Vamos resolver passo a passo: Dada a função: \[ f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 4 - 3x, & x \geq 1 \end{cases} \] a) Calcule \(\lim_{x \to 1} f(x)\): - Limite pela esquerda (\(x \to 1^-\)): \(f(x) = x^2 \Rightarrow \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1\) - Limite pela direita (\(x \to 1^+\)): \(f(x) = 4 - 3x \Rightarrow \lim_{x \to 1^+} 4 - 3(1) = 4 - 3 = 1\) Como os limites laterais são iguais, \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1\). b) Calcule \(\lim_{x \to 2} f(x)\): Para \(x \to 2\), \(x \geq 1\), então usamos \(f(x) = 4 - 3x\). \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4 - 3(2) = 4 - 6 = -2\). c) Mostre que \(f\) é contínua: Para \(x < 1\), \(f(x) = x^2\), que é contínua. Para \(x > 1\), \(f(x) = 4 - 3x\), que é contínua. No ponto \(x=1\), verificamos continuidade: \(f(1) = 4 - 3(1) = 1\) E \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1\) (do item a). Como o valor da função no ponto é igual ao limite, \(f\) é contínua em \(x=1\). Logo, \(f\) é contínua em todo domínio. d) Calcule \(\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}\): Para \(h \to 0\), \(1 + h \geq 1\) se \(h > 0\), e \(1 + h < 1\) se \(h < 0\). - Para \(h \to 0^+\): \(f(1 + h) = 4 - 3(1 + h) = 4 - 3 - 3h = 1 - 3h\) \(f(1) = 1\) \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{(1 - 3h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-3h}{h} = -3 \] - Para \(h \to 0^-\): \(f(1 + h) = (1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2\) \(f(1) = 1\) \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2 + h) = 2 \] Como os limites laterais são diferentes (\(-3 \neq 2\)), o limite \(\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}\) não existe. e) Calcule \(\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h}\): Para \(x = 2\), \(f(x) = 4 - 3x\). \[ f(2) = 4 - 3(2) = -2 \] \[ f(2 + h) = 4 - 3(2 + h) = 4 - 6 - 3h = -2 - 3h \] \[ \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{(-2 - 3h) - (-2)}{h} = \frac{-3h}{h} = -3 \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = -3 \] --- Resumo das respostas: a) \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1\) b) \(\lim_{x \to 2} f(x) = -2\) c) \(f\) é contínua em todo domínio d) \(\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}\) não existe e) \(\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = -3\)