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FACULDADE ÚNICA
DE IPATINGA
2
Vanessa da Luz Vieira
Mestre em Educação Matemática pela Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP-MG)
(2018). Licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (UFV-MG) (2015).
Atualmente é professora de matemática e geometria na rede Municipal de Ipatinga, pro-
fessora da OBMEP na Escola, programa de extensão do Instituto Nacional de Matemática
Pura e Aplicada. Atua também como autora de materiais didáticos, tutora mestre e
Coordenadora do curso de Licenciatura em Matemática EAD na Faculdade ÚNICA Ipatinga.
Tem experiência na área de Educação, com ênfase em Educação Matemática, atuando
principalmente nos seguintes temas: Educação do Campo, Pedagogia da Alternância e
Etnomatemática.
MATEMÁTICA BÁSICA
1ª edição
Ipatinga – MG
2021
3
FACULDADE ÚNICA EDITORIAL
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério
Diretor Executivo: William José Ferreira
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira
Revisão Gramatical e Ortográfica: Fabiana Miraz de Freitas Grecco
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva
Carla Jordânia G. de Souza
Rubens Henrique L. de Oliveira
Design: Brayan Lazarino Santos
Élen Cristina Teixeira Oliveira
Maria Luiza Filgueiras
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA
Rua Salermo, 299
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300
www.faculdadeunica.com.br
4
Menu de Ícones
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo
aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles
chamam a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma
função específica, mostradas a seguir:
São sugestões de links para vídeos, documentos
científicos (artigos, monografias, dissertações e teses),
sites ou links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e
Biblioteca Pearson) relacionados com o conteúdo
abordado.
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações
importantes aos quais você deve ter maior atenção!
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em
cada unidade do livro.
São para esclarecer os significados de determinados
termos/palavras mostradas ao longo do livro.
Este espaço é destinado à reflexão das questões
citadas em cada unidade, associando-as às suas
ações, seja no ambiente profissional ou em seu
cotidiano.
5
SUMÁRIO
CONJUNTOS .............................................................................................. 8
1.1 DEFINIÇÕES ............................................................................................................. 8
1.2 DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO .......................................................................... 10
1.3 CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO ...................................................... 10
1.4 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS ....................................................................... 11
1.4.1 Conjunto Universo ......................................................................................... 11
1.4.2 Igualdade de Conjuntos ............................................................................. 12
1.4.3 Subconjuntos ................................................................................................. 13
1.4.4 Propriedades da Inclusão ........................................................................... 14
1.4.5 União de Conjuntos ...................................................................................... 15
1.4.6 Propriedades da União ................................................................................ 15
1.4.7 Interseção de Conjuntos ............................................................................. 16
1.4.8 Propriedades da Interseção ....................................................................... 17
1.4.9 Propriedades .................................................................................................. 17
1.4.10 Diferença de Conjuntos .............................................................................. 18
1.4.11 Complementar de B em A .......................................................................... 18
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 23
CONJUNTOS NUMÉRICOS – NATURAIS E INTEIROS ................................ 28
2.1 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS .............................................................. 28
2.2 CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS ............................................................... 28
2.2.1 Operações em ℤ ........................................................................................... 29
2.3 O CONJUNTO ℤ E A RETA .................................................................................... 29
2.4 REGRA DE SINAL ................................................................................................... 31
2.5 DIVISIBILIDADE ...................................................................................................... 32
2.6 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................................ 33
2.7 MÁXIMO DIVISOR COMUM ................................................................................. 34
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 35
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ............................................... 38
3.1 CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS .......................................................... 38
3.2 FRAÇÃO E DECIMAIS ........................................................................................... 39
3.2.1 Fração ............................................................................................................. 39
3.3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES............................................................................... 41
3.3.1 Soma e Diferença de Frações .................................................................... 41
3.3.2 Multiplicação e Divisão de Fração ............................................................ 42
3.3.3 Porcentagem ................................................................................................. 44
3.3.4 Representação Decimal.............................................................................. 44
3.4 OPERAÇÕES DOS DECIMAIS ............................................................................... 46
3.4.1 Adição e Subtração ..................................................................................... 46
3.4.2 Multiplicação e Divisão ................................................................................ 47
3.5 EXPRESSÃO NUMÉRICA........................................................................................ 47
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 50
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ......................................................... 53
4.1 NÚMEROS IRRACIONAIS – 𝕀 ................................................................................. 53
4.2 CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS - ℝ .............................................................. 54
4.3 OPERAÇÕES EM ℝ ................................................................................................ 55
4.3.1 Os números reais na reta ............................................................................. 55FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 57
UNIDADE
01
UNIDADE
02
UNIDADE
03
UNIDADE
04
6
POTÊNCIAS E RAÍZES ............................................................................... 60
5.1 POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL ..................................................................... 60
5.2 POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO E NEGATIVO ................................................. 62
5.3 RADICIAÇÃO ........................................................................................................ 64
5.4 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES ......................................................... 68
5.5 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ..................................................................................... 71
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 73
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL ............................................................. 76
6.1 NOÇÕES PRIMITIVAS DA GEOMETRIA ................................................................. 76
6.2 POSIÇÕES RELATIVAS DA RETA ........................................................................... 78
6.3 FIGURAS PLANAS .................................................................................................. 80
6.3.1 Nomenclatura dos Polígonos ..................................................................... 81
6.3.2 Elementos de um Polígono .......................................................................... 82
6.3.3 Perímetro de Figuras Planas ........................................................................ 83
6.4 FIGURAS ESPACIAIS ............................................................................................. 85
6.5 UNIDADES DE MEDIDA ......................................................................................... 89
6.5.1 Unidades de comprimento ......................................................................... 89
6.5.2 Unidades de Área ......................................................................................... 90
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 92
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................... 96
REFERÊNCIAS ........................................................................................... 97
UNIDADE
05
UNIDADE
06
7
CONFIRA NO LIVRO
Na primeira unidade do livro, o assunto abordado serão os
conjuntos. Alguns conceitos, definições e propriedades desse
conteúdo serão apresentadas, como também exemplos e
exercícios.
Nesta unidade, aprenderemos sobre os conjuntos numéricos, sendo
os conjuntos dos números naturais (N) e o conjunto dos números
inteiros (Z). Abordaremos, além de conceitos, a relação entre esses
conjuntos.
Nesta unidade, o assunto continua sendo os conjuntos numéricos,
mas apresentaremos outra definição, sendo o conjunto dos
números racionais (Q). Além dessa importante definição, outras
operações são apresentadas.
Dando continuidade às explicações dos conjuntos numéricos,
listamos nesta unidade, os conjuntos irracionais e reais. Além disso,
apresentamos a relação entre os conjuntos numéricos.
Iniciamos a unidade definindo potências de expoente natural. Em
seguida, de forma similar, apresentamos o conceito e exemplos de
potências de expoente inteiro negativo e de expoente racional.
Mostramos como é feita a racionalização de frações com
denominadores irracionais, e finalizamos com alguns exemplos de
expressões numéricas.
Na última unidade, apresentamos uma noção geométrica,
pautando os principais conceitos sobre geometria plana e espacial.
Conceitos importantes tão presentes na vida.
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CONJUNTOS
Nesta unidade estudaremos os conjuntos, elementos, subconjuntos e as
relações que envolvem esses conceitos. Os conjuntos são de suma importância para
a compreensão de muitos exemplos e práticas, além de estarem presentes no nosso
dia a dia. Por Exemplo: o conjunto das pessoas que fazem curso em EaD na
Faculdade Única.
DEFINIÇÕES
A teoria de conjuntos é fundamental para o estudo da matemática, as
definições que perpassam essa teoria são primitivas, sendo assim, algumas são
incertas. As principais noções são: conjunto, elemento e pertinência entre elementos
e conjuntos.
Podemos ter infinitos exemplos de conjuntos, como alguns descritos abaixo:
O conjunto das vogais;
O conjunto formado pelos números ímpares;
Conjunto das pessoas que residem em Ipatinga – MG;
Conjunto dos alunos da Faculdade Única.
A notação utilizada para representar os conjuntos é definida do seguinte
modo:
Um conjunto é uma coleção de objetos bem definidos chamados de elementos, escritos
entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula, por exemplo, o conjunto dos
números 7, 8 e 9 pode ser denotado por {7, 8, 9}.
UNIDADE
9
Os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ..., X, Y, Z.
Já os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, ..., x, y, z.
Para relacionar um elemento a um conjunto, utiliza-se a palavra e o símbolo
pertence, como mostra os Exemplos:
a pertence ao conjunto das vogais.
5 é um elemento do conjunto dos números primos;
2 pertence ao conjunto solução da equação x − 5x + 6 = 0.
Sejam B um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto B,
denotamos (1):
𝐱 ∈ 𝐁 (1)
Caso x não pertença ao conjunto B, usamos (2):
𝐱 ∉ 𝐁 (2)
Os conjuntos podem ser representados por diagrama, sendo que os elementos
pertencentes ao conjunto ficam no interior. No Exemplo: abaixo, temos o conjunto A
e alguns elementos:
Figura 1: Conjunto A
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Podemos observar que b ∈ A, f ∈ A, mas e ∉ A e d ∉ A.
Se utilizarmos um conjunto no formato de círculo, esse se denotará como
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Diagrama de Venn.
DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO
A descrição de um conjunto pode ser realizada de duas formas: pelos
elementos, quando são listados ou pelas características/propriedades do conjunto.
Quando os elementos são enumerados, eles são representados entre chaves,
como nos exemplos a seguir:
Conjunto dos divisores de 2: {1,2}
Conjunto dos meses que iniciam com a letra j: {janeiro, junho e julho}
Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos múltiplos de 5 até 300: {0, 5, 10, 15, ..., 295, 300}
Quando não são enumerados, os conjuntos podem ser descritos por suas
propriedades. Considere um conjunto A, com uma característica Q para os
elementos x, então escrevemos (3):
A = {x|x tem a propriedade Q} (3)
e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade Q”.
Observe os Exemplos a seguir:
{x| x é um número primo menor que 10} é o mesmo conjunto que {2, 3, 5, 7}.
{x| x é um estado da região Sudeste} pode ser representado por { Minas Gerais,
São Paulo, Rio de Janeiro e Espírito Santo}.
CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO
O conjunto unitário possui apenas um único elemento.
Exemplos:
1) {x| x é um número par e primo}: {2}
11
2) Conjunto das soluções da equação 5x – 20 = 10: {6}
Já o conjunto vazio, é um conjunto que não possui nenhum elemento. É
representado pelo símbolo ∅ ou { }.
Exemplos:
1) {x| x é ímpar e múltiplo de 4} = ∅
2) {x| x ≠ x} = ∅
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Um conjunto é finito quando é enumerável, isto é, seus elementos podem ser
listados, como pode ser observado nos exemplos abaixo:
Conjunto das consoantes: {a, b, c, d, e, ..., w, x, z}
Conjuntodos divisores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Intuitivamente, o conjunto é infinito quando não pode ser contado, ele não é
enumerável.
O conjunto dos múltiplos de 3: {0, 3, 6, 9, 12, ...}
O conjunto das estrelas: infinito
Conjunto Universo
Os conjuntos e elementos são analisados dentro de um conjunto maior, que
no caso, é o conjunto universo. Admitimos a existência de um conjunto U ao qual
pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o
nome de conjunto universo.
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Observem nos exemplos a seguir, como a mudança do conjunto universo,
determina respostas diferentes.
Conjunto das soluções da equação 2x + 7 = 24 nos números naturais: ∅
Conjunto das soluções da mesma equação, 2x + 7 = 24 no universo dos números
reais: {8,5}
Pode-se notar que a mudança do universo na resolução da equação, altera
o conjunto, assim o conjunto universo é extremamente importante, e veremos
adiante mais sobre sua utilização.
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando todos os elementos do conjunto A
pertencem a B, se somente se, todo elemento de B pertence a A. Essa igualdade
pode ser representada por (4):
A = B ⟺ (∀x)(x ∈ A ⟺ x ∈ B) (4)
Exemplos:
{x| x é inteiro, par e menor que 15} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
{a, e, i, o, u} = {e, i, a, u, o}
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Subconjuntos
Um subconjunto, como o nome sugere, é um conjunto menor que está
contido dentro de outro. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e
somente se, todo elemento de A pertence a B.
Podemos escrever que, A ⊂ B, que significa que A está contido em B, ou A é
subconjunto de B.
Figura 2: A subconjunto B
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Assim, traduzindo em termos matemáticos, essa relação pode ser escrita
como (5):
A ⊂ B ⟺ (∀x) (x ∈ A ⟹ x ∈ B) (5)
Exemplos:
1) {a, b} ⊂ {a, b, c, d}
2) {5, 6} ⊂ {5, 6}
Essa relação também pode ser descrita como B ⊃ A, que significa que “B
contém A” ou “o conjunto B contém o conjunto A”.
Como todos os conectores, há a negação, pois quando um subconjunto não
está contido (⊄) ou um conjunto não contém um subconjunto (⊅).
Exemplos:
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1) {3, 4, 5} ⊄ {4, 5, 6, 7}
2)
3)
A ⊄ B ou B ⊅ A
Propriedades da Inclusão
Considere três conjuntos quaisquer A, B e C, têm-se as seguintes propriedades:
∅ ⊂ A
A ⊂ A (reflexiva)
(A ⊂ B e B ⊂ A) ⟹ A = B (anti − simétrica)
(A ⊂ B e B ⊂ C) ⟹ A ⊂ C (transitiva)
No exemplo 2 há elementos de A em B, mas como não são todos, 𝐴 ⊄ 𝐵 𝑜𝑢 𝐵 ⊅ 𝐴.
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União de Conjuntos
Considere dois conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A ou a B, ou seja (6),
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B} (6)
Observe que o símbolo U significa união, e se x ∈ A ∪ B ⟹ x ∈ A ou x ∈ B.
Exemplos:
1)
A ∪ B = {a, b, e, f} ∪ {c, d, f, g} = { a, b, c, d, e, f, g}
2)
A ∪ B = {a, b, e} ∪ {c, d, f} = { a, b, c, d, e, f}
Propriedades da União
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes propriedades:
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A ∪ A = A
A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
A ∪ B = B ∪ A (comutativa)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(associativa)
Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B é o conjunto formado por
elementos que pertencem a A e a B. Como notação matemática, temos (7):
A ∩ B = { x|x ∈ A e x ∈ B} (7)
O símbolo ∩ significa interseção, isto é, A ∩ B é formado pelos elementos que
pertencem a A e B simultaneamente.
Exemplos:
1)
A ∩ B = {a, b, e, f} ∩ {c, d, f, g} = {f}
2)
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A ∪ B = {a, b, e} ∩ {c, d, f} = ∅
Propriedades da Interseção
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, considere as seguintes propriedades:
A ∩ A = A
A ∩ U = A (elemento neutro)
A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)(associativa)
Propriedades
Considere os conjuntos A, B e C quaisquer conjuntos, sendo as seguintes
propriedades relacionadas à união e interseção:
1) A ∪ (A ∩ B) = A
2) A ∩ (A ∪ B) = A
3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(distribuição da reunião em relação à interseção)
4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(distribuição da interseção em relação à reunião)
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Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, a diferença entre A e B é o conjunto
formado pelos elementos de A que não pertencem a B (8).
A − B = {x|x ∈ A e x ∉ B} (8)
Exemplos
1)
A − B = {a, b, c, d, g} − {d, e, f, g} = {a, b, c}
2)
A − B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} − {3, 6, 7} = {1, 2, 4, 5, 8}
B − A = { 3, 6, 7} − {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = ∅
Complementar de B em A
Considere dois conjuntos A e B, tais que B está contido em A, chama-se
complementar de B em relação a A, o conjunto A − B, ou seja, os elementos de A
que não estão em B. O símbolo que representa essa relação é (9):
∁ ou B (9)
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Figura 3: Complemento de B em A
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Observe que ∁ só é definido para B ⊂ A, assim temos ∁ = A − B
Exemplos:
1) Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4}, então ∁ = {1, 2}
2) Se A = {a, b, c, d, e, } = B, então ∁ = ∅
No estudo de conjunto, há exercícios que são comuns em concursos,
vestibulares e ENADE. Vamos estudar alguns exemplos.
Exemplo:
(UFBA) Em uma enquete, várias pessoas foram entrevistadas acerca de suas
preferências em relação a três esportes, Volei (V), Basquete (B) e Tênis (T), cujos
dados estão indicados na tabela a seguir:
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De acordo com esses dados, é correto afirmar que, nessa enquete, o número de
pessoas entrevistadas foi:
a) 400 b) 440 c) 490 d) 530 e) 570
Resolução:
Para resolver esse tipo de questão, devemos inserir os dados em um diagrama
de Venn, pois as interseções devem ser analisadas no início para descobrir os valores
exatos em relação aos três esportes. Primeiramente, vamos inserir o valor comum
entre os três esportes, pois eles se relacionam com os demais valores.
Após inserir os 50 na interseção dos três esportes, devemos colocar as
interseções entre dois esportes. Para isso é necessário tirar o valor que é comum dos
três, assim, teremos os cálculos.
V e T = 130 – 50 = 80
V e B = 180 – 50 = 130
B e T = 100 – 50 = 50
21
Observem os valores encontrados destacados no diagrama das interseções.
Agora vamos descobrir os valores que faltam para completar os esportes. Realizando
os cálculos, retirando os valores já inseridos em cada esporte.
V = 300 – 130 – 50 – 80 = 40
B = 260 – 130 – 50 – 50 = 30
T = 200 – 50 – 50 – 80 = 20
Desse modo, como todos os valores inseridos, vamos somar os valores do
diagrama com o valor que representa as pessoas que não possuem preferência
nenhuma. Somando, 40 + 130 + 50 + 80 + 30 + 50 + 20 + 40 = 440. Logo, a alternativa
correta é a letra b.
22
Para mais informações sobre o conteúdo, você pode consultar o livro “Fundamentos de
Matemática”, de autoria de Araujo et al. (2018), unidade 2. O acesso está disponível em:
https://bit.ly/3fIGN4k. Acesso em: 14 fev. 2021
23
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (CRM ES 2016 – Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas
consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam
se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavampor nenhum
desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas
consultadas nessa pesquisa foi de:
a) 380
b) 360
c) 340
d) 270
e) 230.
2. Considere A, B e C conjuntos quaisquer. Classifique as seguintes afirmativas em
verdadeiras ou falsas, e posteriormente, marque a alternativa com a sequência
correta.
∅ ⊂ (A ∩ B)
A ⊂ (A ∩ B)
A ∈ (A ∩ B)
(A ∩ B) ⊂ B
(A ∩ B) ⊃ (A ∩ B ∩ C)
A sequência correta é:
a) F, V, F, V, V
b) V, V, F, F, F
c) V, F, F, V, F
d) V, V, V, F, F
e) F, F, F, V, V
3. (UFMG-Adaptado) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
24
• 600 dos entrevistados leem o jornal A.
• 825 dos entrevistados leem o jornal B.
• 525 dos entrevistados leem o jornal C.
• 180 dos entrevistados leem os jornais A e B.
• 225 dos entrevistados leem os jornais A e C.
• 285 dos entrevistados leem os jornais B e C.
• 105 dos entrevistados leem os três jornais.
• 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de
entrevistados foi:
a) 1.200
b) 2.880
c) 1.350
d) 1.250
e) 1.500
4. (ENEM – Adaptado) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe
influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que
os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão
inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira
de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do
México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada
durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da
Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto
Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.
Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm,
Acesso em: 09.05.2009.)
Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou
que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e
tripulantes) algumas haviam passado pela cidade do
México. No diagrama, U representa o conjunto das
pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos
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passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do
México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A.
Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada
representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas
caracterizadas como:
a) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
b) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
c) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
d) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.
e) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.
5. (PUC/Campinas-SP) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três
programas de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H). A tabela a
seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:
Programas Número de Telespectadores
E 400
N 1220
H 1080
E e N 220
N e H 800
E e H 180
E e N e H 100
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que
não assistem a qualquer dos três tipos de programas é:
a) 200
b) 300
c) 900
d) 100
e) n.d.a..
6. Considere três conjuntos A, B e C e tais condições.
A ∪ B ∪ C = {z, x, v, u, t, s, r, q, p}
26
A ∩ B = {r, s}
B ∩ C = {s, x}
C ∩ A = {s, t}
A ∪ C = {p, q, r, s, t, u, v, x}
A ∪ B = {p, q, r, s, t, x, z}
Marque a alternativa que indica corretamente o conjunto B.
a) {p, q, r, s}
b) {p, q, r, u, v}
c) {t, s, x, u, v}
d) {r, s, z, x}
e) {r, s, u, v}
7. Dados os conjuntos A = {x ∈ ℤ| 2 ≤ x < 10} e B = {x ∈ ℝ| x é primo e menor que 20}.
Assinale a alternativa que corresponde à operação (A − B) ∪ (B − A):
a) {6,8,9,10}
b) {5,6,11,13,17,19}
c) {2,3,4,5,6,8,11,13}
d) {3,6,9,10,11,13,17,19}
e) {6,8,9,10,11,13,17,19}
8. Considere três conjuntos A, B e C quaisquer. Assinale a alternativa que representa
(B − A) ∩ C.
A)
27
B)
C)
D)
E)
28
CONJUNTOS NUMÉRICOS –
NATURAIS E INTEIROS
CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS
O conjunto dos números naturais (10), representado por ℕ, é formado pelos
números 0, 1, 2, 3, … .
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … } (10)
Neste conjunto, são definidas duas operações, a adição e a multiplicação,
que apresentam as seguintes propriedades:
Considere a, b e c elementos do conjunto dos números naturais:
associativa da adição (a + b) + c = a + (b + c)
comutativa da adição a + b = b + a
elemento neutro da adição a + 0 = a
associativa da multiplicação (a. b). c = a. (b. c)
comutativa da multiplicação a. b = b. a
elemento neutro da multiplicação a. 1 = a
distributiva da multiplicação em relação à adição a. (b + c) = a. b + a. c
Alguns conceitos, como a subtração serão vistos nos próximos conteúdos,
pois, pela definição dos números naturais, é preciso estender esse conjunto
numérico.
CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS
O conjunto dos números inteiros (11) é representado pelo símbolo ℤ, e é
definido pelos números:
UNIDADE
29
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } (11)
Nesse conjunto observa-se que ele é uma extensão dos naturais, pois ele
possui os números inteiros positivos (ℕ) e inteiros negativos. Assim, dentro do conjunto
dos inteiros, existem três subconjuntos notáveis, sendo eles:
Conjunto dos inteiros não negativos (12):
ℤ = {0, 1, 2, 3, 4, … } = ℕ (12)
Conjunto dos inteiros não positivos (13):
ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0} (13)
Conjunto dos inteiros não nulos (14):
ℤ∗ = {… , −3, −2, −1, 1, 2, 3, … } (14)
Operações em ℤ
No conjunto dos números inteiros, são definidas as operações de adição e
multiplicação como no conjunto dos naturais e a operação de simétrico da adição.
simétrico ou oposto da adição:
Para todo a∈Z, existe-a ∈ Z tal que a+(-a)=0
Assim, a operação de subtração pode ser definida:
Para quaisquer a, b ∈Z, estabelece a operação a-b=a+(-b)
O CONJUNTO ℤ E A RETA
O conjunto dos números inteiros pode ser representado por uma reta
numérica orientada da seguinte maneira.
30
1. Na reta marcamos a origem, que será representada pelo zero e o sentido
positivo (à direita da origem)
2. A partir da origem (zero) no sentido positivo, estabelece um segmento unitário
u ≠ 0, cuja extremidade será o 1
3. Para cada número inteiro, marcamos cada segmento unitário até atingir o valor
do número inteiro. Por exemplo: se for o número 5, teremos 5u.
Observe que quanto mais à direita, maior o número é, portanto, pode-se
concluir que:
qualquer número negativo é menor que o zero;
qualquer número positivo é maior que o zero;
qualquer número negativo é menor que um número positivo.
Podemos então relacionar esses dois conjuntos numéricos por meio de
diagrama, pois ℕ ⊂ ℤ.
31
Figura 4: ℕ ⊂ ℤ
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
REGRA DE SINAL
Nos números inteiros, devemos pontuar algumas regras sobre as operações.
Adição e Subtração
Sinais Iguais: soma e repete o sinal da base.
+ 6 + 7 = + 13
− 4 – 5 = − 9
Sinais diferentes: subtrai e repete o sinal do número de maior valor absoluto.
+ 8 − 12 = −4
− 6 + 14 = +8
Multiplicaçãoe Divisão
Sinais Iguais: o resultado será positivo
(−5). (−9) = +45
(+2). (+3) = +6
(−24): (−4) = +6
32
Sinais Diferentes: o resultado será negativo
(+12). (−3) = −36
(−81): (+9) = −9
DIVISIBILIDADE
Uma importante definição no conjunto dos números inteiros é de divisor.
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b, representado por a|b, indica que existe
um c inteiro tal que c.a=b.
a|b ⟺ (∃ c ∈ ℤ|ca = b) (15)
Exemplos:
1. 3|18 pois 6.3 = 18
2. 5| − 35 pois (−7). 5 = −35
3. −4|32 pois (−8). (−4) = 32
4. 2|0 pois 0.2 = 0
Assim quando a é divisor de b, podemos escrever que “b é divisível por a” ou
“b é múltiplo de a”. Indicamos D(a) o conjunto dos divisores de a, e M(a) o conjunto
dos múltiplos de a.
Exemplos:
D(3) = {1, −1, 3, −3}
D(5) = {1, −1, 5, −5}
M(3) = {0, ±3, ±6, ±9, … }
M(5) = {0, ±5, ±10, ±15, … }
Observe que são listados todos os divisores e múltiplos, os positivos e negativos.
Quando esse assunto é trabalhado na escola, abordamos apenas os divisores e
Seja 𝑎 ∈ ℚ, podemos falar que 0|a?
33
múltiplos positivos, pois o conteúdo é abordado nos 5° e 6° anos, onde o aluno tem
apenas o conhecimento dos números naturais.
Um número especial p é chamado de primo, quando seus divisores são
apenas o 1 e o p nos números naturais ou {1, -1, p, -p} no conjunto dos números
inteiros.
São alguns exemplos de números primos, 2, 3, 5, 7, 11, -2, -3.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Mínimo múltiplo comum (mmc), como o próprio nome sugere é o menor
múltiplo comum diferente de zero entre dois ou mais números inteiros ou naturais. Por
exemplo: no conjunto dos números naturais, o mmc (3, 4) = 12, pois M(3) =
0, 3, 6, 9, 12 , … e M(4) = 0, 4, 8, 12 , ….
O mmc também pode ser calculado de uma forma prática.
Por exemplo:, calcule o mmc(6,9):
.
6 9
3 9
1
1
3
1
2
3
3
18
Para calcular, fatoramos os números 6 e 9 em fatores primos, e multiplicam-se
esses números primos e, assim, encontramos o mmc(6,9) = 18.
O menor múltiplo comum (m.m.c) deve ser o menor múltiplo diferente de zero, pois o zero
é múltiplo de todos.
34
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum (m.d.c) é o maior divisor igual entre dois ou mais
números inteiros.
Exemplo::
O mdc (12, 18)=6, pois D(12)= 1, 2, 3, 4, 6 , 12 e D(18)= 1, 2, 3, 6 , 9, 18 .
Do mesmo modo do mmc, o mdc pode ser calculado de outra maneira,
como definido a seguir.
Considere o mesmo exemplo: mdc(12, 18) = 6
Para calcular o mdc, fatoramos os números, destacamos os fatores primos
que são divisores comuns dos números, e depois multiplicamos esses fatores.
O m.d.c pode ser calculado utilizando o Algoritmo de Euclides. Nesse cálculo é utilizada
uma outra ferramenta que obtém o valor do máximo divisor comum. Para saber mais, veja
em: https://bit.ly/3dy9TRr.
35
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Analise as seguintes operações em verdadeiras ou falsas.
I. ℕ ∪ ℤ = ℤ
II. (2 − 3) ∈ ℕ
III. 0 ∈ ℤ
IV. (−𝟒). (−𝟓) ∈ ℤ
Indique a sequência correta das afirmativas.
a) VFVV
b) VVFV
c) VFVF
d) FFVV
e) VVFV
2. Utilize o algoritmo estudado, e calcule o mmc dos seguintes números no conjunto
dos naturais.
(2, 3)
(6, 8)
(10, 15)
(7, 11)
Assinale a alternativa que corresponde aos valores encontrados.
a) 6, 30, 24, 77
b) 6, 24, 30, 77
c) 6, 48, 150, 77
d) 6, 48, 30, 77
e) 12, 24, 30, 77
36
3. (OBMEP – Adaptado) Dois rolos de arame, um de 210 metros e outro de 330
metros, devem ser cortados em pedaços de mesmo comprimento. Quantos
pedaços podem ser feitos se desejamos que cada um destes pedaços tenha o
maior comprimento possível?
a) 7 pedaços
b) 11 pedaços
c) 35 pedaços
d) 18 pedaços
e) 55 pedaços
4. (OBMEP – Adaptado) Dois ciclistas correm numa pista circular e gastam,
respectivamente, 30 segundos e 35 segundos para completar uma volta na pista.
Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo os dois
atletas se encontram, pela primeira vez, no local de largada. Depois de quanto
tempo da largada ocorrerá o encontro?
a) 60 segundos
b) 70 segundos
c) 90 segundos
d) 210 segundos
e) 420 segundos
5. (OBMEP – Adaptado) Se a = 2 . 5 . 7 identifique qual dos seguintes números são
múltiplos de a:
a) 2 . 5 . 7
b) 2.5. 7 . 13
c) 2 . 5 . 7
d) 2 . 3 . 5
e) 2 . 3. 5 . 7 . 11
37
6. Calcule o valor da expressão numérica envolvendo números inteiros.
[(18 + 3.2): 6 + 5.7] − 24
a) 15
b) 18
c) 24
d) 39
e) 42
7. Analise as afirmativas a seguir sobre o conjunto dos números naturais e inteiros.
I. (−4). (−3). (−2) ∈ ℕ
II. (−3 + 54 − 22 − 29) ∈ ℤ∗
III. (ℕ ∩ ℤ) ⊂ ℕ
IV. (−12): (+6) − 1 = −3
Marque a alternativa que corresponde à sequência correta das afirmativas.
a) V, F, V, V
b) F, F, V, V
c) V, V, F, F
d) F, F, F, V
e) V, V, V, F
8. Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao
mesmo tempo, por 4, 8 e 10.
a) 80
b) 100
c) 110
d) 120
e) 160
38
CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo ℚ, é o conjunto
dos números que são representados por uma fração, sendo , em que a ∈ ℤ e b ∈ ℤ∗,
no qual a é o numerador e b o denominador.
Exemplo:
Vamos abordar algumas propriedades importantes desse conjunto, como a
adição e a multiplicação. Uma nova operação será definida, a divisão.
Considere a, b, c, d, e, f, g ∈ ℤ e as seguintes propriedades.
+ + = + +
+ = +
+ 0 =
+ − = 0
. . = . .
. = .
. 1 =
. + = . + .
Outra operação que podemos definir, é o simétrico ou inverso da
multiplicação. Assim, para todo ∈ ℚ∗, existe ∈ ℚ tal que . = 1.
Portanto, podemos definir em ℚ∗ a operação de divisão, sendo : = . para
quaisquer e ∈ ℚ∗.
UNIDADE
39
FRAÇÃO E DECIMAIS
Fração
Uma fração representa quando um todo é dividido em partes, e indicamos
uma parte ou a união delas em relação ao todo. Como mencionado anteriormente
a fração é composta por dois números inteiros, sendo:
o denominador representa as partes do todo que foram divididas.
o numerador indica uma unidade ou união de algumas das partes que foram
divididas.
Assim, a fração é representada por dois termos, a e b ∈ ℤ, b ≠ 0, sendo o
numerador a e o denominador b.
Na fração , temos 4 como numerador e 9 como denominador. Ela pode
representar por exemplo, que um chocolate foi dividido em 9 partes e repartido 4
desses pedaços.
As frações possuem nomes diferentes conforme os números, por exemplo: se
lê “cinco oitavos”. Já a fração que possui denominador maior que 10, usamos avos
após o número do denominador. Assim, a leitura da fração será “três quatorze
avos”.
Exemplo:
Uma loja possui 50kg de laranja, e precisam vender dessa fruta para não perder a
mercadoria. Quantos quilos a loja deverá vender?
Resolução:
Para resolver, temos que multiplicar 50 por , isto é,
50.
2
5
=
50.2
5
=
100
5
= 20
Portanto a loja precisará vender 20 kg de laranja.
40
Dadas duas frações e com b ≠ 0 e d ≠ 0, são iguais se e somente se a. d =
b. c, ou seja, a. d = b. c ⟺ = com b ≠ 0 e d ≠ 0. Quando acontece essa igualdade,
dizemos que as frações são equivalentes.
Simplificação
Exemplo::
2
7
=
6
21
, pois 2.21=7.6=42, assim elas são equivalentes
Com a igualdade de frações, encontramosas frações equivalentes.
As frações são classificadas como próprias e impróprias. A primeira, são
frações que possuem o numerador menor que o denominador, por exemplo: e .
Já as frações impróprias possuem o numerador maior ou igual ao denominador,
exemplo: .
As frações impróprias podem ser transformadas em frações mistas, isto é,
representam a parte inteira e fracionária. Por exemplo: a fração = 1 + = 1 , assim
a fração imprópria = 1 .
Como sabemos, as frações representam uma divisão, assim, pode-se
transformar uma fração imprópria em mista ou vice-versa utilizando a operação da
divisão. Considere a fração imprópria, , realizando a divisão,
11 2
10 5
1
Assim, consideramos a parte inteira o número do quociente e o número do
resto o numerador da fração mista. Logo, a fração mista de será 5 . Para
transformar a mista em imprópria, multiplicamos a parte inteira pelo denominador e
somamos com o numerador e obtemos o numerador da fração imprópria, e o
denominador se repete, isso porque sempre estamos trabalhando com o todo
repartido. Então 5 = 5x2 + 1 = 11 ⟹ .
41
Exemplo:
Indique qual fração é maior ou 8 .
Resolução:
Para resolver, vamos, primeiramente, transformar a fração mista em imprópria,
8 = = . Analisando as duas frações, como possuem o mesmo denominador,
a maior é a que possui maior denominador, que será a 8 .
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Soma e Diferença de Frações
Para calcular a soma e a diferença de duas ou mais frações, é preciso verificar
se os denominadores são iguais. Se forem, basta repetir o denominador e somar ou
subtrair os numeradores. Observe os exemplos a seguir:
3
8
+
7
8
=
3 + 7
8
=
10
8
=
5
4
10
7
−
5
7
=
10 − 5
7
=
5
7
No caso das frações possuírem denominadores diferentes, é preciso encontrar
frações equivalentes que tenham denominadores iguais. Para isso, calculamos o
mínimo múltiplo comum (m.m.c).
Exemplo:
Encontre o resultado da seguinte operação + +
Resolução:
As frações possuem diferentes denominadores, assim, é preciso calcular o
m.m.c de (4, 8, 12), isto é, m.m.c (4, 8, 12) = 24
42
Agora, vamos encontrar as frações equivalentes com o denominador 24, e
resolver a operação.
1
4
+
3
8
+
5
12
=
6
24
+
9
24
+
10
24
=
6 + 9 + 10
24
=
25
24
Assim, a resposta é .
Exemplo:
Simplifique a expressão numérica − .
Os denominadores são diferentes, portanto, é preciso encontrar o m.m.c (4,
10).
4 10 2
2 5 2
1 5 5
1 1 20
Substituímos as frações por frações equivalentes que possuam o denominador igual
a 20 e simplificamos a expressão.
9
10
−
1
4
=
18
20
−
5
20
=
13
20
Logo, a simplificação da expressão numérica é
Multiplicação e Divisão de Fração
A multiplicação de frações é realizada multiplicando o numerador pelo
numerador, e o denominador pelo denominador. Dados
e ∈ ℚ, b ≠ 0 e d ≠ 0, o
produto dessas duas frações é . = .
.
. Por exemplo:
4
7
.
3
5
=
12
35
2
9
.
3
11
=
6
99
=
2
33
43
Na divisão das frações, conservamos a primeira fração, mudamos o sinal para
multiplicação e invertemos a segunda fração. Dados e ∈ ℚ, b ≠ 0 e d ≠ 0, temos a
divisão : = . ou = . . Observe alguns Exemplos:
7
10
2
5
=
7
10
.
5
2
=
35
20
=
7
4
1
6
:
3
8
=
1
6
.
8
3
=
8
18
=
4
9
Exemplo:
Simplifique a fração .
.
.
Resolução:
Para resolver, precisamos escrever os números como fatores primos, para depois
simplificar (cortar os termos comuns).
20.7
15.14
=
2.2.5.7
3.5.2.7
=
2
3
Exemplo:
Simplifique a fração , sendo x ≠ 0, y ≠ 0 e z ≠ 0.
Resolução:
Nesse exercício, os fatores são números e letras, assim vamos escrevê-los em
fatores.
2.2. x. x. x. y. y
2.3. x. x. y. z. z. z
=
2xy
3z
44
Porcentagem
A porcentagem é uma forma de representar uma fração , sendo b = 100.
Nesse tipo de representação usamos o símbolo %, que se lê por cento e significa por
cem. Assim, por exemplo: 30% significa . A porcentagem é muito utilizada para
indicar dados de pesquisa, doenças, pessoas entre outros.
Exemplo:
Supondo que uma fila de espera para um transplante de fígado tinha cerca
de 6200 pacientes, dos quais 61% não tiveram condições para receber o transplante,
quantos restaram na fila?
Resolução:
Vamos calcular 61% de 6200, isto é,
61% de 6200 =
61
100
. 6200 =
61
100
.
6200
1
=
378200
100
= 3782
Assim, restam 3782 na fila.
Representação Decimal
Todo número racional pode ser representado por um número decimal. Para
isso, dividimos a por b, isto é, o numerador pelo denominador. Quando é realizada
essa transformação, podemos encontrar dois tipos de números decimais.
1) Quando possui uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero.
Quando queremos calcular uma porcentagem de outra porcentagem, o que fazemos?
Exemplos 40% de 60%?
45
5
1
= 5
1
2
= 0,5
5
4
= 1,25
12
100
= 0,12
2) Quando o número possui uma quantidade infinita de algarismos que se repetem
periodicamente, que é chamada de dízima periódica.
1
7
= 0, 777 … = 0, 7 (período 7)
8
33
= 0,2424 … = 0, 24 (período 24)
259
990
= 0,2616161 … = 0,261 (período 61)
Podemos observar que os números decimais podem ser escritos na forma de
fração . Para cada situação, a fração se altera.
Número decimal exato
O numerador da fração será o número decimal sem a vírgula, e o
denominador o algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais
do número dado.
4,15 =
415
100
; 8,9256 =
89256
10000
; 0,64 =
64
10
Dízima Periódica
Para transformar a dízima periódica em geratriz (fração), devemos analisar se
a dízima é simples ou composta. A dízima simples é composta apenas pelo período,
já a dízima composta possui o período e algarismos que não se repetem. Observe os
exemplos a seguir de cada uma.
46
a) Dízima periódica simples: para cada algarismo que se repete no período,
acrescenta o algarismo 9 no denominador, e escrevemos o período no
numerador.
0, 232323 … =
23
99
1,767676 … = 1 +
76
99
=
175
99
b) Dízima periódica composta: para cada algarismo que se repete no período
acrescenta o algarismo 9, e o 0 para cada número que não se repete na parte
decimal, no denominador. No numerador escrevemos o número composto
pela parte que não se repete com a que se repete e subtraímos a parte que
não se repete.
0,4565656 … =
456 − 4
990
=
452
990
2,0913913913 … = 2 +
913 − 0
9990
= 2 +
913
9990
=
20893
9990
OPERAÇÕES DOS DECIMAIS
Adição e Subtração
A adição e a subtração são definidas, armando os números decimais um
embaixo do outro, sendo vírgula abaixo de vírgula, e posteriormente realizando os
cálculos. Como, por exemplo:
3,45+8,93= 12,38
3,45
+ 8,93
12,38
Há outras maneiras de obter a fração geratriz, envolvendo equação do 1° grau. Saiba
mais no vídeo do YouTube da página matemática no papel. Disponível em:
https://bit.ly/3rKYPFC. Acesso em: 27 mar. 2021.
47
14,89 – 9,23 = 5,66
14,89
+ 9,23
5,66
4,76 + 19,734 = 24,494
4,760
+19,734
24,494
Multiplicação e Divisão
A multiplicação de números decimais é realizada multiplicando os números
normalmente e depois, a vírgula deve ser inserida de modo a deixar o número de
casas decimais igual à soma da quantidade de casas decimais dos fatores
multiplicados. Por exemplo:
3,46 8,7
X 1,29 X 3,15
3094 435
+ 692 + 87
346 261
4,4614 25,405
Na divisão,armamos o divisor e dividendo, e devemos igualar as casas
decimais, preenchendo com zero, quando necessitar. Após isso, ignoramos a vírgula,
e realizamos a divisão. Por exemplo: dividir 31,15 por 3,5.
31,15 3,50
- 2800 8,9
- 3150
3150
0
EXPRESSÃO NUMÉRICA
As expressões numéricas são conjuntos de operações definidas entre
parênteses, colchetes e chaves. Para resolver existe uma ordem a ser seguida. Entre
48
os símbolos, temos:
1. Parênteses
2. Colchete
3. Chaves
Nas operações, a ordem é a seguir:
1. Potenciação ou Radiciação
2. Divisão ou Multiplicação
3. Soma ou Subtração
Exemplo:
Resolva a expressão numérica
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ (−3 + 12)]} – [7 · (−3) – 18 ÷ (−2) + 1]
Resolução:
Iniciamos a resolução pelos parênteses
60 ÷ 2 · −7 + 18 ÷ (−3 + 12) – [7 · (−3)– 18 ÷ (−2) + 1]
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ 9]} – [7 · (−3) – 18 ÷ (−2) + 1]
Agora vamos analisar os colchetes, e as operações que têm prioridade
60 ÷ {2 · [−7 + 18 ÷ 9]} – [7 · (−3) −18 ÷ (−2) + 1]
60 ÷ 2 · −7 + 2 – 7 · (−3) + 9 + 1
60 ÷ {2 · (−5)} – [−21 + 9 + 1]
60 ÷ {2 · (−5)}– [−11]
Ficamos nesse momento nas chaves
49
60 ÷ 2 · (−5) – [−11]
60 ÷ (−10)– [−11]
Por fim, do lado externo aos símbolos, seguindo a ordem das operações
60 ÷ (−10) – [−11]
−6 – [−11]
−6 + 11
+5
Logo o resultado é +5.
Para mais informações sobre o conteúdo, você pode consultar o material da biblioteca
person, no livro “Fundamentos de Matemática”, de autoria de Araujo et al. (2018), unidade
9 e 13. O acesso está disponível no link https://bit.ly/3mm5hSv. Acesso em: 13 fev.2021.
50
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Calcule o valor da expressão 0,999 … + e assinale a alternativa que
corresponda à solução.
a) 2
b)
c)
d)
e) 1
2. (ENEM-2021) Um jogo pedagógico é formado por cartas nas quais está impressa
uma fração em uma de suas faces. Cada jogador recebe quatro cartas e vence
aquele que primeiro consegue ordenar crescentemente suas cartas pelas
respectivas frações impressas. O vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com
as frações: 3/5, 1/4, 2/3 e 5/9. A ordem que esse aluno apresentou foi.
a) 1/4, 2/3, 3/5, 5/9
b) 1/4, 5/9, 3/5, 2/3
c) 2/3, 1/4, 3/5, 2/3
d) 5/9, 1/4, 3/5, 2/3
e) 2/3, 3/5, 1/4, 5/9
3. (OBMEP) Um garrafão cheio de água pesa 10,8 kg. Se retirarmos metade da agua
nele contida, pesar a 5,7 kg. Quanto pesa, em gramas, esse garrafão vazio?
a) 400.
b) 500.
c) 600.
d) 700.
e) 800.
51
4. (OBMEP – Adaptado) Sófocles recebe R$15,60 por hora como garçom. Em um
determinado dia, ele recebeu R$148,20 pelo seu trabalho. Quanto tempo ele
trabalhou neste dia?
a) 8 horas
b) 8 horas 30 minutos
c) 9 horas
d) 9 horas e 30 minutos
e) 9 horas e 50 minutos
5. Um salão de festa possui um formato retangular com 22,5 m por 18,2 m. Para
instalar um piso, são gastos R$ 8,40 por m². Calcule o valor gasto na instalação do
piso.
a) R$ 683,76
b) R$ 1.367,52
c) R$ 2.735,04
d) R$ 3.439,80
e) R$ 5.743,58
6. (ENEM – 2013) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda.
Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma
dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões
de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência,
decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O
quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo
(em anos) de existência de cada empresa.
52
O empresário decidiu comprar a empresa:
A) F
B) G
C) H
D) M
E) P
7. Encontre o valor da expressão numérica.
5
4
.
7
3
− 1
2
9
− 3
Marque a alternativa correspondente ao valor correto.
a)
b)
c) −
d) −
e) −
8. Considere uma sequência de números
−3;
234
10
; 7,81; −
8
11
; 0,21111 … ; −6, 7
Indique a ordem crescente desses números.
a) −6, 7; −3; − ; ; 7,81; 0,21111 … ;
b) − ; −6, 7; −3; 0,21111 … ; 7,81;
c) − ; −6, 7; −3; 7,81; 0,21111 … ;
d) −3; − ; −6, 7; 7,81; 0,21111 … ;
e) −3; − ; −6, 7; 7,81; ; 0,21111 …
53
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Os conjuntos de números são representados por letras, como os símbolos Z e
Q, que são derivados do alemão Zahl (número) e Quocient (quociente).
Primeiramente, esses símbolos foram usados na obra "Éléments deemathématique:
Algèbre" de Nicolas Bourbaki. Nicolas Bourbaki é o pseudônimo de um grupo de
matemáticos franceses criado em 1935.
A seguir, abordaremos outros conjuntos numéricos, sendo os irracionais e os
reais. Eles são representados pelos símbolos 𝕀 e ℝ, respectivamente. Esses conjuntos
são importantes, e englobam operações como os conjuntos vistos anteriormente.
NÚMEROS IRRACIONAIS – 𝕀
Os números irracionais, representado pelo símbolo 𝕀, são números decimais
que possuem infinitas casas decimais, não periódicas. Ou seja, não possuem
representação em fração. Seguem alguns exemplos de números irracionais.
7,89436231...
0,3425187...
-5,98009832...
Alguns números irracionais são usuais na matemática, como:
√2 = 1,4142135 …
π (pi) = 3,141592 …
e = 2,71828182 …
Prove que √2 ∉ ℚ.
UNIDADE
54
Um número irracional fácil ser identificado é a raiz quadrada de números
primos, isto é, se p é primo e positivo, p é irracional. Assim, √7, √11, √13 são números
irracionais.
As operações usuais definidas nos outros conjuntos, também são utilizadas no
conjunto, entretanto, quando há operações entre racionais e irracionais, o resultado
será irracional. Desse modo, dados a irracional e r racional não nulo, então:
a + r, a. r,
a
r
e
r
a
são irracionais.
Exemplo:
√5 + 3, 6√2,
√7
8
,
4
√2
Percebemos que o conjunto dos irracionais é disjunto dos racionais, ou seja,
não possuem elementos em comum.
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS - ℝ
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é
denominado conjunto dos números reais (ℝ). Assim, os naturais, inteiros, racionais e
irracionais formam o conjunto dos reais.
Figura 5: Conjunto dos Números Reais
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
55
Observamos pelo diagrama que, ℚ ∪ 𝕀 = ℝ. Então podemos dizer que o
complemento de ℚ em relação à ℝ é 𝕀, e vice-versa.
Além desses subconjuntos dos reais, podemos destacar os seguintes:
ℝ = conjunto dos números reais não negativos
ℝ = conjunto dos números reais não positivos
ℝ∗ = conjunto dos reais não nulos
OPERAÇÕES EM ℝ
As operações de soma, subtração e multiplicação em ℝ são definidas como
no conjunto dos racionais. A divisão está definida em ℝ∗. Na próxima unidade
abordaremos outras operações presentes no conjunto dos reais.
Os números reais na reta
Como vimos em unidades anteriores, os números podem ser representados na
reta numérica. Na unidade 2, destacamos os números inteiros.
Do mesmo modo, podemos destacar os números reais, tanto os racionais
como os irracionais. Devemos pensar que entre os números inteiros há espaços não
preenchidos, onde podem ser inseridos os racionais, e entre esses, os irracionais.
Assim, obtemos os conjuntos dos reais na reta numérica.
Como mostra o diagrama, os conjuntos numéricos possuem uma relação de inclusão. No
entanto, como apresentado, os conjuntos dos irracionais não possuem os demais
subconjuntos, pois ℚ ∩ 𝕀 = ∅.
56
Essa reta representa todo o conjuntodos reais, cuja nomenclatura é reta real
ou reta numérica.
Observamos que os conjuntos numéricos se relacionam, e desse modo
mantêm propriedades e valores em comum.
Para mais informações sobre os conjuntos numéricos, pesquise na minha biblioteca, o livro
“Fundamentos de Matemática” de autoria de Araujo et al. (2018), na Unidade 2,
“Conjuntos Numéricos”. Disponível em: https://bit.ly/3rOR3ub. Acesso em: 29 mar. 2021.
57
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Analise as afirmativas abaixo.
I. ℕ ⊂ ℝ
II. 4 + √5 ∈ ℚ
III. √ ∈ ℝ
IV. 3 − √7 ∈ (ℝ − ℚ)
2. Assinale a alternativa que corresponde à sequência correta.
a) V, V, V, V
b) F, V, F, V
c) V, V, F, V
d) V, F, V, V
e) F, F, F, V
3. O resultado da operação √
√
.
√ pertence a qual conjunto numérico?
a) Racionais
b) Inteiros
c) Naturais
d) Nulo
e) Irracionais
4. Os conjuntos numéricos se relacionam, como vimos nas unidades. O resultado da
operação (ℤ ∪ ℚ) é:
a) ℝ
b) 𝕀
c) ℤ
d) ℕ
e) ℚ
58
5. Observe as proposições abaixo, e aponte a verdadeira.
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais tem 1 elemento.
c) O número 1,83333... é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
e) A multiplicação de um inteiro com um irracional, é racional.
6. O valor da expressão abaixo, quando a = 8 e b = 15, é:
b
(b − a)
a) Um número natural
b) Um número inteiro
c) Um número irracional
d) Um valor nulo
e) Um número racional
7. Sobre os conjuntos numéricos, marque a alternativa correta.
a) Alguns números naturais são também racionais.
b) Um número racional pode ser irracional.
c) Todo número negativo é um número inteiro.
d) O conjunto dos números reais é formado pela interseção dos números racionais e
irracionais.
e) As dízimas periódicas são consideradas números racionais, portanto, são também
números reais.
Seja A = {3,5}, B = {3,5,8} e C = {8,10}, determine os elementos da operação (A U B)
∩ (B U C).
a) {3,5,8}
b) {3,5}
59
c) {8,10}
d) {3,5,8,10}
e) {3,10}
8. Sobre os conjuntos numéricos, julgue as afirmativas a seguir.
I. A diferença entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos números
racionais é igual ao conjunto dos números irracionais.
II. pertence ao conjunto dos números irracionais.
III. O resultado de (-7,5).(+2) é um número natural.
Marque a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
60
POTÊNCIAS E RAÍZES
POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
A potenciação, também conhecida como exponenciação, é a
multiplicação de um determinado número por ele mesmo diversas vezes.
Para escrever essas multiplicações em forma de potenciação, usamos a
seguinte notação (16):
a = a. a. a . . . a
. (16)
Na representação acima lê-se “a elevado à n”. Nela, o número real não-nulo
a é chamado de base, é o número que está sendo multiplicado por ele mesmo. Já
o número natural n é chamado de expoente e representa a quantidade de vezes
que o número é multiplicado. O resultado dessa multiplicação é chamado de
potência.
Vejamos alguns exemplos na tabela abaixo:
Tabela 1: exemplos de potenciação
BASE EXPOENTE REPRESENTAÇÃO POTÊNCIA
2 4 2 = 2.2.2.2 = 16
(2 elevado à 4 é igual à 16)
16
5 2 5 = 5.5 = 25
(5 elevado à 2 é igual à 25)
25
3 5 3 = 3.3.3.3.3 = 243
(3 elevado à 5 é igual à 243)
243
7 1 7 = 7
(7 elevado à 1 é igual à 7)
7
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)a (2021)
Nos exemplos acima, consideramos expoentes diferentes de zero. Caso o
expoente seja zero, independentemente da base, a potência será sempre igual à 1.
UNIDADE
61
Exemplos:
5 = 1
(−2) = 1
(0,27) = 1
18947623 = 1
Vejamos agora algumas propriedades das potências de expoente natural.
Para isso, considere a, b ∈ ℝ e m, n ∈ ℕ. Então, valem as seguintes propriedades:
I. Produto e potências de mesma base (17):
a . a = a (17)
II. Divisão de potências de mesma base (18):
a
a
= a , com m ≥ n (18)
III. Potência de um produto (19):
(a. b) = a . b (19)
IV. Potência de um quociente (20):
= com b ≠ 0
(20)
V. Potência de potência (21):
(a ) = a . (21)
Exemplos:
5 . 5 = 5 = 5 = 125;
10
10
= 10 = 10 = 10;
62
(5.7) = 5 . 7 = 25.49 = 1225;
1
2
=
1
2
=
1
8
(2 ) = 2 = 64
POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO E NEGATIVO
Dado um número real não-nulo a e um número natural n, definimos a potência
a () da seguinte forma:
a =
1
a
(22)
Ou seja, a potência de base real não-nula e expoente inteiro negativo é
definida como o inverso da potência correspondente de expoente positivo.
Exemplos:
3 =
1
3
=
1
3
2 =
1
2
=
1
2.2.2
=
1
8
(−4) =
1
(−4)
=
1
(−4). (−4). (−4)
=
1
−64
= −
1
64
2
3
=
1
2
3
=
1
2
3
=
1
4
9
=
9
4
=
3
2
63
Exemplos:
5
4
=
4
5
=
4
5
=
16
25
;
1
6
=
6
1
=
6
1
= 216
Dados a, b ∈ ℝ não-nulos e m, n ∈ ℤ, as potências de expoentes inteiros
negativos possuem as seguintes propriedades:
a . a = a (23)
a
a
= a (24)
(a. b) = a . b (25)
a
b
=
a
b
(26)
(a ) = a . (27)
Observe que as propriedades são iguais às propriedades das potências de
expoente natural, apenas a propriedade (24) se altera, podendo m e n serem
quaisquer.
Exemplos:
1) Calcule o valor da expressão:
2 . 4 . 2
2 . 8
Solução:
Observe que:
4 = (2 ) = 2 e 8 = (2 ) = 2 .
64
Assim temos:
2 . 4 . 2
2 . 8
=
2 . 2 . 2
2 . 2
=
2 ( )
2 ( )
=
2
2
= 2 = 2 =
1
2
=
1
4
2) Dados a, b reais não-nulos simplifique a expressão:
(a . b )
(a . b )
Solução:
Usando as propriedades descritas acima temos
(a . b )
(a . b )
=
(a ) . (b )
(a ) . (b )
=
a . b
a . b
=
a
a
.
b
b
= a ( ). b = a . b = a . 1 = a
RADICIAÇÃO
Para estudarmos a radiciação, vamos pensar em um número elevado ao
cubo que seja igual a 125. Isto é, ( )³ = 125, esse número é 5, pois 5³ = 125. Essa
operação é inversa à potenciação, chamada de radiciação.
A representação da radiciação é definida como: √a = b, sendo:
√0 radical
a radicando
b a raiz
n o índice da raiz, um número natural maior ou igual a 1.
65
Figura 6: Radiciação
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Exemplos:
√9 = 3, pois 3 = 9
√8 = 2, pois 2 = 8
√−27 = − 3
√−25 = ∄ em ℝ
Algumas propriedades da radiciação podem ser definidas. Considere m, n, p
inteiros e n > 1, p > 1 e m > 1, então, temos:
√ab = √a. √b (28)
a
b
=
√a
√b
(29)
√a = √a (30)
√𝐚
𝐧
𝐩
= √𝐚
𝐩𝐧
(31)
Exemplos:
√8.7 = √8. √7 = 2. √7 = 2 √7
Quando o radicando é negativo, não existe raiz com índice par, pois um número elevado
a um expoente par sempre dará positivo nos reais. Por exemplo:
√−16 = ∄, 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2) = 16
66
3
5
=
√3
√5
Podemos relacionar a raiz com a potência com expoente fracionário.
Considere a um número real positivo e seja um número racional, definimos a
potência de base a e expoente da seguinte forma (22):
a = √a (32)
Se a = 0 temos a seguinte definição especial
0 = 0.
Exemplos:2 = 2 = √2;
3 = 3 = √3;
5 =
1
5
=
1
5
=
1
5
=
1
25
2
3
=
3
2
=
3
2
=
3
2
.
As propriedades de potências vistas até agora se aplicam às potências de
expoentes racionais. Assim, dados a, b números reais positivos e , números
racionais, valem as seguintes propriedades:
a . a = a (33)
a
a
= a (34)
(a. b) = a . b (35)
67
a
b
=
a
b
; (36)
a = a
.
. (37)
Exemplos:
2 / . 2 / = 2 = 2 = 2 /
7 /
7 /
= 7 = 7 = 7 /
14 / = (2.7) / = 2 / . 7 /
20
7
/
=
20 /
7 /
2 /
/
= 2 . = 2 /
Uma vez que os números decimais são números racionais, para calcularmos
potências cujos expoentes são números decimais, basta escrevermos esse decimal
em forma de fração e utilizarmos a definição de potências de expoente racional.
Exemplos:
3 , = 3 / = 3 / = √3
0,2 , = 0,2 / = 0,2
5 , = 5 /
As propriedades acima são de extrema importância no estudo das potências.
Vejamos alguns exercícios resolvidos que envolvem essas propriedades:
Exemplos:
1) Simplificar fazendo o uso das propriedades:
a) 16 /
b) 27 /
c) (81 ) /
68
Solução:
a) 16 / = (2 ) / = 2 . = 2 = 8
b) 27 / = (3 ) / = 3 . = 3 = =
c) (81 ) / = ((3 ) ) / = 3 . . = 3 = 9
2) Simplifique:
a)
2 / . 2 / . 2 /
b)
3 / . 3 /
3 / . 3 / . 3 /
Solução:
a)
2 / . 2 / . 2 / = 2 = 2 = 2 = 2
b)
3 / . 3 /
3 / . 3 / . 3 /
=
3
3
=
3
3
=
3
3
=
3 /
3 /
= 3
= 3 = 3 /
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
A racionalização de denominadores tem como objetivo transformar uma
fração que possui um denominador irracional em uma nova fração, que seja
equivalente à fração anterior, com denominador racional.
69
Quando multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração por um
mesmo número real, obtemos como resultado uma fração equivalente. Dessa
forma, para racionalizar uma fração, basta multiplicar seu numerador e
denominador por um número que transforme o irracional do denominador em
racional. Esse número é chamado de conjugado.
Exemplos:
1) O conjugado de √2 é √2 pois, √2. √2 = √2 = 2 / = 2.
2) O conjugado de √7 é √7 pois, √7. √7 = 7 / . 7 / = 7 = 7 / = 7.
Para encontrar o conjugado de um número irracional do tipo √x devemos:
1º) Escrever esse número na forma x / ;
2º) Pensar no menor número c ∈ {1,2,3, . . . , b − 1} tal que a + c seja um múltiplo de b;
3º) O conjugado será √x .
Exemplo:
1) Determine o conjugado dos seguintes números:
a) √24
b) √3
c) √7
d) √11
Solução:
a) Escrevendo √24 em forma de potência temos √24 = 24 / . O número que
quando eu somo 2 resulta 3 é o 1. Logo o conjugado de √24 é √24 ;
b) Escrevendo √3 em forma de potência temos √3 = 3 / . O número que
quando eu somo 4 resulta 7 é o 3. Logo o conjugado de √3 é √3 .
c) Escrevendo √7 em forma de fração temos √7 = 7 / . O número que quando
eu somo 5 resulta 6, que é múltiplo de 2, é o 1. Logo o conjugado de √7 é √7.
70
d) Escrevendo √11 em forma de fração temos √11 = 11 / . O número que
quando eu somo 23 resulta 25 é o 2. Logo o conjugado de √11 é √11 .
Para racionalizar uma fração devemos encontrar o conjugado do
denominador, multiplicar o numerador de denominador da fração pelo conjugado
e, por fim, simplificar a fração equivalente encontrada.
Exemplos:
1) Racionalize as seguintes frações:
a)
√
b)
√
c)
√
Solução:
a) Escrevendo √4 em forma de potência temos √4 = 4 / . O número menor que 3
que quando eu somo 1 resulta um múltiplo de 3 é o 2, logo o conjugado de √4
é √4 . Multiplicando o numerador e denominado da fração
√
por √4 temos:
1
√4
.
√4
√4
=
√4
√4
=
√4
4
=
√2
2
=
√2 . √2
2
=
√2
2
.
Logo, a forma racionalizada de
√
é √ .
b) Escrevendo √6 em forma de potência temos √6 = 6 / . O número menor que 5
que quando eu somo 1 resulta um múltiplo de 5 é 4, logo o conjugado de √6 é
√6 . Multiplicando o numerador de denominador da fração
√
por √6 temos
3
√6
.
√6
√6
=
3 √6
√6
=
3 √6
6
=
√6
2
.
Logo, a forma racionalizada de
√
é √ .
71
c) Escrevendo √32 em forma de potência temos √32 = 32 / = (2 ) / = 2 / . O
número menor que 3 que quando eu somo 1 resulta um múltiplo de 3 é o 2,
logo o conjugado de √32 é √32 . Multiplicando o numerador e denominador
da fração
√
por √32 temos:
√
.
√
√
=
√
√
=
√
=
√
=
√ . √
=
. √
=
√ .
Logo, a forma racionalizada de
√
é √ .
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Vimos que para resolver expressões numéricas existe uma ordem a ser
seguida. Primeiro, eliminamos os parênteses resolvendo tudo que está dentro dele.
Depois, fazemos o mesmo para os colchetes e, em seguida, para as chaves. Dentro
de cada um desses delimitadores obedecemos à seguinte ordem:
1º) Potenciação e radiciação;
2º) Multiplicações e divisões;
3º) Adições e subtrações.
Vejamos alguns exemplos de expressões numéricas e como resolver cada
uma delas.
25 + 3 : 9 + [3 . 5– 3. (2 − 5 )] =
25 + 3 : 9 + [3 . 5– 3. (8 − 5)] =
25 + 3 : 9 + [3 . 5– 3.3] =
25 + 3 : 9 + [9.5– 3.3] =
25 + 3 : 9 + [45– 9] =
72
25 + 3 : 9 + 36 =
25 + 27: 9 + 36 =
25 + 3 + 36 =
= 64
4 + √8. 3 + 16: √64 − 35 + 1 − 10 =
[(16 + 2.9) + (16: 8) − 35] + 1 − 10 =
[(16 + 18) + 2 − 35] + 1 − 10 =
[34 + 2 − 35] + 1 − 10 =
[34 + 4 − 35] + 1 − 10 =
3 + 1 − 10 =
9 + 1 − 1 =
= 9
√64: 2 . 2 + √81 − 2 . 2 − 5 . √256 =
(8: 2). 2 + [(9 − 8). 2 − 5 ]. √256 =
4. 2 + [1. 2 − 5 ]. √256 =
4. 2 + [1.16 − 1]. √256 =
4. 2 + [16 − 1]. √256 =
4. 2 + 15. √256 =
4. 2 + {15.4} =
4. 2 + 60 =
4.4 + 60 =
16 + 60 =
= 76
73
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (Cesgranrio-1994) O número de algarismos do produto 5 . 4 é igual a:
a) 17
b) 18
c) 26
d) 34
e) 35
2. (CPCAR-2002-Adaptada) Simplificando , com x > 0 e y > 0 obtemos:
a)
b)
c)
d)
e)
3. (Fuvest-1981) Dos números abaixo, o que está mais próximo de
(5,2) . (10,3)
(9,9)
é:
a) 0,625
b) 6,25
c) 62,5
d) 625
e) 6250
4. (OBM-1998) Qual dos números a seguir é o maior?
a) 3
74
b) 9
c) 27
d) 243
e) 81
5. (UECE-2002) A expressão numérica 5√54 − 3 √16 é igual a:
a) √1458
b) √729
c) 2 √70
d) 2 √38
e) √140
6. Vunesp-1992) O valor da expressão 5 − é:
a) 0,3
b) -0,3
c) -0,2
d) 0,2
e) 0
7. (UFPB-1977) A expressão 2√27 − √75 + 3√12 é igual a:
a) 2√3
b) 4√12
c) 4√27
d) 7√3
e) 7√6
8. (IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:
I. −5 − √16. (−10): √5 = −17;
II. 35: 3 + √81 − 23 + 1 . 2 = 10;
75
III. Efetuando-se 3 + √5 . 3 − √5 , obtém-se um número múltiplo de 2.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Todas são falsas.
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
76
GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
NOÇÕES PRIMITIVAS DA GEOMETRIA
Ponto, reta e plano são as noções primitivas da geometria. Não existe uma
maneira de definir esses objetos, mas, precisamos de cada um deles para
construirmos todas as definições geométricas. O que podemos fazer é discutir as
propriedades e características de cada um deles, e ressaltar sua importância para
a Geometria.
O ponto não possui dimensão nem forma, ou seja, ele é adimensional. É muito
usado para indicar a localização de algum objeto no espaço. Utilizamos letras
maiúsculas para nomear um ponto.
Figura 7: Ponto
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Areta é um conjunto de pontos que não fazem curva. É infinita para duas
direções. Uma vez que esses pontos estão lado a lado, conseguimos medir pedaços
de retas. Esses pedaços de retas são chamados de segmentos de reta. Mas
conseguimos medir apenas o comprimento, a largura não tem como medir. Por esse
motivo, a reta é um elemento unidimensional. Para nomeá-las usamos letra
minúscula.
UNIDADE
77
Figura 8: Reta
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Assim como a reta é formada por vários pontos, o plano é formado por várias
retas alinhadas. Também pode ser visto como um conjunto de pontos. Ele é uma
superfície plana infinita para todas as direções e não faz curva. Nele é possível
desenhar diversas, medir o comprimento e largura de cada uma delas, por isso, o
plano é considerado um objeto bidimensional. Utilizamos letras maiúsculas do
alfabeto grego para nomeá-los.
Figura 9: Plano
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
O conjunto formado por todos os pontos é chamado de espaço. É nele que
desenvolveremos a Geometria Espacial.
Além dessas noções primitivas que não possuem definição, apenas uma ideia
do que seja, existem resultados que não têm demonstração. Esses resultados são
chamados de postulados. É a partir deles que conseguimos demostrar diversos outros
resultados da geometria. São eles:
78
I. Postulado da existência:
a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.
II. Postulado da determinação:
a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
b) Três pontos distintos não colineares determinam um único plano e passa por
eles.
III. Postulado da inclusão
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no
plano.
POSIÇÕES RELATIVAS DA RETA
Quando duas retas estão no mesmo plano pode haver uma certa interação
entre elas, gerando algumas definições e propriedades. São elas:
I. Retas paralelas:
Duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum
(paralelas distintas) ou, quando possuem todos os pontos em comum (paralelas
coincidentes). Uma propriedade interessante das retas paralelas distintas é que a
distância entre elas será sempre a mesma, independentemente do ponto que
escolhemos medir.
79
Figura 10: À esquerda, retas r e s paralelas distintas e, à direita, retas i e f paralelas
coincidentes.
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
II. Retas concorrentes:
Duas retas são concorrentes quando possuem penas um ponto em comum.
Essas retas formam 4 ângulos congruentes dois a dois. Esses ângulos formados são
classificados adjacentes ou opostos pelo vértice. Os ângulos opostos pelo vértice
possuem a mesma medida, enquanto os ângulos adjacentes são classificados em
suplementares. Quando o ângulo formado entre elas mede 90°, essas retas são
chamadas de retas perpendiculares.
Figura 11: À esquerda, retas r e s concorrentes, à direita, retas f e g perpendiculares.
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
III. Retas reversas:
Duas retas são chamadas de retas reversas se não existir nenhum plano que
contenha essas retas. Resumindo, dadas duas retas r e s temos:
80
Figura 12: Resumo das posições relativas das retas
Fonte: Adaptado Dolce e Pompeo (2013)
FIGURAS PLANAS
Uma região plana fechada por, no mínimo, três segmentos de retas, é
chamada de figura plana. Elas são bidimensionais: possuem comprimento e largura.
Todas as figuras planas com mais de três lados são chamadas de polígono.
As formas planas mais conhecidas na geometria são: círculo, quadrado,
triângulo, retângulo, trapézio, hexágono, pentágono, paralelogramo e losango.
Apesar do círculo não ser formado por segmentos de reta, ele também é uma figura
plana.
Figura 13: Figuras planas mais usuais
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Os polígonos cujos lados possuem o mesmo comprimento são chamados de
81
polígonos regulares.
Nomenclatura dos Polígonos
Os polígonos são nomeados de acordo com seu número de lados.
Acompanhe os principais na tabela abaixo:
Tabela 2: Nomenclatura das principais figuras planas de acordo com o número de lados
Número de lados Nomenclatura
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Fonte: Elaborada pela Autora (2021)
O quadrado, retângulo, trapézio, paralelogramo e losango são quadriláteros
especiais. O paralelogramo recebe esse nome devido ao fato de seus lados opostos
serem paralelos e, esses lados opostos possuem a mesma medida. O quadrado,
retângulo e losango são paralelogramos. O retângulo recebe essa nomenclatura
especial pois seus lados não paralelos são perpendiculares. O quadrado é um tipo
de retângulo. Recebe esse nome especial por possuir todos os quatro lados com a
mesma medida. O losango também possui os quatro lados com a mesma medida,
porém, seus lados não são perpendiculares. O trapézio possui apenas um par de
lados opostos paralelos chamados de bases, uma maior e a outra menor, uma vez
que os outros dois lados não são paralelos.
O círculo, também conhecido como disco, é uma figura plana que não possui
lados. É formado pelo raio, que a é a distância entre o centro e a extremidade e o
82
diâmetro, que é o segmento de reta que passa pelo centro e vai de um lado ao
outro.
Figura 14: Círculo com um raio e um diâmetro
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Elementos de um Polígono
Os polígonos possuem 5 elementos principais: vértices, lados, diagonais,
ângulos internos e ângulos externos.
O vértice é a “pontinha” do polígono. Ligando dois vértices consecutivos com
um segmento de reta obtemos um lado. Ligando dois vértices que não são
consecutivos obtemos uma diagonal. Os ângulos formados dentro do polígono são
os ângulos internos, já os ângulos formados fora do polígono são os ângulos externos.
Figura 15: Principais elementos de um polígono
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
83
Perímetro de Figuras Planas
O perímetro de uma figura plana é a soma de todos os seus lados. Já a área
é o tamanho da superfície da figura. O valor do perímetro será sempre dado, por
exemplo, em m, cm, km, entre outros. Já o valor da área será dado em m , cm , km ,
etc.
Vejamos como calcular o perímetro (P) e a área (A) das principais figuras
planas:
Quadro 1: Fórmulas da área e do perímetro das principais figuras planas
Figura
Significado dos
termos da figura
Área Perímetro
Triângulo
b = base
h = altura
L = lado
L’ = lado
A =
b. h
2
P = b + L + L
Quadrado
L = lado
A = L. L = L
P = 4L
Retângulo
b = base
h = altura
A = b. h
P = 2b + 2h
Trapézio
b = base menor
B = base maior
L = lado
L’ = lado
h = altura
A =
(B + b). h
2
P = L + L + B + b
Losango
L = lado
D = diagonal maior
d = diagonal menor
A =
D. d
2
P = 4L
Círculo
r = raio
A = πr
P = 2πr
84
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Observe que a tabela não comtemplou o hexágono, o pentágono e o
paralelogramo. Para calcular a área do hexágono e do pentágono basta dividir sua
região interna em triângulos a partir do centro, calcular a área desses triângulos e
somá-las. Já para a área do paralelogramo o cálculo é o mesmo do retângulo,
basta traçar sua altura e aplicar a fórmula do retângulo. Para o cálculo do perímetro
dessas figuras basta somar todos os seus lados.
Exemplos:Calcule a área e o perímetro do seguinte paralelogramo, cujas medidas são
dadas em centímetros.
Figura 16: Paralelogramo e suas medidas
Fonte: Elaborado pela Autora (2021).
Solução: uma vez que o perímetro é a soma dos lados temos que
P = 8 + 8 + 8 + 8 cm.
A base desse paralelogramo mede 3 + 5 = 8 cm e a altura mede 5 cm. Logo sua
área é
A = 8.5 = 40cm .
Um ciclista costuma dar 10 voltas completas por dia no quarteirão circular
onde mora, cujo raio é de 3 m. Calcule a distância que esse ciclista pedala por dia.
(Use π = 3,14)
Solução: para calcular a distância D que esse ciclista pedala por dia, basta
calcular o perímetro P desse círculo e multiplicar por 10, já que ele pedala 10 voltas
85
por dia, ou seja,
D = P. 10 = (2π. 3). 10 = 188,4m.
Logo esse ciclista pedala por dia 188,4 metros.
FIGURAS ESPACIAIS
As figuras definidas no espaço tridimensional são chamadas de figuras
espaciais. Elas possuem comprimento, largura e altura. Essas figuras aparecem muito
em nosso cotidiano. Por exemplo, uma bola de futebol, uma caixa de sapato, um
chapéu de aniversário, são objetos que assumem a forma de algumas das principais
figuras espaciais.
As figuras espaciais possuem três elementos principais: vértices, arestas e faces.
Figura 17: Elementos de uma figura espacial
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Também chamadas de sólidos geométricos, algumas figuras espaciais se
destacam um pouco mais que outras. São elas: cilindro, cubo, cone, esfera,
paralelepípedo e pirâmide.
O cilindro é formado por duas bases circulares iguais. Essas bases são unidas
através de um retângulo, cujos lados são “encaixados” exatamente no contorno do
círculo.
86
Figura 18: Cilindro
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
O cubo, também chamado de hexaedro regular, possui 6 faces com a mesma
área, ângulos e quantidade de arestas.
Figura 19: Cubo
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
É um sólido geométrico que possui base poligonal e os lados são formados por
polígonos triangulares, unidos num vértice que não pertence ao plano da base.
87
Figura 20: Pirâmide de base triangular, também conhecida como tetraedro.
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
O cone é um sólido bem parecido com a pirâmide. Possui base circular e, por
esse motivo, não possui lados triangulares, assim como a pirâmide.
Figura 21: Cone
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
O paralelepípedo é um sólido geométrico formado por paralelogramos. Suas
faces opostas são paralelas, com ângulos retos.
88
Figura 22: Paralelepípedo
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
A esfera é um sólido geométrico que é limitada por uma superfície esférica. A
superfície da esfera é constituída por um conjunto de pontos que ficam a uma
distância do centro por uma medida chamada raio.
Figura 23: Esfera
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Os poliedros convexos, são sólidos geométricos que possuem faces planas e qualquer
segmento com extremidades dentro do poliedro estará totalmente contido no poliedro.
Nesses poliedros, aplicas-se a relação de Euler, V+F = A + 2, sendo V vértice, F face e A
aresta. Dos sólidos apresentados, quais são os poliedros são convexos?
89
UNIDADES DE MEDIDA
Unidades de comprimento
As unidades de medida de comprimento surgiram com a necessidade do
homem de medir distâncias. Existem diversas unidades de medida de comprimento
como jardas, pés; mas, a utilizada no Sistema Internacional de Medidas (SI) é o metro
(m), seus múltiplos e submúltiplos.
Os múltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm) e o decâmetro
(dam). Já seus submúltiplos são: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Acompanhe os valores de cada um deles na tabela abaixo:
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do metro
Múltiplos Submúltiplos
1 km = 1000 m 1 dm = 0,1 m
1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m
1 dam = 10 m 1 mm = 0,001 m
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Muitas vezes precisamos fazer uma conversão dessas medidas de
comprimento. Para isso, podemos nos basear na seguinte Figura:
Figura 24: Conversão dos múltiplos e submúltiplos do metro
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
90
Exemplos:
1) Transforme 8 cm para metros.
Solução: pela tabela acima, para transformar a unidade centímetros para
metros, basta dividir o número por 10 duas vezes, que é equivalente a dividir por 100:
8 : 100 = 0,08.
Logo, 8 cm = 0,08 m.
2) Transforme 12,4 km para decímetro.
Solução: pela tabela acima, para transformar a unidade quilômetros para
decímetros, basta multiplicar o número por 10 quatro vezes, que é equivalente a
multiplicar por 10000:
12,4 x 10000 = 124000.
Logo, 12,4 km = 124000 dm.
Unidades de Área
Vimos que a área pode ser calculada através do produto entre duas
dimensões do plano. Existem diversas unidades de medida de área, como, por
exemplo, o hectare, mas, a utilizada no Sistema Internacional de Medidas (SI) é o
metro quadrado (m ), seus múltiplos e submúltiplos.
Os múltiplos do metro quadrado são: quilômetro quadrado (km ), hectômetro
quadrado (hm ) e o decâmetro quadrado (dam ). Já seus submúltiplos são:
decímetro quadrado (dm ), centímetro quadrado (cm ) e milímetro quadrado
(mm ). Acompanhe os valores de cada um deles na tabela abaixo:
Tabela 4: Múltiplos e submúltiplos do metro
Múltiplos Submúltiplos
𝟏𝐤𝐦𝟐 = 𝟏𝟎𝟔𝐦𝟐 𝟏𝐝𝐦𝟐 = 𝟏𝟎 𝟐𝐦𝟐
91
𝟏𝐡𝐦𝟐 = 𝟏𝟎𝟒𝐦𝟐 𝟏𝐜𝐦𝟐 = 𝟏𝟎 𝟒𝐦𝟐
𝟏𝐝𝐚𝐦𝟐
= 𝟏𝟎𝟐𝐦𝟐
𝟏𝐦𝐦𝟐 = 𝟏𝟎 𝟔𝐦𝟐
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Muitas vezes precisamos fazer uma conversão dessas medidas de área. Para
isso, podemos nos basear na seguinte Figura:
Figura 25: Conversão dos múltiplos e submúltiplos do metro quadrado.
Fonte: Elaborado pela Autora (2021)
Exemplo:
1) Transforme 12,4 dam para decímetro quadrado e para quilômetro quadrado.
Solução: pela tabela acima, para transformar a unidade decâmetro
quadrado para decímetros quadrados, basta multiplicar o número por 10 duas
vezes, que é equivalente a multiplicar por 10000:
12,4 x 10000 = 124000.
Logo, 12,4 dam = 124000 dm .
Já para transformar de decâmetro quadrado para quilômetro quadrado,
basta dividir o número por 10 duas vezes, ou seja, dividir por 10000:
12,4 : 10000 = 0,00124.
Logo, 12,4 dam = 0,00124 km .
92
FIXANDO O CONTEÚDO
1. (UFSC-2011) Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão
quadrado onde mora, cuja área é de 102400 m . Então, a distância que ele
pedala por dia é de:
a) 19200 m
b) 9600 m
c) 38400 m
d) 10240 m
e) 320 m
2. (Enem-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de
espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça.
A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construi-la em formato
retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza
orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar
a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos
terrenos disponíveis para a construção da praça:
Terreno 1: 55 m por 45 m
Terreno 2: 55 m por 55 m
Terreno 3: 60 m por 30 m
Terreno 4: 70 m por 20 m
Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela
prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
93
3. (PUC RIO-2008) Um festival foi realizado num campo de 240 m por 45 m. Sabendo
que por cada 2 mhavia, em média, 7 pessoas, quantas pessoas havia no festival?
a) 42.007
b) 41.932
c) 37.800
d) 24.045
e) 10.000
4. (Faculdade Santo Agostinho BA/2020) Beatriz quer colocar uma fita decorativa ao
redor do tampo de uma mesa redonda.
Para calcular o perímetro da mesa, ela considerou π = 3,1416. Se o raio da mesa
é 95 cm, então o valor inteiro, aproximado, do perímetro da mesa, em metros, é:
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
e) 60 m.
5. (UNIRG TO/2020) No livro intitulado “Elementos”, do matemático grego Euclides
de Alexandria (300 a.C), há um quadrado de lado a, a partir do qual Euclides
procura encontrar a área de outro quadrado, destacado em cinza, na figura a
seguir.
94
Desse modo, a área do quadrado destacado em cinza na figura é obtida pela
expressão:
a) a = (a − b) + 2ab
b) (a − b) = a + b − 2ab
c) a = (a − b) − 2ab
d) (a + b) = a + b + 2ab
e) (a + b) = a − b + 2ab
6. (UNEMAT/2015) Na figura plana abaixo, ABCD é um paralelogramo; ABDE, um
retângulo de área 24 cm2 e D é um ponto do segmento EC.
Qual é a área da figura ABCE ?
a) 36cm
b) 48cm
c) 52cm
95
d) 44cm
e) 30cm
7. (ENEM-2011) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes
medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros:
(a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
(b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,
a) 0,23 e 0,16.
b) 2,3 e 1,6.
c) 23 e 16.
d) 230 e 160.
e) 2 300 e 1 600.
8. Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno retangular que mede 0,2
km de largura e 0,3 km de comprimento. Quantos metros de arame farpado
devem usar?
a) 500 m
b) 600 m
c) 1000 m
d) 60000 m
e) 7000 m
96
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 01
UNIDADE 02
QUESTÃO 1 C QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 C QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 E QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 B QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 A QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 D QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 D QUESTÃO 8 D
UNIDADE 03
UNIDADE 04
QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 D
QUESTÃO 2 B QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 C QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 D QUESTÃO 4 C
QUESTÃO 5 D QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 B QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 D
UNIDADE 05
UNIDADE 06
QUESTÃO 1 B QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 E QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 E QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 E QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 A QUESTÃO 5 B
QUESTÃO 6 B QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 D QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 A
97
REFERÊNCIAS
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre:
Bookman, 2015.
ARAUJO, L. M. M. et al. Fundamentos de Matemática. Porto Alegre: SAGAH, 2018.
BRAVO, D. P. Matemática aplicada. Curitiba: Contentus, 2020.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar. 5. ed. 6 reimp.
São Paulo: Atual, v. 10, 2013.
KIRILOV, A. Introdução a Teoria de Conjuntos. Universidade Federal do Paraná,
Curitiba, 2016. Disponível em: https://bit.ly/3mnHlOv. Acesso em: 28 fev. 2021.
MACHADO, C. P.; FERRAZ, M. S. A. Fundamentos de Geometria. Porto Alegre: SAGAH,
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- Leia as afirmativas e assinale as opções que as classifica corretamente como 1 - Todo número natural, também é um número racional. 2 - Números raciona
- A função do 2º grau é representada por: f(x)=x+cf(x) = x + cf(x)=x+c. f(x)=a+bxf(x) = a + bxf(x)=a+bx. f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c.
- livro-calculo numerico
- Currículo do Sistema de Currículos Lattes (Rafael Augusto Pinholati Eugênio)
