AAI_Aplicacao derivadas_Exercicios_2021

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
 
 Roteiro ou procedimento para resolver um 
problema de otimização. 
 
 i) Compreendendo o problema: ler algumas vezes até compreender o 
que está sendo pedido, identificando o que deve ser minimizado ou 
maximizado. 
 
ii) Se possível, faça uma ilustração para auxiliar seu raciocínio. 
 
iii) Extrair todos os dados do problema. 
 
iv) Deduzir uma função que descreva matematicamente o que deve ser 
minimizado ou maximizado, identificando as variáveis envolvidas. 
 
v) Identificar o domínio de aplicação da função. 
 
vi) Aplicar as ferramentas do cálculo para minimizar ou maximizara 
função deduzida anteriormente, no domínio da aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 1: Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma 
região retangular junto a um rio para confinar alguns animais. O lado da 
região retangular junto `a margem do rio não é cercado. Quais devem ser as 
medidas, em metros, da região para que a área cercada seja a maior possível? 
Solução: 
Primeiramente, fazemos uma ilustração do que deve ser feito 
Chamaremos de x a largura da região retangular. Como a quantidade de 
arame utilizada deve ser de 80 metros, devemos ter o outro lado do retângulo 
igual a y = 80 - 2x; uma vez que a margem do rio não deve ser cercada. 
O objetivo é ter área máxima, ou seja, devemos maximizar a função que 
representa a área do cercado que é dada por 
A(x) = x(80 - 2x) 
= 80x - 2x2; 0 ≤ x ≤ 40: 
O domínio em questão são os valores da variável x que fazem sentido a 
modelagem do problema. 
Vamos utilizar as técnicas estudadas até aqui para resolver tal problema. 
Primeiramente devemos encontrar os pontos crítico de A 
Como A é derivável, os pontos críticos correspondem aos pontos que resolvem 
A´(x) = 0; no intervalo (0; 40): 
A´(x) = 0 
80 - 4x = 0 
x = 20: 
Para encontrar a área máxima, basta comparar o valor da função A no 
ponto crítico encontrado e nos extremos do intervalo [0; 40]: Assim, 
A(0) = 0 
A(40) = 0 
A(20) = 800: 
Desta forma, a largura do cercado deve ser de 20 m e o comprimento deve 
ser de 40 m: Neste caso, a área obtida ´e máxima e tem valendo 800 m2: 
Problema 2: Um agricultor está em sua casa C situada a 2 metros da margem 
retilínea de um rio. Ele quer encher o seu regador de água em um ponto M na 
margem deste rio e, depois, se dirigir para sua horta H; situada a 4 metros 
da margem do rio. A distancia entre os pés A e B das perpendiculares 
traçadas de C e H sobre a margem do rio é igual a 10 metros. Qual deve 
ser a posição do ponto M; para que o trajeto casa-rio-horta seja o menor 
possível? 
Solução: 
Devemos encontrar a distância de A a M; que chamaremos de x; de tal 
maneira que a soma da distância da casa ao rio com a distância do rio até 
a horta seja mínima. 
A distância da casa ao ponto M é dada por 
e a distância do ponto M até a horta é 
Desta forma, devemos minimizar a função distância d dada por 
d(x) = d1(x) + d2(x) 
Primeiramente, vamos encontrar os pontos críticos da função d no 
intervalo (0; 10): Como a função é derivável em (0; 10); os pontos críticos 
são tais que d´(x) = 0: 
 A derivada de d ´e dada por 
Assim, 
Assim, manipulando esta equação, encontramos 
3x2 + 20x - 100 = 0: 
Logo, 
Assim, 
x = 10/3 ou x = -10 
Devemos descartar x = - 10; pois não faz parte do domínio de aplicação. 
Para encontrar a menor distância, devemos comparar o valor da função d 
em x = 0; x = 10/3 e x = 10: Desta forma, 
Logo, o ponto M deve estar localizado a uma distância x = 10/3 
metros do ponto A: 
Problema 3: Quadrados iguais são cortados dos cantos de uma folha de papelão 
retangular medindo 30 cm de largura e 50 cm de comprimento. As abas 
que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa 
sem tampa. Quanto deve ser a medida x; em cm; dos lados dos quadrados 
retirados, para que o volume da caixa seja o maior possível? 
Solução: 
Vamos fazer uma ilustração do problema 
A modelagem do problema acima é dada pela fórmula 
V (x) = (50 - 2x)(30 - 2x)x 
= 4x3 − 160x2 + 1500x; 
Os extremos do intervalo de definição da função V não fazem sentido 
prático, mas serão considerados para garantir que a função V possua um 
máximo global neste intervalo, uma vez que a função é contínua em [0; 15]: 
Os pontos crítico de V no intervalo aberto (0; 15) são pontos tais que 
V´(x) = 0; uma vez que a função é derivável. Assim, 
V´(x) = 0 
12x2 - 320x + 1500 = 0 
3x2 - 80x + 375 = 0 
Consideraremos somente pois é o único ponto crítico no 
intervalo que estamos interessados em otimizar a função V: Para 
encontrar o maior volume possível, devemos comparar o valor de V 
neste ponto crítico e nos extremos do intervalo. Daí, como 
V (0) = 0; V (15) = 0; e 
o maior volume é atingido quando retiramos, nos cantos, um quadrado de 
lado medindo e o volume máximo será