Combinações Simples

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Combinações
C n,p =
Observações:
n é maior ou igual a p;
nos problemas que envolvem arranjo simples, a ordem dos elementos interessa na formação dos agrupamentos, enquanto, na combinação isso não importa.
Se depois da mudança tiver formado um agrupamento diferente, esse problema é um arranjo;
Se depois da mudança tiver formado o meso agrupamento, esse problema será combinação.
Dado um conjunto A com n elementos. Uma combinação simples desses n elementos tomados p a p
(onde p é menor ou igual a n) é um subconjunto de A com p elementos.
Exemplo
Determinar todas as combinações de 4 elementos: a, b, c e d, tomadas 3 a 3.
ABC, ABD, ACD e BCD.
Onde:
C n,p = C 4,3 = 4! / 3! ( 4 – 3 )! = 4! / 3! = 4 . 3! / 3! (corta-se o 3) = 4
Cálculo do número de combinações simples.
O total de combinações simples de n elementos tomados p a p é:
C n,p = n! / p! ( n – p )!
OBS: “!” é um fatorial, onde o fatorial de um número n não negativo é indicado por n! ou n fatorial.
Exemplos:
	3! = 3 . 2 . 1 = 6
	4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
	6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Veja que o cálculo do fatorial se torna trabalhoso a medida quem aumenta, veja:
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
Assim, podemos simplificar alguns cálculos, usando o artifício de não calcular totalmente o fatorial, mas sim uma parte dele:
(n+1)! = (n+1) . n . (n-1) . (n-2) ... 3 . 2 . 1 = (n+1) . n!
Por exemplo:
10! = 10 . 9 . 8 . 7!
Exemplos
1. Calcule: 10! 8!
Fazemos: 10! / 8! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8! / 8! = 10⋅9 = 90
2. Calcule: 12! / 9! ⋅ 3!
Fazemos: 12! / 9! ⋅ 3! = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9! / 9! ⋅ 3! = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 / 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 13206 = 220
Exemplo
Dispondo de 5 pessoas devo escolher 3 para formar uma comissão, na qual as pessoas realizarão a . mesma função. Quais as possibilidades?
N = 5 e p = 3
C n,p = n! / p! ( n – p )! onde: 
C 5,3 = 5! / 3! ( 5 – 3 )! = 5 . 4 . 3! / 3! . 2! = 5 . 4 / 2 . 1 = 20 / 2 = 10
Uma lojista, preparando cestas de presente, tinha que escolher 3 cookies, 2 muffins e 4 trufas. No total, ela tinha 6 sabores de cookies, 5 de muffins e 8 de trufas. Quantas possíveis cestas ela conseguirá montar? A lojista pode escolher os cookies de C (6,3) maneiras, os muffins de C (5,2) e as trufas de C (8,4). Assim, o número total N de possibilidades será: 
N = 6! / 3! ( 6 – 3 )! . 5! / 2! ( 5 – 2 )! . 8! / 4! ( 8 – 4 )! = 6! / 3! 3! . 5! / 2! 3! . 8! / 4! 4! = 6 . 5 . 4 / 3 . 1 X 5 . 4 / 2 X 8 . 7 . 6 . 5 / 4 . 3 . 2 = 20 .10 . 70 = 14.00
Era dia dos namorados, e Jorge queria montar um buquê de flores para sua namorada Ana. Na floricultura, ele estava indeciso entre rosas ou gardênias. Como opções, tinham gardênias brancas e amarelas e rosas vermelhas, roxas, brancas e amarelas. Jorge decidiu, então, que queria duas cores, mas de rosas ou gardênias. Quantos possíveis buquês ele poderá formar? Os buquês terão duas cores. Assim, o número de possibilidades para as gardênias será de C (2,2), e o número de possibilidades para as rosas será C (4,2). Como ele quer gardênia ou rosas, o número total de possibilidades N será: 
N = C(2,2) + C(4,2) = 2! / 2! 0! . 4! / 2! 2! = 4 . 3 / 2 = 1 + 6 = 7