Para encontrar o ponto em comum entre as funções \( f(x) \) e \( h(x) \), precisamos igualar as duas funções e resolver para \( x \). As funções dadas são: - \( f(x) = \frac{1}{9x - 1} \) - \( h(x) = 3x + 1 \) Igualando as duas funções: \[ \frac{1}{9x - 1} = 3x + 1 \] Agora, vamos resolver essa equação. Multiplicando ambos os lados por \( 9x - 1 \) (para eliminar a fração): \[ 1 = (3x + 1)(9x - 1) \] Expandindo o lado direito: \[ 1 = 27x^2 + 3x - 9x - 1 \] \[ 1 = 27x^2 - 6x - 1 \] Agora, movendo todos os termos para um lado da equação: \[ 27x^2 - 6x - 2 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 27 \), \( b = -6 \), e \( c = -2 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-2) = 36 + 216 = 252 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{252}}{54} \] \[ \sqrt{252} = 6\sqrt{7} \] \[ x = \frac{6 \pm 6\sqrt{7}}{54} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{9} \] Agora, precisamos encontrar o valor de \( h(x) \) para esses valores de \( x \): \[ h\left(\frac{1 + \sqrt{7}}{9}\right) = 3\left(\frac{1 + \sqrt{7}}{9}\right) + 1 = \frac{3 + 3\sqrt{7}}{9} + 1 = \frac{3 + 3\sqrt{7} + 9}{9} = \frac{12 + 3\sqrt{7}}{9} \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) (1, 21) b) (21, 1) c) (3, 81) d) \( \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) \) e) \( \left(\frac{1}{3}, 3\sqrt{3}\right) \) Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente ao que encontramos, mas a alternativa d) \( \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) \) é a que mais se aproxima, considerando que \( h\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = 2 \). Portanto, a alternativa correta é: d) \( \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) \).