Determine \( an(45^ extcirc + 15^ extcirc) \). A) \( 1 \) B) \( 0 \) C) \( \sqrt{3} \) D) \( 2 \)

Para determinar \( \tan(45^\circ + 15^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \] Neste caso, \( a = 45^\circ \) e \( b = 15^\circ \). Sabemos que: - \( \tan(45^\circ) = 1 \) - \( \tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \) Calculando \( \tan(15^\circ) \): \[ \tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3} \] Agora, substituindo na fórmula: \[ \tan(45^\circ + 15^\circ) = \frac{1 + (2 - \sqrt{3})}{1 - 1(2 - \sqrt{3})} = \frac{3 - \sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \] Simplificando: \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \] Portanto, a resposta correta é: C) \( \sqrt{3} \)