Aula 04 - MFAI

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Prof. Eduardo Braga Costa Santos 
 
04 de Fevereiro de 2021 
Matemática Financeira e Análise de 
Investimentos – Aula 04 
SUMÁRIO 
 Conceitos: Rendas; 
 
 Classificação das Séries; 
 Quanto ao período; 
 Quanto ao prazo; 
 Quanto ao valor dos termos 
 Quanto à forma de pagamento ou recebimento; 
 
 Séries Uniformes: Postecipadas, Antecipadas, Diferidas, Infinitas; 
 
 Exercícios 
Antes de seguirmos... 
 Toda ação tem que produzir algum resultado. Este resultado, na 
matemática financeira, é conhecida como renda; 
 
 A renda é todo valor utilizado sucessivamente para compor capital 
ou pagar uma dívida; 
 
 Ao constituir capital para data futura, gera-se a capitalização; 
 
 Ao pagar uma dívida com fim em data futura, gera-se a 
amortização; 
 Há casos em que o pagamento não gera amortização. Exemplo? 
Antes de seguirmos... 
 Principais tipos de rendas: 
 Certas ou Determinísticas: define-
se anuidade, renda certa ou série, a 
sucessão de pagamentos ou 
recebimentos exigíveis em épocas pré-
determinadas, para quitar uma dívida 
ou constituir capital; 
 Aleatórias ou Probabilísticas: os 
valores e/ou datas de recebimento ou 
pagamento variam, como no caso das 
seguradoras: a mensalidade do cliente é 
certa, mas o valor do seguro e a data de 
recebimento não é determinado; 
 
Definições 
 A renda certa, série de pagamentos/recebimentos, série de 
prestações ou anuidades, é toda sequência finita ou infinita de 
pagamentos ou recebimentos em datas previamente estipuladas; 
 
 Cada pagamento/recebimento, se referindo a uma mesma taxa de 
juros compostos, é chamado termo da série; 
 
 O intervalo de tempo entre dois tempos é chamado de período; 
 A soma dos períodos define a duração da série de pagamentos; 
 
 Lembra bem quando tratou-se de taxa resultante; 
Definições 
 O valor atual ou valor presente de uma série 
de pagamentos é a soma dos valores atuais dos 
termos, soma esta realizada para uma mesma 
data e à mesma taxa de juros compostos; 
 Conhecido como CAPITAL; 
 
 Analogamente, o montante ou valor futuro de 
uma série de pagamentos é a soma dos 
montantes ou valores futuros de seus termos, 
consideradas uma dada taxa de juros 
compostos e uma data; 
Não se preocupem. 
Mais na frente, iremos 
entender como que 
funcionam estes 
conceitos. 
Classificação 
 Quanto a periodicidade 
 Periódica: caso os períodos sejam todos iguais; 
 Não periódica: se os períodos não são iguais entre si; 
 
 Quanto ao prazo: 
 Temporário: a duração da série é limitada; 
 Infinito: quando a duração for “ilimitada”; 
 
 Quanto ao valor dos termos 
 Uniforme: Se todos os termos são iguais; 
 Variável: Se os termos não são iguais entre si; 
Para esta disciplina, 
será estudada apenas 
a série uniforme de 
pagamentos. 
Classificação 
 Quanto a forma de pagamento/recebimento 
 Imediatas: Quando os termos são exigíveis a partir do primeiro 
período; 
 Postecipado ou vencido: quando os termos ocorrerem ao final de cada 
período; 
 Antecipado: quando os termos ocorrerem no início de cada período; 
 
 Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não 
seja o primeiro período e a este prazo dá-se o nome de carência; 
 Postecipado ou vencido: se os termos são exigíveis no fim dos períodos; 
 Antecipado: se os termos são exigíveis no início dos períodos; 
Séries Uniformes: Nomenclaturas 
 Antes de prosseguir, os termos aplicados : 
 
 PV = Valor Presente (no lugar de capital); 
 FV = Valor Futuro (no lugar de montante); 
 R = termo da série de pagamento/recebimento - PARCELA; 
 i = taxa de juros (continua); 
 n = quantidade de períodos (continua); 
 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Os pagamentos/recebimentos são efetuados no fim de cada 
intervalo de tempo a que se refere a taxa de juros considerada; 
 
 Se for acumular capital, observar o fator de acumulação de capital; 
 
 
 Colocando R em evidência e invertendo a ordem das parcelas; 
 
 
 Observem que existe uma progressão geométrica de razão (1+i); 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−1 + 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−2 + 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−3 + ⋯ + 𝑅 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 1 + 𝑖 1 + ⋯ + 1 + 𝑖 𝑛−2 + 1 + 𝑖 𝑛−1 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Relembrando o tema de progressões, a geométrica é dada por 
 
 
 Aplicando na fórmula do slide anterior: 
 
 
 
 
 Onde 
1+𝑖 𝑛−1
𝑖
 é o Fator de Acumulação de Capital FRS (i,n); 
𝑆𝑛 = 𝑎1
1 − 𝑞𝑛
1 − 𝑞
, 𝑎1 = 1 𝑒 𝑞 = 1 + 𝑖 
𝐹𝑉 = 𝑅
1 − 1 + 𝑖 𝑛
1 − 1 + 𝑖
 
 
𝐹𝑉 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Exemplo A: Uma empresa está buscando adquirir uma nova prensa 
hidráulica de R$125.000,00 para produção de chapas de aço e 
obteve-se uma aplicação com rendimento de 0,5% a.m. Após 24 
depósitos de R$5.000,00 mensais, qual o montante acumulado no 
período de 2 anos? É suficiente para a compra do equipamento? 
i = 0,5% a.m. = 0,005 
𝐹𝑉 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
n = 2 anos = 24 meses 
𝐹𝑉 = 5000
1 + 0,005 24 − 1
0,005
 
R = R$ 5.000,00 
𝐹𝑉 = 5000 ×
0,127159
0,005
 
FV = ? 𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟏𝟐𝟕. 𝟏𝟓𝟗, 𝟕𝟖 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Se for formar capital, observar a seguinte relação; 
 
 
 Isolando o valor de R, obter-se-á 𝑅 = 𝐹𝑉
𝑖
1+𝑖 𝑛−1
, o Fator de 
Formação de Capital FSR; 
 
 Obtem-se o valor de R a partir de um FV previsto; 
𝐹𝑉 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Exemplo B: A mesma empresa está buscando abrir uma segunda 
linha de laminação e precisa de R$350.000,00 em 3 anos. Quanto 
deve investir mensalmente na mesma aplicação, que rende 0,5% 
a.m., para resgatar o valor que precisa para investir? 
i = 0,5% a.m. = 0,005 
𝑹 = 𝑭𝑽
𝒊
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
 
n = 3 anos = 36 meses 
𝑅 = 350000
0,005
1 + 0,005 36 − 1
 
R = ? 𝑅 = 350000 × 0,02542 
FV = R$ 350.000,00 𝑹 = 𝑹$ 𝟖. 𝟖𝟗𝟕, 𝟔𝟖 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Outro caso a ser observado é na obtenção do fator de valor atual; 
 
 Utilizado quando se vai vender algo antes do fim do prazo; 
 
 Considerando a expressão 
 E substituindo FV por PV(1+i)n; 
 
 
 
𝐹𝑉 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
 
𝑃𝑉 1 + 𝑖 𝑛 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
 
𝑃𝑉 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Considerando que 
1+𝑖 𝑛−1
𝑖 1+𝑖 𝑛
 desmembre da seguinte forma: 
 
 
 
 
 Onde 
1− 1+𝑖 −𝑛
𝑖
 é o fator de valor atual FRP; 
 
 Assim, ter-se-á que 𝑃𝑉 = 𝑅
1− 1+𝑖 −𝑛
𝑖
 
 
 
 
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
=
1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛
−
1
1 + 𝑖 𝑛
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛
=
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Exemplo C: Uma financeira tem 10 títulos de cobrança, com 
vencimentos mensais e sucessivos, sendo o vencimento do 
primeiro de hoje a 30 dias. Supondo que venda os títulos com 
desconto de 8% ao mês, quanto se apurou com a venda, se o valor 
nominal de cada título é de R$2.500,00? 
i = 8% a.m. = 0,08 𝑷𝑽 = 𝑹
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝒊
 
n = 10 meses 𝑃𝑉 = 2500
1 − 1 + 0,08 −10
0,08
 
R = 2.500,00 
𝑃𝑉 = 2500
1 −
1
1,08
10
0,08
 
PV = ? 𝑃𝑉 = 2500
0,5368
0,08
 
𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟏𝟔. 𝟕𝟕𝟓, 𝟐𝟎 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Para completar as opções das séries postecipadas, é importante 
considerar o fator de recuperação de capitais FPR; 
 
 Utilizado quando se realizar saques periódicos; 
 
 Observado também ao calcular o retorno de um investimento; 
 
 Considerando a expressão ao lado, calcular-se-á o R; 
 
 
𝑃𝑉 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
 𝑅 = 𝑃𝑉
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
 𝑅 = 𝑃𝑉
𝑖
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
 
Séries Uniformes: Postecipada 
 Exemplo D: Qual o valor da prestação mensal que amortiza, em 6 
meses, uma dívida de R$ 12.000,00 a juros de 4% a.m.? 
i = 4% a.m. = 0,04 𝑹 = 𝑷𝑽
𝒊
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
 
n = 6 meses 𝑅 = 12000
0,04
1 − 1 + 0,04 −6
 
PV = 12.000,00 
𝑅 = 12000
0,04
1 −
1
1,04
6
 
R = ? 𝑅 = 12000
0,04
1 − 0,7903
 
𝑅 = 12000 ×0,190762 
𝑹 = 𝑹$ 𝟐. 𝟐𝟖𝟗, 𝟏𝟒 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Os pagamentos/recebimentos são efetuados no início de cada 
intervalo de tempo a que se refere a taxa de juros considerada; 
 No comércio, este processo é conhecido como “entrada” 
 
 Determinando uma FV acumulada após n tempo sob taxa i a partir 
de n parcelas iguais de R; 
 
 
 Colocando R em evidência e invertendo a ordem das parcelas; 
 
 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 + 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−1 + 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−2 + ⋯ + 𝑅 1 + 𝑖 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 1 + 𝑖 1 + ⋯ + 1 + 𝑖 𝑛−2 + 1 + 𝑖 𝑛−1 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Relembrando o tema de progressões, a geométrica é dada por 
 
 
 Aplicando na fórmula do slide anterior: 
 
 
 
 
 Onde 
1+𝑖 𝑛−1
𝑖
 é o Fator de Acumulação de Capital FRS (i,n); 
𝑆𝑛 = 𝑎1
1 − 𝑞𝑛
1 − 𝑞
, 𝑎1 = 1 𝑒 𝑞 = 1 + 𝑖 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖
1 − 1 + 𝑖 𝑛
1 − 1 + 𝑖
 
 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Exemplo E: Qual o montante, no fim do décimo mês, resultante 
de uma aplicação de 10 parcelas mensais iguais e consecutivas de 
R$ 5.000,00, a taxa de 4% a.m., sabendo que a primeira aplicação 
é feita no início do primeiro mês? 
i = 4% a.m. = 0,04 
𝐹𝑉 = 𝑅 𝟏 + 𝒊
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
n = 10 meses 
𝐹𝑉 = 5000 1 + 0,04
1 + 0,04 10 − 1
0,04
 
R = R$ 5.000,00 𝐹𝑉 ≅ 5200 × 12,0061 
FV = ? 𝑭𝑽 = 𝑹$ 𝟔𝟐. 𝟒𝟑𝟏, 𝟕𝟔 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Se for calcular R sabendo quanto é FV, observar a seguinte relação; 
 
 
 Isolando o valor de R, obter-se-á 𝑅 = 𝐹𝑉 1 + 𝑖 −1
𝑖
1+𝑖 𝑛−1
; 
 
 Obtém-se o valor de R a partir de um FV previsto; 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Exemplo F: Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente, a 
partir de hoje, para acumular, no final de 12 meses, um montante 
no valor de R$ 30.000,00 sob uma taxa de 3% a.m. e com 
parcelas de valor igual e na quantidade de 12 aplicações? 
i = 3% a.m. = 0,03 
𝑹 = 𝑭𝑽 𝟏 + 𝒊 −𝟏
𝒊
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
 
n = 12 meses 
𝑅 = 30000
1
1,03
0,03
1 + 0,03 12 − 1
 
R = ? 𝑅 = 30000 × 0,97087 × 0,07046 
FV = R$ 30.000,00 𝑹 = 𝑹$ 𝟐. 𝟎𝟓𝟐, 𝟐𝟗 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Outro caso a ser observado é na obtenção do fator de valor atual; 
 
 Considerando a expressão 
 
 E substituindo FV por PV(1+i)n; 
 
 
 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
 
𝑃𝑉 1 + 𝑖 𝑛 = 𝑅 1 + 𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
 
𝐹𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Considerando que 
1+𝑖 𝑛−1
𝑖 1+𝑖 𝑛
 desmembre da seguinte forma: 
 
 
 
 
 Onde 
1− 1+𝑖 −𝑛
𝑖
 é o fator de valor atual FRP; 
 
 Assim, ter-se-á que 𝑃𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖
1− 1+𝑖 −𝑛
𝑖
 
 
 
 
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
=
1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛
−
1
1 + 𝑖 𝑛
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛
=
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
 
Séries Uniformes: Antecipada 
 Exemplo H: Um equipamento está sendo oferecido, no crediário, 
para pagamento em 8 prestações mensais iguais e consecutivas de 
R$5.800,00. Sabendo-se que a taxa cobrada é de 10% ao mês e 
que a primeira prestação deve ser paga no ato da compra, 
determinar o preço à vista desse equipamento. 
 
i = 10% a.m. = 0,1 𝑃𝑉 = 𝑅 1 + 𝑖
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
 
n = 8 meses 𝑃𝑉 = 5800 1 + 0,1
1 − 1 + 0,1 −8
0,1
 
R = 5.800,00 
𝑃𝑉 = 6380 ×
1 −
1
1,1
8
0,1
 
PV = ? 𝑷𝑽 = 𝑹$ 𝟑𝟒. 𝟎𝟑𝟔, 𝟖𝟑