Dados os vetores: $\vec{a}=2_{j}+2_{j}+1_{k} e \vec{b}==2_{j}+1_{j}+3_{k}$ Calcule o produto escalar e o produto vetorial.

Vamos calcular o produto escalar e o produto vetorial dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\). Primeiro, vamos corrigir os vetores: \[ \vec{a} = 2\hat{j} + 2\hat{j} + 1\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 1\hat{k} \] \[ \vec{b} = 2\hat{j} + 1\hat{j} + 3\hat{k} = 0\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \] ### Produto Escalar O produto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) é dado por: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \] Substituindo os valores: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(0) + (4)(3) + (1)(3) = 0 + 12 + 3 = 15 \] ### Produto Vetorial O produto vetorial \(\vec{a} \times \vec{b}\) é dado pelo determinante da matriz: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes: \[ = \hat{i} (4 \cdot 3 - 1 \cdot 3) - \hat{j} (0) + \hat{k} (0) \] \[ = \hat{i} (12 - 3) = 9\hat{i} \] ### Resumo - Produto Escalar: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 15\) - Produto Vetorial: \(\vec{a} \times \vec{b} = 9\hat{i}\)