Para resolver a integral \(\int x \sqrt{5-x} \, dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \(u = 5 - x\), o que implica que \(du = -dx\) e \(x = 5 - u\). Substituindo na integral, temos: \[ \int (5 - u) \sqrt{u} (-du) = -\int (5 - u) \sqrt{u} \, du \] Isso se expande para: \[ -\int (5\sqrt{u} - u^{3/2}) \, du = -\left( 5 \int u^{1/2} \, du - \int u^{3/2} \, du \right) \] Calculando as integrais: \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} \quad \text{e} \quad \int u^{3/2} \, du = \frac{2}{5} u^{5/2} \] Substituindo de volta, temos: \[ -\left( 5 \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2} \right) = -\left( \frac{10}{3} u^{3/2} - \frac{2}{5} u^{5/2} \right) \] Agora, substituindo \(u = 5 - x\): \[ -\left( \frac{10}{3} (5-x)^{3/2} - \frac{2}{5} (5-x)^{5/2} \right) \] Isso resulta em: \[ \frac{2}{5} (5-x)^{5/2} - \frac{10}{3} (5-x)^{3/2} + C \] Portanto, a alternativa correta é: (A) \(\frac{2}{5}(5-x)^{5 / 2}-\frac{10}{3}(5-x)^{3 / 2}+c\)