Como calcular a integral de sen² x dx pelo método udv

(Talvez nem te ajude mais, colega, mas ajuda um próximo que precisar e ao Brennus explica o porque de aparecer 1/2 :) )

Aplicando ângulo metade:

∫sin²x·dx = ∫1/2 · [1-cos(2x)]·dx

= 1/2·∫dx - 1/2·∫ cos(2x)·dx                      (I)

Pelo método de substituição:

u = 2x ; du = 2dx ∴ dx =

∴ ∫cos(u)·1/2·du = 1/2·∫cos(u)·du =  1/2·sin(u) + C (substituindo “u”):

 1/2·sin(2x) + C                                     (II)

Substituindo o resultado (II) em (I) e integrando =  1/2·∫dx (que ainda não tinha sido resolvida):

∫sin²x·dx = 1/2·∫dx - 1/2·∫ cos(2x)·dx =  1/2·[x - 1/2·sin(2x)]+ C₁

É simples,  

∫sin²x·dx = ∫sinx.sinxdx certo?  

Tomando u= sinx / du= cosx

Tomando dv = sent.dt /  v = -cost

udv = uv - ∫vdu

∫sin²x·dx=  -sinx.cost - ∫-cos²x·dx

∫sin²x·dx= - sinx.cost + ∫ (1 - sin²x)dx

∫sin²x·dx= -sinx.cost + ∫dx - ∫sin²x.dx,  passando esse termo pro outro lado, obtemos:

2∫sin²x·dx= -sinx.cost + x,  e portanto:

∫sin²x·dx = (-sinx.cost +x)/2

flw bro, bons estudos!

sen²(x) = 1/2(1-cos(2x))

∫1/2(1-cos(2x))dx = 0,5∫(1-cos(2x))dx

u = 2x ==> du/dx = 2

0,5∫(1-cos(u))(du/2)

=0,25[u-sen(u)] = 0,25[2x-sen(2x)]

Alternativamente, considerando que sen2x = 2sen(x)cos(x):

0,25[2x-2sen(x)cos(x)] = 0,5[x - sen(x)cos(x)]