Aplicando os critérios de divisibilidade, calcule o resto da divisão de 17²⁰⁰² por 13.

Para calcular o resto da divisão de \( 17^{2002} \) por 13, podemos usar o Teorema de Fermat, que afirma que se \( p \) é um número primo e \( a \) não é divisível por \( p \), então: \[ a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) \] Neste caso, \( a = 17 \) e \( p = 13 \). Como 17 não é divisível por 13, podemos aplicar o teorema: \[ 17^{12} \equiv 1 \ (\text{mod} \ 13) \] Agora, precisamos encontrar \( 2002 \mod 12 \) para simplificar a potência: \[ 2002 \div 12 = 166 \quad \text{(quociente)} \] \[ 2002 - (166 \times 12) = 10 \quad \text{(resto)} \] Portanto, \( 2002 \mod 12 = 10 \). Assim, podemos reescrever \( 17^{2002} \) como: \[ 17^{2002} \equiv 17^{10} \ (\text{mod} \ 13) \] Agora, vamos calcular \( 17^{10} \mod 13 \). Primeiro, reduzimos 17 módulo 13: \[ 17 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 13) \] Então, precisamos calcular \( 4^{10} \mod 13 \). Podemos fazer isso usando a exponenciação rápida: \[ 4^1 \equiv 4 \] \[ 4^2 \equiv 16 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 13) \] \[ 4^4 \equiv 3^2 \equiv 9 \ (\text{mod} \ 13) \] \[ 4^8 \equiv 9^2 \equiv 81 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 13) \] Agora, multiplicamos \( 4^8 \) por \( 4^2 \): \[ 4^{10} \equiv 4^8 \cdot 4^2 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \ (\text{mod} \ 13) \] Portanto, o resto da divisão de \( 17^{2002} \) por 13 é: \[ \boxed{9} \]