Para mostrar que a função \( f(x) \) é derivável em \( x = 1 \), precisamos verificar se ela é contínua nesse ponto. Você já fez isso corretamente ao calcular os limites laterais: 1. Limite pela esquerda: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 2 = 3 \] 2. Limite pela direita: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \] Como os limites laterais são iguais e ambos são iguais a \( f(1) = 3 \), a função é contínua em \( x = 1 \). Agora, para calcular a derivada \( f'(1) \), usamos a definição de derivada: \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \] Para \( h > 0 \) (limite pela direita): \[ f(1 + h) = 2(1 + h) + 1 = 2 + 2h + 1 = 3 + 2h \] \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + 2h) - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2 \] Para \( h < 0 \) (limite pela esquerda): \[ f(1 + h) = (1 + h)^2 + 2 = 1 + 2h + h^2 + 2 = 3 + 2h + h^2 \] \[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + 2h + h^2) - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 \] Assim, temos que \( f'(1) = 2 \) tanto pelo limite da direita quanto pelo da esquerda. Portanto, a função \( f(x) \) é derivável em \( x = 1 \) e \( f'(1) = 2 \).