 3
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E 
EQUAÇÕES DE MAXWELL
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• entender as características das ondas eletromagnéticas;
• descrever a geração de uma onda eletromagnética por um oscilador LC;
• saber que as ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material 
para se propagar;
• conhecer a relação entre o módulo do campo elétrico E, o módulo do 
campo magnético B e a velocidade da luz c de uma onda eletromagnética 
em um dado instante e em uma dada posição;
• compreender que uma onda eletromagnética transporta energia;
• saber que a taxa de transporte de energia por unidade de área é dada pelo 
vetor de Poynting;
• conhecer as equações de Maxwell;
• aprender a Lei de Gauss para campos magnéticos;
• saber que a estrutura magnética mais simples é o dipolo magnético;
• conhecer as propriedades magnéticas dos materiais;
• saber diferenciar matérias diamagnéticos, de paramagnéticos e de 
ferromagnéticos.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DE MAXWELL
TÓPICO 3 – MAGNETISMO DA MATÉRIA
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
112
113
TÓPICO 1
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Certamente, você deve ter acesso à rede Wi-Fi, seja na sua casa, escola ou 
já deve ter acessado em algum local comercial. O local onde você está estudando 
é iluminado por uma lâmpada artificial. E você ainda assistiu à última temporada 
da sua série ou novela preferida na televisão? Após a unificação da eletricidade e 
do magnetismo propostos pelos físicos da época, surge uma nova era, a era das 
comunicações e da informação. 
Essa era é marcada pelas transmissões de televisão, rádio e telefone, 
compostas pelas ondas eletromagnéticas. Para que o avanço cada vez mais 
promissor das comunicações aconteça é necessário compreender a física básica 
das ondas eletromagnéticas.
Nesse cenário surge James Clerk Maxwell, que estruturou um 
conjunto de equações chamadas Equações de Maxwell, que sintetizam todos 
os conhecimentos sobre o eletromagnetismo adquiridos até aquela época. O 
trabalho de Maxwell foi publicado no livro Treatise on Electricity and Magnetism 
(Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo). Neste tópico, veremos como Maxwell 
chegou a conclusões acerca das ondas eletromagnéticas e como suas ideias foram 
confirmadas experimentalmente. 
2 CARACTERÍSTICAS DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Como vimos na disciplina de Ondas e Ótica, a discussão sobre a natureza 
da luz não foi algo trivial para os cientistas. Ao longo da história da Ciência, 
observou-se que alguns fenômenos luminosos são resultado de interações 
ondulatórias, enquanto outros são explicados quando a luz é considerada uma 
partícula. Aqui, trataremos das características ondulatórias da luz. 
Para começar nosso estudo, vamos entender o que é uma onda 
eletromagnética com um pequeno trecho do livro de Richard, Leighton e Sands 
(1977, s. p.) para introduzir o assunto:
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
114
Eu lhes peço que imaginem os campos magnéticos e elétricos. Como 
fazer? Sabem como eu imagino o campo elétrico e magnético? O 
que eu vejo realmente? [...] Não tenho nenhuma imagem do campo 
eletromagnético que de algum modo seja precisa. Deve fazer algum 
tempo que sei o que é um campo eletromagnético – faz 25 anos que 
estive na mesma posição que vocês; agora tenho 25 anos a mais de 
experiência pensando nessas ondas serpenteantes. Quando penso em 
descrever o campo eletromagnético no espaço, falo dos campos E e B, e 
agito meus braços e imagino que posso vê-los. Vou lhes dizer o que vejo. 
Vejo algo como linhas borradas serpenteantes – aqui e ali há um B e um 
E escritos sobre elas e, de alguma forma, algumas linhas têm flechas – 
uma flecha aqui e ali que desaparece quando olho atentamente. 
De maneira geral, uma onda eletromagnética é resultado da oscilação de 
uma carga elétrica, que faz o campo elétrico variar, e consequentemente, gera um 
campo magnético oscilante também. Essa mútua indução eletromagnética que se 
propaga no espaço é uma onda eletromagnética. 
FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO MODELO DA OSCILAÇÃO ENTRE OS 
CAMPOS ELÉTRICO E MAGNÉTICO DE UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA
FONTE: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172015000400206>. 
Acesso em: 26 nov. 2019.
Hoje, conhecemos um largo espectro de ondas eletromagnéticas, que foi 
chamado carinhosamente por “Arco-íris de Maxwell”. Como podemos ver, as 
aberturas do espectro não possuem limites definidos, mas vamos falar do que 
conhecemos. 
Ondas eletromagnéticas
transportam energia
através da propagação 
dos campos elétricos e
magnéticos.
A variação do campo
elétrico é perpendicular
ao campo magnético
comprimento da onda
variação do
campo elétrico
variação do campo
magnético
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
115
Os raios X ou raios gama são liberados em reações nucleares, modificam 
células e podem causar tumores. Por isso, caso seja necessária a exposição humana 
a essa frequência, deve-se tomar cuidado nas dosagens e tempo de exposição. 
Com os parâmetros controlados, a radiação é usada para o tratamento de cânceres 
e no diagnóstico de tumores.
Os raios X têm uma grande importância na medicina, em diagnósticos do 
interior do corpo humano por meio de tomografias. Já a radiação ultravioleta é 
facilmente visualizada através da radiação emitida pelo Sol. Também se deve tomar 
cuidado com o tempo de exposição, pois ao mesmo tempo que é essencial para a 
síntesede vitamina D, a exposição em horários críticos pode causar câncer de pele. 
A luz visível compreende a faixa de comprimento de onda perceptível 
aos nossos olhos. As ondas de rádio são usadas na transmissão de informação por 
emissoras de rádio e televisão, utilizando frequências bem definidas. Além disso, 
corpos celestes também emitem ondas de rádio, que podem ser captadas na Terra. 
FIGURA 2 – ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009, p. 2)
Para estudar qualitativamente o comportamento de uma onda 
eletromagnética, vamos considerar a região do espectro na qual a fonte de 
radiação é macroscópica (comprimento de onda λ = 1m). Veja o esquema a seguir, 
em que temos um sistema sendo alimentado por um circuito oscilante LC para 
gerar uma onda eletromagnética.
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
116
FIGURA 3 – GERAÇÃO DE UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA POR UM OSCILADOR LC
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009)
 O sistema oscilador LC está acoplado a um transformador, linha de 
transmissão e a uma antena. Como vimos na unidade anterior, as cargas e 
correntes do circuito variam senoidalmente, com uma frequência angular definida 
( ). A variação da corrente elétrica faz com que os campos elétrico e 
magnético se mantenham variando constantemente. Essa variação faz com que 
surja uma onda eletromagnética. 
Dos campos variáveis, podemos inferir que:
• Os campos elétrico e magnético são perpendiculares à direção da propagação 
da onda, formando uma onda transversal.
• Os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si.
• A variação dos campos sugere um comportamento senoidal, tal que variam 
com a mesma frequência e encontram-se em fase.
Com essas observações, concluímos que uma onda eletromagnética se 
propaga no eixo x positivo num sistema de coordenadas dextrogiro e as equações 
que indicam a posição dos campos é:
1 / LCω =
( )
( )
 
 
M
M
E E sen kx t
B B sen kx t
ω
ω
= −
= −
Numa onda eletromagnética, as duas componentes precisam coexistir 
simultaneamente. Ainda, a velocidade de propagação da onda é ω/k. Como 
falamos de uma onda eletromagnética, isso significa que a velocidade de 
propagação é conhecida usando o símbolo c, tal que:
8
0 0
1 3.10 /c m s
µ ε
= ≅
Onda eletromagnética
P
Ponto
distante
Antena do
tipo dipolo
elétrico
Linha de 
transmissão
Transformador
Oscilador LC
C
L
R
Fonte de
alimen-
tação
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
117
Em que representa a permeabilidade magnética do vácuo, 
e representa a permissividade elétrica do vácuo.
Você já deve ter ouvido, inclusive no ensino básico, que a velocidade da luz 
no vácuo é sempre igual a 3.108m/s Esse valor resulta da equação anteriormente 
apresentada, mas que fisicamente representa algo muito além: ela diz que todas 
as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade 
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009).
O valor da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas, 
encontrado teoricamente por Maxwell, era compatível com o valor medido para 
a velocidade de propagação da luz. Diante dessa concordância entre a velocidade 
de propagação c, Maxwell concluiu que a luz era uma onda eletromagnética.
7
0 4 .10 / . T m Aµ π
−=
12 2
0
0
1 8,85.10 / .
4
C N m
k
ε
π
−= =
As discussões feitas por Albert Einstein, em 1905, sobre a relatividade restrita 
trazem importantes reflexões acerca da velocidade da luz. O princípio da invariância da luz 
diz que a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os referenciais.
INTERESSA
NTE
2.1 A RELAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉTRICO E MAGNÉTICO
A discussão que fizemos até agora se baseia na ideia de que a indução 
mútua entre os campos elétrico e magnético é responsável pelo fenômeno da luz. 
Agora, vemos a relação matemática que impõe essa condição, isto é:
M
M
E c
B
=
Inicialmente, observe a figura a seguir. Ela representa a passagem de 
uma onda eletromagnética em um pequeno trecho retangular segmentado para 
o nosso estudo.
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
118
FIGURA 4 – ESTUDO DA VARIAÇÃO DOS CAMPOS ELÉTRICO E MAGNÉTICO DE 
UMA ONDA ELETROMAGNÉTICA
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009)
Veja que o retângulo indicado possui dimensões infinitesimais que 
chamamos de dx e uma altura h. O segmento tracejado pertence ao plano xy e 
está parado. Agora, vamos analisar o fluxo magnético que atravessa o retângulo.
Para isso, vamos aplicar a lei de Indução de Faraday sob a região geométrica 
indicada na Figura 4 no sentido anti-horário:
. BdE ds
dt
φ
=−
 
∮
Por se tratar de uma integral em torno da superfície, analisamos o caminho 
percorrido no retângulo, portanto, os lados paralelos ao eixo x é nula, uma vez 
que nesses trechos, e são perpendiculares. Logo: E ds
 
( ). E ds E dE h Eh hdE= + − =
 
∮
Já o fluxo que atravessa o retângulo é:
( )( ) B B hdxφ =
Para encontrar a igualdade entre o campo e o fluxo, precisamos derivar o 
fluxo magnético:
( ) ( ) B d Bd hdx
dt dt
φ
=
Desse modo, obtemos:
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
119
( ) ( ). B d BdE ds hdE hdx
dt dt
dE dB
dx dt
φ
=− → = −
= −
∫
 
�
Essa equação possui duas funções de duas variáveis, isto é, E e B em função 
de x e t. Isso significa que a forma matemática mais adequada para a expressão é 
escrita em termos de uma derivada parcial:
E B
x t
∂ ∂
= −
∂ ∂
O sinal negativo fisicamente é interpretado pela diminuição do campo 
elétrico com o tempo t. 
Agora, vamos derivar parcialmente as equações que descrevem os 
campos elétrico e magnético através das funções senoidais propostas no início 
deste tópico:
( ) ( )
( ) ( )
 
 
M M
M M
EE E sen kx t kE cos kx t
x
BB B sen kx t B cos kx t
t
ω ω
ω ω ω
∂
= − → = −
∂
∂
= − → = − −
∂
Para encontrar a razão que procuramos, fazemos:
( ) ( ) M M
M
M
E B
x t
kE cos kx t B cos kx t
E
B k
ω ω ω
ω
∂ ∂
= −
∂ ∂
− = −
=
De acordo com as proposições feitas anteriormente, a velocidade de 
propagação da onda é w/k, e para ondas eletromagnéticas essa velocidade se 
resume a c:
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
120
M
M
E c
B
=
Essa relação permitiu a Maxwell concluir que a velocidade de propagação 
das ondas eletromagnéticas deveria ser sempre a mesma, comprovando a natureza 
eletromagnética da luz. Alguns anos mais tarde, Heinrich Hertz comprovou 
experimentalmente as conclusões de Maxwell.
3 TRANSPORTE DE ENERGIA E VETOR DE POYNTING
A definição básica de uma onda é o transporte de energia, nunca de 
matéria. A taxa de transporte de energia de uma onda eletromagnética é conhecida 
por um vetor chamado de vetor de Poynting, em homenagem a John Henry 
Poynting (1852-1914), que relaciona a rapidez com que a energia é transportada 
por unidade de área. Matematicamente:
0
1S E B
µ
= ×
  
A direção do vetor indica a direção de propagação da onda e de energia 
da onda eletromagnética. O módulo do vetor de Poynting corresponde à potência 
instantânea, isto é, à quantidade de energia que é transportada por unidade de 
tempo e que atravessa uma determinada área. Portanto, a unidade de medida do 
vetor de Poynting é equivalente a W/m². Matematicamente, escrevemos:
0
1S EB
µ
=
Agora, vamos determinar uma expressão para a intensidade da onda, isto 
é, a taxa média de transporte de energia. Para isso, vamos encontrar a intensidade 
média de I que é igual ao fluxo médio de energia, portanto:
médI S=
Como vimos no item anterior:
 M MM
M
E Ec B
B c
= → =
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
121
Logo: 
0
1 ² médS Ecµ
=
Como:
( )
( )
( )
0
0
 
1 ( )²
1 ² ² 
M
méd M
méd M
E E sen kx t
S E sen kx t
c
S E sen kx t
c
ω
ω
µ
ω
µ
= −
= −
= −
Em um ciclo completo, o valor médio de , e ainda vamos considerar 
que o valor médio quadrático do campo elétrico é . Portanto, a intensidade 
média é finalmenteescrita com:
2 1
2
sen θ =
. 
2
m
rms
EE =
0
1 ²rmsI Ecµ
=
Embora nessa equação a energia elétrica esteja evidenciada, isso não significa 
que a energia magnética não é associada, as duas energias são exatamente iguais. 
Como já estudamos no livro de “Ondas e óptica”, não nos aprofundaremos 
novamente nos fenômenos ondulatórios da luz, uma vez que nosso foco, neste 
tópico, é definir uma onda eletromagnética em termos da variação dos campos 
elétrico e magnético. Acompanhe no próximo tópico a discussão acerca das 
equações de Maxwell, fundamentais para o estudo do Eletromagnetismo e da 
Física Clássica.
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
122
LEITURA COMPLEMENTAR
LUZ PARA O PROGRESSO DO CONHECIMENTO E SUPORTE DA VIDA
Vanderlei S. Bagnato
Sebastião Pratavieira
Natureza da luz e sua produção
Por milênios a luz tem sido associada com divindades, tal sua importância. 
Para os antigos egípcios, a luz teria sido a razão para a vida e o Sol associado 
com um “Deus” (Rá é o deus do Sol do Antigo Egito, de onde se origina a 
palavra radiação). Nas escolas gregas, muitos se dedicaram ao entendimento da 
luz como elemento essencial da natureza. Os mesmos sugeriram ou realizaram 
demonstrações sobre a manipulação da luz.
A manipulação da luz para melhoria da qualidade de vida do homem 
também é milenar. Há relatos de antigos romanos, usando cristais com formas 
especiais para melhoria da visão ou ampliação da capacidade visual. Na idade 
média, era das trevas para a parte ocidental da civilização, a luz foi estudada no 
mundo árabe. Esta foi uma época iluminada para a ciência árabe, que fez grandes 
descobertas na matemática, medicina e em especial na óptica. Há exatamente 
1000 anos (1015 DC) o primeiro compêndio de óptica foi publicado pelo árabe 
Ibn al-Haytham, conhecido no ocidente como Alhazen. Na sua coleção de 
óptica, contendo vários volumes, os primeiros fenômenos envolvendo luz foram 
descritos com clareza. Suas observações e ideias geraram as bases de toda a óptica 
moderna, incluindo a concepção das lentes e das câmeras escuras (Fig. 1); bem 
como ampliação de imagens através de espelhos curvos.
Figura 1. Princípio básico da câmara escura estudado por Ibn al-Haytham
Todas essas ideias acabaram por gerar as condições para o grande 
florescimento do tópico durante a Renascença. Neste período grandes 
personalidades como Descartes, Newton, Huygens e outros tornaram a área 
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
123
uma das mais importantes em toda a ciência. De qualquer forma, é importante 
salientar que os pilares deste sucesso foram estabelecidos pelo mundo árabe ao 
longo de vários séculos. 
O florescimento da Óptica com a Renascença tem uma importante 
característica, pois permitiu o aparecimento de diversas aplicações como os 
telescópios, microscópios, óculos pessoais, dentre outros. Este período também 
despertou o interesse para a luz propriamente dita. Qual é a natureza da luz? Este 
questionamento passou a ser uma preocupação na mente de diversos pensadores. 
Os primeiros avanços consistiram em verificar que a velocidade da 
luz é finita. As tentativas de Galileu para a medida da velocidade da luz não 
foram bem-sucedidas por limitações técnicas. As técnicas que foram mais bem-
sucedidas devem-se a Louis Fizeau e a Leon Foucault. A roda dentada girando 
de Louis Fizeau, representou um grande avanço técnico para a medida da 
velocidade da luz. Valores originalmente medidos revelaram valores da ordem 
de 300 mil km/s. A finitude da velocidade da luz a tornou mais palpável do ponto 
de vista científico. Sua natureza, no entanto, continuava uma incógnita. Newton, 
como bom “mecanicista” procurava explicar a natureza da luz como composta de 
partículas carregando velocidade, mas não massa.
Leis básicas sobre o comportamento da luz como reflexão e refração 
podiam ser explicadas. Alternativa a interpretação da luz como constituída de 
partículas, nascia a interpretação ondulatória para a luz. Baseado em efeitos 
que ocorrem com ondas como interferência e difração, facilmente observadas 
em ondas mecânicas como na água ou em cordas, e também presente na luz, 
surgiu a proposta que a luz deveria ser um fenômeno ondulatório. Este foi tema 
de grandes debates até que experimentos e teorias de Francesco Maria Grimaldi, 
Christiaan Huygens, Thomas Young foram capazes de convencer todos que a luz 
corresponde de fato a um fenômeno ondulatório. 
Apenas considerando a luz como ondas, houve um elevado avanço no 
seu entendimento e suas aplicações. O modelo proposto por Huygens permitiu 
formular um modelo para propagação das frentes de onda e a ocorrência de diversos 
efeitos relacionados com reflexão, refração e difração. Para Huygens, uma frente 
de luz que se propaga é constituída de inúmeras ondas parciais e expandido dos 
diversos pontos formam a frente de onda caminhante ao encontrar uma interface 
há um desvio de direção (refração) ou se o meio não permite a penetração da onda, 
ocorre a reflexão. Quando a frente de onda encontra obstáculos as ondas parciais 
localizadas na borda do objeto não mais têm o restante para compor a frente de 
onda original, promovendo a propagação da onda na região geometricamente 
proibida. Isto permite, de alguma forma que a onda contorne o objeto num 
fenômeno chamado difração. Finalmente quando temos duas fendas no caminho 
da frente de onda, ocorre uma difração em cada uma, havendo uma soma que 
dependendo da posição produz máximos e mínimos gerando o chamado padrão 
de interferência.
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
124
A ocorrência e explicação de todos estes fenômenos foram totalmente 
convincentes para demostrar a característica ondulatória da luz. Restava agora 
explicar: que tipo de onda era esta? Muitas décadas se passaram até que fosse 
possível entender a natureza das ondas que constituem a luz. 
Foi James Clark Maxwell que conseguiu vencer esse mistério. Combinando 
praticamente todo conhecimento existente na época, sobre eletricidade e 
magnetismo, Maxwell pode verificar que havia a possibilidade de se ter uma onda 
composta tanto de eletricidade como de magnetismo caminhando livremente no 
espaço, mesmo na ausência completa de cargas elétricas ou correntes elétricas. O 
mais impressionante de tudo é que esta onda, chamada de onda eletromagnética 
pela sua composição tinha velocidade de propagação que coincidia com a velocidade 
da luz. Maxwell imediatamente associou a luz com uma onda eletromagnética. Na 
Fig. 2 ilustramos a propagação de uma onda eletromagnética.
Figura 2. Ilustração da propagação de uma onda eletromagnética
Tudo parecia fantástico e a luz parecia ser composta de eletricidade e 
magnetismo. E isto foi verificado através de experimentos diversos, incluindo o 
efeito fotoelétrico. Que mostra que quando a luz incide sobre um metal, a natureza 
elétrica da luz parecia ser capaz de trabalhar sobre as cargas livres do metal 
ejetando elétrons. A natureza eletromagnética da luz é um dos grandes marcos 
da ciência. Com este entendimento, saímos literalmente da escuridão e passamos 
a entender melhor todos os fenômenos envolvendo luz bem como adquirimos 
domínio sobre ela para dar início a uma nova era de aplicações da luz.
Obviamente, com esta descoberta, a luz passou a ser entendida 
cientificamente. A natureza eletromagnética da luz não é o fim da história, sua 
natureza corpuscular reabre todas as questões e dá origem à chamada natureza 
quântica da luz, onde o fóton é o principal protagonista. Mesmo com mais 
Ondas eletromagnéticas
transportam energia
através da propagação 
dos campos elétricos e
magnéticos.
A variação do campo
elétrico é perpendicular
ao campo magnético
comprimento da onda
variação do
campo elétrico
variação do campo
magnético
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
125
este avanço, ainda não se conclui a história. O fóton ainda não é totalmente 
entendido. Quanto mais o compreendemos através de experimentos e teorias, 
mais descobrimos queainda há muito a ser entendido. Esta é realmente uma 
história sem fim.
A interação da luz com a matéria
Com a concepção eletromagnética para a luz, o entendimento de sua 
interação com a matéria torna-se mais fácil e compreensível. Vamos fazer aqui 
um modelo simplificado a fim de podermos explicar o que ocorre nesta interação. 
Comecemos lembrando que toda matéria ao nosso redor é constituída de cargas. 
A natureza atômica da matéria, amplamente discutida e entendida, nos faz olhar 
a interação da luz ao nível atômico e molecular. Do fato que a matéria é feita de 
cargas e que a luz é composta de campos, combinam todos os ingredientes para 
enxergarmos a intimidade desta interação. Os campos elétricos e magnéticos que 
constituem a luz interagem com as cargas e trabalham sobre elas para que ali seja 
depositado energia é o fundamental desta interação.
Numa visão mais simples, a matéria é vista como elétrons em órbitas ao 
redor dos núcleos. Esta visão orbital para a composição de cargas da matéria deve 
ser livremente corrigida no espírito da mecânica quântica, e ao invés de imaginar 
o elétron ao redor do núcleo em órbitas bem determinadas, preferimos olhar 
o elétron como uma nuvem de carga negativa ao redor do núcleo. Esta nuvem 
de carga define as chamadas órbitas atômicas. Uma das grandes consequências 
da natureza quântica da matéria é que apenas determinadas distribuições para 
essa nuvem atômica é que são permitidas. Quando dois átomos se aproximarem, 
essa nuvem eletrônica ao redor de cada um adquire uma nova configuração 
de compartilhamento, dando origem às chamadas ligações químicas. Toda 
química que ocorre ao nosso redor bem como toda forma estrutural das 
coisas é consequência direta destes arranjos de carga. Como toda matéria tem 
estas configurações de carga, dando a ela suas características específicas, toda 
radiação eletromagnética interage com a matéria de uma forma mais ou menos 
pronunciada. Quando os campos oscilantes da luz atingem a matéria, o campo 
elétrico age diretamente deslocando a nuvem de carga. A força que o campo 
é capaz de transferir as cargas, nem sempre é suficiente para vencer as forças 
com que os núcleos (positivo) seguram estas cargas. Nesta situação, a famosa 
força elétrica (F = q.E) apenas promove uma oscilação ou chacoalhamento destas 
cargas. Este chacoalhamento das cargas também produz campos oscilatórios, 
exatamente como a luz e, portanto, as cargas oscilantes tiram energia da luz 
incidente e colocam em todo espaço num processo chamado de “espalhamento”. 
Este processo, de forma simplificada, está representado na Fig. 3, onde ao passar 
pelos átomos o campo eletromagnético perturba as nuvens eletrônicas.
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
126
Figura 3. Ilustração da perturbação da nuvem eletrônica pelo campo eletromagnético
Em alguns casos, a energia que a luz é capaz de transferir à nuvem 
eletrônica é tão intensa, que é suficiente para mudar por completo a distribuição 
da nuvem eletrônica, levando de uma configuração estável (orbital atômico 
inicial) para outro estável (orbital atômico final). Nesta situação, ocorre uma 
mudança de distribuição de carga, entre as várias permitidas pela mecânica 
quântica. Temos neste ponto a ocorrência do chamado “espalhamento ressonante” 
ou transição eletrônica de estado. Com a ocorrência da transição, a energia do 
campo eletromagnético não foi apenas espalhada para as outras direções, ela 
realmente ficou acumulada na nova distribuição de cargas eletrônicas na matéria. 
Ela fica lá como energia potencial eletrônica armazenada. Nesta situação dizemos 
que a matéria (através de seus átomos e moléculas) está excitada. Ocorre que 
esta nova distribuição de cargas, não é tão estável quanto a primeira e, por 
qualquer perturbação infinitésima, retorna à situação original. Porém, voltando 
à distribuição original, toda a diferença de energia entre as duas distribuições é 
devolvida novamente ao espaço na forma de radiação eletromagnética exatamente 
pelo processo inverso.
Este processo que acabamos de descrever é chamado de “emissão 
espontânea” de radiação pela matéria e só pode ocorrer quando a matéria estiver 
eletronicamente excitada. Este processo todo está esquematicamente representado 
na Fig. 4. A luz que podemos enxergar nesta “dexcitação”, caracteriza muito a 
matéria e normalmente é chamada de processo de fluorescência. Para a maioria 
da matéria, os átomos não estão isolados, mas ligados uns aos outros, formando 
as moléculas, cadeias moleculares mais complexas, ou mesmo sólidos. 
Tudo ao nosso redor tem essa constituição. Quando a luz interage com 
a matéria através da transferência de energia pela interação com as cargas, 
como vimos, chacoalhando as cargas que formam as ligações químicas também 
transferimos movimento para os núcleos dos átomos. O núcleo é a parte 
massiva da matéria e com a excitação da parte eletrônica eles também adquirem 
movimento, passando a ter agora movimentos oscilatórios. Estes movimentos 
das massas nucleares são chamados de vibração molecular e, no caso de corpos 
sólidos, constituem os chamados fônons vibracionais. Este movimento mecânico 
das massas é o que chamamos de “energia térmica”, e a quantidade acumulada 
na matéria é medido pela temperatura.
Luz
átomo
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
127
Figura 4. Ilustração da transferência de energia da radiação para um átomo
O mecanismo que acabamos de descrever é a visualização de como radiação 
eletromagnética (luz) se converte em calor aquecendo a matéria. É desta forma que a 
luz do Sol é capaz de aquecer o planeta. Calor é energia mecânica, e o Sol não manda 
calor direto à Terra, o Sol manda luz a Terra, que interagindo com a matéria vira calor. 
Este é um mecanismo fundamental para toda a vida do planeta. Ao colocarmos um 
objeto escuro na luz (do Sol, por exemplo), ele aquece acumulando energia térmica 
através dos mecanismos que discutimos. A conversão da energia eletromagnética da 
luz em calor está mostrada no esquema da Fig. 5.
Figura 5. Ilustração da conversão da energia eletromagnética da luz em calor
Quando a luz interage com a matéria promovendo alteração na distribuição de 
cargas eletrônicas, seja em átomos ou moléculas isoladas, diversos fenômenos podem 
ocorrer. A luz pode ser espalhada, absorvida, pode virar calor nesta absorção, pode 
emitir novamente luz, pode transferir esta energia para outra molécula, (que agora fica 
com nova distribuição de carga), pode promover a variação estrutural das moléculas, 
dentre outros muitos fenômenos. Há uma situação onde transferimos tanta energia 
para a nuvem eletrônica, que a força dos campos de radiação sobre as cargas vence a 
força que quer manter as cargas na matéria. 
Nesta situação, elétrons são removidos no processo que chamamos de 
ionização, ou mais precisamente, fotoionização. Se isto ocorrer numa molécula, 
a remoção de carga torna o balanço estrutural da molécula comprometido. Se 
por acaso forem moléculas responsáveis pela reprodução da vida, a mudança de 
estrutura pode promover a chamada mutação. É por esta razão que temos que 
evitar a exposição de seres vivos a radiações ionizantes.
Luz de excitação
Luz emitida
orbital s
orbital p
orbital s
novamente
núcleos começam a vibrar
núcleos (massa)
ligados pela nuvem eletrônica
luz desloca a nuvem
excitando parte
eletrônica
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
128
Quando a matéria interage com a luz, a reatividade das moléculas pode 
variar. A luz pode ser o elemento que falta para viabilizar certas reações como na 
fotossíntese e em muitas outras. São exatamente os mecanismos de interação da 
luz que criam o mundo que vemos e mais um grande número de aplicações.
Como enxergamos o mundo?
Vamos usar tudo que aprendemos até aqui para discutir a visão e as 
sensações. Claro que para enxergarmos os objetos é necessário detectar a luz que 
eles são capazes de enviar para nossos olhos. Ao chegar aos nossos olhos, a luz 
passapor uma estrutura capaz de manipular a direção da luz (óptica geométrica) 
até chegar ao fundo do olho onde estão moléculas que interagem com a luz como 
descrito (cargas excitadas), promovendo reações e geração de sinais que chegam 
ao nosso cérebro para a devida interpretação. 
Temos dois tipos de células no fundo do olho, os chamados bastonetes 
e os cones, que têm composição bioquímica diferente. Há três tipos de cones, 
cada um detecta primordialmente uma cor, através dos processos de interação 
com a luz, descritos anteriormente. Enquanto que os bastonetes são responsáveis 
pela detecção de luminosidade. A Fig. 6 mostra a curva de sensibilidade de cada 
dessas células que temos em nosso olho.
Figura 6. Curvas de sensibilidade dos cones e bastonetes do olho humano em função do 
comprimento de onda (cor)
Devido a essa característica do olho humano, estas três cores são chamadas 
de primárias e constituem a base de nossa sensação de cor. O interessante ocorre 
quando dois cones são simultaneamente excitados. Se de um único lugar do 
espaço estiver sendo mandado ao olho duas cores primárias, a sensação que 
temos é completamente diferente, dando origem às cores secundárias. Assim 
verde + vermelho forma a sensação de amarelo, verde + azul o ciano e vermelho + 
azul a magenta. Esta combinação de cores é famosa quando misturamos as cores 
primárias como mostrado na Fig. 7.
cones vermelhos
cones azuis bastonetes cones verdes
se
ns
ib
ili
da
de
comprimento de onda (m)
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
129
Figura 7. Combinação das cores primárias
Se tomarmos a região onde as três cores primárias se sobrepõem formamos 
a sensação de branco. Se você tomar um objeto branco e iluminar com luz verde 
e vermelha simultaneamente ele torna-se amarelo. Não devemos confundir os 
fatos. A cor amarela existe, basta você olhar para os postes de rua com lâmpadas 
a vapor de sódio para ver o amarelo. 
No espectro da radiação eletromagnética, a cor amarela tem uma 
frequência (ou comprimento de onda) bem característica. No entanto, para que 
nós humanos tenhamos a sensação de amarelo não necessariamente aquela 
frequência da radiação precisa estar presente. Esta é a distinção entre cores e 
sensação de cores. Assim, quando nós humanos vemos um objeto de certa cor, 
ele não necessariamente está nos enviando aquela frequência, pode ser uma 
combinação de frequência que termina com aquela sensação.
A biofotônica
Que a luz é importante para a vida, não precisamos mais convencê-lo. 
A questão é: além de tudo isto ainda há mais? A resposta é sim, e o número de 
aplicações das ciências da vida envolvendo luz é praticamente inesgotável. O tópico 
é tão importante, que recebe um nome para si: biofotônica. Trata-se da interação da luz 
com células a fim de podermos diagnosticar doenças ou mesmo tratá-las. 
Todo o fundamento disto já foi fornecido anteriormente ao explicarmos 
como a luz interage com a matéria, a excitação eletrônica permite depositar calor 
no tecido biológico, ou mesmo tornar as moléculas mais reativas, alterando o 
metabolismo natural, ou ainda podemos coletar a luz reemitida pelo tecido 
biológico e utilizá-lo como uma impressão digital das biomoléculas ali presentes, 
fato que pode diagnosticar uma doença, como câncer ou outra.
De fato, tudo isto é utilizado em muitas situações, a luz interagindo com 
o sistema biológico muda a reatividade das moléculas alterando o metabolismo. 
Se esta alteração for feita com sabedoria podemos acelerar ou retardar reações 
biológicas que demorariam muito a ocorrer. Desta forma, a chamada fototerapia 
tem permitido acelerar a cicatrização, aliviar a dor, estimular a regeneração 
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
130
óssea durante fraturas e muitas outras aplicações. Pesquisadores desenvolvem 
equipamentos específicos para promover, de forma eficiente estas fototerapias, 
cuja base é uma complexa fotoquímica. Mais recentemente, descobriu-se, 
inclusive, que uma fototerapia pode contribuir para a otimização da perda de 
peso durante o exercício físico, redirecionando o metabolismo celular. Esta parte 
chama-se moto-fototerapia, e deverá ser um grande sucesso num futuro próximo.
A luz emitida pelas moléculas também constitui uma excelente forma de 
saber as características dos tecidos biológicos. Este princípio constituem as bases 
do chamado fotodiagnóstico. O corpo humano é um organismo vivo formado 
por diversos sistemas, tais como sistema respiratório, digestivo, entre outros. 
Cada sistema é então formado por um conjunto de órgãos específicos, sendo que 
cada órgão é composto por um ou mais tecidos. 
Os tecidos biológicos por sua vez são formados por agregados de células de 
mesmo ou de diferentes tipos e pela matriz extracelular, composta por proteínas 
e açúcares, que mantêm as células coesas, constituindo o arcabouço tecidual. 
Dentro de cada célula temos várias organelas que são formadas por moléculas e 
átomos, dividindo-a em compartimentos com diferentes morfologias e funções. 
Quando alguma doença começa a se desenvolver ocorrem mudanças nas 
condições do tecido biológico, incluindo alterações bioquímicas e estruturais. 
Essas mudanças alteram a forma como a luz interage com o tecido, alterando 
suas propriedades ópticas (absorção, espalhamento, fluorescência etc.). Assim, 
avaliando os fenômenos dessa interação podemos avaliar se alterações biológicas 
que estão ocorrendo em nosso organismo. Na Fig. 8, uma imagem tradicional de 
uma lesão e uma imagem de fluorescência ilustra o processo de fotodiagnóstico. 
A imagem de fluorescência revela mais detalhes sobre as características da lesão.
Figura 8. Imagem de luz branca (esquerda) e de fluorescência (direita) de
 um carcinoma basocelular
Há também a possibilidade da adição de certas substâncias, que 
permite criar uma modalidade terapêutica fascinante, que é a chamada terapia 
fotodinâmica. Nesta técnica, adiciona-se ao tecido biológico uma molécula extra 
(seja por injeção, aplicação tópica ou oral). Quando esta molécula é iluminada 
por uma luz de cor específica, ela acumula energia, mudando os orbitais, criando 
uma distribuição de cargas que pode facilmente transferir esta energia para 
as moléculas de oxigênio (O2), criando uma espécie de oxigênio muito reativa, 
chamada de oxigênio singleto. 
TÓPICO 1 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
131
Esta molécula reativa também tem uma distribuição de carga instável 
para seus elétrons, oxidando praticamente qualquer biomolécula como proteínas, 
dentre outras. O resultado disto é que quando esta espécie reativa é produzida, 
ela destrói tudo ao seu redor, levando aquela parte do tecido à morte. Por matar 
eficientemente as células aonde o mecanismo ocorreu, a técnica é muito boa para 
matar tumores ou microrganismos (bactérias, fungos e vírus). A ilustração da Fig. 
9 mostra um esquema do princípio da técnica fotodinâmica e a Fig. 10 ilustra um 
caso tratado com essa técnica.
Figura 9. Um tecido sadio (a) devido a diversos fatores, pode evoluir e apresentar uma lesão (b)
Essa lesão pode ser tratada através da Terapia Fotodinâmica, onde 
incialmente se aplica o fotossensibilizador (c), logo após se ilumina a lesão (d) e a 
interação da luz com a molécula fotossensível causa oxidação de várias moléculas 
da lesão, resultando em um tecido necrosado (e). Após um tempo o organismo 
elimina as células mortas e as células saudáveis se reproduzem e o tecido volta 
ao normal (f). 
Figura 10. Foto de um paciente com carcinoma basocelular na região do rosto (a)
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
132
Nesta região procedimentos cirúrgicos são difíceis de serem realizados. 
Neste caso, foi aplicado o fotossensibilizador e iluminado com luz laser (b), após 
15 dias somente as células do carcinoma está com mortas (c), a após um ano o 
tecido voltou ao normal (d). 
Outro uso interessante de fotossensibilizadores é no controle de vetores de 
doenças, tais como o mosquito Aedes aegypti, transmissordo vírus da dengue. A ideia 
dessa técnica é colocar essa molécula em condições para que as larvas do mosquito 
as ingiram. Após essa ingestão, começa a ocorrer dentro da larva a interação da 
luz com o fotossensibilizador, resultando na morte da larva. Para a eliminação da 
larva é necessário apenas uma pequena quantidade da molécula, assim a técnica é 
totalmente segura para animais domésticos, bem como para o homem. A molécula 
também é fotodegradada pela luz, assim após um período ela desaparece do 
ambiente sem deixar impactos. Na Fig. 11, ilustramos esse procedimento.
Figura 11. Ilustração do procedimento para controle de vetores. Nos recipientes com água onde 
existem larvas podemos aplicar a molécula de fotossensibilizador (pontos vermelhos), essa 
molécula é então ingerida pelas larvas (larvas em vermelho). Com a ativação pela luz (Sol ou 
outra) iniciam-se reações fotoquímicas que induzem à morte da larva.
FONTE: BAGNATO, Vanderlei S.; PRATAVIEIRA, Sebastião. Luz para o progresso do 
conhecimento e suporte da vida. Rev. Bras. Ensino Fís. [on-line]. 2015, v. 37, n. 4, p.4206-
1-4206-8, 2019.
133
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma onda eletromagnética é formada por campos elétricos e magnéticos 
variáveis, tal que as frequências das ondas eletromagnéticas constituem o 
espectro eletromagnético. 
• Uma onda eletromagnética possui um campo elétrico e magnético cujos 
módulos variam senoidalmente:
( )
( )
 
 
M
M
E E sen kx t
B B sen kx t
ω
ω
= −
= −
• A velocidade de qualquer onda eletromagnética no vácuo é igual a:
• O vetor de Poynting é a rapidez com que a energia é transportada por uma onda 
através de uma área em um instante de tempo, tal que seu valor é resultado da 
expressão:
• A intensidade da onda é:
8
0 0
1 3.10 /M
M
Ec m s
B µ ε
= = ≅
0
1S E B
µ
= ×
  
0
1 ²rmsI Ecµ
=
134
AUTOATIVIDADE
1 A teoria desenvolvida por Maxwell levou à conclusão da 
existência das ondas eletromagnéticas, além de explicar a 
natureza ondulatória da luz. Explique o que é e como podemos 
entender o comportamento de uma onda eletromagnética.
2 (Adaptado de HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009). A 
partir da figura do espectro eletromagnético, determine:
a) O menor e maior comprimento de onda para o qual a 
sensibilidade do olho humano é igual à metade da sensibilidade máxima.
b) O comprimento de onda, a frequência e o período da luz à qual o olho 
humano é mais sensível.
3 Para uma onda eletromagnética se propagando no vácuo com 
um campo elétrico de 100 N/C, calcule:
a) O campo magnético.
b) O módulo do vetor de Poynting. Considere .70 4 .10 . /T m Aµ π
−=
135
TÓPICO 2
EQUAÇÕES DE MAXWELL
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
O físico escocês, James Clerk Maxwell, formulou a teoria do 
Eletromagnetismo, tendo como base os estudos experimentais de Michael 
Faraday, sendo que essa teoria condensa um conjunto de equações conhecidas 
como Equações de Maxwell.
Mas foi por volta de 1820, quando Hans Christian Oersted entendeu a 
relação entre eletricidade e magnetismo e desenvolveu geradores capazes de 
manter correntes elétricas estáveis por longos períodos, que serviu como base 
fundamental para a descrição e compreensão desse fenômeno.
Após Oersted, Faraday conduziu experimentos utilizando a variação do 
fluxo magnético para produzir correntes elétricas, com o uso de bobinas com um 
núcleo de ferro para tais estudos. Ele percebeu que a variação de fluxo magnético 
gerava corrente elétrica, essa relação perpetuou-se pela Lei de Faraday.
A teoria do eletromagnetismo de Maxwell tornou-se um dos pilares da 
física clássica ao lado das leis da Termodinâmica e da Mecânica Newtoniana, pois 
revolucionou a Física quando demonstrou que os campos elétricos e magnéticos 
viajam à velocidade da luz, demonstrando então que a luz se propaga como uma 
onda eletromagnética.
Maxwell era um visionário e podemos dizer que estava à frente de seu 
tempo, pois seu trabalho foi uma das bases para a Relatividade Restrita de Albert 
Einstein e seu trabalho com a Teoria Cinética dos Gases foi de extrema importância 
para o desenvolvimento da Mecânica Quântica.
Entretanto, sabemos que a ciência é uma construção demorada e que 
necessita de inúmeras mentes brilhantes para pensá-la, experimentá-la e 
comprová-la, e somente cerca de 20 anos após a teoria do Eletromagnetismo de 
Maxwell ela foi compreendida e aceita, isso graças ao físico alemão Heinrich Hertz, 
que mostrou a dedução da teoria do Eletromagnetismo por um novo método e 
de certa forma reescreveu as equações de Maxwell na forma como a conhecemos. 
Vamos apresentá-las e entender o significado de cada uma neste tópico.
136
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
2 LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS
Ao espalharmos limalha de ferro sobre um ímã, esta se alinha revelando a 
presença do campo magnético no entorno do ímã. O campo magnético se origina 
num dos polos e converge para o outro polo. O polo de origem é conhecido como 
fonte e a outra é o dreno e são popularmente chamados de polo norte e polo sul, 
respectivamente.
FIGURA 5 – LIMALHA DE FERRO SOBRE UM ÍMÃ DE BARRA ORIENTANDO-SE DE ACORDO 
COM O CAMPO MAGNÉTICO DO ÍMÃ
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009)
Se um ímã de barra for partido em pedaços, ao contrário do que pode 
se pensar, não haverá dois novos ímãs, um com cada polo, ou seja, monopolos 
magnéticos, e sim dois novos ímãs, com dois polos cada, um norte e outro sul.
FIGURA 6 – ÍMÃ PARTIDO EM PEDAÇOS ORIGINANDO NOVOS ÍMÃS COM DOIS POLOS, UM 
NORTE E OUTRO SUL
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009)
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DE MAXWELL
137
Portanto, podemos afirmar que não existem monopolos magnéticos, pois a 
estrutura magnética mais simples a existir é um dipolo magnético. Matematicamente, 
essa afirmação é provada pela Lei de Gauss para o magnetismo, que afirma que o 
fluxo magnético através de uma superfície gaussiana fechada é zero:
0
B B dA
B dA
= ⋅
⋅ =
Φ ∫
∫


�
�
3 CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS
Na Unidade 2 vimos que a variação de fluxo magnético induz um campo 
elétrico que pode ser expresso pela Lei de Indução de Faraday:
A Física tem por princípio a simetria, portanto, o contrário também é 
verdadeiro, ou seja, um fluxo elétrico variável induz um campo magnético! E 
podemos expressar tal afirmação por meio da Lei de Indução de Maxwell:
Em que é o campo magnético induzido ao longo de uma curva fechada 
pela variação do fluxo elétrico ΦE.
Repare que o lado esquerdo da equação aparece na Lei de Ampère:
Em que ienv é a corrente elétrica envolvida pela curva. Podemos combiná-
las na forma da Lei de Ampère-Maxwell:
Quando a corrente elétrica é constante não há fluxo elétrico e temos:
BdE ds
dt
Φ
⋅ = −∫
 
�
0 0
EdB ds
dt
µ ε Φ⋅ =∫
 
�
B

0 envB ds iµ⋅ =∫
 
�
0 0 0
E
env
dB ds i
dt
µ ε µΦ⋅ = +∫
 
�
138
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
Ou seja, voltamos à Lei de Ampère. Quando o campo elétrico varia e a 
corrente elétrica é nula, temos apenas a Lei de Maxwell novamente.
0 0 0E
d
dt
µ ε Φ =
4 CORRENTE DE DESLOCAMENTO
O termo 
 
é tratado como a corrente elétrica fictícia conhecida como 
corrente de deslocamento (id):
0
Ed
dt
ε Φ
0
E
d
di
dt
ε Φ=
Então, reescrevendo a equação para a Lei de Ampère-Maxwell, temos:
0 0denv envB ds i iµ µ⋅ = +∫
 
�
Em que idenv é a corrente elétrica envolvida pela amperiana.
FIGURA 7 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO i
d
 ENTRE DUAS PLACAS DE UM CAPACITOR
FONTE: Halliday, Resnick e Walker (2009)
A carga q dos capacitores dependerá do campo elétrico (E), da área (A) 
dos capacitores e do meio ao qual estão imersos, nesse caso vamos considerar o 
vácuo (ε0), portanto:
0q AEε= (1)
Campo 
devido à 
corrente i
Campo 
devido à 
corrente i
Campo 
devido à 
corrente id
B B B
+ –
+ –
i i
id i i
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DE MAXWELL
139Variando no tempo, devemos derivar essa equação e obteremos a corrente 
elétrica (i):
0
0
dq dEA
dt dt
dEi A
dt
ε
ε
=
= (3)
(2)
Supondo o campo elétrico E uniforme e lembrando que o fluxo do campo 
elétrico quando é:
E EAΦ =
Entre as placas, o fluxo de carga elétrica dq/dt é a corrente de deslocamento 
id, portanto:
( )
0
0
 d
E
d
d AEdqi
dt dt
di
dt
ε
ε
= =
Φ
=
Comparando as equações (3) e (6), temos:
di i=
(4)
(5)
(6)
Então, podemos afirmar que a corrente de deslocamento em um capacitor 
pode ser considerada a corrente real na região das placas paralelas.
5 AS EQUAÇÕES
O conhecimento muitas vezes surge de ideias e teorias de pessoas que 
estavam muito certas de uma forma ou de outra, ou certas em sua época devido à 
incapacidade de testá-las devido às limitações tecnológicas da época, mas sabemos 
que alguns cientistas marcaram época. Nesse sentido, temos cinco cientistas que 
estão fortemente ligados a certas áreas da Física, como Johannes Kepler e Galileu 
Galilei com a Astronomia; Isaac Newton com a Mecânica Clássica; Albert Einstein 
com a Física Moderna e James Clerk Maxwell com o Eletromagnetismo.
140
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
São quatro as equações que regem o eletromagnetismo, ou melhor, que 
explicam os fenômenos relacionados ao eletromagnetismo. Separadamente, 
essas equações explicam fenômenos elétricos e magnéticos. Tais equações são 
conhecidas como Equações de Maxwell e já vimos todas no decorrer das três 
unidades deste livro didático.
0
0 0 0
 
 0
 
-
env
B
E
env
qLei de Gauss Para a Eletricidade E dA
Lei de Gauss Para o Magnetismo B dA
dLei de Faraday E ds
dt
dLei de Ampère Maxwell B ds i
dt
ε
µ ε µ
→ ⋅ =
→ ⋅ =
Φ
→ ⋅ = −
Φ
→ ⋅ = +
∫
∫
∫
∫


 
 
�
�
�
�
Não existe uma ordem em termos de importância, pois com cada uma 
é possível abordar um problema específico. Essas quatro equações podem ser 
apresentadas em sua forma diferencial:
Agora, vamos mostrar como podemos passar do formalismo integral para 
o formalismo diferencial e explicar resumidamente o significado de cada uma das 
equações, mas para isso utilizaremos o Teorema do Divergente e o Teorema de Stokes:
0
0 0 0
 
0
 -
Lei de Gauss Para a Eletricidade E
Lei de Gauss Para o Magnetismo B
BLei de Faraday E
t
ELei de Ampère Maxwell E J
t
ρ
ε
µ µ ε
→ ∇ ⋅ =
→ ∇ ⋅ =
∂
→ ∇× = −
∂
∂
→ ∇× = +
∂
 
 

 

  
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DE MAXWELL
141
( )
( )
volume
superfície
Teorema do Divergente F dA F dV
Teorema de Stokes F ds F dA
→ ⋅ = ∇ ⋅
→ ⋅ = ∇× ⋅
∫ ∫
∫ ∫
  
  
�
�
6 EQUAÇÕES DE MAXWELL NO FORMALISMO DIFERENCIAL
a) LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA
Na forma integral, temos:
(1)
( )
( )
( )
0
0
0
0
 env
v
env
v
env v
v v
qE dA
E dA E dV
qE dV
q dV
E dV dV
E
ε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
=
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫

  
 
 
 
�
�Adaptando o Teorema do Divergente, temos:
( )
( )
( )
0
0
0
0
 env
v
env
v
env v
v v
qE dA
E dA E dV
qE dV
q dV
E dV dV
E
ε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
=
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫

  
 
 
 
�
� (2)
Portanto:
Mas a carga envolvida é tridimensional, ou seja, deve ser calculada pela 
integral de volume da densidade de carga (ρ) envolvida:
( )
( )
( )
0
0
0
0
 env
v
env
v
env v
v v
qE dA
E dA E dV
qE dV
q dV
E dV dV
E
ε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
=
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫

  
 
 
 
�
�
( )
( )
( )
0
0
0
0
 env
v
env
v
env v
v v
qE dA
E dA E dV
qE dV
q dV
E dV dV
E
ε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
=
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫

  
 
 
 
�
� (3)
(4)
Substituindo (4) em (3):
( )
( )
( )
0
0
0
0
 env
v
env
v
env v
v v
qE dA
E dA E dV
qE dV
q dV
E dV dV
E
ε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
=
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫

  
 
 
 
�
�
(5)
Comparando os dois lados da equação, teremos a forma diferencial da 
equação para a Lei de Gauss para a Eletrostática:
142
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
( )
( )
( )
0
0
0
0
 env
v
env
v
env v
v v
qE dA
E dA E dV
qE dV
q dV
E dV dV
E
ε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
=
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫

  
 
 
 
�
�
(6)
Essa equação relaciona carga elétrica ao campo elétrico, para ser mais claro, 
a partir dessa equação podemos afirmar que carga elétrica (ou uma densidade de 
cargas) gera campo elétrico.
b) LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO
Na forma integral, sabemos que a Lei de Gauss para o Magnetismo é:
Mais uma vez, aplicando o Teorema do Divergente:
Portanto, para esse caso, teremos:
Na forma diferencial:
Essa equação garante a inexistência de monopolos magnéticos.
c) LEI DE FARADAY
Na forma integral:
Adaptando o Teorema de Stokes:
( )
( )
0
0
0
v
v
B dA
B dA B dV
B dV
B
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫

  
 
 
�
�
( )
( )
0
0
0
v
v
B dA
B dA B dV
B dV
B
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫

  
 
 
�
�
( )
( )
0
0
0
v
v
B dA
B dA B dV
B dV
B
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫

  
 
 
�
�
( )
( )
0
0
0
v
v
B dA
B dA B dV
B dV
B
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫

  
 
 
�
�
(7)
(8)
(9)
(10)
( )
( )
( ) 
 
B
s
B s
B
s s
s s
dE ds
dt
E ds E dA
B dA
dE ds
dt
E dA B dA
t
BE dA dA
t
BE
t
Φ
⋅ = −
⋅ = ∇× ⋅
Φ = ⋅
Φ
⋅ = −
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× = −
∂
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
 
  

 
  

 

 
�
�
�
( )
( )
( ) 
 
B
s
B s
B
s s
s s
dE ds
dt
E ds E dA
B dA
dE ds
dt
E dA B dA
t
BE dA dA
t
BE
t
Φ
⋅ = −
⋅ = ∇× ⋅
Φ = ⋅
Φ
⋅ = −
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× = −
∂
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
 
  

 
  

 

 
�
�
�
(11)
(12)
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DE MAXWELL
143
Lembrando que o fluxo magnético é:
Substituindo (12) e (13) em (11):
Comparando, temos a Lei de Faraday na forma diferencial:
( )
( )
( ) 
 
B
s
B s
B
s s
s s
dE ds
dt
E ds E dA
B dA
dE ds
dt
E dA B dA
t
BE dA dA
t
BE
t
Φ
⋅ = −
⋅ = ∇× ⋅
Φ = ⋅
Φ
⋅ = −
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× = −
∂
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
 
  

 
  

 

 
�
�
�
( )
( )
( ) 
 
B
s
B s
B
s s
s s
dE ds
dt
E ds E dA
B dA
dE ds
dt
E dA B dA
t
BE dA dA
t
BE
t
Φ
⋅ = −
⋅ = ∇× ⋅
Φ = ⋅
Φ
⋅ = −
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× = −
∂
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
 
  

 
  

 

 
�
�
�
( )
( )
( ) 
 
B
s
B s
B
s s
s s
dE ds
dt
E ds E dA
B dA
dE ds
dt
E dA B dA
t
BE dA dA
t
BE
t
Φ
⋅ = −
⋅ = ∇× ⋅
Φ = ⋅
Φ
⋅ = −
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× = −
∂
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
 
  

 
  

 

 
�
�
�
(13)
(14)
(15)
(16)
Essa expressão nos diz que o campo magnético variável no tempo gera 
campo elétrico e o plano formado pelo campo magnético é perpendicular ao plano 
formado pelo campo elétrico . Lembrando que e são ondas eletromagnéticas 
transversais.
d) LEI DE AMPÈRE-MAXWELL
A Lei de Ampère com a contribuição de Maxwell na forma integral é:
B
E


B
E

 B
E


B
E


( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
E
env
env
E
S
E
env
S S S
S S S
dB ds i
dt
i J dA
E dA
B ds B dA
dB ds i
dt
B dA E dA J dA
t
EB dA dA J dA
t
EB J
t
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
Φ
⋅ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ = ∇× ⋅
Φ
⋅ = +
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
Φ
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
∇× = +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
 


  
 
    

   

  
�
�
�
�
�
Mas sabemos que a corrente elétrica ienv depende da densidade de corrente 
 que atravessa uma dada área A, numa integral, um elemento de área dA:J

( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
E
env
env
ES
E
env
S S S
S S S
dB ds i
dt
i J dA
E dA
B ds B dA
dB ds i
dt
B dA E dA J dA
t
EB dA dA J dA
t
EB J
t
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
Φ
⋅ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ = ∇× ⋅
Φ
⋅ = +
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
Φ
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
∇× = +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
 


  
 
    

   

  
�
�
�
�
�
Lembrando que o fluxo elétrico ΦB depende do campo elétrico que 
atravessa uma certa área A:
B
E


(17)
(18)
144
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
Aplicando o Teorema de Stokes:
Agora, com cuidado, vamos substituir as equações (18), (19) e (20) em (17):
Portanto, a Lei de Ampère-Maxwell no formalismo diferencial é escrita como:
Em que o termo refere-se à Lei de Ampère no formalismo 
diferencial. O termo acrescentado por Maxwell à Lei de Ampère, também 
conhecido como corrente de deslocamento, é devido ao fato de o campo elétrico 
variável no tempo também produzir campo magnético, ou seja, o campo 
magnético pode ser gerado por:
• Corrente elétrica (Lei de Ampère).
• Variação do fluxo do elétrico (contribuição de Maxwell).
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
E
env
env
E
S
E
env
S S S
S S S
dB ds i
dt
i J dA
E dA
B ds B dA
dB ds i
dt
B dA E dA J dA
t
EB dA dA J dA
t
EB J
t
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
Φ
⋅ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ = ∇× ⋅
Φ
⋅ = +
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
Φ
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
∇× = +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
 


  
 
    

   

  
�
�
�
�
�
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
E
env
env
E
S
E
env
S S S
S S S
dB ds i
dt
i J dA
E dA
B ds B dA
dB ds i
dt
B dA E dA J dA
t
EB dA dA J dA
t
EB J
t
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
Φ
⋅ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ = ∇× ⋅
Φ
⋅ = +
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
Φ
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
∇× = +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
 


  
 
    

   

  
�
�
�
�
�
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
E
env
env
E
S
E
env
S S S
S S S
dB ds i
dt
i J dA
E dA
B ds B dA
dB ds i
dt
B dA E dA J dA
t
EB dA dA J dA
t
EB J
t
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
Φ
⋅ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ = ∇× ⋅
Φ
⋅ = +
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
Φ
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
∇× = +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
 


  
 
    

   

  
�
�
�
�
�
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
E
env
env
E
S
E
env
S S S
S S S
dB ds i
dt
i J dA
E dA
B ds B dA
dB ds i
dt
B dA E dA J dA
t
EB dA dA J dA
t
EB J
t
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
Φ
⋅ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ = ∇× ⋅
Φ
⋅ = +
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
Φ
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
∇× = +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
 


  
 
    

   

  
�
�
�
�
�
0B Jµ∇× =
  
145
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• O processo de construção da Teoria do Eletromagnetismo iniciou antes de James 
Clerk Maxwell e prosseguiu, sendo comprovada 20 anos após sua formulação.
• A Lei de Gauss para o Magnetismo estabelece que não existem monopolos 
magnéticos, mesmo partindo um ímã em dois, surgirão dois polos em cada pedaço.
• Um campo magnético pode ser induzido por uma corrente elétrica ou pela 
variação do campo elétrico.
• Campo magnético variável gera campo elétrico, sendo estes, perpendiculares 
entre si.
• A contribuição de Maxwell para a Lei de Ampère é conhecida como corrente 
de deslocamento.
• O campo elétrico pode ser gerado por cargas elétricas.
• As equações de Maxwell podem ser escritas na forma integral e na forma 
diferencial:
Lei
Formalismo
Integral Diferencial
Gauss Para a Eletricidade
Lei de Gauss Para o 
Magnetismo
Lei de Faraday
Lei de Ampère-Maxwell
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
E
env
env
E
S
E
env
S S S
S S S
dB ds i
dt
i J dA
E dA
B ds B dA
dB ds i
dt
B dA E dA J dA
t
EB dA dA J dA
t
EB J
t
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
µ ε µ
Φ
⋅ = +
= ⋅
= ⋅
⋅ = ∇× ⋅
Φ
⋅ = +
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
Φ
∂
∇× ⋅ = ⋅ + ⋅
∂
∂
∇× = +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
 


  
 
    

   

  
�
�
�
�
�
( )
( )
( ) 
 
B
s
B s
B
s s
s s
dE ds
dt
E ds E dA
B dA
dE ds
dt
E dA B dA
t
BE dA dA
t
BE
t
Φ
⋅ = −
⋅ = ∇× ⋅
Φ = ⋅
Φ
⋅ = −
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× ⋅ = − ⋅
∂
∂
∇× = −
∂
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
 
  

 
  

 

 
�
�
�
( )
( )
0
0
0
v
v
B dA
B dA B dV
B dV
B
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫

  
 
 
�
�
( )
( )
( )
0
0
0
0
 env
v
env
v
env v
v v
qE dA
E dA E dV
qE dV
q dV
E dV dV
E
ε
ε
ρ
ρ
ε
ρ
ε
⋅ =
⋅ = ∇ ⋅
∇ ⋅ =
=
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫

  
 
 
 
�
�
0
0 0 0
 
0
 -
Lei de Gauss Para a Eletricidade E
Lei de Gauss Para o Magnetismo B
BLei de Faraday E
t
ELei de Ampère Maxwell E J
t
ρ
ε
µ µ ε
→ ∇ ⋅ =
→ ∇ ⋅ =
∂
→ ∇× = −
∂
∂
→ ∇× = +
∂
 
 

 

  
0
0 0 0
 
0
 -
Lei de Gauss Para a Eletricidade E
Lei de Gauss Para o Magnetismo B
BLei de Faraday E
t
ELei de Ampère Maxwell E J
t
ρ
ε
µ µ ε
→ ∇ ⋅ =
→ ∇ ⋅ =
∂
→ ∇× = −
∂
∂
→ ∇× = +
∂
 
 

 

  
0
0 0 0
 
0
 -
Lei de Gauss Para a Eletricidade E
Lei de Gauss Para o Magnetismo B
BLei de Faraday E
t
ELei de Ampère Maxwell E J
t
ρ
ε
µ µ ε
→ ∇ ⋅ =
→ ∇ ⋅ =
∂
→ ∇× = −
∂
∂
→ ∇× = +
∂
 
 

 

  
0
0 0 0
 
0
 -
Lei de Gauss Para a Eletricidade E
Lei de Gauss Para o Magnetismo B
BLei de Faraday E
t
ELei de Ampère Maxwell E J
t
ρ
ε
µ µ ε
→ ∇ ⋅ =
→ ∇ ⋅ =
∂
→ ∇× = −
∂
∂
→ ∇× = +
∂
 
 

 

  
146
AUTOATIVIDADE
1 Explique a integral fechada e por que ela é igual a zero na Lei 
de Gauss para o Magnetismo.
2 Explique o campo magnético terrestre pela Lei de Gauss do 
Magnetismo.
3 É possível a existência de monopolos magnéticos?
4 Suponha que sejam detectados monopolos magnéticos em 
laboratório. Descreva como ficariam as equações de Maxwell 
de forma que elas levem em conta essa descoberta.
147
TÓPICO 3
MAGNETISMO DA MATÉRIA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Durante este curso, discutimos o que acontece com o campo elétrico 
e magnético e quais as implicações físicas previstas com a teoria, como os 
ímãs, o campo magnético terrestre, a formação das auroras boreais, indução 
eletromagnética, as ondas eletromagnéticas e as famosas e importantes equações 
de Maxwell. Mas como acontece a interação dos campos dentro da matéria? O 
que faz um material ser atraído por ímã? O ímã pode perder a imantação? Neste 
tópico, vamos discutir os efeitos para campos magnéticos no interior da matéria 
para tentar responder a perguntas como estas. 
2 ÍMÃS PERMANENTES
O magnetismo observado por alguns materiais deriva de propriedades 
em nível microscópico, por exemplo, os compostos de ferro possuem regiões 
em que os átomos apresentam certa organização magnética, embora ímãs são 
indissociáveis, isto é, já falamos e provamos algebricamente que não existem 
monopolos magnéticos. 
Mas será que um ímã dura para sempre? Quanto tempo dura a orientação 
dos domínios magnéticos? Essa propriedade dos ímãs é chamada de imantação e 
depende do material com que é feito e das condições a que são submetidos. 
Um ímã é permanente se, após termos removido o campo magnético 
responsável pela imantação, ele continua magnetizado. Os ímãs permanentes são 
feitos a partir de metais com temperaturas baixas, adquirindo dureza e resistência 
mecânica e imantação permanente. Já os ímãs temporários são aqueles que, ao 
afastar o campo magnético externo, perdem o magnetismo (ou a imantação) e não 
exercem o poder de um ímã.
Outra definição importante é o domínio magnético, que corresponde a 
uma região com propriedades de manter uma organização magnética, ou seja, 
em que seus dipolos magnéticos são dotados de mesma orientação magnética.
Os domínios magnéticos também explicam porque alguns materiaissão 
atraídos ou não por ímãs. Nos materiais que são atraídos, os domínios são orientados 
na mesma direção que o ímã, enquanto nos demais a orientação é aleatória. 
UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
148
Os primeiros ímãs permanentes de que se têm registros eram feitos de 
magnetita, como vimos na Unidade 1. É um mineral que possui propriedades 
de magnetização naturalmente. Algumas civilizações, como a grega, utilizam 
a magnetita para orientar bússolas. Na época das Grandes Navegações, as 
ligas metálicas usadas não ficavam magnetizadas por um período de tempo 
muito longo, por isso elas precisavam ser remagnetizadas por um ímã. Poucos 
tripulantes de um navio tinham acesso à bússola e quem a danificasse poderia 
sofrer uma punição.
FIGURA 8 – ILUSTRAÇÃO DO CASTIGO IMPOSTO A QUEM DANIFICASSE A BÚSSOLA EM UM NAVIO
FONTE: Pietrocola et al. (2016, p. 69)
Atualmente, diversos materiais e ímãs são encontrados no nosso cotidiano. 
As propriedades magnéticas são causadas por átomos e elétrons. Um dos ímãs 
permanentes mais comuns e o maior da nossa vizinhança é a própria Terra. 
Também não entraremos em detalhes sobre o campo magnético terrestre nesse 
momento, pois a abordagem já foi feita na Unidade 1.
De modo geral, podemos caracterizar que a desmagnetização dos ímãs 
pode ser concebida por meio da desordenação magnética, ação mecânica e 
temperatura.
• A desordenação magnética é a ação de um ímã de desmagnetizar um objeto. 
Isso acontece quando há uma interferência magnética externa capaz de alterar os 
domínios magnéticos de um ímã e, desse modo, a magnetização resultante é nula.
• A ação mecânica corresponde às batidas bruscas em ímãs que podem desalinhar 
os dipolos magnéticos. Essa ação é visualizada quando os ímãs perdem a 
magnetização ao sofrerem quedas, por exemplo.
• E, por fim, uma das variáveis de estado termodinâmico possui grande influência 
na magnetização dos materiais. Ao aumentar a temperatura, a magnetização 
diminui, enquanto que ao diminuir a temperatura, o ímã tende a permanecer 
mais tempo magnetizado. 
TÓPICO 3 | MAGNETISMO DA MATÉRIA
149
3 MAGNETISMO E ELÉTRONS
Como vimos, os materiais magnéticos são encontrados rotineiramente, 
desde o ímã que prendemos na geladeira a sofisticados equipamentos 
tecnológicos, porém, a atração proveniente dos ímãs também se deve a efeitos 
da mecânica quântica que ocorrem no interior dos átomos do material. Portanto, 
ao estudar a relação do magnetismo e elétrons seria necessário usar conceitos de 
física quântica. Mas como não é o objetivo desta disciplina, vamos apresentar 
somente os resultados físicos relacionados ao magnetismo.
O momento dipolar magnético de spin está associado ao momento angular 
de spin, e matematicamente é escrito em termos dos vetores spin e momento 
dipolar magnético (propriedades básicas do elétron) e possuem sentidos opostos:
s
S
µ


s
S
µ


19
31
,
,
,
24
,
1,6.10 
9,11.10 
1 
2 2
4
 
4
9,27 10 /
 
s
x s s
s x x
s x
s x B
B
B
s ext
s x ext
e S
m
e C
m kg
hS m para m
e S
m
eh
m
eh
m
x J T
U B
U B
µ
π
µ
µ
π
µ µ
µ
π
µ
µ
µ
−
−
−
= −
=
=
= = ±
= −
= ±
= ±
=
=
= − ⋅
= −
 

Em que e é a carga elementar e m a massa do elétron:
19
31
,
,
,
24
,
1,6.10 
9,11.10 
1 
2 2
4
 
4
9,27 10 /
 
s
x s s
s x x
s x
s x B
B
B
s ext
s x ext
e S
m
e C
m kg
hS m para m
e S
m
eh
m
eh
m
x J T
U B
U B
µ
π
µ
µ
π
µ µ
µ
π
µ
µ
µ
−
−
−
= −
=
=
= = ±
= −
= ±
= ±
=
=
= − ⋅
= −
 

O spin não pode ser medido, entretanto a componente medida do Spin é 
quantizada, podendo assumir certos valores. Supondo que a componente medida 
seja a componente x, essa componente pode assumir apenas os valores dados por:
S
 19
31
,
,
,
24
,
1,6.10 
9,11.10 
1 
2 2
4
 
4
9,27 10 /
 
s
x s s
s x x
s x
s x B
B
B
s ext
s x ext
e S
m
e C
m kg
hS m para m
e S
m
eh
m
eh
m
x J T
U B
U B
µ
π
µ
µ
π
µ µ
µ
π
µ
µ
µ
−
−
−
= −
=
=
= = ±
= −
= ±
= ±
=
=
= − ⋅
= −
 

Em que h é a constante de Planck, cujo valor é igual a 6,63x10-34 J.s. Portanto, 
a componente x do momento dipolar magnético do spin pode ser medida assim:
19
31
,
,
,
24
,
1,6.10 
9,11.10 
1 
2 2
4
 
4
9,27 10 /
 
s
x s s
s x x
s x
s x B
B
B
s ext
s x ext
e S
m
e C
m kg
hS m para m
e S
m
eh
m
eh
m
x J T
U B
U B
µ
π
µ
µ
π
µ µ
µ
π
µ
µ
µ
−
−
−
= −
=
=
= = ±
= −
= ±
= ±
=
=
= − ⋅
= −
 

UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
150
Em que µB é o magneton de Bohr, definido por:
19
31
,
,
,
24
,
1,6.10 
9,11.10 
1 
2 2
4
 
4
9,27 10 /
 
s
x s s
s x x
s x
s x B
B
B
s ext
s x ext
e S
m
e C
m kg
hS m para m
e S
m
eh
m
eh
m
x J T
U B
U B
µ
π
µ
µ
π
µ µ
µ
π
µ
µ
µ
−
−
−
= −
=
=
= = ±
= −
= ±
= ±
=
=
= − ⋅
= −
 
Quando um elétron é submetido a um campo elétrico externo , uma energia potencial U pode ser associada ao momento dipolar de spin do elétron, 
da seguinte forma:
ext
s
B
µ


ext
s
B
µ


19
31
,
,
,
24
,
1,6.10 
9,11.10 
1 
2 2
4
 
4
9,27 10 /
 
s
x s s
s x x
s x
s x B
B
B
s ext
s x ext
e S
m
e C
m kg
hS m para m
e S
m
eh
m
eh
m
x J T
U B
U B
µ
π
µ
µ
π
µ µ
µ
π
µ
µ
µ
−
−
−
= −
=
=
= = ±
= −
= ±
= ±
=
=
= − ⋅
= −
 

19
31
,
,
,
24
,
1,6.10 
9,11.10 
1 
2 2
4
 
4
9,27 10 /
 
s
x s s
s x x
s x
s x B
B
B
s ext
s x ext
e S
m
e C
m kg
hS m para m
e S
m
eh
m
eh
m
x J T
U B
U B
µ
π
µ
µ
π
µ µ
µ
π
µ
µ
µ
−
−
−
= −
=
=
= = ±
= −
= ±
= ±
=
=
= − ⋅
= −
 

Ou:
Sendo que o eixo x é tomado como sendo a direção do campo magnético 
externo.
3.1 MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO ORBITAL
Um elétron em um átomo possui outro tipo de momento angular, este é 
denominado momento angular orbital ( ), que é associado ao momento dipolar 
magnético orbital ( ), matematicamente, como:
orb
orb
L
µ


orb
orb
L
µ


Sendo que o momento angular é quantizado e pode assumir os valores:
Dessa forma, o módulo do momento angular orbital, considerando o eixo x é:
,
,
,
2
 0, 1, 2, 3,
2
 
4
 
 
orb orb
orb l l
orb x l
orb x l B
orb ext
orb x ext
e L
m
hL m para m
ehm
m
m
U B
U B
µ
π
µ
π
µ µ
µ
µ
= −
= = ± ± ± ±…
= −
= −
= − ⋅
= −



,
,
,
2
 0, 1, 2, 3,
2
 
4
 
 
orb orb
orb l l
orb x l
orb x l B
orb ext
orb x ext
e L
m
hL m para m
ehm
m
m
U B
U B
µ
π
µ
π
µ µ
µ
µ
= −
= = ± ± ± ±…
= −
= −
= − ⋅
= −



,
,
,
2
 0, 1, 2, 3,
2
 
4
 
 
orb orb
orb l l
orb x l
orb x l B
orb ext
orb x ext
e L
m
hL m para m
ehm
m
m
U B
U B
µ
π
µ
π
µ µ
µ
µ
= −
= = ± ± ± ±…
= −
= −
= − ⋅
= −



TÓPICO 3 | MAGNETISMO DA MATÉRIA
151
Já a energia potencial associada à orientação do momento dipolar 
magnético orbital devido à presença do campo magnético externo é:
Ou:
4 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS
As propriedades magnéticas dos materiais se originam na estrutura 
eletrônica dos átomos e são resultado da combinação vetorial entre os momentos 
dipolares (orbital e magnético de spin) e são classificadas em diamagnetismo, 
paramagnetismo e ferromagnetismo. 
O diamagnetismo é uma propriedade magnética existente em todos os 
materiais, embora não seja tão facilmente observado se o material possui outras 
propriedades. O paramagnetismo é a propriedade magnética observada nos 
materiais da família dos metais de transição, das terras raras e dos actinídeos 
(metais de transição interna). Já o ferromagnetismo é observado no ferro, níquel 
cobalto e alguns outros elementos. A seguir, vamos caracterizar com mais detalhes 
cada propriedade magnética.
4.1 DIAMAGNETISMOAs propriedades magnéticas de um material determinam como esse 
material se comporta na presença de um campo magnético externo. Essas 
propriedades podem depender simplesmente pela maneira com que os átomos 
estão agrupados, mas o fator mais importante é o tipo do átomo.
Os elétrons se comportam de tal forma com seu spin que cada átomo se 
comporta como um ímã (bem pequeno). Mas, em geral, os materiais diamagnéticos 
são constituídos por átomos que possuem suas camadas eletrônicas fechadas, o 
que significa que os spins não contribuem para o campo magnético, pois dizer 
que as camadas eletrônicas são fechadas significada que os elétrons aparecem em 
pares com spins opostos. Portanto, não há momento magnético resultante, já que 
os pares de spins são opostos, se anulando.
Todos os materiais ou substâncias são sensíveis à presença de um campo 
magnético. Entretanto, o diamagnetismo é uma resposta fraca a esse campo 
magnético externo, pois seus efeitos são pouco sensíveis, podendo apenas ser 
perceptíveis e observados com equipamentos sensíveis.
,
,
,
2
 0, 1, 2, 3,
2
 
4
 
 
orb orb
orb l l
orb x l
orb x l B
orb ext
orb x ext
e L
m
hL m para m
ehm
m
m
U B
U B
µ
π
µ
π
µ µ
µ
µ
= −
= = ± ± ± ±…
= −
= −
= − ⋅
= −



,
,
,
2
 0, 1, 2, 3,
2
 
4
 
 
orb orb
orb l l
orb x l
orb x l B
orb ext
orb x ext
e L
m
hL m para m
ehm
m
m
U B
U B
µ
π
µ
π
µ µ
µ
µ
= −
= = ± ± ± ±…
= −
= −
= − ⋅
= −



UNIDADE 3 | ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E EQUAÇÕES DE MAXWELL
152
Quando submetidos a campos magnéticos externos, os materiais 
diamagnéticos se magnetizam de forma a criar um campo magnético oposto ao 
campo magnético externo. Isso ocorre porque a aplicação de um campo magnético 
modifica o movimento orbital dos elétrons, originando um momento dipolar 
magnético que aponta no sentido oposto ao do campo magnético externo.
Esse comportamento é análogo à resposta magnética de uma espira 
submetida a um campo magnético descrita pelas leis de Faraday e Lenz, em que 
a corrente induzida na espira gera um campo magnético induzido, que é oposto 
ao campo magnético original.
Nessa analogia, os orbitais eletrônicos em torno dos ímãs desempenham o 
papel da corrente que circunda a espira e os materiais diamagnéticos tendem a ser 
repelidos pelo campo magnético externo, porém esse efeito é fraco e não observável.
4.2 PARAMAGNETISMO
Nos materiais paramagnéticos, os momentos dipolares orbitais e de 
spin dos elétrons dos átomos não se cancelam, portanto há momento dipolar 
magnético em cada átomo de forma que esses momentos dipolares atômicos são 
orientados aleatoriamente de modo que o momento dipolar total é igual a zero 
sem a presença de um campo magnético externo.
Na presença de um campo magnético externo, os momentos dipolares 
atômicos se alinham com o campo externo e o material paramagnético adquire 
um momento dipolar diferente de zero, sendo que o momento dipolar magnético 
resultante possui a mesma orientação do campo magnético externo.
4.3 FERROMAGNETISMO
A palavra magnetismo, geralmente, implica imaginarmos ímãs de 
geladeira, de barra ou em formato de ferradura, ou seja, pensamos em objetos 
ferromagnéticos, caracterizados pelo magnetismo intenso e permanente.
O ferromagnetismo é explicado pelo efeito quântico no qual os spins 
dos elétrons de um átomo interagem com os spins dos elétrons de um átomo 
vizinho. Nesse caso, ocorre um alinhamento dos momentos de dipolo magnético 
magnéticos dos átomos e é essa característica que os tornam materiais com 
magnetismo permanente.
Quando o material ferromagnético é aquecido, ultrapassando a temperatura 
de Curie, ele passa a se comportar como um material paramagnético. Isso ocorre 
porque a agitação, devido à energia recebida em forma de calor, se sobressai 
em relação ao alinhamento característico dos materiais ferromagnéticos, pois os 
dipolos magnéticos se orientam apenas parcialmente com o campo aplicado.
153
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• A desordenação magnética é a ação de um ímã de desmagnetizar um objeto.
• A ação mecânica corresponde às batidas bruscas em ímãs que podem desalinhar 
os dipolos magnéticos.
• Ao aumentar a temperatura, a magnetização diminui, enquanto que ao 
diminuir a temperatura, o ímã tende a permanecer mais tempo magnetizado.
• As propriedades magnéticas dos materiais se originam na estrutura eletrônica 
dos átomos e são resultado da combinação vetorial entre os momentos 
dipolares (orbital e magnético de spin) e são classificadas em diamagnetismo, 
paramagnetismo e ferromagnetismo.
• Todo material diamagnético, quando submetido a um campo magnético 
externo, apresenta um momento de dipolo magnético orientado no sentido 
oposto ao sentido do campo magnético externo.
• Todo material paramagnético, quando submetido a um campo magnético 
externo, apresenta um momento de dipolo magnético no mesmo sentido do 
campo magnético externo.
• Todo material ferromagnético é um ímã permanente, mas quando submetido 
a uma temperatura suficientemente grande, além da temperatura de Curie, ele 
passa a se comportar como um material paramagnético, pois a agitação molecular 
devido ao calor prevalece sobre o comportamento dos spins dos elétrons dos 
átomos, passando a ter alinhamento parcial em relação a um ímã permanente.
Ficou alguma dúvida? Construímos uma trilha de aprendizagem 
pensando em facilitar sua compreensão. Acesse o QR Code, que levará ao 
AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
CHAMADA
154
AUTOATIVIDADE
1 Que fatores podem influenciar a desmagnetização de um ímã?
2 Onde se originam as propriedades magnéticas dos materiais?
3 Os materiais magnéticos são classificados em diamagnéticos, 
paramagnéticos e ferromagnéticos. Descreva cada uma das 
três classificações.
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REFERÊNCIAS
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