Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função \( F(x,z,w) = x e^x - z \cos(z) + 4 \ln(w) \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x) \] 2. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ \frac{\partial F}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-z \cos(z)) = -\cos(z) + z \sin(z) \] 3. Derivada parcial em relação a \( w \): \[ \frac{\partial F}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial w}(4 \ln(w)) = \frac{4}{w} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( \frac{\partial F}{\partial x} = x e^x \), \( \frac{\partial F}{\partial z} = \sin(y) \), \( \frac{\partial F}{\partial w} = 4y \) - Incorreta. b. \( \frac{\partial F}{\partial x} = e^x \), \( \frac{\partial F}{\partial z} = \cos(z) + z \sin(z) \), \( \frac{\partial F}{\partial w} = 4w \) - Incorreta. c. \( \frac{\partial F}{\partial x} = e^x \), \( \frac{\partial F}{\partial z} = -\sin(z) \), \( \frac{\partial F}{\partial w} = 4w \) - Incorreta. d. \( \frac{\partial F}{\partial x} = e^x \), \( \frac{\partial F}{\partial z} = \sin(z) \), \( \frac{\partial F}{\partial w} = \frac{4}{w} \) - Incorreta. Nenhuma das alternativas apresentadas está correta. A derivada parcial correta em relação a \( x \) é \( e^x(1+x) \), em relação a \( z \) é \( -\cos(z) + z \sin(z) \) e em relação a \( w \) é \( \frac{4}{w} \). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!