Grátis: Ao longo do estudo das transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem e suas respectivas dimensões para ... – Questões Respondidas

Química Orgânica

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Ao longo do estudo das transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem e suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: T(x, y, z) = (2z, x + 2y, -z).
Acerca da base para a imagem deste operador, assinale a alternativa CORRETA:
A [(0, 1, 0); (0, 2, 0); (2, 0, -1)].
B [(0, -2, 0)].
C [(0, 1, 0); (0, 2, 0)].
D [(0, 1, 0); (2, 0, -1)].

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Vamos analisar a transformação linear T: R³ → R³ dada por T(x, y, z) = (2z, x + 2y, -z). Para encontrar uma base da imagem de T, precisamos determinar o conjunto dos vetores que podem ser escritos como T(x, y, z) para algum (x, y, z) em R³. 1. Escrevendo T(x, y, z) em termos dos vetores base de R³: T(x, y, z) = (2z, x + 2y, -z) = x(0, 1, 0) + y(0, 2, 0) + z(2, 0, -1). 2. Os vetores geradores da imagem são: v₁ = (0, 1, 0), v₂ = (0, 2, 0), v₃ = (2, 0, -1). 3. Agora, verificamos se esses vetores são linearmente independentes: Note que v₂ = 2 * v₁, então v₁ e v₂ são linearmente dependentes. Portanto, a base da imagem pode ser formada por v₁ e v₃, que são linearmente independentes. Logo, a base da imagem é: [(0, 1, 0); (2, 0, -1)]. A alternativa correta é a letra D.

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O produto interno tem propriedades um pouco diferentes do que as usuais. Podemos ter equívocos quanto ao produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, que é um caso especial de produto interno. Sobre a necessidade de definirmos produto interno, analise as sentenças a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- O produto interno pode definir o ângulo entre vetores.
II- O produto interno pode ser utilizado para determinar autovalor e autovetor.
III- O produto interno se faz necessário porque facilita o cálculo do determinante.
IV- O produto interno de um vetor consigo mesmo é igual à norma do vetor elevada ao quadrado.
A As sentenças I e IV estão corretas.
B As sentenças I e II estão corretas.
C Somente a sentença I está correta.
D As sentenças III e IV estão corretas.

Considere o ponto A (1, 2). Sabe-se que o vetor OA, onde O é a origem do sistema cartesiano, e o vetor OB definem um paralelogramo. O vetor OB é obtido através de uma dilatação do vetor OA, no sentido do mesmo, de fator 3/2, seguida por uma rotação de 90° no sentido horário.
Determine a área aproximada do paralelogramo definido por esta rotação:
A 5,4 u.a
B 3,4 u.a
C 6,1 u.a
D 7,5 u.a

Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar.
Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que representa a imagem do vetor (-1, 1, 3) quando aplicado na transformação T: R3→R2, T(x, y, z) = (x - y - z, 2x + z):
A (5, -1)
B (-5, -1)
C (-5, 1)
D (5, 1)

A operação entre vetores chamada de Produto Interno Usual aplica-se, muitas vezes, à necessidade de observar se dois vetores são ortogonais ou não. A partir daí, encontramos aplicações na engenharia e na computação em geral.
Com base nisso, considere os vetores a seguir, calcule seu Produto Interno Usual dos vetores v1 = (-3, 2) e v2 = (-1, -2) e assinale a alternativa CORRETA:
A -7.
B -4.
C 5.
D -1.

A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das equações e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto as suas soluções. Acerca do sistema apresentado, analise as sentenças a seguir:

6x + ky = 9
2x - 7y = 1
Assinale a alternativa CORRETA:
I- O sistema é impossível, para todo k real diferente de -21.
II- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63.
III- O sistema é possível e determinado, para todo k real diferente de -21.
IV- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3.
A Somente a sentença III está correta.
B Somente a sentença I está correta.
C As sentenças I e III estão corretas.
D As sentenças II e IV estão corretas.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida, então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.
A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar. ( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares. ( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço. ( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - V - F.
B V - F - V - F.
C V - V - V - F.
D F - F - F - V.

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações com aplicações práticas variadas. Cada uma dessas situações poderá representar (ou modelar) algo que necessite da utilização das matrizes para sua resolução. Sobre o exposto, analise a matriz a seguir: matriz A de ordem 3, e lei de formação aij = j - i².
Sobre o termo a23, levando em consideração a matriz apresentada, assinale a alternativa CORRETA:
A -7.
B 3.
C -1.
D 7.