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O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é muito importante por um outro fator.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental do Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque:
ele refuta a integral de Riemann.
ele torna dispensável a utilização das derivadas.
ele é o único teorema que envolve integrais.
ele permite o cálculo de integrais definidas.
ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial.
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Desafios para Aprender

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av2 - calculo integral
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av2 - calculo integral

UNINASSAU

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O Teorema Fundamental do Cálculo é relevante para o Cálculo porque ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo Diferencial. Esse teorema estabelece uma relação entre a derivada e a integral, mostrando que a integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Portanto, a resposta correta é: ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial.

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As funções explícitas são aquelas que não possuem variáveis que estejam de forma isolada na expressão. O estudo delas de modo separado das demais é relevante, pois esse tipo de função é um impeditivo para o cálculo de algumas derivadas pelo método condicional. Porém, existem alguns fatores não muito claros quando se estuda essa categoria de expressão algébrica.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções explícitas, implícitas e transcendentes, é correto afirmar que em alguns casos as funções explícitas sequer são funções, porque:
não são diferenciáveis.
não são escritas na forma y=ax + b.
não respeitam as condições necessárias para serem chamadas de função, tal como a não atribuição de dois valores diferentes do contra domínio para um mesmo valor do domínio.
impedem o cálculo das derivadas.
apresentam as condições necessárias para serem chamadas de função, porém, esse nome só é atribuído quando se escreve na forma explícita.

Os logaritmos auxiliam, entre outras coisas, na resolução de equações exponenciais de uma maneira geral. Compreender algumas equivalências logarítmicas é extremamente útil para o processo de manipulação desses elementos matemáticos a fim de resolver tais equações.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as manipulações logarítmicas possíveis, analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade das equivalências e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
( ) log (27) = 3 log (3).
( ) log(12) = log (3) + log(4).
( ) 2log(2) = log(4).
( ) log(10) = 2log(100) – log(10).
V, V, V, F.
F, V, F, V.
F, F, V, V.
V, F, V, F.
V, V, F, F.

A independência algébrica de algumas funções delimita algumas categorias de funções. Saber reconhecer quando uma função é ou não algébrica auxilia em algumas manipulações matemáticas, tal como a derivação.
Tendo em vista os conhecimentos acerca das funções algébricas, analise as afirmativas a seguir:
I. As funções algébricas são aquelas definidas apenas pelas operações básicas da álgebra.
II. Existem funções explícitas não algébricas.
III. As funções transcendentes são funções algébricas.
IV. f(x) = ln(x) não é uma função algébrica.
II e III.
I, III e IV.
I e IV.
I, II e IV.
II, III e IV.

As manipulações algébricas são extremamente importantes para a resolução de problemas matemáticos. Mudanças de perspectivas são necessárias na matemática, muitas vezes aplicadas para testar abordagens diferentes sobre o mesmo problema. Transitar entre as definições explicitas e implícitas de uma função é uma manipulação algébrica importante para a resolução de alguns problemas.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções implícitas e explícitas, e a possibilidade de reescrita entre elas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
( ) y=2x+1 →y-2x=1. Forma explicita → forma implícita.
( ) ln(x) + x = y→ ln(x) + x – y = 0. Forma explicita → forma implícita.
( ) x² + y³ = 0 → y³ =-x². Forma implícita → forma explícita.
( ) y-x=3 → y= 3+x. Forma implícita → forma explícita.
V, V, V, F.
V, V, F, F.
V, F, V, F.
F, F, V, V.
V, V, F, V.

O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física ele é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Considere que a derivada da equação horária do movimento, S’(t), é igual à equação horária da velocidade, v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento, S’’(t), é a equação horária da aceleração, a(t).
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir:
I. Em movimentos nos quais a v(t) é uma função constante, S(t) também é constante.
II. Para equações horárias de 2ºgrau, a’(t) = constante.
III. Se S(t) = x³ + 2x² + 2, no instante 3s a velocidade é de 39m/s.
IV. Em movimentos nos quais v(t) é uma função de primeiro grau crescente, S(t) é uma função quadrática e a aceleração é variável.
III e IV.
I, II e IV.
II e III.
I, II e III.
II e IV.

O número de Euler possui diversas aplicações em ciências, como a Biologia, a Química e a Física, por exemplo.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre a relação entre limites exponenciais e o número de Euler, analise as afirmativas a seguir, com relação à veracidade das equivalências, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
( ) lim(1+1/x)^x = 1/e.
( ) O número de Euler é maior que o número racional 2,72.
( ) lim(1+1/x)^7x, com x tendendo ao infinito vale e^7.
( ) lim(1 + h)^(1/h) = e com h tendendo a zero.
V, F, F, F.
F, F, V, F.
F, F, V, V.
V, F, V, V.
V, V, V, F.

Tendo o conhecimento de funções compostas, sabemos que o domínio de algumas funções são a imagem de outras, ou seja, uma função composta H(x) pode ser dada por H(x) = f(g(x)). Muitas funções desse tipo são transcendentes, o que significa que não possuem formulação algébrica.
Dado que se f(x) = sen(x), f’(x) = cos(x), e considerando seus conhecimentos sobre a regra da cadeia para derivação de funções compostas, analise as afirmativas a seguir.
I. A derivada de f(x) = (x+2)² é 2x + 4.
II. A função H(x) = f(g(x)), onde f(x) = sen(x) e g(x) = x²+x, tem derivada H’(x) = (2x+1)*cos (x²+x).
III. Para derivar funções transcendentes basta aplicar as regras para derivadas de funções polinomiais.
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a cos²(x)sen(x).
I, II e IV.
II, e IV.
I, III e IV.
I e III.
I e II.

O estudo acerca dos logaritmos contribui para a resolução de alguns problemas matemáticos que seriam difíceis de se resolver de outra forma, como é o caso da derivada de 2^x. Para isso, é necessário que se tenha o conhecimento básico sobre a definição e propriedades dos logaritmos.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre os logaritmos, analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
( ) log(e) = ln(e).
( ) O número de Euler, base do logaritmo neperiano, é definido a partir de um limite fundamental.
( ) A função exponencial é a função inversa da logarítmica.
( ) A base de um logaritmo deve ser, somente maior do que zero.
F, F, V, V.
F, V, V, F.
V, V, V, F.
V, F, F, V.
V, V, F, V.

A diferenciação implícita é um método de derivação para certos tipos de funções, isto é, as que não se consegue isolar o valor de uma de suas variáveis. É necessário conhecer as aplicações e propriedades desse tipo de derivação.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca dessas derivadas, analise as afirmativas a seguir:
I. Quando se deriva implicitamente, deve-se derivar ambos os lados da igualdade.
II. Ao derivar implicitamente, utiliza-se a regra da cadeia.
III. Derivar implicitamente não exclui a necessidade de utilizar outros métodos de derivação.
IV. A derivação implícita sempre resultará em valores positivos.
I, II e III.
I e II.
II e III.
II, III e IV.
III e IV.

Às vésperas de sediar um evento esportivo muito importante, o governo desse país se preocupa com a taxa de contaminação quando o evento começar, pois pode haver o risco de uma pandemia.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada da função exponencial, logarítmica e geral, pode-se afirmar que o país deveria sediar o evento, porque:
a taxa de variação instantânea a 50 dias do tempo presente será 0.
o número de doentes será 0.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será maior do que 5.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será numericamente igual a 5.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será menor do que 5.

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