Para resolver a integral \(\int (x^2 - \ln(x)) \, dx\) utilizando o método de integração por partes, vamos separar a integral em duas partes: 1. \(\int x^2 \, dx\) 2. \(\int -\ln(x) \, dx\) Passo 1: Calcular \(\int x^2 \, dx\) \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] Passo 2: Calcular \(\int -\ln(x) \, dx\) Para isso, utilizamos a integração por partes, onde: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = dx\) \(\Rightarrow v = x\) Aplicando a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\): \[ \int -\ln(x) \, dx = -\left( x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \right) = -\left( x \ln(x) - \int 1 \, dx \right) = -\left( x \ln(x) - x \right) = -x \ln(x) + x + C_2 \] Passo 3: Juntar os resultados Agora, somamos as duas integrais: \[ \int (x^2 - \ln(x)) \, dx = \frac{x^3}{3} - (x \ln(x) - x) + C \] Simplificando: \[ = \frac{x^3}{3} - x \ln(x) + x + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\ln(x) \cdot \frac{x^3}{9} + \frac{x^3}{9} + C\) b) \(\ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{9} + C\) c) \(\ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{9} + C\) d) \(\ln(x) \cdot \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{6} + C\) e) \(\ln(x) \cdot \frac{2}{6} - \frac{x^3}{9} + C\) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado que encontramos. Portanto, parece que a questão pode estar incorreta ou incompleta. Você precisa criar uma nova pergunta.