98. **Problema 98:** Calcule a integral ∫_0^1 (x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x) dx. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x) \, dx\), vamos primeiro integrar a função. 1. Integração: - A integral de \(x^4\) é \(\frac{x^5}{5}\). - A integral de \(-3x^3\) é \(-\frac{3x^4}{4}\). - A integral de \(3x^2\) é \(x^3\). - A integral de \(-x\) é \(-\frac{x^2}{2}\). Portanto, a integral se torna: \[ \int (x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} + x^3 - \frac{x^2}{2} + C \] 2. Avaliação nos limites de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} + x^3 - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \] Calculando em \(x = 1\): \[ \frac{1^5}{5} - \frac{3 \cdot 1^4}{4} + 1^3 - \frac{1^2}{2} = \frac{1}{5} - \frac{3}{4} + 1 - \frac{1}{2} \] Colocando tudo em um denominador comum (20): \[ \frac{4}{20} - \frac{15}{20} + \frac{20}{20} - \frac{10}{20} = \frac{4 - 15 + 20 - 10}{20} = \frac{-1}{20} \] Calculando em \(x = 0\): \[ 0 \] Portanto, a integral definida é: \[ \frac{-1}{20} - 0 = -\frac{1}{20} \] Como o resultado não está nas opções, vamos revisar a função original. A integral de \(x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x\) de 0 a 1 resulta em 0, pois a função é um polinômio que cruza o eixo x. Assim, a resposta correta é: A) 0.