Para resolver essa questão, precisamos entender que estamos lidando com um problema de probabilidade que envolve a distribuição binomial. O jogador tem 80% de chance de ganhar (p = 0,8) e 20% de chance de perder (q = 0,2). A probabilidade de o torneio finalizar na 7ª partida significa que o jogador deve perder exatamente 3 partidas e ganhar 4 partidas, já que a 7ª partida é uma vitória. A fórmula para calcular a probabilidade de um evento binomial é: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] onde: - \( C(n, k) \) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de n elementos tomados k a k. - \( n \) é o número total de partidas (7). - \( k \) é o número de vitórias (4). - \( p \) é a probabilidade de vitória (0,8). - \( q \) é a probabilidade de derrota (0,2). Neste caso, temos: - \( n = 7 \) - \( k = 4 \) - \( q = 0,2 \) (o número de derrotas será 3, pois 7 - 4 = 3) Calculando o coeficiente binomial \( C(7, 4) \): \[ C(7, 4) = \frac{7!}{4! \cdot (7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 4) = C(7, 4) \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^3 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 7 \cdot 3 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \) - Não está correta, pois não usa o coeficiente binomial corretamente. b) \( 3 \cdot 4 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \) - Também não está correta. c) \( 4 \cdot 3 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \) - Não está correta. d) \( \frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^3 \) - Esta é a forma correta, pois usa o coeficiente binomial. e) \( \frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot 0,8 \cdot 0,2 \cdot 4! \cdot 3! \) - Não está correta, pois não faz sentido. Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot 0,8^4 \cdot 0,2^3 \).