Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis Ler em voz alta Durante a modelagem de uma estrutura arquitetônica, engenheiros precisam calcular a área de uma superfície curva delimitada pelas funções y = x e y = x 2 , no intervalo de x = 0 a x = 1. O gráfico abaixo representa essa região, que será coberta por um material especial. Para estimar a quantidade necessária desse material, é preciso calcular a área exata da região destacada. Fonte: Ana Paula de Andrade Janz Elias, gráfico gerado por IA (2025). Com base no gráfico e nas funções fornecidas, qual expressão representa corretamente a área da região destacada entre as curvas? A ∫ 1 0 ( x − x 2 ) d x . B ∫ 1 0 ( x 2 − x ) d x . C ∫ 1 0 ( x + x 2 ) d x . D ∫ 1 0 x 2 d x .

Question

Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis Ler em voz alta Durante a modelagem de uma estrutura arquitetônica, engenheiros pr...

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Vamos analisar o problema passo a passo:

As funções dadas são:
- y = x
- y = x²

No intervalo de x = 0 a x = 1, queremos a área da região entre essas duas curvas.

Para calcular a área entre duas curvas y = f(x) e y = g(x), com f(x) ≥ g(x) no intervalo [a, b], usamos a integral:

Área = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx

Aqui, entre 0 e 1, y = x está acima de y = x², pois para 0  x².

Logo, a área é:

∫₀¹ (x - x²) dx

Analisando as alternativas:

a) ∫₀¹ (x - x²) dx → correta  
b) ∫₀¹ (x² - x) dx → negativa, pois x²

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