A questão apresentada envolve campos vetoriais e a determinação do módulo da imagem de um campo vetorial específico. Vamos analisar as informações dadas e calcular passo a passo. 1. Definição dos campos vetoriais: - \( G(U,V,W) = (u + W, U + W + 1) \) - \( F(x,y,z) = (2y, 2y - z, y) \) - \( H(U,V) = (2 - u^2, v^2, 3v) \) 2. Ponto dado: \( (x,y,z) = (0,1,-1) \) 3. Cálculo de \( G(0,1,-1) \): - \( G(0,1,-1) = (0 + (-1), 0 + (-1) + 1) = (-1, 0) \) 4. Cálculo de \( F(0,1,-1) \): - \( F(0,1,-1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1 - (-1), 1) = (2, 3, 1) \) 5. Cálculo de \( H(0,1) \): - \( H(0,1) = (2 - 0^2, 1^2, 3 \cdot 1) = (2, 1, 3) \) 6. Cálculo de \( Q(x,y,z) \): - \( Q(x,y,z) = 2G(0,1,-1) \times (F(0,1,-1) + H(0,1)) \) - Primeiro, somamos \( F(0,1,-1) \) e \( H(0,1) \): - \( F(0,1,-1) + H(0,1) = (2, 3, 1) + (2, 1, 3) = (4, 4, 4) \) 7. Cálculo do produto vetorial: - \( G(0,1,-1) = (-1, 0) \) (considerando que é um vetor em 3D, podemos considerar \( (-1, 0, 0) \)) - O vetor \( (4, 4, 4) \) é o segundo vetor. - O produto vetorial \( (-1, 0, 0) \times (4, 4, 4) \) resulta em: - \( \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix} = (0 - 0)\hat{i} - (0 - (-4))\hat{j} + (-4 - 0)\hat{k} = (0, 4, -4) \) 8. Cálculo do módulo: - O módulo do vetor \( (0, 4, -4) \) é dado por: \[ \sqrt{0^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 9. Multiplicando por 2 (devido ao fator 2 na definição de \( Q \)): - \( 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{6}{3} \) B) \( \sqrt{3} \) C) \( 6\sqrt{2} \) D) \( \frac{8}{3} \) E) \( 4\sqrt{2} \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado obtido. Parece que houve um erro na interpretação ou nos cálculos. Por favor, verifique se todos os dados e alternativas estão corretos, pois o resultado não se alinha com as opções fornecidas.