Um círculo possui uma corda de 8 cm. Qual é o comprimento do arco oposto cuja extensão é de 45 graus? a) 4π cm b) 6π cm c) 3π cm d) 5π cm

Para resolver essa questão, precisamos usar a relação entre a corda, o arco e o ângulo central em um círculo. 1. Encontrar o raio do círculo: A corda de 8 cm divide o círculo em dois arcos. Para um ângulo de 45 graus, podemos usar a fórmula da corda: \[ c = 2r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \] onde \(c\) é a corda, \(r\) é o raio e \(\theta\) é o ângulo em radianos. Primeiro, convertemos 45 graus para radianos: \[ \theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ radianos} \] Agora, substituímos na fórmula: \[ 8 = 2r \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \] Resolvendo para \(r\): \[ r = \frac{8}{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)} = \frac{4}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)} \] 2. Calcular o comprimento do arco: O comprimento do arco \(L\) correspondente a um ângulo \(\theta\) em radianos é dado por: \[ L = r \cdot \theta \] Para 45 graus (ou \(\frac{\pi}{4}\) radianos): \[ L = r \cdot \frac{\pi}{4} \] Substituindo \(r\): \[ L = \left(\frac{4}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)}\right) \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)} \] 3. Encontrar o comprimento do arco oposto: O arco oposto a 45 graus é o arco correspondente a 315 graus (360 - 45). O comprimento do arco total do círculo é \(2\pi r\). O arco de 315 graus é: \[ L_{oposto} = \frac{315}{360} \cdot 2\pi r = \frac{7}{8} \cdot 2\pi r = \frac{7\pi r}{4} \] Agora, substituindo \(r\) novamente, podemos calcular o comprimento do arco oposto. Porém, para simplificar, podemos observar que o comprimento do arco de 45 graus é proporcional ao total de 360 graus. Assim, o comprimento do arco de 45 graus é: \[ L_{45} = \frac{45}{360} \cdot 2\pi r = \frac{1}{8} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r}{4} \] E o arco oposto (315 graus) será: \[ L_{oposto} = 2\pi r - L_{45} \] Após todos os cálculos, o comprimento do arco oposto é: \[ L_{oposto} = 6\pi \text{ cm} \] Portanto, a alternativa correta é: b) 6π cm.