Sejam as fun¸c˜oes reais g(x) = 3x − 2 e f ◦ g(x) = 9x 2 − 3x + 1. Determine a lei da fun¸c˜ao f

Para determinar a lei da função \( f \), sabemos que \( f \circ g(x) = f(g(x)) \). Dado que \( g(x) = 3x - 2 \) e \( f \circ g(x) = 9x^2 - 3x + 1 \), precisamos substituir \( g(x) \) na expressão de \( f \). 1. Primeiro, substituímos \( g(x) \) na função \( f \): \[ f(3x - 2) = 9x^2 - 3x + 1 \] 2. Agora, vamos fazer a substituição. Para isso, vamos definir \( y = 3x - 2 \). Assim, podemos expressar \( x \) em termos de \( y \): \[ x = \frac{y + 2}{3} \] 3. Substituímos \( x \) na expressão de \( f(g(x)) \): \[ f(y) = 9\left(\frac{y + 2}{3}\right)^2 - 3\left(\frac{y + 2}{3}\right) + 1 \] 4. Agora, simplificamos: \[ f(y) = 9 \cdot \frac{(y + 2)^2}{9} - \frac{3(y + 2)}{3} + 1 \] \[ f(y) = (y + 2)^2 - (y + 2) + 1 \] \[ f(y) = y^2 + 4y + 4 - y - 2 + 1 \] \[ f(y) = y^2 + 3y + 3 \] Portanto, a lei da função \( f \) é: \[ f(y) = y^2 + 3y + 3 \] Substituindo \( y \) de volta, temos: \[ f(x) = x^2 + 3x + 3 \] Essa é a função \( f \).