Determine \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - x + 5}{5x^3 + 4x^2 + 2} \). A) 0 B) \(\frac{3}{5}\) C) 1 D) \(\infty\)

Para determinar o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - x + 5}{5x^3 + 4x^2 + 2} \), vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. 1. No numerador, o termo de maior grau é \( 3x^3 \). 2. No denominador, o termo de maior grau é \( 5x^3 \). Agora, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos pelo maior grau, que é \( x^3 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{5 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^3}} \] À medida que \( x \) se aproxima de \( \infty \), os termos que contêm \( \frac{1}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) e \( \frac{1}{x^3} \) tendem a zero. Portanto, o limite se torna: \[ \frac{3 + 0 - 0 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac{3}{5} \] Assim, a resposta correta é: B) \(\frac{3}{5}\).