Para encontrar a derivada de primeira ordem da função \( f(x) = x^2 \sqrt{x^3 + 1} \), vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Identificar as partes da função: - \( u = x^2 \) - \( v = \sqrt{x^3 + 1} \) 2. Derivar cada parte: - A derivada de \( u \) é \( u' = 2x \). - Para \( v \), usamos a regra da cadeia: \[ v = (x^3 + 1)^{1/2} \implies v' = \frac{1}{2}(x^3 + 1)^{-1/2} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \] 3. Aplicar a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2x)(\sqrt{x^3 + 1}) + (x^2)\left(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\right) \] 4. Simplificar: \[ f'(x) = 2x\sqrt{x^3 + 1} + \frac{3x^4}{2\sqrt{x^3 + 1}} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 2\sqrt{x^3 + 1} \) - Não é a derivada correta. b) \( f'(x) = 2x \sqrt{x^3 + 1} + x^2 \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) - Esta opção está correta, pois representa a derivada que encontramos. c) \( f'(x) = 2\sqrt{x^3 + 1} \) - Não é a derivada correta. d) \( f'(x) = 2x \frac{3x^2}{2} + 1 \) - Não é a derivada correta. e) \( f'(x) = x^3 + 1 \) - Não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: b) f'(x) = 2x \sqrt{x^3 + 1} + x^2 \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}.