Para analisar a transformação linear \( A: P_2 \to \mathbb{R}^3 \) dada por \( A(ax^2 + bx + c) = (a + b + c, a + 2b - c, 2a + b) \), precisamos verificar se a transformação é injetora, sobrejetora ou ambas (bijetiva). 1. Dimensões: O espaço \( P_2 \) dos polinômios de grau menor ou igual a 2 tem dimensão 3 (base: \( \{1, x, x^2\} \)). O espaço \( \mathbb{R}^3 \) também tem dimensão 3. 2. Injetividade: Para que \( A \) seja injetiva, o núcleo de \( A \) (ou seja, o conjunto de polinômios que são levados ao vetor nulo em \( \mathbb{R}^3 \)) deve conter apenas o polinômio nulo. Precisamos resolver a equação \( A(ax^2 + bx + c) = (0, 0, 0) \): - \( a + b + c = 0 \) - \( a + 2b - c = 0 \) - \( 2a + b = 0 \) Resolvendo esse sistema, encontramos que a única solução é \( a = 0, b = 0, c = 0 \). Portanto, \( A \) é injetiva. 3. Sobrejetividade: Para que \( A \) seja sobrejetiva, a imagem de \( A \) deve ser igual a \( \mathbb{R}^3 \). Como \( A \) é uma transformação de um espaço de dimensão 3 para outro espaço de dimensão 3 e é injetiva, ela também é sobrejetiva. Dessa forma, como \( A \) é injetiva e sobrejetiva, podemos concluir que \( A \) é uma bijeção. Analisando as alternativas: a) A é isomorfismo de \( P_2 \) em \( \mathbb{R}^3 \) - Correto, pois é bijetiva e preserva a estrutura linear. b) A é injetora, mas não é sobrejetora - Incorreto. c) A é sobrejetora, mas não é injetora - Incorreto. d) A não é injetora nem sobrejetora - Incorreto. e) A é bijeção, mas não é isomorfismo - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) A é isomorfismo de P2 em R³.