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Calcule $f(x)=\int_{-4}^{4} \operatorname{sen}(x) \cdot \cos (4 x) d x$ A) $\pi / 2$ B) $\pi^{2}$ C) $2 \pi$ D) 0

CuriosidadesGerais

há 2 semanas

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Equações Diferenciais: Soluções e Séries

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Respostas

Ed

há 2 semanas

Para resolver a integral \( f(x) = \int_{-4}^{4} \sin(x) \cdot \cos(4x) \, dx \), podemos usar a propriedade da função ímpar. A função \( \sin(x) \) é uma função ímpar, ou seja, \( \sin(-x) = -\sin(x) \). A função \( \cos(4x) \) é uma função par, ou seja, \( \cos(-4x) = \cos(4x) \). O produto de uma função ímpar e uma função par é uma função ímpar. Portanto, \( \sin(x) \cdot \cos(4x) \) é uma função ímpar. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação à origem, o resultado é zero: \[ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad \text{(se \( f(x) \) é ímpar)} \] Assim, temos: \[ f(x) = \int_{-4}^{4} \sin(x) \cdot \cos(4x) \, dx = 0 \] Portanto, a resposta correta é: D) 0.

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Determine a série de potência da EDD $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ em torno da origem, utilizando $y=a_{0}+a_{0} x+a_{0} x^{2}+\ldots+a_{m} x^{m}+\ldots=\sum_{n=0}^{m} a_{n} x^{n}$
A) $\sum_{n=0}^{\infty}\left[n(n-1) a_{n} x^{n-3}\right]+\sum_{n=0}^{\infty}\left[n_{n} x^{n}\right]=0$
B) $\sum_{n=0}^{\infty}\left[n(n-1) a_{n} x^{n-3}\right]=0$
C) $\sum_{n=0}^{\infty}\left[n_{n} x^{n}\right]=0$
D) $\sum_{n=0}^{\infty}\left[n(n-1) a_{n} x^{n-3}\right]+\sum_{n=0}^{\infty}\left[n_{n} x^{n}\right]=0$

Ileja a função: $y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0$ Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução tenha forma de $y=e^{z x}$
A) $y(x)=c 1 * e^{-3 x}+c 2 * e^{x}+c 3 * e^{2 x}$
B) $y(x)=c 1 * e^{-3 x}+c 2+c 3 * e^{x}$
C) $y(x)=c 1 * e^{-3 x}+c 2 * e^{-x}+c 3 * e^{2 x}$
D) $y(x)=c 1 * e^{-3 x}+c 2+c 3$

Suponha a seguinte Equação Diferencial: $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+3 \frac{d y}{d t} \quad 0 y=0$ Obtenha uma solução geral.
A) $y(t)=C_{1} e^{-3 t}+C_{2} e^{4 t}$
B) $y(t)=C_{1} e^{2 t}-C_{2} e^{-4 t}$
C) $y(t)=C_{1} e^{2}+C_{2} e^{-4}$
D) $y(t)=C_{1} e^{2 t}+C_{2} e^{-4 t}$

Dada uma equação diferencial no formato $y^{\prime}+P(x) y=R(x)$, utilize o fator integrante $\mu(x)=e^{\int P(x) d x}$ para resolver a equação diferencial $y^{\prime}+5 y=-25$
A) $y=\left(5 y^{2}\right) / 2+\left(25 x^{2}\right) / 2+C$
B) $y=-5 x+1+C e^{-5 x}$
C) $y=5 x-1-C e^{-5 x}$
D) $y=-5+C e^{-5 x}$

Seja a série dada por $\left[\sum_{n=1}^{\infty} a(n-1) a_{n} x^{n-1}\right]=\left[\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right]=0 \quad$ organize seus índices de forma que ambos os somatórios iniciem em 0.
A) $\sum_{n-0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}\right] x^{n}$
B) $\sum_{n-0}^{\infty}\left[(n+1) a_{n+2}+a_{n}\right] x^{n}$
C) $\sum_{n-0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n-1}+a_{n}\right] x^{n}$

Determine uma série de potências em torno de $x_{0}=0$ para a equação abaixo incluindo valores de $x$ dentro do somatório quando aplicável. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+x y=0$ Utilize a série $y(x)=\sum_{x=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}$ como solução inicial.
A) $\sum_{n=2}^{\infty} n * (n-2) * a_{n} * x^{n-2}-\sum_{n=1}^{\infty} n * a_{n} * x^{n}+4 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} * x^{n}=0$
B) $\sum_{n=2}^{\infty} n * (n-1) * a_{n} * x^{n-2}-\sum_{n=1}^{\infty} n * a_{n} * x^{n}=0$
C) $\sum_{n=2}^{\infty} n * (n-2) * a_{n} * x^{n-2}-\sum_{n=1}^{\infty} n * a_{n} * x^{n}=0$
D) $\sum_{n=2}^{\infty} n * (n-1) * a_{n} * x^{n-2}-4 \sum_{n=1}^{\infty} n * a_{n} * x^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} * x^{n+1}=0$

Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo $\left\{\begin{array}{l}y+z^{\prime}=\cos x+\operatorname{sen} x \\ y^{\prime}+z=\cos x-\operatorname{sen} x\end{array}\right.$ Encontre a solução geral para $y(x)$ e para $z(x)$
A) $y(x)=\cos x+\operatorname{sen} x-c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$ $z(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$
B) $y(x)=\cos x+\operatorname{sen} x$ $z(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$
C) $y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}$ $z(x)=\cos x+\operatorname{sen} x$
D) $y(x)=\cos x+\operatorname{sen} x-c_{1} e^{x}$ $z(x)=c_{2} e^{-x}$

Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 z^{\prime}-y=0 \\ y^{\prime}-z^{\prime \prime}-2 z=0\end{array}\right.$ Encontre a solução geral para $z(x)$
A) $z(x)=c_{1} e^{\sqrt{2} x}+c_{2} \cos x+c_{3} \operatorname{sen} x$
B) $z(x)=c_{1} e^{\sqrt{2} x}+c_{2} e^{-\sqrt{2} x}+c_{3} \cos x+c_{4} \operatorname{sen} x$
C) $z(x)=c_{1} e^{\sqrt{2} x}+c_{2} \operatorname{sen} x$
D) $z(x)=c_{1} e^{-\sqrt{2} x}+c_{3} \cos x+c_{4} \operatorname{sen} x$

Obtenha a relação de recorrência de $\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}\right] x^{n}=0$
A) $40 \quad(n+2)(n+1) a_{n+2}+a_{n}=0 ; n=0,1,2, \ldots$
B) $40 \quad(n+1) a_{n+2}+a_{n}=0 ; n=0,1,2, \ldots$
C) $40 \quad(n+2)(n+1) a_{n+2}=0 ; n=0,1,2, \ldots$
D) $40 \quad(n+2)(n+1) a_{n}=0 ; n=0,1,2, \ldots$