Estatística Básica

Prévia do material em texto

Estatística Básica 
Regra de 3 
Prof. Charles Bruno 
Proporcionalidade entre Grandezas 
Definimos por grandeza tudo aquilo que pode 
ser contado e medido, como: 
Tempo – Velocidade – Comprimento – Preço 
Idade – Temperatura – Entre outros 
As grandezas são classificadas em: 
• Diretamente proporcionais; e 
• Inversamente proporcionais 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Ocorrem quando a variação de uma grandeza 
provoca a variação da outra numa mesma razão. 
Para cada variação ocorrida em uma das 
grandezas ocorrerá uma variação proporcional 
na outra 
Se uma dobra a outra dobra também 
Se uma é divida em duas partes iguais, a outra 
também é divida à metade proporcionalmente 
Exemplo 1 
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis 
cadernos custará R$ 16,00. Observe que se 
dobramos o número de cadernos também 
dobramos o valor dos cadernos. 
 
Exemplo 2 
Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros 
de combustível. Nas mesmas condições, 
quantos quilômetros o carro percorrerá com 60 
litros? E com 120 litros? 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
Ocorrem quando operações inversas são utilizadas nas 
grandezas envolvidas. 
Assim, se dobramos uma das grandezas a outra será 
dividida por dois 
2 ∗ 𝐺1 ⟹ 
𝐺2
2
 
A velocidade e o tempo de chegada são consideradas 
grandezas inversas: 
• Quando aumentamos a velocidade, o tempo restante 
para chegar ao destino é reduzido 
• Se diminuir a velocidade, o tempo aumenta 
Exemplo 3 
Para encher um reservatório são necessárias 30 
vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas 
vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias? 
 
Utilizaremos 60 vasilhas, 
pois se a capacidade da vasilha 
diminui, o número de vasilhas 
aumenta no intuito de 
encher o tanque. 
Regra de 3 Simples 
Os problemas que envolvem duas grandezas 
diretamente ou inversamente proporcionais 
podem ser resolvidos através de um método 
prático, chamado regra de três simples – uma 
aplicação de uma das regras da proporção 
Método de resolução 
Acompanhe o exemplo: 
Comprei 10 m de corda por R$5. Quanto pagarei 
por 16m? 
O primeiro passo na resolução de problemas de 
proporção é a identificação das grandezas 
envolvidas. Neste caso temos Comprimento e 
Valor: 
 
Comprimento Valor 
10 5 
16 X 
Depois deve-se verificar se as grandezas são 
diretamente ou inversamente proporcionais 
Quando 10m de corda aumenta para 16m o que 
acontece com o valor? Aumenta ou diminui? 
Irá aumentar pois quanto “mais” produto comprar, 
“mais” terei de pagar. 
Neste caso as grandezas são diretamente 
proporcionais e segue-se com a resolução usando a 
propriedade da quarta proporcional: 
10
16
=
5
𝑥
⇒ 𝑥 =
5 ∗ 16
10
⇒ 𝑥 = 8 
Outro exemplo 
Com 10 pedreiros podemos construir um muro 
em 2 dias. Quantos dias levarão 5 pedreiros para 
fazer o mesmo trabalho? 
Identificar as grandezas: Pedreiros e dias 
 
Pedreiros Dias 
10 2 
5 X 
 
 
 
Depois verificamos se as grandezas são direta ou 
inversamente proporcionais: 
Quando o número de pedreiros diminuir de 10 
para 5 o que acontecerá com o números de 
dias? Irá aumentar ou diminuir? 
Neste caso irá aumentar, ou seja, os dias são 
inversamente proporcionais a quantidade de 
pedreiros. 
Enquanto um diminui o outro aumenta 
 
Pedreiros Dias 
10 2 
5 X 
Quando existirem grandezas inversamente 
proporcionais a resolução da regra de 3 requer 
que uma das razões seja invertida. Somente 
assim será possível aplicar a propriedade da 
quarta proporcional: 
 
 
Então procede-se com a resolução: 
10
5
=
𝑥
2
⇒ 𝑥 =
10 ∗ 2
5
⇒ 𝑥 = 4 
 
 
 
 
Pedreiros Dias 
10 X 
5 2 
Exercícios 
1. Um pedestre gasta 2h30min para percorrer 15km. 
Qual será o tempo gasto para percorrer 54km? 
2. Quatro vagões de um trem transportam 720 pessoas. 
Para transportar 1260 pessoas quantos vagões serão 
necessários? 
3. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem 
usadas 3 torneiras quanto tempo levará para encher o 
tanque? 
4. Em uma festa 12 pessoas são servidas utilizando 
copos de 175ml. Se forem usados copos de 150ml 
quantas pessoas poderão ser servidas com o mesmo 
volume de bebida? 
Regra de 3 Composta 
A regra de três composta é utilizada em 
problemas com mais de duas grandezas, direta 
ou inversamente proporcionais. 
As grandezas envolvidas podem estar todas 
proporcionais ou não. Uma análise deve ser feita 
para cada grandeza para que se possa aplicar as 
propriedades da proporção e resolver o 
problema 
Exemplos 
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ 
de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m³? 
Resolução 
Inicialmente todas as grandezas devem ser 
identificadas: Horas, Caminhões e Volume 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 X 125 
Depois cada uma das grandezas apresentadas são 
verificadas: São direta ou inversamente 
proporcionais em relação à grandeza que possui o 
X? Considerar todas as demais grandezas 
constantes em cada análise 
Quando o Tempo diminuir de 8 para 5 o nº de 
caminhões necessários aumenta ou diminui? 
Aumentam, pois em menos tempo serão necessário 
mais caminhões para descarregar . Nesse caso o 
Tempo é inversamente proporcional ao nº de 
caminhões 
 
Tempo Caminhões Volume 
8 20 160 
5 X 125 
A próxima grandeza: Quando o Volume diminui 
de 160 para 125 o que acontece com o nº de 
caminhões? 
Diminui, pois menos Volume requer menos 
caminhões. São grandezas diretamente 
proporcionais. 
Remontamos a tabela de grandezas invertendo 
as razões das grandezas inversamente 
proporcionais: 
 
 
Tempo Caminhões Volume 
8 20 160 
5 X 125 
Tempo Caminhões Volume 
5 20 160 
8 X 125 
A regra de 3 composta se torna uma regra de 3 
simples: 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑒
𝑓
⇒ 
𝑎
𝑏
=
𝑐∗𝑒
𝑑∗𝑓
 
20
𝑥
=
5
8
=
160
125
⇒ 
20
𝑥
=
5∗160
8∗125
⇒ 𝑥 =
20000
800
 
𝑥 = 25 Caminões 
Tempo Caminhões Volume 
5 20 160 
8 X 125 
Exercícios 
1. Numa fábrica de brinquedos 8 funcionários montam 
20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão 
montados por 4 funcionários em 16 dias? 
2. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro 
com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e 
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo 
necessário para completar esse muro? 
3. Quatro costureiras fazem 50 vestidos em 3 dias 
trabalhando 8 horas por dia. Para serem feitos 120 
vestidos com 5 costureiras trabalhando 6 horas por 
dia quantos dias serão necessários?