Para mostrar que não existe uma função contínua \( f : [0,+\infty) \to \mathbb{R} \) que satisfaça \( \lim_{x \to \infty} (f(x) - \pi(x)) = 0 \), podemos usar o fato de que a função \( \pi(x) \) não é contínua e apresenta um comportamento oscilante. 1. Comportamento de \( \pi(x) \): A função \( \pi(x) \) conta a quantidade de números primos até \( x \). Sabemos que \( \pi(x) \) tem um crescimento assintótico dado pelo Teorema dos Números Primos, que diz que \( \pi(x) \sim \frac{x}{\log x} \) quando \( x \to \infty \). 2. Oscilações de \( \pi(x) \): A função \( \pi(x) \) não é contínua, pois ela só muda em valores inteiros (quando um novo primo é encontrado). Portanto, ela tem saltos em cada número primo. 3. Limite proposto: Se \( \lim_{x \to \infty} (f(x) - \pi(x)) = 0 \), isso implica que \( f(x) \) deve se aproximar de \( \pi(x) \) para grandes valores de \( x \). No entanto, como \( \pi(x) \) tem saltos, \( f(x) \) também teria que ter esses saltos para que a diferença se aproximasse de zero. 4. Continuidade de \( f(x) \): Como \( f(x) \) é contínua, não pode ter saltos. Portanto, não pode se igualar a \( \pi(x) \) em todos os pontos, pois isso violaria a continuidade. 5. Conclusão: Assim, não existe uma função contínua \( f \) que satisfaça a condição dada, pois a natureza descontínua de \( \pi(x) \) impede que \( f(x) \) se aproxime dela de forma contínua. Portanto, a afirmação está provada: não existe tal função contínua \( f \).