Para calcular a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{2} \, dx \), vamos primeiro expandir a expressão \( (1 - x^2)^{2} \): \[ (1 - x^2)^{2} = 1 - 2x^2 + x^4 \] Agora, podemos reescrever a integral: \[ \int_0^1 (1 - x^2)^{2} \, dx = \int_0^1 (1 - 2x^2 + x^4) \, dx \] Agora, vamos calcular a integral termo a termo: 1. \( \int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1 \) 2. \( \int_0^1 2x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) 3. \( \int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5} \) Agora, somamos os resultados: \[ \int_0^1 (1 - 2x^2 + x^4) \, dx = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3 e 5 é 15. Vamos reescrever as frações: \[ 1 = \frac{15}{15}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}, \quad \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \] Agora, somamos: \[ \frac{15}{15} - \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15} \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{2} \, dx = \frac{8}{15} \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.