Pergunta 1 Com o desenvolvimento do cálculo, muitas funções puderam ser representadas por séries de potências (como a série de Taylor). Ao tratar do p

Question

Pergunta 1 Com o desenvolvimento do cálculo, muitas funções puderam ser representadas por séries de potências (como a série de Taylor). Ao tratar do problema da propagação do calor em chapas metálicas, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) tentava representar uma função f left parenthesis x right parenthesisqualquer no intervalo open parentheses negative pi comma pi close parentheses por uma série trigonométrica no seguinte formato, em que a subscript n e b subscript n são constantes reais a serem calculadas a partir da função: a. f left parenthesis x right parenthesis space equals space a subscript 0 over 2 plus sum from n equals 1 to infinity of space open square brackets a subscript n cos left parenthesis n x right parenthesis plus b subscript n s e n left parenthesis n x right parenthesis close square brackets. b. f left parenthesis x right parenthesis equals a subscript 0 over 2 plus sum from n equals 1 to infinity of space open square brackets a subscript n s e c left parenthesis n x right parenthesis space plus space b subscript n t g left parenthesis n x right parenthesis close square brackets. c. f left parenthesis x right parenthesis space equals space a subscript 0 over 2 plus sum from n equals 1 to infinity of open square brackets a subscript n cos open parentheses n over x close parentheses plus b subscript n s e n open parentheses n over x close parentheses close square brackets. d. f left parenthesis x right parenthesis space equals space a subscript 0 over 2 plus sum from n equals 1 to infinity of open square brackets a subscript n cos left parenthesis n pi x squared right parenthesis plus b subscript n s e n left parenthesis n pi x squared right parenthesis close square brackets. e. f left parenthesis x right parenthesis space equals space a subscript 0 over 2 plus sum from n equals 1 to infinity of open square brackets a subscript n cos open parentheses x over n close parentheses plus b subscript n s e n open parentheses x over n close parentheses close square brackets.

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos identificar a forma correta da série de Fourier, que é usada para representar funções periódicas em termos de senos e cossenos.

A forma geral da série de Fourier para uma função $ f(x) $ no intervalo $ (-\pi, \pi) $ é:

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right] $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) $ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right] $ - Esta opção está correta e segue a forma padrão da série de Fourier.

b) $ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \sec(nx) + b_n \tan(nx) \right] $ - Esta opção não é a forma correta da série de Fourier.

c) $ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{n}{x}\right) + b_n \sin\left(\frac{n}{x}\right) \right] $ - Esta opção também não é a forma correta.

d) $ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\pi x^2) + b_n \sin(n\pi x^2) \right] $ - Esta opção não representa a forma padrão da série de Fourier.

e) $ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{x}{n}\right) + b_n \sin\left(\frac{x}{n}\right) \right] $ - Esta opção também não é a forma correta.

Portanto, a alternativa correta é a) $ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right] $.

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