Determine o valor da derivada da função f(x)= (2x²-3/3x+1) no ponto (3, 3/2) utilizando a regra do quociente.

Para determinar a derivada da função \( f(x) = \frac{2x^2 - 3}{3x + 1} \) no ponto \( (3, \frac{3}{2}) \) utilizando a regra do quociente, siga os passos abaixo: 1. Identifique as funções: - \( u(x) = 2x^2 - 3 \) - \( v(x) = 3x + 1 \) 2. Calcule as derivadas: - \( u'(x) = 4x \) - \( v'(x) = 3 \) 3. Aplique a regra do quociente: A regra do quociente é dada por: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] 4. Substitua as funções e suas derivadas: \[ f'(x) = \frac{(4x)(3x + 1) - (2x^2 - 3)(3)}{(3x + 1)^2} \] 5. Simplifique a expressão: - Calcule \( (4x)(3x + 1) = 12x^2 + 4x \) - Calcule \( (2x^2 - 3)(3) = 6x^2 - 9 \) - Portanto: \[ f'(x) = \frac{(12x^2 + 4x) - (6x^2 - 9)}{(3x + 1)^2} = \frac{6x^2 + 4x + 9}{(3x + 1)^2} \] 6. Avalie a derivada no ponto \( x = 3 \): - Primeiro, calcule \( v(3) = 3(3) + 1 = 10 \) - Agora, substitua \( x = 3 \) na derivada: \[ f'(3) = \frac{6(3)^2 + 4(3) + 9}{(10)^2} = \frac{54 + 12 + 9}{100} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \] Portanto, o valor da derivada da função \( f(x) \) no ponto \( (3, \frac{3}{2}) \) é \( \frac{3}{4} \).