Calcule K = ∫ 2π 1 ∫ 2 0 r2 cos(3θ) dr dθ

Para calcular a integral \( K = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2 \cos(3\theta) \, dr \, d\theta \), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral interna em relação a \( r \): \[ \int_{0}^{2} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \] 2. Substituir o resultado da integral interna na integral externa: \[ K = \int_{0}^{2\pi} \frac{8}{3} \cos(3\theta) \, d\theta \] 3. Calcular a integral externa: \[ K = \frac{8}{3} \int_{0}^{2\pi} \cos(3\theta) \, d\theta \] A integral de \( \cos(3\theta) \) em um período completo (de \( 0 \) a \( 2\pi \)) é zero: \[ \int_{0}^{2\pi} \cos(3\theta) \, d\theta = 0 \] 4. Portanto, o valor de \( K \) é: \[ K = \frac{8}{3} \cdot 0 = 0 \] Assim, o resultado final é \( K = 0 \).