Determine o conjunto soluções do sistema: x+2y-3z=9 3x-y+4z=-5 2x+y+z=0

Para resolver o sistema de equações: 1. \( x + 2y - 3z = 9 \) (Equação 1) 2. \( 3x - y + 4z = -5 \) (Equação 2) 3. \( 2x + y + z = 0 \) (Equação 3) Podemos usar o método da eliminação ou da substituição. Vou usar o método da eliminação. Primeiro, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Da Equação 3, podemos isolar \( z \): \[ z = -2x - y \] Agora, substituímos \( z \) nas Equações 1 e 2. Substituindo na Equação 1: \[ x + 2y - 3(-2x - y) = 9 \] \[ x + 2y + 6x + 3y = 9 \] \[ 7x + 5y = 9 \] (Equação 4) Substituindo na Equação 2: \[ 3x - y + 4(-2x - y) = -5 \] \[ 3x - y - 8x - 4y = -5 \] \[ -5x - 5y = -5 \] \[ x + y = 1 \] (Equação 5) Agora temos um novo sistema com as Equações 4 e 5: 1. \( 7x + 5y = 9 \) (Equação 4) 2. \( x + y = 1 \) (Equação 5) Podemos resolver a Equação 5 para \( y \): \[ y = 1 - x \] Substituindo \( y \) na Equação 4: \[ 7x + 5(1 - x) = 9 \] \[ 7x + 5 - 5x = 9 \] \[ 2x + 5 = 9 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Agora, substituímos \( x \) na Equação 5 para encontrar \( y \): \[ y = 1 - 2 = -1 \] Por fim, substituímos \( x \) e \( y \) na expressão de \( z \): \[ z = -2(2) - (-1) = -4 + 1 = -3 \] Portanto, o conjunto solução do sistema é: \[ (x, y, z) = (2, -1, -3) \]