Análise Matemática I (3 edição)

Alice Madime
em 27/03/2022
Material
Prévia do material em texto
Matemática I
Para Ciências Exactas e Económicas
Teória e Prática
Autores:
Adelino Bucuane;
Betuel Canhanga;
Teresa Mondlane;
Clarinda Nhamgumbe;
Maputo, Janeiro de 2015
versao 1.01
2
Prefácio
Agradecemos a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra. Ao escrevê-la
inspiramo-nos nos prinćıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar é lem-
brar aos outros que eles sabem tanto quanto você!...”e procuramos de modo detalhado mostrar
momentos importantes para a construção de valores e saberes Matemáticos.
Se dedicarmo-nos a lembrar ao estudante ou leitor que ele sabe, então estaremos a incitar a orga-
nização e construção de seu proprio conhecimento buscando dessa forma a base do estudante na
centralização do processo de ensino. Esta abordagem tem sido previlegiada nos ultimos tempos, razão
pela qual preparamos esta obra dando prioridade a actividade individual e colectiva dos estudantes
destacando o Professor como alguem que disperta nos estudantes a direcção e os caminhos a seguir
para a sua aprendisagem.
Dividida em quatro caṕıtulos, o primeiro faz uma revisão de componentes necessárias para o acom-
panhamento do manual. O segundo caṕıtulo fala sobre sucessões numéricas, limites de sucessões
numéricas, funções reais de uma variável real, limites e continuidade. O segundo caṕıtulo estuda
o conceito de derivada de funções e suas aplicações em estudos Matemáticos e áreas afins; o ter-
ceiro aborda a integração segundo Rieman, suas propriedades e aplicações. Ao longo do manual
desenvolvem-se temas e da-se primor a construção dos saberes orientados a aplicações imediatas em
ciências e economia, garantindo também a criação de bases para o prosseguimento de estudos em Ma-
temática II e em outras disciplinas que buscam na Matemática a fonte para a persepção e resolução
de seus problemas.
Apresentamos exemplos com diferentes aplicações aos temas aqui abordados, dando-se primasia a
capacidade do estudante encontrar problemas práticos que apliquem os conceitos estudados. No fim
de cada caṕıtulo, poderá encontrar uma colecção de exerćıcios que obrigatoriamente deverá resolver
antes de prosseguir com a sua leitura.
Consideramos esta obra ainda não acabada, a sua terceira versão será publicada em inicios de 2016,
por isso, esperamos receber de Si observações, comentários e cŕıticas que naturalmente servirão para
enriquecer este produto. Dispomos do email canhanga@uem.mz para cŕıticas, cŕıticas e cŕıticas. Cri-
tique por favor, sabemos que só assim iremos um dia atingir melhores patamares. Sua cŕıtica vai
ajudar-nos a melhorar.
Com desejos de que a leitura desta brochura seja fascinante, a nossa espectativa é de despertar em Si,
3
mais do que o saber, a preciosa vontade de aprender hoje, aprender para sempre, e aprender sempre.
Bem Haja.
Betuel de Jesus Varela Canhanga
(Licenciado em Informática e Mestre em Matemática Aplicada)
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Conteúdo
1 Preliminares 9
1.1 Aula 1 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Formas de definição de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Relacções de Pertença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Cardinal de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.7 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.8 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.9 Conjunto Universo ou Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.10 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.11 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.12 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.13 Operações Sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.14 Razões e Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.15 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Aula 2 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Aula 3 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1 Algebra e expressões algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.2 Expressões numéricas e valor numérico de uma expressão . . . . . . . . . . . . 34
1.3.3 Domı́nio de Expressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4 Valores Numéricos de uma Expressão Literal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.5 Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.6 Monómios Semelhantes e Monómios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.7 Operações sobre Monómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.8 Polinómios Semelhantes e Polinómios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4
5
1.3.9 Factorização de Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.10 Polinómios Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.11 Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.12 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.13 Potênciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.14 Operações com Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.15 Multiplicação de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . 48
1.3.16 Divisão de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . . . . 48
1.3.17 Multiplicação de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . 48
1.3.18 Divisão de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . . . . 48
1.3.19 Potência de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.20 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.21 Raiz de Índice n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.22 Multiplicação e Divisão de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.23 Simplificação de Radicais (Redução ao mesmo ı́ndice) . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.24 Comparação de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.25 Adição e Subtração de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.26 Potência de uma raiz e Raiz de uma Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.4 Aula 4 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.5 Aula 5 - teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.5.1 Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.5.2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.5.3 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.4 Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.5 Sistemas de Equações e Inequações Lineares . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 62
1.5.6 Funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.7 Estudo Completo de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5.8 Equações Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.9 Exerćıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.10 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.11 Funções e Equações Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.12 Composição de funções por funções radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.13 Equações e Inequaões Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6 Aula 6 - prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.7 Aula 7 - teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6
1.7.1 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.7.2 Resolução de Equações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.7.3 Inequação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.7.4 Função exponêncial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.7.5 Representação Gráfica de uma Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.7.6 Cálculo Logaŕıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.7.7 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.7.8 Equação Logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.7.9 Inequação Logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.7.10 Função Logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.7.11 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.7.12 Função e Equação Homográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.7.13 Equações e Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.7.14 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.7.15 Gráfico da Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.7.16 Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.7.17 Inequações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.8 Aula 8 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2 Limites de Sucessões e funções 119
2.1 Aula 9 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.1.1 Monotonia de uma Sucessão Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.1.2 Limite de SucessõesNuméricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.1.3 Regras de Cálculo de Limites de Sucessões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1.4 Alguns tipos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.5 O Número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.1.6 Alguns Exerćıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.2 Aula 10 - prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Aula 11 - teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.1 Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.2 Alguns Exerćıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4 Aula 12 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5 Aula 13 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.1 Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.2 Cálculo de Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7
2.5.3 Indeterminação do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5.5 Limites Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.5.6 Alguns Exerćıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.6 Aula 14 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.7 Aula 15 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.7.1 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.7.2 Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7.3 Classificação dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.8 Aula 16 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Derivadas e aplicações 141
3.1 Aula 17 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.1 Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.2 Derivação por Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.3 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.4 Tabelas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2 Aula 18 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.3 Aula 19 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.1 Derivada logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.2 Regra de Cadeia ou Regra de Derivada de Função Composta . . . . . . . . . . 153
3.3.3 Derivada de função dada na forma impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.4 Derivada da função paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.4 Aula 20 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.5 Aula 21 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.1 Interpretação geométrica e mecânica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.2 Diferencial da função de uma variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.3 Derivadas e diferenciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5.4 Polinómio de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.6 Aula 22 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.7 Aula 23 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7.1 Estudo da Primeira Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7.2 Estudo da Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.7.3 Máximos e mı́nimos de funções. Estudo completo de função . . . . . . . . . . . 162
3.8 Aula 24 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8
4 Cálculo Integral 173
4.1 Aula 25 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.1 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.2 Cálculo de áreas usando limites de soma de áreas particionadas . . . . . . . . . 174
4.2 Aula 26 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.3 Aula 27 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.1 Integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.2 Somas inferiores e superiores de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3.3 Propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.4 Aula 28 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5 Aula 29 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.5.1 Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.5.2 Propriedades de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.5.3 Tabela de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.5.4 Método de substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.5.5 Resolução : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.5.6 Algumas identidades trigonométricas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.5.7 Integrais de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.5.8 Substituições trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.5.9 Integração de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.5.10 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.6 Aula 30 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.7 Aula 31 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.1 Integral impróprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.2 Integral impróprio do primeiro tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.7.3 Critério de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.7.4 Integral impróprio do segundo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.7.5 Critério de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7.6 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7.7 Comprimento do arco duma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.7.8 Área de superf́ıcie de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.7.9 Volume do sólido de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.8 Aula 32 - Pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Caṕıtulo 1
Preliminares
1.1 Aula 1 - Teórica
1.1.1 Conjuntos
A teoria de conjuntos é uma parte da Matemática que é aplicada em muitos campos da ciência tais
como: estat́ıstica, engenharia, economia. Debrussar-nos-emos sobre linhagens básicas da teoria de
conjuntos. Os estudantes, deverão com muito cuidado ler a componente teórica e resolver paulatina e
atenciosamente os exerćıcios aqui sugeridos.
Definção 1.1. Conjuntos- Conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática.
Um conjunto é uma lista, uma colecção, um agrupamento ou uma classe de objectos com caracteŕısticas
idênticas. Os objectos em um conjunto, como mostram os exemplos que se seguem, podem ser qualquer
coisa como: pessoas, rios, lagos, nome de prov́ıncias, etc. Estes objectos que fazem parte do conjunto
são chamados elementos do conjunto.
Exemplo 1.1. Consideremos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos:
1) Os números 1, 3, 7, 10 podem ser vistos como elementos de um conjunto;
2) As soluções da equação x3 + 3x− 1 = 0 são elementos de um conjunto;
3) As vogais do alfabeto português são elementos de um conjunto;
4) Os estudantes que faltam às aulas, são elementos de um conjunto;
5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zambézia e Cabo Delgado são elementos de um conjunto.
1.1.2 Notações
Os Conjuntos são geralmente representados por letras maiúsculas.
9
10 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 1.2.
A = {2, 4, 6, 8, ...} B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} C = {maputo, pemba, xai− xai, lichinga}
Os Elementos de um conjunto são geralmente representados por letras minúsculas.
Exemplo 1.3.
A = {a,e,i,o,u}
Observação 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos do conjunto aparecem separados pelo
sinal da v́ırgula.
Os elementos de um conjunto aparecem entre chavetas ”{}”. Designa-se a esta forma de representar
conjuntos Forma tabular ou Representação por extensão.
Se se definir um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem
seus elementos, como por exemplo: considerando-se o conjunto B como sendo o conjunto de numéros
ı́mpares, usa-se uma letra qualquer. Por questão de uniformidade usa-se a letra x para representar
um elemento qualquer e o śımbolo (:) que significa - tal que, e escreve-se:
B = {x : x = 2k − 1, k ∈ N}
Lê-se:
B é um conjunto de números x tal que esses números são ı́mpares. Designa-se a esta meneira
de construir ou representar um conjunto Representação por compreensão.
1.1.3 Formas de definição de um conjunto
Diz-se que um conjunto está bem definido, quando claramente se identificam os seus elementos. Exis-
tem 3 formas de definição de um conjunto:
• Extensão;
• Compreensão;
• Diagrama de Venn.
Definção 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extensão quando é ”extendido”,
lista-se todos os seus elementos.
Exemplo 1.4. O conjunto A está representado por extensão:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 11
Definção 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreensão quando se ”compre-
ende”,com base em uma regra, quais são os constituentes do mesmo.
Exemplo 1.5. O conjunto A está representado por extensão:
A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10}
Definção 1.4. Um conjunto diz-se definido ou representado por diagrama de Venn
1.1.4 Relacções de Pertença
• Quando um elemento ”a”não faz parte de um determinado conjunto A , diz-se que a não
pertence a A ( escreve se a 6∈ A);
• Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A , diz-se que a pertence a A
( escreve-se a ∈ A).
Exemplo 1.6. Seja A = {a, b, c, d, e, f} , Diz-se que A é um conjunto e ”a, b, c, d, e, f ”são elementos
do conjunto A , assim:
1) a ∈ A
2) e ∈ A
3) m 6∈ A
4) p 6∈ A
1.1.5 Cardinal de um conjunto
É o número de elementos que o conjunto tem (]).
Exemplo 1.7. Seja V = {a, e, i, o, u}então ]V = 5.
1.1.6 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos
Definção 1.5. Um conjunto diz-se Finito quando se poder identificar o número de elementos que
dele fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal.
Exemplo 1.8. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto formado por capitais provinciais de Moçambique;
2) O conjunto formado pelos estudantes de uma turma;
3) O conjunto de números naturais menores que 1000000.
12 Matemática I - Da teoria à Prática
Definção 1.6. Um conjunto diz-se Infinito quando não se pode identificar o número de elementos
que dele fazem parte. Em outras palavras, se não tiver Cardinal.
Exemplo 1.9. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto formado por números entre 1 e 3;
2) O conjunto de números naturais maiores que 1000000.
1.1.7 Igualdade de Conjuntos
Definção 1.7. O conjunto A diz-se igual ao conjunto B se eles tiverem mesmos elementos, isto é, se
todos elementos de B pertencerem a A e se todos elementos de A pertencerem a B.
Exemplo 1.10. Considere seguintes exemplos:
1) A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 1, 4} são conjuntos iguais;
2) O conjunto formado por pessoas de sexo feminino é igual ao conjunto formado por mulheres;
3) A = {x : x2 + 4x+ 4 = 0}, B = {x : x+ 2 = 0}, e C= {−2} são conjuntos iguais.
1.1.8 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio
Definção 1.8. Diz-se que um conjunto é nulo ou vazio (denota-se {} ou ∅) quando não contém
elementos. Isto é, o seu cardinal é igual a zero.
Exemplo 1.11. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terra;
2) O conjunto formado pelas soluções da equação x2 + 1 = 0.
1.1.9 Conjunto Universo ou Universal
Definção 1.9. Em qualquer aplicação da teoria de conjuntos, todos os conjuntos aprendidos estarão
no momento de estudo particularizado de um outro conjunto mais amplo e expresso, por exemplo,
quando se fala de números naturais, vê-se que eles fazem parte de um outro conjunto, que é o conjunto
de números. Quando se fala de estudantes de uma sala, vê-se que eles fazem parte do conjunto de
estudantes dessa escola, portanto há sempre uma tendência de particularizar um pequeno conjunto
de um outro conjunto mais amplo com o intuito de concentrar atenções sobre a matéria em estudo.
Diz-se que um conjunto é Universo ou Universal ( denota-se U ) se ele contém todos subconjuntos
de um determinado caso em estudo.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 13
Exemplo 1.12. Considere os seguintes exemplos:
1) Em geometria plana o conjunto Universal é o conjunto de todos os pontos do espaço;
2) O conjunto Universal do conjunto de estudantes de uma turma é o conjunto de todos estudantes
dessa escola.
1.1.10 Subconjuntos
Definção 1.10. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno
na ĺıngua portuguesa é relativo, ”pequeno em relacção a alguma coisa”. Diz-se que o conjunto A é
subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencerem a B , isto é, também são elementos
de B.
Exemplo 1.13. Considere os seguintes exemplos:
1) Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , o conjunto A é subconjunto do conjunto B ,isto
é, A ⊂ B ;
2) O conjunto de capitais provinciais do Sul de Moçambique é um subconjunto de capitais provin-
ciais de Moçambique;
3) São conhecidos os conjuntos:
(a) N-Conjunto de números naturais;
(b) Z-Conjunto de números inteiros;
(c) Q-Conjunto de números racionais;
(d) R-Conjunto de números reais.
Então pode-se ver que o conjunto de números naturais é subconjunto de Z e dáı segue-se a
seguinte cadeia:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Costuma-se dizer que o conjunto A é superconjunto de B . Esta afirmação equivale a dizer que o
conjunto B é subconjunto de A e isto é lógico, se B é subconjunto de A , então A é superconjunto
de B . A ser assim temos para a firmação A ⊂ B os seguintes comentários:
1) O conjunto A é subconjunto de B ;
2) O conjunto A está contido em B ;
3) O conjunto B é superconjunto de A ;
14 Matemática I - Da teoria à Prática
4) O conjunto B é contém A .
Para a afirmação A 6⊂ B , pode-se fazer os seguintes comentários:
1) O conjunto A não é subconjunto de B ;
2) O conjunto A não está contido em B ;
3) Existe em A pelo menos um elemento que não faz parte de B ;
4) O conjunto B não contém A .
Observação 1.2. Atenção:
• Sem limitação da sua essência e para todos efeitos, o conjunto vazio ”{}” é subconjunto de
qualquer conjunto;
• Se o conjunto A = B então A ⊂ B e B ⊂ A .
1.1.11 Conjunto de conjunto
Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, são também conjuntos. O conjunto formado
por todos subconjuntos de um determinado conjunto é um conjunto de conjuntos ou ainda famı́lia
de conjuntos.
Exemplo 1.14. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} é um conjunto de conjuntos.
1.1.12 Simbologia
Os śımbolos mais usados na teoria de conjuntos estão representados a seguir:
• ∈ (pertence), ex: a ∈ B
• 6∈ (não pertence), ex: m 6∈ B
• = (igual), ex: A = B
• 6= (diferente), ex: A 6= B
• ⊂ (contido), ex: A ⊂ B
• 6⊂ (não contido), ex: A 6⊂ B
• ⊃ (contém), ex: A ⊃ B
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 15
• 6⊃ (não contém), ex: A 6⊃ B
• {} (vazio)
• ] (cardinal), ex: ]1, 4 = 2
1.1.13 Operações Sobre Conjuntos
1) Reunião - Chama-se reunião de dois ou mais conjuntos, a operação que une elementos de dois
ou de mais conjuntos. E denota-se por ∪ .
Exemplo 1.15. Sejam dados os seguintes conjuntos: A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 2, 7, 8}; repre-
sentados por diagrama de Venn nas figuras (1.1) e (1.2) respectivamente, a reunião de A e B
é um outro conjunto que se pode designar por C e denota-se:
C = A ∪B = {1, 2, 4, 5, 7, 8};
o conjunto C está representado por diagrama de Venn na figura (1.3)
A
1
2
4
5
Figura 1.1:
2) Intersecção - Chama-se intersecção de dois ou mais conjuntos, a operação que intersecta ele-
mentos de dois ou de mais conjuntos. E denota-se ∩ .
Exemplo 1.16. Sejam dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 4, 5}; B = {1, 2, 7, 8};
16 Matemática I - Da teoria à Prática
B
1
2
7
8
Figura 1.2:
A ∪B
1
2
4
5
1
2
7
8
Figura 1.3:
A intersecção de A e B é um outro conjunto que se pode designar por C e teremos:
C = A ∩B = {1, 2}.
Veja que participam na intersecção os elementos que em simultâneo pertencem a A e B . Veja
na figura (1.6), os elementos que fazem parte do conjunto intersecção, são 1 e 2.
3) Diferença - Chama-se Diferença de dois ou mais conjuntos, a operação que diferencia dois ou
mais conjuntos, e denota-se ”\”.
Exemplo 1.17. Sejam dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 4, 5}; B = {1, 2, 7, 8};
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 17
A
1
2
4
5
Figura 1.4:
B
1
2
7
8
Figura 1.5:
A Diferença de A e B é um outro conjunto que se pode designar por C e teremos: C = A\B =
{4, 5}; vide figura (1.7) Veja que participam na diferença de A e B os elementos que fazem
parte de A e que não fazem parte de B, como mostramos na figura (1.8).
4) Diferença Simétrica
Exemplo 1.18. Sejam dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 4, 5}; B = {1, 2, 7, 8}.
A diferença simétrica de A e B é o conjunto:
E = C ∪D = {4, 5, 7, 8}
18 Matemática I - Da teoria à Prática
A ∩B
1
2
Figura 1.6:
B \A
7
8
Figura 1.7:
Onde C é o conjunto dado no Exemplo 1.16. e denota-se: E = A M B, veja a figura (1.9)
1.1.14 Razões e Proporções
De certeza que o estudante já em algum momento ouviu falar de Razão, uma expressão que como
tantas pertencentes a ĺıngua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar, em Matemática, de
razão entre dois números a e b é falar do quociente
a
b
, b 6= 0
ou ainda, é o mesmo que falar da divisão de a por b , isto é:
a÷ b, b 6= 0.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 19
A \B
5
4
Figura 1.8:
B M A
7
8
5
4
Figura 1.9:
Exemplo 1.19. Numa sala de aulas estão presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a razão
entre o número de rapazes e raparigas.
R: A razão entre o número de rapazes e o número de raparigas é:
no rapazes
no raparigas
=
20
25
=
4
5
ou
4÷ 5
Isto é, 4 rapazes para 5 raparigas!!!
Definção 1.11. Quando se fala de razão entre dois números a e b , isto é
a
b
, o dividendo (a) designa-se
antecedente e o divisor (b) designa-se consequente.
20 Matemática I - Da teoria à Prática
Definção 1.12. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros, utilizam o conceito razão para
relaccionar distâncias reais e distâncias mapeadas que para distinguir introduzem no lugar de razão o
conceito de escala e denota-se:
Escala =
medida do desenho
medida real
Exemplo 1.20. No Mapa de Moçambique a distância entre Lichinga e Quelimane é de 50cm , sabendo
que o mapa foi desenhado com uma escala de
1
5000
. Determine a distância real em km de Quelimane
à Lichinga.
Exemplo 1.21. Qual é a razão entre as áreas de duas circunferências se a razão entre seus raios for
igual a
1
2
?
Resolução.
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 1.10:
As duas circunferências acima são somente um exemplo de váriascircunferências que tem a relacção
de seus raios 1:2.
Designar-se-á r1, S1 raio e superf́ıcie respectivamente da primeira ćırcunferência e r2, S2 raio e
superf́ıcie respectivamente da segunda ćırcunferência, pelo problema colocado temos:
r1
r2
=
1
2
.
Como neste exerćıcio deve-se determinar a razão de proporção entre as áreas das duas ćırcunferência,
teremos:
S1
S2
=
π × r21
π × r22
=
(
r1
r2
)2
=
(
1
2
)2
=
1
4
1.1.15 Percentagens
Definção 1.13. Chama-se Percentagem a razão com consequente 100.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 21
cos
sen
−2 2
2
−2
Figura 1.11:
Exemplo 1.22. Considere os exemplos seguintes:
X
30
100
= 30%
X
4
3
= 1, 333 =
133, 3
100
= 133, 3%
1.2 Aula 2 - Prática
Os exerćıcios 1, 3, 7, 9, 11, 42, 43, 45 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 2, 15, 20, 21, 47, 48, 55, 56 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Seja dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} , quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
(a) 1 ∈ A .
(b) 1,2,3 pertencem a A .
(c) {1, 2, 3} ∈ A .
(d) 1 ⊂ A .
(e) 1 ∈ A .
2) Sejam dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 7, 8} ; quais das seguintes afirmações são
verdadeiras?
(a) 1 ⊂ A .
(b) 1, 2, 3 pertencem a A e a B .
22 Matemática I - Da teoria à Prática
(c) A ∈ B .
(d) {A} ⊂ B .
(e) A ⊂ B .
(f) B ⊃ A .
3) Considere os conjuntos A e B do exerćıcio anterior e determine:
(a) A ∪B .
(b) A ∩B .
(c) Seja C={1,2,3,4,5,6,7,8}, determine A \B .
(d) Determine C \A \B .
(e) Determine C \ (B \ C).
(f) Determine (B \A) \ C .
4) Determine A ∩B ∪ C .
5) Determine (A ∩B) ∪ C .
6) Determine A ∪ (B ∩ C).
7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matemática, 30 estudantes estudanm f́ısica. 10 estudam
matemática e f́ısica. Responda as seguintes questões:
(a) Quantos são os estudantes que frequentam somente matemática?
(b) Quantos são os estudantes que frequentam somente f́ısica?
(c) Quantos são os estudantes que frequentam matemática ou? f́ısica?
(d) Quantos estudantes tem a turma?
8) Em um grupo musical há pessoas de raça negra e individuos de raça branca. Depois de feitas
as contas verifica-se que há 15 brancos puros e 5 mistiços (brancos negros), o grupo é composto
por 40 músicos. Responda as questões que se seguem:
(a) Faça o diagrama de Venn que ilustre esta descrição.
(b) Quantos são os negros puros?
(c) Quantos são os negros ou brancos?
9) Em uma avaliação que se considera positiva as notas maiores que 10 e menores ou igual a 20,
considera-se negativa as notas menores que 10, não se considera negativa nem posetiva a nota
10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descrição: 30 estudantes tem posetivas e
40 tem negativas, a turma é composta por 80 estudantes.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 23
(a) Faça o diagrama de venn que ilustra a descrição.
(b) Quantos estudantes tiveram nota igual a 10?
10) Numa loja de vestuarios 400 peças tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca.
Na loja há 1000 peças, 20 peças tem cor branca e azul, 30 amarela e branca.
(a) Faça o diagrama de Venn que ilustre a descrição acima.
(b) Quantas peças tem cores amarela, azul e branca?
(c) Quantas peças tem a cor azul e amarela?
(d) Quantas peças não tem cores amarela, azul e branca?
(e) Quantas peças não tem cores amarela, azul ou branca?
11) Durante o capeonato escolar passado o centro internato de Mocuba acolheu várias equipas de
diferentes modalidades desportivas (Voleibol, Andebol e Futebol). Da recepção sabe-se que:
No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaram
voleibol, andebol e futebol, 10 jogaram voleibol e andebol. Sabe-se também que 50 jogaram
somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as questões que se seguem.
(a) Quantos são os desportistas que jogaram futebol e andebol?
(b) Quantos são os desportistas que jogaram futebol e voleibol?
(c) Quantos são os desportistas que jogaram somente voleibol?
(d) Quantos são os desportistas que jogaram somente uma modalidade?
(e) Quantos são os desportistas que jogaram duas modalidades?
12) Sendo A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 6; 8} e C = {4; 5}, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(a) 1 ∈ A ( )
(b) 1 ∈ B ( )
(c) 1 ∈ C ( )
(d) 4 ∈ A ( )
(e) 4 ∈ B ( )
(f) 4 ∈ C ( )
(g) 7 ∈ A ( )
(h) 7 ∈ B ( )
(i) 7 ∈ C ( )
24 Matemática I - Da teoria à Prática
(j) 1 ∈ A ou 1 ∈ B ( )
(k) 1 ∈ A e 1 ∈ B ( )
(l) 4 ∈ A ou 4 ∈ B ( )
(m) 4 ∈ A e 4 ∈ B ( )
(n) 7 ∈ A ou 7 ∈ B ( )
(o) 7 ∈ A e 7 ∈ B ( )
(p) Todo elemento de A pertence a C. ( )
(q) Todo elemento de C pertence a A. ( )
13) Represente, por enumeração, os seguintes conjuntos:
(a) A = {x : x é mês do nosso calendário}
(b) B = {x : x é mês do nosso calendário que não possui a letra r}
(c) C = {x : x é a letra da palavra amor}
(d) D = {x : x é par compreendido entre 1 e 11}
(e) E = {x : x2 = 100}
14) Sendo A = 2; 4; 6; 8, B = 1; 3; 5; 7 e C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, assinale V ou F:
(a) 1 ∈ A ( )
(b) 1 ∈ B ( )
(c) 1 ∈ C ( )
(d) 2 ∈ A ( )
(e) 2 ∈ B ( )
(f) 2 ∈ C ( )
(g) 3 /∈ A ( )
(h) 3 /∈ B ( )
(i) 3 /∈ C ( )
(j) 9 ∈ A ( )
(k) 9 ∈ B ( )
(l) 9 /∈ C ( )
(m) 1 ∈ A ou 1 ∈ B ( )
(n) 1 ∈ A e 1 ∈ B ( )
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 25
(o) 9 ∈ A ou 9 ∈ B ( )
(p) 9 ∈ A e 9 ∈ B ( )
(q) 9 /∈ A e 9 /∈ B ( )
(r) 1 ∈ A e 1 /∈ B ( )
(s) 1 /∈ A e 1 ∈ B ( )
(t) Todo elemento de A pertence a B. ( )
(u) Todo elemento de B pertence a A. ( )
(v) Todo elemento de A pertence a C. ( )
(w) Todo elemento de C pertence a B. ( )
15) Represente, por enumeração, os seguintes conjuntos:
(a) A = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra a}
(b) B = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra b}
(c) C = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra C }
(d) D = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra x}
(e) E = {x : x é letra da palavra partido}
(f) F = {x : x é ı́mpar compreendido entre 10 e 20}
(g) G = {x : x é inteiro compreendido entre 2,3 e 11,8}
(h) H = {x : x2 = 25}
(i) I = {x : x2 = 0}
(j) J = {x : x3 = 8}
(k) L = {x : x30 = −8}
(l) M = {x : x2 = −25}
16) Represente, por uma de suas propriedades caracteŕısticas, os conjuntos:
(a) A = {Janeiro; Junho; Julho}
(b) B = {Março; Maio}
(c) C = {P; e; r; n; a; m; b; u; c; o}
(d) D = {P; p; e; r; n; n; n; a; m; b; b; u; u; c; c; o; o; o; o}
(e) E = {P; e; r; n; a; m; b; u; o; c}
(f) F = {8; 10; 12}
26 Matemática I - Da teoria à Prática
(g) G = {101; 103; 105, ...}
(h) H = {7;−7}
17) Determine o número de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que são unitários e os
que são vazios:
(a) A = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra o}
(b) B = {x : x é mês do nosso calendário que comeca com a letrao}
(c) C = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra i}
(d) D = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letrad}
(e) E = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra p}
(f) F = {x : x é mês do nosso calendário que termina com a letra a}
(g) G = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra g}
(h) H = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra h}
18) Determine o número de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que são unitários e os
que são vazios:
(a) A = {x : x é par compreendido entre 7 e 19}
(b) B = {x : x é ı́mpar compreendido entre 80 e 82}
(c) C = {x : x é inteiro compreendido entre 11, 7 e 18, 4}
(d) D = {x : x e inteiro compreendido entre 3, 4 e 3, 7}
19) Determine o número de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que são unitários e os
que são vazios:
(a) A = {x : x2 = 121}
(b) B = {x : x2 = 0}
(c)C = {x : x3 = 1}
(d) D = {x : x3 = −1}
(e) E = {x : x2 = −1}
20) Determine o número de elementos do conjunto C = {3; 6; 9; 12; ..., 99}
21) Determine o número de elementos do conjunto C de frações:
C =
{
1
2
;
1
3
;
1
4
;
2
4
;
2
3
;
3
4
;
3
5
;
3
6
}
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 27
22) Determine o número de elementos do conjunto C seguinte:
C =
{
2;
4
2
;
√
4;
8
4
;
3
√
8;
1000
500
}
23) Dados os conjuntos A e B , determine x para que A = B , nos seguintes casos:
(a) {1; 2; 3; 4} = {1; 2;x; 4}
(b) {1; 2; 3; 4} = {1; 2; 3;x}
(c) {x; 2; 3; 4} = {x; 1; 2; 3}
24) Complete com = ou 6=:
(a) {3; 7; 8; 9} {3; 7; 8; 9}
(b) {3; 7; 8; 9} {7; 3; 9; 8}
(c) {3; 7; 8; 9} {3; 3; 3; 7; 8; 8; 9}
(d) {3; 7; 8; 9} {3; 8; 9}
(e) {3; 7; 8} {3; 7; 9}
(f) {x : x2 = 1} {1}
(g) {x : x2 = 1} {−1}
(h) {x : x2 = 1} {−1; 1}
(i) {x : x3 = 1} {1}
(j) {x : x3 = 1} {−1}
(k) {x : x3 = 1} {1;−1}
(l) {x : x é inteiro, positivo e diviśıvel por 2} {x : x é par e positivo}
(m) {x : x é inteiro, positivo e diviśıvel por 3} {x : x é ı́mpar e positivo}
(n) { } ø
(o) {x : x2 = −1} {x : xé mulher e tem pomo-de-adao}
25) Dados os conjuntos A e B , determine x para que A = B , no seguintes casos:
(a) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3;x; 7; 9}
(b) {1; 3; 5; 7; 9} {x; 5; 1; 7; 3}
(c) {1; 3; 5; 7; 9} {3; 5; 3; 7; 9; 9; 5;x; 3; 7; 7;x; 7}
(d) {1; 3;x; 7; 9} {1; 5;x; 9; 3}
(e) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3; 5;x}
28 Matemática I - Da teoria à Prática
(f) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3; 7;x;x}
(g) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3; 5; 7; 9;x}
26) Complete com ⊂ ou 6⊂ :
(a) {a; b; c} {a; b; c; d; e}
(b) {a; b; c} {a; b; d}
(c) {a; b; c; d} {a; b; c}
(d) {a; b; c} {a; b; c}
(e) ø {a; b; c}
(f) {a; b} ø
27) Complete com ⊂ ou ⊃ :
(a) {2; 4; 6} {2; 4; 6; 8}
(b) {1; 3; 5; 7; 9} {1}
(c) {1; 2; 3; 4} {1; 2; 3; 4}
(d) ø {1; 2; 3}
(e) {3; 5} ø
28) Observe as seguintes definições:
• Triângulo é todo poĺıgono de três lados; vamos chamar de T o conjunto dos triângulos.
• Triângulo isósceles que possui pelo menos dois lados congruentes, ou seja, de mesma
medida; vamos chamar de I o conjunto dos triângulos isósceles.
• Triângulo equilátero é todo triângulo que possui os três ldos congruentes; vamos chamar
de E o conjunto dos triângulos equiláteros.
• Triângulo rectângulo é todo triângulo recto, ou seja. de medida igual a 90; vamos chamar
de R o conjunto dos triângulos rectângulos.
Complete então com ⊂ ou 6⊂ :
(a) T R
(b) E I
(c) R I
(d) I E
(e) E T
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 29
29) Escreva todos os subconjuntos do conjunto C = {1; 2} .
30) Complete com ⊂ ou 6⊂ :
(a) {1; 3; 4} {1; 2; 3; 4}
(b) {1; 2; 3; 4} {1; 2}
(c) {1; 2; 3} {1; 2; 4}
(d) {1; 2; 3} {1; 2; 3}
(e) ø {1}
(f) {2} ø
(g) ø ø
31) Complete com ⊂ ou ⊃ :
(a) {7; 8} {7}
(b) {7; 8} {7; 8; 9}
(c) {7; 8; 9} {8; 7; 7; 9; 8}
(d) ø {7}
(e) {8} ø
(f) ø ø
32) Observe as seguintes definições:
• Quadrilátero é todo poĺıgono de quatro lados; vamos chamar de U o conjuntos dos qua-
driláteros.
• Quadrado é todo poĺıgono que possui os quatro lados congruentes e também os quatro
ângulos congruentes; vamos chamar de Q o conjunto de quadrados.
• Rectângulo é todo poĺıgono que possui os quatro ângulos rectos; vamos chamar de B o
conjunto dos rectângulos.
• Losango é todo poĺıgono que possui quatro lados congruentes; vamos chamar de L o
conjunto dos losangos.
• Trapézio é todo quadrilátero que possui pelo menos um par de lados paralelos; vamos
chamar de M o conjunto dos trapézios.
• Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos; vamos chamar
de P o conjunto dos paralelogramos.
30 Matemática I - Da teoria à Prática
Complete então com ⊂ ou 6⊂ :
(a) B L
(b) P B
(c) L U
(d) U M
(e) M Q
(f) Q P
33) Sendo A = {x; y; z} ; B = {x;w; v} e C = {y;u; t} , determine os seguintes conjuntos:
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) A ∪ C
(d) A ∩ C
(e) B ∪ C
(f) B ∩ C
(g) A ∪B ∪ C
(h) A ∩B ∩ C
(i) (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
34) Sendo A = {a; b; c; d} , B = {b; d; e; f} e C = {a; g;h} , determine os seguintes conjuntos:
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) A ∪ C
(d) A ∩ C
(e) B ∪ C
(f) B ∩ C
(g) A ∪B ∪ C
(h) A ∩B ∩ C
(i) A ∪ (B ∩ C)
(j) (A ∪B) ∩ C
(k) (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 31
(l) (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
35) Seja os seguintes conjuntos: U dos quadriláteros; Q dos quadrados; B dos rectângulos; L dos
losangos; M dos trapézios; P dos paralelogramos. Determine então os seguintes conjuntos:
(a) Q ∪M
(b) L ∪Q
(c) P ∪ U
(d) B ∩ L
36) Dados dois conjuntos A e B , sabendo que n(A) = 23, n(B) = 37 e n(A ∩ B) = 8, determine
n(A ∪B).
37) Dois clubes A e B tem juntos 141 socios. O clube B possui 72 socios e os clubes possuem em
comum 39 socios. Determine o numero de socios do A .
38) Sendo A = {x; y; z} , B = {x;w; v} e C = {y;u; v} , determine os seguintes conjunto:
(a) A−B
(b) B −A
(c) A− C
(d) C −A
(e) B − C
(f) C −B
39) Sendo A = {a; b; c; d} , B = {b; d; e; f} e C = {e; f} , determine os seguintes conjuntos:
(a) A−B
(b) B −A
(c) A− C
(d) C −A
(e) B − C
(f) C −B
40) Dados dois conjuntos A e B , e sabendo que n(A) = 35, n(B) = 23 e B ⊂ A , determine
n(A−B) e n(B −A).
41) Sejam os seguintes conjuntos:
32 Matemática I - Da teoria à Prática
(a) A = {x : x é inteiro positivo}
(b) B = {x : x é par positivo}
(c) C = {x : x é ı́mpar}
Determinarnos conjuntos:
(a) B ∪ C
(b) B ∩ C
(c) B − C
(d) C −B
(e) {AB
(f) {Ac
42) Numa sala estão presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine:
(a) A percentagem de rapazes.
(b) A percentagem de raparigas.
43) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 dólares e os vende por 3 milhões de meticais,
a taxa de câmbio de 1usd : 25000MTn determine:
(a) O valor de venda em usd.
(b) O valor de compra em MTn.
(c) O lucro em usd.
(d) A percentagem do lucro.
44) Um funcionário recebia 1500usd, em Janeiro o seu salário sofreu um aumento em 10% e em
Junho um outro aumento de 20% Determine
(a) O salário recebido pelo funcionário em Fevereiro.
(b) O salário recebido pelo funcionário em Julho.
(c) A subida percentual total. De Janeiro à Julho.
45) O preço de um producto aumenta 10% mensalmente. Ao fim de 12 aumentos qual será o preço
sabendo que inicialmente era 5usd?
46) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolverá em Janeiro
de 2008 se a taxa de inflacção anual for de 30%
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 33
47) Nas festas de um determinado fim de ano o preço do açucar branco subiu em 20% e depois subiu
novamente em 30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma redução em 15%, em quanto porcento
variou o preço?
48) Se um producto custa x MTn e sofre um aumento de 10% e mais tarde um outro aumento de
10%. Em quanto porcento variou o preço do producto?
(a) 20%
(b) 15%
(c) 21%
(d) Nenhuma delas
49) 3 litros de leite são divididos em latas de 15 do litro. Quantas latas são necessárias?
50) Quantas latas de 13 do litro são necessárias para dividir 15 litros de sumo?
51) Qual é a razão entre as áreas de dois ćırculos, se a razão entre os seus raios for de 14?
52) Determine a razão entre os volumes de dois cubos, sabendo que a razão das arestas é de 12 .
53) Num mapa de Moçambique, a distância de Maputo a Beira é de 40cm. Sabendo que a escala é
de 1 : 3000000, determine a distância real.
54) A distância de Quelimane a Beira é de 960km . Sendo a escala dum mapa de 1 : 2000000, qua
será a sua distância no mapa?
55) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno?
56) O preço de venda dum produto subiu 20 por cento numa primeira subida de preços e 40 por
cento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem?
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto você
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1.3 Aula 3 - Teórica
1.3.1 Algebra e expressões algebricas
ÇOEmÁlgebra da matemática estudar-se-á vários temas que se revestem de enorme importância
para o domı́nio desta disciplina. Existem escritos de matemáticos que descrevem este tema como uma
34 Matemática I - Da teoria à Prática
construção engenhérica para estudantes de matemática. Não se pode pensar em grandes matemáticos
desprovidos da álgebra matemática.
Quase sempre nos deparamos com operações e problemas de matemática que exigem o conheci-
mento profundo de expressões algébricas, expressões polinómiais, factorização e etc... estes assuntos
serão, com detalhe, tratados neste tema.
1.3.2 Expressões numéricas e valor numérico de uma expressão
Na ĺıngua portuguesa, chama-se expressão o acto ou efeito de exprimir algo. Na matemática, ex-
pressão é a conjugação de śımbolos e códigos matemáticos de modo a transmitir uma mensagem ou
um pensamento.
Exemplo 1.23. Alguns exemplos de expressões algébricas:
1) x− y
2) x+ y
3) x2 + y2
4) x3 + x2 − 3x+ 2
Pode se ver dos exemplos dados que as expressões não possuem nenhum valor afirmativo ou com-
parativo. Elas não possuem sinais comparativos e ou de igualdade, isto é, não são afirmações. Mesmo
na ĺıngua portuguesa, as expressões que não possuem verbos não podem ser consideradas verdadeiras
ou falsas.
Exemplo 1.24. Veja os seguintes:
1) Escola bonita - é uma expressão;
2) Escola é bonita - é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa.
Analogamente x − y é uma expressão e x − y = 0 é uma afirmação matemática que, em função
de valores que x e y forem a tomar, pode ser verdadeira ou falsa.
Estamos sempre a fazer comparações com expressões vindas da ĺıngua portuguesa e fazemos isto
porque temos convicção de que sobre a ĺıngua portuguesa todos temos domı́nio. Não se pode conceber
que um falante da ĺıngua portuguesa formule a seguinte expressão: Escola Bonitas!!!!! Esta expressão
não tem sentido em português; em outras palavras, pode se dizer que esta expressão está errada. Do
mesmo modo que não se pode permitir que um matematico escreva:
x = −x+−y
E porque em matemática não existe meios termos, simplesmente se diz que a expressão está ER-
RADA! As expressões da matemática que tem variáveis também são chamadas Expressões Literais.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 35
1.3.3 Domı́nio de Expressões
O domı́nio de uma expressão algébrica com uma variável (x por exemplo), é o conjunto de valores de
x pelos quais é posśıvel calcular o valor da expressão. Em outras palavras, é o conjunto de valores
que x pode tomar de modo que expressão tenha sentido.
Exemplo 1.25. Considere a expressão:
x+ 1
x− 1
Esta expressão tem domı́nio
x ∈ R\{1}
Se o x for igual a 1 teremos no denominador x − 1 = 1 − 1 = 0, e teremos uma contradição ao
postulado segundo o qual: ”Não existe divisão por zero!!!”
Em geral ao determinar dominios de existência de uma expressão segue-se as seguintes linhagens
mestras:
• Radicandos de um radical com ı́ndice par não devem ser negativos, isto é, devem
ser maiores ou iguais a zero;
Exemplo 1.26. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1)
√
x− 1 o domı́nio será: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
√
x+ 3 o domı́nio será: x+ 3 > 0⇒ x > −3.
3) 5
√
x+ 3 o domı́nio será: x ∈ R. Veja que o ı́ndice do radical é ı́mpar.
• Denominador de uma fracção não pode ser igual a zero;
Exemplo 1.27. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1)
x+ 1
x− 1
o domı́nio será: x− 1 6= 0⇒ x 6= 1.
2)
x+ 3
x+ 2
o domı́nio será: x+ 2 6= 0⇒ x 6= −2.
• As funções logaŕıtmicas definem-se em R+ , isto é, os argumentos de funções lo-
gaŕıtmicas devem sempre ser maiores do que zero;
Exemplo 1.28. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1) log2(x− 2) o domı́nio será: x− 2 > 0⇒ x > 2.
2) log10(sinx) o domı́nio será: sinx > 0. resolve-se a inequação.
• Denominadores que contém raizes de ı́ndice par devem ser maiores do que zero.
36 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 1.29. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1)
x− 1√
x+ 1
o domı́nio será: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
x2 + 3
3
√
x+ 1
o domı́nio será: x+ 1 6= 0⇒ x 6= −1. Veja que o ı́ndice do radical é ı́mpar.
1.3.4 Valores Numéricos de uma Expressão Literal
As expressões são geralmente compostas por sinais operacionais, por números e por śımbolos literários
(Letras) ”Dáı, Expressões Literais”. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectu-
adas algumas operações. Este valor tem o nome de valor numérico de expressões literais. Por exemplo,
se elas possuem variáveis, ao substituirmos as variáveis por respectivos valores numéricos, obteremos
através de operações um numéro que corresponderá ao valor numérico da expressão no seu todo.
Exemplo 1.30. Determine o valor numérico das seguintes expressões:
1) x2 − y2, quando x = 1 e y = 2, se obtém:
x2 − y2 = (1)2 − (2)2 = 1− 4 = −3.
Assim −3 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
2) x2 − y2, quando x = 2 e y = 1, se obtém:
x2 − y2 = (2)2 − (1)2 = 4− 1 = 3.
Assim 3 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
3) x2 − y2, quando x = a e y = b , se obtém:
x2 − y2 = (a)2 − (b)2.
Assim a2 − b2 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
4) x+ y3, quando x = −1 e y = −3, se obtém:
−1 + (−3)3 = −1 + (−27) = −1− 27 = −28.
Assim −28 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
1.3.5 Polinómios
Definção 1.14. Chama-se monómio a expressão constituida por números relactivos ou por um
producto de números relactivos eventualmente representados por letras.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 37
Exemplo 1.31. Veja os seguintes exemplos:
1) 3 é um monómio;
2) 2x é um monómio;
3) 3x2 é um monómio;
4) 7x2y3 é um monómio;
5)
xy2
7
é um monómio.
Definção 1.15. Num monómio a parte composta por numéros (constantes) chama-se coeficiente.
Definção 1.16. A parte composta por letras chama-se parte literal.
Definção 1.17. Chama-se grau de um monómio a soma dos expoentes associados as variáveis. Vamos
considerar sem limitação da sua essência, monómios de variável x.
Exemplo 1.32. Veja os seguintes exemplos:
1) No monómio 7x2y3 o coeficiente é o 7 e a parte literal é x2y3 , o grau deste monómio é
2 + 3 = 5;
2) No monómio ax2 o coeficiente é o a e a parte literal é x2 , o grau deste monómio é 2;
3) No monómio abx3 o coeficiente é o ab e a parte literal é x3 , o grau deste monómio é 3.
1.3.6 Monómios Semelhantes e Monómios Iguais
Definção 1.18. Diz-se que dois monómios são semelhantes ou idénticos, se eles tiverem a mesma
parte literal
Exemplo 1.33. Considere os seguintes exemplos:
1) 4x e −7x são monómios idênticos;
2) 2x2y e
yx2
4
são monómios idênticos.
Definção 1.19. Dois monómios são iguais se eles forem idênticos e possúırem mesmos coeficientes.
Exemplo 1.34. Considere os seguintes exemplos:
1) 4x e 4x são iguais;
2) 2x2y e
8yx2
4
são iguais.
38 Matemática I - Da teoria à Prática
1.3.7 Operações sobre Monómios
Com monómios pode-se efectuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Adição - Adicione os seguintes monómios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Subtração - Subtraia os seguintes monómios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Divisão - Divida os seguintes monómios
Na divisão de monómios segue-se regras sobre divisão de potências (com mesma base e expoente
diferentes).
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Multiplicação - Multiplique os seguintes monómios
Na multiplicação de monómios segue-se regras sobre multiplicação de potências (com mesma base
e expoente diferentes).B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 39
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
1.3.8 Polinómios Semelhantes e Polinómios Iguais
Definção 1.20. Um Polinómio é um agrupamento de monómios (este agrupamento é feito através
de operadores de adição ou subtração).
Definção 1.21. Dois polinómios são idênticos se os seus monómios forem idênticos dois a dois.
Exemplo 1.35. x2 − 1 e 3x2 + 3
Definção 1.22. Dois polinómios são iguais se os seus monómios forem iguais dois a dois.
Exemplo 1.36. x2 − 1, e −1 + x2
Com polinómios pode-se efectuar operações de adição, subtração, divisão e multiplicação.
Adicione os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +
√
5x+ 5
2) x2 − x
7
3 + 2 e 2x
7
3 +
√
5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +
√
5x+ 6
Subtraia os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +
√
5x+ 5
2) x2 − x
7
3 + 2 e 2x
7
3 +
√
5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +
√
5x+ 6
Multiplique os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +
√
5x
2) x2 − x
7
3 + 2 e 2x
7
3 +
√
5x
40 Matemática I - Da teoria à Prática
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 + 6
Divida os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 + 3
2) x2 − 3x+ 2 e 2x− 1
3) x4 − 3x3 + 2x2 − x+ 1 e 2x3 + x2 − 3x
4) −x5 + 3x2 + 4x e 2x
5) 2x2 + x− 10 e x− 2
6) 3x3 − 2x+ 5 e x− 3
1.3.9 Factorização de Polinómios
Factorização vem de factores. Factores são os diferentes componentes de uma multiplicação. Por
exemplo 2× 4 = 8, pode-se dizer que 2 e 4 são factores.
Portanto, factorizar é o mesmo que trasnformar uma determinada expressão polinomial em uma
sucessão de factores (Transformar uma expressão em uma multiplicação).
Exemplo 1.37. Existem diferentes métodos de factorização, cada método é adequado a determinadas
situações. Veja os exemplos que se seguem:
1) x3 = x× x× x.
2) x3 + x2 = x2(x+ 1) (evidencia-se os factores comuns).
3) 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) (evidencia-se os factores comuns).
4) ax+ a2x+ a2 + a = x(a2 + a) + a2 + a = (a2 + a)(x+ 1) (evidencia-se os factores comuns).
5) 10− 3x− x2 Ao factorizar este polinómio quadrático ter-se-á:
10− 3x− x2 = (2− x)(5 + x) e
transformá-se assim o polinómio 10− 3x− x2 em factores (2− x) e (5 + x)
Observação 1.3. Seja dado o polinomio ax2 + bx + c, a 6= 0 se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0, pode-se
factorizar o polinómio segundo a fórmula:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
Onde x1, x2 são calculados pelas fórmulas
x1 =
−b+
√
∆
2a
, x2 =
−b−
√
∆
2a
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 41
Observação 1.4. Em muitos casos usa-se algumas igualdades (Os ditos casos notáveis), veja:
• (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2,
• (x− y)2 = x2 − 2xy + y2,
• (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3,
• (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3,
• x2 − y2 = (x− y)(x+ y),
• x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2),
• x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2),
1.3.10 Polinómios Quadráticos
Existem diferentes classes de polinómios, e estas classes são atribúıdas em função do seu maior expo-
ente. Por exemplo: um polinómio com maior expoente igual a 1 chama-se polinómio de grau 1 ou
linear, um polinómio com maior expoente igual a 2 chama-se polinómio de grau 2 ou quadrático,
um polinómio com maior expoente igual a 3 chama-se polinómio de grau 3 ou cúbico..., assim
em diante.
Definção 1.23. Chama-se polinómio quadrático de variável x ao polinómio dado na forma
P (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0 eb, c ∈ R.
a, b e c são os coeficientes do polinómio.
Ao se igualar um polinómio quadrático a uma constante, transformá-se numa equação quadrática.
Observação 1.5. Importante:
• Um polinómio de grau 1 tem uma solução (ou 1 ráız);
• Um polinómio de grau 2 tem duas soluções (ou 2 ráızes);
• Um polinómio de grau 3 tem três soluções (ou 3 ráızes).
Os polinómios quadráticos são sobejamente conhecidos, razão pela qual existem
fórmulas para momentos importantes de estudos sobre estes tipos de polinómios.
Veja atentamente:
Definção 1.24. Um polinómio quadrático na forma ax2 + bx + c = 0, chama-se Discriminante, e
denota-se ∆ ao valor numérico dado pela expressão ∆ = b2 − 4ac
42 Matemática I - Da teoria à Prática
Definção 1.25. Chama-se Zero de um polinómio aos valores de x que fazem com que o polinómio
seja igual a zero. Isto é:
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
Veja as seguintes transformaçãos:
1) Colocar em evidência o valor de a , e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2:
ax2 + bx+ c = 0⇒ a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0⇒ a
(
x2 +
2b
2a
x+
c
a
)
= 0
2) Passar o a , para o membro direito, somar e subtrair a equação o valor
(
b
2a
)2
:
ax2 + bx+ c = x2 +
b
a
x+
c
a
= x2 + 2
b
2a
x+
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
= 0
3) Identificar o caso notável:
ax2 + bx+ c =
(
x+
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
=
[
x−
(
− b
2a
)]2
−
(
b
2a
)2
+
4ac
4a2
= 0
4) Fazendo transformações na parte da constante se obtém:
ax2 + bx+ c =
[
x−
(
− b
2a
)]2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0⇒
[
x−
(
− b
2a
)]2
=
b2 − 4ac
4a2
5) Resolvendo a equação se obtém:
ax2 + bx+ c = x−
(
− b
2a
)
= ±
√
b2 − 4ac
2a
⇒ x =
(
− b
2a
)
±
√
b2 − 4ac
2a
de onde obter-se-á:
x1,2 =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
=
−b±
√
∆
2a
Definção 1.26. Para um polinómio quadrático na forma ax2+bx+c = 0, chama-se Vértice ao ponto
onde o gráfico muda de monotonia, e determina-se as coordenadas deste ponto usando as expressões:
xv =
−b
2a
, yv =
−∆
4a
Também, pode-se achar o xv achando a média aritmética dos zeros da função.
Observação 1.6. É importante saber que um ponto no plano é composto por duas coordenadas, uma
coordenada no eixo dos x e uma outra coordenada no eixo dos y . Assim ao se determinar o vértice
de uma parábola, preocupa-se em determinar o xv e o yv , portanto o par (xv, yv).
Observação 1.7. Se se designar os dois zeros de uma equação quadrática por x1 e x2 , pode-se
escrever uma equação quadrática ou um polinómio quadrático de modo seguinte:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 43
Observação 1.8. Se se designar os dois zeros de uma equação quadrática por x1 e x2 , pode-se
escrever uma equação quadrática ou um polinómio quadrático de modo seguinte:
ax2 + bx+ c = a[x2 − (x1 + x2)x+ x1 × x2]
Veja que:
x1 + x2 = −
b
a
e x1 × x2 =
c
a
Observação 1.9. Nas equações quadráticas ou polinómios quadráticos, pode-se calcular as coorde-
nadas do vértice e a seguir escrever o polinómio de modo seguinte:
ax2 + bx+ c = a(x− xv)2 + yv.
Esta fórmula é também conhecida por Fórmula de Viet - SP (Soma-Produto)
1.3.11 Triângulo de Pascal
linha 0
1
linha 1
1 1
linha 2
1 2 1
linha 3
1 3 3 1
linha 4
1 4 6 4 1
linha 5
1 5 10 10 5 1
linha 6
1 6 15 20 15 6 1
linha 7
1 7 21 35 35 21 7 1
linha 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
44 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 1.38. Veja de seguida os exemplos da aplicação do triângulo de Pascal.
Observação 1.10. Um binómio com expoente n ∈ N pode ser desenvlvido em soma de monómios
com grau igual a n e coeficiente tirados da linha n do triângulo de Pascal.
1) Decomponha (3 + 2)1, sendo uma potência de expoente 1, recorrer-se-á a linha 1, teremos que
somar monómios de grau 1 e coeficientes 1 e 1 (veja a linha 1), teremos então:
(3 + 2)1 = 1× 3120 + 1× 3021 = 3 + 2 = 5
2) Decomponha (3 + 2)2, sendo uma potência de expoente 2, recorrer-se-á a linha 2, teremos que
somar monómios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos então:
(3 + 2)2 = 1× 3220 + 2× 3121 + 1× 3022 = 9 + 12 + 4 = 25
3) Decomponha (a + b)2, sendo uma potência de expoente 2, recorrer-se-á a linha 2, teremos que
somar monómios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos então:
(a+ b)2 = 1× a2b0 + 2× a1b1 + 1× a0b2 = a2 + 2ab+ b2
4) Decomponha (a + b)3, sendo uma potência de expoente 3, recorrer-se-á a linha 3, teremos que
somar monómios de grau 3 e coeficientes1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos então:
(a+ b)3 = 1× a3b0 + 3× a2b1 + 3× a1b2 + 1× a0b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
5) Decomponha (a + b)4, sendo uma potência de expoente 4, recorrer-se-á a linha 4, teremos que
somar monómios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos então:
(a+ b)4 = 1× a4b0 + 4× a3b1 + 6× a2b2 + 4× a1b3 + 1× a0b4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4
6) Decomponha (a− b)2 = [a+ (−b)]2, sendo uma potência de expoente 2, recorrer-se-á a linha 2,
teremos que somar monómios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos então:
(a+ b)2 = [a+ (−b)]2 = 1× a2(−b)0 + 2× a1(−b)1 + 1× a0(−b)2 = a2 − 2ab+ b2
7) Decomponha (a− b)3 = [a+ (−b)]3, sendo uma potência de expoente 3, recorrer-se-á a linha 3,
teremos que somar monómios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos então:
(a−b)3 = [a+(−b)]3 = 1×a3(−b)0+3×a2(−b)1+3×a1(−b)2+1×a0(−b)3 = a3−3a2b+3ab2−b3
8) Decomponha (a − b)4 = [a + (−b)]2, sendo uma potência de expoente 4, recorrer-se-á a linha
4, teremos que somar monómios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos
então:
(a−b)4 = 1×a4(−b)0+4×a3(−b)1+6×a2(−b)2+4×a1(−b)3+1×a0(−b)4 = a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 45
1.3.12 Exercicios Resolvidos
1) Determine os valores de A e B de modo que:
(a)
1
(x− 1)(x+ 1)
=
A
x− 1
+
B
x+ 1
Resolução
Somando as fracções que se encontram a direita, se obtém:
1
(x− 1)(x+ 1)
=
A(x+ 1) +B(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)
⇒
⇒ 1 = Ax+A+Bx−B ⇒ (A+B)x+A−B = 0x+ 1
de seguida resolve-se o seguinte sistema de equações: A+B = 0A−B = 1 ⇒
 A = −B−B −B = 1 ⇒
 A = −BB = −1
2
⇒

A =
1
2
B = −1
2
.
(b)
2
(x− 1)(x+ 1)2
=
A
x− 1
+
B
x+ 1
+
C
(x+ 1)2
Resolução
Somando as fracções que se encontram a direita, se obtém:
2
(x− 1)(x+ 1)2
=
A(x+ 1)2 +B(x− 1)(x+ 1) + C(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)2
⇒
⇒ 2 = A(x2 + 2x+ 1) +B(x2− 1) +C(x− 1) = (A+B)x2 + (2A+C)x+ (A−B−C) = 2
de seguida resolve-se o seguinte sistema de equações:
A+B = 0
2A+ C = 0
A−B − C = 2
⇒

A = −B
2(−B) + C = 0
−B −B − C = 2
⇒

A = −B
−2B = −C
−2B − C = 2
⇒
⇒

A = −B
−2B = −C
−2C = 2
⇒

A = −B
−2B = 1
C = −1
⇒

A =
1
2
B = −1
2
C = −1
(c) Factorize o seguinte polinómio:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x
Resolução
Primeiro evidenćıa-se o factor comum, o factor que aparece em todos os monómios, teremos
então:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2)
46 Matemática I - Da teoria à Prática
veja que estamos na presença de um polinómio quadrático. Acha-se as ráızes (x1 = 1; x2 =
2) e dáı pode-se escrever:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2) = x(x− 1)(x− 2)
(d) Factorize o seguinte polinómio:
x3 − y3
Resolução
Trata-se da diferença de cubos, veja que estamos na presença de um caso notável, teremos
então:
x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)
(e) Factorize o seguinte polinómio:
x2 − y4,
Resolução
trata-se da diferença de quadrados, veja que estamos na presença de um caso notável,
teremos então:
x2 − y4 = x2 − (y2)2 = (x− y2)(x+ y2)
2) Efectue as seguintes operações:
(a)
5
2x− 10
+
x
x− 5
Resolução
Transformá-se a primeira fracção e de seguida acha-se o mmc.
5
2x− 10
+
x
x− 5
=
5
2(x− 5)
+
x
x− 5
=
5
2(x− 5)
+
2x
2(x− 5)
=
5 + 2x
2x− 10
.
(b)
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
Resolução
Como temos duas fracções com mesmo denominador, iremos somente efectuar a operação
de subtracção, preste atenção porque antes da 2a fracção aparece um sinal ”−”que afecta
toda a fracção.
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
=
x2 − 4x+ 4
x+ 2
.
3) Seja f(x) = 2x2−x Determine f(2), f(a), f(2+a), f(2−a), f(k+a), f(a)−f(2−a)
(a) f(2) = 2(2)2 − 2 = 2× 4− 2 = 8− 2 = 6
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 47
(b) f(a) = 2(a)2 − a = 2× a2 − a = a(2a− 1)
(c) f(2+a) = 2(2+a)2− (2+a) = 2× (4+4a+a2)−2−a = 8+8a+2a2−2−a = 2a2 +8a+6
(d) f(2−a) = 2(2−a)2− (2−a) = 2× (4−4a+a2)−2+a = 8−8a+2a2−2+a = 2a2−7a+6
(e) f(k + a) = 2(k + a)2 − (k + a) = 2× (k2 + 2ka+ a2)− k − a = 2k2 + 4ka+ 2a2 − k − a =
2a2 + 2k2 + 4ka− k − a
(f) f(a)− f(2− a) = 2a2 − a− (2a2 − 7a+ 6) = −a+ 7a− 6 = 6a− 6
1.3.13 Potênciação
Definção 1.27. Pode acontecer que numa multiplicação sucessiva os factores sejam iguais, isto é:
1) 2× 2
2) 3× 3× 3
3) 4× 4× 4× 4× 4
Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplificada, ter-se-á o seguinte:
1) 2× 2 = 22 e lê-se quadrado de dois;
2) 5× 5× 5 = 53 e lê-se Cubo de cinco;
3) 4× 4× 4× 4× 4 = 45 e lê-se quinto de quatro.
Potência - é uma multiplicação de factores iguais.
NOTA:
• 4× 4× 4× 4× 4 = 45 o śımbolo 45 é uma potência;
• O 4 é o factor que se repete e chama-se Base da Potência;
• 5, que é o número de vezes em que se repete a base, chama-se de Expoente.
Observação 1.11. Repare que ao escrever 41 denota-se uma potência. No entanto, pela definição,
supõe-se existir uma multiplicação com um só factor, o que não é verdade. Sendo assim, convencionou-
se que 41 = 4 e isto generaliza-se à todos números que tenham expoente igual a 1.
a1 = a,∀a ∈ R.
Também convencionou-se que:
a0 = 1, ∀a ∈ R \ {0}.
48 Matemática I - Da teoria à Prática
1.3.14 Operações com Potências
As propriedades de multiplicação sucessiva de factores iguais, justificam as seguintes regras:
1.3.15 Multiplicação de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao multiplicar potências com bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e soma-se os
expoentes.
Exemplo 1.39.
42 × 45 = 42+5 = 47, 52 × 5
1
2 = 52+
1
2 = 5
5
2
1.3.16 Divisão de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao dividir potências com bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtrai-se os expo-
entes.
Exemplo 1.40.
42 × 45 = 42−5 = 4−3, 52 × 5
1
2 = 52−
1
2 = 5
3
2
1.3.17 Multiplicação de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao multiplicar potências com expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplica-se
as bases.
Exemplo 1.41.
24 × 34 = (2× 3)4 = 64, 53 × 23 = (5× 2)3 = 103 = 1000
1.3.18 Divisão de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao dividir potências com expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e divide-se as
bases.
Exemplo 1.42.
24 ÷ 34 = (2÷ 3)4 =
(
2
3
)4
, 53 ÷ 23 = (5÷ 2)3 = (2, 5)3
1.3.19 Potência de Potência
Nas linhas anteriores procurou-se transmitir ao estudante a noção de potência, recursivamente desenvolver-
se-á casos de sobreposição de potências, exemplo:
(
23
)4
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 49
Ao desenvolver expressões com potência de potência faz-se o seguinte:(
23
)4
= 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212
De outra maneira pode-se manter a base e multiplicar os expoentes, isto é:
(
23
)4
= 23×4 = 212 = 4096
Observação 1.12. Importante:
1) Uma potência só é negativa se tiver base negativa e expoente ı́mpar;
2) Uma potência de expoente par, é sempre positiva independentimente do sinal da base;
3) Sempre que o zero for base de uma potência, ela será igual azero;
4) Sempre que o zero for expoente de uma potência de base diferente de zero, ela será igual a 1.
1.3.20 Radiciação
Preste atenção a Raiz Quadrada.
Raiz de indice 2:
√
a , que é o mesmo que escrever a
1
2 . Desta propriedade advém que
√
4 = 4
1
2 =
(
22
) 1
2
usando a superpotênciação obtém-se 22×
1
2 = 2, com mesma analogia obtém-se:
√
36 = 6 porque 62 = 36,
√
100 = 10 porque 102 = 100
1.3.21 Raiz de Índice n
Considere o seguinte problema: O volume de um cubo é igual a 27cm3. Qual é a medida das
arestas do cubo?
Resolução: Para resolvar este problema, recordar-se-á primeiro a fórmula para o cálculo do
volume de um cubo. Sabe-se que:
Vcubo = (aresta)
3
então, pode-se refazer a pergunta de nodo seguinte: Qual é o número que elevado ao cubo seja igual
a 27. Isto é x3 = 27 para calcularo valor recorre-se ao seguinte:
x3 = 27 = x3 = 33 ⇒ x = 3.
E diz-se cubo de 3 é 27, então a aresta do cubo em questão mede 3cm.
Definção 1.28. Chama-se raiz de ı́ndice n de um número real b ao número real a , tal que:
an = b
onde n é o ı́ndice do radical, b é o radicando.
50 Matemática I - Da teoria à Prática
1) Caso o n seja ı́mpar o b pode ser qualquer valor real;
2) Caso o n seja par o b deve ser qualquer valor real positivo ou zero.
Ja que se pode olhar para um radical como uma potência de expoente fraccionário. Então as
propriedades e regras sobre multiplicação e divisão de potências podem aqui ser utilizadas com uma
e única prerogativa, de que para o caso de raizes os expoentes são fracções.
1.3.22 Multiplicação e Divisão de Radicais
Ao multiplicar (dividir) radicais com mesmo ı́ndice se obtem um outro radical com ı́ndice igual ao
ı́ndice dos radicandos factores (quocientes) e com radicando igual ao producto (razão) dos radicandos
factores (quocientes).
n
√
a× n
√
b =
n
√
a× b, n
√
a÷ n
√
b =
n
√
a÷ b
Exemplo 1.43. Considere os exemplos que se seguem:
1) 3
√
2× 3
√
24 = 3
√
2× 24 = 3
√
48;
2) 3
√
2× 3
√
24 = 3
√
2× 24 = 3
√
48.
1.3.23 Simplificação de Radicais (Redução ao mesmo ı́ndice)
Existem casos em que se impõe a necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes com ı́ndices diferentes.
Situações desta natureza levam à necessidade de simplificação ou transformação de radicais.
Observação 1.13. Se multiplicar ou dividir o ı́ndice de um radical e o expoente do radicando pelo
mesmo valor natural não nulo, o valor do radical não se altera, isto é:
n
√
am = a
m
n =
n×k√
am×k = a
m×k
n×k
Exemplo 1.44. 3
√
27 =
3
√
33 =
3×2√
33×2 =
6
√
36
Esta propriedade ajuda a resolver o caso de redução de radicais ao mesmo ı́ndice. Tornando por
esta via posśıvel a multiplicação de radicais com ı́ndices diferentes.
3
√
5 e
√
7
Achando o m.m.c de (2 e 3), que são os coeficientes dos dois radicais, se obtem 6, então:
3
√
5 =
3×2√
52 =
6
√
25
√
7 =
2
√
7 =
2×3√
73 =
6
√
73 dai
3
√
5×
√
7 =
6
√
25× 6
√
73 =
6
√
25× 73
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 51
1.3.24 Comparação de Radicais
1) Com o mesmo Índice - Entre dois radicais com mesmo ı́ndice e radicandos diferentes, maior
será o que tiver maior radicando. Assim:
3
√
5 <
3
√
15 porque 5 < 15
Observe que os dois radicais tem mesmo ı́ndice, o 3, a ser assim, basta comparar os radicandos.
2) Com ı́ndices diferentes - Não é posśıvel comparar dois radicais que tenham ı́ndices diferentes;
sempre que tiver um caso de dois radicais que apresentem ı́ndices desiguais, deve-se primeiro
reduźı-los ao mesmo ı́ndice e depois procede-se como no caso anterior.
Exemplo 1.45. Compare os radicais 3
√
5 e
√
7. Primeiro reduz-se os dois radicais a outros
radicais equivalentes, com ı́ndices iguais. De seguida acha-se o m.m.c entre os ı́ndices ”2 e 3”,
que é 6. Então:
√
7 =
2
√
7 =
2×3√
73 =
6
√
343 e
3
√
5 =
3×2√
52 =
6
√
25
Depois de feita a operaçâo, Compara-se os radicandos do resultado obtido ( 6
√
343 e 6
√
25)e
chega-se a conclusão de que 25 < 343 e consequentimente 3
√
5 <
√
7.
Passagem de factores para fora ou para dentro de um radical.
Sabe-se que: n
√
an = a
n
n = a1 = a, então obtém-se:
n
√
an × b = n
√
an × n
√
b = a× n
√
b
Exemplo 1.46. Considere os seguintes exemplos:
1)
√
52 × 3 =
√
52 ×
√
3 = 5×
√
3
2) 3
√
54 = 3
√
33 × 2 = 3
√
33 × 3
√
2 = 3× 3
√
2
1.3.25 Adição e Subtração de Radicais
Definção 1.29. Chama-se Radicais Semelhantes aqueles que diferem somente no coeficiente.
Exemplo 1.47.
3
√
5, 3
3
√
5, 7
3
√
625
Veja que os seguintes radicais ,a primeira, não parecem semelhantes. Mas se se efectuar sobre eles
algumas transformações obter-se-á radicais semelhantes.
3
√
5, 3
3
√
5, 7
3
√
625 = 7
3
√
54 = 7
3
√
53 × 5 = 7× 5 3
√
5 = 35
3
√
5
52 Matemática I - Da teoria à Prática
Obtém-se:
3
√
5, 3
3
√
5, 35
3
√
5
A adição e subttração de radicais semelhantes efectua-se aplicando a propriedade distributiva da
multiplicação em relacção à adição. Assim:
7
√
5 + 5
√
5 = (7 + 5)
√
5 2
5
√
8− 11 5
√
8 = (2− 11) 5
√
8 = −9 5
√
8
Para os casos da soma e diferença, a redução não joga papel preponderante visto que para estas
operações muito mais do que reduzir ao mesmo ı́ndice, necessita-se de reduzir os radicais à semelhantes,
condição que não é satisfeita pelas regras de simplificação-redução de radicais.
1.3.26 Potência de uma raiz e Raiz de uma Potência
Veja agora o significado de:
(
n
√
a
)p
= n
√
a× n
√
a · · · n
√
a p− vezes,
(
n
√
a
)p
= n
√
a× a× a · · · a = n
√
ap
Exemplo 1.48. Observe o seguinte exemplo:(
3
√
5
)2
=
3
√
52 =
3
√
25
Considere a seguinte situação:
n
√(
p
√
a
)
=
(
p
√
a
) 1
n =
(
a
1
p
) 1
n
= a
1
n×p = n×p
√
a
1.4 Aula 4 - Prática
Os exerćıcios 1, 5, 8, 9, 13, 15, 29, 32 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 3, 11, 14, 16, 18, 26, 31, 33 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Calcule o valor numérico das seguintes expressões para os valores de x indicados.
(a) (x− 1)(x2 + x+ 1) para x = 1, x =
√
2
(b)
x+ 1
x− 1
− x
3 − 5x
x2 − 1
para x = −3
2) Seja f(x) = 3(x− 2)2 + 5 calcule f(2 + α) e f(2− α)
3) Seja f(x) =
5
2− x
calcule f(2 + α) e f(2− α)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 53
4) Seja f(x) =
x+ 3
x− 2
calcule f(2 + α) e f(2− α)
5) Seja f(x) = x2−3x+2. Calcule f(−3), f(2x−3), f(2x−3)+f(2x+3), f(x+h), f(x+ h)− f(x)
h
6) Seja f(x) = 2x− 3 e g(x) = x2 + 5 calcule
(a) f(5), g(−3), g[f(2)], f [g(3)], g[f(x)]
(b) f [g(x+ 1)] + g[g(x)]
7) Determine o domı́nio das seguintes expressões:
(a) x2 − 1 + 1
x
(b)
x2 − 5x+ 1
x2 − 2x
(c)
√
2− x
(d)
1√
x
+
2
x+ 3
(e)
√
x+ 3
x− 4
(f)
√
x2 + 3
x− 1
(g)
5
x2 − 9
+
7√
x+ 3
(h)
√
x− 2 +
√
6− 2x
8) Seja P (x) = 2x3 + ax2 + bx− 5. Determine a e b de modo que P (2) = 0 e P (−1) = 0
9) Sejam dados os polinómios:
A(x) = −x3 + 3x2 − 7x+ 5, B(x) = 2x3 − 3x2 + 2x− 1, C(x) = −3x3 + 5x− 2.
Determine:
(a) A+B + C
(b) 2A+ 2B − C
(c) 2A− 3B − 5C
10) Determine α e β de modo que os polinomios A(x) e B(x) sejam iguais.
(a) A(x) = (α+ β)x2 − 3x B(x) = 5x2 − (α− β)x
(b) A(x) = 2αx2 + 3x− 5 B(x) = 4x2 + 3βx− 3α+ β
11) Determine m de modo que o polinómio Q(x) = (m2 − 1)x2 + (m2 − 3m+ 2)x+ 1 +m3
(a) Seja constante.
54 Matemática I - Da teoria à Prática
(b) Seja do primeiro grau.
12) Factorize pondo em evidência o factor comum
(a) 8a3b2 + 16a2b3 + 20a3b3
(b) 5x3 − 15x2
(c) 16x5 − 20x4 + 8x3
(d) (x+ 1)(7x− 3)− (x+ 1)(2− x)
(e) 2x(x− 1)2 − 2x2(x− 1)
13) Factorize os seguintes trinómios
(a) x2 + 3x+ 2
(b) x2 + 7x+ 6
(c) x2 + x− 42
(d) x5 + 4x4 + 4x3
14) Factorize (Diferênça de quadrados)
(a) 25a2 − 36
(b)
4x2
9
− 16y
2
25
(c) 18− 5x2
(d) (a+ 5)2 − (4− 3a)2
15) Escreva sob forma de quadrado perfeito
(a) 81a2 − 18a+ 1
(b) 49x2 + 28xy + 4y2
(c) (a+ 3)2 − 6(a+ 3)
√
5 + 45
(d)
(6− x)2
12
+
6− x
x
+
3
x2
16) Factorize usando casos notáveis
(a) 8x3 − y
3
27
(b)
8a3
27
+
64b6
125
(c) 8x3 − (x− 3)3
(d) (2x− 5)3 + 27x3
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 55
17) Factorize agrupando em factores
(a) ax+ 2x+ 3a+ 6
(b) ax− x− 5a+ 5
(c) x2 − 3ax− 2x+ 6a
18) Factorize caso posśıvel
(a) x4 − 16y4
(b) 5x2 + 125
(c) −9x3y + 30x2y2 − 25xy3
(d) 3x2 + 15xy + 12y2
(e) 5a2 − 10a2b2 + 5b4
(f) (a− 3)2 − (5− 2a)2
(g) (x− y)3 − (x+ y)3
19) Simplifique
(a)
4x− 8
x− 2
(b)
−6x2 − 14x
14 + 6x
(c)
x− 3
x2 − 6x+ 9
(d)
x2 − 8x+ 16
16− x2
(e)
8x− 4x2
6x− 12
(f)
4x2 − 12x+ 9
4x2 − 9
(g)
(2x− 1)(x− 1)2 − 2(x2 − x− 1)(x− 1)
(x− 1)4
20) Simplifique
(a)
2x(x− 1)− x2
(x− 1)2
(b)
(2x+ 3)x2 − 2x(x2 + 3x)
x3
(c)(2x+ 1)(x2 − x)− (2x− 1)(x2 + x)
x2(x− 1)2
21) Efectue as seguintes operações:
(a)
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
56 Matemática I - Da teoria à Prática
(b)
x
x+ 1
+
3
4
(c)
x
x− 3
− 2
x2 − 9
(d)
2x
x2 − 2x− 15
+
3
x2 − 10x+ 25
22) Determine A e B de modo que:
(a)
3x− 1
x2 + 4x− 5
=
A
x+ 5
+
B
x− 1
(b)
1
2x2 + 3x− 2
=
A
2x− 1
+
B
x+ 2
23) Para que valores de x , tem sentido as seguintes expressões:
(a) 2n
√
x
(b) 2n+1
√
x
24) Simplifique os seguintes radicais:
(a)
5
√
32a3b2
(b)
√
9x4y8
(c)
√
27ab4
12a5
(d) 4
√
0, 04a4(a− b)8
25) Efectue
3
√
686× 3
√
5
3
√
10
.
26) Simplifique:
(a) 3
√
2 + 2
√
2− 5
√
2
(b)
√
8 +
√
18−
√
50 +
√
72
(c)
5
√
a5b2 +
5
√
32b7 − 3a 5
√
b2
27) Racionalize os denominadores das seguintes fraccões:
(a)
4√
14
(b)
3 +
√
2
3
√
2
(c)
12√
7 +
√
3
(d)
4
√
2 + 5√
2 +
√
3
28) Racionalize os denominadores das seguintes fraccões:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 57
(a)
4
3
√
14
(b)
3 +
√
2
3 4
√
2
(c)
12
3
√
7 +
√
3
(d)
4
√
2 + 5√
2− 3
√
3
29) Efectue
2
√
3 + 3
√
2√
3−
√
2
+
4
√
3− 2
√
2√
3 + 2
√
2
.
30) Escreva sob a forma de uma única potência:
(a) 27 × 25
(b) 23x × 2−2x
(c) 4x+1 × 4x−1
31) Escreva sob a forma dum produto de potências de mesma base:
(a) 2x+3
(b) 32−x
32) Transforme numa so potência:
(a) an ÷ an−1 (a 6= 0)
(b) πx ÷ πx+2
(c) x
x−1 (x 6= 0)
33) Simplifique a expressão
93x × 6x+4
2x+3 × 37x−1
.
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto você...
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1.5 Aula 5 - teórica
1.5.1 Funções lineares
Definção 1.30. Considere os seguintes conjuntos:
A = {a1, a2, a3, · · · } e B = {b1, b2, b3, · · · }
Chamar-se-á relacção a ligação de elementos de A com os elementos de B. Em outras palavras,
Relacção é a associação entre elementos de dois conjuntos.
58 Matemática I - Da teoria à Prática
Suponha-se que os elementos do conjunto A sejam as prov́ıncias do Norte de Moçambique e os
elementos de B as suas respectivas capitais, teremos:
A = {Cabo delgado,Niassa,Nampula} B = {Pemba, Lichinga,Nampula}
Ao se associar os nomes das prov́ıncias com as suas capitais diz-se que se está a estabelecer relacções,
e teremos:
A −→ B = {(Cabo delgado, Pemba); (Niassa, Lichinga); (Nampula,Nampula)}
Definção 1.31. Para este caso; chamar-se-á domı́nio ou objecto, o conjunto de partida da relacção
(Conjunto A) e chamar-se-á contradomı́nio ou imagem, o conjunto de chegada (Conjunto B ).
As relacções podem ser estabelecidas de 3 maneiras diferentes:
1) Por extensão;
2) Por diagramas de venn; e
3) Por compreensão.
Exemplo 1.49. Considere os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 10, 15, 20}
Pode-se estabelecer a seguinte relacção entre os elementos de A e os elementos de B :
A −→ B = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)}
Esta maneira de estabelecer relacções não se difere da usada a cima. A mesma relacção pode ser
estabelecida usando fórmulas e śımbolos matemáticos de modo seguinte:
{(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}};
Neste caso o domı́nio da função é o conjunto: A = {1, 2, 3, 4}, e a regra de definição da relacção é
y = 5x Com base na regra temos:
x = 1 y = 5× 1 = 5 x = 2 y = 5× 2 = 10
x = 3 y = 5× 3 = 15 x = 4 y = 5× 4 = 20
Assim sendo, temos:
{(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}} = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)}
Viu-se desta meneira, dois métodos diferentes de representação de relacções.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 59
Observação 1.14. As funções são relacções que para cada elemento do conjunto de partida existe
um e somente um elemento no conjunto de chegada.
Exemplo 1.50. Veja o seguinte exemplo:
{(1, 2); (3, 4); (5, 6); (7, 8)}
É uma função, porque para cada elemento do conjunto de partida {1, 3, 5, 7} existe somente um
elemento no conjunto de chegada {2, 4, 6, 8} . Analogamente pode-se dizer que é uma função porque
para cada x pertencente ao par (x, y) existe um e somente um y.
Existe diferentes maneiras de denotar funções. veja os seguintes casos:
y = 7− x, f(x) = 7− x, g(x) = 7− x
Denotou-se então de 3 maneiras diferentes a mesma função. Nota-se, neste caso, que os valores
do domı́nio são pertencentes ao conjunto de números reais. Estas funções chamam-se funções de
variável real.
1.5.2 Funções
Definção 1.32. Uma Função é uma relacção em que para cada elemento do domı́nio corresponde
um e somente um elemento do contradomı́nio.
Definção 1.33. Toda função do tipo y=ax+b chama-se função linear.
Estas funções quando representadas gráficamnete apresentam-se como uma recta (uma linha recta),
dáı o nome �Função Linear� .
Numa função linear (y = ax + b), o ”a”é o coeficiente angular, e o parâmetro que determina
o ńıvel de inclinação da recta. Dáı que se duas rectas tiverem o mesmo coeficiente angular, serão
paralelas. Se os coeficientes angulares não forem iguais significa que as rectas tem um ponto comum.
A recta perpendicular a y = ax+ b , tem a forma:
y = −1
a
x+ b1
• Se b = 0, a função passa a ter a forma y = ax e funções deste tipo passam pela origem do
sistema carteziano ortogonal.
• Se o valor de a for negativo, isto é, menor que zero, diz-se que a função é decrescente.
• Se o valor de a for positivo a função é crescente.
• Se o velor de a for igual a zero, diremos que a função é constante, isto é , não é crescente nem
decrescente.
60 Matemática I - Da teoria à Prática
O coeficiente angular da recta que passa pelos pontos P1(x1, y1) e P1(x2, y2) é:
a =
y2 − y1
x2 − x1
, x2 6= x1
Definção 1.34. Diz-se que uma função é crescente num intervalo D , se para qualquer que seja x1, x2
pertencentes a D com
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Definção 1.35. Diz-se que uma função é decrescente num intervalo, se para qualquer que seja x1, x2
pertencentes ao domı́nio da função f , com
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Para esboçar o gráfico de uma função linear, basta encontrar dois pontos pelos quais passará a
recta e unindo os 2 pontos teremos o gráfico.
Exemplo 1.51. Veja os esboços gráficos de algumas funções lineares:
1) y1 = 2x+ 2
2) y2 = 2− x
3) y3 = 3
x
y
(0, 2)
(2, 0)
(0, 3)
(−1, 0) (2, 0)
y1 = 2x + 2
y2 = −x + 2
y3 = 3
Figura 1.12:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 61
1.5.3 Função Inversa
Para inverter uma função y = f(x) segue-se os seguintes passos:
1) Em y = f(x) procura-se isolar o x escrevendo x = f(y);
2) Troca-se o x por y−1 e o y por x .
Exemplo 1.52. Determine a função inversa de y = x− 1
1) Isole o x , observe:
y = x− 1⇒ y − x = −1⇒ −x = −1− y ⇒ x = y + 1
2) Troque x por y−1 e y por x , terás então:
y−1 = x+ 1
Veja os esboços gráficos das funções f e a função f−1 .
x
y
x + 1
x− 1
Figura 1.13:
1.5.4 Funções Compostas
Considere os conjuntos:
A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 6}; C = {3, 5, 7}.
62 Matemática I - Da teoria à Prática
Componha o esquema da relacção f : A→ B e g : B → C.
Observe que existe uma maneira de definir a relacção A → C usando as relacções (funções) f e
g, suponha-se que h : A→ C , sem a necessidade de passar por B , entao teremos:
h(1) = 3⇒ 3 = g[f(1)]; h(2) = 5⇒ 5 = g[f(2)]; h(3) = 7⇒ 7 = g[f(3)];
Assim, de modo claro conclui-se que
h(x) = g[f(x)]
E diz-se que h é uma função que compõe f em g .
Exemplo 1.53. Sejam dadas as funções:
f(x) = ax+ b, g(x) = cx+ d.
Determinar-se-á a função fog e gof
fog = f [g(x)] = a[g(x)] + b = a(cx+ d) + b = acx+ ad+ b
gof = g[f(x)] = c[f(x)] + d = c(ax+ b) + d = acx+ cb+ d
1.5.5 Sistemas de Equações e Inequações Lineares
Todas as rectas podem ser representadas a partir da expressão y = ax+b , onde em caso de a = 0 temos
uma recta horizontal que corta o eixo vertical em b. Caso contrário temos uma recta obĺıqua e inclinada
de modo dependente do a-coeficiente angular. Muitos problemas de matemática, economia, gestão
e áreas afim, podem serresolvidos usando sistemas de rectas. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo 1.54. Em boas cozinhas, para preparar 5 unidades de sopa mistura-se uma determinada
quantidade de água ao dobro de óleo. Se se misturar quantidades iguais de água e óleo no lugar de 5,
produzem-se 7 unidades. Determine a quantidade de litros de água e de óleo.
Este tipo de problemas e muitos outros podem ser, com muita facilidade, resolvidos usando os
sistemas de equações lineares. É posśıvel criar e/ou resolver problemas que exigem sistemas de equações
de diferentes graus, mas, para todos efeitos e sem limitação da sua essência, vamos falar de sistemas
de 2 equações com 2 incógnitas. Resolver um sistema de 2 equações com duas incógnitas é o mesmo
que procurar encontrar o par (x, y) que satisfaz o sistema:
 ax+ by + c = 0dx+ ey + f = 0 .
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 63
Observação 1.15. Seja dado o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
 ax+ by + c = 0dx+ ey + f = 0
Diremos que:
1) O sistema tem uma e única solução se
a
d
6= b
e
;
2) O sistema não tem solução se
a
d
=
b
e
;
3) O sistema tem muitas soluções se
a
d
=
b
e
=
c
f
.
Exemplo 1.55. Quantas soluções tem o sistema? 2x− y + 5 = 0x− 5y = 7
Usando as regras dadas acima conclúımos que o sistema tem uma única solução. Resolvendo-o
teremos: 2x− y + 5 = 0x− 5y = 7 ⇒
 2x− y + 5 = 0x = 7 + 5y ⇒
 2(7 + 5y)− y + 5 = 0x = 7 + 5y ⇒

y = −19
9
x = 7 + 5
(
−19
9
)
= −33
9
Graficamente a solução de um sistema de equação corresponde ao ponto de intersecção das duas
rectas geradas pelas funções definidas pelas equações do sistema. Para o sistema acima teremos; veja
a figura (1.14):
Para resolver uma inequação linear vamos, a partir do esboço do gráfico, fazer a leitura da parte
que satisfaz a condição da inequação.
Veja o seguinte exemplo:
2x+ 5− y > 0
Deve-se fazer com que o y tenha coeficiente positivo, para tal vamos multiplicar ambos membros da
inequação por -1 e teremos:
−2x− 5 + y < 0
Esboça-se o gráfico da função:
y = 2x+ 5
Porque pelo exerćıcio, o sinal (condição) da inequação é menor, a solução é a parte debaixo (a
parte sombreada no esboço gráfico).
Para o caso em que temos um sistema de várias inequações lineares, deve-se esboçar as inequações
e escolher como solução a parte correspondente a intersecção das diferentes soluções.
64 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
2x + 5
x−7
5
Figura 1.14:
x
y
2x + 5
Figura 1.15:
Exemplo 1.56.  y + x− 1 ≥ 0y − x− 2 ≥ 0
Antes de resolver este sistema de inequações, transforma-se em sistema de equações. y + x− 1 = 0y − x− 2 = 0 ⇒
 y + x = 1y − x = 2
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 65
Somando as duas equações (método de adição sucessiva) teremos 2y = 3, isto é, y =
3
2
, substituindo
numa das equações (a primeira por exemplo) teremos:
3
2
+ x− 1 = 0⇒ x = 1− 3
2
⇒ x = −1
2
.
A solução do sistema de equação é o ponto
(
−1
2
,
3
2
)
, que é o ponto de intersecção das duas rectas
que são definidas pelas equações do sistema. Vamos no mesmo S.C.O esboçar as rectas:
y + x− 1 = 0 e y − x− 2 = 0
−x+ 1
x
y
y − x− 2 = 0
y + x− 1 = 0
− 1
2
3
2
II
IIII
IV
Figura 1.16:
66 Matemática I - Da teoria à Prática
As duas rectas intersectam-se e fazem 4 regiões (I,II,III,IV), veja na figura (1.16). Como no sistema
de inequações todas as condições foram dadas para regiões maiores que as rectas dadas, a nossa solução
será a região II que é a região que fica acima das duas rectas.
Observação 1.16. Se o sinal de desigualdade for > ou < as rectas aparecem em traço não cheio,
isto é, (tracejado).
Existe um tipo de inequações que, muito embora não sejam lineares, são compostas por binómios
lineares em forma de factores e(ou) quocientes.
Exemplo 1.57. Veja atentamente os exemplos que se seguem:
1) Resolva a seguinte equação;
x− 1
x+ 1
= 0, para que a fracção dada(qualquer fracção) seja igual a
zero basta que x− 1 = 0(o numerador seja igual a zero). Então teremos:
x− 1
x+ 1
= 0⇒ x− 1 = 0⇒ x = 1
É importante frizar que x+ 1 6= 0⇒ x 6= −1, portanto, a solução é:
S : x = 1
2) Resolva a seguinte equação;
2x− 1
x− 3
= 0, teremos:
2x− 1
x− 3
= 0⇒ 2x− 1 = 0⇒ x = 1
2
Como
1
2
6= 3 teremos;
S : x =
1
2
3) Resolva a seguinte equação; (2x− 1)(x− 3) = 0, pode se ver que:
S : 2x− 1 = 0 ∨ x− 3 = 0⇒ x = 1
2
∨ x = 3
4) Resolva a seguinte equação; (x2 − 1)(x+ 4)(x+ 2) = 0, teremos então:
S : x2 − 1 = 0 ∨ x+ 4 = 0 ∨ x+ 2 = 0⇒ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x− 1,∨x = 1
Considere agora o caso em que se tem inequações compostas por binómios lineares.
1) Resolva a seguinte inequação:
x− 1
x+ 1
> 0, (r ecorrer-se-á ao método de tabelas). Antes resolver-
se-á as seguintes equações:
x− 1 = 0, x+ 1 = 0
Teremos:
x = 1, x = −1
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 67
Vamos construir a seguinte tabela:
x ]−∞;−1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1; +∞[
x− 1 - -2 - 0 +
x+ 1 - 0 + + +
x− 1
x+ 1
+ @ - 0 +
Ao resolvermos a inequação dada, porque a condição diz maior do que zero, nos limitamo em
procurar encontrar as regiões ao longo do eixo dos x onde a expressão tem sinal positivo, e lendo
a última linha da tabela podemos dar a seguinte solução:
S : x ∈]−∞;−1[∪]1,+∞[
(a) Se no lugar da inequação anterior, tivessemos que resolver a seguinte inequação:
x− 1
x+ 1
< 0
Teŕıamos que seguir os mesmos passos, mas, no fim da leitura da última linha da tabela
iŕıamos dar como solução a parte que tem o sinal negativo, isto é:
S : x ∈]− 1; 1[,
(b) E se tivessemos a inequação:
x− 1
x+ 1
≥ 0
teŕıamos que seguir os mesmos passos, mas, no fim da leitura da última linha da tabela
iŕıamos dar como solução a parte que tem o sinal positivo ou zero, isto é:
S : x ∈]−∞;−1[∪[1,+∞[
2) Resolva a seguinte inequação;
(x− 1)(x+ 2)
(x+ 1)(x− 3)
< 0.
Usando o método de tabelas, teremos, antes, que resolver as seguintes equações:
x− 1 = 0, x+ 1 = 0, x+ 2 = 0 e x− 3 = 0.
Teremos:
x = 1, x = −1, x = −2, x = 3
68 Matemática I - Da teoria à Prática
Vamos construir a seguinte tabela:
x ]−∞;−2[ -2 ]-2;-1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1;3[ 3 ]3; +∞[
x− 1 - - - - - 0 + + +
x+ 2 - 0 + + + + + + +
x+ 1 - - - 0 + + + + +
x− 3 - - - - - - - 0 +
(x− 1)(x+ 2)
(x+ 1)(x− 3)
+ 0 - @ + 0 - @ +
A solução será a parte negativa, porque a inequação aparece com o sinal menor do que zero.
Assim sendo, teremos:
S : x ∈]− 2;−1[∪]1; 3[
1.5.6 Funções quadráticas
Estudar-se-á neste caṕıtulo funções que podem ser apresentadas de maneira gráfica, expressando
parábolas ou partes de parábolas. Sabe-se o conceito de relação e função, estudou-se também uma
espećıfica famı́lia de funções, as funções lineares- aquelas que admitem expoente máximo associado a
variável igual a 1. As funções lineares apresentam-se na forma:
y = ax+ b
E sobre elas, constrúımos o gráfico e fazemos vários estudos, (rever aulas passadas).
Ao estudarmos funções quadráticas iremos, de certeza, re-utilizar as bases que adquirimos do
estudo de funções e funções lineares, um exemplo disso aplica-se sobre o conceito Domı́nio e(ou)
Contradomı́nio, Zeros, Sinal e Monotonia de função. Iremos ,aqui, usar estes conceitos virando
nossas atenções para as funções que admitem expoente máximo de x igual a 2 (funções quadráticas).
As funções quadráticas são funções do tipo:
y = ax2 + bx+ c com a 6= 0
E podem ser representadas de maneiras diferentes.
1) Veja o caso mais simples de funcões quadráticas, em que elas tem a forma:
f(x) = ax2
Observe a figura (1.17)
(a) y = x2
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 69
x
y
y = x2 y = 2x2
y = 3x2
Figura 1.17:
(b) y = 2x2
(c) y = 3x2
Observação 1.17. No esboço gráfico de funções quadráticas a amplitude (abertura da parábola)
varia de modoinverso com o valor de a , isto é, quanto maior for o valor de a , menor será a
abertura da parábola.
Se o a for negativo a parábola é virada para baixo (concavidade virada para baixo).
Observe a figura (1.18)
(a) y = −x2
(b) y = −2x2
(c) y = −3x2
2) Veja o caso em que as funções tem deslocamento ao longo do eixo horizontal.
y = a(x− p)2 onde o x ∈ R, a 6= 0 e p, q ∈ R.
Pode-se ter vários exemplos de funções quadráticas com esta representação.
Observe a figura (1.19)
(a) y = x2
(b) y = (x+ 3)2
(c) y = (x− 1)2
70 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
−x2
−3x2
−2x2
Figura 1.18:
x
y
y = (x + 3)2 y = x2 y = (x− 1)2
Figura 1.19:
Observação 1.18. Os gráficos de y = ax2, y1 = a(x − p)2 são semelhantes e se obtém y1 a
partir da transladação de y = ax2 em p unidades para a esquerda se p > 0 ou p unidades para
a direita se p < 0.
Definção 1.36. Chama-se vértice de uma função quadática ao ponto, (xv, yv), onde ela muda
de comportamento, isto é, deixa de crescer e passa a decrescer ou vice-versa.
Exemplo 1.58. Observe os vértices (coordenadas do vértice) das funções dadas nos exemplos
anteriores.
(a) Para a função y = x2 o vértice é o ponto V (0, 0);
(b) Para a função y = (x+ 3)2 o vértice é o ponto V (−3, 0);
(c) Para a função y = (x− 1)2 o vértice é o ponto V (1, 0).
Considere a função y = −3(x− 1)2, o esboço gráfico, (Figura 1.20)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 71
x
y
Figura 1.20: y = −3(x− 1)2
Observação 1.19. As funções y = (x − 1)2, y = −3(x − 1)2 e y = 3(x − 1)2 têm vértices no
ponto (1, 0) o que nos leva a concluir que o valor de a não influencia na determinação do vértice
da função.
Pode-se concluir que o vértice da função y = a(x− p)2 é o ponto V (p, 0) e o eixo de simetria é
o eixo x = p.
Exemplo 1.59. Determine, sem construir o gráfico, o vértice e o eixo de simetria da função.
(a) y = 2(x−
√
2)2
(b) y = − 26 (x− c)
2
(c) y = x2 + x+ 14 (passe primeiro para a forma y = a(x− p)
2.
3) Observe agora o caso em que
y = a(x− p)2 + q, x ∈ R, a 6= 0, q 6= 0, ∀p
Este caso é semelhante ao caso (2) em que tinhamos
y = a(x− p)2.
Para se obter o gráfico deste tipo de funções, faz-se a transladação que se fez no caso y = a(x−p)2
e acrescenta-se mais uma transladação de q unidades para cima se q > 0 e para baixo se q < 0.
Note que ao se transladar um determinado gráfico, deve-se transladar todos os pontos que fazem
parte dele. Desenhar com o aux́ılio dos estudantes, explicando detalhadamente os passos para a
construção de y = 12(x− 5)
2 + 2
Passos para a construção:
(a) Construir o gráfico da função y1 = x
2;
72 Matemática I - Da teoria à Prática
(b) construir o gráfico da funçao y2 =
1
2x
2;
(c) construir o gráfico da função y3 =
1
2(x− 5)
2; e
(d) construir o gráfico da função y4 =
1
2(x − 5)
2 + 2, transladando-o duas (2) unidades para
cima.
x
y
II : 1
2
x2
I : x2
III : 1
2
(x− 5)2
IV : 1
2
(x− 5)2 + 2
Figura 1.21:
Observação 1.20. O gráfico da função y = a(x − p)2 + q pode ser obtido a partir do gráfico
y1 = ax
2 por meio de uma transladação horizontal de p unidades e uma transladação vertical
de q unidades.
Observação 1.21. Para funções dadas na forma y = a(x − p)2 + q , o eixo de simetia é x = p
e o vértice localiza-se no ponto V (p, q).
1.5.7 Estudo Completo de uma Função
O estudo completo de uma função consiste numa série de investigações que são feitas para a descoberta
de caracteŕısticas que, de maneira ineqúıvoca, identificam uma função. Este estudo (para funções
quadráticas) é composto por 9 (nove) passos importantes a saber:
1) O sinal de a ;
2) O domı́nio da função;
3) O contradomı́nio da função;
4) As coordenadas do vértice;
5) Os zeros da função;
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 73
6) A variação da função ( ou monotonia da função);
7) A variação do sinal da função;
8) A equação do eixo de simetria e
9) A construção gráfica.
Com os estudantes, na sala, fazer o estudo completo das funções y = x2 − 2x e y = −x2 + 2x+ 3
1.5.8 Equações Quadráticas
No caṕıtulo anterior falou-se de equações lineares, e definiu-se equação como uma igualdade que contêm
uma determinada incógnita. Ao se resolver uma equação, procura-se achar os valores da incógnita
que satisfaz a igualdade. Chamar-se-á então equação quadrática a equação que tiver na incógnita
o expoente 2. A forma gerada da equação quadrática é a seguinte:
ax2 + bx+ c = 0 com a 6= 0.
Existem 3 tipos de equações qudráticas. Nas suas resoluções diferem-se no ponto de vista de
eficiência, isto é, podemos resolvê-las da mesma maneira, mas é racional para cada caso cumprir
certos algoŕıtmos que facilitam a resolução. Veja:
1) No caso em que os valores de b e c são iguais a zero, teremos
ax2 = 0, a 6= 0
e dáı resulta que x = 0, neste caso é muito simples encontrar a solução, veja que achar a solução
de uma equação ax2 = 0 reduz se a determinar ao longo do eixo dos x o conjunto de pontos
interceptados pela parâbola y = ax2 , veja nas figuras (1.17) e (1.18) os gráficos de y = ax2 .
2) No caso em que c = 0, b 6= 0 , teremos
ax2 + bx = 0
Colocando o x em evidência, teremos: x(ax + b) = 0 onde x = 0 ou ax + b = 0 o que nos
leva às soluções x = 0 ou x = − ba . Vamos aqui fazer o esboço do gráfico de funções dadas na
forma y = ax2 +bx para podermos observar gráficamente as soluções. Consideremos as equações
x2 + 3x = 0 x2 − 5x = 0. Ao determinarmos as soluções gráficas destas equações vamos fazer
os esboços gráficos de funções
y = x2 + 3x e y = x2 − 5x
74 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
x2 + 3x
x2 − 5x
Figura 1.22:
Resolvendo a equação teremos x2 + 3x = 0 ⇒ x(x + 3) = 0 dáı que teremos x = 0 ou
x + 3 = 0 ⇒ x = −3. Para a equação x2 − 5x = 0 teremos x(x − 5) = 0 ⇒ x = 0 ou
x− 5 = 0⇒ x = 5, estes resultados podem ser observados a partir da leitura gráfica.
3) No caso em que os valores de a, b e c são diferentes de zero, teremos:
ax2 + bx+ c = 0
Pode-se resolver esta equação usando a fórmula resolvente que foi vista a quando do estudo da
factorização de polinómios quadráticos:
x1,2 =
−b±
√
∆
2a
e ∆ = b2 − 4ac
Com o aux́ılio desta fórmula, pode-se também encontrar as coordenadas do vértice do gráfico
que descreve a função y = ax2 + bx+ c :
xv = −
b
2a
e yv = −
∆
4a
1.5.9 Exerćıcio
Determine, para as seguintes funções, os zeros, os vértices e o eixo de simetria da função.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 75
1) y = ax2 + bx+ c, a 6= 0
2) y = x2 − 10x+ 25
3) −x2 + 8x = −5 + y
4) x2 − 7x+ 11 = 1− y
5) y = 2x2 + 7x+ 5
6) y + 3x+ (x+ 1)2 + x2 = 2(x2 − 1) + x(x+ 3)
Observação 1.22. Seja dada uma equação quadrática. se a + b + c = 0 esta equação tem ráızes
iguais a x1 = 1 e x2 =
c
a .
Observação 1.23. Seja x1 e x2 ráızes de uma equação quadrática, então x1 +x2 = − ba ; x1×x2 =
c
a
e x2 − (x1 + x2)x+ x1 × x2 = 0
1.5.10 Equações Paramétricas
Nma função quadrática de acordo com o valor assumido pelo ∆ = b2 − 4ac pode-se saber, se tem ou
não ráızes e caso tenha pode-se saber se estas ráızes são duplas ou não.
1) ∆ < 0 a função não tem ráızes em R
2) ∆ = 0 a função tem ráızes duplas, isto é, x1 = x2
3) ∆ > 0 a função tem ráızes diferentes, isto é, x1 6= x2
Usando estes 3 pressupostos, pode-se resolver as equações paramétricas.
Exemplo 1.60. Seja dada a função y = x2 − 6x+ k
1) Determine k de modo que a função y não tenha ráızes.
2) Determine k de modo a que a função tenha ráızes duplas.
3) Determine k de modo que a função tenha ráızes reais e diferentes.
4) Determine k de modo que a função passe pelo ponto (1, 2).
76 Matemática I - Da teoria à Prática
1.5.11 Funções e Equações Radicais
Funções radicais são funções que possuema variável dentro do radical (e sem limitação da sua essência,
suponha-se que tenham formas lineares como radicandos) e tem a forma
y =
√
ax+ b ax+ b ≥ 0
A condição ax + b ≥ 0 advém do domı́nio de radicais com ı́ndice par (recordar o caṕıtulo sobre
radiciação).
Exemplo 1.61. Considere a função
1) f(x) =
√
2x− 1, determine o domı́nio da função.
2) g(x) =
√
ax− 3, determine o domı́nio da função.
Observação 1.24. Como esboçar o gráfico de uma função radical?
• Atente a figura (1.23), nela estão constrúıdos os quatro gráficos que podem ser usados como
auxiliadores no esboço gráfico de funções radicais.
1) y =
√
x
2) y =
√
−x
3) y = −
√
x
4) y = −
√
−x
• Ver atentamente os teores sobre equações e inequações irracionais. Explicar aos estudantes.
1.5.12 Composição de funções por funções radicais
1) Sejam dadas as funções
f(x) =
√
ax+ b, g(x) =
√
cx+ d
Determine as funções fog e gof.
fog = f [g(x)] =
√
a
√
cx+ d+ b , e
gof = g[f(x)] =
√
c
√
ax+ b+ d
2) Sejam dadas as funções
f(x) =
√
ax+ b, g(x) = cx+ d
Determinemos as funções fog e gof.
fog = f [g(x)] =
√
a(cx+ d) + b , e
gof = g[f(x)] = c
√
ax+ b+ d
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 77
x
y
y =
√
x
y = −
√
xy = −
√
−x
y =
√
−x
Figura 1.23:
1.5.13 Equações e Inequaões Radicais
Existem vários tipos de equações quadráticas
1) Equações do tipo
√
A = B resolve-se impondo que
A = B2, e B ≥ 0
Exemplo 1.62. Para resolver a equação
√
x2 − 1 = −x+ 2 faz-se
x2 − 1 = (−x+ 2)2 ⇒ x2 − 1 = x2 − 4x+ 4⇒ 4x− 5 = 0⇒ x = 5
4
,
Pelo domı́nio de expressões radicais de ı́ndice par, temos que:
x2 − 1 ≥ 0⇒ x ∈]−∞,−1] ∪ [1,+∞[,
Porque
5
4
faz parte do domı́nio da expressão, diz-se então que S : x =
5
4
.
Veja a solução da mesma equação dada na forma gráfica:
2) Para o caso em que a equação é dada na forma;
√
A =
√
B
Teremos:
A = B, A ≥ 0, B ≥ 0
78 Matemática I - Da teoria à Prática
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
y
−3 −2 −1 1 2 3 x
Figura 1.24:
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x
x =
5
4
Figura 1.25:
Exemplo 1.63. Considere a equação:
√
−x+ 4 =
√
x− 1
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 79
Seguindo as regras a cima teremos:
−x+ 4 ≥ 0⇒ −x ≥ −4⇒ x ≤ 4
Analogamente
x− 1 ≥ 0⇒ x ≥ 1
O que nos leva a afirmar que caso exista solução desta equação, ela localiza-se entre 1 e 4, isto
é, no conjunto intersecção dos domı́nios das expressões radicais dadas. Resolvendo −x + 4 =
x− 1⇒ −2x = −5⇒ x = 5
2
, como 2.5 está entre 1 e 4 temos: S : x =
5
2
Graficamente teremos:
2
y
1 2.5 4 x
√
x− 1√
−x + 4
Figura 1.26:
Para resolver inequações, e à semelhança do que aconteceu com as equações quadráticas, usa-
remos o metódo gráfico. Suponha-se que se quer resolver a inequação;
√
−x+ 4 >
√
x− 1
Esboça-se o gráfico de y1 =
√
−x+ 4 e y2 =
√
x− 1, e a solução será o intervalo onde o gráfico
de y1 se localiza a cima do gráfico de y2 E a solução será:
x ∈]−∞, 5
2
[
Veja que os parenteses são abertos porque a inequação aparece com o sinal > e não ≥ .
80 Matemática I - Da teoria à Prática
2
y
1 2.5 4 x
√
x− 1√
−x + 4
Figura 1.27:
1.6 Aula 6 - prática
Os exerćıcios 9, 11, 14, , 22, 27, 32, 38, 40 devem ser resolvidos na qualidade de TPC.
Serão corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 6, 8, 12, 17, 25, 28, 33, 37 deverão
ser resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Represente graficamente as funções definidas pelas equações seguintes, determine o domı́nio e o
contradomı́nio.
(a) y = 2x− 1
(b) y = 2− x
(c) y = x+ 2y − 1
(d) 2x− 3y + 2 = 0
(e) y = 3
(f) x = 1 (Suponha que seja função de y )
2) Para cada uma das aĺıneas do número anterior identifica se o ponto (1, 0) e o ponto (1, 1)
pertencem ou não a recta.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 81
3) Identifique o coeficiente angular (declive) das rectas dadas:
(a) 2x+ 2y − 7 = 0
(b) y = 3
(c) x− 3y + 2
3
= 0
(d) x− 2y = 1
4) Veja se as seguintes rectas são paralelas (se tem mesmo coeficiente angular).
(a) 9x− 6y + 2 = 0, 3x+ 2y + 1 = 0
(b)
2x
3
+
y
2
= 3, 2x+ 3y − 1
5) Seja f(x) = 2x− 6, D(f) =]− 1, 4]; determine a Im(f)
6) Seja f(x) =
−x− 7
2
, D(f) =]− 1, 3[; determine a Im(f)
7) De uma função, sabe-se que D(f) = [−3; 5] e Im(f) = [1; 5]
(a) Esboçe uma das possibilidade
(b) Suponha que as funções são lineares, escreva as suas fórmulas.
8) Ache f [g(x)] e g[f(x)]
(a) f(x) = x+ 1 g(x) = x− 1
(b) f(x) = ax+ b g(x) = cx+ d
(c) Para a função anterior determine f [f(x)].
(d) Qual é a caracteŕıstica de uma função composta por duas funções lineares?
9) Seja f uma função linear, tal que f [f(x)] = x− 1, determine f(x)
10) Resolva as seguintes equações:
(a)
x+ 3
5
− 3
10
=
x− 5
2
+
7
10
(b)
3x− 3
3x+ 5
= 9
11) Resolva a equação (x+ 3)(4x+ 7)(3x− 1) = 0 apresente as soluções em:
(a) N
(b) Z
(c) Q
(d) R
82 Matemática I - Da teoria à Prática
12) Nas boas escadas, a altura a dos degraus e a sua profundidade p estão relaccionadas por 2a−64 =
p em Cm.
(a) Esboce 3 escadas diferentes para a = 10, a = 20 e a = 15.
(b) Umas escadas compostas de 17 degraus levam à um piso situado a 2, 55m acima. Qual é a
profundidade dos degraus?
(c) Considera-se que a altura de um degrau não pode ultrapassar 25Cm. Dispõe-se dum espaço
que permite colocar escadas tais que a soma da profundidade seja 4m. Qual será a altura
máxima dessas escadas?
13) Resolva as inequações seguintes:
(a) 3x− 2
3
≥ x+ 2
3
(b) −3x− 2
2
>
x+ 2
5
(c) 2 ≤ −2x+ 7
3
< 6
14) Resolva as seguintes inequações:
(a) (x+ 3)(x− 5) > 0
(b) (3x− 5)(2− 3x) ≥ 0
(c) x
(x
2
− 1
)
≥ 0
(d)
5
1− 4x
< 0
(e)
2− x
x− 6
< 0
15) Indique o número de soluções dos seguintes sistemas de equações:
(a)
 x+ 4y − 2 = 02x− y + 3 = 0
(b)
 3x+ 5y + 1 = 0−21x− 35y − 7 = 0
(c)
 −x+ 2y + 3 = 03x− 6y + 1 = 0
(d)
 x+ y + 2 = 03x− 4y − 20 = 0
16) Resolva os seguintes sistemas:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 83
(a)
 2x+ 3y − 6 = 02x+ y + 2 = 0
(b)
 2x− 3y − 6 = 02x+ 3y − 6 = 0
(c)
 2x− 10y = 0−5x+ 25y = 0
(d)
 (x+ y)− (x− y) + 1 = 0x+ y
2
+
x− y
3
− 7
36
= 0
17) Um cavalo e uma mula caminhavam juntos levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se o
cavalo da sua pesada carga quando a mula lhe disse: ”de que ti queixas? Se eu levasse um dos
teus sacos, a minha carga seria o dobro da tua. Pelo contrário, se te desse um saco, a tua carga
seria igual a minha.”Quantos sacos levava o cavalo e quantos sacos levava a mula?
18) Resolva
(a) 2x− y + 1 > 0
(b) 3x+ 5y ≤ 0
(c) x− y − 1 > 2x+ 6y
(d) 2x− y + 1 < x− y − 1
19) Resolva
(a) 2x+ 3y − 1 < 0 e x− y > 1
(b) x− 2 ≥ 0 e x+ y − 2 ≤ 0
(c) 2x+ y − 1 < 0 e y ≤ −2x− 5
(d) x > 0, y > 0 e x+ y ≤ 5
(e) (2x− y + 1)(x− y − 1) ≥ 0
20) Resolva as seguintes inequações:
(a) (x+ 3)(x− 5) > 0
(b) (3x− 5)(2− 3x) ≥ 0
(c) x
(x
2
− 1
)
≥ 0
(d)
5
1− 4x
< 0
(e)
2− x
x− 6
< 0
84 Matemática I - Da teoria à Prática
21) Verifique quais dos seguintes pontos pertence a parábola que representa graficamente a função
f(x) = x2 − 5x+ 6.
(a) A(2, 0)
(b) B(4, 2)
(c) C(−1, 10)
22) Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) pertença à parábola que representa grafica-
mente a função f(x) = (m+ 1)x2 − 1.
23) Faça o mesmo com A(2, 5) e f(x) = x2 − 2x+m.
24) Represente graficamente as seguintes funções:
(a) f(x) = (x− 3)2
(b) f(x) =
(x− 1)2
3
(c) f(x) = 3(x+ 2)2 + 1
25) Escreva sob a forma canónica e resolva, a partir dessa forma, a equação y = 0; indique em cada
caso as coordenadas do vértice.
(a) y = x2 − 6x+ 6
(b) y = 2x2 − 8x+ 6
(c) y = x2 − 65x−
7
25
26) Resolva, utilizando o discriminante, as seguintes equações:
(a) 3x2 − 5x+ 7 = 0
(b) 4(x− 3)2 = 3−x
(c) (2 +
√
3)x2 − (2
√
3 + 1)x+
√
3− 1 = 0
27) Determine os valores de k na função y = x2 − 6x+ k, de modo que:
(a) As ráızes sejam reais e iguais;
(b) As ráızes sejam reais e diferentes;
(c) Não haja ráızes reais;
(d) Uma das ráızes seja 5;
(e) A curva passe pelo ponto A(4, 5);
(f) A ordenada do vértice seja −1.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 85
28) Determine os valores de p de modo que a função quadrática y = x2 + px+ p− 716 tenha ráızes
reais.
29) Nas seguintes equações do segundo grau, sendo dada uma solução, determine a outra sem resolver
a equção:
(a) 6x2 − 7x− 10; x1 = 2
(b) x2 − x+
√
2− 2; x1 =
√
2
30) Escreva equações do segundo grau que admitam as seguintes soluções:
(a) 1 e -1
(b) 1√
2
e −2
√
2
31) Determine x e y sabendo que:
(a) x+ y = −13 e x× y = −
2
3
(b) x+ y = 6 e x× y = 7
32) Seja ax2 + bx+ c = 0 e x1 × x2 = 0.
(a) Qual é o valor de c?
(b) Se as ráızes não forem ,ambas, iguais a zero, simplifique ax2 + bx + c. Qual é a segunda
ráız? Por qual ponto passa o gráfico? Faça um esboço do gráfico.
(c) Se as ráızes forem, ambas, iguais a zero, simplifique ax2 +bx+c. Faça um esboço do gráfico.
33) Seja ax2 + bx+ c = 0 e x1 × x2 6= 0.
(a) Simplifique ax2 + bx+ c sabendo que as ráızes são iguais.
(b) Por qual ponto passa o gráfico? Onde está o vértice? Faça um esboço do gráfico.
34) Determine um número real cuja soma com o seu inverso seja igual a 4.
35) Na figura ao lado, o quadrado tem 10m de lado. Determine x de modo que o quadrado interior
tenha 90m2 de área
36) Um rectângulo tem 34cm de peŕımetro e as suas diagonais medem 13cm. Determine o compri-
mento dos seus lados.
37) As pessoas que assistiram a uma reunião cumprimentaram-se, apertando-se as mãos. Uma delas
verificou que foram 66 os apertos de mão. Quantas pessoas estiveram na reunião?
86 Matemática I - Da teoria à Prática
38) Duas camponesas levaram um total de 100 ovos para o mercado. Uma delas tinha mais mer-
cadoria, mas receberam as duas a mesma quantia. Uma vez vendidos todos os ovos, a primeira
camponesa disse à segunda: ”se eu tivesse trazido a mesma quantidade de ovos que tu, teria
recebido 1500 meticais”. A segunda camponesa respondeu: ”e se eu tivesse vendido os ovos que
tinhas, teria recebido 20003 meticais”. Quantos ovos vendeu cada uma?
39) Um problema chinês: Uma cidade quadrada de dimensões desconhecidas possui uma porta no
meio de cada um dos seus lados. Uma árvore encontra-se a 20 passos da porta Norte, no exterior
da cidade. Esta árvore é viśıvel desde um ponto C que se pode alcançar percorrendo 14 passos
a partir da porta Sul, seguidos de 1775 passos em direcção a Oeste. Quais são as dimensões da
cidade?
40) Determine o valor de k para que a função f(x) = (2− k)x2 − 5x+ 3 admita um valor máximo.
41) Determine o valor de m para que a função f(x) = (4m+ 1)x2−x+ 6 admita um valor mı́nimo.
42) Determine k de modo que o valor mı́nimo da função f(x) = x2 − 6x+ 3k seja 3.
43) Determine p de modo que a função f(x) = −3x2 + (2p− 3)x− 1 tenha um valor máximo para
x = 2.
44) A trajectória duma bola, num chuto, descreve uma parábola. Supondo que a altura h , em
metros, t segundos após o chuto, seja dada por h = −t2 + 6t, determine:
(a) Em que instante a bola atinge a altura máxima;
(b) Qual é a altura máxima atingida pela bola.
45) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por C = x2 −
80x+ 300. Nestas condições, calcule:
(a) A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mı́nimo;
(b) O valor mı́nimo do custo.
46) Estude o sinal dos seguintes trinómios:
(a) y = x2 − 6x+ 9
(b) y = 5x2 + 2x+ 17
47) Resolva, utilizando as regras do sinal do trinómio do segundo grau, as inequações seguintes:
(a) x2 − 8x+ 16 ≥ 0
(b) x2 − 8x+ 7 > 0
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 87
(c) 9x2 + 8x− 1 < 0
(d) −x+ 7x2 + 2 ≤ 0
48) Resolva as seguintes inequações:
(a) (x− 3)2 > 16
(b) (x+ 2)2 − 9 ≤ 0
(c) (x+ 3)2 ≥ 10
49) Represente graficamente as funções seguintes:
(a) f(x) =
√
x+ 3
(b) f(x) =
√
−2x+ 5
(c) f(x) = 2
√
−x+ 1
(d) f(x) = 1−
√
x
50) Represente a função que dá o raio de um ćırculo em função da sua área.
51) Seja f(x) = 14x
2 − 1, D(f) = [0,+∞[.
(a) Esboce o gráfico de f e f−1.
(b) Determine a função inversa e o seu domı́nio e contradomı́nio.
52) Seja f(x) = −
√
x− 4 + 1.
(a) Determine D(f) e Im(f).
(b) Esboce o gráfico da função f e da sua função inversa.
(c) Determine a função inversa, o seu domı́nio e o seu contradomı́nio.
53) Seja f(x)
√
x+ 4− 1.
(a) Determine D(f) e Im(f).
(b) Esboce o gráfico da função f e da sua função inversa.
(c) Determine a função inversa, o seu domı́nio e o seu contradomı́nio.
(d) Determine fof
−1 e f−1o f.
54) Das funções a seguir, determine fog e gof.
(a) f(x) = x2 − 4 e g(x) = −x2 + 2x
(b) f(x) = 5 + x− 2x2 e g(x) = 5− 3x
88 Matemática I - Da teoria à Prática
55) Resolva analiticamente as equações seguintes:
(a)
√
x+ 8 = 3
(b) x+
√
x− 1 = 13
(c)
√
x2 − 1 + 2 = x
56) Resova analiticamente as seguintes equações:
(a)
√
x2 − 3x =
√
3x− 5
(b)
√
x2 − 3x− 4 =
√
x2 − 6x+ 5
Resolva grafica e analiticamente as seguintes inequações:
(a)
√
1 + x > 3
(b)
√
x+ 2 >
√
x+ 3
(c)
√
2x− 3 <
√
x+ 3
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto você...
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1.7 Aula 7 - teórica
1.7.1 Funções exponenciais
Definção 1.37. Chama-se Equação Exponencial à toda equação que apresenta incógnita sob ex-
poente.
Exemplo 1.64. A equação
2x = 8
é exponêncial, pois o x que é a incógnita aparece no expoente
1.7.2 Resolução de Equações Exponenciais
Para resolver equações exponenciais como 2x = 8, prossegue-se:
1) Encontrar duas potências da mesma base, uma em cada membro;
2) Igualar os expoentes dos dois membros entre si; e,
3) Achar o valor da variável.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 89
Exemplo 1.65. Vejamos seguintes exemplos
1) Resolva 2x = 8
2x = 23
como as bases são iguais, igualamos os expoentes e teremos:
x = 3
2) Resolva 3x =
1
9
3x = 3−2
como as bases são iguais, igualamos os expoentes e teremos:
x = −2
3) Resolva 17x = 1
17x = 170
como as bases são iguais, igualamos os expoentes e teremos:
x = 0
4) Resolva 7x = −1 Esta equação não tem solução, veja que para qualquer x ∈ R, 7x é sempre
posetivo.
5) Resolva 5x = 0 Esta equação não tem solução, veja que para qualquer x ∈ R, 7x > 0.
6) Resolva
√
3x = 9
√
3x = 32 ⇒ (3x)
1
2 = 32 ⇒ 3
x
2 = 32
igualando os expoentes temos:
x
2
= 3⇒ x = 6.
7) Vejamos o caso em que temos equações do tipo
3x+1 + 3x+2 + 1 = 37
Eis os passos importantes:
(a) Fazer o desenvolvimento seguindo regras de potenciação,
3x3 + 3x9 + 1 = 37
90 Matemática I - Da teoria à Prática
(b) colocar em evidência o factor comum, e isolar o 3x
3x(3 + 9) = 37− 1⇒ 12× 3x = 36⇒ 3x = 36
12
⇒ 3x = 31 ⇒ x = 1
8) Para o caso em que temos uma equação do tipo
4x − 9× 2x + 8 = 0,
procedemos de modo seguinte
(a)
4x − 9× 2x + 8 = 0⇒ (2x)2 − 9× 2x + 8 = 0
(b) Vamos fazer a substituição t = 2x, t > 0 e determinar os valores de t que satisfazem a
equação assim obtida,
t2 − 9t+ 8 = 0⇒ (t− 1)(t− 8) = 0⇒ t1 = 1, t2 = 8
(c) Para cada valor de t obtido, resolver a equação 2x = t e teremos
2x = 1⇒ x = 0, 2x = 8⇒ x = 3.
(d) A Solução será
x ∈ {0; 3}
9) Resolva as seguintes equações
(a) 5x+1 + 5x = 150
(b) 9x − 8× 3x = 9
1.7.3 Inequação Exponencial
Seja am > an , uma inequação exponencial. Na resolução desta inequação é preciso ter atenção o
seguinte:
• Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mantém-se, isto é,
am > an ⇒,m > n;
• Se 0 < a < 1; (o a é a base exponêncial e esta base não pode ser negativa nem igual
a 1) muda o sentido do sinal de desigualdade, isto é,
am > an ⇒ m < n
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza;N. Clarinda - 2015 91
Exemplo 1.66. 1) Resolva 2x > 1
primeiro devemos perceber que 1 = 20 e dai escrevemos 2x > 20 , de acordo as instruções o nosso
a = 2 > 0 então x > 0
2) Resolva 2x < 8
2x < 23 ⇒ x < 3
3) Resolva 17x ≥ 1
17x ≥ 170 ⇒ x ≥ 0
4) Resolva
(
1
2
)x
< 8 (
1
2
)x
<
(
1
2
)−3
porque a < 1 teremos
x > −3
5) Resolva 7x > −1 veja que ∀x ∈ R⇒ 7x é sempre posetivo, isto significa que é maior que -1, dai
que a solução da inequação dada é x ∈ R .
6) Resolva 5x < 0 neste caso não existe solução, pois 5x é sempre maior do que zero, isto é, nunca
é menor do que zero ou ainda dizemos que x ∈ {} (intervalo vazio).
1.7.4 Função exponêncial
O estudante de certeza ja sabe a oque se refere o termo ”exponêncial,”
Definção 1.38. Chama-se, Função Exponencial, à toda função que tem sob expoente uma variável.
Exemplo 1.67. Veja as seguintes funções:
1) f(x) = 2x
2) f(x) = 2x + 1
3) f(x) = 2x+1
1.7.5 Representação Gráfica de uma Função Exponencial
Há que ter em conta o seguinte: Seja f(x) = ax ;
1) Se a > 1 a função exponencial. f(x) é crescente.
2) Se 0 < a < 1 a função exponêncial f(x) é decrescente
92 Matemática I - Da teoria à Prática
3) O valor de a corresponde a assimptota horizontal
4) Devemos procurar os pontos histórcos da função, isto é, os pontos onde ela toca os eixos do
S.C.O
Exemplo 1.68. Represente graficamente as seguintes funções, ache o Df e a Imf
x
y
2x
(
1
2
)x
Figura 1.28:
x
y
2x + 1
−2x + 1
Figura 1.29:
1) y = 2x, vide (1.28)
2) y =
(
1
2
)x
, vide (1.28)
3) y = 2x + 1, vide (1.29)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 93
x
y
2x+1
2x+1 + 1
2x
Figura 1.30:
x
y
−2(x−1) − 3
−2x −2x−1
Figura 1.31:
4) y = −2x + 1, vide (1.29)
5) y = 2(x+1) + 1, vide (1.30)
6) y = −2x, vide (1.31)
7) y = −2(x−1) − 3, vide (1.31)
94 Matemática I - Da teoria à Prática
1.7.6 Cálculo Logaŕıtmico
Definção 1.39. Chama-se logaŕıtmo base a de b e denota-se
loga b
onde
a ∈ R+ \ {1}, b > 0
ao valor y , tal que ay = b
E temos
loga y = x; (a > 0; a 6= 1); y > 0; x ∈ R
, lê-se: logaŕıtmo de y na base a é igual a x. Onde:
• y é o logaritmando,
• a é a base,
• x é o logaŕıtmo.
Observação 1.25. Veja que, se:
y = ax ⇒ loga y = x; (a > 0; a 6= 1)
Exemplo 1.69. Determine o valor de x tal que
1) log2 x = 4 veja que, segundo a definição de logaŕıtmo,
x = 24 ⇒ x = 16
2) logx 81 = 4,
1.7.7 Propriedades Importantes
1) loga 1 = 0
2) loga a = 1
3) aloga x = x
4) loga b =
logp b
logp a
(mudança de base: b > 0; p > 0; p 6= 0)
5) loga uv = loga u+ loga v
6) loga
u
v
= loga u− loga v, v 6= 0
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7) loga
n
√
pq =
q
n
loga p;
Observação 1.26. Sem limitação da sua essência, tem se que:
log10a = lg a, loge a = ln a
1.7.8 Equação Logaŕıtmica
1) Resolva 2 log2 x = log2 4. Este tipo de equação resolve-se seguindo os seguintes passos:
2) Calcule sem recorrer a tabelas e(ou) máquinas calculadoras
(a) 5log5 2,
Usando a a propriedade (3) temos que
5log5 2 = 2
(b) log2 2
√
3
Usando a propriedade (7) teremos
log2 2
√
3 =
√
3 log2 2
e pela propriedade (2) temos que
log2 2 = 1⇒
√
3 log2 2 =
√
3
(c) Determine lg 25 sabendo que lg 2 = x
Ao resolvermos este exercicio devemos procurar escrever o 25 como
100
4
dai teremos
lg 25 = lg
100
4
= lg 100− lg 4
Pela propriedade (6) teremos
lg 25 = lg 102 − lg 22 = 2 lg 10− 2 lg 2
usando propriedade (2) e aliado ao facto de que pelo exercicio lg 2 = x teremos
lg 25 = 2− 2x.
(d) Determine lg 500 sabendo que lg 2 = α .
(e) Determine log4 log2 log3 81
Pela definição de logaŕıtmo temos que
log3 81 = 4
96 Matemática I - Da teoria à Prática
entao
log4 log2 log3 81 = log4 log2 4
como log2 4 = 2 entao teremos
log4 log2 4 = log4 2 =
1
2
(f) Determine log8 log6 log2 64
3)
log2 x = log2 4
Como temos nos 2 membros logaŕıtmos da mesma base, igualamos apenas os logaritmandos
4) x = 4.
5) Resolva log3 x = 1,
Basta usar a definição de logaŕıtmo para resolver este exerćıcio, teremos então
log3 x = 1⇒ x = 31 ⇒ x = 3
6) Resolva a equação logaŕıtmica log3(x− 1) + log3(2x+ 1)− log3(x− 3) = 3
Vamos achar o domı́nio da expressão, para tal teremos que resolver seguintes inequações
x− 1 > 0 ∧ 2x+ 1 > 0 ∧ x− 3 > 0⇒ x > 3
aplicando as propriedades (5) e (6) teremos
log3
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3
= 3,
vamos escrever 3 como log3 27 dai que
log3
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3
= log3 27⇒
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3
= 27
Resolvamos a equação
(x− 1)(2x+ 1)
x− 3
= 27⇒ (x− 1)(2x+ 1) = 27(x− 3)
transformamos assim numa equação quadrática
2x2 − x− 1− 27x+ 81 = 0⇒ x2 − 14x+ 40 = 0⇒ x = 10 ∨ x = 4.
Concluimos então que
S : x ∈ {4; 10}
pois tanto 4 como o 10 são maiores que 3 (condição imposta pelo domı́nio da expressão)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 97
Observação 1.27. Durante a resolução de uma equação logaŕıtmica muitas vezes somos obrigados
a transforma-la em exponêncial, outras vezes a simples percepção deste conceito satisfaz a resolução
do problema. As equações e inequações logaŕıtmicas são muito analogas as equações e inequações
exponênciais.
1.7.9 Inequação Logaŕıtmica
Consideremos a inequação
log2 x > log2 3.
Para resolvê-la, é preciso ter em conta o seguinte, se logam > loga n, então:
1) Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mantém-se, isto é,
logam > loga n,⇒ m > n;
2) Se 0 < a < 1, muda o sentido do sinal de desigualdade, isto é,
logam > loga n,⇒ m < n;
Para o caso
log2 x > log2 3
porque a = 2 > 1 teremos
x > 3
Exemplo 1.70. Veja seguintes exemplos
1) log2 x > log2 2, como a base é 2, então teremos x > 2 veja no gráfico
2) log 1
2
x > log 1
2
3, como a base é
1
2
, então teremos x < 3
3) log3 x > log
2
9 x
Mudamos de base
log3 x > log
2
9 x⇒ log3 x >
1
2
log23 x
aplicando a substituição
t = log3 x
teremos
t >
1
2
t2 ⇒ 2t− t2 > 0
de onde resulta que t ∈]0; 2[ e sendo assim
log3 x > 0 ∧ log3 x < 2
o que nos da
x ∈]1; 9[
98 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
log2 2 = 1
Figura 1.32:
1.7.10 Função Logaŕıtmica
Vamos considerar a seguinte função:
f(x) = loga x; a > 0; a 6= 1; x > 0 :
À esta função, chamaremos Função Logaŕımica de Base a. Por utras palavras, à função inversa da
função exponencial de base a, dá-se o nome de Função Logaŕıtmica de Base a.
1.7.11 Representação Gráfica
Para a representação gráfica, suponhamos por exemplo a = 2 : O gráfico da função
f(x) = log2 x
obtém-se de modo seguinte
1) Determinamos o domı́nio da função, para tal, consideramos o argumento da função maior do
que zero e dai extráımos a assimptota vertical
2) Procuramos à semelhança da função exponêncial, os pontos de história da função, que são os
pontos onde a função intersecta o eixo x (x- intercepto) e o eixo y (y - intercepto)
Represente graficamente as seguintes funções:
1) f(x) = log2(x+ 1)
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x
y
Figura 1.33: f(x) = log2(x+ 1)
2) f(x) = log1
2
(x+ 1) Esboce este gráfico (veja que é identico ao esboçado na (1.33) mas tem uma
base menor do que a unidade.
3) f(x) = − log2(−x+ 1)
x
y
Figura 1.34: f(x) = − log2(−x+ 1)
4) f(x) = − log2(−x+ 1)− 3 e f(x) = − log2(−x− 3) + 1
1.7.12 Função e Equação Homográfica
Definção 1.40. Chama-se função Homográfica à funções do tipo:
f(x) =
ax+ b
cx+ d
; onde a, b, c, d ∈ R.
Exemplo 1.71. Veja os seguintes exemplos:
100 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
f(x)
(−5, 0)
g(x)
Figura 1.35: f(x) = − log2(−x− 3) + 1 e g(x) = − log2(−x+ 1)− 3
1) A função: y =
1
x
, é homográfica; onde a = 0, d = 0, b = 1, c = 1 e têm uma representação
gráfica caracterizada por uma curva chamada hipérbole equilátera.
O gráfico desta função faz uma curva suave em dois quadrantes alternos. Veja a tabela de valores:
x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) -
1
3
−1
2
-1 @ 1
1
2
1
3
Com base na tabela pode-se construir o gráfico da figura (1.36)
x
y
Figura 1.36:
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2) Considere agora: y = −1
x
, é homográfica; onde a = 0, d = 0, b = −1, c = 1. Veja a figura
(1.37)
x
y
Figura 1.37:
A função homográfica:
f(x) =
ax+ b
cx+ d
É definida para cx+ d 6= 0, ou seja o seu domı́nio é:
Df = x ∈ R\{−d
c
}
Observação 1.28. Analisando a tabela. Pode se ver que à medida em que os valores de x tendem
a crescer (em módulo), os valores de y vão se aproximando do zero, isto é, vão se aproximando do
eixo dos x . Escreve-se y → 0 quando x→∞ e diz-se que o y ou a função tende para zero quando x
tende para o infinito). O eixo dos x é asśımptota ao gráfico. Por outro lado, quando o x tende para
zero, o y tende para o infinito; isto é, x→ 0⇒ y →∞ . Neste caso , o gráfico da função aproxima-se
do eixo dos y , mas nunca o toca. O eixo dos y é asśımptota ao gráfico.
O gráfico da função homográfica definida por:
f(x) =
ax+ b
cx+ d
Admite duas asśımptotas: uma asśımptota vertical e uma asśımptota horizontal. A asśımptota
vertical corresponde ao valor que anula o denominador, isto é:
cx+ d = 0⇒ x = −d
c
.
Para determinar a equação da asśımptota horizontal, escreve-se f(x) sob a forma seguinte f(x) =
A+
B
cx+ d
; segundo a fórmula , a equação da asśımptota horizontal será dada por y =
a
c
.
102 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 1.72. Veja os exemplos seguintes:
1) Esboce gráficamente a função f(x) =
2x+ 1
x+ 2
.
(a) Determina-se primeiro a asśımptota vertical pelo domı́nio:
x+ 2 6= 0⇒ x 6= −2 logo AV = −2 i.e (x = −2).
(b) A asśımptota horizontal pode ser dada pela fórmula:
AH = y =
a
c
2
1
= 2
(c) Os zeros da função:
2x+ 1 = 0⇒ x = −1
2
(d) Intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (”caso exista”, ao ponto onde
o gráfico intersecta o eixo do y ). Para esta função homográfica o y intercepto é:
f(0) =
2× 0 + 1
0 + 2
=
1
2
x
y
Figura 1.38:
2) Esboce gráficamente a função f(x) = −2x+ 1
x+ 2
. Veja a figura 1.37.
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 103
(a) Veja que escrever f(x) = −2x+ 1
x+ 2
, é o mesmo que escrever f(x) =
−2x− 1
x− 3
.
Portanto, a = −2, b = −1, c = 1, d = −3.
Determinar-se-á a asśımptota vertical, pelo domı́nio:
x− 3 6= 0⇒ x 6= 3 logo AV = 3 i.e (x = 3).
(b) A asśımptota horizontal pode ser dada pela fórmula
AH = y =
a
c
=
−2
1
= −2
(c) Zeros da função:
−2x− 1 = 0⇒ x = −1
2
(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde
o gráfico intersecta o eixo do y ), isto é x é igual a zero.
Exemplo 1.73.
f(0) =
−2× 0− 1
0− 3
=
1
3
Observação 1.29. O gráfico da função homográfica é composto por dois ramos simétricos em relação
ao ponto de encontro das asśımptotas.
1.7.13 Equações e Inequações
Para resolver inequações e equações com uma parte homográfica, recorre-se ao método de tabelas
estudado no caṕıtulo sobre funções, equações e inequações lineares.
1.7.14 Função Modular
Definção 1.41. Defini-se o módulo de um número da seguinte forma:
|a| =
 a, se a ≥ 0;−a, se a < 0.
Exemplo 1.74. Veja os exemplos seguintes:
1) |0| = 0;
2) |−2| = −(−2) = 2 porque -2 é menor que zero;
3) |2| = 2 porque 2 é maior que zero;
4)
∣∣−2 +√3∣∣ = −(−2 +√3) porque −2 +√3 é menor que zero;
104 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
x
y
Figura 1.39:
5)
∣∣2−√3∣∣ = 2−√3 porque 2−√3 é maior que zero;
6)
|x− 1| =
 x− 1, se x− 1 ≥ 0;−(x− 1), se x− 1 < 0. ⇒
 x− 1, se x ≥ 1;−x+ 1, se x < 1.
7)
− |x− 1| =
 −(x− 1), se x− 1 ≥ 0;−[−(x− 1)], se x− 1 < 0. ⇒
 −x+ 1, se x ≥ 1;x− 1, se x < 1.
8)
∣∣x2 − 1∣∣ =
 x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0;−(x2 − 1), se x2 − 1 < 0. ⇒
 x2 − 1, se x ∈]−∞,−1] ∪ [1; +∞[;−x2 + 1), se x ∈]− 1; 1[.
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 105
9) ∣∣∣∣x2 − 1x+ 2
∣∣∣∣ =

x2 − 1
x+ 2
, se
x2 − 1
x+ 2
≥ 0;
−x
2 − 1
x+ 2
, se
x2 − 1
x+ 2
< 0.
Vamos primeiro estudar o sinal da fracção:
x2 − 1
x+ 2
Para se resolver as inequaçõs:
x2 − 1
x+ 2
≥ 0 e x
2 − 1
x+ 2
< 0, usa-se para tal o método de tabelas.
Resolve-se as equações:
x2 − 1 = 0⇒ (x− 1)(x+ 1) = 0⇒ x = ±1, x+ 2 = 0⇒ x = −2
x ]−∞− 2[ -2 ]− 2,−1[ −1 ]− 1, 1[ 1 ]1,+∞[
x− 1 - - - - - 0 +
x+ 1 - - - 0 + + +
x+ 2 - 0 + + + + +
x2 − 1
x+ 2
- @ + 0 - 0 +
A partir da última linha da tabela podemos ver que:
x2 − 1
x+ 2
≥ 0⇒ x ∈]− 2,−1] ∪ [1,+∞[ e
x2 − 1
x+ 2
< 0⇒ x ∈]−∞,−2[∪]− 1, 1[
Então teremos:
∣∣∣∣x2 − 1x+ 2
∣∣∣∣ =

x2 − 1
x+ 2
, se x ∈]− 2,−1] ∪ [1,+∞[;
−x
2 − 1
x+ 2
, se x ∈]−∞,−2[∪]− 1, 1[.
10) ∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =
 x2 + 2x− 3, se x2 + 2x− 3 ≥ 0;−(x2 + 2x− 3), se x2 + 2x− 3 < 0.
Resolvendo as duas inequações que aparecem no sistema, teremos:
x2 + 2x− 3 ≥ 0⇒ x ∈]−∞,−3] ∪ [1,+∞[ e
x2 + 2x− 3 < 0⇒ x ∈]− 3, 1[
106 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =
 x2 + 2x− 3, se x ∈]−∞,−3] ∪ [1,+∞;−x2 − 2x+ 3, se x ∈]− 3, 1[.
11)
|x|2 + 2 |x| − 3 =
 x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;(−x)2 + 2(−x)− 3, se x < 0. ⇒
 x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;x2 − 2x− 3, se x < 0.
Definção 1.42. Chama-se função modular a função real de variável real que a cada x faz corres-
ponder o seu módulo, ou seja, f(x) = |x| .
Aplicando a definição de módulo, teremos:
|f(x)| = |x| =
 x, se x ≥ 0;−x, se x < 0.
Generalizando, teremos:
|f(x)| =
 f(x), se f(x) ≥ 0;−f(x), se f(x) < 0.
1.7.15 Gráfico da Função Modular
Para construir o gráfico da função modular f(x) = |f(x)| , seguem-se os seguintes passos:
1) Partindo da definição, desenvolve-se a função dada;
2) Esboça-se as diferentes partes da função;
3) Procura-se destacar as regiões correspondentes para cada intervalo do domı́nio de existência da
função.
Exemplo 1.75. Veja os exemplos que se seguem:
1) Seja f(x) = |x| , construa os gráficos de f(x). Para construir os gráficos da função, temos de
seguir os passos dados acima:
Desenvolvemos a função seguindo a definição de módulo.
f(x) =
 x, se x ≥ 0;−x, se x < 0.
Vamos, portanto, esboçar o gráfico de:
y1 = x quando x ≥ 0; e
y2 = −x quando x < 0
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 107
x
y
−x x
Figura 1.40:
2) Seja f(x) = |x+ 1| , construa os gráficos de f(x). Para construir os gráficos da função, temos
de seguir os passos dados acima:
Desenvolve-se a função seguindo a definição de módulo.
f(x) =
 x+ 1, se x+ 1 ≥ 0;−(x+ 1), se x+ 1 < 0. ⇒ f(x) =
 x+ 1, se x ≥ −1;−x− 1, se x < −1.
Vamos, portanto, esboçar o gráfico de:
y1 = x+ 1 quando x ≥ −1; e
y2 = −x− 1 quando x < −1
x
y
−x− 1 x + 1
Figura 1.41:
3) Seja f(x) = − |x− 3| , construa os gráficos de f(x).
Desenvolve-se a função seguindo a definição de módulo.
108 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
f(x) =
 −(x− 3), se x− 3 ≥ 0;−[−(x− 3)], se x− 3 < 0. ⇒ f(x) =
 −x+ 3, se x ≥ 3;x− 3, se x < 3.
Vamos, portanto, esboçar o gráfico de
y1 = −x+ 3 quando x ≥ 3; e
y2 = x− 3 quando x < 3
x
y
x− 3
−x + 3
Figura 1.42:
4) Esboce graficamente a função:
f(x) =
∣∣∣∣x− 1x+ 2
∣∣∣∣
Desenvolvendo a função pela definição de módulo, teremos:
f(x) =
∣∣∣∣x− 1x+ 2
∣∣∣∣ =

x− 1
x+ 2
, se x ∈]−∞,−2[∪[1,+∞[;
−x− 1
x+ 2
, se x ∈]− 2, 1[.
Dáı, teremos a figura (1.43)
5) Esboce gráficamente a função:
f(x) =
∣∣x2 + 2x− 3∣∣
Desenvolvendo o módulo à partir da definição, teremos:
f(x) =
∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =
 x2 + 2x− 3, se x2 + 2x− 3 ≥ 0;−(x2 + 2x− 3), se x2 + 2x− 3 < 0.
Então:
f(x) =
 x2 + 2x− 3, se x ∈]−∞,−3] ∪ [1,+∞;−x2 − 2x+ 3, se x ∈]− 3, 1[.
Veja a figura (1.44)
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 109
x
y
AH = 1
AV = −2
Figura 1.43:
x
y
Figura 1.44:
6) Esboce o gráfico da função:
f(x) = |x|2 + 2 |x| − 3
Veja a figura (1.45) Desenvolvendo o módulo pela definição,teremos:
f(x) =
 x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;x2 − 2x− 3, se x < 0.
7) Esboce o gráfico da função:
f(x) = |x|2 − 2 |x| − 3
Veja a figura (1.46) Desenvolvendo o módulo pela definição, teremos:
f(x) =
 x2 − 2x− 3, se x ≥ 0;x2 + 2x− 3, se x < 0.
110 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
x
y
Figura 1.45:
x
y
Figura 1.46:
1.7.16 Equações Modulares
Definção 1.43. Chama-se Módulo ou Valor absoluto de um número real x , e denota-se |x| ,
ao número real não negativo que satisfaz as seguintes condições:
|f(x)| = |x| =
 x, se x ≥ 0;−x, se x < 0.
Exemplo 1.76. 1) Resolva:
|x− 3| = 5
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 111
Pelo desenvolvimento do módulo temos:
|x− 3| ⇒
 x− 3, se x ≥ 3;−x+ 3, se x < 3.
Então:
|x− 3| = 5⇒
 x− 3 = 5, se x ≥ 3;−x+ 3 = 5, se x < 3. ⇒
 x = 8, se x ≥ 3;x = −2, se x < 3.
Como 8 é maior do que 3 e -2 é menor do que 3, teremos a seguinte solução:
S : x ∈ {−2; 8}
2) Resolva a equação seguinte:
|x+ 7| = −3
Usando o desenvolvimento do módulo teremos:
|x+ 7| = −3⇒
 x+ 7 = −3, se x ≥ −7;−x− 7 = −3, se x < −7. ⇒
 x = −10, se x ≥ −7;x = −4, se x < −7.
Como -10 é menor do que -7 e -4 é maior que -7, isto é, as duas soluções não pertencem aos
intervalos obtidos pela definição do módulo diremos que a solução desta equação é:
x ∈ {}
3) Resolva a seguinte equação modular:
|x− 1| = |3x+ 1|
Para resolver esta equação modular segue-se a regra:
|A| = |B| ⇒
 A = B,A = −B .
Então teremos:
|x− 1| = |3x+ 1| ⇒
 x− 1 = 3x+ 1,x− 1 = −(3x+ 1) . ⇒
 x = −1,x = 0 .
4) Resolva:
|x− 1|+ |x+ 2| = |x− 3|
Passamos o membro a direita para a esquerda
|x− 1|+ |x+ 2| − |x− 3| = 0.
112 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
Resolver esta equação significa procurar determinar valores de x que fazem com que a equação
seja igual a zero. Vamos primeiro desenvolver os três modulos que aparecem nesta equação.
|x− 1| =
 x− 1, se x ≥ 1;−x+ 1, se x < 1.
|x+ 2| =
 x+ 2, se x ≥ −2;−x− 2, se x < −2.
|x− 3| =
 x− 3, se x ≥ 3;−x+ 3, se x < 3. ;
Em seguida constróı-se a tabela
x ]−∞;−2[ -2 ]-2;1[ 1 ]1;3[ 3 ]3; +∞[
|x+ 2| −x− 2 0 x+ 2 3 x+ 2 5 x+ 2
|x− 1| 1− x 3 1− x 0 x− 1 2 x− 1
|x− 3| −x+ 3 5 −x+ 3 2 −x+ 3 0 x− 3
|x− 1|+ |x+ 2| − |x− 3| −x− 4 -2 x 1 3x− 2 7 x+ 4
−x− 4 = 0⇒ x = −4, quando x ∈]−∞,−2[;
x = 0⇒ x = 0, quando x ∈]− 2, 1[;
3x− 2 = 0⇒ x = 2
3
, quando x ∈]1, 3[;
x+ 4 = 0⇒ x = −4, quando x ∈]3,+∞[;
Dentre as soluções
(
−4; 0; 2
3
)
, das equações acima, somente -4 e 0 pertencem aos seus respec-
tivos intervalos. Portanto, a solução será:
S : x ∈ {−4; 0}
Iremos mostrar pelo esboço gráfico as soluções aqui apresentadas. Lembre-se que determinar a
solução de uma equação f(x) = 0 significa determinar os valores de x por onde a função toca
o eixo horizontal.
Veja que o gráfico toca o eixo de x em -4 e 0.
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 113
x
y
Figura 1.47:
1.7.17 Inequações Modulares
Pode-se generalizar o resultado das inequações do tipo:
|x| > k ou |x| < k, ∀k > 0.
1) |x| > k ⇒ ()x < −k ou x > k
2) |x| < k ⇒ −k < x < k.
Exemplo 1.77. Veja os exemplos seguintes:
1) |x| > 4⇒ |x| > 22 ⇒ x < −2 ou x > 2
2) |x− 1| > 4⇒ |x− 1| > 22 ⇒ x− 1 < −2 ou x− 1 > 2⇒ x < −1 ou x > 3
3) |x+ 2| > 9⇒ |x+ 2| > 32 ⇒ x+ 2 < −3 ou x+ 3 > 3⇒ x < −5 ou x > 0
4) |x| < 4⇒ |x| > 22 ⇒ −2 < x < 2
5) |x+ 1| < 4⇒ |x+ 1| > 22 ⇒ −2 < x+ 1 < 2⇒ −3 < x < 1
6) |x− 3| < 25⇒ |x− 3| > 52 ⇒ −5 < x− 3 < 5⇒ −2 < x < 8
114 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
Observação 1.30. Pode-se também resolver inequações modulares usando a definição de módulo
e(ou) usando o método gráfico (a semelhança do que se fez para equações quadráticas).
1.8 Aula 8 - Prática
Os exerćıcios 8, 10, 11, 13, 16, 17, 24, 26 devem ser resolvidos na qualidade de TPC.
Serão corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 6, 9, 12, 14, 18, 19, 23, 25, 37
deverão ser resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues
ao Docente de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Sendo x < 0 e sabendo que ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de a? Justifique
graficamente.
2) Se a > 1 e 0 < ax < 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique graficamente.
3) Se 0 < a < 1 e ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique.
4) Esboce os gráficos das funções definidas por:
(a) y = 2x−3
(b) y =
(
1
2
)x
+ 3
(c) y = 5− 2x
(d) y = 1 + 3x
5) Resolva as seguintes equações:
(a)
(
3
2
)x
= 827
(b) 3x = 181
(c) 3x = 9
√
3
6) Resolva as seguintes inequações:
(a)
(
3
2
)x
≥ 1
(b) 19 ≤
(
1
3
)x
≤ 9
(c) 5−2 ≤
(
1
5
)x
≤ 4
(d) bx ≥ b, (0 < b < 1)
(e) bx > b2, (b > 1)
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 115
7) Determine, aplicando a definição de logaŕıtmo:
(a) log3 81
(b) log 1
3
32
(c) log 2
5
25
4
8) Determine o valor de x tal que:
(a) log2 x = 4
(b) log√2 x = 5
(c) log 1
2
x = −23
(d) log0,5 x =
3
4
9) determine o domı́no das funções definidas por:
(a) y = log 1
2
(x− 3)
(b) y = log2(x
2 − 3)
(c) y = logx(x
2 − 7x+ 12)
10) Esboce os gráficos das funções definidas por:
(a) y = log2(x+ 4)
(b) y = log3 x+ 2
(c) y = log 1
3
(x− 1) + 2
(d) y = log2(5− x)
11) Determine a função inversa das funções seguintes e para cada função e sua inversa, determine o
domı́nio e o contradomı́nio.
(a) f(x) = 2x+3 − 5
(b) f(x) = log 2
3
(x− 2) + 7
12) Resolva as seguintes inequações:
(a) log3 x < log3
1
2
(b) log10 2x > log10 x
(c) log 1
5
3x > 0
(d) log3
x
2 ≤ 2
(e) log 1
3
(x2 − 1) > 1
116 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
13) Dado lg 2 = 0, 3010 e lg 3 = 0, 4771, determine : (Nota: lg x = log10 x)
(a) lg 24
(b) lg 29
(c) lg 32
(d) lg
√
3
14) Calcule, aplicando as propriedades dos logaŕıtmos:
(a) log5
3
√
52
(b) 72 log7 5
(c) 2−3 log2 2
(d) log2 16×log2
√
27
log2 8
(e) 13 log 23
8− 2 log 2
3
3 + 14 log 23
81
15) Determine (fog)(x) e (gof)(x) nos seguintes casos:
(a) f(x) = 3x e g(x) = log 1
3
x
(b) f(x) = 5x e g(x) = 2x+ 1
16) Resolva as seguiintes equações exponenciais:
(a) (ax−1)x = 1
(b) 4× 22x − 4× 2x − 3 = 1
(c) 9x + 3× 6x = 4x+1
(d) 2x+7 − 2x+4 − 2x+2 = 3x+4 − 3x+2
(e) 9x+1 + 8× 3x + 33 = 3x+4 + 19× 3x+2
(f) 16
x
2
−1 − 4x+1 = 322 + 22x+1 − 4x+2
17) Resolva, com ajuda da máquina de calcular, as equações seguintes:
(a) 2x = 348
(b) 6, 23x = 13
18) Resolva as seguintes equações logaŕıtmicas:
(a) lg(2x− 5) + lg(3x+ 7) = 4 lg 2
(b) 2 lg 2 + lg(x2 − 1) = lg(4x− 1)
Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga 117
(c) 3 log4 x+ log2 x = 10
(d) 2(log3 x+ log 1
3
x) = 3 + log3
1
x
(e)
7
lg(x3 − 1)
+
lg x
lg(x2 − 3)
=
17
lg x3 − 1
19) Represente graficamente as funções seguintes:
(a) f(x) = 2xx+1
(b) g(x) = x+42x−3
(c) h(x) = 4x−1x−3
20) Seja f uma função definida por f(x) = x2 + 2x.
(a) Estude e represente graficamente a função f.
(b) Estude e represente graficamente no mesmo sistema de eixos a função g definida por g(x) =
2x
x+1 .
(c) Determine as coordenadas dos pontos de intersecção dos dois gráficos.
(d) Verifique este resultado analiticamente, resolvendo o sistema y = x2 + 2x e y = 2xx+1
21) Determine h(x) = g[f(x)] e k(x) = f [g(x)] nos casos seguintes:
(a) f(x) = 3x− 7 e g(x) = x−32x+1
(b) f(x) = −x2 + 4 e g(x) =
−x+8
2x−5
22) Chama-se distância de dois números x e y ao módulo da sua diferença. Nota-se: d(x; y) = |x−y|
(a) Calcule as distâncias seguintes:
i. d(−3; 3)
ii. d(−3, 41; 3, 41)
iii. d
(
0; 34
)
iv. d(
√
2;−3
√
2)
(b) Determine os números reais x tais que:
i. d(4;x) = 0, 31
ii. d
(
x;−13
)
= 14
iii. d
(
x; 25
)
= 32
23) Represente graficamente as seguintes funções modulares:
(a) y = |2− x|
118 Centro de Preparação de Exames de Admissão para o Ensino Superior
(b) y = |x2 − 5x+ 6|
(c) y = |
√
5− x− 3|
(d) y=
∣∣∣1−2xx+1 ∣∣∣
24) Represente graficamente as seguintes funções soma ou diferença de módulos:
(a) y = |2x− 3|+ |x+ 4|
(b) y = 3|x− 1| − |x− 5|
25) Resolva as seguintes equações modulares:
(a) |3x− 4| = 2
(b) |2x− 3| = 2x− 3
(c) |x2 − 4x+ 5| = 2
(d) |4x− 1| = |2x+ 3|
(e) |x|2 − 5|x|+ 6 = 0
26) Resolva as seguintes inequações modulares:
(a) |3x| < 1
(b)
∣∣−x2 ∣∣ ≥ 5
(c) |x− 1| ≥ −2
(d) |3− x| ≤ 3
(e) |3x− 1| < 5
(f)
∣∣2x−1
2
∣∣ < 15
(g) |2x+ 1|+ 4− 3x > 0
Com a simplicidade construimos o orgulho!...
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Caṕıtulo 2
Limites de Sucessões e funções
2.1 Aula 9 - Teórica
Definção 2.1. Seja dado o conjunto de números {1, 2, 3, 4, · · · } , conjunto de números inteiros
positivos. Chamaremos a este conjunto, conjunto de números naturais, e denota-lo-emos por N,
isto é, N = {1, 2, 3, 4, · · · }.
Definção 2.2. Diz-se Sucessão numérica a toda aplicação de N em R, isto é, a toda correspondên-
cia entre os elementos de N com os elementos de R , tal que para cada elemento de N, existe somente
um elemento de R.
Exemplo 2.1. Exemplos de algumas Sucessões Numéricas
1) 2; 4; 6; 8; · · · an = 2n; ∀n ∈ N
2) 2; 4; 8; 16; · · · an = 2n; ∀n ∈ N
Observação 2.1. Os elementos: a1, a2, · · · , an , chamam-se termos da sucessão e a1 designa-se o
primeiro termo, a2 , o segundo e an , o n-ésimo termo, onde an também chama-se termo geral da
sucessão.
Definção 2.3. Chama-se Termo Geral duma sucessão ao termo que gera (produz) todos elementos
da sucessão.
Exemplo 2.2. Determine os primeiros dois termos da sucessão, cujo termo geral é an = 2n+ 1.
Resolução:
Precisamos determinar a1 e a2 :
a1 = 1 + 2× 1 = 1 + 2 = 3
a2 = 1 + 2× 2 = 1 + 4 = 5
119
120 Matemática I - Da teoria à Prática
2.1.1 Monotonia de uma Sucessão Numérica
Definção 2.4. Uma sucessão an diz-se crescente, se an+1 − an > 0.
Exemplo 2.3. Consideremos a sucessão cujo termo geral é an = 2n + 1. Verifiquemos se ela é
crescente:
an+1 = 2(n+ 1) + 1 = 2n+ 3;
achando
an+1 − an
obtemos
an+1 − an = 2n+ 3− (2n+ 1) = 2n+ 3− 2n− 1 = 2;
como 2 > 0, logo a sucessão cujo termo geral é an = 2n+ 1 é crescente.
Definção 2.5. Uma sucessão an diz-se decrescente, se an+1 − an < 0
Exemplo 2.4. Consideremos a sucessão cujo termo geral é an =
1
n
. Verifiquemos se é decrescente:
an+1 =
1
n+ 1
;
achando
an+1 − an
obtemos
an+1 − an =
1
n+ 1
− 1
n
=
n
n(n+ 1)
− n+ 1
n(n+ 1)
=
n− n− 1
n(n+ 1)
= − 1
n(n+ 1)
Como o denominador é sempre positivo, a fracção toda é menor do que zero. Neste caso diremos que
a sucessão de termo geral an =
1
n
é decrescente.
Definção 2.6. Se an+1 − an = 0, diz-se que a sucessão an é constante.
Exemplo 2.5. Consideremos a sucessão de termo geral an = 2. O termo
an+1 = 2
achando
an+1 − an
obtemos
an+1 − an = 2− 2 = 0
o que quer dizer que a sucessão de termo geral an = 2 é constante
Observação 2.2. Uma sucessão diz-se monótona, se e somente se for crescente ou decrescente.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 121
Exemplo 2.6. Classifique quanto à monotonia (monótona crescente, monótona decrescente e não
monótona), as seguintes sucessões
1) an =
2n+ 1
2n
; Resp. monótona decrescente;
2) an =
n+ 1
2
; Resp. monótona crescente;
3) an = (−1)n; Resp. não monótona;
4) an = −2; Resp. constante;
2.1.2 Limite de SucessõesNuméricas
Definção 2.7. Diz-se que um número k é limite de uma sucessão numérica an e escreve-se lim
n→∞
an =
k , se e só se, dado qualquer número positivo ε , existe um número natural Nε , tal que todos os termos
an de orden n superior a Nε , verificam a desigualdade |an − a| < ε , isto é:
lim
n→∞
an = k
ou simplesmente
lim an = k
⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃Nε ∈ N : ∀ n > Nε =⇒ |an − k| < ε
Por outras palavras se pode dizer que a sucessão an converge para um limite k , se durante o cresci-
mento do número n, os termos an da sucessão tendem para o valor k, isto é, aproximam-se cada vez
mais de k.
Definção 2.8. Uma sucessão numérica an que tem limite finito k , diz-se sucessão convergente. E
caso contrário, se k é um limite não finito, diz-se sucessão divergente, isto é:
• Se lim an = k <∞ =⇒ an é converge;
• Se lim an = k =∞ =⇒ an é diverge.
Exemplo 2.7. Determine se as seguintes sucessões são convergentes ou divergentes:
1) lim
n→∞
4n−1
n+1
Resolução:
lim
n→∞
4n−1
n+1 = limn→∞
n
(
4− 1
n
)
n
(
1 + 1n
) = 4.
Como k = 4 <∞ , então a sucessão é converge.
122 Matemática I - Da teoria à Prática
2) lim
n→∞
n4
3n2 + n
Resolução:
lim
n→∞
n4
3n2 + n
= lim
n→∞
n4
n2
(
3 +
n
n2
) = lim
n→∞
n2
3
=∞.
Como k =∞ , então a sucessão é diverge.
Definção 2.9. Uma sucessão numérica αn diz-se um infinitésimo, se o seu limite é igual a zero,
isto é:
lim
n→∞
αn = 0⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃Nε ∈ N : ∀ n > Nε =⇒ |αn| < ε
Definção 2.10. Uma sucessão βn diz-se um infinitśimo grande, se e só se o seu limite tende para
o infinito, isto é:
lim
n→∞
βn =∞ ou limβn →∞
⇐⇒ ∀K > 0, ∃Nk ∈ N : ∀ n > Nk =⇒ |βn| > K
Observação 2.3. Se uma sucessão numérica é um infinitamente grande e todos os seus termos têm
o mesmo sinal (+ ou -), então, em correspondência com o sinal, escreve-se:
lim
n→∞
βn = +∞ ou lim
n→∞
βn = −∞
2.1.3 Regras de Cálculo de Limites de Sucessões Numéricas
Sejam an e bn sucessões convergentes com limites respectivamente k1 e k2. Isto é:
lim an = k1 e lim bn = k2.
Disto podemos concluir as seguintes propriedades dos limites:
1) lim(an ± bn) = lim an ± lim bn = k1 ± k2.
2) lim
an
bn
=
lim an
lim bn
=
k1
k2
k2 6= 0.
3) lim(an × bn) = lim an × lim bn = k1 × k2.
4) lim(an)
p = (lim an)
p = kp1.
5) lim pan = plim an = pk1 .
6) lim can = c× lim an = c× k1 , onde c é uma constante qualquer.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 123
2.1.4 Alguns tipos de Indeterminação
Vamos estudar os seguintes tipos de indeterminação:
• ∞
∞
• ∞−∞
• 0
0
• 1∞
• 00
• ∞0
• 0×∞
Exemplo 2.8. Ache o limite de
1) an =
2 + 4n
n+ 1
Resolução:
Substituindo por ∞ , teremos lim an = lim
(
2 + 4n
n+ 1
)
=
[∞
∞
]
Para levantarmos a indeterminação, vamos escolher no numerador, tanto como no denominador,
a parte principal. Quando n→∞⇒ 2 + 4n ∼ 4n, n+ 1 ∼ n. Dáı, teremos:
lim an = lim
(
2 + 4n
n+ 1
)
= lim
4n
n
= 4
124 Matemática I - Da teoria à Prática
2) an =
3
n2
1
n
Resolução:
Substituindo por ∞ , teremos: lim an = lim
3
n2
1
n
=
[
0
0
]
Para levantar esta indeterminação,vamos fazer a divisão e teremos
3
n2
1
n
=
3n
n2
=
3
n
, donde teremos
lim
3
n
= 0
2.1.5 O Número e
O número irracional e = 2, 7182... é limite da sucessão numérica
an =
(
1 +
1
n
)n
Exemplo 2.9. Consideremos os seguintes exemplos:
1) Seja an =
(
1 +
1
n
)n
lim an = lim
(
1 +
1
n
)n
= [1∞]
que é uma indeterminação. Então,
lim an = lim
(
1 +
1
n
)n
= e.
Observação 2.4. Suponhamos que an → 1, bn →∞ , então teremos
lim (an)
bn = [1∞] = elim(an−1)bn
2) Determine
lim
(
n+ 2
n
)n
.
substituindo o n por infinito teremos uma indeterminação na base do tipo[∞
∞
]
,
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 125
ao levantarmos esta indeterminação passamos a ter uma outra indeterminação, do tipo [1∞] .
Para levantarmos este tipo de indeterminação, recorremos a:
lim(an)
bn = [1∞] = elim(an−1)×bn = e
lim
(
n+ 2
n
− 1
)
×n
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lim(an)
bn = e
lim
(
n+ 2− n
n
)
×n
= e
lim
(
2
n
)
×n
= e2
2.1.6 Alguns Exerćıcios Resolvidos
1) Calcule os limites:
(a) lim
n→∞
7n+ 2
5n+ 3
(b) lim
n→∞
2n+2 + 3n+3
2n + 3n
(c) lim
n→∞
(
1 +
1
n2 + 1
)3n2
Resolução:
(a) lim
n→∞
7n+ 2
5n+ 3
= lim
n→∞
n
(
7 +
2
n
)
n
(
5 +
3
n
) = lim
n→∞
(
lim
n→∞
7 + lim
n→∞
2
n
)
(
lim
n→∞
5 + lim
n→∞
3
n
) = 7 + 0
5 + 0
=
7
5
,
dado que quando n→∞, 2
n
→ 0 e 3
n
→ 0
(b) lim
n→∞
2n+2 + 3n+3
2n + 3n
= lim
n→∞
3n
[
4
(
2
3
)n
+ 27
]
3n
[(
2
3
)n
+ 1
] = lim
n→∞
[
4(
2
3
)n
+ 27
]
[(
2
3
)n
+ 1
] =
=
[
4 lim
n→∞
(
2
3
)n
+ lim
n→∞
27
]
[
lim
n→∞
(
2
3
)n
+ lim
n→∞
1
] = 4.0 + 27
0 + 1
= 27,
dado que quando n→∞,
(
2
3
)n
→ 0.
(c) lim
n→∞
(
1 +
1
n2 + 1
)3n2
= lim
n→∞
[(
1 +
1
n2 + 1
)n2+1] 3n2n2 + 1
= e
lim
n→∞
3n2
n2 + 1 = e3
2.2 Aula 10 - prática
Os exerćıcios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 9, 10, 11 deverão ser resolvidos pelos
126 Matemática I - Da teoria à Prática
estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente de aulas teóricas
na aula teórica da semana seguinte.
1) Construa o gráfico da seguinte sucessão numérica an =
3 + n
1 + n
;
2) Construa o gráfico da seguinte sucessão numérica an =
1
2n− 1
;
3) Classifica em convergente ou divergente a seguinte sucessão an =
3 + n
1 + n
e justifique sua resposta;
4) Classifica em convergente ou divergente a seguinte sucessão an =
1 + n2
1 + n
e justifique sua resposta;
5) lim
n→∞
(2n2 + 3)(n+ 2)3√
4n4 + 3n3 + 1 . 3
√
8n9 + 2n4 + 5
;
6) lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)n+1
7) lim
n→∞
(
n+ 4
n+ 1
)√n2+1
8) lim
n→∞
(
n2 + n+ 1
n2 + 1
) 3√8n3+n+1
9) lim
n→∞
(2
√
n+ 3 3
√
n+ 1)
6
(4n+ 5
√
n+ 4
√
n)
2 ;
10) Desenhe o gráfico da sucessão do exerćıcio 3 e 4;
11) Classifique as sucessões dos exerćıcios 3 e 4 quanto a monotonia.
2.3 Aula 11 - teórica
2.3.1 Progressões
Definção 2.11. progressão é uma sucessão em que a diferença ou quociente entre dois termos
consecutivos é constante.
Definção 2.12. Chama-se progressão aritmética a uma secessão de números reais an , em que
cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com um número constante d,
denominado diferença da progressão aritmética dada.
Observação 2.5. Uma progressão aritmética é definida se são dados o primeiro termo a1 e a sua
diferença d.
Neste caso, verifica-se:
an = f(n) = a1 + (n− 1)d
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 127
A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética, calcula-se pela fórmula:
Sn =
1
2
(a1 + an)n
Propriedade de toda a progressão aritmética: qualquer termo am , a partir do segundo, é igual
à média aritmética dos seus termos simétricos am−k e am+k , isto é:
am =
1
2
(am−k + am+k)
Definção 2.13. Chama-se progressão geométrica a uma sucessão de números reais an , em que
cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior e de um número constante q,
denominado razão da progressão geométrica dada.
Observação 2.6. Uma progressão gemétrica é definida se são dados o primeiro termo a1 e a sua
rezão q.
Neste caso, verifica-se:
an = f(n) = a1q
n−1
A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica, calcula-se pela fórmula:
Sn =
a1(1− qn)
1− q
Caso |q| < 1 e n → ∞, a soma duma progrssão geométrica infinitamente decrescente, é dada
por:
Sn =
a1
1− q
Propriedade de toda a progressão geotmétrica: qualquer termo am , a partir do segundo, é
igual à média geométrica dos seus termos simétricos am−k e am+k, k < m , isto é:
am =
√
am−k + am+k
2.3.2 Alguns Exerćıcios Resolvidos
1) Calcule o limite da sucessão
√
7,
√
7
√
7,
√
7
√
7
√
7...
Resolução:
A sucessção dada pode ser escrita na seguinte forma:
7
1
2 , 7
1
2
+ 1
22 , 7
1
2
+ 1
22
+ 1
23 , ...
128 Matemática I - Da teoria à Prática
É fácil notar que o termo geral da sucessão dada tem a forma de petência
an = 7
1
2
+ 1
22
+ 1
23
+...+ 1
2n ,
cujo expoente representa a soma de n termos duma progressão geométrica de razão q =
1
2
que
podemos calcular do modo seguinte:
1
2
+
1
22
+
1
23
+ ...+
1
2n
=
1
2
(
1− 1
2n
)
(
1 +
1
22
) = (1− 1
2n
)
Assim, obtemos
lim
n→∞
an = lim
n→∞
7(1−
1
2n ) = 7
lim
n→∞
(1− 12n ) = 7
[
lim
n→∞
1− lim
n→∞
( 12n )
]
= 71−0 = 7
2.4 Aula 12 - Prática
Os exerćıcios 1-8 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão corrigidos e discutidos
na aula prática. Os exerćıcios 1-8 deverão ser resolvidos pelos estudantes para a consilidação do
conhecimento e deverão ser entregues ao Docente de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) lim
n→∞
[
1 + 4 + 7 + ...+ (3n− 2)
n+ 1
− 3n+ 1
2
]
2) lim
n→∞
1 + 6 + 11 + ...+ (5n− 4)
1 + 7 + 13 + ...+ (6n− 5)
3) lim
n→∞
[
1− 1
3
+
1
9
− 1
27
+ ...+
(−1)n−1
3n−1
]
4) lim
n→∞
[
1 + 5 + 9 + ...+ (4n− 3)
2n+ 1
+ 3− n
]
5) lim
n→∞
(
n3 + 2
)
n!
(n2 + 3n) (n+ 1)!
6) lim
n→∞
(
2n2 +
√
n+ 1
)
(n+ 2)!
(n+ 4)!
7)
√
3,
√
3
√
3,
√
3
√
3
√
3, ...
8) 0, 14; 0, 144; 0, 1444; ...
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 129
2.5 Aula 13 - teorica
2.5.1 Limite de uma Função
Definção 2.14. Diz-se que o número b é limite da função f(x), quando x tende para a (x → a),
se para qualquer valor x vizinho com raio δ > 0 e centro em a , tem-se
|x− a| < δ ⇒ |f(x)− b| < ε
onde ε > 0 e escreve-se
lim
x→a
f(x) = b,
2.5.2 Cálculo de Limite de uma Função
Observação 2.7. Ao calcularmos limite de uma função, procedemos de maneira semelhante ao cálculo
de limite de uma sucessão. Todos os métodos usados para levantamento de indeterminações de su-
cessções são válidos para limites de funções. Portanto, manteremos válidas todas as definições e
propriedades apresentadas no caso do estudo de sucessões.
2.5.3 Indeterminação do Tipo
• ∞
∞
Exemplo 2.10. Ache o seguinte limite: lim
x→∞
x2 − 2
x2 + x
Resolução:
lim
x→∞
x2 − 2
x2 + x
=
∞
∞
lim
x→∞
x2 − 2
x2 + x
= lim
x→∞
1− 2
x2
1 +
1
x
=
1
1
= 1
• 0
0
Exemplo 2.11. Calcule o seguinte limite: lim
x→2
x− 2
x2 − 4
Resolução:
lim
x→2
x− 2
x2 − 4
=
0
0
=⇒ lim
x→2
x− 2
x2 − 4
= lim
x→2
x− 2
(x+ 2)(x− 2)
= lim
x→2
1
x+ 2
=
1
4
• ∞−∞
Exemplo 2.12. Ache o seguinte limite: lim
x→∞
(√
x2 − 2x− x
)
Resolução:
130 Matemática I - Da teoria à Prática
lim
x→∞
(√
x2 − 2x− x
)
=∞−∞
=⇒ lim
x→∞
(√
x2 − 2x− x
)
= lim
x→∞
x2 − 2x− x2√
x2 − 2x+ x
= lim
x→∞
−2x
x
(√
1− 2
x
+ 1
)
= lim
x→∞
−2√
1− 2
x
+ 1
= −1
• 1∞
Exemplo 2.13. Ache o seguinte limite: lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x+5
Resolução:
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x+5
= 1∞
=⇒ lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x+5
= lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x(
1 +
1
x
)5
=
= lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
× lim
x→∞
(
1 +
1
x
)5
= e× 1 = e
2.5.4 Limites Laterais
1) Se f(x) tende para o limite b quando x tende para a, tomando apenas valores menores que a,
escreve-se:
lim
x→a−
f(x) = b
O número b chama-se Limite à Esquerda de f(x), no ponto a
2) Se f(x) tende para o limite c quando x tende para a, tomando apenas valores maiores que a,
escreve-se:
lim
x→a+
f(x) = c
O número c chama-se Limite a Direita de f(x), no ponto a
Portanto, b e c são chamam-se Limites Laterais
Exemplo 2.14. Determine os limites laterais das seguintes funções:
1)
f(x) =
 3, se x < 2;x− 1, caso contrário,
Vamos construir o gráfico desta funções para podermos ilustrar os seus limites laterais.
Com base na figura (2.1), constatamos que:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 131
x
y
y = 3x2
Figura 2.1:
• à esquerda de 2, a função tende para 3: lim
x→2−
f(x) = 3
• à direita de 2, a função tende para 1: lim
x→2+
f(x) = 1
Definção 2.15. Diz-se que uma função tem limite num certo ponto se os seus limites laterais
forem iguais, isto é:
lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = lim
x→a
f(x)
Observação 2.8. Para a função da figura (2.1), como seus limites laterais são diferentes quando
x→ 2, dizemos que ela não tem limite quando x→ 2.
2)
f(x) =

x2 − 1, se x ∈]−∞, 1[;
−x+ 1, x ∈]1;∞[;
2, x = 1
Vamos construir o gráfico desta função para podermos ilustrar os seus limites laterais.
Com base na figura (2.2), constatamos que:
• à esquerda de 1, a função tende para 0: lim
x→1−
f(x) = 0
• à direita de 1, a função tende para 0: lim
x→1+
f(x) = 0Observação 2.9. Para a função na figura (2.2), como seus limites laterais são iguais quando
x→ 1 dizemos que ela tem limite e esse limite é igual a zero.
2.5.5 Limites Notáveis
Vejamos alguns limites notáveis
132 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
Figura 2.2:
1) lim
x→0
sinx
x
= 1
2) lim
x→0
tanx
x
= 1
3) lim
x→0
ln(x+ 1)
x
= 1
4) lim
x→0
ex − 1
x
= 1
2.5.6 Alguns Exerćıcios Resolvidos
1) Resolva lim
x→∞
(2x− 1)(3x+ 5)(4x− 2)
3x3 + x− 2
Resolução:
Substituindo por ∞ , teremos
lim
x→∞
(2x− 1)(3x+ 5)(4x− 2)
3x3 + x− 2
=
[∞
∞
]
.
Tomando as partes principais para levantar a indeterminação, teremos
lim
x→∞
(2x− 1)(3x+ 5)(4x− 2)
3x3 + x− 2
= lim
x→∞
2x 3x 4x
3x3
= lim
x→∞
24x3
3x3
=
24
3
= 8
2) Resolva lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2
Resolução:
Substituindo por 2, teremos
lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2
=
[
0
0
]
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 133
Factorizando, tanto o numerador, como o denominador, teremos
lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2
= lim
x→2
(x+ 2)(x− 2)
(x− 2)(x− 1)
= lim
x→2
x+ 2
x− 1
=
4
1
= 4.
3) Resolva lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1
Resolução:
Substituindo por 0, teremos
lim
x→0
√
1 + x− 1
3
√
1 + x− 1
=
[
0
0
]
Para fazer com que tanto a raiz do numerador como a do denominador deixem de existir, fazemos
o m.m.c (menor múltiplo comum) de 2 e 3 (́ındices das ráızes). mmc(2;3)=6, e
t6 = 1 + x, x→ 0⇒ t→ 1
e
lim
t→1
t3 − 1
t2 − 1
= lim
t→1
(t− 1)(t2 + t+ 1)
(t− 1)(t+ 1)
= lim
t→1
t2 + t+ 1
t+ 1
=
3
2
.
4) Resolva lim
x→a
√
x−
√
a
x− a
Resolução:
Substituindo por ∞ , teremos
lim
x→a
√
x−
√
a
x− a
=
[
0
0
]
Um outro método para resolver este tipo de limites (expressões irracionais) consiste na raciona-
lização do denominador e(ou) do numerador. Teremos então:
lim
x→a
√
x−
√
a
x− a
= lim
x→a
(
√
x−
√
a)(
√
x+
√
a)
(x− a)(
√
x+
√
a)
= lim
x→a
x− a
(x− a)(
√
x+
√
a)
= lim
x→a
1√
x+
√
a
=
1
2
√
a
.
5) Resolva lim
x→0
(
sin 3x
x
)x+2
.
Resolução:
Vamos achar separadamente o limite da base e o limote do expoente, quando x tende para zero,
a saber:
lim
x→0
(
sin 3x
x
)
= lim
x→0
(
3
sin 3x
3x
)
= 3
134 Matemática I - Da teoria à Prática
e o limite
lim
x→0
(x+ 2) = 2
donde concluimos que
lim
x→0
(
sin 3x
x
)x+2
= 32 = 9
6) Resolva lim
x→∞
(
x+ 1
2x+ 1
)x2
Resolução:
Vamos achar separadamente o limite da base
lim
x→∞
(
x+ 1
2x+ 1
)
=
[∞
∞
]
= lim
x→∞
( x
2x
)
=
1
2
e o limite do expoente
lim
x→∞
x2 =∞
Finalmente, teremos
lim
x→∞
(
x+ 1
2x+ 1
)x2
=
(
1
2
)∞
= 0
7) Resolva lim
x→∞
(
x+ 1
x− 1
)x
Resolução:
Substituindo por ∞ , teremos
lim
x→∞
(
x+ 1
x− 1
)x
= [1∞]
Levantando a indeterminação, teremos:
e
lim
x→∞
(
x+ 1
x− 1
− 1
)
x
= e
lim
x→∞
(
2
x− 1
)
x
= e
lim
x→∞
(
2x
x− 1
)
= e
lim
x→∞
(
2x
x
)
= e2
8) Resolva lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
Resolução:
Substituindo por ∞ , teremos:
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
= [1∞]
Levantando a indeterminação, teremos:
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
= e
lim
x→∞
(
x+ 1
x
− 1
)
x
= e
lim
x→∞
(
1
x
)
x
= e
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 135
9) Resolva lim
x→∞
x[ln(x+ 1)− ln(x)]
Resolução:
Substituindo por ∞ , teremos
lim
x→∞
x[ln(x+ 1)− ln(x)] = [∞−∞]
Levantando a indeterminação, teremos:
lim
x→∞
x[ln(x+ 1)− ln(x)] = lim
x→∞
x
[
ln
x+ 1
x
]
= lim
x→∞
ln
(
x+ 1
x
)x
= ln
[
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x]
Como
lim
x→∞
(
x+ 1
x
)x
= e
(vide exerćıcios anteriores), então teremos
lim
x→∞
x[ln(x+ 1)− ln(x)] = ln e = 1
2.6 Aula 14 - Prática
Os exerćıcios 1, 3, 5, 8, 9, 11, 14 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 2, 4, 6, 7, 10, 12, 13 deverão ser resolvidos
pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente de aulas
teóricas na aula teórica da semana seguinte.
Calcule
1) lim
x→1
2x2 − 5x+ 8
x2 + 1
2) lim
x→0
4x3 − 2x2 + x
3x2 + 2x
3) lim
x→1
x3 − 1
x− 1
4) lim
h→0
(x− h)3 − x3
h
5) lim
x→3
x− 3√
3− x
6) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
7) lim
x→a
x2 − ax
a− x
8) lim
x→p
x−√p
x2 − p
9) lim
x→1
(
1
1− x
− 3
1− x3
)
136 Matemática I - Da teoria à Prática
10) lim
x→0
√
x2 + p2 − p√
x2 + q2 − q
11) lim
x→a
m
√
x− m
√
a
x− a
12) lim
x→∞
(
1 +
k
x
)x
13) lim
x→0
√
2x+ 1−
√
x+ 1
sinx
14) lim
x→∞
(√
x2 + 1−
√
x2 − 1
)
15) lim
x→0
sin 4x
tanx
16) lim
x→0
sinx− tanx
x
17) lim
x→0
sin
x
2
8x
18) lim
x→0
x√
1− cosx
19) lim
x→0
sin(a+ x)− sin(a− x)
x
20) lim
x→π
2
(1 + cosx)3 secx
2.7 Aula 15 - teorica
2.7.1 Continuidade de Funções
Definção 2.16. A função f(x) diz-se cont́ınua no ponto x = x0 se se verificam simultaneamente as
seguintes condições:
1) A função é definida no ponto x = x0 , isto é, existe um número f(x0)
2) Existe limite finito de f(x) quando x tende para x0
3) lim
x→x0
f(x) = f(x0),
Exemplo 2.15. Verifique se a função f(x) = x2 é cont́ınua no ponto x0 = 2
1) A função f(x) = x2 é definida em x0 = 2 e f(2) = 4.
2) lim
x→2
x2 = 4
3) lim
x→2
x2 = f(2)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 137
Concluimos deste modo que a função é cont́ınua.
Observação 2.10. Se uma função não é cont́ınua, dizemos que ela é Descont́ınua.
Observação 2.11. Seja f(x) uma função definida num certo intervalo e x0 pertencente a esse inter-
valo. Então, se:
•
lim
x→x−0
f(x) = f(x0) 6= lim
x→x+0
f(x)
dizemos que ela é cont́ınua a Esquerda.
•
lim
x→x+0
f(x) = f(x0) 6= lim
x→x−0
f(x)
dizemos que ela é cont́ınua a Direita.
2.7.2 Pontos de Descontinuidade
Se num dado ponto x = x0 , a condição de continuidade é violada, então x0 chama-se Ponto de
Descontinuidade.
Exemplo 2.16. Na função
f(x) =
x− 1
(x− 2)(x+ 1)
é descont́ınua nos pontos x = 2, x = −1 pois esta função não estã definida nestes pontos. Então
x = 2, x = −1 são pontos de descontinuidade para a função dada.
2.7.3 Classificação dos Pontos de Descontinuidade
Descontinuidade da Primeira Espécie
Se para uma função f(x) existirem limites laterais finitos e diferentes, isto é,
1) ∃ lim
x→x−0
f(x)
2) ∃ lim
x→x+0
f(x)
3) lim
x→x−0
f(x) 6= lim
x→x+0
f(x)
então o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de Descontinuidade da Primeira
Espécie do Tipo Salto.
Se lim
x→x−0
f(x) = lim
x→x+0
6= f(x0, )
138 Matemática I - Da teoria à Prática
então o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto deDescontinuidade da Primeira Espécie
Eliminável ou Evitável.
Exemplo 2.17. 1) A função [vide figura (2.3)]
f(x) =
 x+ 1, se x ≥ 2;−x, x < 2.
x
y
Figura 2.3:
é descont́ınua no ponto x = 2, Classifique o tipo de descontinuidade.
Descontinuidade da Segunda Espécie
Se para uma função f(x) pelo menos um dos limites laterais for ∞ , então a descontinuidade é da
segunda espécie.
Exemplo 2.18. Vejamos os seguintes exemplos
1) Investigue a continuidade da função y =
1
x
. Esta função é homográfica e tem a = 0, b = 1, c =
1, d = 0,
pelo gráfico da figura (2.4) podemos fazer as seguintes leituras
(a) lim
x→0+
= +∞
(b) lim
x→0−
= −∞
(c) A função é no ponto x = 0 discont́ınua (discontinuidade de segunda espécie).
2) Investigue a continuidade da função y =
x− 1
(x− 2)(x+ 1)
, pelo gráfico da figura (2.5) podemos
fazer as seguintes leituras
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 139
x
y
Figura 2.4:
x
y
Figura 2.5:
(a) lim
x→−1−
= −∞
(b) lim
x→−1+
= +∞
(c) lim
x→2−
= −∞
(d) lim
x→2+
= +∞
(e) A função é nos pontos x = −1 e x = 2 discońınua (discontinuidade de
segunda espécie).
140 Matemática I - Da teoria à Prática
2.8 Aula 16 - Prática
Os exerćıcios 1- 6 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão corrigidos e discuti-
dos na aula prática. Os exerćıcios 1-6 deverão ser resolvidos pelos estudantes para a consilidação do
conhecimento e deverão ser entregues ao Docente de aulas teóricas naaula teórica da semana seguinte.
1) Investigue a continuidade da seguinte função: f(x) =
x2 − 3x+ 2
x2 + x+ 1
.
2) Determine se a função f(x) =
sinx
|x|
, f(0) = 1 é cont́ınua.
3) Seja f uma função definida por f(x) =
 3x x ≤ −1x2 − x+ p x > −1 . Determinine p para que a
função f seja cont́ınua.
4) Determine se é cont́ınua a função f(x) =
 x2 − 1, x ≤ 0;|x2 − 1|, x > 1.
5) Investigue a continuidade das seguintes funções
(a) f(x) = |x|
(b) f(x) =
x2 − 4
x− 2
; se x 6= 2 e f(x) = A; x = 2
(c) f(x) = e−
1
x2
(d) f(x) =
1
1 + e
1
x−1
6) Ache os pontos de descontinuidade para as seguintes funções
(a) f(x) =
x
(1 + x)2
(b) f(x) =
x+ 1
x3 + 1
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto você
Typeset by LATEX 2ε
Caṕıtulo 3
Derivadas e aplicações
3.1 Aula 17 - Teórica
3.1.1 Conceito de Derivada
Definção 3.1. Sejam x1 e x2 dois pontos pertencentes a D, onde D é o domı́nio de definição de
função f(x), suponhamos ainda que x2 > x1, chamaremos de incremento de x a expressão
∆x = x2 − x1.
Definção 3.2. Seja dada a função f(x) que é definida num certo domı́nio D. Suponhamos que x1 e
x2 são dois pontos pertencentes a D, e x2 > x1. Chamaremos de incremento de f a função dada
pela expressão
∆f(x) = f(x2)− f(x1).
x
y
2x
x1 x2
f(x1)
f(x2)
∆y
∆x
Figura 3.1:
Observação 3.1. Traçando a partir do gráfico da figura (3.1) um segmento que une os pontos f(x1)
e f(x2) obtemos a figura (3.2)
141
142 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
2x
x1 x2
f(x1)
f(x2)
Figura 3.2:
de onde observa-se que estamos na presença de um triângulo com pontos em (x1, f(x1)); (x2, f(x1))
e (x2, f(x2)). Da trigonometria sabemos que o quociente dos catetos (oposto pelo adjacente) a um
determinado ângulo corresponde a tangente a esse ângulo; sabe-se também que a tangente a um
determinado ângulo dita o coeficiente angular da hipotenusa, isto é, o grau de inclinação da hipotenusa.
Sendo assim,
∆y
∆x
=
cateto oposto
cateto adjacente
é o coeficiente angular (declive) do segmento que une f(x1) com f(x2)
Observação 3.2. Vejamos o seguinte, como
∆y = f(x2)− f(x1) e ∆x = x2 − x1 ⇒ x2 = x1 + ∆x
e
∆y = f(x1 + ∆x)− f(x1)
Definção 3.3. Suponhamos que a distância entre os pontos x1 e x2 é menor; isto é;
x2 ∼= x1 ⇒ x2 − x1 ∼= 0⇒ ∆x→ 0
Suponhamos ainda que nestas condições existe o limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
este limite é igual a derivada da função f(x) em x1 e denota-se f
′(x1)
Definção 3.4. A função que determina a relação entre os valores de x e as derivadas nesses pontos
chamamos de função derivada e denota-se f ′(x)
Exemplo 3.1. Consideremos os seguintes exemplos:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 143
1) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) = 2
Resolução: Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x pertencente ao domı́nio de f(x). A
função f(x) é constante , portanto f(x) = 2 e f(x+ ∆x) = 2 dai teremos que
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = 2− 2 = 0
Passando ao limite obtemos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
0
∆x
= 0
dizemos então que f ′(x) = 0
2) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) = x
Achemos primeiro ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x).
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = (x+ ∆x)− x = ∆x
Passando ao limite temos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= 1
dizemos então que
f ′(x) = 1, e verifica-se que f ′(0) = 1; f ′(2) = 1; f ′(4) = 1.
3) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) = x2
Achemos ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x).
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = (x+ ∆x)2 − x2 = x2 + 2x∆x+ (∆x)2 − x2 = 2x∆x+ (∆x)2
Passando ao limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
2x∆x+ (∆x)2
∆x
=
[
0
0
]
levantando a indeterminação (simplificando a expressão) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
2x+ ∆x
1
= 2x
dizemos então que
f ′(x) = 2x, e por exemplo f ′(0) = 2× 0; f ′(2) = 2× 2 = 4; f ′(4) = 2× 4 = 8.
4) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) = x3
Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x).
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = (x+ ∆x)3 − x3 = x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3 =
144 Matemática I - Da teoria à Prática
= 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3
Passemos agora ao cálculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3
∆x
=
[
0
0
]
levantando a indeterminação (simplificando a expressão) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
3x2 + 3x∆x+ (∆x)2
1
= 3x2
dizemos então que
f ′(x) = 3x2, e por exemplo f ′(0) = 3× 02 = 0; f ′(2) = 3× 22 = 12; f ′(4) = 3× 42 = 48.
5) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) =
1
x2
Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x).
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = 1
(x+ ∆x)2
− 1
x2
=
x2 − (x+ ∆x)2
x2(x+ ∆x)2
=
=
x2 − x2 − 2x∆x− (∆x)2
x2(x+ ∆x)2
= −2x∆x+ (∆x)
2
x2(x+ ∆x)2
Calculemos também
∆y
∆x
∆y
∆x
= −
2x∆x+ (∆x)2
x2(x+ ∆x)2
∆x
= − 2x∆x+ (∆x)
2
x2(x+ ∆x)2∆x
= − 2x+ ∆x
x2(x+ ∆x)2
Passando ao limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
− 2x+ ∆x
x2(x+ ∆x)2
= −2x
x4
= − 2
x3
.
dizemos então que
f ′(x) = − 2
x3
, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) = − 2
23
= −1
4
; f ′(4) = − 2
43
= − 1
32
.
6) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) =
√
x
Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x).
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) =
√
x+ ∆x−
√
x
racionalizando o numerador (multiplicando pelo seu conjugado) teremos
∆y =
(
√
x+ ∆x−
√
x)(
√
x+ ∆x+
√
x)√
x+ ∆x+
√
x
=
∆x√
x+ ∆x+
√
x
Calculando a parte
∆y
∆x
teremos
∆y
∆x
=
∆x
∆x(
√
x+ ∆x+
√
x)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 145
e simplificando a expressão obtemos
∆y
∆x
=
1
(
√
x+ ∆x+
√
x)
Passemos agora ao cálculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆x
=
1
(
√
x+ ∆x+
√
x)
=
1
2
√
x
.
dizemos então que
f ′(x) =
1
2
√
x
, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) =
1
2
√
2
; f ′(4) =
1
2
√
4
=
1
4
.
7) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) = sinx
Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x).
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = sin(x+ ∆x)− sinx (3.1)
vamos usar as formulas trigonométricas, lembre-se que
sin p− sin q = 2 sin p− q
2
cos
p+ q
2
(3.2)
aplicando (3.2) em (3.1) teremos
lim
∆x→0
2
sin
(
∆x
2
)
cos
(
2x+ ∆x
2
)
∆x
Passando ao limite obtemos
lim
∆x→0
2
sin
(
∆x
2
)
cos
(
2x+ ∆x
2
)
∆x
.
Lembre-se que
lim
x→0
sinx
x
= 1
então
lim
∆x→0
2
sin
(
∆x
2
)
cos
(
2x+ ∆x
2
)
2
(
∆x
2
) =
= lim
∆x→0
sin
(
∆x
2
)
(
∆x
2
) × cos(2x+ ∆x
2
) = lim∆x→0
[
1× cos
(
2x+ ∆x
2
)]
= cosx
146 Matemática I - Da teoria à Prática
8) Usando a definição de derivada determine a derivada de f(x) = cosx
Vamos achar ∆y . Consideremos um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x).
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = cos(x+ ∆x)− cosx (3.3)
vamos usar as formulas trigonométricas, lembre-se que
cos p− cos q = −2 sin p+ q
2
sin
p− q
2
(3.4)
aplicando (3.4) em (3.3) teremos
lim
∆x→0
−2
sin
(
2x+ ∆x
2
)
sin
(
∆x
2
)
∆x
Passemos agora ao cálculo do limite
lim
∆x→0
−2
sin
(
2x+ ∆x
2
)
sin
(
∆x
2
)
∆x
.
Lembre-se que
lim
x→0
sinx
x
= 1
então
lim
∆x→0
−2
sin
(
2x+ ∆x
2
)
sin
(
∆x
2
)
2
(
∆x
2
) =
= − lim
∆x→0
sin
(
∆x
2
)
(
∆x
2
) × sin(2x+ ∆x
2
) = − lim∆x→0
[
1× sin
(
2x+ ∆x
2
)]
= − sinx
Observação 3.3. Segundo a definição podemos calcular a derivada de qualquer função, muito embora
não seja tão fácil para algumas funções um pouco mais complexas. Existem no entanto um conjunto
de formulas (regras) que ajudam a determinação da derivada de qualquer função.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 147
3.1.2 Derivação por Tabela
A seguir apresentamos um conjunto de regras que podem ser usadas para a derivação, estas regras,
auxiliam-se à tabela de derivadas
3.1.3 Regras de DerivaçãoSeja x ∈ R, f, g, h são funções de x e k , uma constante arbitrária. Então tem lugar as seguintes
propriedades:
1)
h(x) = kf(x)⇒ h′(x) = kf ′(x). (3.5)
2)
h(x) = f(x) + g(x)⇒ h′(x) = f ′(x) + g′(x). (3.6)
3)
h(x) = f(x)× g(x)⇒ h′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x). (3.7)
4)
h(x) =
f(x)
g(x)
⇒ h′(x) = f
′(x)g(x)− g′(x)f(x)
g2(x)
, g(x) 6= 0. (3.8)
3.1.4 Tabelas de Derivação
Seja x ∈ R, k é uma constante real , f, g, h são funções de x então cumpre-se o seguinte:
1) h(x) = k ⇒ h′(x) = 0.
2) h(x) = xn ⇒ h′(x) = nxn−1.
3) h(x) =
√
x⇒ h′(x) = 1
2
√
x
, x > 0.
4) h(x) = sinx⇒ h′(x) = cosx.
5) h(x) = cosx⇒ h′(x) = − sinx.
6) h(x) = tanx⇒ h′(x) = 1
cos2 x
.
7) h(x) = cotx⇒ h′(x) = − 1
sin2 x
.
8) h(x) = arcsinx⇒ h′(x) = 1√
1− x2
, (−1 < x < 1).
9) h(x) = arccosx⇒ h′(x) = − 1√
1− x2
, (−1 < x < 1).
148 Matemática I - Da teoria à Prática
10) h(x) = arctanx⇒ h′(x) = 1
1 + x2
.
11) h(x) = arcctgx⇒ h′(x) = − 1
1 + x2
.
12) h(x) = ax ⇒ h′(x) = ax ln a, (a > 0).
13) h(x) = ex ⇒ h′(x) = ex ln e = ex.
14) h(x) = lnx⇒ h′(x) = 1
x
, (x > 0).
15) h(x) = loga x⇒ h′(x) =
1
x ln a
, (x > 0, a > 0).
Exemplo 3.2. Iremos em seguida apresentar alguns exemplos de aplicação das regras e tabelas de
derivadas.
1) Ache a Derivada de y = x5 − 4x3 + 2x− 3
Resolução: Como estamos na presença de um polinómio podemos derivar monómio a monómio.
Assim teremos
y′ = 5x4 − 4× 3x2 + 2 = 5x4 − 12x2 + 2.
2) Derive y =
2x+ 3
x2 − 5x+ 5
Resolução: Estamos na presença de uma fracção, auxiliando-nos da regra (??)
y′ =
2(x2 − 5x+ 5)− (2x− 5)(2x+ 3)
(x2 − 5x+ 5)2
=
−2x2 − 6x+ 25
(x2 − 5x+ 5)2
.
3) Derive y = 5 sinx− 4 cosx
Resolução: Temos que derivar funções trigonométricas, auxiliamo-nos na regra (3.5) e (3.6),
y′ = 5 cosx− 4× (− sinx) = 5 cosx+ 4 sinx.
4) Derive y = x2 arctanx
Resolução: Auxiliados na regra (3.7) teremos
y′ = 2x arctanx+
x2
x2 + 1
.
5) Derive y = x6ex
Resolução: Trata-se da derivada de produto que contém função exponencial. Auxiliamo-nos a
regra (3.7).
y′ = 6x5ex + x6ex.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 149
6) Derive y = ex arcsinx
Resolução: Trata-se da derivada de produto que contém função exponencial e trigonométrica.
Auxiliamo-nos a regra (3.7) teremos
y′ = ex arcsinx+
ex√
1− x2
.
7) Derive y = (1 + 2x)50
Resolução: Estamos na presença de uma função composta. Auxiliamo-nos a regra (??)
y′ = 50(1 + 2x)49(1 + 2x)′ = 50(1 + 2x)492 = 100(1 + 2x)49.
8) Derive y =
(
3x+ 1
5
)4
Resolução: teremos
y′ = 4
(
3x+ 1
5
)3(3x+ 1
5
)′
= 4
(
3x+ 1
5
)3(3
5
)
=
12
5
(
3x+ 1
5
)3
.
9) Derive y =
√
1− x2
Resolução: Estamos na presença de uma função composta. Auxiliamo-nos a regra (??).
y′ =
(1− x2)′
2
√
1− x2
=
−2x
2
√
1− x2
= − x√
1− x2
.
10) Derive y = (2− 3 sin 2x)6
Resolução: teremos
y′ = 6(2− 3 sin 2x)5(2− 3 sin 2x)′ = 6(2− 3 sin 2x)5(−3 cosx)(2x)′ =
= −18(2− 3 sin 2x)5 cosx× 2 = −36(2− 3 sin 2x)5 cosx.
11) Derive y =
√
1− arctanx
Resolução: teremos
y′ =
(1− arctanx)′
2
√
1− arctanx
=
−
(
1
1 + x2
)
2
√
1− arctanx
=
= − 1
(1 + x2)(2
√
1− arctanx)
.
12) Derive y = arcsin
(
x√
1 + x2
)
y′ =
(
x√
1 + x2
)′
√
1−
(
x√
1 + x2
)2 (3.9)
150 Matemática I - Da teoria à Prática
Simplificando esta expressão teremos
y′ =
(
x√
1 + x2
)′
√
1
1 + x2
=
(
x√
1 + x2
)′√
1 + x2 (3.10)
Supondo que
y1 =
x√
1 + x2
calculamos y′1
y′1 =
(
x√
1 + x2
)′
=
√
1 + x2 − x× (1 + x
2)′
2
√
1 + x2
1 + x2
=
√
1 + x2 − 2x
2
2
√
1 + x2
1 + x2
(3.11)
simplificando esta expressão (achando mmc no numerador) teremos
y′1 =
1
(1 + x2)
√
1 + x2
(3.12)
Aplicando (3.12) em (3.10) teremos
y′ =
1
1 + x2
3.2 Aula 18 - Prática
Os exerćıcios 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
Determine a derivada das seguintes funções
1) y = sin3 5x cos2
x
3
2) y = − 15
4(x− 3)5
− 10
3(x− 3)4
− 1
2(x− 3)2
3) y =
x7
7(1− x3)5
4) y =
√
2x2 − 2x+ 1
x
5) y =
x√
2x2 − 2x+ 1
6) y =
x
a2
√
a2 + x2
7) y =
2
3
3
√
x2 +
18
7
x 6
√
x+
9
5
x
3
√
x2 +
6
13
x3 5
√
x
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 151
8) y =
1
8
3
√
(1 + x3)8 − 1
5
3
√
(1 + x3)6
9) Ache o acréscimo de x e o respectivo acréscimo da função y = log x , se x vaia de 1 até 1000.∗
10) Ache o acréscimo ∆x do argumento x e o respectivo acréscimo ∆y da função
1
x2
, se x varia
de 0.01 até 0.001.∗
11) A variável x tem um acréscimo ∆x . Ache o acréscimo ∆y , se:
a) y = ax+ b ;
b) y = ax2 + bx+ c ;
c) y = ax .
12) Aplicando a definição de derivada, ache as derivadas das seguintes funções:∗
a) f(x) = x2 ;
b) f(x) =
1
x
;
c) f(x) =
√
x .
13) Ache f ′(1), f ′(2) e f ′(3), se f(x) = (x− 1)(x− 2)2(x− 3)3 .
Determine a derivada das seguintes funções
14) f(x) = (x6 − x2 + 4x+ 2)8 ;
15) f(x) = (x5 + 9)100 ;
16) f(x) = (x2 − 2)2(x3 − 3)3 .
17) y = − 11
2(x− 2)3
− 4
x− 3
18) y =
4
5
4
√
x− 1
x+ 3
∗
19) y = x5(b− 3x4)5
20) y =
x3
3
√
(1 + x2)3
21) y =
(
a+ bxn
a− bxn
)k
22) y =
9
7(x− 3)4
− 4
(x− 3)3
+
2
(x+ 2)2
− 7
(x− 3)3
23) y = (a− x)
√
a+ x
24) y =
√
(x− a)(x− b)(x− c)(x− d) ∗
152 Matemática I - Da teoria à Prática
25) y = 7
√
x+ 5
√
x ∗
26) y = (2x+ 1)(3x− 2)
√
3x− 5
27) y =
1√
2ax− x4
3.3 Aula 19 - teorica
3.3.1 Derivada logaŕıtmica
Vamos deduzir a derivada da função logaŕıtmica h(x) = lnx usando o conceito de derivada.
Encontremos o acréscimo da função ∆y , quando um x qualquer pertencente ao domı́nio de f(x) sofre
um acréscimo ∆x .
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = ln(x+ ∆x)− lnx = ln x+ ∆x
x
= ln(1 +
∆x
x
)
Passemos agora ao cálculo do limite
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
ln(1 + ∆xx )
∆x
=
[
0
0
]
levantando a indeterminação e sabendo que
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
(simplificando a expressão) teremos
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
ln(1 + ∆xx )
x∆xx
=
1
x
·
ln(1 + ∆xx )
∆x
x
=
1
x
· 1 = 1
x
dizemos então que
f ′(x) =
1
x
.
Exemplo 3.3.
Derive y = lnx lg x
Resolução: Trata-se da derivada de produto que contém função logaŕıtmica. Auxiliamo-nos a regra
(3.7).
y′ =
lg x
x
+
lnx
x ln 10
.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 153
3.3.2 Regra de Cadeia ou Regra de Derivada de Função Composta
Se a função g(x) tem derivada no ponto x0 e a função f(u) tem derivada no ponto u(x0), então a
função composta h(x) = f(g(x)) tem derivada no ponto x0 e essa derivada é h
′(x0) = f
′(g(x0))g
′(x0).
Esta regra chama-se regra de cadeia ou regra de derivada de função composta.
De uma forma geral podemos aplicar esta regra para a derivação de várias funções, como por
exemplos funções logaŕıtmicas da forma y = lnu(x).
y′ = (lnu(x))′u′(x) =
1
u(x)
u′(x)
.
Exemplo 3.4. 1) A derivada da função y = lnx é y′ = (lnu(x))′(x)′ =
1
u(x)
· 1 = 1
x
, sendo
u(x) = x
2) Derive y = arctan lnx
Sabendo que (arctan t)′ =
1
1 + t2
então:
y′ =
(lnx)′
1 + ln2 x
=
1
x(1 + ln2 x)
3.3.3 Derivada de função dada na forma impĺıcita
Seja y = y(x) uma função diferenciável que satisfaz a equaçõ F (x, y) = 0. Então, a derivada y′(x)
desta função dada na forma impĺıcita F (x, y) = 0 podemos achar a partir da equação
dF (x, y)
dx
= 0,
onde F (x, y) considera-se como uma função composta de x .
Exemplo 3.5. 1) Achar y′ em relação à x da função x2 + (2x+ 1)y3 − 3xy − 6 = 0.
Resolução:
(x2 + (2x+ 1)y3 − 3xy − 6)′ = 0⇔
(x2)′ + (2x+ 1)′xy
3 + (2x+ 1)(y3)′x − (3x)′xy − 3xy′ − (6)′ = 0⇔
154 Matemática I - Da teoria à Prática
2x+ 2y3 + 3(2x+ 1)y2y′ − 3y − 3xy′ = 0⇔
y′ =
2x+ 2y3 − 3y
3x− 3(2x+ 1)y2
3.3.4 Derivada da função paramétrica
Consideremos que as funções x = ϕ(t) e y = ψ(t) estão definidas num intervaloe em todos os pontos
desse intervalo elas têm derivadas ϕ′(t) 6= 0 e ψ′(t). Então, a derivada da função paramêtrica x = ϕ(t)y = ψ(t)
y em relação a x é dada pela fórmula
y′x =
y′t
x′t
=
ψ′(t)
ϕ′(t)
.
Exemplo 3.6. Ache y′x se  x = cos ty = sin t , 0 < t < π
Resolução:
y′x =
y′t
x′t
=
ψ′(t)
ϕ′(t)
=
(sin t)′
(cos t)′
= − cot t = −x
3.4 Aula 20 - Prática
Os exerćıcios 1, 3, 4, 8, 13, 16, 19, 27, 29 devem ser resolvidos na qualidade de TPC.
Serão corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 2, 5, 9, 10, 17, 21, 23, 30 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
Determine a derivada y′(x) das seguintes funções,
1) y =
cos3 x(3 cos4 cos5 x− 5)
15
2) y = ecos
2 x
3) y = ln ln ln lnx
4) x3 + y3 − 3xy = 0;
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 155
5) x4 − 6x2y2 + 9y4 − 5x2 + 15y2 − 100 = 0
6) sin(y − x2)− ln(y − x2) + 2
√
y − x2 − 3 = 0
7) sin y +
√
x2 + 6y = 9
8) x(t) = a sin2 t, y(t) = b cos2 t ;
9) y = 4 sinx cos2 x2 + sinx2 ∗
10) y = ln( 3
√
1 + ax − 3x)− ln(
√
1 + ex + loga x)
11) y = tan(cos3 x) ∗
12) y = sin7(x− 2 cosx4)
13) x2 + y2 = 4 ∗
14) y = − cosx
4 sin4 x
+
4
3
cotx
15) y = arctan
x sinα
1 + x cosβ
16) y = sinx a
17) y =
6
√
eax+b
18) y =
√
a sin2 x+ b cosx2
19) y =
√
cosxa
√
sinx ∗
20) y = ln(x+
√
a2 + x2)
21) y = x− 2
√
x+ 2 ln (1 + 5
√
x)
22) y =
x
ln3 x
23) y = ln cos
x− 2
x2
∗
24) y = ln
(x− a)2
x3 + b
25) y =
tan3 x
3
− tanx+ x
26) ex + ey − 2xy − 1 = 0 ∗
27) x4 ln y + 2x3 + xy5 − 1 = 40 ∗
28) y =
(tanx−1)(tan4 x+ 7 tan5 x− arctanx)
3 tan3 x
156 Matemática I - Da teoria à Prática
29) x(t) = cos(t2 + 2t), y(t) = sin(t4 − 16) ∗
30) x(t) = e−t sin t, y(t) = et cos t
3.5 Aula 21 - teorica
3.5.1 Interpretação geométrica e mecânica da derivada
A derivada da função f(x) no ponto x0 representa o coeficiente angular da tangente ao gráfico de
f(x) no ponto [x0, f(x0)] e a equação dessa tangente é dada por
y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).
Facilmente, nota-se que a perpendicular à tangente é
y = − 1
f ′(x0)
(x− x0) + f(x0), se f ′(x0) 6= 0.
Exemplo 3.7. Encontre a recta tangente ao gráfico de f(x) = x3+2 no ponto x = 1 e a perpendicular
a tangente.
Se P é um ponto do plano com x(t) e y(t) como suas coordenadas no instante t , então o vector
r =
−−→
OP pode ser dado por
r(t) = x(t)i + y(t)j. (3.13)
A velocidade instantânea do ponto P no momento t é dada pela derivada de (3.13), isto é
r′(t) = x′(t)i + y′(t)j.
i e j representam vectores unitários perpendiculares.
3.5.2 Diferencial da função de uma variável real
Função diferenciável
Diremos que a função f(x) é diferenciável no pono x0 se o seu acréscimo ∆f neste ponto, correspon-
dente ao acréscimo ∆x do argumento x , admite a representação
∆f = A∆x+ α(∆x) ∆x,
onde A é um certo valor, não depende de ∆x , α é uma função dependente de ∆x , infinitamente
pequena e cont́ınua no ponto ∆x = 0.
Teorema 3.1. (sobre a condição necessária e suficiente de diferenciabilidade)
Para que a função f(x) seja diferenciável no ponto x0 é necessário e suficiente que exista a derivada
f ′(x0).
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 157
Neste caso, o acréscimo é
∆f = f ′(x0) ∆x+ α∆x.
Diferencial da função
Definção 3.5. Chama-se diferencial da função f(x) no ponto x0 à função linear homogénea de
argumento ∆x definida por
df = f ′(x0) ∆x, f
′(x0) 6= 0.
Para valores de ∆x muito pequenos temos ∆f ≈ df , isto é
f(x0 + ∆x)− f(x0) ≈ f ′(x0) ∆x.
Exemplo 3.8. Encontrar o diferêncial dy e o acréscimo ∆y da função y = x2
1) Para valores arbitrários de x e ∆x
2) Para x = 20, ∆x = 0.1
Resolução:
1) ∆y = (x+ ∆x)2 − x2 = 2x∆x+ ∆x2
dy = (x2)′∆x = 2x∆x
2) Se x = 20 e ∆x = 0.1 então ∆y = 2 · 20 · 0.1 + (0.1)2 = 4.01
dy = 2 · 20 · 0.1 = 4.00
isto é, o erro cometido substituindo ∆y por dy é igual a 0.01.
3.5.3 Derivadas e diferenciais de ordem superior
Seja f(x) uma função derivável (que admite derivada):
i) se a derivada f ′(x) é uma função derivável, então sua derivada chama-se derivada de segunda
ordem da função f(x) e é denotada por f ′′(x) ou f (2)(x) ou
d2f(x)
dx2
. Se f ′′(x) é derivável,
então sua derivada chama-se derivada de terceira ordem;
ii) em geral, se a derivada de (n − 1)-ésima ordem de f(x) é uma função derivável, sua derivada é
chamada derivada de n-ésima ordem da função f(x) e a denotação usada é f (n)(x) ou
dnf(x)
dxn
.
Uma função que possui derivada de n-ésima ordem chama-se n vezes diferenciável.
Exemplo 3.9. Encontre f (n)(x) se f(x) = x4 + 2x3 + x− 1.
158 Matemática I - Da teoria à Prática
3.5.4 Polinómio de Taylor e de Maclaurin
Seja f(x) uma função n-vezes diferenciável no ponto x0 . O polinómio
Pn,x0(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k
chama-se polinómio de Taylor para a função f(x), com o centro no ponto x0 . No caso particular,
quando x0 ≡ 0 chama-se polinómio de Maclaurin.
Exemplo 3.10. Decomponha em polinómio de Taylor com o centro x0 = 1 e de Maclaurin a função
f(x) = x3 + 3, se n = 3.
Teorema 3.2. (Regra de L’Hospital)
Suponhamos que se cumprem as seguintes condições:
a) as funções f(x) e g(x) estão definidas e são diferenciáveis numa certa vizinhança do ponto x0
com excepção, talvez, no próprio ponto;
b) lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0;
c) g′(x) 6= 0 na vizinhança do ponto x0 com excepção, talvez, no próprio ponto;
d) existe lim
x→x0
f(x)
g(x)
.
Então,
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
.
Exemplo 3.11. Usando a regra de L’Hospital, calcule
lim
x→1
x4 + 3x3 − 4
3
√
x− 1
.
3.6 Aula 22 - Prática
Os exerćıcios 1, 4, 7, 9, 11, 18, 21, 24 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 2, 5, 8, 10, 15, 20, 22, 25 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Calcule o acréscimo e o diferêncial da função da função y = x3 +2x para x = −1 e ∆x = 0.002.
2) Conhecendo sin 60· = 0, 866015, cos 60· = 12 calcular o valor aproximado de sin 60
·3′ e sin 60·18′ .
Comparar os resultados obtidos com os dados das tábuas.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 159
3) Ache as derivadas y′′xx e y
′′′
xxx das funções dadas na forma paramétrica:
x(t) = 2t− t2, y(t) = 3t− t3 ;
x(t) = cos t, y(t) = sin t ;
4) Decomponha o polinómio de terceiro grau P (x) = 1 + 3x + 5x2 − 2x3 em potências de x + 1.
R: 5− 13(x+ 1) + 11(x+ 1)2 − 2(x+ 1)3 .
5) Decomponha a função f(x) = e2x−x
2
em potências de x até o termo com x3 .
6) Usando a regra de L’Hospital calcule os seguintes limites:
lim
x→0
sinαx
tanβx
;
lim
x→0
tanx− x
x3
;
7) Seja dada a função f(x) = x2 − x. ∗
(a) Determine f
′
(x) pelo cálculo de lim
∆x→0
∆y
∆x .
(b) Determine a equação da tangente ao grafico em (−3, 12).
(c) Determine o ponto em que a inclinação do grafico é igual a:
i. 4
ii.
1
2
iii. −2
8) Calcule a inclinação do grafico da função y = x4 nos pontos (2, 16) e (−1, 1).
9) Seja f(x) = x5. Para que valores de x , a derivada é igual a
5
16
?
10) Seja f(x) =
√
x.
(a) Desenhe o grafico da função.
(b) Calcule lim
x→0+
f(x)
(c) Investigue lim
x→0+
f
′
(x)
(d) Determine o ponto de tangencia com a equação y = x+
1
4
11) Seja f(x) = 2x2 + 2. ∗
(a) Determine os pontos de intersecção do grafico com os eixos de x e dos y.
(b) Determine f
′
(x).
(c) Determine os pontos do grafico em que a tangente tem coeficiente angular igual a
3
2
.
160 Matemática I - Da teoria à Prática
(d) Desenhe o grafico de f .
12) Seja, agora, g(x) = 2x3 + x2 + x+ 2.
(a) Responda as mesmas perguntas que no exercicio anterior.
(b) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é paralela a rectay = x.
(c) Desenhe o gráfico de g.
13) Determine a equação da tangente ao grafico de f(x) para o valor ∗ dado de x :
(a) f(x) = (3x2 + 1)2; x = −1
(b) f(x) =
1
(2x− 1)2
; x = 1
14) Ache as derivadas y′′xx e y
′′′
xxx das funções dadas na forma paramétrica:
1 x(t) = a sin2 t, y(t) = b cos2 t ;
2 x(t) = cos(t2 + 2t), y(t) = sin(t4 − 16);
3 x(t) = e−t sin t, y(t) = et cos t
4 y(x) =
1
4
x2(2 lnx− 3);
6 y(x) = f(ex);
15) Usando a regra de L’Hospital calcule os seguintes limites:
9 lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
;
11 lim
x→∞
2x3
x2 + 1
;
12 lim
x→∞
x2 + x− 2
4x3 − 1
.
16) Decomponha f(x) = sinx em potências de x até x4 . ∗
17) Decomponha f(x) = cosx em potências de x até x4 .
18) Decomponha a função f(x) = x6 em potências de x− 1 até (x− 1)5 .
19) Decompôr f(x) = m
√
am + x, (a > 0), m ∈ N\{1} até x2 . R: a+ x
mam−1
− (m− 1)x
2
2m2a2m−1
+Rn(x).
20) Dum rectângulo de cartolina de de 10dm de 16dm faz-se uma caixa (sem tampa) cortando 4
quadrados iguais nos 4 vertices.
(a) Determine a derivada da formula do volume.
(b) Para que valor do lado dos 4 quadrados recortados o volume é maximo e quanto é esse
volume?
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 161
(c) Desenhe o grafico do volume em função ao lado dos quadrados referidos anteriormente.
21) Um papel rectangular de area 2m2 vai-se imprimir. As partes que se nao imprimem sao as
bordas de 20cm abaixo e acima e as bordas de 15cm e esquerda e a direita. Quais sao as
dimensoes do papel para uma area impressa maxima? ∗
22) Suponha que uma bola foi deixada cair do posto de observação da torre, 450m acima do solo. ∗
a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos? (sol : 49m/s)
b) Com que velocidade a bola chega ao solo? (sol : 94m/s)
23) A posição de uma part́ıcula é dada pela equação do movimento S = f(t) =
1
1 + t
, onde t é
medido em segundos e S em metros. Encontre a velocidade e a rapidez após 2 segundos.sol :
(v(2) = −19m/s, rapidez = |v(2)|)
24) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa, e o custo da produção de x metros
desse material é C = f(x). ∗
a) Qual o significado da derivada f ′(x)? Quais suas unidades?
b) Em termos práticos, o que significa dizer que f ′(1000) = 9?
c) O que você acha que é maior, f ′(50) ou f ′(500)? E f ′(5000)?
25) Seja D(t) a d́ıvida de um páıs no instante t . A tabela a baixo concede os valores aproxi-
mados dessa função fornecendo as estimativas da d́ıvida, ao fim de cada ano, em bilhões de
dólares no peŕıodo de 1980 a 2000. Interprete e estime os valores de D′(1990). (sol :≈
303bilhões de dólares por ano).
t D(t)
1980 930,2
1985 1945,9
1990 3233,3
1995 4974,3
2000 5674,2
3.7 Aula 23 - teorica
3.7.1 Estudo da Primeira Derivada
1) Se a primeira derivada de f(x) for posetiva numa região do domı́nio da função f(x), então a
função é crescente nessa região.
2) Se a primeira derivada de f(x) for negativa numa região do domı́nio da função f(x), então a
função é decrescente nessa região
162 Matemática I - Da teoria à Prática
3) Se a primeira derivada de f(x) for igual a zero num determinado ponto do domı́nio da função
f(x), então a função atinge um extremo relactivo ou local nesse ponto.
3.7.2 Estudo da Segunda Derivada
1) Se a segunda derivada de f(x) for posetiva numa região do domı́nio da função f(x), então a
função tem concavidade virada para cima nessa região.
2) Se a segunda derivada de f(x) for negativa numa região do domı́nio da função f(x), então a
função tem concavidade virada para baixo nessa região
3) Se a segunda derivada de f(x) for igual a zero num determinado ponto do domı́nio da função
f(x), então a função tem uma inflexão nesse ponto.
3.7.3 Máximos e mı́nimos de funções. Estudo completo de função
Definção 3.6. Diz-se que a função f(x) admite um máximo no ponto x1 se f(x1 + ∆x) < f(x1)
para todos ∆x suficientemente pequenos.
Definção 3.7. Diz-se que a função f(x) admite um mı́nimo no ponto x2 se f(x2 +∆x) > f(x2) para
todos ∆x suficientemente pequenos.
Teorema 3.3. Se a função derivável f(x) tem um máximo ou um mı́nimo no ponto x = x1 , então,
a sua derivada anula-se nesse ponto, isto é, f ′(x) = 0.
Exemplo 3.12. Achar os máximos e os mı́nimos da função y =
x3
3
− 2x2 + 3x+ 1
Resolução
1) Calculemos a primeira derivada: y′ = x2 − 4x+ 3
2) Igualando a zero temos x2 − 4x+ 3 = 0 onde obtemos x1 = 1, x2 = 3
3) estudemos os pontos cŕıticos: Para x1 = 1. como y
′ = (x− 1)(x− 3) então;
Para x < 1, temos y′ = (−) · (−) > 0;
Para x > 1, temos y′ = (+) · (−) < 0. portanto a função admite um máximo para x = 1 e o
valor da função neste ponto é yx=1 =
7
3
Para x2 = 3 :
Para x < 3, temos y′ = (+) · (−) < 0;
Para x > 0, temos y′ = (+) · (+) > 0. portanto a função admite um mı́nimo para x = 3 e o
valor da função neste ponto é yx=3 = 1
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 163
A determinação dos máximos e mı́nimos de uma função pode ser feita através do auxilio da se-
gunda derivada.
Teorema 3.4. Seja f ′(x1) = 0; então, a função tem um máximo no ponto x = x1 se f
′′
(x1) < 0 e
um mı́nimo se f
′′
(x1) > 0.
Exemplo 3.13. Determinar os extremos máximos e mı́nimos da função y = 4x− x4
Resolução
1) Achemos os pontos cŕıticos: y′ = 4−4x3; igualando a derivada a zero obtemos 4−4x3 = 0 onde
obtemos x = 1
2) Determinemos o sinal da segunda derivada no ponto x = 1 :
y
′′
= −12x2 e y′′(1) = −12 < 0 portanto a função tem um máximo no ponto x = 1
Alguns Exerćıcios Resolvidos
1) Consideremos a função f(x) = x2 − 1,
(a) Ache a primeira e segunda derivadas.
(b) Estude a monotonia e a concavidade de f(x)
Resolução
Usando as regras de derivação teremos
f ′(x) = 2x f ′′(x) = 2
Vamos esboçar no mesmo gráfico as três funções
164 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
x2 − 1
2x
2
Figura 3.3:
Da Leitura do gráfico e dos nossos conhecimentos sobre diferenciação tiramos as seguintes con-
clusões
• A função dada é quadrática com valor de a posetivo (concavidade virada para cima).
• A função tem um mı́nimo igual a -1 quando x = 0,
• A função deŕıvada tem zero no ponto onde a função f(x) atinge um extremo relactivo
(mı́nimo).
• A segunda derivada é posetiva e igual a 2, por isso a concavidade da parábola é virada para
cima.
• A primeira derivada de f(x) é negativa no intervalo ] −∞; 0[ e nesse intervalo a função
f(x) é decrescente.
• A primeira derivada de f(x) é posetiva no intervalo ]0; +∞[ e nesse intervalo a função f(x)
é crescente.
2) Consideremos a função f(x) = x3 − 3x2 + 2x,
(a) Ache a primeira e segunda derivadas.
(b) Estude a monotonia e a concavidade de f(x)
(c) Determine os seus extremos relactivos
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 165
Resolução
Usando as regras de derivação teremos
f ′(x) = 3x2 − 6x+ 2 f ′′(x) = 6x− 6
Vamos esboçar no mesmo gráfico as três funções, f(x), f ′(x), f ′′(x)
x
y
3x2 − 6x + 2
6x− 6
x3 − 3x2 + 2x
Figura 3.4:
166 Matemática I - Da teoria à Prática
Da Leitura do gráfico e dos nossos conhecimentos sobre diferenciação tiramos as seguintes con-
clusões
• A função dada é cúbica e por isso tem 3 raizes, xa = 0, xb = 1, xc = 2.
• A função derivada f ′(x) = 3x2 − 6x + 2 tem concavidade virada para cima, tem zeros
nos pontos x1 = 1 −
1√
3
e x2 = 1 +
1√
3
onde a função f(x) atinge extremo relactivo
(máximo em x1 ) e (mı́nimo em x2 ). Veja que estes extremos são mesmo relactivos, pois
não é verdade que o máximo valor que a função toma é atingido em 1− 1√
3
e também não
é verdade que o mı́nimo valor que a função toma é atingido em 1 +
1√
3
.
• A função f(x) tem um mı́nimo relactivo (local) igual a f
(
1 +
1√
3
)
.
• A função f(x) tem um máximo relactivo (local) igual a f
(
1− 1√
3
)
.
• A segunda derivada é uma função linear que é negativa quando x < 1 onde a concavidadede f(x) é virada para baixo.
• A segunda derivada é posetiva quando x > 1 onde a concavidade de f(x) é virada para
cima.
• No ponto x = 1 a concavidade de f(x) não está virada para cima nem para baixo, dizemos
então que é o ponto de inflexão, e é ai onde f ′′(x) = 0.
3) Faça o estudo completo da seguinte função y =
x2 − 4
x2 + 1
Resolução
Antes de mais vamos recordar que o estudo completo da função é um processo constituido por
seguintes passos:
• Determinação do Domı́nio da função.
• Determinação dos zeros da função.
• Determinação de f ′(x) e f ′′(x).
• Determinação dos zeros da primeira (extremos relactivos) e segunda derivada (pontos de
inflexão).
• Determinação das assimptotas.
• Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada).
• Estudo da concavidade da função (com base no sinal da segunda detivada).
• Esboço gráfico.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 167
(a) Determinação do Domı́nio da função.
f(x) =
x2 − 4
x2 + 1
, Df : x ∈ R
veja que o denominador não é igual a zero para qualquer valor de x ∈ R.
(b) Determinação dos zeros da função.
Para determinarmos os zeros da função teremos
f(x) = 0⇒ x
2 − 4
x2 + 1
= 0⇒ x2 − 4 = 0⇒ x = ±2.
(c) Determinação de f ′(x) e f ′′(x).
i.
f ′(x) =
(x2 − 4)′(x2 + 1)− (x2 − 4)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
=
2x(x2 + 1)− 2x(x2 − 4)
(x2 + 1)2
=
=
2x(x2 + 1− x2 + 4)
(x2 + 1)2
=
10x
(x2 + 1)2
ii.
f ′′(x) =
10x
(x2 + 1)2
=
(10x)′(x2 + 1)2 − 10x
[
(x2 + 1)2
]′
(x2 + 1)4
=
=
10(x2 + 1)2 − 10x
[
2(x2 + 1)2x
]
(x2 + 1)4
=
10(x2 + 1)2 − 40x2(x2 + 1)
(x2 + 1)4
=
=
10(x2 + 1)[x2 + 1− 4x2)
(x2 + 1)4
=
10(x2 + 1)(1− 3x2)
(x2 + 1)4
(d) Determinação dos zeros da primeira derivada (extremos relativos) e segunda derivada
(pontos de inflexão). Vamos determinar os zeros da primeira e segunda derivada
i.
f ′(x) = 0⇒ 10x
(x2 + 1)2
= 0⇒ 10x = 0⇒ x = 0
ii.
f ′′(x) = 0⇒ 10(x
2 + 1)(1− 3x2)
(x2 + 1)4
= 0⇒ 10(x2 + 1)(1− 3x2)⇒ 1− 3x2 = 0
⇒ −3x2 = −1⇒ x2 = 1
3
⇒ x = ± 1√
3
(e) Determinação das assimptotas.
i. A função dada não tem assimptotas verticais. Veja que ela tem o domı́nio x ∈ R.
e não só.
@k tal que lim
x→k
f(x) =∞
168 Matemática I - Da teoria à Prática
ii. Determinemos as assimptotas obĺıquas achando
a = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
x2 − 4
(x2 + 1)x
=
[∞
∞
]
Procuramos levantar a indeterminação
a = lim
x→+∞
x2
x3
= lim
x→+∞
1
x
= 0.
b = lim
x→+∞
[f(x)− ax] = lim
x→+∞
x2 − 4
x2 + 1
= 1.
dai temos que a assimptota obliqua é igual a
y = ax+ b = 0x+ 1 = 1
neste caso temos o caso particular de assimptota oblíıqua que é (assimptota hori-
zontal).
Vejemos que neste caso, a função tem somente uma assimptota, que é a recta y = 1.
(f) Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada). A primeira derivada é
f ′(x) =
10x
(x2 + 1)2
.
Esta função é negativa a esquerda de zero(f(x) é decrescente a direita de zero). f ′(x)
é posetiva a direita de zero (f(x) é crescente a direita de zero).
(g) Estudo da concavidade da função (com base no sinal da segunda derivada).
f ′′(x) =
10(x2 + 1)(1− 3x2)
(x2 + 1)4
ao estudarmos o sinal desta função vamos somente estudar o sinal de (1− 3x2) pois os
outros factores são sempre posetivos. teremos
x ∈]−∞;− 1√
3
[∪] 1√
3
,+∞[ f ′′(x) < 0 concavidade virada para baixo
e
x ∈]− 1√
3
;
1√
3
[ f ′′(x) > 0 concavidade virada para cima
(h) Esboço do gráfico.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 169
x
y
Figura 3.5:
Exemplo 3.14. Faça o estudo da função f(x) =
x
1 + x2
.
Resolução:
1) O domı́nio de definição da função é o intervalo ]−∞;∞[ ;
2) A função é sempre cont́ınua;
3) Procuremos os máximos e os mı́nimos desta função:
f ′(x) =
1− x2
(1 + x2)2
igualando a derivada a zero obtemos f ′(x) =
1− x2
(1 + x2)2
= 0 que resolvendo
esta equação obtemos os pontos cŕıticos x1 = −1ex2 = 1.
É fácil verificar que f ′(x) < 0 para x < −1 e f ′(x) > 0 para x > −1. então a função tem um
mı́nimo no ponto x = −1 e fmin = f(−1) = −0, 5;
Pra outro lado, f ′(x) > 0 para x < 1 e f ′(x) < 0 para x > 1 onde a função admite um máximo
no ponto x = 1, e fmax = f(1) = 0, 5;
4) Determinação dos intervalos de crescimento e de decrescimento da função:
f ′ < 0 para −∞ < x < −1, a função é decrescente;
f ′ > 0 para −1 < x < 1, a função é crescente;
f ′ < 0 para 1 < x <∞, a função é decrescente.
5) Determinação dos intervalos de convexidade, de concavidade e os pontos de inflexão do gráfico:
Achamos a segunda derivada f
′′
(x) =
2x(x2 − 3)
(1 + x2)3
igualando a derivada a zero obtemos f
′′
(x) =
2x(x2 − 3)
(1 + x2)3
= o onde resolvendo a equação encontramos x1 =
√
3, x2 = 0, x3 =
√
3.
Analizemos a f
′′
(x) em função de x :
Para −∞ < x < −
√
3 tem-se f
′′
< 0, a curva é convexa;
Para −
√
3 < x < 0 tem-se f
′′
> 0, a curva é côncava;
170 Matemática I - Da teoria à Prática
Para 0 < x <
√
3 tem-se f
′′
< 0, a curva é convexa;
Para
√
3 < x <∞ tem-se f ′′ > 0, a curva é côncava. Os pontos de coordenadas
(
−
√
3,−
√
3
4
)
, (0, 0)
e
(
√
3,
√
3
4
)
são pontos de inflexão.
6) Determinação das assimptotas:
Para x→∞, f(x)→ 0
Para x→ −∞, f(x)→ 0, portanto, a recta f(x) = 0 é uma assimptota obĺıqua.
O Esboço do gráfico da função deixamos a cargo do leitor.
3.8 Aula 24 - Prática
Os exerćıcios 1a, 1d, 2b, 3c, 4b, 7, 9, 10 devem ser resolvidos na qualidade de TPC.
Serão corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 1b, 1c, 2c, 3e, 4c, 5, 6, 8 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) para as seguintes funções
(a) f(x) = 2 + (x− 1)3
(b) f(x) = x3 − 3x2 + 2
(c) f(x) = 3
√
x
(d) f(x) =
x2
x− 1
Determine os intervalos de variação da função; as coordenadas dos pontos maximo, minimo e de
inflexao; o coeficiente da recta tangente e o ponto de inflexao.
2) Classifique a paridade as funções seguintes:
(a) y = |x|
(b) y =
1
x
(c) y =
x2 − x
x2 + 1
(d) y =
√
|x2 + 1|
3) Estudar o comportamento e construir os gráficos das funções:
(a) f(x) = x2 − 2x+ 1
(b) y = −x3 − 6x2 − 9x
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 171
(c) y =
x2 − 4
x2 + 1
(d) f(x) = sin(3x)
(e) f(x) = e−
1
x
4) Estudar o comportamento e construir os gráficos das funções:
(a) f(x) =
8a3
x2 + 4a2
(b) f(x) =
x2
1 + x
∗
(c) f(x) = xe−x
(d) f(x) = x2e−x
2 ∗
5) Seja f(x) = x2 − 1
2
x; x ∈
[
1
4
,+∞
[
∗
(a) Determine o dominio e o contradominio da sua função inversa g.
(b) No grafico de g situa-se P(p,1). Calcule p.
(c) Determine a equação da tangente ao gráfico em p.
6) f(x) = sinx+ cosx. ∗
(a) Calcule a derivada de f.
(b) Determine os zeros de f.
(c) Determine os extremos de f.
(d) Desenhe o gráfico de f.
7) Responda às mesmas perguntas do exercicio precedente para a função f(x) = sin2 x.
8) Seja dada a função f(x) = arctanx.
(a) Desenhe o gráfico de f.
(b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a tangente tem declive igual a
1
4
. . Trace essas
tangentes no gráfico desenhado.
(c) Determine os valores posśıveis dos coeficientes angulares das tangentes ao gráfico de f.
9) Uma part́ıcula move-se ao longo de uma reta com a equação do movimento S = f(t), onde S é
medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade quando t = 2,
a) f(t) = t2 − 6t− 5
b) f(t) = 2t3 − t+ 1
172 Matemática I - Da teoria à Prática
10) O custo da produção de x onças (1 libra = 12 onças) do ouro proveniente de uma nova mina é
C = f(t) dólares.
a) Qual o significado da derivada de f ′(x)? quais são suas unidades?
b) O que significa f ′(800) = 17?
c) Você acha que os valores de f ′(x) vão crescer ou decrescer a curto prazo? E a longo prazo?
Explique.
Com a simplicidade construimos o orgulho!...
Typeset by LATEX 2ε
Caṕıtulo 4
Cálculo Integral
4.1 Aula 25 - teoricaUm dos problemas fundamentais de Análise Matemática é a determinação da área de uma região plana
limitada por várias curvas, este problema é conhecido também como sendo problema de integração
e aparece relacionado com o problema de derivação, sendo um inverso do outro. Pretende-se neste
caṕıtulo fazer uma abordagem detalhada deste problema e debruçar algumas técnicas de integração.
Para construir as bases de percepção deste caṕıtulo começaremos por estudar somatórios e aplica-los
com a teoria de limites para a determinação de áreas de figuras.
4.1.1 Somatórios
Definção 4.1. Seja m e n números inteiros tal que m ≤ n , e f uma função definida nos pontos
m, m+ 1, m+ 2, · · · , n . Denota-se por
n∑
i=m
f(i) a soma finita dos valores da função f nos pontos
m, m+ 1, m+ 2, · · · , n . A expressão
n∑
i=m
f(i) diz-se soma usando a notação sigma, e a sua
expansão é :
n∑
i=m
f(i) = f(m) + f(m+ 1) + f(m+ 2) + · · ·+ f(n)
Exemplo 4.1.
5∑
i=1
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
Uma soma infinita
∞∑
i=1
f(i) = f(1) + f(2) + f(3) + · · · , ou simplismente
∞∑
i=1
ai = a1 + a2 +
+ a3 + · · · , diz-se série numérica.
Propriedades da soma
1)
n∑
i=m
(Af(i) +Bg(i)) = A
n∑
i=m
f(i) +B
n∑
i=m
g(i) , para quaisquer constantes A e B .
173
174 Matemática I - Da teoria à Prática
2)
m+n∑
j=m
f(j) =
n∑
i=0
f(i+m)
Exemplo 4.2. Expresse
17∑
j=3
√
1 + j2 na forma
n∑
i=1
f(i) .
Resolução
Seja j = i+ 2, então j = 3 corresponde a i = 1 e j = 17 corresponde a i = 15 ,
logo
17∑
j=3
√
1 + j2 =
15∑
i=1
√
1 + (i+ 2)2
Fórmulas do cálculo da soma
1)
n∑
i=1
1 = 1 + 1 + 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸
n−termos
= n
2)
n∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
3)
n∑
i=1
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
4)
n∑
i=1
ri−1 = 1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rn−1 = r
n − 1
r − 1
, onde r 6= 1
Exemplo 4.3. Ache a fórmula fechada da seguinte soma:
n∑
k=m+1
(6k2 − 4k + 3),onde 1 ≤ m ≤ n .
Resolução
Usando propriedades e fórmulas do somatório acima teremos :
n∑
k=1
(6k2 − 4k + 3) = 6
n∑
k=1
k2 − 4
n∑
k=1
k + 3
n∑
k=1
1 =
6
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
− 4n(n+ 1)
2
+ 3n = 2n3 + n2 + 2n
Logo
n∑
k=m+1
(6k2 − 4k + 3) =
n∑
k=1
(6k2 − 4k + 3)−
m∑
k=1
(6k2 − 4k + 3) = 2n3 + n2 + 2n− 2m3 −m2 − 2m.
4.1.2 Cálculo de áreas usando limites de soma de áreas particionadas
Nesta secção iremos abordar um método para achar a área duma região R limitada pela curva y = f(x)
não negativa, pelo eixo OX e pelas abcissas x = a e x = b , onde a < b, veja figura (4.1). Divide-se
o intervalo [a, b] em n subintervalos x1, x2, x3, · · · , xn−1 , escolhidos de tal forma que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 175
x
y
a b
Figura 4.1:
Denota-se ∆xi o comprimento do i-ésimo subintervalo [xi−1, xi], onde
∆xi = xi − xi−1 para i = 1, 2, 3, · · · , n.
Em cada subintervalo desenha-se um rectângulo cuja a medida da base é ∆xi e a da altura é dada
pelo valor que a função f(x) (a função que limita superiormente a região) toma no ponto x = xi isto
é f(xi). Assim, a área aproximada é dada por
Sn =
n∑
i=1
f(xi)∆xi = f(x1)∆x1 + f(x2)∆x2 + f(x3)∆x3 + · · ·+ f(xn)∆xn
Exemplo 4.4. Suponhamos que queremos calcular a área da região dada pela figura (4.2) esboçada
em baixo no segmento que vai de [−1, 2]. A função esboçada é exponencial e definida por y = 2x.
Resolução
x
y
a = −1 b = 2
Figura 4.2:
Veja que a = −1; b = 2, assim, pode se usar a seguinte partição, veja a figura (4.3).
x0 = −1; x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2 e a = x0 < x1 < x2 < x3 = b.
A área de cada rectângulo é dada por f(xi)×∆xi , para i = 1, 2, 3. Portanto a área da parte rectangular
pintada é expressa por :
S3 =
3∑
i=1
f(xi)∆xi = f(x1)∆x1 + f(x2)∆x2 + f(x3)∆x3
176 Matemática I - Da teoria à Prática
Teremos então
S3 = f(0)∆x1 + f(1)∆x2 + f(2)∆x3
Considerando ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 1 teremos
S3 = f(0)× 1 + f(1)× 1 + f(2)× 1 = [f(0) + f(1) + f(2)]× 1 = 1 + 2 + 4 = 7
Está área aproxima-se por excesso a área da figura (4.2) que queremos calcular.
x
y
a b
Figura 4.3:
Observação 4.1. A aproximação que fizemos no exemplo acima é por excesso. Pode-se resolver o
mesmo exemplo fazendo a aproximação por defeito. Vejamos o exemplo seguinte.
Exemplo 4.5. Suponhamos que queremos calcular a área da região dada pela figura (4.4) no segmento
que vai de [−1, 2]. A função esboçada é exponencial e definida por y = 2x.
Resolução
a = −1; b = 2, veja a figura (4.4).
x0 = −1; x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2 e a = x0 < x1 < x2 < x3 = b.
A área de cada rectângulo é dada por f(xi)×∆xi , para i = 0, 1, 2. Portanto a área da parte rectangular
pintada é expressa por :
S3 =
2∑
i=0
f(xi)∆xi = f(x0)∆x0 + f(x1)∆x1 + f(x2)∆x2
Teremos então
S3 = f(−1)∆x1 + f(0)∆x2 + f(1)∆x3
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 177
Considerando ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 1 teremos
S3 = f(−1)× 1 + f(0)× 1 + f(1)× 1 = [f(−1) + f(0) + f(1)]× 1 = 0.5 + 1 + 2 = 3.5
Está área aproxima-se por defeito a área da figura (4.2) que queremos calcular. Que é uma apro-
ximação por defeito da área procurada.
x
y
a b
Figura 4.4:
Observação 4.2. A área da parte pintada na figura 4.2 quando calculada com exactidão, é igual a
5.049432, portanto as duas aproximações que fizemos encontram-se perto deste valor. Para melhorar
o resultado das aproximações, devemos aumentar o número de partições, i.e, o número de rectângulos
das figuras (4.4) e (4.2) devem ser maiores que 3.
ExercÃcio 4.1. Refazer os dois exemplos anteriores, particionando o segmento de [−1, 2] em 6 partes
iguais.
Observação 4.3. Sn é uma aproximação da área da região R , e esta aproximação torna-se mais
proxima do real quando n for grande, isto é , quando n tender para infinito, e isto acontece quando
∆xi tender para zero. Deste modo tem-se:
Area de R = lim
n→∞
Sn
Recomendação
Escolher pontos xi , (0 ≤ i ≤ n) no intervalo [a, b] de tal forma que os comprimentos dos subintervalos
∆xi sejam iguais. Neste caso tem-se
∆xi = ∆x =
b− a
n
, xi = a+ i∆x = a+ (b− a)
i
n
Exemplo 4.6. Achar a área limitada pela recta y = x+1 , eixo OX , e pelas abcissas x = 0 e x = 2 .
178 Matemática I - Da teoria à Prática
Resolução
Para mostrarmos com detalhes, vamos fazer o esboço região que pretendemos determinar a sua área,
vide figura (4.5)
Nota-se que a área pretendida é do trapézio com base maior igual a 3, base menor igual a 1 e altura
x
y
Figura 4.5:
igual a 2, isto é
St =
B + b
2
× h = 3 + 1
2
× 2 = 4.
Calculemos esta área como limite da soma de áreas dos rectângulos, seguindo a observação (4.3).
Dividindo o intervalo [0, 2] em n subintervalos de comprimentos iguais teremos :
x0 = 0, x1 =
2
n
, x2 =
4
n
, x3 =
6
n
, · · · , xn =
2n
n
= 2
O valor de y = x+ 1 no ponto x = xi é
xi + 1 =
2i
n
+ 1
, o i-ésimo subintervalo [
2(i− 1)
n
,
2i
n
]
,tem ∆x =
2
n
. Temos que ∆xi → 0 quando n → ∞ . Então a soma de áreas dos rectângulos
aproximados é :
Sn =
n∑
i=1
(
2i
n
+ 1
)
2
n
=
2
n
[
2
n
n∑
i=1
i+
n∑
i=1
1
]
=
2
n
[
2n(n+ 1)
2n
+ n
]
= 2
n+ 1
n
+ 2
e isto implica que a área pretendida é :
A = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
(
2
n+ 1
n
+ 2
)
= 2 + 2 = 4
unidades quadráticas
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 179
Exemplo 4.7. Achar a área A da região limitada pela parábola y = x2 , eixo OX , e pelas abcissas
x = 0 e x = b > 0
Resolução
Da divisão do intervalo [0, b] em n subintervalos iguais de comprimento
b
n
, teremos i-ésima altura
x
y
b
Figura 4.6:
do rectângulo igual a
(
ib
n
)2
vide figura (4.6).
Assim
Sn =
n∑
i=1
(
ib
n
)2 b
n
=
b3
n3
n∑
i=1
i2 =
b3n(n+ 1)(2n+ 1)
6n3
e
A = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
b3n(n+ 1)(2n+ 1)
6n3
=
b3
3
unidades quadráticas.
4.2 Aula 26 - Prática
Os exerćıcios 1a, 1c, 2b, 3a, 3b, 4a, 4b, 4c devem ser resolvidos na qualidade de TPC.
Serão corrigidose discutidos na aula prática. Os exerćıcios 1b, 1c, 2a, 3b, 4a, 4b, 4c deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Expande as seguintes somas:
(a)
100∑
j=1
j
j + 1
180 Matemática I - Da teoria à Prática
(b)
n∑
i=1
3i
(c)
n∑
j=3
(−2)j
(j − 2)2
2) Escreva as seguintes somas usando a notação sigma:
(a) 22 − 32 + 42 − 52 + · · · − 992
(b) 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn
3) Ache a fórmula fechada para as seguintes somas :
(a)
6∑
i=2
(i− 1)
(b)
n∑
k=1
(πk − 3)
4) Usando técnica do cálculo de área como limite da soma de áreas particionadas, calcule a área
das regiões limitadas pelas curvas :
(a) y = 3x, y = 0, x = 0 e x = 1
(b) y = x2 + 2x+ 3, y = 0, x = −1 e x = 2
(c) y = 2x, y = 0, x = −1 e x = 1
4.3 Aula 27 - teorica
4.3.1 Integral definido
Somas de Riemann
Definção 4.2. Diz-se que no segmento [a, b] está dada uma partição se forem dados os pontos
x0, x1, x2, x3, · · · , xn−1, xn
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 181
tais que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b
e denota-se
P = {x0, x1, x2, x3, · · · , xn−1, xn}
O conjunto P divide o segmento [a, b] em n subintervalos [xi−1, xi] chamados partição P . O número
n depende de partições, n = n(P ) , o comprimento do i-ésimo subintervalo é dado por ∆xi = xi−xi−1
o máximo dos ∆xi chama-se norma da partição P e denota-se por ‖ P ‖
‖ P ‖= max
1≤i≤n
∆xi
Seja f é uma função cont́ınua em cada subintervalo [xi−1, xi] de P , tomando-se valores máximos ui
e mı́nimo li nos pontos do subintervalo, tal que f(li) ≤ f(x) ≤ f(ui) sempre que xi−1 ≤ x ≤ xi .
Se f(x) ≥ 0 em [a, b] , então as expressões f(li)∆xi e f(ui)∆xi representam áreas dos rectângulos
que têm o intervalo [xi−1, xi] como base comum e alturas f(li) e f(ui) , respectivamente (vide figura
(4.7)).
x
y
a b
Figura 4.7:
Se Ai é área limitada pela curva y = f(x), eixo OX e pelas abcissas x = xi−1 e xi , então tem lugar
a seguinte desigualdade
f(li)∆xi ≤ Ai ≤ f(ui)∆xi
182 Matemática I - Da teoria à Prática
4.3.2 Somas inferiores e superiores de Riemann
Definção 4.3. As somas inferiores L(f, P ) e superiores U(f, P ) de Riemann para a função f são
dadas através das expressões seguintes:
L(f, P ) =
n∑
i=1
f(li)∆xi = f(l1)∆x1 + f(l2)∆x2 + · · ·+ f(ln)∆xn
U(f, P ) =
n∑
i=1
f(ui)∆xi = f(u1)∆x1 + f(u2)∆x2 + · · ·+ f(un)∆xn
Vide exemplos (4.4) e (4.5).
Exemplo 4.8. Achar a soma inferior e superior de Riemann para a função f(x) =
1
x
no intervalo
[1, 2] partido em quatro subintervalos iguais.
Resolução
A partição P consiste de pontos x0 = 1, x1 =
5
4
, x2 =
3
2
, x3 =
7
4
e x4 = 2. A função f(x) =
1
x
é
decrescente no segmento [1, 2], então os valores mı́nimos e máximos em cada subintervalo são
1
xi
e
1
xi−1
, respectivamente. Assim temos:
L(f, P ) =
1
4
(
4
5
+
2
3
+
4
7
+
1
2
)
=
533
840
U(f, P ) =
1
4
(
1 +
4
5
+
2
3
+
4
7
)
=
319
420
Definção 4.4. Suponhamos que existe um número I tal que para toda partição P do segmento [a, b]
tem lugar a desigualdade L(f, P ) ≤ I ≤ U(f, P ) . Então diremos que a função f é integrável em
[a, b] , e chamaremos ao número I de integral definido de f em [a, b] e denota-se por I =
∫ b
a
f(x)dx
onde:
∫
chama-se sinal de integral;
a e b são limites de integração, inferior e superior , respectivamente ;
f(x) é função integrada, x variável de integração , dx diferencial de x .
Nota:
O integral definido da função f(x) em [a, b] é um número ( não é uma função de x ), que depende
de a e b , e da função f(x). Deste modo é válida a igualdade :∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(t)dt
Exemplo 4.9. Mostre que a função f(x) = x2 é integrável no segmento [0, a] onde a > 0 , e calcule∫ a
0
x2dx .
Resolução
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 183
Calculando a soma inferior e superior de Riemann teremos :
L(f, Pn) =
n∑
i=1
(xi−1)
2 ∆x =
a3
n3
n∑
i=1
(i− 1)2 = a
3
n3
n−1∑
j=0
(j)2 =
a3(n− 1)n[2(n− 1) + 1]
6n3
=
a3(n− 1)(2n− 1)
6n3
U(f, Pn) =
n∑
i=1
(xi)
2 ∆x =
a3
n3
n∑
i=1
(i)2 =
a3n(n+ 1)[2n+ 1]
6n3
=
a3(n+ 1)(2n+ 1)
6n3
Donde lim
n→∞
L(f, Pn) = lim
n→∞
U(f, Pn) =
a3
3
Da desigualdade L(f, Pn) ≤ I ≤ U(f, Pn) vem que
I =
a3
3
Assim a função f(x) = x2 é integrável em [0, a] e
∫ a
0
f(x)dx =
∫ a
0
x2dx =
a3
3
Definção 4.5. Dada uma função f em [a, b] , denomina-se soma de Riemann de f toda soma da
forma :
R(f, P, c) =
n∑
i=1
f(ci)∆xi = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + f(c3)∆x3 + · · ·+ f(cn)∆xn
Onde P = {x0, x1, x2, · · · , xn} e a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b,
c = (c1, c2, · · · , cn) e ci ∈ [xi−1, xi] .
Definção 4.6. Seja f uma função definida em [a, b] . O número I denomina-se integral de f ( em
[a, b] ) se , dado qualquer ε > 0 , existe um δ > 0 tal que
| R(f, P, c)− I |=|
n∑
i=1
f(ci)∆xi − I |< ε
Seja qual for a partição P = {x0, x1, x2, · · · , xn} e ci ∈ [xi−1, xi] de [a, b] com norma inferior a
δ , isto é , tal que ‖ P ‖= max
1≤i≤n
∆xi < δ , escrevendo-se então
lim
n(P )→∞
‖P‖→0
R(f, P, c) = lim
max
1≤i≤n
∆xi → 0
R(f, P, c) = lim
max
1≤i≤n
∆xi → 0
n∑
i=1
f(ci)∆xi =
∫ b
a
f(x)dx
O integral assim definido , denomina-se integral de Riemann . Diz-se integrável a Riemann toda
função que possui esta propriedade.
Teorema 4.1. Se f é uma função cont́ınua em [a, b] , então f é integrável em [a, b] .
Exemplo 4.10. Expresse lim
n→∞
∑ 2
n
(
1 +
2i− 1
n
) 1
3
como integral definido.
Resolução
Queremos interpretar a soma de Riemann para a função f(x) = (1 +x)
1
3 . O factor
2
n
sugere-nos que
o intervalo de integração tem comprimento 2 e é dividido em n subintervalos iguais de comprimento
2
n
Seja ci =
2i− 1
n
para i = 1, 2, 3, · · · , n ; quando n→∞, c1 =
1
n
→ 0 e cn =
2n− 1
n
→ 2 . Assim
184 Matemática I - Da teoria à Prática
o intervalo é [0, 2] , e os pontos de partição são xi =
2i
n
. Nota -se que xi−1 =
2i− 2
n
< ci <
2i
n
= xi
para cada i ,f é cont́ınua em [0, 2] e consequentimente integrável neste intervalo, logo
lim
n→∞
n∑
i=1
2
n
(
1 +
2i− 1
n
) 1
3
=
∫ 2
0
(1 + x)
1
3 dx
4.3.3 Propriedades do integral definido
1)
∫ a
a
f(x)dx = 0
2)
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx
3)
∫ b
a
(Af(x) +Bg(x)) dx = A
∫ b
a
f(x)dx+B
∫ b
a
g(x)dx
4)
∫ b
a
f(x)dx+
∫ c
b
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)
5) Se f(x) ≤ g(x) para qualquer x � [a, b] , então
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx
6)
∣∣∣∣∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(x)| dx
7) Se f(x) é uma função ı́mpar no intervalo simétrico [−a, a] , então
∫ a
−a
f(x)dx = 0
8) Se f(x) é uma função par no intervalo simétrico [−a, a] , então
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx
Exemplo 4.11. Calcule: (a)
∫ 2
−2
(2 + 5x)dx (b)
∫ 3
0
(2 + x)dx (c)
∫ 3
−3
√
9− x2dx
Resolução
As áreas das regiões pretendidas são apresentadas nos seguintes esboços:
• pela propriedade 3 tem-se
∫ 2
−2
(2 + 5x)dx =
∫ 2
−2
dx+ 5
∫ 2
−2
5xdx
O primeiro integral representa a área dum rectângulo de comprimento 4 e largura 2,portanto o
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 185
x
y
−2
y = 2
2
Figura 4.8:
x
y y = x+ 2
3
Figura 4.9:
x
y
y =
√
9− x2
33
Figura 4.10:
seu valor é 8. O segundo integral é igual a zero , visto que a função integral é ı́mpar. Logo
∫ 2
−2
(2 + 5x)dx = 8 + 0 = 8.
• representa área do trepézio que é a soma das áreas do rectângulo e do triângulo, logo
∫ 3
0
(2 + x)dx = (3× 2) + 1
2
(3× 3) = 21
2
186 Matemática I - Da teoria à Prática
• representa área do semi-ćırculo de raio 3. Logo
∫ 3
−3
√
9− x2dx = π × 3
2
2
=
9π
2
Teorema 4.2. Se f é uma função cont́ınua em [a, b] , então existe um ponto c � [a, b] , tal que∫ b
a
f(x)dx = (b− a)f(c) .
x
y
a bl u
m
f(c)
M
c
Figura 4.11:
Seja f uma função integrável em [a, b] . Chama-se valor médio de f ,o valor denotadopor f, tal
que f =
1
b− a
∫ b
a
f(x)dx
Exemplo 4.12. Achar o valor médio da função f(x) = 2x , no intervalo [1, 5]
Resolução
O esboço da área representada pelo integral
∫ 5
1
2xdx , é figura (4.12):
Donde temos que f =
1
5− 1
∫ 5
1
2xdx =
1
4
(
4× 2 + 1
2
(4× 8)
)
= 6
Teorema 4.3. Se f é uma função integrável em [a, b] e F é uma primitiva de f , isto é, uma função
tal que F ′(x) = f(x) para cada x�[a, b] então
∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 187
x
y
y = 2x
1 5
Figura 4.12:
Convenção:
F (b)− F (a) = F (x)|ba
Exemplo 4.13. Calcule: (a)
∫ a
0
x2dx (b)
∫ 2
−1
(
x2 − 3x+ 2
)
dx
Resolução
(a)
∫ a
0
x2dx =
(
1
3
x3
)
|a0 =
1
3
a3 − 1
3
03 =
a3
3
(b)
∫ 2
−1
(
x2 − 3x+ 2
)
dx =
(
1
3
x3 − 3
2
x2 + 2x
)
|2−1 =
1
3
× 23 − 3
2
× 22 + 2× 2−
(
1
3
× (−1)3 − 3
2
× (−1)2 + 2× (−1)
)
=
9
2
Exemplo 4.14. Achar a área da região A limitada pela curva y = 3x− x2 e pelo eixo OX .
Resolução
A área pretendida está representada na figura (4.14)
Da equação 3x− x2 = x(3− x) = 0 tem-se como ráızes x = 0 e x = 3
188 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
y = 3x− x2
3
Figura 4.13:
Portanto a área da região pretendida é :
A =
∫ 3
0
(3x− x2)dx =
(
3
2
x2 − 1
3
x3
)
|30 =
27
2
− 27
3
− (0− 0) = 27
6
=
9
2
unidades quadráticas.
Exemplo 4.15. Ache o valor médio para a função f(x) = e−x + cosx no intervalo [−π2 , 0].
Resolução
f =
1
0−
(
−π
2
) ∫ 0
−π
2
(e−x + cosx)dx =
2
π
(−e−x + sinx)|0−π
2
=
2
π
(−1 + 0 + e
π
2 − (−1)) = 2
π
e
π
2
4.4 Aula 28 - Prática
Os exerćıcios 1a, 1b, 2a, 3c, 4a, 5a, 5b devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 3a, 3b, 4b, 2b deverão ser resolvidos pelos
estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente de aulas teóricas
na aula teórica da semana seguinte.
1) Considere a partição Pn do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de comprimento ∆xi =
b− a
n
. Calcule a soma inferior L(f, Pn) e superior U(f, Pn).
(a) f(x) = ex em [−2, 2], com n = 4
(b) f(x) = sinx em [0, π] , com n = 6
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 189
2) Calcule os seguintes integrais definidos :
(a)
∫ √2
−
√
2
√
2− t2dt
(b)
∫ e
0
axdx, a > 0
3) Sabendo que
∫ a
0
x2dx =
a3
3
, calcule os seguintes integrais:
(a)
∫ 3
2
(
x2 − 4
)
dx
(b)
∫ 2
0
(
x2 +
√
1− x2
)
dx
4) Calcule o valor médio para cada uma das seguintes funções :
(a) f(t) = 1 + sin t , no intervalo [−π, π]
(b) f(x) =
√
4− x2 , no intervalo [0, 2]
5) Achar a área da região R limitada por :
(a) y = x2 − 4x , y = 0
(b) y = x
1
3 − x
1
2 , y = 0, x = 0, x = 1
4.5 Aula 29 - teorica
4.5.1 Integral indefinido
Definção 4.7. Dada uma função f definida em (a, b) , denomina-se primitiva de f toda função F
derivável neste intervalo e tal que F ′(x) = f(x) .
190 Matemática I - Da teoria à Prática
Teorema 4.4. Seja f uma função definida em (a, b) . Se cada uma das funções F1(x) e F2(x) é uma
primitiva de f(x) , então existe um número C tal que F1(x)− F2(x) = C em (a, b) .
Definção 4.8. Dada uma função f definida em (a, b) , denota-se por
∫
f(x)dx (4.1)
uma primitiva arbitrária de f . A expressão (4.1) denomina-se integral indefinido de f . O cálculo
do integral indefinido é chamado integração .
Se F é uma primitiva de f , então
∫
f(x)dx = F (x) + C,
onde C é um número arbitrário.
4.5.2 Propriedades de integração
1) d
∫
f(x)dx = f(x)dx
2)
∫
dF (x) = F (x) + C
3)
∫
[f(x) + g(x)]dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
4)
∫
Kf(x)dx = K
∫
f(x)dx , onde K é uma constante .
4.5.3 Tabela de integração
1)
∫
1dx = x+ C
2)
∫
xdx =
1
2
x2 + C
3)
∫
x2dx =
1
3
x3 + C
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 191
4)
∫
xrdx =
1
r + 1
xr+1 + C , para r 6= −1
5)
∫
1
x
dx = ln |x|+ C
6)
∫
exdx = ex + C
7)
∫
axdx =
ax
ln a
+ C , para a > 0, a 6= 1
8)
∫
sinxdx = − cosx+ C
9)
∫
cosxdx = sinx+ C
10)
∫
1
cos2 x
dx = tanx+ C
11)
∫
1
sin2 x
dx = − cotx+ C
12)
∫
sinhxdx = coshx+ C
13)
∫
coshxdx = sinhx+ C
14)
∫
1
cosh2 x
dx = tanhx+ C
15)
∫
1
sinh2 x
dx = − cothx+ C
16)
∫
1
x2 + 12
dx = arctanx+ C
17)
∫
1
x2 + a2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C , para a 6= 0
192 Matemática I - Da teoria à Prática
18)
∫
1
x2 − 12
dx =
1
2
ln
∣∣∣∣x− 1x+ 1
∣∣∣∣+ C
19)
∫
1
x2 − a2
dx =
1
2a
ln
∣∣∣∣x− ax+ a
∣∣∣∣+ C , para a 6= 0
20)
∫
1√
1− x2
dx = arcsinx+ C
21)
∫
1√
a2 − x2
dx = arcsin
x
a
+ C
22)
∫
1√
x2 ± 1
dx = ln
∣∣∣x+√x2 ± 1∣∣∣+ C
23)
∫
1√
x2 ± a2
dx = ln
∣∣∣x+√x2 ± a2∣∣∣+ C
Exemplo 4.16. Aplicação da tabela de integração para o cálculo integral
1)
∫ (
x4 − 3x3 + 8x2 − 6x− 7
)
dx =
x5
5
− 3x
4
4
+
8x3
3
− 3x2 − 7x+ C
2)
∫ (
5x
3
5 − 3
2 + x2
)
dx =
25
8
x
8
5 − 3√
2
arctan
x√
2
+ C
3)
∫
(4 cos 5x− 5 sin 3x) dx = 4
5
sin 5x+
5
3
cos 3x+ C
4)
∫ (
1
πx
+ aπx
)
dx =
1
π
ln |x|+ 1
π ln a
aπx + C, (a > 0)
As vezes é preciso fazer-se algumas manipulações da função integrada de forma a obter-se função
simples para se integrar .
Exemplo 4.17.
∫
(x+ 1)3
x
dx =
∫
x3 + 3x2 + 3x+ 1
x
dx =
∫ (
x2 + 3x+ 3 +
1
x
)
dx =
1
3
x3 +
3
2
x2 +
ln |x|+ C
4.5.4 Método de substituição
Teorema 4.5. Se f(x) é uma função cont́ınua e ϕ(t) continuamente derivável , então
F (ϕ(t)) =
∫
f(ϕ(t)ϕ′(t)dt+ C =
∫
f(ϕ(t))dϕ(t) + C, (1)
onde F é qualquer primitiva de f , isto é , qualquer função tal que F ′ = f .
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 193
Exemplo 4.18. Achar os seguintes integrais indefinidos usando método de substituição:
1)
∫
x
x2 + 1
dx
2)
∫
sin(3 lnx)
x
dx
3)
∫
ex
√
1 + exdx
Resolução:
1)
∫
x
x2 + 1
dx seja u = x2+1 , então du = 2xdx e xdx =
1
2
du logo
∫
x
x2 + 1
dx =
1
2
∫
1
u
du =
1
2
ln |u|+ C = 1
2
ln (x2 + 1) + C = ln
√
x2 + 1 + C
2)
∫
sin(3 lnx)
x
dx seja u = 3 lnx , então du =
3
x
dx
donde
∫
sin(3 lnx)
x
dx =
1
3
∫
sinudu = −1
3
cosu+ C = −1
3
cos(3 lnx) + C
3)
∫
ex
√
1 + exdx seja v = 1 + ex , então dv = exdx
donde
∫
ex
√
1 + exdx =
∫
v
1
2dv =
2
3
v
3
2 + C =
2
3
(1 + ex)
3
2 + C
Exemplo 4.19. Achar
1)
∫
1
x2 + 4x+ 5
dx
2)
∫
dx√
e2x − 1
Resolução:
1)
∫
1
x2 + 4x+ 5
dx =
∫
1
(x+ 2)2 + 1
dx seja t = x+ 2 , então dt = dx
donde
∫
1
x2 + 4x+ 5
dx =
∫
1
(x+ 2)2 + 1
dx =
∫
dt
t2 + 1
= arctan t+ C = arctan(x+ 2) + C
2)
∫
dx√
e2x − 1
=
∫
dx
ex
√
1− e−2x
=
∫
e−xdx√
1− (e−x)2
seja u = e−x , então du = −e−xdx donde∫
dx√
e2x − 1
=
∫
e−xdx√
1− (e−x)2
= −
∫
du√
1− u2
= − arcsinu+ C = − arcsin(e−x) + C
Teorema 4.6. Seja f(x) uma função cont́ınua em [a, b] , ϕ(t) derivável continuamente em [α, β]
para qualquer t �[α, β] , a ≤ ϕ((t) ≤ b , então para α0 � [α, β] e β0 �[α, β] satisfazendo a condição
a = ϕ(α0) e b = ϕ(β0) , tem-se
∫ b
a
f(x)dx =
∫ β0
α0
f(ϕ(t))ϕ′(t)dt =
194 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 4.20. Calcule I =
∫ 8
0
cos
√
x+ 1√
x+ 1
dx
Resolução:
Seja u =
√
x+ 1 , então du =
dx
2
√
x+ 1
. Se x = 0 , então u = 1 ; se x = 8,então u = 3 .Logo
I =
∫ 8
0
cos
√
x+ 1√
x+ 1
dx = 2
∫ 3
1
cosudu = 2 sinu|31 = 2 sin 3− 2 sin 1.
Exemplo 4.21. Achar a área da região limitada por y =
(
2 + sin
x
2
)2
cos
x
2
, eixo OX ,rectas x = 0
e x = π .
4.5.5 Resolução :
Uma vez que y ≥ 0 quando 0 ≤ x ≤ π , a área pretendida é dada por
A =
∫ π
0
(
2 + sin
x
2
)2
cos
x
2
dx
Seja v = 2 + sin
x
2
, então
dv =
1
2
cos
x
2
dx.
Se x = 0 , isto é v = 2 ; se x = π , logo v = 3. e
A =
∫ π
0
(
2 + sin
x
2
)2
cos
x
2
dx = 2
∫ 3
2
v2dv =
2
3
v3|32 =
2
3
(27− 8) = 38
3
unidades quadráticas.
4.5.6 Algumas identidades trigonométricas fundamentais
1) sin2 x+ cos2 x = 1
2) sec2 x = 1 + tan2 x
3) sin 2x = 2 sinx cosx
4) cos 2x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sin2 x
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015195
5) sin2 x =
1− cos 2x
2
6) cos2 x =
1 + cos 2x
2
4.5.7 Integrais de funções trigonométricas∫
tanxdx = ln | secx|+ C∫
cotxdx = ln | sinx|+ C = − ln | cscx|+ C∫
secxdx = ln | secx+ tanx|+ C∫
cscxdx = − ln | cscx+ cotx|+ C = ln | cscx− cotx|+ C∫
cos2 xdx =
1
2
(x+ sinx cosx) + C∫
sin2 xdx =
1
2
(x− sinx cosx) + C
Exemplo 4.22. Calcule:
1)
∫
sin3 x cos8 xdx
2)
∫
cos5 axdx
Resolução
1)
∫
sin3 x cos8 xdx =
∫
(1− cos2 x) cos8 x sinxdx Seja u = cosx, du = − sinxdx
∫
(1−cos2 x) cos8 x sinxdx = −
∫
(1−u2)u8du =
∫
(u10−u8)du = u
11
11
−u
9
9
+C =
1
11
cos1 1x−1
9
cos9 x+C
isto é ∫
sin3 x cos8 xdx =
1
11
cos11 x− 1
9
cos9 x+ C
2)
∫
cos5 axdx =
∫
(1− sin2 ax)2 cos axdx. Seja u = sin ax, du = a cos axdx
∫
(1−sin2 ax)2 cos axdx =
∫
(1−u2)2du = 1
a
∫
(1−2u2+u4)du = 1
a
(
u− 2
3
u3 +
1
5
u5
)
+C =
1
a
(
sin ax− 2
3
sin3 ax+
1
5
sin5 ax
)
+C
logo ∫
cos5 axdx =
1
a
(
sin ax− 2
3
sin3 ax+
1
5
sin5 ax
)
+ C
196 Matemática I - Da teoria à Prática
4.5.8 Substituições trigonométricas inversas
Os integrais que envolvem
√
a2 − x2 (onde a > 0) podem reduzir-se a forma simples através da
substituição x = a sin θ , ou θ = arcsin
x
a
Exemplo 4.23. Ache I =
∫
dx
(5− x2)
3
2
dx
Resolução
Seja x =
√
5 sin θ; dx =
√
5 cos θdθ
I =
∫
dx
(5− x2)
3
2
dx =
∫ √
5 cos θdθ
5
3
2 cos3 θ
=
1
5
∫
sec θdθ =
1
5
tan θ + C =
1
5
x√
5− x2
+ C
Os integrais que envolvem
√
a2 + x2 ou
1
x2 + a2
são simplificados através da substituição x = a tan θ
ou θ = arctan
x
a
Exemplo 4.24. Ache I =
∫
1√
4 + x2
dx
Resolução
Seja x = 2 tan θ, dx = 2 sec2 θdθ
I =
∫
1√
4 + x2
dx =
∫
2 sec2 θ
2 sec θ
dθ =
∫
sec θdθ = ln |secθ+tan θ|+C = ln |
√
4 + x2
2
+
x
2
|+C = ln |
√
4 + x2+x|+C1;
onde
C1 = C − ln 2.
Os integrais que envolvem
√
x2 − a2 ( onde a > 0 ) são simplificadas através da substituição x =
a sec θ.
Exemplo 4.25. Ache I =
∫
1√
x2 − a2
dx, a > 0
Resolução
Seja x = a sec θ, dx = a sec θ tan θdθ e
√
x2 − a2 = a tan θ. Assim
I = sec θdθ = ln | sec θ + θ|+ C = ln |x
a
+
√
x2 − a2a
|
+ C = ln |x+
√
x2 − a2|+ C1
, onde
C1 = C − ln a
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 197
I = −
∫
du√
u2 − a2
= − ln |u+
√
u2 − a2|+ C1 = ln |
1
−x+
√
x2 − a2
x+
√
x+
√
x2 − a2
x+
√
x2 − a2
|+ C1 =
ln |x+
√
x2 − a2
−a2
+ C1 = ln |x+
√
x2 − a2|+ C2,
onde C2 = C1 − 2 ln 2 portanto
I =
∫
1√
x2 − a2
dx = ln |x+
√
x2 − a2|+ C
Os integrais racionais que envolvem sin θ, cos θ são racionalizados através da substituição
x = tan
θ
2
donde : cos θ =
1− x2
1 + x2
, sin θ =
2x
1 + x2
e dθ =
2dx
1 + x2
Exemplo 4.26. Calcule
∫
1
2 + cos θ
dθ
Resolução :
Seja x = tan
θ
2
portanto : cos θ =
1− x2
1 + x2
, sin θ =
2x
1 + x2
e dθ =
2dx
1 + x2∫
1
2 + cos θ
dθ =
∫ 2dx
1 + x2
2 +
1− x2
1 + x2
= 2
∫
1
3 + x2
dx =
2√
3
arctan
x√
3
+ C =
2√
3
arctan
(
1√
3
tan
θ
2
)
+ C
4.5.9 Integração de funções racionais
Considera-se agora integrais de forma ∫
Q(x)
P (x)
dx
Onde P e Q são polinómios.
Exemplo 4.27. Calcule
∫
x3 + 3x2
x2 + 1
dx
Resolução
O numerador é do grau 3 e o denominador é do grau 2 , portanto fazendo a divisão terá-se :
x3 + 3x2
x2 + 1
= x+ 3− x+ 3
x2 + 1
Logo∫
x3 + 3x2
x2 + 1
dx =
∫
(x+ 3)dx−
∫
x
x2 + 1
dx− 3
∫
dx
x2 + 1
=
1
2
x2 + 3x− 1
2
ln(x2 + 1)− 3 arctanx+C
Exemplo 4.28. Calcule
∫
x
2x− 1
dx
Resolução
O numerador e o denominador são ambos do grau 1 , portanto fazendo a divisão terá-se :
x
2x− 1
=
1
2
+
1
2
2x− 1
198 Matemática I - Da teoria à Prática
Logo ∫
x
2x− 1
dx =
1
2
∫
dx+
1
2
∫
dx
2x− 1
=
x
2
+
1
4
ln |2x− 1|+ C
Decomposição em frações simples
Toda fração própria irredut́ıvel
R(x) =
Q(x)
P (x)
=
b0x
m + b1x
m−1 + · · ·+ bm
xn + a1xn−1 + · · ·+ an
Onde b0, b1, b2, · · · , bm, a1, a2, · · · , an são números reais,pode ser de modo único transformada
numa soma de frações simples de forma
A
(x− α)k
ou
Dx+ E
x2 + px+ q)l
,onde
(p
2
)2
− q < 0. Deste modo
pode-se apresentar quatro casos:
1) O denominador P (x) é tal que a equação P (x) = 0 tem somente as ráızes reais simples
α1, α2, · · · , αn . A decomposição realiza-se pela forma:
Q(x)
P (x)
=
b0x
m + · · ·+ bm
(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
=
A
x− α1
+
B
x− α2
+ · · ·+ C
x− αn
2) As ráızes do denominador são reais ,porém entre elas há múltiplas. A decomposição se efectua
pela fórmula:
Q(x)
P (x)
=
b0x
m + · · ·+ bm
(x− α1)k1(x− α2)k2 · · · (x− αi)ki
=
A1
x− α1
+
A2
(x− α1)2
+ · · ·+ Ak1
(x− α1)k1
+
B1
x− α2
+
B2
(x− α2)2
+ · · ·+ Bk2
(x− α2)k2
+ · · ·+ Lki
(x− αi)ki
3) Entre as ráızes do denominador há complexas simples.Efetua-se a decomposição pela fórmula:
Q(x)
P (x)
=
b0x
m + · · ·+ bm
(x− α1)k1(x− α2)k2 · · · (x2 + p1x+ q1)(x2 + p2x+ q2) · · ·
=
A1
x− α1
+
A2
(x− α1)2
+ · · ·+ Dx+ E
x2 + p1x+ q1
+
Fx+G
x2 + p2x+ q2
+ · · ·
4) Entre as ráızes do denominador há complexas múltiplas. A decomposição realiza-se pela fórmula
Q(x)
P (x)
=
b0x
m + · · ·+ bm
(x− α1)k1(x− α2)k2 · · · (x2 + p1x+ q1)l1(x2 + p2x+ q2)l2 · · ·
=
A1
x− α1
+
A2
(x− α1)2
+ · · ·+ D1x+ E1
x2 + p1x+ q1
+ · · ·+ D2x+ E2
(x2 + p1x+ q1)2
+ · · ·
· · ·+ Dl1x+ El1
(x2 + p1x+ q1)l1
+
F1x+G1
x2 + p2x+ q2
+ · · ·+ Fl2x+Gl2
(x2 + p2x+ q2)l2
+ · · ·
Exemplo 4.29. Calcule
∫
x+ 4
x2 − 5x+ 6
dx
Resolução
x+ 4
x2 − 5x+ 6
=
A
x− 2
+
B
x− 3
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 199
Calculando os valores de A e B obtemos :
A = −6 e B = 7
Logo ∫
x+ 4
x2 − 5x+ 6
dx = −6
∫
di
1
x− 2
dx+ 7
∫
1
x− 3
dx = −6 ln |x− 2|+ 7 ln |x− 3|+ C
Exemplo 4.30. Calcule
∫
x3 + 2
x3 − x
dx
Resolução
∫
x3 + 2
x3 − x
dx =
∫ (
1 +
x+ 2
x3 − x
)
dx = x+
∫
x+ 2
x3 − x
dx
Usando o método de decomposição em frações simples teremos :
x+ 2
x3 − x
=
A
x
+
B
x− 1
+
C
x+ 1
=
A(x2 − 1) +B(x2 + x) + C(x2 − x)
x(x− 1)(x+ 1)
Teremos
A+B + C = 0
B − C = 1
−A = 2
Donde
A = −2, B = 3
2
e C =
3
2
Logo∫
x3 + 2
x3 − x
dx = x− 3
2
∫
1
x− 1
dx+
1
2
∫
1
x+ 1
dx = x− 2 ln |x|+ 3
2
ln |x− 1|+ 1
2
ln |x+ 1|+ C
Exemplo 4.31. Calcule
∫
2 + 3x2 + x2
x(x2 + 1)
dx
Exemplo 4.32. Calcule
∫
2 + 3x+ x2
x(x2 + 1)
dx
Resolução:
2 + 3x+ x2
x(x2 + 1)
=
A
x
+
Bx+ C
x2 + 1
=
A(x2 + 1) +Bx2 + Cx
x(x2 + 1)
Obtemos A = 2, B = −1 e C = 3
Logo
2 + 3x+ x2
x(x2 + 1)
= 2
∫
1
x
dx−
∫
x
x2 + 1
dx+ 3
∫
1
x2 + 1
dx = 2 ln |x| − 1
2
ln(x2 + 1) + 3 arctanx+ C
200 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 4.33. Calcule
∫
1
x3 + 1
dx
Resolução:
1
x3 + 1
=
1
(x+ 1)(x2 − x+ 1)
=
A
x+ 1
+
Bx+ Cx
x2 − x+ 1
=
A(x2 − x+ 1) +B(x2 + x) + C(x+ 1)
(x+ 1)(x2 − x+ 1)
A+B = 0
−A+B + C = 0
A+ C = 1
Obtemos A =
1
3
, B = −1
3
e C =
2
3
Logo
∫
1
x3 + 1
dx =
1
3
∫
dx
x+ 1
−1
3
∫
x− 2
x2 − x+ 1
dx =
1
3
ln |x+1|−1
3
∫ x− 1
2
− 3
2(
x− 1
2
)2
+
3
4
dx Seja u = x−1
2
, du = dx
=
1
3
ln |x+1|− 1
3
∫
u
u2 +
3
4
du+
1
2
∫
1
u2 +
3
4
=
1
3
ln |x+1|− 1
6
ln
(
u2 +
3
4
)
+
1
2
2√
3
arctan
(
2u√
3
)
+C =
=
1
3
ln |x+ 1| − 1
6
ln(x2 − x+ 1) + 1
2
2√
3
arctan
(
2x− 1√
3
)
+ C
Exemplo 4.34. Calcule
∫
1
x(x− 1)2
dx
Resolução:
1
x(x− 1)2
=
A
x
+
B
x− 1
+
C
(x− 1)2
=
A(x2 − 2x+ 1) +B(x2 − x) + Cx
x(x− 1)2
A+B = 0
−2A−B + C = 0
A = 1
Obtemos A = 1, B = −1 e C = 1
Logo∫
1
x(x− 1)2
dx =
∫
1
x
dx−
∫
1
x− 1
dx+
∫
1
(x− 1)2
dx = ln |x|−ln |x−1|− 1
x− 1
+C = ln | x
x− 1
|− 1
x− 1
+C
Exemplo 4.35. Calcule
∫
x2 + 2
4x5 + 4x3 + x
dx
Resolução:
x2 + 2
x(2x2 + 1)2
=
A
x
+
Bx+ C
2x2 + 1
+
Dx+ E
(2x2 + 1)2
=
A(4x4 + 4x2 + 1) +B(2x4 + x2) + C(2x3 + x) +Dx2 + Ex
x(2x2 + 1)2
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 201
4A+ 2B = 0
2C = 0
4A+B +D = 1
A = 2
Obtemos A = 2, B = −4, C = 0, D = −3 e E = 0
Logo∫
x2 + 2
4x5 + 4x3 + x
dx = 2
∫
dx
x
− 4
∫
xdx
2x2 + 1
− 3
∫
xdx
(2x2 + 1)2
= Seja u = 2x2 + 1, du = 4xdx
2 ln |x| −
∫
du
u
− 3
4
∫
du
u2
= 2 ln |x| − ln |u|+3
4u
+ C = ln
(
x2
2x2 + 1
)
+
3
4
1
2x2 + 1
+ C
4.5.10 Integração por partes
Teorema 4.7. Sejam as funções u = u(x) e v = v(x) continuas num intervalo I , deriváveis em todos
pontos interiores de I e existe o integral
∫
udv . Então também existe o integral
∫
vdu e tem-se
∫
vdu = uv −
∫
udv
ou ∫
v(x)u′(x)dx = u(x)v(x)−
∫
u(x)v′(x)dx
Exemplo 4.36. Usando o método de integração por partes ache os seguintes integrais indefinidos:
(a)
∫
lnxdx (b)
∫
x arctanxdx (c)
∫
arcsinxdx
Resolução:
(a)
∫
lnxdx Seja u = lnx , dv = dx então du =
dx
x
,v = x donde
∫
lnxdx = x lnx−
∫
x
1
x
dx = x lnx− x+ C
(b)
∫
x arctanxdx Seja u = arctanx , dv = xdx então du =
dx
1 + x2
, v =
1
2
x2 donde∫
x arctanxdx =
1
2
x2 arctanx− 1
2
∫
x2
1 + x2
dx =
1
2
x2 arctanx− 1
2
∫ (
1− 1
1 + x2
)
dx =
1
2
x2− 1
2
x+
1
2
arctanx+ C logo
∫
x arctanxdx =
1
2
x2 − 1
2
x+
1
2
arctanx+ C
202 Matemática I - Da teoria à Prática
(c)
∫
arcsinxdx Seja u = arcsinx , dv = dx então du =
dx√
1− x2
,v = x donde∫
arcsinxdx = x arcsinx−
∫
x√
1− x2
dx Seja u = 1− x2 ,então du = −2xdx
x arcsinx−
∫
x√
1− x2
dx = x arcsinx+
1
2
∫
u−
1
2du = x arcsinx+
√
u+C = x arcsinx+
√
1− x2 +C
logo
∫
arcsinxdx = x arcsinx+
√
1− x2 + C
Calcule I =
∫ e
1
x3(lnx)2dx
Resolução :
Seja u = (lnx)2, dv = x3dx Então du =
(2 lnxdx)
x
, v =
x4
4
I =
∫ e
1
x3(lnx)2dx =
x4
4
(lnx)2|e1 −
1
2
∫ e
1
x3 lnxdx
Seja u = lnx, dv = x3dx Então du =
dx
x
, v =
x4
4
I =
∫ e
1
x3(lnx)2dx =
e4
4
(12)− 0− 1
2
(
x4
4
lnx|e1 −
1
4
∫ e
1
x3dx
)
=
e4
4
− e
4
8
+
1
8
x4
4
|e1 =
e4
8
+
e4
32
− 1
32
=
5
32
e4 − 1
32
Teorema 4.8. Se as funções u e v , possuem derivadas cont́ınuas integráveis em [a, b] , então
∫ b
a
u′(x)v(x)dx = u(x)v(x)|ba −
∫ b
a
u(x)v′(x)dx.
Exemplo 4.37. Calcule: I =
∫ 2
1
xexdx
Resolução:
I =
∫ 2
1
xexdx = xex|21 −
∫ 2
1
exdx = (x− 1)ex|21 = (2− 1)e2 − (1− 1)e1 = e2.
4.6 Aula 30 - Prática
Os exerćıcios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 9, 10 deverão ser resolvidos pelos estudan-
tes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente de aulas teóricas na aula
teórica da semana seguinte.
Calcule os seguintes integrais:
1)
∫ √
3x+ 4dx
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 203
2)
∫
cos(ax+ b)dx
3)
∫
tanx ln cosxdx
4)
∫
sin2 x
cos4 x
dx
5)
∫
ex + 1
ex − 1
dx
6)
∫
x3√
9 + x2
7)
∫
x3
x3 − a3
dx
8)
∫
x cosxdx
9)
∫
x arcsinxdx
10)
∫
ln(lnx)
x
dx
4.7 Aula 31 - teorica
4.7.1 Integral impróprio
O integral impróprio surge como expansão do integral de Riemann ( integral dado num intervalo finito
com a função f(x) limitada em todo intervalo ). No integral impróprio considera-se dois tipos :
1) Integral impróprio do primeiro tipo
(a) Considera-se um intervalo infinito (−∞, b) ou (a,+∞) ou (−∞,+∞)
(b) f(x) é limitada no intervalo dado .∫ b
−∞
f(x)dx ou
∫ +∞
a
f(x)dx ou
∫ +∞
−∞
f(x)dx
2) Integral impróprio do segundo tipo
204 Matemática I - Da teoria à Prática
(a) Considera-se um intervalo finito [a, b]
(b) f(x) não é limitada no intervalo dado ( f(x) tem pelo menos um ponto de descontinuidade
em [a, b] )
4.7.2 Integral impróprio do primeiro tipo
Seja f(x) função limitada num intervalo infinito (a,+∞) ou (−∞, b) ou (−∞,+∞).
Para o número R , tal que a < R < +∞ existe o integral de Riemann de f(x) onde o integral
impróprio define-se da seguinte forma :
∫ +∞
a
f(x)dx
def
= lim
R→+∞
∫ R
a
f(x)dx
De forma similar para outros intervalos tem-se :
∫ b
−∞
f(x)dx
def
= lim
R→−∞
∫ b
R
f(x)dx
e
∫ +∞
−∞
f(x)dx
def
= lim
R1→−∞
R2→+∞
∫ R2
R1
f(x)dx
Em cada um dos casos acima se o limite existir , isto é , se for um número finito , diz-se que o integral
impróprio converge , no caso contrário diz-se que diverge .
Exemplo 4.38.
∫ +∞
−∞
dx
1 + x2
=
∫ 0
−∞
dx
1 + x2
+
∫ +∞
0
dx
1 + x2
= lim
R1→−∞
∫ 0
R1
dx
1 + x2
+ lim
R2→+∞
∫ R2
0
dx
1 + x2
=
lim
R1→−∞
arctanx|0R1 + limR2→+∞
arctanx|R20 = −(−
π
2
) +
π
2
= π .
4.7.3 Critério de convergência
Teorema 4.9. Suponhamos que ∀x ∈ [a,+∞) , verifica-se a desigualdade |f(x)| ≤ g(x) .Se o integral∫ +∞
a
g(x)dx é convergente , então o integral
∫ +∞
a
f(x)dx também é convergente.
Se f(x) ∼ g(x), x→∞ , então
∫ +∞
a
f(x)dx e
∫ +∞
a
g(x)dx convergem ou divergem simultanea-
mente .
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 205
Teorema 4.10. Seja 0 < a <∞ , então
∫ +∞
a
dx
xp
 converge para
a1−p
p− 1
, se p > 1
diverge para ∞, se p ≤ 1
Definção 4.9. Diz-se que o integral
∫ +∞
a
f(x)dx converge de modo absoluto ( absolutamente con-
vergente ) se converge o integral
∫ +∞
a
|f(x)|dx.
Exemplo 4.39.
∫ +∞
1
(−1)n
x2
dx, f(x) =
(−1)n
x2
, |f(x)| = 1
x2∫ +∞
1
|f(x)|dx =
∫ +∞
1
1
x2
dx , converge ⇒
∫ +∞
1
(−1)n
x2
dx é absolutamente convergente.
Definção 4.10. Diremos que o integral
∫ +∞
a
f(x)dx converge de modo condicional (condicionalmente
convergente) se
∫ +∞
a
f(x)dx é convergente e
∫ +∞
a
|f(x)|dx é divergente.
4.7.4 Integral impróprio do segundo tipo
Definção 4.11. Diremos que o ponto b é singular se a função f(x) não é limitada no intervalo
[a, b] e ∀ε > 0 f(x) é limitada no intervalo [a, b− ε]
Exemplo 4.40. f(x) =
1
x− 1
, x ∈ [1, 2] No ponto x = 1 a função não é limitada
f(x) =
1
x− 1
, x ∈ [1 + ε, 2], ε > 0
f(x) =
1
x− 1
é limitada em [1 + ε, 2]
x = 1 é ponto singular
Seja a função f(x) não limitada no intervalo [a, b] e b ponto singular.
Suponhamos ainda que para ε > 0 a função f(x) é limitada em [a, b−ε] e integrável segundo Riemann
em [a, b− ε] então:
∫ b
a
f(x)dx
def
= lim
ε→0+
∫ b−ε
a
f(x)dx
Se a for o ponto singular tem-se
∫ b
a
f(x)dx
def
= lim
ε→0+
∫ b
a+ε
f(x)dx
Se o ponto singular estiver no interior do intervalo [a, b] , isto é , se for um ponto c tal que a < c < b
tem-se:
∫ b
a
f(x)dx
def
=
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx = lim
ε→0+
∫ c−ε
a
f(x)dx+ lim
ε→0+
∫ c+ε
a
f(x)dx
206 Matemática I - Da teoria à Prática
Em cada um dos casos acima se o limite existir , isto é , se for um número finito , diz-se que o integral
impróprio converge , no caso contrário diz-se que diverge .
4.7.5 Critério de convergência
Teorema 4.11. Suponhamos que ∀x ∈ [a, b], |f(x)| ≤ g(x) e o integral
∫ b
a
g(x)dx é convergente ,
então o integral
∫ b
a
f(x)dx também é convergente.
Se f(x) < g(x), ∀x ∈ [a, b] e
∫ b
a
f(x)dx diverge , então
∫ b
a
g(x)dx também diverge.
Se f(x) ∼ g(x), x→ b , então
∫ b
a
f(x)dx e
∫ b
a
g(x)dx convergem ou divergem simultaneamente .
Exemplo 4.41. Investigue a convergência do integral
∫ 1
0
dx√
x+ x3
Resolução:
f(x) =
1√
x+ x3
, ∀x ∈ (0, 1] , x = 0 é ponto singular
I-Usando desigualdade
f(x) =
1√
x+ x3
, ∀x ∈ (0, 1]; x ∈ (0, 1]
√
x+ x3 ≥
√
x, 0 ≤ x < 1
f(x) =
1√
x+ x3
≤ 1√
x
= g(x), 0 ≤ x ≤ 1∫ 1
0
dx√
x
= lim
ε→0+
2
√
x|1ε = 2 lim
ε→0+
(1− ε) = 2 , converge . Então
∫ 1
0
dx√
x+ x3
também converge.
II-Usando equivalência
lim
x→0
√
x+ x3√
x
= lim
x→0
√
x
√
1 + x2√
x
= 1 =⇒
√
x+ x3 ∼
√
x, x→ 0
1√
x+ x3
∼ 1√
x
, x → 0 ⇒
∫ 1
0
dx√
x+ x3
e
∫ 1
0
dx√
x
convergem ou divergem simultaneamente; mas
já mostrou-se que
∫ 1
0
dx√
x
converge , logo
∫ 1
0
dx√
x+ x3
converge.
Teorema 4.12. Seja 0 < a <∞ , então
∫ a
0
dx
xp
 converge para
a1−p
1− p
, se p < 1
diverge para ∞, se p ≥ 1
4.7.6 Cálculo de áreas
Teorema 4.13. Seja f(x) uma função não negativa e cont́ınua no segmento [a, b] .Então a área da
região plana G ,
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 207
G = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
é dada pela fórmula
S =
∫ b
a
f(x)dx
x
y
f(x)
a b
Figura 4.14:
Exemplo 4.42. Calcule a área da figura limitada pelo gráfico de f(x) = x2 + 1 , pelos vértices x = 1
e x = 3 e pelo eixo das abcissas.
Resolução:
S =
∫3
1
(x2 + 1)dx = (
x3
3
+ x)|31 =
27
3
+ 3− 1
3
− 1 = 32
3
Se a função f é negativa e cont́ınua no segmento [a, b] .Então a área da região plana G ,
G = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0}
é dada pela fórmula
S = −
∫ b
a
f(x)dx
Para a função com valores positivos e negativos no segmento [a, b]
208 Matemática I - Da teoria à Prática
x
y
y = x2 + 1
1 3
Figura 4.15:
x
y
−f(x)
f(x)
a b
Figura 4.16:
Tem-se:
S =
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx−
∫ d
c
f(x)dx+
∫ b
d
f(x)dx
Área da região limitada por duas curvas vide figura (4.18) :
Tem-se:
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 209
x
y f(x)
a bc d
Figura 4.17:
x
y
f(x)
g(x)
a b
Figura 4.18:
S =
∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx
Se a função é dada na forma polar
Figura 4.19:
210 Matemática I - Da teoria à Prática
α ≤ ϕ ≤ β
S =
1
2
∫ β
α
ρ2(ϕ)dϕ
4.7.7 Comprimento do arco duma curva
Seja Γ uma curva dada pela função y = f(x) , a ≤ x ≤ a . Suponhamos que a função f(x) é conti-
nuamente diferenciável no segmento [a, b] . Então o comprimento da curva é dada por
s =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
Exemplo 4.43. Achar o comprimento do arco da curva y = x4 +
1
32x2
de x = 1 a x = 2.
Resolução
s =
∫ 2
1
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx =
∫ 2
1
(
4x3 +
1
16x3
)
dx =
(
x4 − 1
32x2
)
|21 = 15 +
3
128
Se Γ é dada na forma paramétrica , tem-se
s =
∫ b
a
√
[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt
Se Γ é dada na forma polar ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β o comprimento é dado pela fórmula
s =
∫ β
α
√
ρ2(ϕ) + [ρ′(ϕ)]2dϕ
4.7.8 Área de superf́ıcie de revolução
Se f ′(x) é cont́ınua em [a, b] e a curva y = f(x) é rodado em torno do eixo OX , a área da superf́ıcie
de revolução é :
S = 2π
∫ b
a
|f(x)|
√
1 + [f ′(x)]2dx
Se for rodado em torno do eixo OY , a área da superf́ıcie é
S = 2π
∫ b
a
|x|
√
1 + [f ′(x)]2dx
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 211
Se g′(y) é cont́ınua em [c, d] e a curva x = g(y) é rodado em torno do eixo OX , a área da
superf́ıcie de revolução é :
S = 2π
∫ d
c
|y|
√
1 + [g′(y)]2dy
Se for rodado em torno do eixo OY , a área da superf́ıcie é
S = 2π
∫ d
c
|g(y)|
√
1 + [g′(y)]2dy
Exemplo 4.44. Achar a área da superf́ıcie da esfera de raio a .
Resolução
A superf́ıcie esférica é gerada pela rotação da semi-circunferência y =
√
a2 − x2, (−a ≤ x ≤ a), em
torno do eixo OX.
dy
dx
= − x√
a2 − x2
= −x
y
A área da superf́ıcie esférica é dada por
S = 2π
∫ a
−a
y
√
1 +
(
x
y
)2
dx = 4π
∫ a
−a
√
y2 + x2dx = 4π
∫ a
−a
√
a2dx = 4πax|a−a = 4πa2 unidades
quadráticas .
Exemplo 4.45. Achar a área da superf́ıcie de revolução gerada pela rotação do arco da curva y =
x2, (0 ≤ x ≤ 1) , em torno do eixo OY .
Resolução
S = 2π
∫ 1
0
x
√
1 + 4x2dx Seja u = 1 + 4x2, du = 8xdx Então
S = 2π
∫ 1
0
x
√
1 + 4x2dx =
π
4
∫ 5
1
u
1
2du =
π
6
u
3
2 |51 =
π
6
(5
√
5− 1) unidades quadráticas.
4.7.9 Volume do sólido de revolução
O volume V de um corpo situado entre x = a e x = x tendo a área da secção perpendicular ao eixo
OX igual a A(x) é dada pela fórmula
V =
∫ b
a
A(x)dx
212 Matemática I - Da teoria à Prática
A região plana limitada por x = a e x = b, y = f(x) é girada em torno do eixo OX , a secção do
corte é perpendicular ao eixo OX é um disco de raio R = |f(x)| cuja área é
A(x) = π[f(x)]2
Assim sendo o volume do corpo de revolução é
V = π
∫ b
a
[f(x)]2dx
Exemplo 4.46. Achar o volume duma bola de raio a .
Resolução
A bola é gerada pela rotação do disco , 0 ≤ y ≤
√
a2 − x2, −a ≤ x ≤ a pelo eixo OX ( veja figura )
V = π
∫ a
−a(
√
a2 − x2)2dx = 2π
∫ a
−a(a
2 − x2)dx = 2π
(
a2x− x
3
3
)
|a−a = 2π
(
a3 − 1
3
a3
)
=
4
3
πa3
Exemplo 4.47. Achar o volume do corpo gerado pela rotação em torno do eixo OX da região plana
R , limitada pela curva y = x2 , rectas y = 2 e y = 1 .
Resolução
V =
∫
−11
[
π(2− x2)2 − π(1)2
]
dx = π
∫ 1
−1
(3− 4x2 + x4)dx = 2π
∫ 1
0
(3− 4x2 + x4)dx =
= 2π
(
3x− 4x
3
3
+
x5
5
)
|10 = 2π
(
3− 4
3
+
1
5
)
=
56π
15
O volume do sólido obtido da rotação da região planar 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x < b em torno do eixo
OY é
V = 2π
∫ b
a
xf(x)dx
Exemplo 4.48. Achar o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo OY do arco da
parábola y = x2, 0 ≤ x ≤ 1.
Resolução
V = 2π
∫ 1
0
x(1− x2)dx = 2π
(
x2
2
− x
4
4
)
|10 =
π
2
O volume de um corpo , obtido ao girar um sector limitado por um arco da curva ρ = ρ(ϕ) e dois
raios polares ϕ = α,ϕ = β(α < β) , em torno do eixo polar , é expressa pela fórmula
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 213
V =
2π
3
∫ β
α
ρ3 sinϕdϕ
4.8 Aula 32 - Pratica
Os exerćıcios 1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 4a, 5a, 5b devem ser resolvidos na qualidade de TPC.
Serão corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 1c, 2c, 3b, 4b deverão ser resolvidos
pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente de aulas
teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Calcule os seguintes integrais impróprios :
(a)
∫ ∞
2
1
(x− 1)3
dx
(b)
∫ 1
−1
dx
(x+ 1)
2
3
(c)
∫ +∞
−∞
x
1 + x2
dx
2) Usando critérios de convergência mostre que convergem ou divergem os seguintes integrais :
(a)
∫ ∞
0
dx
1 +
√
x
(b)
∫ ∞
0
e−x
3
dx
(c)
∫ 1
−1
ex
x+ 1
dx
3) Achar o comprimento do arco das seguintes curvas :
(a) y3 = x2 de (−1, 1) a (1, 1)
(b) 4y = 2 lnx− x2 de x = 1 a x = e
214 Matemática I - Da teoria à Prática
4) Achar as áreas de superf́ıcies de revolução obtidas pela rotação das seguintes curvas :
(a) y = x
3
2 , (0 ≤ x ≤ 1) em torno do eixo OY
(b) y =
x3
12
+
1
x
, (0 ≤ x ≤ 4) em torno do eixo OY
5) Achar o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por :
(a) y = x(2− x), y = 0, x = 0 e x = 2 em torno do eixo OX e OY
(b) y =
1
1 + x2
, y = 2, x = 0 e x = 1 em torno do eixo OX e OY
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto você
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Bibliografia
[1] Adams, R. (2003) Calculus: A Complete Course, Fifth Edition, Addison Wesley Longman, To-
ronto.
[2] Edwards, C. H. and D. E. Penney. (2002) Calculus, Sixth Edition, Prentice Hall, Inc., New Jersey.
[3] Demidovitch, B. (2004) Problemas e Exerćıcios de Análise Matemática, Ediçoes Lopes da Silva,
Porto - Portugal.
[4] Ferreira, R. S. (1999) Matemática Aplicada ás Ciências Agrárias, Viçosa.
[5] Piskunov, N. (1980) Cálculo Diferencial e Integral, São Paulo.
[6] Beirão, J. (2006) Introdução a Análise Matemática, Texto Editores Lda, Moçambique.
[7] Larson, R. Hostetler, R.P Edwards, B. H. (2006) Cálculo - Volume II, 8a Edição, McGraw-Hill,
São Paulo, Brasil.
215
Análise Matemática I (3 edição)

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